分段函数及函数的性质知识梳理
(完整版)分段函数及函数的性质知识梳理
分段函数及函数的性质分段函数概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集 函数值 求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 例1 设函数()221,0,,0.x x y f x x x -⎧⎪==⎨>⎪⎩„（１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像．1.设函数 ()221,20,1,0 3.x x y f x x x +-<⎧⎪==⎨-<<⎪⎩„（1）求函数的定义域； （2）求()()()2,0,1f f f -的值． （3）作出函数图像．2．设函数()41,20,1,0 3.x x f x x --<⎧=⎨-<<⎩„（1）求函数的定义域； （2）求()2(0)(1)f f f -，，； （3）作出函数图像．3 .()⎩⎨⎧>-≤+=,0,2,0,12x x x x x f 若()2f f ⎡⎤⎣⎦= . 4.已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5函数的性质 1 单调性概念 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．1 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <成立．这时把函数()f x叫做区间(),a b 内的增函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的增区间．2 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >成立．这时函数()f x 叫做区间(),a b 内的减函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的减区间．3 如果函数()f x 在区间(),a b 内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x 在区间(),a b 内具有单调性，区间(),a b 叫做函数()f x 的单调区间．例 判断函数42y x =-的单调性1. 已知函数f ( x )=x 2+ax +b ，且对任意的实数x 都有f (1+x )=f (1－x ) 成立。
中考知识点分段函数
中考知识点分段函数一、定义域和值域分段函数的定义域和值域是由各个分段的定义域和值域确定的。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，其定义域为整个实数集，值域为 (-∞, +∞)。
二、分段函数的图像对于分段函数，要根据每个分段的函数表达式来绘制图像。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，在x<0时，图像是一条斜率为1的直线，过原点，并且在x=0处有一个开口向上的拐点。
三、分段函数的连续性分段函数在分段点处可能不连续，需要通过计算极限来确定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，分段点x=0处的左极限等于0，右极限等于0，与f(0)=0相符，因此该分段函数在x=0处连续。
四、分段函数的性质1. 分段函数的奇偶性由各个分段的奇偶性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是奇函数，第二段函数2x是偶函数，所以整个分段函数为奇函数。
2. 分段函数的单调性由各个分段的单调性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是递增函数，第二段函数2x也是递增函数，所以整个分段函数是递增函数。
3. 分段函数的最大值和最小值在每个分段函数的最大值和最小值中取得。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，在第一段函数中，最小值为3，最大值不存在；在第二段函数中，最小值不存在，最大值也不存在。
四、分段函数的应用1. 分段函数可以描述现实生活中的一些问题，如电话费计费等。
以电话费计费为例，某通信公司的计费标准为：前50分钟，每分钟0.5元；超过50分钟，每分钟0.3元。
假设通话时长为x分钟，对应的通话费用为函数f(x) = { 0.5x,x<=50 0.3(x-50)+25, x>50 }。
分段函数知识点总结
分段函数知识点总结一、分段函数的定义分段函数是指在定义域上将函数分成若干段，每一段上使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
它可以是由有限个函数组成的，也可以是由无限个函数组成的。
一般来说，分段函数的定义域可以被划分成有限个不相交的区域，每个区域内使用不同的函数表达式描述函数的行为。
例如，一个简单的分段函数可以是这样的：\[f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}\]在这个例子中，定义域被分成两段：$x < 0$和$x \geq 0$，分别在这两个区域内使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分对应于函数定义域中的一个区域。
因此，对于一个有限段的分段函数，其图像是由一些部分图像组成的；对于一个无限段的分段函数，则可能包含无限个部分图像。
以前面的例子$f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$为例，其图像可以通过分别画出$y = 2x$和$y = x^2$的图像来得到。
当然，我们也可以直接画出$f(x)$的图像，只需在$x = 0$处将两个部分对接起来即可。
对于无限段的分段函数，我们可能无法通过直接画出所有部分图像来得到完整的图像，但是我们可以通过分析函数表达式的性质来对函数的整体行为有所了解。
三、分段函数的性质分段函数可以具有各种不同的性质，这取决于定义域内不同区域上使用的函数表达式。
首先，在定义域的各个区域内，分段函数可以具有不同的函数性质。
在一个区域上，它可能是线性的；在另一个区域上，它可能是二次的，甚至是高次的多项式函数；在另一个区域上，它可能是指数函数、对数函数或者三角函数等。
3.1.2 第2课时 分段函数
第2课时 分段函数学习目标1．会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题．知识点一 分段函数(1)定义：像y ＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0这样的函数称为分段函数．(2)实质：函数f (x )，x ∈A ，自变量x 在A 中□1不同的取值范围内，有着不同的□2对应关系． 知识点二 分段函数的性质(1)定义域：各段自变量取值范围的□3并集，注意各段自变量取值范围的□4交集为空集，这是由函数定义中的唯一性决定的．(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的□5并集． (3)图象：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．[微练1] (多选题)下列给出的函数是分段函数的是( ) A ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1B ．f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4C ．f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5解析：AD B 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4中，当x ＝4时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1中，当x ＝1时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A 、D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数．故选AD ．[微练2] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)＝( )A ．0B ．13C ．1D ．2解析：C ∵2＞1，∴f (2)＝2－1＝1.题型一 分段函数求值(范围)问题已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－3)，f (f (32))的值； (2)若f (a )＝2，求a 的值． [解] (1)因为－3<－1， 所以f (－3)＝－3＋2＝－1. 因为－1<32<2，所以f (32)＝2×32＝3. 又3>2，所以f (f (32))＝f (3)＝92.(2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去； 当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1； 当a ≥2时，由f (a )＝2， 得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)． 综上所述，a 的值为1或2. [发散思维]若本例函数f (x )不变，求满足f (x )>2x 的x 的取值范围． 解：当x ≤－1时，有x ＋2>2x .解得x <2，∴x ≤－1，当－1<x <2时，2x >2x ，x 无解， 当x ≥2时，x 22>2x .解得x >4， ∴x >4，综上，x 的取值范围为(－∞，－1]∪(4，＋∞)．1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或不等式求范围的步骤(1)先将参数分情况代入解析式，列出方程(不等式)；(2)解方程(不等式)求参数的值(范围)，并检验是否符合参数的取值范围； (3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求．1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4解析：B ∵f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83， ∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.2．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．(－∞，1]D ．(－∞，2]解析：C 当x ≥0时，x ×1＋x ≤2，解得0≤x ≤1；当x <0时，x ≤2，所以x <0.所以不等式xf (x )＋x ≤2的解集为(－∞，1]．故选C ．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝9，则α＝________．解析：由题意得⎩⎨⎧α≤0，－α＝9或⎩⎨⎧α>0，α2＝9.