初二数学下册正方形(提高)知识讲解

正方形（提高）责编：杜少波【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：【典型例题】类型一、正方形的性质1、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．【思路点拨】根据DE ＝CF ，可得出OE ＝OF ，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论．【答案与解析】证明：∵ABCD 是正方形，∴OD＝OC ，又∵DE＝CF ，∴OD－DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，在Rt △AOE 和Rt △DOF 中，AO DO AOD DOF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF，∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF．【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题．举一反三：【变式1】如图四边形ABCD 是正方形，点E 、K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE ＝BK ＝AG ．以线段DE 、DG 为边作DEFG ．(1)求证：DE ＝DG ，且DE ⊥DG ．(2)连接KF ，猜想四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】证明：(1)∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ DC ＝DA ，∠DCE ＝∠DAG ＝90°．又∵ CE ＝AG ，∴ △DCE ≌△DAG ，∴ ∠EDC ＝∠GDA ，DE ＝DG ．又∵ ∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴ DE⊥DG．(2)四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK，DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．∴四边形CKGD为平行四边形．∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四边形CEFK为平行四边形．【高清课堂 417083 正方形例9】【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．【答案】2；提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.类型二、正方形的判定2、（2016•普宁市模拟）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分別在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．（1）已知DG=6，求AE的长；（2）已知DG=2，求证：四边形EFGH为正方形．【思路点拨】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到菱形的一组邻边相等，进而判定该菱形为正方形．【答案与解析】解：（1）∵AD=6，AH=2∴DH=AD﹣AH=4∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE==4（2）∵AH=2，DG=2∴AH=DG∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE在Rt△DHG和Rt△AEH中∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL）∴∠DHG=∠AEH∵∠AEH+∠AHE=90°∴∠DHG+∠AHE=90°∴∠GHE=90°∵四边形EFGH是菱形∴四边形EFGH是正方形【总结升华】本题主要考查了矩形、菱形的性质以及正方形的判定，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都线段，有一组邻边相等的菱形是正方形．在解题时注意，求直角三角形的边长时，一般都需要考虑运用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】（2015春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．类型三、正方形综合应用3、E 、F 分别是正方形ABCD 的边AD 和CD 上的点，若∠EBF ＝45°．(1)求证：AE ＋CF ＝EF ．(2)若E 点、F 点分别是边DA 、CD 的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．【答案与解析】证明：（1）延长DC ，使CH ＝AE ，连接BH ，∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠A ＝∠BCH ＝90°，又AB ＝BC ，CH ＝AE ，∴ Rt △BAE ≌Rt △BCH ，∴ ∠1＝∠2，BE ＝BH ．又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，在△EBF 和△HBF 中，,,,BE BH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝FC ＋CH ＝AE ＋CF ．即AE ＋CF ＝EF ．(2)如图所示：不成立，正确结论：EF ＝CF －AE ．证明：在CF 上截取CH ＝AE ，连接BH ．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ 在Rt △EAB 和Rt △HCB 中，90AE CH EAB HCB AB BC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,°,,∴ Rt △EAB ≌Rt △HCB ，∴ BE ＝BH ，∠EBA ＝∠HBC ．∵ ∠HBC ＋∠ABH ＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH ＝90°．又∵ ∠EBF ＝45°，∴ ∠HBF ＝45°，即∠EBF ＝∠HBF ．在△EBF 和△HBF 中,,,BE BH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝CF －CH ＝CF －AE ，即EF ＝CF －AE ．【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.4、如图①所示，已知A 、B 为直线l 上两点，点C 为直线l 上方一动点，连接AC 、BC ，分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作正方形CADF 和正方形CBEG ，过点D 作1DD ⊥l 于点1D ，过点E 作1EE ⊥l 于点1E ．（1）如图②，当点E 恰好在直线l 上时（此时1E 与E 重合），试说明1DD ＝AB ；（2）在图①中，当D 、E 两点都在直线l 的上方时，试探求三条线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E 在直线l 的下方时，请直接写出三条线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系．（不需要证明）【答案与解析】（1）证明：∵四边形CADF 、CBEG 是正方形，∴AD＝CA ，∠DAC＝∠ABC＝90°，∴∠1DAD ＋∠CAB＝90°，∵1DD ⊥AB，∴∠DD 1A ＝∠ABC＝90°，∴∠1DAD ＋∠1ADD ＝90°，∴∠1ADD ＝∠CAB，在△1ADD 和△CAB 中，11DD A ABC ADD CAB AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△1ADD ≌△CAB（AAS ），∴1DD ＝AB ；（2）解：AB ＝1DD ＋1EE ．证明：过点C 作CH⊥AB 于H ，∵1DD ⊥AB，∴∠1DD A ＝∠CHA＝90°，∴∠1DAD ＋∠1ADD ＝90°，∵四边形CADF 是正方形，∴AD＝CA ，∠DAC＝90°，∴∠1DAD ＋∠CAH＝90°，∴∠1ADD ＝∠CAH，在△1ADD 和△CAH 中，11DD A CHAADD CAH AD CA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△1ADD ≌△CAH（AAS ），∴1DD ＝AH ；同理：1EE ＝BH ，∴AB＝AH ＋BH ＝1DD ＋1EE ；（3）解：AB ＝1DD －1EE ．证明：过点C 作CH⊥AB 于H ，∵1DD ⊥AB，∴∠1DD A ＝∠CHA＝90°，∴∠1DAD ＋∠1ADD ＝90°，∵四边形CADF 是正方形，∴AD＝CA ，∠DAC＝90°，∴∠1DAD ＋∠CAH＝90°，∴∠1ADD ＝∠CAH，在△1ADD 和△CAH 中，11DD A CHA ADD CAH AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△1ADD ≌△CAH（AAS ），∴1DD ＝AH ；同理：1EE ＝BH ，∴AB＝AH －BH ＝1DD －1EE ．【总结升华】此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．举一反三：【变式】在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图①，易证EG ＝CG ，且EG ⊥CG ．(1)将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图②，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．(2)将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图③，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：(1)EG ＝CG ，且EG ⊥CG ．(2)EG ＝CG ，且EG ⊥CG ．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴ MG＝12FD＝FG．∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．又FG＝DG，∠CMG＝12∠EMD＝45°，∴∠F＝∠GMC，∴△GFE≌△GMC，∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵ MG⊥DF，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴ EG⊥CG．。