高一数学必修4习题精练 含答案

2015-1-23练习 温馨提示：答案从第五页开始

1、在梯形ABCD 中,//AB CD ,2,,AB CD M N =分别是,CD AB 的中点,设

12,AB e AD e ==,请将MN 用12,e e 表示.

2、已知335sin(),cos 6513αββ+=

=-,且0,22

ππ

αβπ<<<<,求sin α的值.

3、已知函数()sin 2cos 2f x x x =-(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在[0,]π上的单调递增区间;(Ⅲ)若3

()4

f α=,求sin 4α的值.

4、已知向量,||1a b b ≠=. (Ⅰ)若||2,||2||a a b a b =+=-,求向量a 与b 的夹角; (Ⅱ)对任意实数t ,恒有||||a tb a b -≥-,求证:()a b b -⊥.

5．计算20.520

371037(2)0.1(2)392748

π--++-+

6．已知α为第二象限角，且sin α＝15

4，求cos (α＋π

4)

cos2α－sin2α＋1的值．

7．已知函数2

()1ax b f x x +=+是定义在(－1,1)上的奇函数，且12

()25

f =-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并证明你的结论； (3)解不等式(1)()f t f t -+< 0.

8．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(π

8，2)，则此点到相邻

最低点间的曲线与x 轴交于点(3π8，0)，若φ∈(－π2，π

2)．

(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)求(1)中函数的单调递增区间；

(3)在如图2所示的坐标系中，用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．

1.【解:】由MN MD DA AN =++ (1) 又MN MC CB BN =++ (2) ,M N 分别是,CD AB 的中点,

0;0MD MC AN BN ∴+=+=

所以由(1) (2)得

2MN DA CB DA CD DA AB =+=+++

11

2222DA BA AB DA AB =++=+

1211

44

MN DA AB e e =+=-

另解:取AN 的中点E ,//MN DE 且MN DE =易得

2.【解:】由0,22ππαβπ<<<<得322ππ

αβ<+<

又335sin(),cos 6513

αββ+==-

5612

cos(),sin 6513

αββ+=-=

3

sin sin[()]sin()cos cos()sin 5

ααββαββαββ=+-=+-+=

3【解:】(Ⅰ

) ()sin 2cos 2)4

f x x x x π

=-=- 故该函数的最小正周期为π

(Ⅱ)由3222,24288

k x k k x k k Z πππππ

ππππ-≤-≤+⇒-≤≤+

∈ [0,]x π∈所以函数()f x 的单调递增区间为3[0,]8π和7[,]8

π

π

(Ⅲ) 因为3()4f α=,所以397

sin 2cos 21sin 4sin 441616αααα-=⇒-=

⇒= sin 4α的值为7

16

4【解:】(Ⅰ)两边平方,可得3cos ,4

a b = (Ⅱ)两边平方,根据二次不等式恒成立,可得2(1)01a b a b ⋅-≤⇒⋅=即证

5．（8分）计算20.520

371037(2)0.1(2)392748

π--++-+

答案： 100

6．(9分)已知α为第二象限角，且sin α＝15

4，求cos (α＋π

4)

cos2α－sin2α＋1的值．

解：cos (α＋π4)cos2α－sin2α＋1＝22(cos α－sin α)2cos 2α－2sin αcos α＝2

2

(cos α－sin α)

2cos α(cos α－sin α)

.

由sin α＝

15

4

及α为第二象限角，得cos α－sin α≠0. 又cos α＝－1－sin 2α＝－14，∴cos (α＋π

4)

cos2α－sin2α＋1＝2

4cos α＝－ 2.

7.解：(1)∵f(x)是(－1,1)上的奇函数． ∴f(－x)＝－f(x)，即a (－x )＋b (－x )2

＋1＝－ax ＋b

x 2＋1

. ∴－ax ＋b x 2＋1＝－(ax ＋b )x 2＋1

.

∵x 2＋1≠0，∴－ax ＋b ＝－ax －b ，∴b ＝－b.

∴b ＝0，∴f(x)＝ax

x 2＋1，

又f(12)＝－25，∴12a (12

)2＋1＝－2

5

，

解得a ＝－1，∴f(x)＝－x

x 2＋1

.

(2)f(x)是单调减函数．证明：

设x 1∈(－1,1)，x 2∈(－1,1)且x 1

则f(x 2)－f(x 1)＝－x 2x 22＋1＋x 1

x 21＋1＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)(x 21＋1)(x 22＋1)

.

∵x 2－x 1>0，x 1x 2－1<0，x 21＋1>0，x 2

2＋1>0， ∴f(x 2)－f(x 1)<0，

∴函数f(x)是单调减函数．

(3)∵f(t －1)＋f(t)<0，∴f(t －1)<－f(t)．

∵f(x)是奇函数，∴f(－t)＝－f(t)，∴f(t －1)

⎧

t －1>－t －1

解得1

2

8解：(1)依题意，A ＝2，T ＝4×(3π8－π

8)＝π，

∵T ＝

2π

|ω|

＝π，ω>0，∴ω＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)． 又曲线上的最高点为(π8，2)，∴sin(2·π

8＋φ)＝1.

∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin(2x ＋π

4

)．

(2)列出x 、y 的对应值表如下： 作图3如下：