∴α＝－9或α＝3. 答案：－9或3题型二 分段函数的图象及应用 角度1 分段函数的图象(1)(2023·许昌市高一六校联考)函数y ＝|x |x ＋x 的大致图象是( )(2)作出下列函数的图象： f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤－1，x 2－x －2，－1<x ≤2，x －2，x >2.(1)[解析] 法一：易得函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，排除A ，B ； 当x ＝－1时，y ＝－2，选项D 中的图象不符合，排除D ．故选C ． 法二：函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，依据绝对值的概念可得y ＝⎩⎨⎧1＋x ，x >0，－1＋x ，x <0，易知选项C 对应的图象正确． [答案] C(2)[解] 画出一次函数y ＝－x －1的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次函数y ＝x 2－x －2的图象，取(－1，2]上的一段；画出一次函数y ＝x －2的图象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．角度2 分段函数图象的应用(链接教材P 68例6)已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝x ，令φ(x )＝min{f (x )，g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者)．(1)分别用图象法和解析式表示φ(x )； (2)求函数φ(x )的定义域，值域．[解] (1)在同一个坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象如图①.由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x )的定义，可得函数φ(x )的图象如图②.令－x 2＋2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.结合图②，得出φ(x )的解析式为φ(x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2，x ≤－2，x ，－2<x <1，－x 2＋2，x ≥1.(2)由图②知，φ(x )的定义域为R ，φ(1)＝1， ∴φ(x )的值域为(－∞，1]．1．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．2．根据分段函数图象求解析式(1)首先从图象上看分段点及各段定义域．(2)其次看各段图象所代表的函数，用待定系数法求解析式，最后写成分段函数．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，x 2＋1，0<x ≤1，则函数f (x )的图象是( )答案：A5．已知函数f (x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．解：当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 将(－1，0)，(0，1)代入解析式， 则⎩⎨⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1. 当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx (k ≠0)， 将(1，－1)代入，则k ＝－1.∴f (x )＝－x . 即f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.题型三 分段函数在实际问题中的应用某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km 以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km 以上，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)． 如果某条线路的总里程为20 km ，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y 元，里程为x km.由题意可知，自变量x 的取值范围是(0，20]．由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图．分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．(2)注意问题求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”，一定要分得合理．6．(2022·滨州高一检测)某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190 cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm)的函数关系式________．解析：设身高为x cm ，k (x )＝ax ＋b (a ＞0)，x ∈[160，190]， 由⎩⎨⎧160a ＋b ＝0，190a ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝130，b ＝－163.k (x )＝130x －163.故k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190.答案：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190特别提醒(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数，整体及各段符合函数的定义． (2)分段函数的定义域是各段自变量的并集，值域是各段值域的并集． (3)求解分段函数问题的原则是分段讨论．课时规范训练 A 基础巩固练1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x <2，f （x －1），x ≥2，则f (2)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：A f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2．著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则D (D (x ))等于( )A ．0B ．1C ．⎩⎨⎧1，x 为无理数，0，x 为有理数D ．⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数解析：B ∵D (x )∈{0，1}，∴D (x )为有理数， ∴D (D (x ))＝1.3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )A B C D解析：B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D ．然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ．故选B ．4．设f (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），若f (x )＝9，则x ＝()A ．－12B ．±3C ．－12或±3D ．－12或3解析：Df (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），f (x )＝9，当x ≤－1时，－x －3＝9，解得x ＝－12；当－1<x <2时，x 2＝9，解得x ＝±3，不成立；当x ≥2时，3x ＝9，解得x ＝3，所以x ＝－12或x ＝3.故选D ．5.(多选题)函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x >0，x ＋1，x ≤0B ．f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x >0，x ＋1，x ≤0C ．f (x )＝－|x |＋1D ．f (x )＝|x ＋1|解析：AC 由题中图象知 当x ≤0时，f (x )＝x ＋1，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，故选AC ．6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2，x <1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________．解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ，得a ＝43. 答案：437．某市出租汽车收费标准如下：在3 km 以内(含3 km)路程按起步价9元收费，超过3 km 的路程按2.4元/km 收费．收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式为________．解析：设路程为x km 时，收费额为y 元，则由题意得：当x ≤3时，y ＝9；当x >3时，按2.4元/km 所收费用为2.4×(x －3)，那么有y ＝9＋2.4×(x －3)．于是，收费额关于路程的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，9＋2.4×（x －3），x >3，即y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >3.答案：y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >38．函数f (x )的图象如图所示，求函数f (x )的解析式．解：当x <－1时，设f (x )＝ax ＋b ， 则⎩⎨⎧－a ＋b ＝1，－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝x ＋2；当－1≤x ≤2时，设f (x )＝kx 2， 由4＝k ·22得k ＝1，所以f (x )＝x 2； 当x >2时，设f (x )＝cx ＋d ，则⎩⎨⎧2c ＋d ＝4，3c ＋d ＝6，解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝0，所以f (x )＝2x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x <－1，x 2，－1≤x ≤2，2x ，x >2.B 能力进阶练9．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的图象大致是( )A B C D解析：C由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，则f (x )＝x ，则f (x )的图象为C 中图象所示．