导数与微分——数学分析

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考研数学数学分析重要定理总结

考研数学数学分析重要定理总结一、导数与微分导数和微分是数学分析中非常重要的概念，在求解函数的极限、切线方程、最值等方面具有广泛的应用。

以下是一些常见的导数和微分的重要定理：1. 函数可导与函数连续的关系：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处连续。

2. 可导函数的四则运算法则：若f(x)和g(x)在点x=a处可导，则(1) (f+g)(a) = f(a) + g(a)(2) (f-g)(a) = f(a) - g(a)(3) (f·g)(a) = f(a)·g(a)(4) (f/g)(a) = [f(a)/g(a)] (g(a)≠0)3. 反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上连续、可导，并且在某点x=a处导数不为零，则它的反函数x=g(y)在区间f(I)上也是连续、可导的，并且在对应点y=f(a)处的导数为1/f'(a)。

4. 高阶导数公式：若函数y=f(x)的导数f'(x)存在，则可以继续求导，得到f''(x)、f'''(x)等高阶导数。

5. 麦克劳林级数与泰勒级数：若函数f(x)在点x=a处的各阶导数存在，则f(x)可以展开成麦克劳林级数或泰勒级数：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2! f''(a)+...二、积分与定积分积分和定积分是数学分析中研究函数面积、曲线长度、物理量等的重要工具。

以下是一些常见的积分和定积分的重要定理：1. 积分的线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，则对于任意常数α、β，有(1) ∫[a,b] (αf(x)+βg(x))dx = α∫[a,b] f(x)dx + β∫[a,b] g(x)dx2. 牛顿-莱布尼兹公式：若函数F(x)是f(x)的一个原函数，则对于区间[a,b]上的积分，有∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)3. 积分换元法：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数g(t)在区间[α,β]上可导且g'(t)连续，并且f(g(t))·g'(t)连续，则有∫[a,b] f(g(t))g'(t)dt = ∫[α,β] f(x)dx4. 定积分的性质：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b] f(x)dx存在，并且具有以下性质：(1) ∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dx(2) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负，则∫[a,b] f(x)dx ≥ 0(3) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负且不恒为零，则∫[a,b] f(x)dx > 0三、级数与收敛性级数是数学分析中研究无穷和的重要概念，对于理解数列、函数等的性质和应用具有重要意义。

数学分析5.5微分(含习题详解)

第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。

定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。

若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。

因此导数也常称为微商。

二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。

考研数学分析重点知识点总结

考研数学分析重点知识点总结数学分析是考研数学中非常重要的一门学科，它涉及到微积分、级数、极限等概念。

对于考生来说，掌握数学分析的重点知识点是提高成绩的关键。

本文将从微积分、级数、极限三个方面总结考研数学分析的重点知识点。

一、微积分微积分是数学分析的基础，也是考研数学分析中的重点内容。

在微积分部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 导数与微分：掌握导数和微分的定义和性质，熟练运用导数的几何意义和微分的物理意义来解决相关问题。

2. 高阶导数与高阶微分：理解高阶导数和高阶微分的定义和概念，能够求解高阶导数和高阶微分的相关问题。

3. 隐函数与参数方程：了解隐函数和参数方程的定义及其求导法则，能够应用隐函数与参数方程求导解题。

4. 极值与最值：熟悉极值与最值的判定条件和求解方法，能够应用极值与最值的知识解决相关问题。

5. 泰勒展开：理解泰勒展开的概念和应用条件，能够应用泰勒展开解决近似计算和误差估计的问题。

二、级数级数也是考研数学分析中的重点考点，它包括数列、数列极限和级数等概念。

在级数部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 数列极限与函数极限的关系：了解数列极限与函数极限的关系，能够利用数列极限与函数极限之间的关系解决相关问题。

2. 收敛级数与发散级数：能够判断级数的收敛性和发散性，熟悉判别法和判定条件。

3. 常见级数的性质与求和：掌握常见级数的性质与求和公式，如等比级数、调和级数等。

4. 级数收敛的判别法：熟悉级数收敛的判别法，如比较判别法、积分判别法等，能够灵活运用判别法解决问题。

三、极限极限是数学分析中的基础概念，也是考研数学分析的重点内容。

在极限部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 数列极限的定义与性质：了解数列极限的定义和性质，熟悉极限的四则运算规则。

2. 函数极限的定义与求解：掌握函数极限的定义和求解方法，理解函数极限与数列极限之间的关系。

3. 极限存在性的判定：熟悉极限存在性的判定法则，如夹逼定理、单调有界原理等。

数学分析课后习题答案

数学分析课后习题答案数学分析课后习题答案数学分析是大学数学的重要分支之一，它研究的是数学函数的性质、极限、连续性、可导性等等。

在学习数学分析的过程中，课后习题是巩固和拓展知识的重要途径。

然而，有时候我们会遇到一些难题，不知道如何下手。

为了帮助大家更好地学习数学分析，本文将提供一些常见习题的答案和解析。

一、极限与连续性1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)。

解析：利用极限的性质，我们可以得到lim(x→0) (sinx/x) = 1。

这是因为当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。

2. 证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。

解析：要证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续，我们需要证明lim(x→3) f(x) = f(3)。

根据函数的定义，f(3) = 3^2 = 9。

而lim(x→3) f(x) = lim(x→3) x^2 = 3^2 = 9。

因此，函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。

二、导数与微分1. 求函数f(x) = x^3的导数。

解析：根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h。

对于函数f(x) = x^3，我们可以得到f'(x) = lim(h→0) ((x+h)^3 - x^3)/h。

化简后，我们得到f'(x) = 3x^2。

2. 求函数f(x) = sinx的微分。

解析：微分的定义是df(x) = f'(x)dx。

对于函数f(x) = sinx，我们已经知道它的导数f'(x) = cosx。

因此，函数f(x) = sinx的微分为df(x) = cosxdx。

三、积分与级数1. 求函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。

解析：根据定积分的定义，函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为∫[0,1] x^2 dx。

