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物理量的测量
• 把待测物理量直接或间接地与一个 被选做标准的同类物理量做比较。 • 测量结果4要素：包括这种比较操作 所得到的比值、单位，还应说明这 一结果在什么范围内的置信概率。
测量的不确定度
• • • • • • 等精度测量 A类不确定度 B类不确定度 展伸不确定度 间接测量的不确定度 研究不确定度的意义
D=12.345mm
0.009m m
uA n
n 10
0.003m m
D (12.345 0.003)m m P 0.68 D (12.345 0.006)m m P 0.95
• 对钢球”圆的程度”的评价:
0.006 0.0002 12.345
读数的有效数字
• 一般情况下，估读最小刻度的若 干分之一。 • 数字仪表，按仪器所显示的数字。
修约：四舍六入五凑偶
• 加减运算的有效数字，结果的末位 与分量中末位最大的位对齐。
• 100+0.15=100 100-99.15=1
• 乘除运算结果的有效数字与有效数 字最少的分量相同或加1。
• 12.1/99= 0 . 122 12.1*2.2=28
• 其直径的相对偏差小于 0.02％ 的可能性 超过(大于等于)95％. • 或对这一批钢球”均匀度”的评价:其直 径在
12.345 0.006mm
范围内的可能性超过95 ％.
其它分布
• • • • 三角分布 均匀分布 学生分布 ( t 分布 ) 泊松分布
学生分布
• 高斯分布是无穷多次数测量的一种极限 情况.有限次数时,成为学生分布（t分布）. • 曲线较平缓.
不确定度理论摈弃了传统的“系统误差”和 “随机误差”的分类方法，而是将不确定度 按照测量数据的性质分类：能用概率统计处 理的，称为 A 类不确定度，而不用统计规律 处理的,统称为B类不确定度。测量不确定度
的理论保留系统误差的概念.
等精度测量
同一测量者 同一仪器 同一方法 同一环境 同一物理量
测量列：多次等精度测量，n次 • 无法判定哪一次更可靠； • 可以预期它们的平均值最可靠； • 当测量次数 n 趋于无穷时，只要能 排除系统误差（如仪器或环境因 素），其平均值就是被测物理量的 “真值”。
t因子
由于曲线平缓,要得到相同的置信概率, 显然要在更大的不确定度范围.即要 将高斯分布中得到的标准差乘以一 个因子 t . 其大小与测量次数以及置 信概率有关,见30页的表 当n=6~10次,要求P=0.68时, t ~ 1.1 ; 当要求 P=0.95时, t ~ 2.4 .
B类测量不确定度
在“节拍器”振动周期多次测 量误差分布研究中，并不完全 符合正态分布
• 不是“许多”“独立因素”,也非 “等权重”，更不是“无穷多次”；
• 数学模型是物理实际的理想化。
• 测量列的平均值与测量次数有关， 它的涨落随着次数增加而减小。平 均值的标准差即测量列的A类标准不 确定度为
uA
(x
i 1
y( x x )
2
e
图1
图2
曲线下面积归一化
图3
正态分布特点 • 对称性：测量值比平均值大或小者 几率相等 • 单峰性：测量值接近平均值的几率 最大,与平均值相差越大者几率越小 • 有界性 • 归一化：曲线下面积为1
测量列标准差的统计学意义
• 标准差反映了测量值的离散程度 • 当测量次数足够大时（比如大于10次）， 测量列中任一测量值与平均值之差落在 正负标准差范围内的概率为0.683. • 落在2倍正负标准差内的概率为0.955. • 落在3倍正负标准差内的概率为0.997.
A类不确定度
• 设想球磨机生产出一批钢球。用螺旋测 微器测得一个球的一个直径值为
•
D=12.345 mm
• 我们无法判断这个球“圆的程度”， • 更无法判断这批球“圆的程度”以及它 们大小的“均匀度”。
为此要采集多个样本
• 对于第一种情况，沿不同方向多 次测量直径，求平均值,并研究各 个测量值与平均值的离散性. 得到 “圆的程度”. • 对于第二种情况，随机取若干钢 球,分别测量它们的直径，求平均 值,并研究各个测量值与平均值的 离散性. “均匀度”.