10．(多选题)已知函数f (x )的图象由如图所示的两条线段组成，则( )A ．f (f (1))＝3B ．f (2)>f (0)C ．f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]D ．∃a >0，不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]解析：AC 因为f (1)＝0，f (0)＝3，所以f (f (1))＝3，A 正确；f (0)＝3，0<f (2)<3，所以f (2)<f (0)，B 错误；由题图得，当x ∈[0，1]时，设解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，图象经过(1，0)，(0，3)，所以⎩⎨⎧k 1＋b 1＝0，b 1＝3，解得⎩⎨⎧k 1＝－3，b 1＝3，所以y ＝3－3x ； x ∈[1，4]时，设解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，图象经过(1，0)，(4，3)，所以⎩⎨⎧k 2＋b 2＝0，4k 2＋b 2＝3，解得⎩⎨⎧k 2＝1，b 2＝－1，所以解析式为y ＝x －1；即f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]，C 正确；由C 得f (2)＝2－1＝1，f (12)＝3－32＝32，如图，所以不存在大于零的a ，使得不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]，故D 错误．11．(多选题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(－∞，4)C ．若f (x )＝3，则x 的值是 3D ．f (x )<1的解集为(－1，1)解析：BC 由题意知函数f (x )的定义域为(－∞，2)，故A 错误；当x ≤－1时，f (x )的取值范围是(－∞，1]．当－1<x <2时，f (x )的取值范围是[0，4)，因此f (x )的值域为(－∞，4)，故B 正确；当x ≤－1时，x ＋2＝3，解得x ＝1(舍去)，当－1<x <2时，x 2＝3，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)，故C 正确；当x ≤－1时，x ＋2<1，解得x <－1，当－1<x <2时，x 2<1，解得－1<x <1，因此f (x )<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D 错误．故选BC ．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a )＝________． 解析：若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14，所以f (1a )＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f (1a )＝6.答案：613．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形.。
分段函数知识点总结整理
分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。
分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。
本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。
1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。
通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。
在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。
2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。
在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。
需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。
3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。
需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。
4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。
当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。
例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。
5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。
初二数学分段函数知识点解析
初二数学分段函数知识点解析分段函数是初中数学中的重要内容之一，它通过不同的定义域范围将一个函数分成若干个部分，每个部分使用不同的表达式描述。
分段函数在数学中的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。
本文将对初二数学分段函数的知识点进行解析，并以具体的例子来说明其应用。
一、什么是分段函数分段函数（piecewise function），又称离散函数，指的是在定义域上不同区间内可以有不同的表达式。
通常我们用一个大括号表示不同区间上的表达式，例如：\[ f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0 \\x^2, & x\geq0\end{cases} \]这个函数在定义域上可以分为两个区间，即负无穷到0和0到正无穷，分别使用了x+1和x^2作为函数表达式。
二、分段函数的定义域和值域对于分段函数来说，每个区间上都有一个对应的函数表达式。
因此，我们需要确定每个区间的定义域。
在上面的例子中，第一个区间定义域为负无穷到0，第二个区间定义域为0到正无穷。
而对于整个分段函数的定义域，应该是各个区间定义域的并集。
在上面的例子中，整个函数的定义域为负无穷到正无穷，即(-∞, +∞)。
值域的确定需要分别计算每个区间的值域，然后取所有值域的并集。
对于上面的例子来说，第一个区间的值域为(-∞, 1)，第二个区间的值域为[0, +∞)。
因此，整个函数的值域为(-∞, 1]。
三、分段函数的图像和性质分段函数的图像通常由各个区间的图像组成。
在上面的例子中，第一个区间图像为一条斜率为1的直线，第二个区间图像为一条开口向上的抛物线。
分段函数具有一些特殊的性质。
首先，分段函数的图像是不连续的，因为在不同的区间上使用了不同的表达式。
其次，分段函数可能具有端点处的间断点。
例如，在上面的例子中，函数在x=0处具有间断点，因为0既属于第一个区间也属于第二个区间。
四、分段函数的应用举例分段函数在实际问题中具有广泛的应用。
全国高考数学复习微专题：分段函数的性质与应用
分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
高考分段函数知识点
高考分段函数知识点高考是每个学生都将经历的一次重要考试，它对于一个人的人生道路具有至关重要的影响。
其中，数学科目一直被认为是让人头疼的科目之一。
而在数学中，分段函数是一个重要的知识点。
本文将向大家介绍高考分段函数的相关知识点。
一、分段函数的定义分段函数是指由两个或多个函数组成的函数，其定义域上按照不同的条件来确定函数表达式。
通常情况下，每个函数表达式只在特定的子区间上有效。
二、分段函数的表示方式在数学中，对于分段函数的表示方式有两种常见的形式，分别是符号函数和条件函数。
1. 符号函数：符号函数是一种用数系的符号表示函数。
一般来说，符号函数的定义可以写成 f(x) = {±1, x＞0或x＜0}，表示在不同的区间上函数取不同的值。
2. 条件函数：条件函数是一种用条件表达式表示函数的形式。
它的定义可以写成 f(x) = {f₁(x), x ∈ D₁；f₂(x), x ∈ D₂；f₃(x), x ∈D₃……}，其中D₁、D₂、D₃……表示不同的区间，f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)……表示不同的函数表达式。
三、分段函数的性质1. 连续性：一段函数在其定义域上是否连续是其性质之一。
对于分段函数而言，每个子区间内的函数表达式都是连续的，即在各个子区间的边界处函数值存在且相等。
2. 求导性质：在求导过程中，需要根据不同的子区间分别对函数进行求导。
首先，找到函数在定义域内的各个子区间，然后对每个子区间内的函数进行求导，最后将求导结果合并。
3. 极值问题：对于分段函数来说，极值问题也是一个值得关注的问题。
因为分段函数在定义域的不同子区间内可能存在多个极值点，所以需要根据实际题目的条件来确定具体的极值点。
四、解题技巧1. 确定分段函数的子区间：在解答分段函数的题目时，首先需要确定函数的定义域和区间。
这一步是解题的基础，也是问题的关键。
2. 绘制函数图像：根据所给的函数表达式和子区间，可以尝试绘制出函数的图像。
高三数学分段函数知识点
高三数学分段函数知识点分段函数是高中数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域的实际问题中。
在高三数学学习中，理解和掌握分段函数的知识点对于解题和理论应用都具有重要意义。
本文将为您介绍高三数学中与分段函数相关的知识点。
一、分段函数的定义与表达方式分段函数是由不同的函数规则在不同的定义域上确定的一种函数。
分段函数通常由若干段或多个函数规则组合而成，对于不同的自变量取值，函数的表达方式也不相同。
通常，分段函数可以用以下的形式表示：y = f(x)，x ∈ D，其中D为定义域。
在定义域D的不同区间上，函数f(x)可以用不同的函数表达式来表示。
二、分段函数的性质1. 定义域和值域：分段函数的定义域由各个函数规则的定义域的并集构成，值域则由各个子区间的值域的并集构成。
2. 连续性和间断点：分段函数在定义域上可能存在间断点。
常见的间断点有可去间断点（函数值可以通过修复后定义），跳跃间断点（函数在间断点处的左右极限存在，但不相等）和无穷间断点（函数在间断点处的左右极限至少有一个为无穷大）。
3. 单调性：针对不同函数规则的子区间，分段函数可以是递增的、递减的或不变的。
4. 极值点：分段函数在每个子区间内寻找最大值和最小值，可以通过求导或者构建不等式来确定。
三、分段函数的图像分段函数的图像通常是一个由多段连接而成的曲线，并且在不同的子区间上可能有不同的形态。
对于每一个子区间，我们可以先画出对应函数规则的图像，然后将这些图像进行连接。
在画图时，需要注意各个子区间的连接点和间断点的特殊处理，以及函数图像的平滑与连续性。