计算这个积分，我们得到∫[0,1] x^2 dx = [x^3/3]0^1 = 1/3。

数学分析知识点总结

数学分析知识点总结数学分析是数学的重要分支，它研究的是实数集上的函数和序列的性质。

在学习数学分析的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和方法。

本文将对数学分析的一些重要知识点进行总结，并提供一些相关的例子和应用。

一、极限和连续1. 极限的定义和性质在数学分析中，极限是一个基本的概念。

对于一个函数或序列，当自变量趋于某个值时，函数或序列的取值也趋于某个值，我们就称这个值为函数或序列的极限。

极限具有唯一性和保序性等基本性质。

2. 连续函数的定义和性质在实数集上，连续函数是一类非常重要的函数。

连续函数的定义是指函数在定义域内的任意点都满足极限存在，并且函数值与极限值相等。

连续函数具有保号性、介值性和零点定理等重要性质。

二、导数和微分1. 导数的定义和性质导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数图像在该点的切线斜率。

导数的定义是函数在该点的极限，导数具有线性性、乘积法则和链式法则等基本性质。

2. 微分的定义和应用微分是导数的一个重要应用。

微分可以用来近似计算函数的变化量，也可以用来求函数的极值和拐点。

微分具有局部线性逼近的性质，可以用来解决实际问题中的优化和近似计算等应用题。

三、积分和级数1. 定积分的定义和性质定积分是一个函数在某一区间上的累积量，可以理解为函数图像与x轴之间的面积。

定积分的定义是将区间分成无穷多个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行求和，并取极限。

定积分具有线性性、积分中值定理和换元积分法则等基本性质。

2. 级数的定义和收敛性级数是无穷多个数的和，它在数学分析中有着重要的应用。

级数的定义是将无穷多个数按照一定的顺序进行求和，并取其极限。

级数的收敛性是指级数的和存在有限值，而发散性则是指级数的和不存在有限值。

四、微分方程微分方程是数学分析的一个重要分支，它研究的是含有未知函数及其导数的方程。

微分方程具有一阶和高阶、线性和非线性等不同类型。

通过求解微分方程，我们可以得到函数的解析解或数值解，进而应用到实际问题中。

(完整版)数学分析知识点总结

(完整版)数学分析知识点总结数学分析知识点总结导数与微分- 导数的定义：导数是一个函数在某一点的斜率，表示函数的增减速度。

- 常见函数的导数公式：- 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$- 指数函数：$(a^x)' = a^x\ln(a)$- 对数函数：$(\log_a(x))' = \frac{1}{x\ln(a)}$- 微分的定义：微分是切线在某一点处的线性近似，表示函数在该点的局部变化情况。

积分与不定积分- 不定积分的定义：不定积分是对函数的原函数的求解，表示函数从某一点到变量的积分结果。

- 常见函数的基本积分公式：- 幂函数：$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$- 正弦函数：$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$- 余弦函数：$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$一元函数极限- 极限的定义：函数在某一点处的极限是函数在这一点附近的取值逐渐趋于某个固定值的情况。

- 常见函数的极限计算方法：- 算术运算法则：常数的极限是常数本身；极限的和等于极限的和；极限的乘积等于极限的乘积。

- 复合函数法则：对于复合函数，可以先求内层函数的极限，再求外层函数的极限。

泰勒级数- 泰勒级数的定义：泰勒级数是一个函数在某一点附近的展开式，由函数在该点的导数决定。

- 常见函数的泰勒级数展开：- 幂函数：$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots$以上是数学分析的一些基本知识点总结，希望对您有所帮助。

5-5——华东师范大学数学分析课件PPT

v( x)
v( x)d u( x) u( x)dv( x) v2(x)
函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在点 x0 可
导, 且 d f ( x) x x0 f ( x0)Δ x .
证 (必要性) 如果 f 在点 x0 可微, 据 (1) 式有
于是
Δy A o(1). Δx
f
(
x0
)
lim
Δ x 0
Δ Δ
y x
lim ( A o(1)) A ,
Δ x 0
(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看
成函数的微分与自变量的微分之商, 即
d y f ( x) ,
(5)
dx
所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面
积分学部分中.
数学分析第一章实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的运算法则
高阶微分
微分在近似计算中的应用
例1 d(x ) x 1 dx ;
d (sin x) cos x dx ; d (a x ) a x ln a dx .
数学分析第一章实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的运算法则
微分的运算法则
高阶微分
微分在近似计算中的应用
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则: 1. d (u( x) v( x)) du( x) dv( x); 2. d(u( x)v( x)) v( x)du( x) u( x)dv( x);
Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 :
Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x)2. 因

导数和微分的基本定义及其应用

导数和微分的基本定义及其应用数学中，导数和微分是一对相互关联的概念。

它们在数学分析、物理学等领域广泛应用，是许多数学和科学理论的基石之一。

本文将介绍导数和微分的基本定义及其应用。

一、导数的定义在初中数学中，我们学过了导数的基本定义：$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ 其中，$y=f(x)$代表曲线的解析式，$\Delta y$和$\Delta x$表示在$x$处的微小变化。

这个式子表达的意思是，当$\Delta x$越来越小，趋于0的时候，$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的极限为$\frac{dy}{dx}$。

