2014海口市高考调研测试理科数学试题及详解
全国统一高考数学真题及逐题详细解析理科—海南卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（新课标卷Ⅱ）第Ⅰ卷一选择题：本大题共12小题每小题5分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设集合0,1,2M =｛｝2{|320}N x x x =-+≤则M N =I ( )A {1}B {2}C {0,1}D {1,2} 2设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称12z i =+则12z z =（ ）A 5-B 5C 4i -+D 4i --3设向量,a b r r满足||a b +=rr ||a b -=r r a b ⋅=r r ( )A1 B2 C3 D54钝角三角形ABC 的面积是121AB=BC =AC =( )A5 B 5某地区空气质量监测资料表明一天的空气质量为优良的概率是075．连续两天优良的概率是06．已知某天的空气质量为优良则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A 08．B 075．C 06．D 045．6如图网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图该零件由一个底面半径为3cm 高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A1727 B 59 C 1027 D 13 7执行右图程序框图如果输入的,x t 均为2则输出的S =（ ）A4 B5 C6 D78设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =则a =（ ）A0 B1 C2 D39设,x y 满足约束条件70,310,350.x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A10 B8 C3 D210设F 为抛物线2:3C y x =的焦点过F 且倾斜角为30o 的直线交C 于,A B 两点O 为坐标原点则OAB V 的面积为（ ）C 6332D 94 11直三棱柱111ABC A B C -中90BCA ∠=︒M N ,分别是1111A B AC ,的中点1BC CA CC ==则BM 与AN所成的角的余弦值为（ ） A 110 B 2512设函数()xf x m π=若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<则m 的取值范围是（ ）A ()(),66,-∞-⋃∞B ()(),44,-∞-⋃∞C ()(),22,-∞-⋃∞D ()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题~第21题为必考题每个试题考生必须做答第22题~第24题为选考题考生根据要求做答二填空题1310()x a +的展开式中7x 的系数为15则a =________(用数字填写答案) 14函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________15已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减(2)0f =若(1)0f x ->则x 的取值范围是______16设点0(,1)M x 若在圆22:1O x y +=上存在点N 使得45OMN∠=︒则0x 的取值范围是____三解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+ （Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1211132n a a a +++<L 18（本小题满分12分）如图四棱锥P-ABCD 中底面ABCD 为矩形PA ABCD ⊥平面 E 为PD 的中点（Ⅰ）证明：PB AEC ∥平面；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°1AP =AD =求三棱锥E ACD - 的体积19 （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ni ii n i i t t y y b t t ∧==--=-∑∑ˆˆay bt =- 20（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆22221x y a b+= （0a b >> ）的左右焦点M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直直线1MF 与C 的另一个交点为N（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且1||5||MN F N =求,a b21（本小题满分12分）已知函数()2x x f x e ex -=--。
2014年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|(1)4,}M x x x =-<∈R ,{1,0,1,2,3}N =-,则MN = ( )A .{0,1,2}B .{1,0,1,2}-C .{1,0,2,3}-D .{0,1,2,3} 2.设复数z 满足(1i)2i z -=,则z =( )A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知32110S a a =+,59a =,则1a =( )A .13B .13-C .19D .19-4.已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥,l ⊥n ,l α⊄,l β⊄,则( )A .αβ∥且l α∥B .αβ∥且l β⊥C .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中的2x 的系数为5,则a = ( )A .4-B .3-C .2-D .1-6.执行如图的程序框图,如果输入的10N =,则输出的S = ( ) A .11112310++++B .11112!310++++！！C .11112311++++ D .11112311++++！！！7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )8.设3log 6a =,5log 10b =,7log 14c =,则( )A .c b a >>B .b a c >>C .a c b >>D .a b c >>9.已知0a >,x ,y 满足约束条件1,3,(3).x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥若2z x y =+的最小值为1,则a = ( )A .14B .12C .1D .210.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( )A .0x ∃∈R ,0()0f x =B .函数()y f x =的图象是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D .若0x 是()f x 的极值点,则0()0f x '=11.设抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,||5MF =.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x = D .22y x =或216y x =12.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,(0,1)C ,直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A .(0,1)B .21(1,)22-C .21(1,]23-D .11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =________. 14.从n 个正整数1,2,,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.15.设θ为第二象限角,若π1tan()42θ+=,则sin cos θθ+=________. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知100S =,1525S =,则n nS 的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC △在内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin a b C c B =+.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =,求ABC △面积的最大值. 18.