初二数学下册正方形(提高)知识讲解

正方形（提高）

责编：杜少波

【学习目标】

1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．

【要点梳理】

要点一、正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

要点二、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角——四个角都是直角；

3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.

要点三、正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.

要点四、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为：

【典型例题】

类型一、正方形的性质

1、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且

DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．

求证：AM⊥DF．

【思路点拨】根据DE ＝CF ，可得出OE ＝OF ，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论．

【答案与解析】

证明：∵ABCD 是正方形，

∴OD＝OC ，

又∵DE＝CF ，

∴OD－DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，

在Rt △AOE 和Rt △DOF 中，

AO DO AOD DOF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△AOE≌△DOF，

∴∠OAE＝∠ODF，

∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，

∴∠ODF＋∠DEM＝90°，

即可得AM⊥DF．

【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题．

举一反三：

【变式1】如图四边形ABCD 是正方形，点E 、K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，

且CE ＝BK ＝AG ．以线段DE 、DG 为边作DEFG ．

(1)求证：DE ＝DG ，且DE ⊥DG ．

(2)连接KF ，猜想四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

【答案】

证明：(1)∵ 四边形ABCD 是正方形，

∴ DC ＝DA ，∠DCE ＝∠DAG ＝90°．

又∵ CE ＝AG ，

∴ △DCE ≌△DAG ，

∴ ∠EDC ＝∠GDA ，DE ＝DG ．

又∵ ∠ADE ＋∠EDC ＝90°，

∴∠ADE＋∠GDA＝90°，

∴ DE⊥DG．

(2)四边形CEFK为平行四边形．

证明：设CK，DE相交于M点，

∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，

∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；

∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．

∴四边形CKGD为平行四边形．

∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF

∴四边形CEFK为平行四边形．

【高清课堂 417083 正方形例9】

【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．

【答案】2；

提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.

类型二、正方形的判定

2、（2016•普宁市模拟）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、

G、H分別在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．

（1）已知DG=6，求AE的长；

（2）已知DG=2，求证：四边形EFGH为正方形．

【思路点拨】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；

（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到菱形的一组邻边相等，进而判定该菱形为正方形．

【答案与解析】

解：（1）∵AD=6，AH=2

∴DH=AD﹣AH=4

∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=∠D=90°

∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2

在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2

∵四边形EFGH是菱形

∴HG=HE

∴DH2+DG2=AH2+AE2

即42+62=22+AE2

∴AE==4

（2）∵AH=2，DG=2

∴AH=DG

∵四边形EFGH是菱形

∴HG=HE

在Rt△DHG和Rt△AEH中

∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL）

∴∠DHG=∠AEH

∵∠AEH+∠AHE=90°

∴∠DHG+∠AHE=90°

∴∠GHE=90°

∵四边形EFGH是菱形

∴四边形EFGH是正方形

【总结升华】本题主要考查了矩形、菱形的性质以及正方形的判定，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都线段，有一组邻边相等的菱形是正方形．在解题时注意，求直角三角形的边长时，一般都需要考虑运用勾股定理进行求解．

举一反三：