三角函数诱导公式及图像

●探究５．
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin( x - 3π/ 2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2π] =sin(x+π/2)=cosx
这两个函数相等，图象重合。
例1分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
变式训练1(1)若sin ＝ ，则cos ＝________；
(2)若cosθ＝ ，θ∈(0，π)，则cos ＝__________.
知识点二 三角函数的化简或证明
例2 求证： ＝－tanα.
回顾归纳 证明三角恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简．同时注意诱导公式的灵活运用．
变式训练2求 ＋ 的值．
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) ( ,1) (,0) ( ,-1) (2,0)
海帆教育_数学_老师个性化教案
教师
吕苗吉
学生姓名
韩鑫焮
上课日期
2014年12月6日
学科
数学
年级
高一
教材版本
华师大
类型
知识讲解□：考题讲解□:
本人课时统计
第（13-14）课时
共（30）课时
学案主题
三角函数
班主任
董米娜
授课时段
15:00-17:00
教学目标
教学内容
三角函数
1.知识与技能
2.过程与方法
3.情感态度与价值观
3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（ 没有最小正周期）
3、例题讲解
例1求下列三角函数的周期：① ② （3） ， ．
练习1。求下列三角函数的周期：
1y=sin(x+ )2y=cos2x 3y=3sin( + )
课时作业
一、选择题
1．已知f(sinx)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为()
A．－ B. C．－ D.
2．若sin(3π＋α)＝－ ，则cos 等于()
A．－ B. C. D．－
3．已知sin ＝ ，则cos 的值等于()
A．－ B. C. D.
4．若sin(π＋α)＋cos ＝－m，则cos ＋2sin(2π－α)的值为()
二、讲解新课：
1．正切函数 的定义域是什么？
2．正 切函数是不是周期函数？
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比 小，正切函数的最小正周期是 ；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且 的图象，称“正切曲线”。
y
0
x
（3）正切曲线是由被相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的。
A．tannαB．－tannα
C．tanαD．－tanα
3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于()
A. B．－
C. D．－
4．tan(5π＋α)＝m，则 的值为()
A．mB．－mC．－1D．1
5．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈ ，则cos(π＋α)的值为()
A. B．－ C．± D．以上都不对
正弦、余弦函数的性质(一)
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
函数值
–
–
66yy 6666666yy55565555555555555555555555555599999999999989
正弦函数 性质如下：
（观察图象）1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）
A．－ B. C．－ D.
5．已知cos ＝ ，且|φ|＜ ，则tanφ等于()
A．－ B. C．－ D.
二、填空题
6．若sin ＝ ，则cos ＝________.
7．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
8．已知tan(3π＋α)＝2，则
＝________.
ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：这两个图像关于X轴对称。
●探究４．
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕 的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：先作y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到y＝-cosx的图象，
再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到y＝2-cosx的图象。
(1）了解三种变换的有关概念；
（2）能进行三种变换综合应用；
教学重点、难点
重点：处理三种变换的综合应Fra bibliotek时的图象信息．
难点：处理三种变换的综合应用时的图象信息．
教学过程
学生活动
3三角形的诱导公式一
知识梳理
诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝______，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝________.
(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝__________.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；
在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x= k∈Z y=cosx的对称轴为x= k∈Z
练习1。（1）写出函数 的对称轴；
自主探究
在α终边上取一点P(x，y)，在 －α终边上也取一点P′(x′，y′)，且|OP|＝|OP′|＝r.试探究点P(x，y)与点P′(x′，y′)两点坐标之间的关系，并利用这一关系推导诱导公式五．
知识点一 给值求值问题
例1 已知cos ＝ ，求sin 的值．
回顾归纳解三角函数问题，应寻找问题中的角与已知条件中的角之间的内在联系，灵活选择角的变换进行求解．
学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般积极□不积极□___________________________
学生上次作业完成情况：优□良□中□差□存在问题_____________________________
学管师（班主任）_______________________________________________________________
知识点三 诱导公式的综合运用
例3 已知sin(5π－θ)＋sin ＝ ，
求sin3 －cos3 的值．
回顾归纳 本题实质是以诱导公式为工具，考查sinθ、cosθ与sinθcosθ之间的关系，关键是熟练应用诱导公式五、六对已知和所求式子准确进行化简．
变式训练3已知sin ·cos ＝ ，且 <α< ，求sinα与cosα的值．
函 数y=cosx是偶函数。
函数y=sinx是奇函数。
2.单调性
从y＝sinx，x∈［－ ］的图象上可看出：
当x∈［－ ， ］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1 .
当x∈［ ， ］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
说明：（1）一般结论：函数 及函数 ， （其中 为常数，且 ， ）的周期 ；
（2）若 ，如：① ；② ；③ ， ．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数 及函数 ， 的周期
思考：求下列函数的周期：1y=sin(2x+ )+2cos(3x- ) 2y=|sinx|
正弦、余弦函数的性质(二)
1.奇偶性
求 的值．
10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.
3三角函数的诱导公式二
cos ＝________.
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin ＝________；
cos ＝________.
2．诱导公式五～六的记忆
－α， ＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
求cos －sin2 的值．
知识点三 化简三角函数式
例3 化简： .
回顾归纳 解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数k(k为整数)一般需按k的奇、偶性分类讨论．
变式训练3化简： (其中k∈Z)．
课后作业
一、选择题
1．sin 585°的值为()
A．－ B. C．－ D.
2．若n为整数，则代数式 的化简结果是()
（2） 的一条对称轴是（）
(A) x轴，(B) y轴，(C)直线 ，(D)直线
4.例题讲解
例1判断下列函数的奇偶性
(1) (2)
例2函数f(x)＝sinx图象的 对称轴是；对称中心是.