弹性力学 (31)材料力学
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（1824～1887）
1. 发展简史
⚫ 1930年，伽辽金（Гадёркин，Galerkin）发展 了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。
⚫ 另一个重要理论成果是建立各种能量原理, 提出一 系列基于能量原理的近似计算方法, 像拉格朗日 (J.L. Lagrange)、乐甫(A.E.H. Love)、铁木辛柯 (S.P. Timoshenko)都做出了贡献。
的固体力学分支学科。
柯西（A.L.Cauchy）
(1789～1857)
1. 发展简史
⚫ 而后，世界各国学者相继进入 弹性力学研究领域，使弹性力 学进入发展阶段。
⚫ 1856年，法国力学家圣维南 建立了柱体扭转和弯曲的基本 理论，并提出了圣维南原理。
圣维南 （A.J.Saint-Venant）
（1797-1886）
⚫ 中国科学家钱伟长、钱学森、徐芝伦、胡海昌等在 弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了 重要贡献。
2. 任务
⚫ 弹性力学作为固体力学的一个分支，是研究 弹性体受外力作用或温度、支座沉陷等原因而 产生的应力、应变和位移的一门学科 。
2. 任务
⚫ 如图1.1所示的弹簧，受到拉力的作用将产 生伸长位移，可以知道弹簧在受力状态下的 力和位移的关系：
图1.9 汽车碰撞过程
2. 任务
图1.10 航空航天领域
2. 任务
⚫ 建立弹性状态下，任意形状的弹性体在外在因素作用 下类似于(1.1)式的应力、应变和位移的方程 ：
( ) ij = f ij , ui
(1.2)
式中 ij为弹性体内的应力； ij为弹性体内的应变；ui 为
弹性体在外力作用下产生的位移。
3. 与结构力学、材料力学异同
⚫ 研究范围: 弹性力学只研究弹性体或物体的弹性范围； 材料力学还涉及到物体的塑性阶段，包括蠕变、疲劳等。
⚫ 研究方法: 弹性力学只作一些最基本的假设，对物体的受力和变形 进行精确的分析； 除了弹性力学的基本假设外，材料力学从实用的角度出 发，对应力和变形的状态还要作一些假设(如平截面假设)， 得到的结果只能是初等的、近似的，且限于一定条件下 使用。
简记为：
ij = kk ij + 2 ij
⚫ 二个方面(边界条件)
(1) 应力边界条件(在应力边界上)
Xv Yv
= xl = xyl
+ +
yx m + zxn ym + zyn
Z
v
= xzl
+ yz m + z n
简记为： jinj = Xvi
(2) 位移边界条件(在位移边界上)
2. 任务
2. 任务
2. 任务
图1.4 公路隧道施工过程
2. 任务
图1.5 建筑工程
2. 任务
图1.6 水利水电工程
2. 任务
交通洞 出线洞
尾调洞
主变洞
主副厂 房洞
尾水 主洞
母线洞
图 1.7
水利 水电 工程
2. 任务
图1.8 船舶机械工程
2. 任务
有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
弹性力学方程： 15个未知量，求解15个方程 ⚫ 三个环节（15个方程）
(1)平衡微分方程(应力与体力的平衡) → 3个
x x
+
yx y
+
zx z
+
X
=0
xy
x
+
y y
+
zy z
+Y
=
0
xz
x
+
yz y
+ z z
+Z
=0
简记为：
ji, j + Xi = 0
(2)几何方程(位移与应变关系) → 6个
4. 基本假设
实际材料复杂多变，在弹性力学分析前，须忽略次要因素， 对客观事物加以抽象，提出一些基本假设:
⚫ 连续性假设: 将弹性体假定为连续密实的物体, 而忽略组成 物体质点间的空隙以及材料在制造中产生的微缺陷；