四、分段函数的应用分段函数广泛应用于各个领域的实际问题中，下面举几个例子：1. 费用函数：在一些商业模型中，根据不同的销售数量区间，利用分段函数可以比较准确地计算成本、利润等。
2. 税务计算：税务计算常常需要根据收入或利润的不同区间采用不同的税率，这也可以通过分段函数进行模拟计算。
3. 温度转换：将摄氏度和华氏度进行相互转换时，由于两种温度间存在不同的线性关系，可以使用分段函数表示。
高一分段函数知识点总结
高一分段函数知识点总结分段函数是高中数学中的重要内容，它在应用题中常常能够帮助我们建立正确的数学模型，解决实际问题。
下面是对高一分段函数知识点的总结。
1. 分段函数的定义分段函数由定义域的不同范围内的多个子函数组成，每个子函数的定义域是不重叠的，它们只在各自的定义域内有效。
2. 分段函数的表示方法分段函数可以用解析式、表格和图像三种方式表示。
解析式表示：f(x) = {f1(x), a ≤ x ≤ b; f2(x), c ≤ x ≤ d; ...}表格表示：在一张表格中列出各个子函数的定义域和函数值。
图像表示：在坐标系中绘制出各个子函数的图像。
3. 分段函数的性质分段函数的性质包括奇偶性、单调性、最值等。
要根据具体的子函数来分析其性质。
奇偶性：如果子函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则该子函数是偶函数；如果子函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则该子函数是奇函数；否则为非奇非偶函数。
单调性：对于定义域内部的某个子函数，如果$f'(x)>0$，则该子函数在该区间上是递增的；如果$f'(x)<0$，则该子函数在该区间上是递减的。
最值：要求分段函数取得最大值或最小值，需要分别分析各个子函数的最值，并比较它们之间的大小。
4. 分段函数的应用分段函数在实际问题中的应用非常广泛。
以下列举几个常见的应用：(1) 阶梯函数：描述单位价格不同的商品数量与费用之间的关系。
在一定范围内的商品数量对应一个固定的价格，超过该范围则需要按照不同的价格计算。
(2) 温度转换：将摄氏温度转换为华氏温度或开尔文温度。
(3) 隶属度函数：用于模糊逻辑和模糊集合，描述某个元素对于某种属性或事物的隶属程度。
(4) 门函数：在数字电路中，描述逻辑电平之间的转换关系。
5. 分段函数的解析式的求法当已知分段函数的表达式或图像时，可以根据具体情况，通过以下几种方法求出分段函数的解析式：(1) 分段函数的拼接法：将各个子函数在其定义域范围内的解析式进行拼接。
考点04 分段函数(解析版)
考点4 分段函数以及应用一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1.（2017山东文9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（ ）A.165 B. 2 C.6 D.217【答案】B【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,故选B.2. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）B.41 B. 45 C. 41或45D. 2【答案】C【解析】由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-≥21)1(21a a ，解得14a =或45=a ，故选C【变式3：改编问法】已知f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=（ ）A ．B ．C ．1D ．﹣1【答案】C ．【解析】∵f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=﹣f （）=﹣f （）=﹣log 2=1，故选C ．【变式4：函数迭代】已知a ∈R ，函数()24,2,3, 2.x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a = ． 【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值．【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2． 2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =-是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】设函数的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，4]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．[5，+∞） 【答案】B【解析】由题知，当x ＜1时，f （x ）=x 2﹣4x+a=（x ﹣2）2+a ﹣4，且为减函数，可得f （x ）＞f （1）=a ﹣3，由x≥1时，f （x ）递增，可得f （x ）的最小值为f （1）=1，由题意可得a ﹣3≥1，即a≥4，故选B ．【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【答案】当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【解析】如图作出函数3()3h x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33h x x =-，知1x =-是函数()h x 的极大值点，1=x 是函数()h x 的极小值点，当1-<a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为)2(33a a a --- =0)1)(1(<-+a a a ，所以a a a 233-<-，所以函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]2,(-∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为22≤-a ，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为a a a 323-<-，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞；综上所述，当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1] B ．[，] C ．[，] D ．[，2] 【答案】B【解析】当x ∈[0，]时，y=﹣x ，值域是[0，]；x ∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．则x ∈[0，1]时，f （x ）的值域为[0，1]，当x ∈[0，1]时，g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），为增函数，值域是[2﹣2a ，2﹣]，∵存在x 1、x 2∈[0，1]使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]≠∅，若[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]=∅，则2﹣2a ＞1或2﹣＜0，即a ＜，或a ＞．∴a 的取值范围是[，]，故选B ．3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3．（2021年高考天津卷9）设a ∈R ，函数()()()22cos 22,,215,x a x a f x x a x a x aπ-π<⎧⎪=⎨-+++≥⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．7511,2,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．711,2,344⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是难题. 【答案】A【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a π-π=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出． 【解析】()222150x a x a -+++=最多有2个根，()cos 220x a ∴π-π=至少有4个根，由22,2x a k k ππ-π=+π∈Z 可得1,24k x a k =++∈Z ，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-． （1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤；当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤．（2）当x a ≥时，()()22215f x x a x a =-+++，()()()22Δ414582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点； 当2a >时，令()()22215250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点；∴若52a >时，()f x 有1个零点．综上，要使()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况． 【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，利用数形结合思想求解. 3.2【典型考题变式】【变式1：改变条件】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.【变式2：改编条件】已知函数f（x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【答案】D【解答】函数f（x）=，可得f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）=kx﹣k+有三个不同的实根，作出y=f（1﹣x）和y=kx﹣k+的图象，当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x≤1）相切于原点时，即k=时，两图象恰有三个交点；当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k=2（m﹣2），且km﹣k+=（m﹣2）2，解得m=1+，k=﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选D．【变式3：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()(2)0f x f x b +--=有2个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知2b >或47=b ，故选.A.