（本小题满分12分） --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________如图,直棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别是AB ,1BB 的中点,122AA AC CB AB ===. （Ⅰ）证明：1BC ∥平面1A CD ； （Ⅱ）求二面角1D AC E --的正弦值.19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位：t ,100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的频率),利润T 的数学期望.20.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M :22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线30x y +-=交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.（Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）C ,D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AD ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()e ln()xf x x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时,证明:()0f x >.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按做的第一题积分.作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为ABC △外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E ,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF =,B ,E ,F ,C 四点共圆.（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；（Ⅱ）若DB BE EA ==,求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P ,Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上,对应参数分别为=t α与=2t α(02π)α<<,M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=.证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥.2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】解不等式2(14)x -<，得13x <<-，即|13{}M x x =<<-，而1,0,1,,3{}2N =-，所以0,}2{1,M N =，故选A ．【提示】求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集．【考点】集合的基本运算（交集），解一元二次不等式． 2.【答案】A【解析】2i 2i 1i 22i 1i 1i 1i 21+i z (+)-+====-(-)(+)-． 【提示】根据所给的等式两边同时除以1i -，得到z 的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果． 【考点】复数代数形式的四则运算． 3.【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而219+109a a =，不满足题意，因此1q ≠.∵1q ≠时，33111(1)1+10a S a a q q q --==，∴3+0111q qq =--，整理得29q =.（步骤1） ∵4519a a q ==，即1819a =，∴119a =．（步骤2） 【提示】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可求出． 【考点】等比数列的通项和前n 项和． 4.【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以l α∥．同理可得l β∥．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D ．【提示】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【考点】直线与平面的位置关系． 5.【答案】D【解析】因为5(1+)x 的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含x 2的项为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，所以10+55a =，1a =-.【提示由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中2x 的系数为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，由此解得a 的值．【考点】二项式定理 6.【答案】B【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，11+2S =； 当k =3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k =4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；；（步骤1）当k =10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确．（步骤2）【提示】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能． 【考点】循环结构的程序框图． 7.【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图象为下图：第7题图则它在平面zOx 上的投影即正视，故选A ．【提示】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可． 【考点】空间直角坐标系，三视图． 8.【答案】D【解析】根据公式变形，lg6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg 5g 3l >>，所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3<<，即c b A <<．故选D ． 【提示】利用log ()log log (0)a a a xy x y x y =+>、，化简a ，b ，c 然后比较3log 2，5log 2，7log 2大小即可．【考点】对数函数的化简和大小的比较． 9.【答案】B【解析】由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2+1x y =，因为直线2+1x y =与直线1x =的交点坐标为(1,)1-，结合题意知直线(3)y a x =-过点(1,)1-，代入得12a =，所以12a =．第9题图【提示】先根据约束条件画出可行域，设2z x y =+，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线2zx y=+过可行域内的点B 时，从而得到a 值即可． 【考点】二元线性规划求目标函数的最值．10.【答案】C【解析】由于2()32f x x ax b '=++是二次函数，()f x 有极小值点0x ，必定有一个极大值点1x ，若10x x <，则()f x 在区间0(,)x -∞上不单调递减，C 不正确．【提示】利用导数的运算法则得出()00f x '∆>∆≤，分与讨论，即可得出． 【考点】利用导数求函数的极值． 11.【答案】C【解析】设点M 的坐标为00(,)x y ，由抛物线的定义，得052|+MF x p ==|，则052x p =-．（步骤1）又点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为00+0()()2p x y x x y y ⎛⎫⎪-- ⎝⎭-=.（步骤2）将0x =，2y =代入得00+840px y -=，即02+2480y y -=，所以04y =. 由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =.（步骤3）所以C 的方程为24y x =或216y x =．故选C ．【提示】已知抛物线焦点到抛物线上点的线段的距离和以这条线段为直径的圆上的一点，求出抛物线的方程．【考点】抛物线的定义和抛物线的标准方程． 12.【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图（1），由图可知，直线BC 的方程为1x y +=．由1,,x y y ax b +=⎧⎨=+⎩解得1,11b a b M a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭． 可求()0,N b ，,0b D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线y ax b =+将△ABC 分割为面积相等的两部分，∴12S S =△△BDM ABC ．