⚫ 线弹性假设: 对应于一定的温度、应力与应变线性的一一 对应关系；
⚫ 小变形假设: 假设物体在外界因素作用下产生的位移远小 于物体原来的尺寸。
x
=
u x
,
xy
=
v x
+
u y
y
=
v y
,
xz
=
u z
+
w x
z
=
w z
,
yz
=
w + y
v z
简记为：
( ) ij
=
1 2
ui, j + u j ,i
(3)物理方程(应力与应变关系) → 6个
x y
= =
+ 2 x , yz + 2 y , xz
= =
yz xz
z = + 2 z , xy = xy
1. 发Baidu Nhomakorabea简史
⚫ 德国物理学家科西霍夫曾在海 登堡大学和柏林大学任物理学 教授，他发现了电学中的“科 西霍夫定理”，同时也对弹性 力学，特别是薄板理论的研究 作出重要贡献。
⚫ 科西霍夫建立了平板理论。
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科西霍夫 (G.R.Kirchoff)
实验方法探索物体的受力与变形
之间的关系。
胡克（R. Hooke）
(1635－1703)
1. 发展简史
⚫ 近代弹性力学的研究是从19世纪 开始的。
⚫ 1828年法国数学、力学家柯西 提出应力、应变概念，建立了平 衡微分方程，几何方程和广义胡 克定律。
⚫ 柯西的工作是近代弹性力学的起
点，使得弹性力学成为一门独立
3. 与结构力学、材料力学异同
与材料力学和结构力学间既有联系又有区别:
⚫ 基本任务: 都是分析力与位移之间的关系，进行强度、刚度和稳定 性分析，解决安全与经济的矛盾。
⚫ 研究对象: 材料力学研究杆状构件，如杆和梁； 结构力学则分析杆状构件的组合结构； 弹性力学的研究对象更为广泛，除了杆状构件，还有板、 壳、水坝、地下半空间体等实体构件。
( ) ij = f ij , ui
(1.2)
⚫ 精确解法：用应力函数法（直角坐标、极坐标下平面问题， 间接解）、位移和应力解法（等截面直杆扭转，直接解） 的基本方程（微分方程）
⚫ 近似解法：借助变分原理，用全域插值法（瑞利－李兹法、 伽辽金法）、单元分片插值法（有限元数值法)近似求解 弹性力学的基本方程（积分方程）
※上述三条假设是线性弹性理论的基本假设，缺一不可，在 这些假设的基础上导出的微分方程都是线性的。
4. 基本假设
⚫ 无初应力假设: 假设物体在外界因素作用之前，物体处于 无应力状态。如物体内有初应力的存在，只需与弹性力学 求得的应力相加；
⚫ 均匀性假设: 弹性体由同一类型的均匀材料组成。据此， 可以从物体内部取出任一部分进行分析，再将分析结果运 用到整个物体中去；
弹性力学 Elastic Mechanics
第一章 绪 论
本章课程内容
1. 发展简史 2. 任务 3. 与结构力学、材料力学异同 4. 基本假设 5. 主要内容
1. 发展简史
弹性力学是一门有悠久历史的学 科，早期研究可以追溯到1678 年，胡克（Robert Hooke）发 现了胡克定律。
这一时期的研究工作主要是通过
F = k x
(1.1)
k
x
⚫ 这只是一个最简单的弹性力学问题。
F
图1.1 弹簧受拉
2. 任务
⚫ 实际生活或工程中碰到的弹性体一般是二维或三维问题。 如图1.2的水坝，在水压和重力作用下，坝体内产生的 应力、变形就不象(1.1)式那么简单地表达出来了。
P
图1.2 水坝
图1.3 无限大圆孔板
2. 任务
⚫ 各向同性假设: 假定物体在不同方向上具有相同的物理性 质，从而使应力与应变关系不随坐标方向的改变而改变。
数学弹性力学：根据上述假设来研究物体中的应力、应变 和位移的弹性力学； 应用弹性力学：除上述假设之外，还引进补充假设的弹性 力学，如板壳理论等。
5. 主要内容
⚫ 弹性力学基本方程(1.2)式的建立过程:
u =u
v
=
v
w = w
简记为： ui = ui
1. 发展简史
⚫ 1930年，伽辽金（Гадёркин，Galerkin）发展 了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。
⚫ 另一个重要理论成果是建立各种能量原理, 提出一 系列基于能量原理的近似计算方法, 像拉格朗日 (J.L. Lagrange)、乐甫(A.E.H. Love)、铁木辛柯 (S.P. Timoshenko)都做出了贡献。
的固体力学分支学科。
柯西（A.L.Cauchy）
(1789～1857)
1. 发展简史
⚫ 而后，世界各国学者相继进入 弹性力学研究领域，使弹性力 学进入发展阶段。
⚫ 1856年，法国力学家圣维南 建立了柱体扭转和弯曲的基本 理论，并提出了圣维南原理。
圣维南 （A.J.Saint-Venant）
（1797-1886）
⚫ 中国科学家钱伟长、钱学森、徐芝伦、胡海昌等在 弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了 重要贡献。
2. 任务
⚫ 弹性力学作为固体力学的一个分支，是研究 弹性体受外力作用或温度、支座沉陷等原因而 产生的应力、应变和位移的一门学科 。
2. 任务
⚫ 如图1.1所示的弹簧，受到拉力的作用将产 生伸长位移，可以知道弹簧在受力状态下的 力和位移的关系：
图1.9 汽车碰撞过程
2. 任务
图1.10 航空航天领域
2. 任务
⚫ 建立弹性状态下，任意形状的弹性体在外在因素作用 下类似于(1.1)式的应力、应变和位移的方程 ：
( ) ij = f ij , ui
(1.2)
式中 ij为弹性体内的应力； ij为弹性体内的应变；ui 为
弹性体在外力作用下产生的位移。
3. 与结构力学、材料力学异同
⚫ 研究范围: 弹性力学只研究弹性体或物体的弹性范围； 材料力学还涉及到物体的塑性阶段，包括蠕变、疲劳等。
⚫ 研究方法: 弹性力学只作一些最基本的假设，对物体的受力和变形 进行精确的分析； 除了弹性力学的基本假设外，材料力学从实用的角度出 发，对应力和变形的状态还要作一些假设(如平截面假设)， 得到的结果只能是初等的、近似的，且限于一定条件下 使用。
简记为：
ij = kk ij + 2 ij
⚫ 二个方面(边界条件)
(1) 应力边界条件(在应力边界上)
Xv Yv
= xl = xyl
+ +
yx m + zxn ym + zyn
Z
v
= xzl
+ yz m + z n
简记为： jinj = Xvi
(2) 位移边界条件(在位移边界上)
2. 任务
2. 任务
2. 任务
图1.4 公路隧道施工过程
2. 任务
图1.5 建筑工程
2. 任务
图1.6 水利水电工程
2. 任务
交通洞 出线洞
尾调洞
主变洞
主副厂 房洞
尾水 主洞
母线洞
图 1.7
水利 水电 工程
2. 任务
图1.8 船舶机械工程
2. 任务
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弹性力学方程： 15个未知量，求解15个方程 ⚫ 三个环节（15个方程）
(1)平衡微分方程(应力与体力的平衡) → 3个
x x
+
yx y
+
zx z
+
X
=0
xy
x
+
y y
+
zy z
+Y
=
0
xz
x
+
yz y
+ z z
+Z
=0
简记为：
ji, j + Xi = 0
(2)几何方程(位移与应变关系) → 6个
4. 基本假设
实际材料复杂多变，在弹性力学分析前，须忽略次要因素， 对客观事物加以抽象，提出一些基本假设:
⚫ 连续性假设: 将弹性体假定为连续密实的物体, 而忽略组成 物体质点间的空隙以及材料在制造中产生的微缺陷；
⚫ 线弹性假设: 对应于一定的温度、应力与应变线性的一一 对应关系；