【变式4：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 . 【答案】3【解析】当0<x 时，0>-x ，所以x x x f 4)()(2+-=-，因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-=x x 42+，所以x x x f 4)(2--=，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=0,404)(22x x x x x x x f ，，所以2)()(+-=x x f x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+--0,250,2522x x x x x x ，由)(x g y =的图象知，)(x g y =有3个零点，所以方程2)(-=x x f 解的个数为3.4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4．（2021高考上海卷14）已知参数方程[]334,1,12x t t t y ⎧=-⎪∈-⎨=⎪⎩，下列选项的图中，符合该方程的是 （ ）【答案】B【解析】当0,0,0,t x y ===∴过原点，排除A ；当1t =时1,0x y =-=，排除C 和D ；当31230,340,0,,22x t t t t t =-===-=时，1230,,22y y y ==-=，故选B ． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0）B ．[0，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数函数零点问题，是难题. 【答案】C【解析】由g （x ）=0得f （x ）=﹣x ﹣a ，作出函数f （x ）和y =﹣x ﹣a 的图象如图，当直线y =﹣x ﹣a 的截距﹣a ≤1，即a ≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g （x ）存在2个零点，故实数a 的取值范围是[﹣1，+∞），故选C ．【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.【变式2：改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞ C. [)()1,04,-⋃+∞ D. [)[)1,04,-⋃+∞【答案】C【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点，同一坐标系，画出()y f x =与()1y k x =-的图象，直线过()0,1时， 1k =-，直线与()20y xx =≥，相切时4k =，由图知， [)()1,04,k ∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞，故选C.【变式3：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】函数||)(x x f y -=零点个数，即为方程||)(x x f =解得个数，即为函数)(x f y =与函数||x y =交点个数，画出函数()f x 的图象与函数||x y =，由图像知，函数)(x f y =与函数||x y =交点个数0， 所以函数||)(x x f y -=零点个数为0，故选A.【变式4：改编问法】已知函数，则函数f (x )的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数，当x ＜0时，函数是二次函数，开口向下，对称轴为x=﹣1，排除选项B ，C ；当x≥0时，是指数函数向下平移1单位，排除选项A ，故选D ．5.分段函数性质5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知43020131a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得1334a ≤≤，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，] B ．[，+∞）C ．[，]D ．（，）【答案】C【解析】由于函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，2a≥e ﹣a ，解得a≥．排除A ，D ，当a=2时，x=1可得e x ﹣2x 2=e ﹣2；2a+lnx=4＞e ﹣2，显然不成立，排除B ，故选C ．【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】二次函数243x x -+的对称轴是2x =，所以该函数在(],0-∞上单调递减； 2433x x ∴-+≥，同样可知函数223x x --+， 2233x x ∴--+<，在()0,+∞上单调递减， ()f x ∴在R 上单调递减，；，所以由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a < , 2x a ∴<在[],1a a +上恒成立，()21;2a a a ∴+<∴<-，所以实数a 的取值范围是(),2-∞-，故选A.【变式3：改编问法】已知函数则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）不是周期函数B ．f （x ）在上是增函数C ．f （x ）的值域为[﹣1，+∞）D ．f （x ）的图象上存在不同的两点关于原点对称 【答案】D 【解析】函数的图象如图所示，则f （x ）不为周期函数，A 正确；f （x ）在[﹣，+∞）递增，B 正确；f （x ）的最小值为﹣1，无最大值，则C 正确；由于x ＜0时，f （x ）=sinx ，与原点对称的函数为y=sinx （x ＞0），而sinx=x 在x ＞0无交点，则D 不正确，故选D ．6.分段函数的综合应用6.1考题展示与解读例2【2018全国卷Ⅰ】设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题. 【答案】D【解析】当0x ≤时，函数()2xf x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，则不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ）的解集是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】函数f （x ）=，可得x≥0，f （x ）递增；x ＜0时，f （x ）递增；且x=0时函数连续，则f （x ）在R 上递增，不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ），可化为x+2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故选C ．【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A. ()2,e eB. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】作出)(x f 的图像，不妨设c b a <<，由图知，201a b e c e <<<<<<,由题知，|ln ||ln |b a =，即b a ln ln =-，所以0)ln(ln ln ==+ab b a ，所以ab =1,则c abc =),(2e e ∈,故选A.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为（ ） A ．[4，5） B ．（4，5] C ．[4，+∞） D ．（﹣∞，4]【答案】A【解析】当x ＞0时，f （x ）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减，由f（x ）=e，x≤0，当x ＜﹣1时，f （x ）递减；﹣1＜x ＜0时，f （x ）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f （x ）的图象，以及直线y=a ，可得e=e=x 3+﹣3=x 4+﹣3，即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=﹣2﹣x 2，﹣1＜x 2≤0，x 3﹣x 4=﹣=，可得x 3x 4=4，x 1x 2+x 3x 4=4﹣2x 2﹣x 22=﹣（x 2+1）2+5，在﹣1＜x 2≤0递减，可得所求范围为[4，5），故选A ．三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-， 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数， 所以)1()()(x x x f x f --=-=-， 所以)1()(x x x f -=， 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练一、单选题1．（2021·四川成都零模（文））已知函数2log (2),1()e ,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(2)(ln 4)f f -+=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【分析】分别求出()2f -和()ln 4f 的值再求它们的和，从而可得正确的选项. 【详解】()22log 42f -==，()ln4ln 44f e ==，故(2)(ln 4)6f f -+=，故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属于基础题.2．（2021·四川射洪模拟（理））定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[2]2=.当*[))0,(x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i i a =-∑的值为（ ） A ．40402021B ．20192021C ．20192020D ．20191010【答案】D【分析】先根据条件分析出当[)0,x n ∈时，集合n A 中的元素个数为222n n n a -+=，进而可得111211n a n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再结合裂项相消法进行求和可得结果. 