空间位置关系与距离专题
空间中的位置关系
空间中的位置关系空间中的位置关系是指事物在三维空间中的相对位置和相互关系。
在我们日常生活中，我们经常需要描述和了解物体或者人在空间中的位置关系，比如左右、前后、上下等等。
本文将从不同角度探讨空间中的位置关系。
一、方位和方向方位是指一个点所处的位置相对于参照物的位置关系，主要有东、西、南、北四个基本方位。
而方向则是指物体或者人的移动的指向，包括前进、后退、向左、向右等等。
方位和方向是空间中的重要位置关系，可以通过地图、指南针等工具进行标示和表示。
举个例子，想象一下你在一个完全陌生的城市里，你可能会问路人某地如何走，他们往往会告诉你“往东走三个街区然后向北转”，这就是通过方位和方向来描述空间中的位置关系。
二、上下左右上下左右是我们最常见的位置描述词语，用于描述物体或者人在空间中的位置关系。
上下是垂直方向的位置关系，而左右是水平方向的位置关系。
比如，我们说树在房子的左边，鸟儿在树上，这就是通过上下左右来描述它们在空间中的位置关系。
三、前后前后是物体或者人在运动中的相对位置关系。
当我们说有人在我前面排队，或者汽车在我后面行驶时，这就是在通过前后来描述它们在空间中的位置关系。
四、内外内外是指物体或者人相对于一个空间的内部或外部的位置关系。
比如，我们说书在书包里，人在房间内，就是通过内外来描述它们在空间中的位置关系。
五、距离距离是指两个点或者物体之间的空间距离，可以通过长度、时间等单位来表示。
距离也是空间中的一种位置关系，比如我们说两个城市之间的距离是200公里，或者书架离床的距离很近等等。
六、空间关系的应用空间的位置关系在我们的日常生活和实际应用中有着重要的作用。
比如，在建筑设计中，需要考虑各个房间或者设施的位置关系，以便提供合理的使用体验；在交通规划中，需要合理安排道路和交通设施的位置关系，以便提高交通效率；在地图制作中，需要准确标示地理位置关系，以便人们能够快速准确地找到目的地。
七、总结空间中的位置关系是我们在日常生活中经常接触到的内容，通过方位和方向、上下左右、前后、内外以及距离等方式来描述物体或者人在空间中的位置关系。
直线与平面的距离与位置关系
直线与平面的距离与位置关系直线与平面的距离与位置关系是几何学中的基础概念之一。
在空间中，直线和平面是我们常见的图形和物体。
了解直线与平面之间的距离与位置关系，对于解决几何问题以及应用于现实生活中的问题都是非常重要的。
本文将详细介绍直线与平面的距离计算方法以及它们之间的位置关系。
一、直线与平面的距离计算1. 点到平面的距离计算公式要计算一个点到平面的距离，我们可以应用以下公式：距离= |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x, y, z)。
公式中的分子|Ax + By + Cz + D|代表的是点到平面的有向距离。
2. 直线到平面的距离计算公式要计算一条直线到平面的距离，我们可以使用以下公式：距离= |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，直线上的一点坐标为(x1, y1, z1)，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0。
同样，公式中的分子|Ax1 + By1 + Cz1 + D|代表的是有向距离。
二、直线与平面的位置关系1. 直线与平面相交当一条直线与平面相交时，我们可以根据直线与平面之间的角度来判断它们的位置关系。
当直线与平面的夹角为锐角时，直线与平面相交于一点。
当直线与平面的夹角为直角时，直线与平面相交于一条直线。
这种情况常见于垂直于平面的直线。
当直线与平面的夹角为钝角时，直线与平面不相交。
2. 直线与平面平行或重合当一条直线与平面平行时，它们之间的距离为点到平面的距离。
根据上文提到的点到平面的距离公式，我们可以计算出直线与平面的距离。
当一条直线与平面重合时，它们的位置完全一样，距离为0。
三、示例问题现在，我们通过几个示例问题来更好地理解直线与平面的距离与位置关系。
示例问题1：计算点P(2, 3, 4)到平面2x - 3y + z - 7 = 0的距离。
推导空间解析几何的位置关系与距离公式
推导空间解析几何的位置关系与距离公式在空间解析几何中，位置关系与距离公式是研究空间中点、直线、平面之间相互位置关系与距离的重要工具。
通过推导和研究，我们可以得到一系列的位置关系与距离公式，进一步拓宽我们对空间几何关系的认识。
一、点与点之间的位置关系与距离公式在三维空间中，我们首先考虑点与点之间的位置关系与距离公式。
假设点A（x1，y1，z1）和点B（x2，y2，z2）是空间中的两个点，我们可以得到它们之间的距离公式如下：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)这个公式可以通过勾股定理推导得出，其中d表示两点之间的距离。
根据该公式，我们可以计算出任意两点之间的距离，从而判断它们的位置关系。
二、点与直线之间的位置关系与距离公式在空间解析几何中，点与直线之间的位置关系是一个重要的研究对象。