通过导数的定义，我们可以求得曲线在某一点的斜率。

斜率反映了函数在该点变化的速率，即导数。

二、微分的定义微分是导数的基本运算之一，它表示曲线在某一点的瞬间变化量。

微分的定义式如下：$$dy=f'(x)dx$$ 其中，$f'(x)$代表函数$f(x)$在$x$处的导数，$dx$代表在$x$处的微小变化，$dy$表示在$x$处的瞬间变化量。

微分可以被视为导数的“微小变化”，它是导数与自变量微小改变之间的关系。

微分往往和微积分一起应用。

三、导数和微分的应用导数和微分在数学和科学中广泛应用。

下面让我们来看看它们的具体应用：1. 最优化问题最优化问题是数学中一类重要的问题，求解方法之一就是利用导数。

通过求函数的导数，我们可以确定函数的最大值或最小值，从而得到最优解。

例如，在生产问题中，我们可以通过求导数来确定产品产量的最大值或者成本的最小值。

2. 物理学中的应用在物理学中，导数和微分是求解速度、加速度、力学问题的重要工具。

例如，同学们可能都学过牛顿第二定律：$F=ma$。

如果我们知道物体的质量$m$和力$F$，那么我们就可以通过求导数来计算物体在某一时刻的加速度$a$。

导数和微分的关系

导数和微分的关系
导数微分积分三者关系：导数是函数图像在某一点处的斜率；积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。

微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后，纵坐标取得的增量，一般表示为dy。

1、导数也叫导函数值，又名微商，是微积分学中重要的基础概念，是函数的局部性质。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。

