二次函数与几何图形综合题类型4探究全等三角形的存在性问题试题

类型4 探究全等三角形的存在性问题

1．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D ，与y 轴交于点C ，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋2 3.

(1)求b ，c 的值；

(2)过C 作CE∥x 轴交抛物线于点E ，直线DE 交x 轴于点F ，且F(4，0)，求抛物线的解析式；

(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M ，使得△CDM≌△CEM？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵直线CD 的解析式为y ＝3x ＋23，

∴C(0，23)．

∴c ＝2 3.

设直线CD 交x 轴于点A ，

∴A(－2，0)．

∴OA OC ＝223＝33

. ∴∠OCA ＝30°.

过点D 作DM⊥y 轴于点M ，

∴∠DCM ＝30°. ∴MC ＝3DM.

设抛物线的顶点横坐标为h ，则CM ＝3h.

∴D(h ，23＋3h)．

∴y ＝a(x －h)2＋23＋3h. 代入C(0，23)，

∴23＝ah 2＋23＋3h.

∴h 1＝0(舍)，h 2＝－3a

. ∴y ＝a(x ＋

3a )2＋23＋(－3a

)＝ax 2＋23x ＋2 3. ∴b ＝2 3.

(2)作抛物线的对称轴交x 轴于点B(如图)，

∵∠ACO ＝30°，

∴∠CDB ＝30°.

由抛物线的对称性，可得△DCE 为等边三角形．

∵CE ∥x 轴，∴△DAF 为等边三角形．

∴B 为AF 中点，

∵A(－2，0)，F(4，0)，∴B(1，0)．

∵抛物线对称轴为直线x ＝1.

∴－b 2a ＝1，∴－232a

＝1. ∴a ＝－3.∴D(1，33)．

∴y ＝－3(x －1)2＋33＝－3x 2＋23x ＋2 3.

(3)存在．点M 的坐标为(53，2339

)．

2．(2015·金华改编)如图，抛物线y ＝ax 2＋c(a≠0)与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C 两点(点C 在x 轴正半轴

上)，△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H.

(1)求a ，c 的值；

(2)连接OF ，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；

(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P ，是否存在这样的点Q ，使以点P ，Q ，E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵△ABC 为等腰直角三角形，

∴OA ＝12

BC. 又∵△ABC 的面积＝12

BC×OA＝4，即OA 2＝4， ∴OA ＝2.

∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)．

∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，4a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝2.

图1

(2)△OEF 是等腰三角形．理由如下：如图1，

∵A(0，2)，B(－2，0)，

∴直线AB 的函数表达式为y ＝x ＋2，

又∵平移后的抛物线顶点F 在射线BA 上，

∴设顶点F 的坐标为(m ，m ＋2)．

∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12

(x －m)2＋m ＋2. ∵抛物线过点C(2，0)，

∴－12

(2－m)2＋m ＋2＝0， 解得m 1＝0(舍去)，m 2＝6.

∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －6)2＋8，即y ＝－12

x 2＋6x －10. 当y ＝0时，－12

x 2＋6x －10＝0， 解得x 1＝2，x 2＝10.

∴E(10，0)，OE ＝10.

又∵F(6，8)，OH ＝6，FH ＝8.

∴OF ＝OH 2＋FH 2＝62＋82＝10，EF ＝FH 2＋HE 2＝82＋42＝45，

∴OE ＝OF ，即△OEF 为等腰三角形．

(3)存在．点Q 的坐标为(6，221)或(6，3)或(10，12)或(4＋14，6＋14)或(4－14，6－14)．