给定一条直线L与一个点P(x0, y0, z0)，根据点到直线的距离定义，我们可以推导出点P到直线L的距离公式。
设直线L的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为直线L的方向向量的分量。
点P到直线L的距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，可以判断点和直线之间的位置关系，进一步研究空间中的几何性质。
三、点与平面之间的位置关系与距离公式接下来，让我们考虑点与平面之间的位置关系与距离公式。
给定一个平面的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为平面的法向量的分量。
对于空间中的一个点P(x0, y0, z0)，点P到平面的距离可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，我们可以判断点和平面之间的位置关系，从而进一步研究和解决空间几何问题。
空间直线的位置关系
空间直线的位置关系直线是几何学中基本的图形之一，它是由无数个点连结而成的。
而空间直线则是三维空间中的一条直线，具有独特的位置关系。
本文将探讨空间直线的位置关系，通过几个具体案例来加深理解。
一、平行关系如果两条直线在三维空间中永不相交，那么它们被称为平行直线。
平行直线具有以下特点：1. 方向相同：平行直线不会发生交叉或相交，它们的方向是相同的；2. 距离相等：平行直线之间的距离始终保持不变；3. 永不相交：无论空间多大，这两条直线都不会相交。
例如，在三维坐标系中，直线AB与直线CD平行。
这意味着AB与CD的方向相同，两者之间的距离保持不变，且两条直线永远不会相交。
二、垂直关系如果一条直线与平面的交角为90度，那么该直线与平面垂直。
垂直直线与平面之间的位置关系具有以下特点：1. 方向垂直：垂直直线与平面相互垂直，不存在交叉的部分；2. 交角为90度：垂直直线与平面的交角始终为90度；3. 交点唯一：垂直直线与平面只会有一个交点。
举个例子，设有一条通过点A的直线与平面P垂直，那么这条直线满足上述特点：与平面P相交的线段AO为垂直直线，直线AO与平面P的交角为90度，且直线AO与平面P的交点O是唯一的。
三、相交关系两条直线的交点是它们在三维空间中相互交汇的位置。
两条直线的位置关系可以分为以下几种情况：1. 有且仅有一个交点：两条不平行的直线在三维空间中相交，且只有一个交点；2. 无交点：两条不平行的直线在三维空间中没有交点；3. 重合：两条直线在三维空间中完全重合，有无数个交点。
例如，直线l1与直线l2相交于点O，这意味着直线l1和l2在三维空间中有且仅有一个交点。
又如，直线m与直线n平行，它们在三维空间中没有交点。
结论空间直线的位置关系可以通过平行关系、垂直关系和相交关系来描述。
平行关系指的是两条直线永不相交，具有相同的方向和距离；垂直关系指的是直线与平面之间的交角为90度，只有一个交点；相交关系指的是直线之间存在交点，可以是一个或无穷个。
位置关系的认识与描述
位置关系的认识与描述通过我们对周围环境的观察和认知，我们可以发现许多物体和事物之间存在着位置关系。
位置关系是指在空间中，物体之间的相对位置或方位关系。
在本文中，我们将深入探讨位置关系的不同类型以及如何准确地描述它们。
一、接触关系接触关系是指物体之间在空间中部分或全部相互接触的状态。
例如，手掌接触桌子、门紧靠墙壁等。
接触关系可以细分为两种类型：直接接触和间接接触。
直接接触是指物体之间的接触是直接的，没有其他物体介入。
例如，手指直接接触到桌面，书靠在书架上等。
间接接触是指物体之间的接触是通过其他物体介入的。
例如，桌子上摆放了一个杯子，杯子与桌面的接触是通过杯垫来实现的。
二、相对位置关系相对位置关系是指物体之间的位置相对于其他物体或空间的位置。
常见的相对位置关系包括上下、前后、左右等。
1. 上下关系：用来描述物体在垂直方向上的位置关系。
例如，书在桌子上方、地铁站在地面下方等。
2. 前后关系：用来描述物体在水平方向上的位置关系。
例如，房子在公园前面、小车在大卡车后面等。
3. 左右关系：用来描述物体在水平方向上的相对位置。
例如，树在小路的左边、门在窗户的右边等。
三、方位关系方位关系是指物体或地点相对于参考点的方位或方向关系。
常见的方位关系包括东西南北、上下左右等。
1. 东西南北：通常用来描述位置相对于地理方位的关系。
例如，公园位于城市的西部、海洋位于大陆的东方等。
2. 上下左右：用来描述物体相对于自身参照物的方位关系。
例如，书上写着字、电视屏幕右下角显示时间等。
四、距离关系距离关系是指物体之间在空间中的距离远近。
描述距离可以使用具体的数值，如米、千米等，也可以用近与远、近与远等相对词语来表达。
距离关系的描述可以根据具体的情况采用不同的表达方式。
例如，两个城市之间的距离是400公里，房间里的两张椅子相距1米等。
五、平行关系平行关系是指物体或线条之间保持相等距离但没有交叉的状态。
例如，两条平行线永远不会相交，铁轨上的两条铁轨平行等。
空间中直线与直线的位置距离
条?
1
B D C
1
1
1
C
A
B
五、思考：
在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。 空间中,如果两条直线都与第三条直线平行,是否也有类似的规律?
如右图,长方体 ABCD A B C D 中， AA1∥BB1,AA1∥DD1,那么 BB1 ∥DD1
1 1 1 1
D1 A1 D A B B1
只有一个
共面
平行
异面
没有
没有
共面
不共面
按平面基本性质分
1、同在一个平面内：相交直线，平行直线 2、不同在任何一个平面内：异面直线
按公共点个数分
1、有一个公共点：相交直线
2、无公共点：平行直线，异面直线
三
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
练习1：请在教室里找出异面直线的例子
练习2：判断下列各图中直线l与m是异面直线吗？
（1）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
练习3：辨析
• • • • • (1)空间中没有公共点的两条直线是异面直线； (2) 分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线; (3) 不同在某一平面内的两条直线是异面直线; (4) 不同在任一平面内的两条直线是异面直线； (5) 平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面 直线; • (6) 既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 .
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小结
• 1、异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。 • 2、空间两直线的位置关系（平行、相交、异面） • 3、异面直线的画法：用平面来衬托 • 4、什么是平行公理?它的作用是什么? 平行同一条直线的两条直线互相平行 判断两直线平行，它将空间平行问题转化为平 面内的平行问题
高中数学复习专题讲座关于求空间距离的问题
高中数学复习专题讲座关于求空间距离的问题高考要求空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一样化归为这三种距离重难点归纳空间中的距离要紧指以下七种(1)两点之间的距离(2)点到直线的距离(3)点到平面的距离(4)两条平行线间的距离(5)两条异面直线间的距离(6)平面的平行直线与平面之间的距离(7)两个平行平面之间的距离七种距离差不多上指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离七种距离之间有紧密联系，有些能够相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点求点到平面的距离(1)直截了当法，即直截了当由点作垂线，求垂线段的长(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离(3)体积法(3)向量法求异面直线的距离 (1)定义法，即求公垂线段的长 (2)转化成求直线与平面的距离 (3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分不在两条异面直线上两点间距离中最小的典型题例示范讲解例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分不是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小命题意图考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何咨询题知识依靠空间向量的坐标运算及数量积公式错解分析建立正确的空间直角坐标系其中必须保Array证x轴、y轴、z轴两两互相垂直技巧与方法建系方式有多种，其中以O点为原点，以、、的方向分不为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单解 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz , 设正方形ABCD 边长为a ,那么A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0), D (0,0, 22a ),E (0,－42a , a ),F (42a ,42a ,0) 21||||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420)0,42,42(),42,42,0()2(23,43)420()4242()042(||)1(22222-=>=<==-=⋅+-+⨯=⋅=-==∴=-+++-=OF OE OF OE a OF a OE a a a a a a a a a a EF a a a a a ∴∠EOF =120°例2正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离命题意图 此题要紧考查异面直线间距离的求法知识依靠 求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得错解分析 此题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离，这要紧是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离技巧与方法 求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采纳化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得解法一 如图，在正方体AC 1中， ∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ， ∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，那么平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O作O 1G ⊥B 1O 于G ，那么O 1G ⊥平面AB 1C∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 11A间的距离在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO += 26 ∴O 1G =331111=⋅OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为33解法二 如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连结RN ，∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1， ∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 ∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,那么RB 1=1－x∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°，∴MR =x ,RN =NB 1=)1(22x - 31)31(23)1(2122222+-=-+=+=x x x RN MR MN (0＜x ＜1) ∴当x =31时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1解法三〔向量法〕如图建立坐标系，那么111(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A A B C ∴111(0,1,1),(1,1,0)AB AC -＝＝ 设MN 是直线A 1C 1与AB 1的公垂线，且1111(0,,),(,,0)AN