生产条件都相对稳定，不存在系统误 差的明显因素，则产品的质量指标近 似服从正态分布。
如果仪器的测量误差在最大允差范围内出现的 概率都相等（如长度块规在一定温度范围内由
于热胀冷缩导致的长度值变化），就为均匀分
布。界于两种分布之间则可用三角分布来描述。
测量者估算产生的Δ
估
对于刻度式仪表,测量估算的不确定度Δ 估常 常小于等于仪器最小刻度的一半；对于数字 式仪表，如果数字稳定,没有估算不确定度; 如果数字跳动变化, 记录其稳定表示的值.
测量列的期望值---平均值
x
x
i 1
n
i
n
如何评价该测量列中测量值的离散程 度：测量列的标准差
• 贝赛尔公式
(x
i 1
n
i
x)
2
n 1
正态分布
• 当有大量的、彼此无关的等权重的次 要因素随机地影响测量结果，而测量 次数趋于无穷时，测量值与平均值之 差成为连续型随机变量，其概率密度 分布为正态分布： 1 ( x x )2 / 2 2
凡是不能用统计方法来处理的不确定 度均为B类不确定度， 如一次测量的B类不确定度 （1）测量者估算产生的部分Δ
估
（2）仪器精度的限制：最大允差Δ
仪
• 用同一型号的多个仪器测量 同一物理量，测量值不尽相 同，这种差别有一定的范围 • 在此范围内，这种差别也遵 循某种分布
例如，工厂大量生产某一量具，当设 备、技术、原材料、工艺等可控制的
n
i
x)
2
ห้องสมุดไป่ตู้
n(n 1)
n
平均值标准差的统计意义
• 待测物理量在 [ x u A ] 的概率 为0.683; • 在 x 2u A 的概率为0.955; • 在 x 3u A 的概率为0.997. • 不写明概率，应默认为0.95.
数据的舍弃
在多次等精度测量中,如果有个别 数据偏差很大,应慎重对待.往往 新规律就孕育于 “异常”之中. 与测量列的平均值之差大于该测量 列标准差的3倍,按高斯分布,其概 率小于0.3%.对于有限次测量 ,可 以判断为差错,予以剔除. 3 法 则.
• 把待测物理量直接或间接地与一个 被选做标准的同类物理量做比较。 • 测量结果4要素：包括这种比较操作 所得到的比值、单位，还应说明这 一结果在什么范围内的置信概率。
测量的不确定度
• • • • • • 等精度测量 A类不确定度 B类不确定度 展伸不确定度 间接测量的不确定度 研究不确定度的意义
D=12.345mm
0.009m m
uA n
n 10
0.003m m
D (12.345 0.003)m m P 0.68 D (12.345 0.006)m m P 0.95
• 对钢球”圆的程度”的评价:
0.006 0.0002 12.345
读数的有效数字
• 一般情况下，估读最小刻度的若 干分之一。 • 数字仪表，按仪器所显示的数字。
修约：四舍六入五凑偶
• 加减运算的有效数字，结果的末位 与分量中末位最大的位对齐。
• 100+0.15=100 100-99.15=1
• 乘除运算结果的有效数字与有效数 字最少的分量相同或加1。
• 12.1/99= 0 . 122 12.1*2.2=28
• 其直径的相对偏差小于 0.02％ 的可能性 超过(大于等于)95％. • 或对这一批钢球”均匀度”的评价:其直 径在
12.345 0.006mm
范围内的可能性超过95 ％.
其它分布
• • • • 三角分布 均匀分布 学生分布 ( t 分布 ) 泊松分布
学生分布
• 高斯分布是无穷多次数测量的一种极限 情况.有限次数时,成为学生分布（t分布）. • 曲线较平缓.
不确定度理论摈弃了传统的“系统误差”和 “随机误差”的分类方法，而是将不确定度 按照测量数据的性质分类：能用概率统计处 理的，称为 A 类不确定度，而不用统计规律 处理的,统称为B类不确定度。测量不确定度
的理论保留系统误差的概念.