2、微分虽然看起来和导数很像，但微分本质上和导数是不同的。

举个例子，设y=x^2那么有Δy=2xΔx+(Δx)^2，由于(Δx)^2是Δx的高阶无穷小，那么原函数就可微，线性主部也就是导数就是2x。

所以对于高中只会出现的一元函数你可以简单理解为导数就是微分的线性主部。

3、积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。

通常分为定积分和不定积分两种。

直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值。

导数与微积分

导数与微积分导函数导函数的概念涉及：的对于区间 , 上任意点处都可导,则在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为的导函数,记作 ;一、基本函数的导函数C'=0C为常数x^n'=nx^n-1 n∈Qsinx'=cosxcosx'=-sinxe^x'=e^xa^x'=a^xlnaloga,x' = 1/xlnalnx'= 1/x二、和差积商函数的导函数fx + gx' = f'x + g'xfx - gx' = f'x - g'xfxgx' = f'xgx + fxg'xfx/gx' = f'xgx - fxg'x / gx^2三、复合函数的导函数设 y=ut ,t=vx,则 y'x = u'tv'x = u'vx v'x例：y = t^2 ,t = sinx ,则y'x = 2t cosx = 2sinxcosx = sin2x一般定义设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δ点仍在该邻域内时,相应地函数取得增量Δ；如果Δ与Δ之比当Δ时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即,也可记作,或;邻域数学分析的定义以a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作Ua设δ是任一正数,则在开区间a-δ,a+δ就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻域,记作Ua,δ,即Ua,δ={x|a-δ<x<a+δ};点a称为这邻域的中心,δ称为这邻域的半径;a的δ邻域去掉中心a后,称为点a的去心δ邻域,有时把开区间a-δ,a称为a的左δ邻域,把开区间a,a+δ称为a的右δ邻域;拓扑学的定义设A是拓扑空间X,τ的一个子集,点x∈A;如果存在集合U,满足①U是开集,即U∈τ,②点x∈U,③U是A的子集,则称点x是A的一个内点,并称A是点x的一个邻域;若A是开闭集,则称为开闭邻域;可导设y=fx是一个单变量函数, 如果y在x=x0处存在导数y'=f'x,则称y在x=x0处可导;如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数若将一点扩展成函数fx在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数fx在开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着fx的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数fx的导函数,记作：y'、或者;原函数已知函数fx是一个定义在某区间的函数,如果存在函数Fx,使得在该区间内的任一点都有dFx=fxdx,则在该区间内就称函数Fx为函数fx的原函数;例：sinx是cosx的原函数;关于原函数的问题函数fx满足什么条件是,才保证其原函数一定存在呢这个问题我们以后来解决;若其存在原函数,那么原函数一共有多少个呢我们可以明显的看出来：若函数Fx为函数fx的原函数,即：F'x=fx,则函数族Fx+CC为任一个常数中的任一个函数一定是fx的原函数,故：若函数fx有原函数,那末其原函数为无穷多个.如果定义在a,b上的函数Fx和fx满足条件：对每一x∈a,b,F′x＝fx则称Fx为fx的一个原函数;例如,x3是3x2的一个原函数,易知,x3＋1和x3＋2也都是3x2的原函数;因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的,例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v＝vt,要求它的运动规律 ,就是求v＝vt的原函数;原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当fx为连续函数时,其原函数一定存在;几何意义和力学意义设fx在a,b上连续,则由曲线y=fx,x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数指代数和——x轴上方取正号,下方取负号是fx的一个原函数.若x为时间变量,fx为直线运动的物体的速度函数,则fx的原函数就是路程函数.导函数的定义表达式为：值得注意的是,导数是一个数,是指函数fx在点x0处导函数的函数值;但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点;几何意义如右图所示,设P0为曲线上的一个定点,P为曲线上的一个动点;当P沿曲线逐渐趋向于点P0时,并且割线PP0的极限位置P0T存在,则称P0T为曲线在P0处的切线;若曲线为一函数y = fx的图像,那么割线PP0的斜率为：当P0处的切线P0T,即PP0的极限位置存在时,此时,,则P0T的斜率tanα为：上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则f'x0 = tanα,故导数的几何意义即曲线y = fx在点P0x0,fx0处切线的斜率;函数可导的条件如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢答案是否定的;函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等;这实际上是按照极限存在的一个充要条件极限存在,它的左右极限存在且相等推导而来：上式中,后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数：极值extremum∶数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值,极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得;extreme value∶在给定的时期内,或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值;如果这个时期是整个有观测资料的时期,这个极值就是绝对极值极限在高等数学中,极限是一个重要的概念;极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下;首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积;为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=62的9次方边形,利用不等式An+1<A<An+2An+1-Ann=1,2,3....得到圆周率=3927/1250约等于数列极限：定义：设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε不论它多么小,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn - a|<ε都成立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a;记为lim Xn = a 或Xn→an→∞数列极限的性质：1.唯一性：若数列的极限存在,则极限值是唯一的；2.有界性：如果一个数列收敛有极限,那么这个数列有界;但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛;3.保号性：如果一个数列{xn}收敛于a,且a>0或a<0,那么存在正整数N,当n>N时,都有xn>0或xn<0;4.改变数列的有限项,不改变数列的极限;几个常用数列的极限：an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0函数极限的专业定义:设函数fx在点x;的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε无论它多么小,总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x;|<δ时,对应的函数值fx都满足不等式：|fx-A|<ε那么常数A就叫做函数fx当x→x;时的极限;函数极限的通俗定义：1、设函数y=fx在a,+∞内有定义,如果当x→+∞时,函数fx无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+∞时函数fx的极限;记作lim fx＝A ,x→+∞;2、设函数y=fx在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时记作x→a,函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数fx的极限;记作lim fx=A ,x→a;函数的左右极限：1：如果当x从点x=x0的左侧即x〈x0无限趋近于x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的左极限,记作x→x0-limfx=a.2:如果当x从点x=x0右侧即x>x0无限趋近于点x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的右极限,记作x→x0+limfx=a.注：若一个函数在x0上的左右极限不同则此函数在x0上不存在极限注：一个函数是否在x0处存在极限,与它在x=x0处是否有定义无关,只要求y=fx在x0近旁有定义即可;函数极限的性质：极限的运算法则或称有关公式：limfx+gx=limfx+limgxlimfx-gx=limfx-limgxlimfxgx=limfxlimgxlimfx/gx=limfx/limgx limgx不等于0limfx^n=limfx^n以上limfx limgx都存在时才成立lim1+1/x^x =ex→∞无穷大与无穷小：一个数列极限无限趋近于0,它就是一个无穷小数列极限;无穷大数列和无穷小数列成倒数;两个重要极限：1、lim sinx／x ＝1 ,x→02、lim 1 + 1／x^x ＝e ,x→∞ e≈...,无理数====================================================================== ==举两个例子说明一下一、……＝1以下一段不作证明,只助理解——原因：小数的加法的第一步就是对齐数位,即要知道具体哪一位加哪一位才可操作,下文中……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准,所以对于无限小数并不能做加法;既然不可做加法,就无乘法可言了;谁都知道1/3＝……,而两边同时乘以3就得到1＝……,可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数;10×……—1×……=9=9×……∴……=1二、“无理数”算是什么数我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯;结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想;类似的根源还在物理中实际上,从科学发展的历程来看,哲学才是真正的发展动力,但物理起到了无比推动作用,比如瞬时速度的问题;我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示,若时间差趋于零,则此比值就是某时刻的瞬时速度,这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值,就是0÷0,这有意义吗这个意义是指“分析”意义,因为几何意义颇为直观,就是该点切线斜率这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释,极限的思想呼之欲出;真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的,他当时是一位中学数学教师,这对我们今天中学教师界而言,不能不说是意味深长的;几个常用数列的极限an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0定积分定积分的几何意义众所周知,微积分的两大部分是微分与积分;微分实际上是求一个已知函数的导数,而积分是已知一个函数的导数,求原函数;所以,微分与积分互为逆运算;积分的分类实际上,积分还可以分为两部分;第一种,不定积分,也就是已知导数求原函数,而若Fx的导数是fx,那么Fx+CC是常数的导数也是fx,也就是说,把fx积分,不一定能得到Fx,因为Fx+C的导数也是fx,C是任意常数,所以fx积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用Fx+C代替,这就称为不定积分;这也就是说它是一组函数,而不是有限个;第二种,定积分定积分就是求函数FX在区间A,B中图线下包围的面积;即 y=0 x=a x=b y=FX所包围的面积;这个图形称为曲边梯形,特例是曲边梯形;定积分的定义：设一元函数y=fx ,在区间a,b内有定义;将区间a,b分成n个小区间 a,x0 x0,x1x1,x2 .....xi,b ;设△xi＝xi－xi-1,取区间△xi中曲线上任意一点记做fξi,做和式：和式若记λ为这些小区间中的最长者;当λ→ 0时,若此和式的极限存在,则称这个和式是函数fx 在区间a,b上的定积分;记做：∫ _a^b fxdxa在∫下方,b在∫上方其中称a为积分下限,b为积分上限, fx 为被积函数,fxdx 为被积式,∫为积分号;之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数, 而不是一个函数;微分一元微分定义：设函数y = fx在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内;如果函数的增量Δy = fx0 + Δx fx0可表示为Δy = AΔx + oΔx其中A是不依赖于Δx 的常数,而oΔx0是比Δx高阶的无穷小,那么称函数fx在点x0是可微的,且AΔx 称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx;通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx;于是函数y = fx的微分又可记作dy = f'xdx;函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数;因此,导数也叫做微商;当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由fX改变为fX+△X,如果存在一个与△X无关的常数A,使fX+△X-fX和A△X之差关于△X→０是高阶无穷小量,则称A△X是fX在X的微分,记为dy,并称fX在X可微;可导不一定可微,可微一定可导,这时A=f′X;再记A△X=dy,则dy=f′XdX;例如：dsinX=cosXdX;几何意义：设Δx是曲线y = fx上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量;当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多高阶无穷小,因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段;多元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义;运算法则：dy=f'xdxdu+v=du+dvdu-v=du-dvduv=duv+dvudu/v=duv-dvu/v^2黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分;用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间a,b上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积;实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b;黎曼积分如果函数fX在闭区间a,b上定义,而P,ζ是这个闭区间的一个带点分割,则和σf；p,ζ:=Σ fζiΔXi叫做函数f在区间a,b上对应于带点分割P,ζ的积分和,其中ΔXi=Xi-Xi-1 存在这样一个实数I,如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0,使对区间a,b的任何带点分割P,ζ,只要分化P的参数λP<δ,就有|I-σf；p,ζ|<ε,则称函数fX在闭区间a,b上黎曼可积,而I就成为函数fX在闭区间a,b上的黎曼积分;我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数;它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢微积分基本定理定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系;把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分;这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'x=fx那么∫ _a^bfx dx = Fa-Fb牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差;正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理;牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本定理,其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法;从几何上看,它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系;下面就是该公式的证明全过程：我们知道,对黎曼Riemann可积函数fx于区间a,b上的定积分表达为：b上限∫a下限fxdx现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：Φx= x上限∫a下限fxdx但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的;虽然这种写法是可以的,但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：Φx= x上限∫a下限ftdt接下来我们就来研究这个函数Φx的性质：1.定义函数Φx= x上限∫a下限ftdt,则Φx连续;当fx连续时,有Φ’x=fx;证明：让函数Φx获得增量Δx,则对应的函数增量ΔΦ=Φx+Δx-Φx=x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt,利用区间可加性,x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt=x+Δx上限∫x下限ftdt若m和M分别是fx在区间a,b上的最小值和最大值,利用定积分第一中值定理,存在m,M中的实数η,使得ΔΦ=x+Δx上限∫x下限ftdt=ηΔx;进一步,当fx连续时存在x与x+Δx之间的常数ξ,使得η=fξ;于是当Δx趋向于0时,ΔΦ趋向于0,即Φx连续;若fx连续,那么当Δx趋向于0时,ξ趋向于x,fξ趋向于fx,故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=fx,从而得出Φ’x=fx;2. 若fx在a,b上连续,且Fx是fx在a,b上的一个原函数,那么b上限∫a 下限fxdx=Fb-Fa;证明：我们已证得Φ’x=fx,故Φx+C=Fx;注意到Φa=0积分区间变为a,a,故面积为0,所以Fa=C,于是有Φx=Fx-Fa,当x=b时,Φb=Fb-Fa,这就得到了牛顿-莱布尼茨公式;。