又12BOC ABC S S =△△，CMN ODN S S ∴=△△，即111(1)221b b b b a a -⎛⎫⨯-⨯=-⨯ ⎪+⎝⎭．整理得22(1)1b b a a -=+． 22(1)1b ab a-+∴=，11b ∴-=，11b =即b =，可以看出，当a 增大时，b 也增大．当a →+∞时，12b →，即12b <．当0a →时，直线+y ax b =接近于y b =．当y b =时，如图（2），2222(1)112CDM ABC S CN b S CO -===△△．1b ∴-1b =1b ∴>-． 由上分析可知1122b -<<，故选B ．第12题图（1） 第12题图（2）【提示】已知含有参数的直线将三角形分割为面积相等的两部分和点的坐标，求出参数的取值范围．【考点】函数单调性的综合应用．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】2【解析】以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则1(),2AE =，)2(2,BD =-，所以2AE BD =．第13题图【提示】结合几何的关系，求出向量的数量积． 【考点】平面向量的数量积运算． 14.【答案】8【解析】从1，2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以221C 14n =，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =.【提示】列出从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为114列式计算n 的值． 【考点】古典概型，排列组合的应用．15.【答案】 【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan 13θ=-，即1s 3in cos θθ-=．（步骤1）将其代入22sin +cos 1θθ=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以10cos θ-=0in 1s θ=，sin +cos 5θθ=-．（步骤2）【提示】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin cos θθ与的值，即可求出sin cos θθ+的值．【考点】两角和与差的正切，同角三角函数的基本关系． 16.【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，则110110910+210+450S a d d a =⨯==，① 1151151415215+10525a d a d S =⨯==+.②（步骤1） 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n n n S -=-+⨯=-．（步骤2）令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220()3f n n n '=-．令()0f n '=，得0n =或203n =．（步骤3）当203n >时，()0f n '>，200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n ∈N ＋，则(6)48f =-，(7)49f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值－49.（步骤4）【提示】已知等差数列前10项和与前15项和，求出n 与前n 项和乘积的最小值． 【考点】等差数列的前n 项，利用导数求函数的最值． 三、解答题 17.【答案】（1）π4（2【解析】（1）由已知及正弦定理得sin sin cos +sin sin A B C C B =．①又()+A B C π=-，故sin sin +sin cos +co )s i (s n A B C B C B C ==．②由①，②和π()0,C ∈得sin cos B B =，即tan 1B =，又π()0,B ∈，所以π4B =．（步骤1） （2）△ABC的面积1sin 2S ac B ==． 由已知及余弦定理得22π2cos 44+ac a c =-．（步骤2）又22+2a c ac ≥，故ac ≤，当且仅当a c =时，等号成立．因此△ABC．（步骤3）【提示】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tan B 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，把sin B 的值代入，得到三角形面积最大即为ac 最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac 的最大值，即可得到面积的最大值．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦． 18.【答案】（1）连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则1BC DF ∥．因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD ．（步骤1） （2）由AC CB AB ==，得AC BC ⊥ 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，12,()0,2A ，(1),1,0CD =，(0),2,1CE =，12,0,2()CA =． 设111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，则10,0,n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111+0,2+20.x y x z =⎧⎨=⎩ 可取1),(,11n =--．（步骤2）同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则10,0,m CE m CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩可取2,1(),2m =-．（步骤3）从而3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>= 即二面角D －A 1C －E ．（步骤4）第18题图（1）【提示】（1）通过证明1BC 平行平面1ACD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明11BC ACD 平面∥ （2）．由AC CB AB ==，得AC BC ⊥以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，由3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>=【考点】直线与平面的判定，空间直角坐标系，空间向量及其运算．19.【答案】（1）80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩ （2）0.7（3）59400【解析】（1）当100[),130X ∈时，50030013()080039000T X X X =--=-，当130[],150X ∈时，50013065000T =⨯=. 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩（步骤1）（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤.由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7（步骤2）（3所以450000.1+530000.2+610000.3+650000.459400ET =⨯⨯⨯⨯=.（步骤3）【提示】（1）由题意先分段写出，当100[),130X ∈时，当130[],150X ∈时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ≤≤再由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．（3）利用利润T 的数学期望=各组的区间中点值x 该区间的频率之和即得．【考点】频率分布直方图，分段函数的模型，离散型随机变量的数学期望．20.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】（1）设11(),A x y ，22(),B x y ，00(),P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，21211y y x x -=--，由此可得22121221211b x x y y a y y x x (+)-=-=(+)-． 因为120+2x x x =，120+2y y y =，0012y x =，所以222a b =（步骤1）又由题意知，M的右焦点为，故223a b -=. 因此26a =，23b =.所以M 的方程为22163x y +=．（步骤2） （2）由220,1,63x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此||AB =．（步骤3） 由题意可设直线CD的方程为3y x n n ⎛=+-<< ⎝，设33(),C x y ，44(),D x y ．