【详解】因为[][)[)[)[)0,0,11,1,22,2,3......1,1,x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[][)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,3......1,1,x x x x x x x n x x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[]x x 在各个区间中的元素个数分别为：1,1,2,3,4,......,1n -，所以当[)*0,,x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A ，集合n A 中元素个数为：()()2121123 (1122)n n n n n a n --+=+++++-=+=，所以()1112211n n a n n ⎛⎫=-≥ ⎪--⎝⎭， 所以2020211111112019212...22112232019202020201010i ia =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选：D. 3．（2021·山东高三其他模拟）已知函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1a ∈B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】 将条件()()12120f x f x x x -<-等价于函数函数()f x 为定义域上的单调减函数，由分段函数的单调性要求，结合指数函数、一次函数的单调性得到关于a 的不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩为R 上的减函数，可得0120,123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩解得304a <≤，故选:C.4．（2021·江苏南京模拟（理））我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈.定义：(),00,0N n W N N n ≥⎧⎨<⎩的整数部分的位数＝的非有效数字的个数，如()()()2211.2103,(1.2310)2,3102, 3.001101W W W W --⨯=⨯=⨯=⨯=，则下列说法错误的是（ ）A ．当1,1M N >>时，()()()W M N W M W N ⋅=+B ．当0n <时，()W N n =-C ．当0,()1n W N n >=+D ．若1002,lg 20.301N ≈＝，则()31W N = 【答案】A【分析】A ．理解()W N 的含义，举例分析即可；B ．根据0n <分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；C ．根据0n >分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；D ．先将N 化为10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈的形式，然后计算出()W N 的值.【详解】当[)0,100N ∈时，N 的整数部分位数为2，当[)100,1000N ∈，N 的整数部分位数为3，一般地，)()110,100,1,2,3,4,......n n N n +⎡∈=⎣时，N 的整数部分位数为1n +； 当[)0.1,1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为1，当[)0.01,0.1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为2，一般地，)()110,101,2,3,4,5,......n n N n +⎡∈=-----⎣时，N 的非有效数字0的个数为n -，A ．取210,10M N ==，所以()()()()33,2,104W M W N W M N W ==⋅==，()()325W M W N +=+=，所以()()()W M N W M W N ⋅≠+，故错误；B ．当0n <时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 的非有效数字0的个数为n -，所以()W N n =-，故正确；C ．当0n >时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 整数部分位数为1n +，所以()1W N n =+，故正确； D ．因为1002N ＝，所以lg =100lg230.1N ≈，所以30.110N ≈，所以)303110,10N ⎡∈⎣，所以()30131W N =+=，故正确，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解()W N 的含义以及计算的方法， 通过对10n N a =⨯的分析，首先判断n 与0的关系，然后决定采用哪一种计算方法（类似分段函数）.5．（2021·安徽皖江名校联考）已知函数()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，方程()10f x -=有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．()1,+∞【答案】B【分析】根据已知条件对a 进行分类讨论：01a <<、1a >，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程()10f x -=有两解时a 所满足的不等式，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，所以0a >且1a ≠， 当01a <<时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递增，所以()()max 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，且()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=有两解，所以21a <，所以102a <<； 当1a >时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递减，()()min 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=要有两解，所以21a <，此时不成立. 综上可得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析()f x 的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.6．（2021·山东济南模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增， 根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ ，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A7．（2021·山西名校联考）已知函数()cos ()ln f x x g x x ==，用max{,}a b 表示a ，b 中的最大值，则函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论可得结果. 【详解】 分三种情况讨论：① 当1x >时，()ln 0g x x =>，所以()()0h x g x ≥>，故()h x 无零点；② 当1x =时，(1)cos110f =-<，(1)0g =，所以(1)0h =，故1x =是()h x 的零点；③ 当01x <<时，()ln 0g x x =<，所以()f x 的零点就是()h x 的零点.显然，()cos f x x =(0,1)上单调递减，且(0)10=>f ，(1)cos110f =-<， 故()f x 在(0,1)内有唯一零点，即()g x 在(0,1)内有唯一零点. 综上可知，函数()h x 在0x >时有2个零点. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论.8．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a->-成立，则满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．无数【答案】C 【分析】作出f （x ）的函数图象，利用直线的斜率，根据不等式只有1整数解得出a 的范围． 【详解】作出f （x ）的函数图象如图所示：()1f x x a--表示点(,())x f x 和点(,1)a 所在直线的斜率，即曲线上只有一个点(,())x f x 且x 是整数和点(,1)a 所在直线的斜率大于零.如图所示，动点(,1)a 在直线1y =上运动.因为(0)0,(1)3,(2)0f f f ===,当[1,0]a ∈-时，只有点(1,3)这个点满足()10f x x a ->-，当[1,2]a ∈时，只有点(0,0)这个点满足()10f x x a->-. 所以a ∈][1,01,2⎡⎤-⋃⎣⎦.所以满足条件的整数a 有4个.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的图像，考查直线的斜率，关键在于考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 二、多选题9．（2021·重庆高三三模）()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，则下列说法中正确的是（ ） A ．f ()x 的值域为[]0,2B ．当(]3,5x ∈时，()f x =C ．()f x 图象的对称轴为直线4,x k k Z =∈D ．方程3f x x 恰有5个实数解【答案】ABD 【分析】画出()f x 的部分图象结合图形分析每一个选项即可. 【详解】根据周期性，画出()f x 的部分图象如下图所示，由图可知，选项A ，D 正确，C 不正确；根据周期为4，当(3,5]x ∈时，()(4)f x f x =-==B 正确.故选：ABD.10．（2021·辽宁铁岭二模）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义判断A ，由分段函数求值域确定B ，由余弦函数性质确定C ，由二次函数及余弦函数的单调性确定D.【详解】因为()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≤-=⎨>⎩.所以()()f x f x -≠，()f x 不是偶函数，故选项A 错误. 当0x ≥时，211x +≥，当0x <时，cos [1,1]x ∈-，所以()f x 值域为[)1,-+∞，故B 正确； 因为()01f =，()21f π-=，选项C 正确.因为()f x 具有单调性的区间与()f x -具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D 错误(由()f x -表达式也可以看出).故选：BC 。
分段函数及函数的性质知识梳理