数学分析中常用的函数的导数与微分

数学分析中常用的函数的导数与微分导数和微分是数学分析中重要的概念，也是常用的工具。

在本文中，我们将讨论常用的函数的导数和微分，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

一、常数函数的导数和微分对于一个常数函数f(x)=c，其导数为f'(x)=0，即无论x的取值如何，函数f(x)的导数都是0。

这是因为常数函数表示的是一条水平直线，而其斜率为0，因此导数为0。

而对于常数函数来说，其微分也很简单，即df(x)=0。

二、幂函数的导数和微分幂函数f(x)=x^n，n为正整数。

其导数为f'(x)=n*x^(n-1)，即n 乘以x的n-1次方。

当n=1时，幂函数就变成了一次函数，其导数为常数1。

而幂函数的微分为df(x)=n*x^(n-1)*dx。

三、指数函数的导数和微分指数函数f(x)=a^x，a>0且不等于1。

其导数为f'(x)=a^x*ln(a)，即指数函数的导数与其本身成比例关系，比例系数为以e为底的对数。

而指数函数的微分为df(x)=a^x*ln(a)*dx。

四、对数函数的导数和微分对数函数f(x)=log_a(x)，a>0且不等于1。

其导数为f'(x)=1/(x*ln(a))，即其导数与原函数成反比关系，比例系数为以e为底的对数。

对数函数的微分为df(x)=1/(x*ln(a))*dx。

五、三角函数的导数和微分三角函数包括正弦函数f(x)=sin(x)，余弦函数f(x)=cos(x)，正切函数f(x)=tan(x)等。

它们的导数和微分分别为：正弦函数：f'(x)=cos(x)，df(x)=cos(x)*dx；余弦函数：f'(x)=-sin(x)，df(x)=-sin(x)*dx；正切函数：f'(x)=sec^2(x)，df(x)=sec^2(x)*dx。

六、反三角函数的导数和微分反三角函数包括反正弦函数f(x)=arcsin(x)，反余弦函数f(x)=arccos(x)，反正切函数f(x)=arctan(x)等。

导数与微分(经典课件)

导数与微分引言导数与微分是数学分析的基本概念之一。

导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。

导数的概念在于刻划瞬时变化率。

微分的概念在于刻划瞬时改变量。

求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。

本章主要内容如下： 1．以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2．给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3．讨论高阶导数、高阶微分以与参数方程所确定函数的求导法。

4．可导与连续，可导与微分的关系。

§1 导数的概念教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。

教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉与函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。