AB AM AC λλλμμμ-＝＝＝＝ 那么11(,,0)(0,0,1)(0,,)MN MA A A ANμμλλ=++-+-+＝- (,,1),μλμλ=--从而有11100MN A C MN AB ⎧⎪⇒⎨⎪⎩＝＝22032113λλμλμμ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩1A∴1113(,,)||3333MN MN =⇒=例3如图，ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点求 (1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离解 (1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ， ∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b ,∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c ∴QE =22222ba b a c ++ ∴Q 到BD(2)解法一 ∵平面BQD 通过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(ba cb a abc ++解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ，由V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQ h =S AQS BQDABD ==⋅∆∆学生巩固练习1 正方形ABCD 边长为2，E 、F 分不是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，假如∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为( )A2 B1 C2 D 122 三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°,设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，那么A 1C 1与l 的距离为( )A 10B 11C 2.6D 2.43 如左图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，那么P 与Q 的最短距离为_________4 如右上图，ABCD 与ABEF 均是正方形，假如二面角E —AB —C 的度数为30°，那么EF 与平面ABCD 的距离为_________5 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，如图(1)求证 平面A 1BC 1∥平面ACD 1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离； (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离6 正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求 (1)截面EAC 的面积； (2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；(3)三棱锥B 1—EAC 的体积 7 如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F⊥CC 1于FF1A1A1(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等8 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2π,AB = 31AD =a ,∠ADC =arccos552,P A ⊥面ABCD 且P A =a (1)求异面直线AD 与PC 间的距离；(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF参考答案1 解析 过点M 作MM ′⊥EF ,那么MM ′⊥平面BCF ∵∠MBE =∠MBC∴BM ′为∠EBC 为角平分线，∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =22 答案 A2 解析 交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，那么C 1D为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =512,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513=2.6 答案 C3 解析 以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分不为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =22a ,∴PQ ⊥AB , 同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ中，PQ =22)2()23(2222=-=-a a AP AQ a 答案22a 4 解析 明显∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，那么G 必在AD 上，由EF ∥平面ABCD∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG 2a答案 2a5 (1)证明 由于BC 1∥AD 1，那么BC 1∥平面ACD 1 同理，A 1B ∥平面ACD 1，那么平面A 1BC 1∥平面ACD 1(2)解 设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，那么d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离 易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，那么cos A 1BC 1=652,那么sin A 1BC 1=6561,那么S111C B A ∆=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，那么31S 11BC A ∆·d =)21(31111D C AD ⋅·BB 1,代入求得d =616112, (3)解 由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，那么B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，那么由(2)知点B 1到平面A 1BC 1 6 解 (1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a 32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=-7 解 (1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中，∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a∴A 1E =22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =22a同理A 1F =22a ,又EF =a ∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°过A 1作A 1N ⊥EF ，那么N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离∴A 1N =221a=又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2a∴a =2，∴所求距离为2(2)设BC 、B 1C 1的中点分不为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，那么DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 假设A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90°∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件8 解 (1)∵BC ∥AD ,BC ⊂面PBC ,∴AD ∥面PBC从而AD 与PC 间的距离确实是直线AD 与平面PBC 间的距离 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a∴AE =22a (2)作CM ∥AB ，由cos ADC =552 ∴tan ADC =21,即CM =21DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =36下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°∴FC ⊥AC ,即FC ⊥PC ∴在AD 上存在满足条件的点F课前后备注学法指导: 立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍旧注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系因此，高考复习应在抓好差不多概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何咨询题的有效的策略思想及方法一、领会解题的差不多策略思想高考改革稳中有变运用差不多数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在差不多数学思想指导下，归纳一套合乎一样思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的体会，解决一样差不多数学咨询题就会自然流畅二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地〝立〞起来在具体的咨询题中，证明和运算经常依附于某种专门的辅助平面即基面那个辅助平面的猎取正是解题的关键所在，通过对那个平面的截得，延展或构造，纲举目张，咨询题就迎刃而解了三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力而数学咨询题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学咨询题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特点规律猎取优解。
空间几何中的距离公式
空间几何中的距离公式在空间几何中，距离公式是计算两点之间距离的重要工具。
距离公式不仅广泛应用于数学领域，还在物理学、工程学等各个领域发挥重要作用。
本文将详细介绍空间几何中的距离公式，包括二维空间和三维空间中的情况。
一、二维空间中的距离公式在二维空间中，我们可以使用欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，d表示两点之间的距离。
以一个例子来说明。
假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式，我们有：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位长度。
二、三维空间中的距离公式在三维空间中，我们可以使用三维欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)以一个例子来说明。
假设有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式，我们有：d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3因此，点A和点B之间的距离为3√3个单位长度。
距离公式在空间几何中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算两点之间的距离，比如在导航系统中计算两地之间的距离，或者在建筑工程中计算两个点之间的距离等。
点与空间直线距离公式
点与空间直线距离公式
摘要：
1.空间点到直线的距离公式
2.点到直线距离公式的应用
3.空间直线的位置关系
4.总结
正文：
空间点到直线的距离公式在数学和几何学中有着广泛的应用，尤其在计算机图形学、空间几何等领域。
以下将详细介绍空间点到直线的距离公式及其相关概念。
首先，空间点到直线的距离公式如下：
设直线L的方程为AxByC0，点P的坐标为（Xo，Yo），则点P到直线L 的距离为：AXoBYoC/（A2B2）。
此公式表示了点P到直线L的距离，其中A、B、C为直线的系数，Xo、Yo为点的坐标。
点到直线距离公式的应用广泛，例如在空间几何中，可以利用该公式计算一个点到平面的距离；在计算机图形学中，可以利用该公式计算三维场景中物体到摄像机的距离，从而实现场景的渲染等等。
此外，空间直线的位置关系也是空间几何中的重要内容。
以下是空间直线位置关系的分类：
1.相交：当两条直线的斜率不相等时，它们相交于一点。
2.平行：当两条直线的斜率相等且截距不相等时，它们平行。
3.重合：当两条直线的斜率相等且截距相等时，它们重合为一条直线。
4.垂直：当两条直线的斜率互为负倒数时，它们垂直。
在实际应用中，了解和掌握空间直线的位置关系有助于解决许多实际问题，如建筑、机械设计等领域。
总结，空间点到直线的距离公式及其应用是空间几何中的基础内容，了解和掌握这一知识点，能够帮助我们解决实际问题，并进一步深入研究空间几何的其它领域。
同时，空间直线的位置关系也是非常重要的概念，对于理解和解决实际问题具有重要的意义。
以上就是关于空间点到直线的距离公式及其应用的详细介绍，希望能对大家有所帮助。
必修二数学空间两直线的位置关系知识点
必修二数学空间两直线的位置关系知识点必修二数学空间两直线的位置关系知识点空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点相交直线;(2)没有公共点平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内有无数个公共点②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
学习空间直线与平面的距离
学习空间直线与平面的距离直线与平面是几何学中的基本概念，它们构成了我们研究空间中形状和相对位置的基础。
在几何学中，直线与平面之间的距离是一个重要的概念。
本文将介绍直线与平面的距离的概念、计算方法以及相关应用。
一、直线与平面的距离的概念在空间中，直线与平面之间的距离可以理解为直线上的一个点到平面上的最近距离。
直线与平面的距离既可以是有向的，也可以是无向的。
有向距离指的是从直线上的点到平面上的最近点所描述的距离，而无向距离只考虑了数值上的大小。
二、直线与平面的距离的计算方法1. 有向距离的计算方法有向距离的计算方法可以通过向量或者坐标来实现。
一种常用的方法是利用向量积。
设平面上的一点为P，直线上的一点为A，直线上的方向向量为n，平面的法向量为m，则有向距离D可以通过以下公式计算得出：D = |(PA · n) × m| / |m|其中，PA表示向量P与A之间的连线向量，·表示内积运算，×表示向量积运算，|·|表示向量的模。
2. 无向距离的计算方法无向距离的计算方法与有向距离相同，但要单独计算两个方向上的有向距离，并取其较小值作为无向距离。
三、直线与平面距离的应用直线与平面的距离在几何学中有广泛的应用，例如在物体投影、空间位置关系、最优化等问题中。
以下是其中的几个具体应用：1. 物体投影：当物体在空间中发生投影时，距离的概念可以帮助我们计算物体在平面上的投影大小和位置。
通过计算物体上的点到平面的距离，可以确定物体在平面上的投影。
2. 空间位置关系：通过计算直线和平面的距离，我们可以判断它们之间的位置关系。
如果距离为零，则直线与平面相交；如果距离大于零，则直线在平面的一侧；如果距离小于零，则直线在平面的另一侧。
3. 最优化问题：在求解最优化问题中，直线与平面的距离可以作为约束条件或者目标函数。
通过分析直线与平面的距离的变化规律，可以帮助我们优化问题的求解过程。
空间关系知识点总结
空间关系知识点总结一、空间概念空间是指周围的环境由物质实体所构成的三维空间。
在这个空间中，物体可以相对移动，相对位置也会发生变化。
在空间中，我们可以观察到物体的位置、形状和大小等属性。
空间关系是指事物在空间中的相对位置关系。
空间关系有三种形式，即相对位置、方位和距离。
1.相对位置：相对位置是指两个物体在空间中的相对位置关系。
当我们描述一个事物所处的位置时，一定要以另一事物为基准来描述，这就是相对位置。
例如，A在B的左边，B在A的右边，这是相对位置的描述。
2.方位：方位是指事物在空间中的朝向关系。
方位由四个基本方向组成，即东、西、南、北。
在地理空间中还有东北、东南、西北、西南等方位。
方位是空间中非常重要的关系，能够帮助我们更准确地描述事物在空间中的位置。
3.距离：距离是指两个事物在空间中的间隔距离。
在空间中，物体可以通过距离来描述物体的相对远近。
距离是空间关系中很重要的一个方面，它可以通过度量直线距离、曲线距离来描述物体之间的相对远近。
二、空间语言描述空间关系可以通过语言来进行描述。
语言描述可以帮助我们更加准确地了解物体在空间中的位置、方位以及距离。
在语言描述中，要注意以下几点：1.使用准确的定位词语：在描述空间关系时，要使用准确的定位词语，如“上、下、左、右、前、后”等。
这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的位置。
2.使用准确的方向词语：在描述方位时，要使用准确的方向词语，如“东、西、南、北”等。
这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的朝向关系。
3.使用准确的距离词语：在描述距离时，要使用准确的距离词语，如“远、近、远离、靠近”等。
这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的相对远近关系。
三、空间关系的认知发展儿童对空间关系的认知发展是一个渐进的过程。
在儿童的认知过程中，从最初的“具体视觉参照”到“图形概念”再到“抽象概念”，儿童对空间关系的认知逐渐升级。
1.具体视觉参照：儿童最开始的认知是基于具体的物体进行的。
空间位置关系学习空间位置关系的表达和判断
空间位置关系学习空间位置关系的表达和判断空间位置关系是描述不同物体或事物在空间中相对位置的概念。
学习空间位置关系的表达和判断对于我们理解和应用空间概念具有重要的意义。
本文将介绍空间位置关系的基本概念及其表达方式，并探讨如何准确地判断空间位置关系。
一、空间位置关系的基本概念在学习空间位置关系之前，我们需要了解一些基本概念。
首先是“方向”，指的是物体朝向的某个确定的位置，常用的方向词有上、下、左、右、前、后等。
其次是“位置”，是指物体在空间中相对于其他物体或参考点的位置。
再次是“距离”，表示两个物体之间的间隔或接近程度。
二、空间位置关系的表达方式1. 方位词法：方位词法是一种常用的表达空间位置关系的方式。
通过使用方位词，我们可以清晰地描述物体在空间中的位置。
例如，“在左边”、“在右上方”、“在正中间”等。
2. 坐标法：坐标法是一种数学上常用的表达空间位置关系的方式。
通过设定一个固定的坐标系，我们可以用坐标来表示每个物体在该坐标系中的位置。
例如，在二维平面坐标系中，可以用(x, y)来表示一个物体的位置。
3. 图形法：图形法是一种直观的表达空间位置关系的方式。
通过绘制图形或示意图，我们可以更清楚地展示物体在空间中的相对位置。
例如，利用平面地图或建筑图纸等来描述物体的位置关系。
三、准确判断空间位置关系的方法1. 视觉判断法：视觉判断是一种通过观察物体位置和方向来判断空间位置关系的方法。
我们可以通过眼睛观察物体的位置、方向、距离等特征，来判断物体之间的相对位置关系。
2. 使用工具辅助判断法：有时候，我们可以借助一些工具来辅助判断空间位置关系，例如使用直尺、量角器等。
这些工具可以帮助我们更准确地测量和判断物体的空间位置关系。
3. 利用数学计算法：当遇到一些复杂的空间位置关系问题时，我们可以利用数学方法或计算机模拟来进行计算和判断。
通过建立几何模型或编写程序，我们能够准确地判断物体的位置关系。
四、应用案例1. 导航系统：现代导航系统利用卫星定位技术和地图信息，可以帮助我们准确地确定自己的位置和目的地的位置，实现导航功能。
空间几何关系
空间几何关系
在日常生活中，我们经常接触到各种空间物体，它们之间的关系是空间几何的重要问题。
空间几何关系是指空间中不同物体的位置、方向、距离、角度等相互联系的情况。
下面我们将探讨空间几何关系的几个方面。
一、位置关系
1. 相离：物体之间没有任何接触或重叠。
2. 相交：物体之间存在公共部分。
3. 相切：物体之间只有一个点相交。
4. 平行：物体之间没有交点，但它们在同一平面内且方向相同或互为平行。
6. 垂直平分：两个相交的物体之间存在垂直平分线，即两个物体之间的公共点与垂直平分线的距离相等。
二、方向关系
1. 方向相同：两个物体朝着同一个方向运动或排列。
5. 垂直关系：两个物体的方向相互垂直。
三、距离关系
1. 远离：两个物体之间的距离越来越远。
3. 逼近：一个物体向另一个物体移动，距离越来越近。
四、角度关系
1. 相互垂直：两个物体之间的交点处的角度为90度。
总而言之，空间几何关系是研究空间中物体之间相互位置、方向、距离、角度等相互联系的学科。
在现实中，空间几何关系在数学、物理、工程、建筑等多个领域都有广泛的应用，是几何学中不可或缺的一部分。
空间几何中的位置关系与距离计算
空间几何中的位置关系与距离计算在空间几何中，位置关系与距离计算是两个核心概念。
准确理解和应用这些概念对于解决几何问题至关重要。
本文将介绍空间几何的位置关系概念，并详细阐述距离计算方法。
一、位置关系概念在空间几何中，我们常常需要确定点或者物体之间的位置关系。
以下是一些常见的位置关系概念：1. 同一平面：当两个点或者物体处于同一平面内时，它们被称为共面。
共面的点可以在同一个平面上画出，物体可以放置在同一平面上。
2. 平行关系：两个直线或者平面在空间中不相交，且始终保持相同的距离，这时它们被称为平行的。
3. 垂直关系：两个直线、平面或者线线、线面相交的两条线段夹角为90度时，它们被称为垂直的。
垂直关系是一种特殊的相交关系。
4. 垂直平分面：垂直平分面指将一条线段垂直平分的平面。
垂直平分面使得线段上的两个点到平面的距离相等。
5. 垂直平分线：垂直平分线指将一条线段垂直平分的直线。
垂直平分线使得线段上的两个点到直线的距离相等。
以上是一些重要的位置关系概念，合理应用可以帮助我们更好地理解和分析空间几何中的问题。
二、距离计算方法在空间几何中，计算点或者物体之间的距离是解决问题的关键一步。
以下是几种常见的距离计算方法：1. 两点之间的距离：如果我们知道空间中两点的坐标，可以使用勾股定理计算它们之间的距离。
设两点的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则两点间的距离d计算公式为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)2. 点到直线的距离：点到直线的距离是指一个点到直线上一点的最短距离。
设直线的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)，则点到直线的距离d计算公式为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)3. 点到平面的距离：点到平面的距离是指一个点到平面上一点的最短距离。
空间点直线平面之间的位置关系例题
空间点直线平面之间的位置关系例题空间几何是数学中一个非常重要的分支，在空间几何中，点、直线和平面是最基本的元素。
它们之间的位置关系既复杂又深刻，需要我们用深度和广度兼具的方式进行全面评估。
在本文中，我们将从简到繁，由浅入深地探讨空间点、直线和平面之间的位置关系，以及解决一些典型的例题。
一、空间点、直线和平面的基本概念1. 点：在几何中，点是最基本的概念，它是没有大小，没有形状，只有位置的。