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得223+4+260x nx n -=.于是3,4x （步骤4） 因为直线CD 的斜率为1，所以43|||x x CD - 由已知，四边形ACBD 的面积186||||29S CD AB ==．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为．所以四边形ACBD ．（步骤5）【提示】（1）把右焦点(,0)c 代入直线可解得C ．设11(),A x y ，22(),B x y ，线段AB 的中点00(),P x y ，利用“点差法”即可得到a ，b 的关系式，再与222a bc =+联立即可得到a ，b ，c ．（2）把直线0x y +=与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||AB ，由CD AB ⊥，可设直线CD 的方程为y x n =+，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||CD ．利用1||||2ACBD S AB CD =四边形即可得到关于n 的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【考点】椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、点差法的应用和直线与椭圆的位置关系． 21.【答案】（1）1()e x f x x m=-+． 由0x =是()f x 的极值点得(0)0f '=，所以1m =.于是ln +)1(()xf e x x =-，定义域为()1,+-∞，1()e 1xf x x =-+．（步骤1）函数1()e 1x f x x =-+在()1,+-∞单调递增，且(0)0f '=.因此当,0()1x ∈-时，()0f x '<； 当+()0,x ∈∞时，()0f x '>.所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0,+)∞单调递增．（步骤2）（2）当2m ≤，,()+x m ∈-∞时，l ()()n +ln +2x m x ≤，故只需证明当2m =时，()0f x >. 当2m =时，函数1()e 2x f x x =-+在()2,+-∞单调递增． 又1()0f '-<，(0)0f '>，故()0f x '=在()2,+-∞有唯一实根x 0，且0)0(1,x ∈-．（步骤3） 当2+(),x ∈-∞时，()0f x '<；当0(),+x x ∈∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由0()0f x '=得001e 2x x =+，00ln +2()x x =-，故200000()()+11022f x f x x x x x ≥)=+++=(>. 综上，当2m ≤时，()0f x >.（步骤4）【提示】（1）求出原函数的导函数，因为0x =是函数()f x 的极值点，由极值点处的导数等于0求出m 的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间； （2）证明当2m ≤时，()0f x >，转化为证明当2m =时()0f x >求出当2m =时函数的导函数，可知导函数在(2,)-+∞上为增函数，并进一步得到导函数在(1,0)-上有唯一零点0x ，则当0x x =时函数取得最小值，借助于0x 是导函数的零点证出0()0f x >，从而结论得证． 【考点】利用导数求函数的单调区间和极值，利用导数解决不等式问题． 22.【答案】（1）因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF △∽△，所以DBC EFA ∠=∠．（步骤1）因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒．所以90CBA ∠=︒，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．（步骤2）（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB BE =，有CE DC =，又222BC DB BA DB ==，所以222 2.4+6CA DB BC DB ==而2223DC DB D CE DA B ===，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12． （步骤3）第22题图【提示】（1）已知CD 为ABC △外接圆的切线，利用弦切角定理可得DCB A ∠=∠，及BC DCFA EA=，可知CDB AEF △∽△，于是DBC EFA ∠=∠．利用B 、E 、F 、C 四点共圆，可得CFE DBC ∠=∠，进而得到90EFA CFE ∠=∠=︒即可证明CA 是ABC △外接圆的直径；（2）要求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ，及DB BE =，可得CE DC =，利用切割线定理可得222BC DB BA DB ==，222 2.4+6CA DB BC DB ==，都用DB 表示即可．【考点】弦切角，圆内接四边形的性质．23.【答案】（1）cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数， （2）d (02π)α<< M 的轨迹过坐标原点【解析】（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，因此cos +cos2,sin +i ()s n2M αααα．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数，．（步骤1）（2）M 点到坐标原点的距离d =(02π)α<<．当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（步骤2）【提示】（1）根据题意写出P ，Q 两点的坐标：2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，再利用中点坐标公式得PQ 的中点M 的坐标，从而得出M 的轨迹的参数方程；（2）利用两点间的距离公式得到M 到坐标原点的距离d 证当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点． 【考点】参数方程，轨迹方程．24.【答案】（1）由22+2b a ab ≥，22+2b c bc ≥，22+2c a ca ≥，得222++++a b c ab bc ca ≥．（步骤1）由题设得21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =.所以3+(+)1ab bc ca ≤，即1++3ab bc ca ≤．（步骤2） （2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥，故222(++(2))a b c a b c a b c b c a +++++≥，（步骤3）即222++a b c a c a c b b ++≥． 所以2221a b c b c a++≥（步骤4）【提示】（1）依题意，由21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =，利用基本不等式可得3+(+)1ab bc ca ≤，从而得证；（2）利用基本不等式可证得：22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三式累加即可证得结论．【考点】不等式证明，均值不等式．。
2014年高考海南卷 理数
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（新课标卷二Ⅱ 海南卷）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b|a-b，则a ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线 画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高 为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来 毛坯体积的比值为（ ）A. 1727B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则 输出的S=（ ）A. 4B. 5C. 6D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ， 则a =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.B.C. 6332D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.D.12.设函数()x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),44,-∞-⋃∞C. ()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得 ∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，求三棱锥E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i ni i tty y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长 线交O 于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.。