教学重点：导数的概念，几何意义与可导与连续的关系。

教学难点：导数的概念。

教学方法：讲授与练习。

学习学时：3学时。

一、导数的定义：1．引入（背景）：导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。

导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。

这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。

在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。

问题1。

直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。

取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)()(t t t s t s v --=，当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0)()(lim 0t t t s t s v t t --=→。

数的导数与微分

数的导数与微分数学中，导数与微分是一对重要的概念，它们在数学分析和应用数学中具有广泛的应用。

导数描述了函数在给定点的变化率，而微分则描述了函数在一段很小的区间内的变化情况。

本文将对数的导数与微分进行详细的解释和讨论。

一、导数的定义和性质在数学中，函数f(x)在某一点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x0+h)-f(x0))/h〗其中，lim表示极限，h为趋近于0的一个实数。

这个极限表示函数f(x)在点x0处的变化率。

导数具有一些重要的性质，例如：1. 常数的导数为0：若f(x) = C，则f'(x) = 0，其中C为常数。

2. 乘积法则：若f(x) = u(x)·v(x)，则f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)。

3. 链式法则：若f(x) = g(u(x))，则f'(x) = g'(u(x))·u'(x)。

二、导数的计算方法为了计算导数，我们需要了解一些基本的求导法则。

以下是一些常见函数的导数计算方法：1. 常数函数的导数为0：若f(x) = C，则f'(x) = 0。

2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数：若f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1，则f'(x) = a^x·ln(a)。

4. 对数函数的导数：若f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且a≠1，则f'(x) = 1/(x·ln(a))。

5. 三角函数的导数：若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。

三、微分的定义和性质微分是导数的一种几何解释，它描述了函数在一段很小的区间内的变化情况。

数学分析方向导数和微分

数学分析方向导数和微分
方向导数与微分的概念
方向导数与微分是高等数学中的重要概念，他们经常用来描述函数在特定点的变化情况。

方向导数是沿着一些特定方向的梯度。

在研究函数的特定点处的泰勒展开时尤为重要，而它有其独特的应用和重要意义。

而微分则是描述函数变化的另一个重要概念，主要是用来分析函数特征和变化关系。

方向导数的概念
方向导数是沿着一些特定方向的梯度。

它可以用来描述在一些点处的函数变化的大小和方向，根据定义：设$f（x，y）在点$(x_0,y_0)$处可导，则对曲线$C$中任一点$(x,y)$来说，有：
$$f'_{\vec{n}}(x_0,y_0)=\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x，y)-f(x_0,y_0)}{{\vec{n}}\cdot (x-x_0,y-y_0)} $$
其中，${\vec{n}}$为指定方向的向量。

方向导数的特点
方向导数的特点：
1、方向导数表示了关于点$(x_0,y_0)$中测量变化时，在一些指定方向上的变化率；
2、方向导数关注的是函数其中一点上的其中一方向的变化率，而不考虑其他方向上的变化率；
3、在其中一点上，各个方向导数并不一定相等，可能有差异；
4、方向导数可以用其他量纲表示，即可以根据不同的量纲来表示；
5、方向导数可以用来计算泰勒展开式，从而用来描述函数的局部取值情况；
微分的概念
微分是一道必考的重要考点。

《数学分析》第五章导数和微分

函数的变化率问题
函数的增量问题
微分的概念
导数的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.
导数与微分的联系:
★
★
导数与微分的区别:
思考题
思考题解答
说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.
练习题
练习题答案
202X
感谢各位的观看
汇报人姓名
5 微分
Байду номын сангаас
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
再例如,
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
(微分的实质)
定义
由定义知:
三、可微的条件
定理证必要性
(2) 充分性
例1
解
四、微分的几何意义
M N T ）几何意义:(如图) P
五、微分的求法
基本初等函数的微分公式
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
函数和、差、积、商的微分法则
例2
解
例3
解
六、微分形式的不变性
结论：微分形式的不变性
例4
解
例3
解
例5
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.
七、小结
微分学所要解决的两类问题:

数学分析大一知识点总结

数学分析大一知识点总结数学分析是大学数学的一门重要基础课程，它是建立在微积分理论基础上的一门学科，对于学习数学和应用科学都具有重要的意义。

在大一学习数学分析时，我们接触到了很多重要的知识点，下面我将对这些知识点进行总结。

1. 极限与连续在数学分析中，极限是一个非常重要的概念。

我们学习了函数的极限、无穷大与无穷小、数列的极限等内容。

通过对极限的学习，我们能够更好地理解函数的趋势以及数列的发散与收敛性质。

连续性也是数学分析中的一个重要概念。

我们学习了函数的连续性及其性质，利用连续性我们可以研究函数的导数和积分等相关内容。

2. 导数与微分导数是数学分析的核心概念之一。

我们学习了函数的导数及其计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数等。

导数的概念和计算方法在物理、经济等应用中有着广泛的应用。

微分是导数的一种几何解释，它表示函数在某一点的局部线性近似。

我们学习了微分的定义及其计算方法，了解了微分与导数的本质联系。

3. 积分与定积分积分也是数学分析的重要内容之一。

我们学习了函数的不定积分和定积分，了解了它们的定义、计算方法和性质。

通过对积分的学习，我们可以解决曲线下面的面积、弧长、体积等实际问题。

4. 无穷级数无穷级数是指由无穷个数相加或相乘而得到的数列。

我们学习了级数的概念、收敛与发散性质，以及级数的判别法。

通过对无穷级数的学习，我们可以解决许多数学和物理问题。

5. 函数的一致收敛与级数的收敛函数的一致收敛是指函数在定义域上每个点都收敛于相同的极限值。

我们学习了函数一致收敛的定义及其判别法。

同时，我们也学习了级数的收敛性和一致收敛性的相关概念与判别法。

通过对函数的一致收敛和级数收敛的学习，我们可以更好地理解函数和级数的性质，研究它们的一致性和近似性。

6. 泰勒级数与幂级数泰勒级数是将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式。

我们学习了泰勒级数展开的方法和计算技巧，通过泰勒级数我们可以近似计算各种函数的值。

数学分析教案 (华东师大版)第五章导数和微分

第五章导数和微分教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。

明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。

教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。

教学时数：16学时§ 1 导数的概念（4学时）教学目的：使学生准备掌握导数的概念。

明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。

教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。

教学重点：导数的概念。

教学难点：导数的概念。

教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。

一、问题提出：导数的背景.背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.二、讲授新课：1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式:例1 求例2 设函数在点可导, 求极限2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.考查在点的可导情况.例33.导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例4求曲线在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系:5.导函数:函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.注意:等具体函数的导函数不能记为应记为6.费马定理及达布定理§ 2 求导法则（4学时）教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。

教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。

数学分析高等数学导数与微分习题有答案

导数与微分重点:倒数的定义,基本初等函数求导公式,各类求导法则,二阶导数,连续与可导的关系,导数与微分的关系,导数的几何意义难点:导数的定义,复合函数求导,高阶导数例题:例1 试确定a 、b 之值,使函数,0()1ln(1),0x x ae be x f x x x x-⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩在内可导,并求例2 设 31s i n ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 证明()f x 在0x =处连续,可微,且导函数在0x =处连续,但'()f x 在0x =处不可导例3 设()f u 在u t =处可导,求01lim (0)r r r f t f t a r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为常数例4 求下列函数的导数'y(１)2(2)(0)x xy x x x =+>(２)arctan y = (３)1ln1xy x +=-例5 设()x ϕ和()x ψ是可导函数,求函数y =的导数.例6 设()y y x =由方程22()()y f x xf y x+=确定,其中()f x 是x 的可微函数,试求'y .例7 已知22'(),''()0.'()()x f t d yf t y t f t f t dx =⎧≠⎨=-⎩求例8 设()0f x>且处处可微,求ln() ()()f xdff x.例9 求下列函数的高阶导数(１)23(6)(2)(23)(34),y x x x y =+++求(２)44() sin cos,.n y x x y =+求(３)2()21,.nxxy ye-=求(４)()2156n y yx x=++，求.例10 设函数()f x 满足:(１) 对于任意实数12,x x ,有1212()()()f x x f x f x +=(２) ()f x 在0x =可导,且'(0)1f =. 证明: ()f x 可导且'()()f x f x =作业题:求平面曲线2y x =与1(0)y x x =<的公切线方程.答案：例1 试确定a 、b 之值,使函数,0()1ln(1),0x x ae be x f x x x x-⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩在内可导,并求解: 欲使()f x 在内可导,只需()f x 在0x=处连续,可导,由lim ()lim()x xx x f x ae be a b ---→→=+=+ 00011lim ()lim ln(1)lim 11xx x f x x x x+++→→→=+==+ 而()f x 在0x=处连续,得1a b += (1)00()(0)'(0)lim lim x x x x f x f ae be a bf a b x x ----→→-+--===+ 00(1)(1)lim lim x x x x a e b e x x---→→--=+ 00lim lim x x x x a b a b x x--→→-=-=-- 00ln(1)()()(0)'(0)lim lim x x x a b f x f x f x x+++→→+-+-== 20011ln(1)11lim lim 22x x x x x x x ++→→-+-+===- 由()f x 在0x=处可导,得12a b -=- (2)联立(1)与(2)解得14a =,34b =.所以当14a =,34b =时,()f x 在0x =处可导,且213,044'()11ln(1),0(1)x x e e x f x x x x x x-⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>+⎪⎩例2 设31sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩证明()f x 在0x =处连续,可微,且导函数在0x =处连续,但'()f x 在0x =处不可导证: 因为3001lim ()lim sin 0()x x f x x f x x→→===,故()f x 在0x =处连续,又 320001sin()(0)1'(0)lim lim lim sin 0,x x x x f x f x f x x x x→→→-====故()f x 在0x =处可导,也可微.当0x ≠时,211'()3sin cos .f x x x x x=-20011lim '()lim(3sin cos )0'(0).x x f x x x f x x→→=-==故导函数'()f x 在0x =处连续,但00'()'(0)11lim lim(3sin cos ).x x f x f x x x x→→-=-不存在故导函数'()f x 在0x =处不可导例11 设()f u 在u t =处可导,求01lim (0)r r r f t f t a r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为常数解: 01lim r r r f t f t r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0()()()()lim r r r f t f t f t f t a a r →+-+--= 00()()()()11lim lim()r r r r f t f t f t f t a a r r a a a a→→+---=+-112'()'()'()ft f t ft a a a=+=例12 求下列函数的导数'y(１) 2(2)(0)x xy x x x =+>(２)arctan y =(３)1ln1xy x +=-(１) 解:221'()'[(2)]',,x x x y x x y x =+=令111'ln 2ln ,22ln y y x x x y ==+21'(22ln )xy x x =+. 令 2222'1(2),ln ln(2),ln 22xy y x y x x x y ===+21'(2)(ln 2)2xy x x =+故2'2(1ln )(2)(1ln 2)x xy x x x x =+++ (２) 解:31'12y x x=+-2331321222x x x x x-=+--232x -=(３) 解:1ln ln 1ln 11x y x xx +==+---2112'111y x x x=+=+--例13 设()x ϕ和()x ψ是可导函数,求函数y=的导数.解:''y =()'()()'()x x x x +=例14 设()y y x =由方程22()()y f x xf y x +=确定,其中()f x 是x 的可微函数,试求'y .解: 对原式左右求导有22'()'()()'()'2y y f x y f x f y x f y y x+++= 解得 22'()()'2()'()x y f x f y y yf x xf y --=+例15 已知22'(),''()0.'()()x f t d yf t y t f t f t dx =⎧≠⎨=-⎩求解:'()''()'()''()dydy f t tf t f t dt tdx dx f t dt +-===22()1"()dy d dx d y dt dx dx f t dt==例16 设()0f x >且处处可微,求ln ()()()f x df f x . 解: 2'()()'()ln ()ln ()ln ()()'()()()f x f x f x f x f x f x f x df f dx f x f x f x ⋅-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]2ln ()'()1ln ()'()()f x f f x f x f x dx f x -⎡⎤=⋅⋅-⋅⎢⎥⎣⎦例17 求下列函数的高阶导数(１) 23(6)(2)(23)(34),y x x x y =+++求(２)44()sin cos ,.n y x x y =+求(３)2()21,.n x x y y e-=求(４)()2156n y y x x =++，求.(１) 解:23655(2)(3)()108(),y x x x p x x p x =+=+其中5()p x 为x 的５次多项式,故(6)1086!y =(２) 解: 将原函数变形得 22222(sin cos )2sin cos y x x x x =+-2111cos 41sin 21222x x -=-=-1(3cos 4)4x =+,故()114c o s (4)4c o s (4).422nnn nnyx x ππ-=+=+ (３) 解: 将原函数变形得22(1)x y e x -=-故()22212(2)(1)(2)()(1)(2)n n x n x n xy x e nx e n n e ----=-------(４) 解: 将原函数变形得111(2)(3)(2)(3)y x x x x ==-++++故 1111'(1)!(2)(3)nn n y n x x ++⎡⎤=-⋅⋅-⎢⎥++⎣⎦例18 设函数()f x 满足:(１) 对于任意实数12,x x ,有1212()()()f x x f x f x +=(２) ()f x 在0x =可导,且'(0)1f =. 证明: ()f x 可导且'()()f x f x =证: 首先()f x 不恒为零,否则有'(0)0f =,与题设矛盾.于是至少存在一点0x ,使0()0f x ≠.这样,由000()(0)()(0)f x f x f x f =+=可得(0)1f =.设为内任一点,则00()()()()()'()lim lim x x f x x f x f x f x f x f x x x∆→∆→+∆-∆-==∆∆ 00()1(0)(0)lim ()lim ()x x f x f x f f x f x x x∆→∆→∆-+∆-=⋅=⋅∆∆ ()'(0)f x f f x==即()f x 可导且'()()f x f x =.作业题:求平面曲线2y x =与1(0)y x x =<的公切线方程.解: 设公切线分别与曲线2y x =和1(0)y x x=<相切于点2(,)M ξξ,11(,)M ηη,并与x 轴交于点00(,0)M x ,见图,因为公切线是曲线2y x =在点2(,)M ξξ处切线,故其斜率为2k ξ= (1)其方程为22()y x ξξξ-=-,即22y x ξξ=-……… (２)或002()y x x ξ-=-,即022y x x ξξ=-…… (３)公切线也是曲线1y x=在点11(,)M ηη处的切线,故其斜率为21k η=-…………………………（４）其方程为211()y x ηηη-=--,即22xy ηη=-+…… (５)或210()y x x η-=--,即22x xy ηη=-+…. (６)由(２)、(３)可得, 02x ξ=由(５)、(６)可得, 02x η=所以4ξη=由(１)、(４)、(７)可解得2ξ=-,12η=-.故所求公切线方程为 44y x =--。