点在空间中是唯一的，通过坐标来表示。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中是一条无限延伸的路径。
直线有方向和长度，可以根据方向向量来表示。
3. 平面：平面是由无数个点和直线组成的，在空间中是没有边界的二维图形。
平面可以通过点和法向量来表示。
二、点、直线和平面之间的位置关系1. 点和直线的位置关系：（1）点是否在直线上：给定点P(x,y,z)，直线L:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在直线L上，可以将点P的坐标代入直线方程，若等式成立，则点P在直线L上。
（2）点到直线的距离：点P到直线L的距离可以通过点到直线的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。
（3）点和直线的位置关系还包括点在直线的上、下、左、右、内、外等方面。
2. 点、直线和平面的位置关系：（1）点是否在平面上：给定点P(x,y,z)，平面π:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在平面π上，可以将点P的坐标代入平面方程，若等式成立，则点P在平面π上。
（2）点到平面的距离：点P到平面π的距离可以通过点到平面的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。
（3）点和平面的位置关系还包括点在平面的前、后、内、外等方面。
三、例题解析：空间点、直线、平面的位置关系1. 例题一：已知点A(1,2,3)、直线L:2x-3y+z+4=0和平面π:3x+y-2z-7=0，判断点A是否在直线L上和平面π上，若不在，求点A到直线L和平面π的距离。
空间直线的位置关系与距离计算
空间直线的位置关系与距离计算直线是空间中最基本的几何元素之一，它在三维空间中具有重要的位置关系和距离计算方法。
在本文中，我们将探讨空间直线之间的位置关系，并介绍如何计算它们之间的距离。
一、直线的位置关系1. 平行关系：两条直线在平面或空间中没有交点，且方向相同或相反，则它们被称为平行直线。
当直线在平面中时，我们可以通过斜率来确定两条直线是否平行。
然而，在空间中，直线的平行性需要根据它们的方向向量来判断。
若两条直线的方向向量平行，则它们是平行直线。
2. 垂直关系：两条直线在平面或空间中相交，且相交角度为90度，则它们被称为垂直直线。
同样，在平面中，我们可以通过斜率来判断直线的垂直性。
在空间中，我们需要比较它们的方向向量的内积。
若两条直线的方向向量的内积为零，则它们是垂直直线。
3. 相交关系：除了平行和垂直关系以外，两条直线在平面或空间中可能相交于某一点。
在平面中，我们可以通过解方程组求解直线的交点。
在空间中，我们可以通过将直线的参数方程联立求交点的坐标。
二、直线间的距离计算直线间的距离是指直线上的两点之间的最短距离。
计算直线间的距离可以通过以下步骤进行：1. 确定两条直线上的两点：选择两条直线上的点A和B，其中A位于第一条直线上，B位于第二条直线上。
2. 求解最短距离连线的方向向量：通过将点A和点B相连，并得到连线的方向向量。
3. 求解最短距离连线的参数方程：利用点A作为参照点，得到最短距离连线的参数方程。
4. 求解最短距离：将第二条直线的参数方程代入最短距离连线的参数方程，求解参数，得到最短距离的数值。
举例来说，假设有直线l1和直线l2，它们的参数方程分别为：l1：x = a1 + t1m1, y = b1 + t1n1, z = c1 + t1p1l2：x = a2 + t2m2, y = b2 + t2n2, z = c2 + t2p2其中，(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)分别为直线的坐标点，m1, n1, p1, m2, n2, p2分别为直线的方向向量的分量。
空间平面的位置关系与距离计算
空间平面的位置关系与距离计算在二维空间中，我们经常需要描述和计算不同平面之间的位置关系和距离。
这些概念在几何学、物理学、计算机图形学等领域中都有重要的应用。
本文将介绍空间平面的位置关系和距离计算的基本概念和方法。
一、平面的位置关系在二维平面中，两个平面可以有不同的位置关系，包括平行、相交和重合。
1. 平行：当两个平面的方向相同或相反，且不相交，我们称它们为平行平面。
平行平面的方程具有类似的形式，例如：平面1：ax + by + cz + d1 = 0平面2：ax + by + cz + d2 = 0其中a、b、c分别为平面的法向量的分量，d1和d2为平面的常数项。
2. 相交：当两个平面既不平行也不重合时，我们称它们为相交平面。
相交平面可以有一个交线或者无穷多个交线。
为了确定两个相交平面的位置关系，我们需要找到它们的交线。
3. 重合：当两个平面完全相同，它们重合在一起。
此时，它们的方程完全相同。
二、平面的距离计算在空间中，我们可以使用不同的方法来计算两个平面之间的距离，包括点法式、法向量和平面间的垂足。
1. 点法式：对于平面上的一点P(x0, y0, z0)，平面1的法向量为N1(a1, b1, c1)，平面2的法向量为N2(a2, b2, c2)。
那么平面1与点P的距离可以通过点法式来计算：d1 = | a1x0 + b1y0 + c1z0 + d1 | / √(a1^2 + b1^2 + c1^2)同理，平面2与点P的距离为：d2 = | a2x0 + b2y0 + c2z0 + d2 | / √(a2^2 + b2^2 + c2^2)若要计算平面1和平面2之间的距离，则可以取其中一平面上的一点P，在另一个平面上计算其距离。
2. 法向量：对于平面1和平面2，它们的法向量分别为N1(a1, b1, c1)和N2(a2,b2, c2)。
若两个平面之间的夹角θ满足0°≤θ≤90°，则平面1和平面2的距离为：d = | d1 - d2 | / √(a1^2 + b1^2 + c1^2)其中，d1和d2分别为平面1和平面2到原点的有向距离。
空间数据顺序关系
空间数据顺序关系
空间数据的顺序关系主要涉及三个方面：位置、距离和方向。
1. 位置关系：空间数据的位置关系指的是一个数据在另一个数据的相对位置。
常见的位置关系包括：包含关系（一个数据包含另一个数据）、相离关系（两个数据不相交）、相交关系（两个数据有交集）、邻近关系（两个数据相邻但无交集）等。
2. 距离关系：空间数据的距离关系指的是两个数据之间的距离。
距离可以根据不同的度量方式进行衡量，例如欧氏距离、曼哈顿距离等。
距离关系可以用于确定最近邻点、寻找邻近数据等应用场景。
3. 方向关系：空间数据的方向关系指的是一个数据相对于另一个数据的相对方向。
常见的方向关系包括：东、南、西、北等基本方向，以及东北、西南、东南、西北等中间方向。
这些顺序关系在地理信息系统（GIS）和计算机视觉等领域中
具有重要意义，可以用于地图分析、路径规划、图像识别等方面。
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1
C _ A _ B
_ M
_ D
_ E
O
_ C
空间位置关系与距离专题
【考题回放】
1．已知平面α外不共线的三点A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC 必平行于α B. 存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内
C. 平面ABC 必与α相交
D. 平面ABC 必不垂直于α
2．如图，过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中 点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )
A.4条
B.6条
C.8条
D.12条
3．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别
是侧棱AA 1、 CC 1 上的点，且PA=QC 1，则 四棱锥B —APQC 的体积为（ ）
A ．16
B ．14
C ．13V
D ．12