海南省海口市教育研究培训院2014届高三第一次调研数学(理)试题扫描版含答案
1. C 因为N ＝{y |y ＝ln x ＋1，x ≥1}＝{y |y ≥1}，∴M ∩N ＝[1，3)．2．B z ＝1＋i 1－ai＝，则21－a＝－1，得a ＝3，∴z 的虚部为－2.3．C 若A 、B 、C 三点共线，则→AB 、→AC 共线，于是1λ1＝λ21，即λ1λ2＝1，反之亦然． 4．B 由通项公式得常数项为(－2)4·C 54a ＝160，解得a ＝2.5．A 在程序执行过程中，m ，n ，r 的值依次为m ＝42，n ＝30，r ＝12；m ＝30，n ＝12，r ＝6；m ＝12，n ＝6，r ＝0，所以输出m ＝12.6.C ∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2|PF 1|，∴|PF 2|＝4a ，|PF 1|＝2a ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，∴|PF 2|=|F 1F 2|，即4a =2c ,∴a c ＝2.11.D 过P 作PE ∥AB 交球面于E ，连结BE 、CE ，则BE ∥AP ，CE ∥DP ，∴三棱柱APD －BEC 为正三棱柱，∵△PAD 为正三角形，∴△PAD 外接圆的半径为33，即有球O 的半径R ＝）23＝34，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝364π. 12．B 用(t ，s )表示2t＋2s，下表的规律为 第一行3(0，1) 第二行5(0，2) 6(1，2)第三行9(0，3) 10(1，3) 12(2，3)第四行17(0，4) 18(1，4) 20(2，4) 24(3，4)第五行33(0，5) 34(1，5) 36(2，5) 40(3，5) 48(4，5) ……因为99＝(1＋2＋3＋4＋…＋13)＋8，所以a 99＝(7，14)＝27＋214＝16512. 13．85.3 ∵中位数为85，∴4＋x ＝2×5，解得x ＝6.∴79＋73＋3×84＋86＋87＋88＋93＋95＝853，∴平均数为85.3.14．44 由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、1的长方体和一个底面积为21×4×5、高为2的三棱柱组合而成，其体积V ＝1×4×6＋21×4×5×2＝44（cm 3）.15．2 圆F ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝32，所以把F (1，－2)代入y 2＝2px ，得p ＝2，所以抛物线E 的准线方程为x ＝－1，所以抛物线E 的准线与圆F 相交所得的弦长为2＝2.16．14 ∵cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，∴－cos(A ＋C )＋cos(A －C )＝1－cos 2B ，2sin A sin C ＝2sin 2B ，由正弦定理得ac ＝b 2，即ac ＝7≤21(a 2＋c 2)，∴a 2＋c 2的最小值为14.17．解：(1)由S n ＝3a n ＋2n ，得S n ＋1＝3a n ＋1＋2(n ＋1)， 以上两式相减得a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ＋2，即a n ＋1＝23a n －1， 所以a n ＋1－2＝23(a n －2)．又因为S 1＝a 1＝3a 1＋2，所以a 1＝－1，a 1－2＝－3.故数列{a n －2}是以－3为首项，23为公比的等比数列．(6分)(2)由(1)得a n －2＝－3×(23)n －1，所以a n ＝2－3×(23)n －1.所以2×3n an ＝3n 1－2n 1，所以T n ＝31－21＝2n 1－2×3n 1－21.(12分)18．解：(1)因为0.015×10＝0.15，0.04×10＝0.4，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的面积相等，所以中位数在区间[60，70)内，(2分)设中位数为x ，则10x －60＝0.40.5－0.15，解得x ＝68.75，估计该系统所属企业评估得分的中位数是68.75.(4分)(2)据题意，整改后优秀企业的频率为10×0.025＝0.25，不合格企业、合格企业、良好企业的频率成等差数列．(5分)设该等差数列的首项为a ，公差为d ，则3a ＋3d ＝1－0.25＝0.75，即a ＋d ＝0.25，(7分) 设该系统所属企业获得贷款的均值为E (X )，则E (X )＝a ×0＋(a ＋d )×200＋(a ＋2d )×400＋0.25×800＝0.25×200＋(0.25＋d )×400＋0.25×800＝400d ＋350＝450－400a .又E (X )≥410，得450－400a ≥410，即a ≤0.1.(11分)故整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是10%.(12分) 19．解：(1)图(1)中，AB ＝3，AD ＝，且EC ＝2DE ，∴DE ＝1，AE ＝2，BD ＝2，又AB ∥CD ， 则OA OE ＝OB OD ＝AB DE ＝31，∴AO ＝23，OE ＝21，OD ＝23，OB ＝23.(3分)则AO 2＋OB 2＝(23)2＋(23)2＝32＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，即AE ⊥BD .(5分)图(2)中，AE ⊥OB ，AE ⊥OD ，又OB ∩OD ＝O ， ∴AE ⊥平面DOB .(6分)(2)∵平面ADE ⊥平面ABCE ，且这两平面的交线为AE ，又DO ⊥AE ，∴DO ⊥平面ABCE . 建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A (23，0，0)，E (－21，0，0)，B (0，23，0)，D (0，0，23)，(8分)面DEA 的一个法向量n ＝(0，1，0)， 又→ED ＝(21，0，23)，→EB ＝(21，23，0)，(8分) 设面DEB 的法向量m ＝(x ，y ，z )，由＝0，EB 得3即y ＝0.3z ＝0，取面DEB 的一个法向量m ＝(－3，1，3)．(10分) ∴cos 〈m ，n 〉＝|m||n|m·n ＝371＝3737，设二面角A －DE －B 的平面角为θ，由图形知θ为锐角，则cos θ＝cos 〈m ，n 〉＝3737.即二面角A －DE －B 的余弦值为3737.(12分) 20．解：(1)设椭圆的右焦点为(c ，0)，因为y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，所以c ＝2.(2分)因为e ＝a c ＝55，则a 2＝5，b 2＝1， 故椭圆方程为5x2＋y 2＝1.(4分)(2)由(1)得F (2，0)，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，代入5x2＋y 2＝1中，得(5k 2＋1)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0.(5分)21．解：(1)显然函数f (x )的定义域是(0，＋∞)．由已知得f ′(x )＝x 1－ax ＋a －1＝－x ）.(ⅰ)当a ＞0时，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1；令f ′(x )＜0，解得x ＞1. 所以函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (ⅱ)当a ＜0时，①当－a 1＜1，即a ＜－1时， 令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜－a 1或x ＞1；令f ′(x )＜0，解得－a 1＜x ＜1.所以，函数f (x )在(0，－a 1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－a 1，1)上单调递减． ②当－a 1＝1，即a ＝－1时， 显然，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当－a 1＞1，即－1＜a ＜0时， 令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1或x ＞－a 1；令f ′(x )＜0，解得1＜x ＜－a 1.所以，函数f (x )在(0，1)和(－a 1，＋∞)上单调递增，在(1，－a 1)上单调递减. 综上所述，(ⅰ)当a ＞0时，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；(ⅱ)当a ＜－1时，函数f (x )在(0，－a 1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－a 1，1)上单调递减；(ⅲ)当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(ⅳ)当－1＜a ＜0时，函数f (x )在(0，1)和(－a 1，＋∞)上单调递增，在(1，－a 1)上单调递减.(6分) (2)假设函数f (x )存在“中值相依切线”．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是曲线y ＝f (x )上的不同两点，且0＜x 1＜x 2， 则y 1＝ln x 1－21ax 12＋(a －1)x 1，y 2＝ln x 2－21ax 22＋(a －1)x 2. k AB ＝x2－x1y2－y1＝2212x2－x1）＋（a －1）（x2－x1）＝x2－x1ln x2－ln x1－21a (x 1＋x 2)＋(a －1)．曲线在点M (x 0，y 0)处的切线斜率 k ＝f ′(x 0)＝f ′(2x1＋x2)＝x1＋x22－a ·2x1＋x2＋(a －1).依题意得x2－x1ln x2－ln x1－21a (x 1＋x 2)＋(a －1)＝x1＋x22－a ·2x1＋x2＋(a －1)，化简可得x2－x1ln x2－ln x1＝x1＋x22 ，即ln x1x2＝x2＋x12（x2－x1）＝＋1x2.设x1x2＝t (t ＞1)，上式化为ln t ＝t ＋12（t －1）＝2－t ＋14，即ln t ＋t ＋14＝2.令g (t )＝ln t ＋t ＋14，g ′(t )＝t 1－（t ＋1）24＝t （t ＋1）2（t －1）2.因为t ＞1，显然g ′(t )＞0，所以g (t )在(1，＋∞)上单调递增， 显然有g (t )＞2恒成立，所以在(1，＋∞)内不存在t ，使得ln t ＋t ＋14＝2成立. 综上所述，假设不成立．所以，函数f (x )不存在“中值相依切线”.(12分)22．解：(1)如图，连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . ∵OC 是圆的半径，∴AB 是圆的切线．(4分)(2)∵ED 是直径，∴∠ECD ＝90°，∴∠E ＋∠EDC ＝90°，又∠BCD ＋∠OCD ＝90°，∠OCD ＝∠EDC ，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ， ∴△BCD ∽△BEC ，∴BE BC ＝BC BD⇒BC 2＝BD ·BE ，∵tan ∠CED ＝EC CD ＝21，△BCD ∽△BEC ，∴BC BD ＝EC CD ＝21，设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2＝BD ·BE, ∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2， ∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.(10分)24．证明：(1)∵a 1＋b 1＋c 1＝(a ＋b ＋c )(a 1＋b 1＋c 1)＝3＋(a b ＋b a )＋(a c ＋c a )＋(b c ＋c b)≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b ＝c ＝31时，等号成立，∴a 1＋b 1＋c 1≥9.(5分)(2)∵a ＋b 1＋a ＋c 1＋b ＋c 1＝21[(a ＋b )＋(a ＋c )＋(b ＋c )](a ＋b 1＋a ＋c 1＋b ＋c 1) ＝21[3＋(a ＋b a ＋c ＋a ＋c a ＋b)＋(a ＋c b ＋c ＋b ＋c a ＋c )＋(a ＋b b ＋c ＋b ＋c a ＋b)] ≥21[3＋2＋2＋2]＝29，当且仅当a ＝b ＝c ＝31时等号成立．∴a ＋b 1＋a ＋c 1＋b ＋c 1≥29.(10分)。
海南省海口市2014届高三高考调研测试(二) 数学(理)Word版含答案
2014年海口市高考调研测试数学（理科）试题(二)注意事项：1．本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效．2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效)1．设集合12{|,[1,4]}M y y x x ==∈，2{|log (1)}N x y x ==-，则()R C N M =A ．{|12}x x ≤≤B ．{|14}x x ≤≤C ．{2}x x ≤≤D ．∅ 2，设i 为虚数单位，则满足条件2(2)(1)i z i +=+的复数z 的共轭复数是A ．2455i +B ．2455i --C ．2455i -+D ．2455i -3．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，命题p ：{}n a 是等差数列，命题q ：2n S An Bn C =++（,,A B C R ∈），则命题p 是命题q 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上都不正确 4．设随机变量(0,1)N ξ，若(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<= A ．12p + B ．12p - C ．12p - D ．1p - 5．某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有A ．80种B ．90种C ．120种D ． 150种6．如右图是一个根据△ABC 的三条边的边长,,a b c 判断三角形形状的程序框图，则框图中菱形内应该填写的是( )A ．?a c >B ．?a c <C ．?b c >D ．?b c < 7．等比数列{}n a 的前项和为n S ，8417S S =，352a a =，则68a a =A ．32B ．64C ．128D ．2568．抛物线2x py =与直线10x ay ++=交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(2,1)，设抛物线的焦点为F ，则||||FA FB +等于A ．13 B ．176 C ．289 D ．3199．空间直角坐标系中，△ABC 的三视图如右图所示，已知(0,0,0)A ，(0,2,2)B ，则点C 的坐标是 A ．(0,2,2)- B ．(2,2,2)--C ．(2,0,0)D ．(2,2,2)-10．在区域1{(,)|[1,],[0,]}2c D x y x c y +=∈-∈上随机取一个点(,)P x y ，落在1000x y x y c y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域内的概率值 A ．14 B ．13 C ．12D ．与c 的值有关 11．在△AB C 中，已知16AB AC ⋅=，sin cos sin C A B =，6ABC S ∆=，P 为线段AC 上的点，且BA BC BP xyBABC=+, 则xy 的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．112．设球O 是正方体ABCD 1111A B C D -的内切球，若平面1ACD 截球O 所得的截面面积为6π，则球O 的半径为 A ．32B ．3CD 第Ⅱ卷 非选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷中的横线上)．13．计算2|1|x dx -=⎰_________．14．过点(1,1)-的直线与圆2224110x yx y +---=截得的弦长为，则该直线的方程为 ．15．设角θ为第四象限角,并且角θ的终边与单位圆交于点00(,)P x y ,若0013x y +=-,则cos2θ=_________．16．定义在R 上的运算“⊕”： 对实数x 和y ，x y ⊕=(),(),x x y y x y ≥⎧⎨<⎩ 设函数()f x =()222x x +-（第6题图）（第9题图）()22x ⊕-+，x R ∈。
2014海南高考数学线性代数题及答案解析
2014海南高考数学线性代数题及答案解析一、题目解析2014年海南高考数学试卷中，线性代数部分是其中的一个重要部分。
以下是针对该部分题目的解析和答案分析。
1.选择题题目一：已知方程组：\[ \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + y + kz = 7 \\ 3x + 4y + 5z = 15\end{cases} \]若方程组有唯一解，则实数$k$的取值范围是：解析：首先，我们需要判断方程组的解的情况。
通过计算可知，若行列式的值为零，则方程组无解；若值不为零，则方程组有唯一解。
计算行列式：\[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & k \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 31k - 14 \]要使得行列式的值不为零，即解存在，使得\[ 31k - 14 \neq 0 \]所以，$k \neq \frac{14}{31}$。
因此，实数$k$的取值范围是$k \neq \frac{14}{31}$。
题目二：已知二次型\[ f(x,y,z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy + 2xz - 4yz \]则对于任意的实数$a$，当且仅当$a \geqslant \frac{5}{3}$时，二次型$f(x,y,z)$正定。