分段函数及函数的性质分段函数概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集函数值 求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．例1 设函数()221,0,,0.x x y f x x x -⎧⎪==⎨>⎪⎩…（１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像．1.设函数 ()221,20,1,0 3.x x y f x x x +-<⎧⎪==⎨-<<⎪⎩…（1）求函数的定义域； （2）求()()()2,0,1f f f -的值． （3）作出函数图像．2．设函数()41,20,1,0 3.x x f x x --<⎧=⎨-<<⎩…（1）求函数的定义域； （2）求()2(0)(1)f f f -，，； （3）作出函数图像．3 .()⎩⎨⎧>-≤+=,0,2,0,12x x x x x f 若()2f f ⎡⎤⎣⎦= .4.已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5函数的性质 1 单调性概念 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．1 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <成立．这时把函数()f x叫做区间(),a b 内的增函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的增区间．2 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >成立．这时函数()f x 叫做区间(),a b 内的减函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的减区间．3 如果函数()f x 在区间(),a b 内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x 在区间(),a b 内具有单调性，区间(),a b 叫做函数()f x 的单调区间．例 判断函数42y x =-的单调性1. 已知函数f ( x )=x 2+ax +b ，且对任意的实数x 都有f (1+x )=f (1－x ) 成立。
函数的表示法及分段函数
02 分段函数的概念与性质
分段函数的定义与表示方法
分段函数的定义
分段函数是一种在自变量的不同取值 范围内，对应不同的函数表达式的函 数。
分段函数的表示方法
通常使用大括号将各段的函数表达式 括起来，并在每一段前面标明自变量 的取值范围。
分段函数的性质
分段连续性
01
分段函数在其定义域内的每一段上都是连续的，但在某些点处
分段函数的单调性
01
分段函数的单调性需要分别考虑其各段的单调性。
02
如果分段函数在某一段内单调增加（或减少），则该函数在 该段内为增函数（或减函数）。
03
如果分段函数在其整个定义域内都是单调的，则该函数为全 局单调函数。
分段函数的奇偶性
分段函数的奇偶性需要分 别考虑其各段的奇偶性。
如果分段函数在其定义域 内关于y轴对称，则该函 数为偶函数。
税收制度
税收制度中的累进税率就是一种 典型的分段函数。根据不同的收 入区间，税率会有所不同，从而 形成了一个分段函数。
需求与供给
在经济学中，需求和供给曲线可 以表示为分段函数。这些曲线描 述了在不同价格水平下，消费者 和生产者的行为变化。
分段函数在工程学中的应用
控制系统
在控制工程中，分段函数常被用来描述系统的非线性特性。 例如，饱和环节、死区环节等都可以通过分段函数来表示。
现实世界中的许多系统都具 有复杂性和非线性特点，如 生态系统、社会经济系统等 。未来，分段函数将在复杂 系统的建模和分析中发挥更 大作用，需要发展更为精细 和高效的方法。
函数表示法与计 算机科学的结合
随着计算机科学的不断进步 ，函数表示法将与计算机科 学更加紧密地结合，如自动 微分、符号计算等技术的发 展将为函数表示法提供新的 思路和方法。
初中分段函数
初中分段函数引言分段函数是初中数学中的一个重要概念，它在数学的实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍初中分段函数的概念、性质和应用，并通过例题的形式进行深入讨论，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
什么是分段函数？分段函数，顾名思义，是由若干个函数在不同的区间上组成的函数。
其中，每个函数只在特定的区间上有效。
分段函数的定义方式如下：f (x )={ f 1(x )(x ∈D 1)f 2(x )(x ∈D 2)…f n (x )(x ∈D n )其中，f 1(x ),f 2(x ),…,f n (x )是若干个已知的函数，D 1,D 2,…,D n 是这些函数在定义域上的不相交的区间。
分段函数的性质分段函数的性质主要包括函数值、定义域和图像等方面。
### 函数值的计算 对于给定的自变量x ，需要根据x 所在的区间选择相应的函数进行计算。
首先根据x 的值确定x 所在的区间，然后再根据该区间的函数计算相应的函数值。
定义域的确定分段函数的定义域由各个函数的定义域的并集组成，即D =⋃i=1n D i 。
要确定定义域，需要考虑各个函数的定义域的交集和补集。
图像的绘制求解分段函数的图像时，需要将各个函数的图像拼接起来。
对于不同区间上的函数，可以先将每个函数的图像单独绘制出来，再将它们拼接在一起。
在连续区间的交界处，需要注意函数值是否连续。
分段函数的例题例题1给定分段函数f (x )={2x −1(x >1)x 2−3x(−1≤x ≤1)4−x(x <−1) 求以下函数值：1. f (2)2. f (−1)3. f (−2)解： 1. 根据x >1的条件，f (2)=2⋅2−1=3。
2. 根据−1≤x ≤1的条件，f (−1)=(−1)2−3⋅(−1)=4。
3. 根据x <−1的条件，f (−2)=4−(−2)=6。
例题2给定分段函数f (x )={x +2(x >−1)x 2(−3≤x ≤−1)3−x(x <−3)求以下定义域：1. f (x )的定义域2. f (x +1)的定义域解： 1. 根据x >−1的条件，f (x )的定义域是(−∞,−1)∪(−1,+∞)。
分段函数知识点
分段函数知识点分段函数，也称为分段定义函数，是指由多个不同定义域上的函数组成的一个整体。
在一个给定的定义域上，该函数按照不同的规则进行定义，因此其函数图像通常由多个不连续的线段或曲线段组成。
一、分段函数的定义分段函数可以通过以下形式进行定义：f(x) = { f1(x), x∈D1f2(x), x∈D2...fn(x), x∈Dn其中，f1(x), f2(x), ..., fn(x) 分别表示在不同的定义域 D1, D2, ..., Dn 上的函数，每个定义域 Dn 为函数 f(x) 的某个区间。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常由多段曲线或线段组成。
每一段的形状和位置由该段定义的函数决定。
在各个定义域的交界处，函数的图像通常出现不连续的情况，也可能存在间断点。
三、分段函数的性质1. 定义域：分段函数的定义域为各个函数定义域的并集，即 D = D1 ∪ D2 ∪ ... ∪ Dn。
2. 奇偶性：分段函数的奇偶性由各个函数分别决定，具体取决于各个函数的奇偶性质。
3. 连续性：分段函数在各个定义域的内部是连续的，但在定义域之间的交界处可能是不连续的，具体取决于函数定义的方式。
4. 极值：分段函数的极值可能出现在每个定义域的端点，以及在各个定义域之间的交界点处。
5. 最值：分段函数在定义域上的最值由各个函数的最值决定，需要分别找到各个函数的最大值和最小值进行比较。
四、常见的分段函数1. 绝对值函数：f(x) = |x| = { x, x≥0-x, x<02. 阶梯函数：f(x) = ⌊x⌋，表示小于等于 x 的最大整数。
3. 取整函数：f(x) = [x]，表示不大于 x 的最大整数。
4. 符号函数：f(x) = { -1, x<00, x=01, x>0五、分段函数的应用分段函数在数学和实际应用中有广泛的应用，如经济学中的需求函数、供给函数；物理学中的速度、加速度函数；计算机科学中的条件运算等。
分段函数的知识点总结
分段函数的知识点总结一、分段函数的定义1.1 分段函数的基本形式分段函数的基本形式可以表示为：\[ f(x)=\begin{cases}f_{1}(x), & x\in D_{1}\\f_{2}(x), & x\in D_{2}\\… \\f_{n}(x), & x\in D_{n}\\\end{cases} \]其中，\( D_{1}, D_{2},..., D_{n} \)表示函数的定义域的不相交区间，\( f_{1}(x), f_{2}(x),...,f_{n}(x) \)分别表示在不同区间内的函数表达式。
1.2 分段函数的定义域和值域分段函数的定义域由各个子函数的定义域合并而成，而值域则由各个子函数的值域的并集组成。
1.3 分段函数的解析性质对于分段函数，通常要考虑其在各个定义域内的解析表达式。
在定义分段函数时，要考虑到各个分段的连续性、一致性等性质，以确保分段函数在各个区间内的函数表达式具有良好的连续性和可导性。
1.4 分段函数的特殊形式分段函数的特殊形式包括绝对值函数、符号函数、取整函数、阶梯函数等。
这些特殊形式的分段函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在信号处理、控制系统等领域中均有重要的作用。
二、分段函数的性质2.1 分段函数的奇偶性对于分段函数，其奇偶性通常由各个子函数的奇偶性来确定。
如果各个子函数均为偶函数，则分段函数也为偶函数；若各个子函数均为奇函数，则分段函数也为奇函数；若各个子函数均为非奇非偶函数，则分段函数既不是奇函数也不是偶函数。
2.2 分段函数的周期性对于分段函数，其周期性通常由各个子函数的周期性来确定。
如果各个子函数均具有相同的周期，则分段函数也具有这一周期；若各个子函数的周期不同，则分段函数通常不具有周期性。
2.3 分段函数的单调性对于分段函数，其单调性通常由各个子函数的单调性来确定。
如果各个子函数均为单调递增或单调递减函数，则分段函数也为单调递增或单调递减函数；若各个子函数既不是单调递增也不是单调递减函数，则分段函数通常不具有单调性。
高中高一分段函数知识点
高中高一分段函数知识点分段函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、经济学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、图像以及实际应用等方面介绍高中高一阶段分段函数的知识点。
一、定义分段函数是由两个或多个函数段组成的函数，不同的自变量区间对应着不同的函数段。
通常，每个函数段的定义域和值域可以是不相交的。
二、性质1. 定义域和值域的确定：分段函数的定义域由各个函数段的定义域交集确定，而值域则根据各个函数段的值域并集确定。
2. 连续性：分段函数在函数段之间可能存在不连续点，即转折点或者分界点。
在这些点上，左右侧的函数值可以不相等。
3. 奇偶性：当分段函数的各个函数段都具有相同的奇偶性时，整个函数可以被归类为奇函数或偶函数。
4. 单调性：分段函数在每个函数段上可能具有不同的单调性，需要分别进行讨论。
5. 极值点：分段函数的极值点可以出现在函数段的内部转折点或者边界点上，需要分别计算。