4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列 四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥
③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂
⊂；
④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂，
其中真命题是（ ） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④
5．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'
BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则( )
① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形
③
四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形
④ 四边形E BFD
'
有可能垂直于平面D BB '
以上结论正确的为 。
（写出所有正确结论的编号）
6．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD ==== AB AD ==
（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离.
【考点透视】
判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。
【热点透析】 1． 转化思想：
① ⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ； ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，
平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。
2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法： ①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影
【范例1】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱//
1
2
EF BC =． （1）证明FO //平面CDE ； （2
）设BC =，
证明EO ⊥平面CDF ．
【文】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形, AD ∥BC ，∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB =2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点。
(Ⅰ)求证：PB ⊥DM;
(Ⅱ)求CD 与平面ADMN 所成的角
【范例2】如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.
【文】在直三棱柱ABC ABC -中，90,1ABC AB BC ∠===.
（1）求异面直线11B C 与AC 所成的角的大小；
（2）若1A C 与平面ABC 所成角为45，求三棱锥1A ABC -的体积。
【范例3】如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.
（Ⅰ）求BF 的长；
（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.
解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.
∵AEC 1F 为平行四边形，
【文】正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。
（1）求点1B 到直线AC 的距离. （2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离．
M
1
A
A B
D
C
【点晴】求空间距离注意三点：
1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．
【范例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动.
（1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
π
.
【文】如图，已知长方体1111
ABCD A B C D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平
面11AA B B 所成的角为0
30，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点．
（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；
（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小； （Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离
自我提升
1．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若
α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么（ ）
(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
2．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的 （ ） （A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
（B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 (C) 若AB=AC ，DB=DC ，则AD=BC
(D) 若AB=AC ，DB=DC ，则AD ⊥BC
3．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平
面的距离是4cm ，则该球的体积是（ ）
(A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 3
3
π3416cm
4．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结 论中不成立．．．的是（ ） （A ）BC//平面PDF （B ）DF ⊥平面PA E
（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面 ABC
5．,m n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题：
D B
A A
B
C A 1
B 1
C 1 M
N ①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的编号是 _____;（写出所有真命题的编号）
6．已知平面α与平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β， 垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A
在β内的射影与点B 在α内的射影重合， 则点P 到l .
7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为a ，M 是BC 的中点，N 是CC 1上一点，满足MN ⊥AB 1。
（1） 试确定点N 的位置；
（2） 求点C 1到平面AMN 的距离。
8.如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.。