高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件

cos 2 x sin2 x 1 2 sec x. 2 2 cos x cos x
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .

导数与微分

导数与微分：导数与微分是数学分析的基本概念之一。

导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。

导数的概念在于刻划瞬时变化率。

微分的概念在于刻划瞬时改变量。

求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。

1、导数的实际运用：物理学中：设一质点作直线变速运动，其运动规律为S=S()，若为某一确定时刻，定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。

取临近于时刻的某一时刻t，则质点在或时间段的平均速度为：，则当t越接近于时，平均速度就越接近于时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：。

数学中：已知曲线方程为，求此曲线在点处的切线。

在曲线上取临近于点的某点，则割线的斜率为：，当越接近于，割线斜率就越接近于曲线在点处的斜率，于是曲线在点处的斜率：导数的定义：设函数在的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为在点处的导数，记作或如果令，，则上述定义又可表示为：＝即：函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。

几何意义：y=f(x)则：切线方程（点斜式）：；二：导函数1可导函数：若函数在区间上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称为上的可导函数。

2．导函数：区间上的可导函数，对每一，都有一个导数（或单则导数）与之对应，这样定义了一个在上的函数，称之为函数在区间上的导函数，简称为导数，记作即：（求解时只需将看作固定常量即可）。

注意：导数与微分的关系：导数是微分之商（微商）y' =,微分dy=f'(x)dx。

了解以上的定义后下面我们来研究导数和微分在物理中的运用：变化率物理学中经常提到“变化率”一词，可以用导数的形式写出，即：（1）速度：，加速度（2）牛顿第二定律。

（3）功率（4）电流强度例1：一列火车，由车站出发，作变速直线运动，设t(s)时刻的坐标为x(t)=6(m),求t时刻的速度和加速度。

解：因火车作直线运动，只考虑一个方向，即x方向的分量。