三、图像绘制分段函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的定义域、值域以及函数段之间的关系。
例如，考虑分段函数f(x) = \begin{cases} x^2, & x\geq 0\\ -x^2, & x<0 \end{cases}首先我们可以绘制函数y=x^2和y=-x^2的图像，然后根据x的正负值来确定在哪个函数段上取值。
四、实际应用分段函数在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的实际应用场景：1. 电费计算：电费的计算往往是分段线性函数，不同的用电量对应着不同的电费标准。
2. 温度调节：空调的温度调节可以看作是一个分段函数，不同的温度区间对应着不同的制冷或者制热模式。
3. 运输成本：货物的运输成本往往是根据距离分段计算的，不同的距离区间对应着不同的运费标准。
4. 奖励机制：某些奖励机制可以设计为分段函数形式，根据不同的目标达成程度给予不同的奖励。
5. 税收计算：个人所得税或者企业利润税往往是分段函数，不同的收入水平对应着不同的税率。
八年级上册分段函数知识点
八年级上册分段函数知识点分段函数是高中数学中比较重要的一部分，而在八年级上册课程中，也会涉及一些基础的分段函数知识点。
下面我们就来一起看看，八年级上册分段函数的相关知识点。
1. 分段函数的定义分段函数是指一个函数，它根据自变量的范围可以被分成多个部分。
每个部分都可以用一个函数式来表示，因此整个函数也可以用若干个函数式表示。
其中，每个函数式称为一个分段函数的部分。
2. 分段函数的图像分段函数的图像常常是由多个线段构成的折线。
每个线段的斜率和截距分别与该线段所对应的函数式有关。
3. 分段函数的性质分段函数的定义域和值域都是由该函数的各部分共同决定的。
在不同的自变量范围内，这些部分以不同的方式组合起来，因此函数的图像也相应地发生变化。
此外，由于每个部分都是连续的函数，因此分段函数的图像也是连续的。
这就意味着，在一段区间内，任何一个点的邻域内都存在函数值。
然而，这并不意味着分段函数是可导的。
因为在分段的交界处，函数的导数可能会发生突变。
4. 求解分段函数求解分段函数最基本的方法就是将自变量代入相应的函数式中，并计算出函数值。
通常情况下，我们需要在不同区间内使用不同的函数式进行计算。
这样，我们就可以得到整个函数的值。
需要注意的是，当自变量处于多个区间的交界处时，我们需要对交界点的函数值进行比较。
具体来说，如果交界点处的函数值相等，那么该点就是分段函数的连续点；反之则是分段函数的不连续点。
5. 常见的分段函数在八年级上册的课程中，我们会遇到一些比较简单的分段函数。
比如：y = { x - 1 (x ≤ 2){ -x + 3 (x > 2)这是一个关于自变量 x 的分段函数。
当x ≤ 2 时，函数的部分为 y = x - 1；当 x > 2 时，函数的部分为 y = -x + 3。
在 x = 2 时，两部分的函数值相等，因此该点是分段函数的连续点。
6. 总结通过以上的介绍，我们可以看出，八年级上册的分段函数知识点是比较简单的。
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分段函数及函数的性质
分段函数
概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．
定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集
函数值 求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后
再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．
注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过
这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解
析式来表示．
分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．
例1 设函数()221,
0,,0.x x y f x x x -⎧⎪==⎨>⎪⎩„
（１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像．
1.设函数 ()221,
20,1,0 3.x x y f x x x +-<⎧⎪==⎨-<<⎪⎩„
（1）求函数的定义域； （2）求()()()2,0,1f f f -的值． （3）作出函数图像．
2．设函数()41,
20,1,0 3.x x f x x --<⎧=⎨-<<⎩„
（1）求函数的定义域； （2）求()2(0)(1)f f f -，，； （3）作出函数图像．
3 .()⎩⎨⎧>-≤+=,
0,2,0,12x x x x x f 若()2f f ⎡⎤⎣⎦= . 4.已知⎩
⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5
函数的性质 1 单调性
概念 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．
1 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <成立．这时把函数
()f x
叫做区间(),a b 内的增函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的增区间．
2 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >成立．这时函数()f x 叫做区间(),a b 内的减函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的减区间．
3 如果函数()f x 在区间(),a b 内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x 在区间(),a b 内具有单调性，区间(),a b 叫做函数()f x 的单调区间．
例 判断函数42y x =-的单调性
1. 已知函数f ( x )=x 2+ax +b ，且对任意的实数x 都有f (1+x )=f (1－x ) 成立。
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数。
2．如果函数()x f =x 2+2(a -1)x+2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 值范围是（ ）。
A ．a ≥－3 B. a ≤－3 C. a ≤5 D. a ≥3
3.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（ ）
A 3-≤a
B 3-≥a
C 5≤a
D 5≥a
4. 若()x f =－x 2+2a x 与g ()x =1+
x a 在区间 [1，2]上是减函数，则a 的取值范围是__________
5.函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为_______________________
6函数2(62)12x x y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭
的单调增区间是________
2 奇偶性 设函数()y f x =的定义域为数集D ，对任意的x D ∈，都有x D -∈（即定义域
关于坐标原点对称），且
（1）()()f x f x -=⇔函数()y f x =的图像关于y 轴对称，此时称函数()y f x =为偶函数；
（2）()()f x f x -=- ⇔函数()y f x =的图像关于坐标原点对称，此时称函数称函数()y f x =为奇函数．
如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性．不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数．
判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是：
（1）求出函数的定义域；
（2）判断对任意的x D ∈是否都有x D -∈．若存在某个0x D ∈但x D -∉，则函
数肯定是非奇非偶函数；
（3）分别计算出()f x 与()f x -．若()()f x f x =-，则函数为偶函数；若()()f x f x =--，则函数为奇函数；若()()f x f x ≠-且()()f x f x ≠--，则函数为非奇非偶函数．
例 判断下列函数的奇偶性：
（1）()3f x x =； （2）()221f x x =+；
（3）()f x =； （4）()1f x x =-．
1 .判断下列函数的奇偶性：
（1）()f x x =； （2）()2
1f x x =； （3）()31f x x =-+； （4）()232f x x =-+
1、)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）
A 、1
B 、2
C 、 3
D 、 4
1.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________.
2．已知()x f 是偶函数，且()54=f ，那么()()44-+f f 的值为（ ）。
（A ） 5 (B) 10 (C ) 8 (D) 不确定 3 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
4 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .
5. 已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0<x 时， )(x f 的解析式为… （ ）
A. 32)(2-+-=x x x f
B. 32)(2---=x x x f
C. 32)(2+-=x x x f
D. 32)(2+--=x x x f
6.如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7-- 上是（ ）
A 、增函数且最小值是5-
B 、增函数且最大值是5-
C 、减函数且最大值是5-
D 、减函数且最小值是5-
3.周期性
(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝________，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期. 1若函数)(x f 是周期为4的函数，且(2)5,(2)f f =-=则 2 .已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)
等于
( ) A.－2 B.2 C.－98 D.98 3已知f (x )在R 上是偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，当),0(∞+∈x 时，f (x )＝2x 2，则f (-7) ＝_______。