等精度测量
同一测量者 同一仪器 同一方法 同一环境 同一物理量
测量列：多次等精度测量，n次 • 无法判定哪一次更可靠； • 可以预期它们的平均值最可靠； • 当测量次数 n 趋于无穷时，只要能 排除系统误差（如仪器或环境因 素），其平均值就是被测物理量的 “真值”。
t因子
由于曲线平缓,要得到相同的置信概率, 显然要在更大的不确定度范围.即要 将高斯分布中得到的标准差乘以一 个因子 t . 其大小与测量次数以及置 信概率有关,见30页的表 当n=6~10次,要求P=0.68时, t ~ 1.1 ; 当要求 P=0.95时, t ~ 2.4 .
B类测量不确定度
在“节拍器”振动周期多次测 量误差分布研究中，并不完全 符合正态分布
• 不是“许多”“独立因素”,也非 “等权重”，更不是“无穷多次”；
• 数学模型是物理实际的理想化。
• 测量列的平均值与测量次数有关， 它的涨落随着次数增加而减小。平 均值的标准差即测量列的A类标准不 确定度为
uA
(x
i 1
y( x x )
2
e
图1
图2
曲线下面积归一化
图3
正态分布特点 • 对称性：测量值比平均值大或小者 几率相等 • 单峰性：测量值接近平均值的几率 最大,与平均值相差越大者几率越小 • 有界性 • 归一化：曲线下面积为1
测量列标准差的统计学意义
• 标准差反映了测量值的离散程度 • 当测量次数足够大时（比如大于10次）， 测量列中任一测量值与平均值之差落在 正负标准差范围内的概率为0.683. • 落在2倍正负标准差内的概率为0.955. • 落在3倍正负标准差内的概率为0.997.
A类不确定度
• 设想球磨机生产出一批钢球。用螺旋测 微器测得一个球的一个直径值为
•
D=12.345 mm
• 我们无法判断这个球“圆的程度”， • 更无法判断这批球“圆的程度”以及它 们大小的“均匀度”。
为此要采集多个样本
• 对于第一种情况，沿不同方向多 次测量直径，求平均值,并研究各 个测量值与平均值的离散性. 得到 “圆的程度”. • 对于第二种情况，随机取若干钢 球,分别测量它们的直径，求平均 值,并研究各个测量值与平均值的 离散性. “均匀度”.
生产条件都相对稳定，不存在系统误 差的明显因素，则产品的质量指标近 似服从正态分布。
如果仪器的测量误差在最大允差范围内出现的 概率都相等（如长度块规在一定温度范围内由
于热胀冷缩导致的长度值变化），就为均匀分
布。界于两种分布之间则可用三角分布来描述。
测量者估算产生的Δ
估
对于刻度式仪表,测量估算的不确定度Δ 估常 常小于等于仪器最小刻度的一半；对于数字 式仪表，如果数字稳定,没有估算不确定度; 如果数字跳动变化, 记录其稳定表示的值.
测量列的期望值---平均值
x
x
i 1
n
i
n
如何评价该测量列中测量值的离散程 度：测量列的标准差
• 贝赛尔公式
(x
i 1
n
i
x)
2
n 1
正态分布
• 当有大量的、彼此无关的等权重的次 要因素随机地影响测量结果，而测量 次数趋于无穷时，测量值与平均值之 差成为连续型随机变量，其概率密度 分布为正态分布： 1 ( x x )2 / 2 2
凡是不能用统计方法来处理的不确定 度均为B类不确定度， 如一次测量的B类不确定度 （1）测量者估算产生的部分Δ
估
（2）仪器精度的限制：最大允差Δ
仪
• 用同一型号的多个仪器测量 同一物理量，测量值不尽相 同，这种差别有一定的范围 • 在此范围内，这种差别也遵 循某种分布
例如，工厂大量生产某一量具，当设 备、技术、原材料、工艺等可控制的
n
i
x)
2
ห้องสมุดไป่ตู้
n(n 1)
n
平均值标准差的统计意义
• 待测物理量在 [ x u A ] 的概率 为0.683; • 在 x 2u A 的概率为0.955; • 在 x 3u A 的概率为0.997. • 不写明概率，应默认为0.95.
数据的舍弃
在多次等精度测量中,如果有个别 数据偏差很大,应慎重对待.往往 新规律就孕育于 “异常”之中. 与测量列的平均值之差大于该测量 列标准差的3倍,按高斯分布,其概 率小于0.3%.对于有限次测量 ,可 以判断为差错,予以剔除. 3 法 则.