数列的概念和等差数列

数列的概念和等差数列（文）

一周强化

一、一周知识概述

数列的概念是数列的基础。其中通项公式和前n项和的求法是高考的必考内容，数列实质上是一个特殊的函数，它是定义在N*（或它的子集）上的函数，因而在解决数列问题时，一方面要利用函数的思想、函数的观点、函数的方法来解决数列问题；另一方面还应注意数列的特殊性，也就是解决数列问题的特殊方法。

二、重、难点知识的归纳与剖析

（一）本周复习的重点

1、

2、

3、等差数列的通项公式a n=a1＋(n－1)d

推广式a n=a m+(n－m)d

变形式n =

4、等差数列的求和公式S n=

5、等差数列的性质

（1）若m、n、p、q∈N＋且m+n=p+q，则a m＋a n=a p＋a q

（2）在等差数列中，依次每k项之和仍成等差数列．

6、A是a、b的等差中项A=

7、三个数成等差数列，可设其为a－d、a、a＋d

四个数成等差数列，可设其为a－3d，a－d、a＋d、a＋3d．

（二）本周复习的难点

1、分别用累加法求具有a n+1=a n+f(n)的数列的通项，

用累积法求具有的数列的通项．

用拼凑分离法，求具有a n+1=Aa n＋B（A、B为常数）的数列的通项．

2、数列{a n}为等差数列的判定和证明

①证明方法：定义法即若一个数列{a n}满足a n+1－a n=d（d是一个与n无关的常数），则数

列{a n}为等差数列．

②常见的判定方法（充要条件）：若一个数列{a n}满足a n= an+b或S n=an2＋bn（a、b为常

数）或2a n+1= a n＋a n+2，则这个数列为等差数列．

3、等差数列前n项和公式的函数性质

∵ S n=na1＋

设A=，B=，上式可写成S n=An2+Bn，当d≠0即A≠0时，S n是关于n的二次函数式（其中常数项为0），那么（n·S n）在二次函数y=Ax2＋Bx的图象上．

由二次函数的性质可知，当d>0时，S n有最小值；当d<0时，S n有最大值．

三、例题点评

例1、已知数列{a n}的前n项和求通项：

（1）S n=(－1)n+1·n

（2）S n=2n－2

分析：利用数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n的关系即可求解．

解答：（1）a1= S n=1

当n≥2时，

a n= S n－S n－1=(－1)n＋1·n－(－1)n(n－1)

=－(－1)n·n－(－1)n(n－1)

=(－1)n(1－2n)

∵ a1=1适合上式，

∴ a n=(－1)n·(1－2n)

（2）当n≥2时，a n= S n－S n－1=2n－2－(2n－1－2)=2n－2n－1=2n－1

当n=1时，a1= S1=0 不适合上式，

∴

点评：

a n与S n的关系，是一个非常重要的关系，根据这一关系，若知数列的前n项和S n，则数列的通项a n一定可求，但首项a1是否符合a n= S n－S n－1，需进一步验证，若不符合，则a n需用分段函数表示，否则可合写为一个式子．

例2、已知数列的通项公式为.

（1）0.98是不是它的项？

（2）判断此数列的增减性和有界性.

分析：

数列的项数为正整数，此题即是研究是否有正整数解．

判断数列的增减性和有界性，即是考虑a n＋1－a n的符号和对任何的n∈N，使得|a n|

解答：

（1）设，解得n=7，所以0.98是此数列的第七项；

（2）

故此数列是递增数列．

又，

∴此数列是有界数列.

点评：

理解数列中的有关概念，注意区别数列的项、项数、通项等概念，明确并非所有数列都有界.

例3、已知等差数列{a n}共2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，求第n＋1

项及项数2n＋1的值．

分析：

本题考查等差数列的性质，此等差数列的项数为奇数，a n＋1为中间项，可利用a中=S奇－S偶，S奇＋S偶=（2n＋1）a中进行求解．

解答：对于等差数列{a n}，有

a中=a n＋1= S奇－S偶=290－261=29

（2n＋1）a中= S奇＋S偶=290＋261=551

∴2n＋1=19

故第n＋1项为29，项数为19．

点评：

灵活利用等差数列的性质求等差数列的五个量可简化运算，提高解题速度及准确率．

例4、已知数列{a n}的前n项和S n=32n－n2，求数列{|a n|}的前n项和T n．

分析：

由S n可求出a n，从而确定在{a n}中哪些项是正数项，哪些项是负数项，再来求{|a n|}的前n 项和．

解答：当n≥2时，a n= S n－S n－1=（32n－n2）－[32(n－1)－(n－1)2]

=33－2n

又a1=S1=31 适合上式

∴a n=33－2n．

由a n=33－2n≥0得n≤=16.5．

所以等差数列{a n}中前16项为正数项，从第17项开始，各项为负数，因此：

当0

当n≥17时

T n=S16－（a17＋a18＋a19＋…＋a n）=2S16－S n

=－(32n－n2)＋2(32×16－162)

= n2－32n+512

综上所述∴

点评：

在首项为正数，公差为负数的等差数列中，最后一个正数项的项数就是满足使a n>0的最大的n的值，同理在首项为负数，公差为正数的等差数列中，最后一个负数项的项数就是满足使

a n<0的最大的n的值．

例、（2005年高考江苏卷）

设数列的前项和为，已知，，，且，，其中、为常数．

(Ⅰ)求与的值；

(Ⅱ)证明数列为等差数列；

(Ⅲ)证明不等式对任何正整数、都成立．

解：(Ⅰ)由，，，得，，．

把分别代入，得

解得，，．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即