解析：对于一个二次型，判断其正定还是负定，需要计算其特征值。
特征值公式为：\[ \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 1 \\ -1 & 2-\lambda & -2 \\ 1 & -2 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0 \]计算得到特征方程：\[ (\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-5) = 0 \]所以，该二次型的特征值为$1, 3, 5$。
海南省海口市海南华侨中学2014届高三下学期第5次测试数学理试题 Word版含答案
海南侨中2014届高三第5次数学（理科）测试卷第I 卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.)1.复数i iz 2143++=的共轭复数z =（ C ） A.i 52511- B.i 51152- C.i 52511+ D.i 51152+ 2.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥--020222x x x x 的解集用数轴表示为（ B ）3.如右图所示的程序框图.若两次输入x 的值分别为π和3π-，则两次运行程序输出的b 值分别为（ A ）A.π，23-B.1，23C. ,023 D . π-，23- 4.双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的一个焦点F 到它的一条渐近线距离x 满足a x a 3≤≤，则该双曲线的离心率的取值范围为（ D ）A.),2[+∞B.)10,1(C. )10,2[D. )10,2[5.已知m ，n 为两条不同的直线,α，β为两个不同的平面,下列命题中正确的是（ D ）A ．l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则βα//C ．若n m m ⊥⊥,α,则α//nD ．若α⊥n n m ,//,则α⊥m 6. 若锐角α满足3cos 32sin 2=+αα，则)322tan(πα+的值是（ B ） A.73- B. 73 C.773-D. 773 7.如图是一台微波炉的操作界面.若一个两岁小孩触碰E D C B A 、、、、 五个按钮是等可能的，则他不超过两次按钮启动微波炉的概率为（ B ） A.257 B. 259 C. 258 D . 25118. 下列命题中真命题的个数为（ B ）①R x ∈∃0,使得2cos sin =+x x . ②锐角ABC ∆中，恒有1tan tan >B A . ③R x ∈∀,不等式012<--ax ax 成立的充要条件为：04<<-aA.0B.1C.2D.39.（理）二项式n x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则n x )1(-展开式第四项的系数为( C ) A.15 B.20 C.20- D.15- 10.平行四边形ABCD 中，点E 为AD 中点，连接AC BE 、且交于点F .若AE y AB x AF +=)(R y x ∈、，则=y x :（ C ）A.3:1B. 3:2C. 2:1D.4:311.已知集合},,20,20|),{(R c a c a c a A ∈<<<<=，则任取(,)a c A ∈，关于x 的方程022=++c x ax 无实根的概率（ D ）A ．22ln 1+ B ．42ln 21+ C ．22ln 1- D ．42ln 23-12.(理)某几何体的三视图如右所示，若该几何体的外接球的表面积为π3， 则正视图中=a ( A )A.2B.23C.2D.π第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中的指定位置）13．对于n N +∈的命题，下面四个判断： ①若2()1222n f n =++++，则(1)1f =；②若21()1222n f n -=++++，则(1)12f =+；③若111()12321f n n =+++++，则(1)f 11123=++； ④若111()1231f n n n n =++++++，则1111(1)()3233341f k f k k k k k +=+++-++++ 其中正确命题的序号为___③④__________．15在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c.已知5sin 13B =，且a ，b ，c 成等比数列. 则11tan tan A C+= 513.15．已知实数,x y 满足0024x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，当23s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值函数()f s 的最小值为_____6 ________．16．将正奇数1,3,5,7,按右表的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2013ij a =，则i j+的值为 254 .三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将大体的过程写在答题卷中指定的位置）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）21n n S na n n +=-- …①212(1)(1)(1)n n S n a n n ++∴=+-+-+ …②由②-①得：121(1)22n n n a n a na n +++=+--- ，21(1)(1)2(1)n n n a n a n +++=+++212n n a a ++=+ ，即：212n n a a ++-=…③ ;又21122a S a =+=+ ，即：212a a -=…④综合③、④可得：对*n N ∈ ,有12n n a a +-=成立.∴ 数列{}n a 是以10a =为首项，公差2d =的等差数列.所以数列{}n a 的通项公式为：22n a n =- .（2）数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，∴ 2222log log n n n b -+=，2log 22nb n n∴=- ，14n n b n -∴=⋅ .01221142434(1)44 0n n n T n n --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅+ …⑤12140 1424(1)44n n n T n n -∴=+⋅+⋅++-⋅+⋅…⑥由⑤-⑥可得：0121344444n nn T n --=++++-⋅ 41441n n n -=-⋅- ， 441(31)41399n n n n n n T ⋅--⋅+∴=-=18．某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取12名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从 这12人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率； (3)以这12人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选2人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望． 18. 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.7；……………………………2分（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则3129390133121248()()()55C C C P A P A P A C C =+=+= ； …………………6分（3）ξ的可能取值为0，1，2. 239(0)()416P ξ===；12133(1)448P C ξ==⨯⨯= ；211(2)()416P ξ=== ；…….10分 所以ξ的分布列为：9311()012168162E ξ=⨯+⨯+⨯= ………..……….…12分另解：ξ的可能取值为0，1，2.则1~(2,)4B ξ ，2213()()()(0,1,2)44k k kP k C k ξ-===其中所以11()242E ξ=⨯= .19. 已知四边形ABCD 是菱形,2==DB DA ,ABCD DD 面⊥1，点P 为线段1OD 上的任一点.(1)若21=DD ,1OD DP ⊥,求OD 与面1D AC 所成角的正切值；(2)若二面角D AD C --1的平面角的余弦值为515，求线段1DD 的长. 解析：（1） AC BD 、 为四边形ABCD 的两条对角线，AC BD ∴⊥ . 又ABCD DD 面⊥1，AC ABCD ⊂面 ,1AC DD ∴⊥ . 且1111,,DD DB D DD D DB DB D DB ⋂=⊂⊂面面 ，1AC D DB ∴⊥面 . 再1DP D DB ⊂面 ,DP AC ∴⊥ ,且1OD DP ⊥，1DP D AC ∴⊥面 .OD ∴ 与面1D AC 所成角为DOP ∠ .由条件21=DD ，1DO = ,1tan 2DD DOP DO∴∠== （2）如图建立空间直角坐标系oxyz ，则)0,0,3(A ，)0,1,0(-D ,)2,1,0(1-D ,易求得面DA D 1的一个法向量)0,3,1(1-=n .