⚫ 小变形假设: 假设物体在外界因素作用下产生的位移远小 于物体原来的尺寸。
x
=
u x
,
xy
=
v x
+
u y
y
=
v y
,
xz
=
u z
+
w x
z
=
w z
,
yz
=
w + y
v z
简记为：
( ) ij
=
1 2
ui, j + u j ,i
(3)物理方程(应力与应变关系) → 6个
x y
= =
+ 2 x , yz + 2 y , xz
= =
yz xz
z = + 2 z , xy = xy
1. 发Baidu Nhomakorabea简史
⚫ 德国物理学家科西霍夫曾在海 登堡大学和柏林大学任物理学 教授，他发现了电学中的“科 西霍夫定理”，同时也对弹性 力学，特别是薄板理论的研究 作出重要贡献。
⚫ 科西霍夫建立了平板理论。
有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
科西霍夫 (G.R.Kirchoff)
实验方法探索物体的受力与变形
之间的关系。
胡克（R. Hooke）
(1635－1703)
1. 发展简史
⚫ 近代弹性力学的研究是从19世纪 开始的。
⚫ 1828年法国数学、力学家柯西 提出应力、应变概念，建立了平 衡微分方程，几何方程和广义胡 克定律。
⚫ 柯西的工作是近代弹性力学的起
点，使得弹性力学成为一门独立
3. 与结构力学、材料力学异同
与材料力学和结构力学间既有联系又有区别:
⚫ 基本任务: 都是分析力与位移之间的关系，进行强度、刚度和稳定 性分析，解决安全与经济的矛盾。
⚫ 研究对象: 材料力学研究杆状构件，如杆和梁； 结构力学则分析杆状构件的组合结构； 弹性力学的研究对象更为广泛，除了杆状构件，还有板、 壳、水坝、地下半空间体等实体构件。
( ) ij = f ij , ui
(1.2)
⚫ 精确解法：用应力函数法（直角坐标、极坐标下平面问题， 间接解）、位移和应力解法（等截面直杆扭转，直接解） 的基本方程（微分方程）
⚫ 近似解法：借助变分原理，用全域插值法（瑞利－李兹法、 伽辽金法）、单元分片插值法（有限元数值法)近似求解 弹性力学的基本方程（积分方程）
※上述三条假设是线性弹性理论的基本假设，缺一不可，在 这些假设的基础上导出的微分方程都是线性的。
4. 基本假设
⚫ 无初应力假设: 假设物体在外界因素作用之前，物体处于 无应力状态。如物体内有初应力的存在，只需与弹性力学 求得的应力相加；
⚫ 均匀性假设: 弹性体由同一类型的均匀材料组成。据此， 可以从物体内部取出任一部分进行分析，再将分析结果运 用到整个物体中去；
弹性力学 Elastic Mechanics
第一章 绪 论
本章课程内容
1. 发展简史 2. 任务 3. 与结构力学、材料力学异同 4. 基本假设 5. 主要内容
1. 发展简史
弹性力学是一门有悠久历史的学 科，早期研究可以追溯到1678 年，胡克（Robert Hooke）发 现了胡克定律。
这一时期的研究工作主要是通过
F = k x
(1.1)
k
x
⚫ 这只是一个最简单的弹性力学问题。
F
图1.1 弹簧受拉
2. 任务
⚫ 实际生活或工程中碰到的弹性体一般是二维或三维问题。 如图1.2的水坝，在水压和重力作用下，坝体内产生的 应力、变形就不象(1.1)式那么简单地表达出来了。
P
图1.2 水坝
图1.3 无限大圆孔板
2. 任务
⚫ 各向同性假设: 假定物体在不同方向上具有相同的物理性 质，从而使应力与应变关系不随坐标方向的改变而改变。
数学弹性力学：根据上述假设来研究物体中的应力、应变 和位移的弹性力学； 应用弹性力学：除上述假设之外，还引进补充假设的弹性 力学，如板壳理论等。
5. 主要内容
⚫ 弹性力学基本方程(1.2)式的建立过程:
u =u
v
=
v
w = w
简记为： ui = ui