设线段1DD 的长为0z ，),1,0(01z D -∴，),1,3(01z AD --=，)0,0,32(-=,设面C AD 1的一个法向量),,(2z y x n =.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00221n AC n ，可得：⎩⎨⎧==-+0030x z z y x ，由0=x ，z z y 0=，令1=z ，可得：0z y = )1,,0(02z n =∴,由（2）已知面面DA D 1的一个法向量)0,3,1(1-=n ，再因二面角D AD C --1的平面角的余弦值为515，515123||||2002121=+=⋅z z n n ， 可解得：20=z ，即：线段1DD 的长为2.20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 经过点)23,1(P ，离心率21=e ，直线l 的方程为 4=x .(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记P A ,PB ,PM 的斜率分别为321,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得321k k k λ=+？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由。
新课标2卷填选题详解
2014年海南省高考理科数学详解 解析1.答案：D解析：简单的不等式求解与集合运算2.答案：A解析：考察复平面坐标与复数一一对应，12z i =+对应点(2,1)关于虚轴（y 轴）对称点为(2,1)-，因此22122,45z i z z i =-+=-=-3.答案：A 解析：考察向量的运算，是课本上的原型，222210a b a a b b +=+⋅+= （1）同理有22226a b a a b b -=-⋅+= （2），(1)-(2)= 44a b ⋅= 即1a b ⋅= 4.答案：B 解析：考察三角形面积公式与余弦定理的简单应用，11sin 22S AB BC ABC =⋅⋅∠=则有sin ABC ∠=，因此当4ABC π∠=时2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，AC=1注意此时为等腰直角三角形不合题意舍去，当34ABC π∠=时2222cos 5AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，AC =（大边对大角）满足条件5.答案：A解析：考察独立事件的概率乘法，设某一天空气优良为事件A,后一天空气优良概B ，则根据概率乘法有连续两天空气优良()()()P AB P A P B =⋅，得()0.8P B =6.答案：C解析：三视图，注意三视图位置为（正，侧，俯）由图可以看出相当于一个平躺的圆柱（底面圆的半径为3，高为6）外侧消掉一部分（剩余部分小圆柱底面半径为2，高为4，大圆柱底面半径为3，高为2）则原毛坯的体积为54V π=原，剩余部分体积为161834V πππ=+=剩，因此20105427V V ππ==削毛 7.答案：D解析：简单的程序框图，但由于变量涉及到5个，容易出错，同时一定要注意每一步执行的顺序根据流程图模拟运算有第一次结果2,5,2M S k ===，第二次结果2,7,3M S k ===，此时k t ≤不成立退出循环，输出7S =8.答案：D解析：，考察导数的几何意义，复合函数求导1','(0)12,31y a y a a x =-=-==+ 9.答案：B解析：考察线性规划问题，通过对应方程两两联立得交点分别为(5,2)，(3,4)，（1,2）经检验都在可行域内，因此max 5,2,8x y z ===10.答案：D 解析：考察抛物线的定义及三角形面积，由已知得焦点坐标为3(,0)4F ，因此AB 直线方程为3),43034y x x =---=即，与抛物线方程联立化简得：联立方程得：2490y --=，因此6A B y y -==同时113962244O A B B S O F y y ∆=-=⨯⨯=或者有2219210,2162A B x x x x -+=+=又根据抛物线的定义有2131222A B AB x x p =++=+=，同时根据原点到直线距离有高为38h ==，因此1924OAB S AB h ∆== 11.答案：C 解析：考察异面直线夹角问题，取BC 中点D ，连结MN,ND ，由于111////2MN BC B C 因此有//ND BM ，则ND 与NA 所成夹角即为异面直线BN 与AN 夹角，设2BC =，则BM ND =AN AD ==222cos 2ND NA AD AND ND NA +-∠==⋅12.答案：C解析：考察三角函数的性质及特称命题与全称命题（正难则反）转化，以及关于不等式恒成立问题()sin()f x x m π=的极值点即为三角型函数的最高或者最低点处的横坐标，由三角形性质可知22T m m ππ==，因此0()2m x km k Z ∈+∈,假设不存在这样的0x ，即对任意的0x 都有22200[()]x f x m +≥，则22()32m km m ++≥，整理得：223()()304f m m k k =+-+≥恒成立，即22334k k m +-≥-，23()4f k k k =+-最小值为3(104k -=-或），22m -≤≤因此原特称命题成立的条件是2m >13.答案：2解析：考察二项式展开，10110k k k k T C x a -+=当733,12015,2k x a a ===的系数为 14.答案：1解析：考察两角和差的正弦公式，注意角的拆分()sin()2sin cos()f x x x ϕϕϕϕ=++-+，又()sin()sin()cos cos()sin f x x x x ϕϕϕϕϕϕ=++=+++，因此()sin()cos cos()sin sin f x x x x ϕϕϕϕ=+-+=即最大值为115.答案：(-1,3)解析：考察偶函数的性质，对称区间单调性相反，数形结合易得212,13x x -<-<-<<16.答案：【-1,1】解析：数形结合，当(1,1)M 时，恰好存在圆上（0,1）（1,0）两个点使得，45OMN ∠=结合图像，当M 继续向右运动时，与圆上任意一点形成的夹角都小于45度，再结合对称性可得0x 范围在[1,1]-。
海南省海口市2014届高三高考调研测试(二) 数学(文)(24题不全)4
2014年海口市高考调研测试数学（文科）试题(二)注意事项：1．本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效．2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效)1．设集合12{|,[1,4]}M y y x x ==∈，{|1}N x x =<，则()R C N M =A ．{|12}x x ≤≤B ．{|14}x x ≤≤ C．{2}x x ≤≤ D ．∅2．已知命题p ：函数1x y a +=的图象恒过定点(01)，；命题q ：若函数()y f x =为偶函数，则函数(1)y f x =+ 的图像关于直线1=x 对称，则下列命题为真命题的是A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝3. 复数m i m m z lg )10)(1(+--=是纯虚数，其中m 是实数，则m =A ．1B ． 10C ．1或10D ．无法确定4.已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=-，则tan 2α的值为 A ．45 B ．237- C ．247- D ．83-5.抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于A.B. C ．26．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为A.14t ≥B.18t ≤C.14t ≤D.18t ≥（第6题图）CBA 7．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 A．2+2B．2+2 C．(2+πD． 8. 在区间[,]ππ-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数22()2f x x ax b π=+-+在()-+∞∞，上有零点的概率为A ．14 B ．12 C ．34 D ．789.在ABC ∆中,已知,,a b c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,S 为ABC ∆的面积.若向量(,),(,1)p S a b c q a b c =++=+-，满足//p q ,则tan 2C= A.14 B ．12C ．2D ．4 10．如图，梯形ABCD 中，ADBC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠= ,将ABD ∆沿对角线BD折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为2； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是 A ．①② B. ①③ C. ③④ D.②④11．已知椭圆222:13x y C b += (0)b >的左、右焦点分别为12,F F ，直线AB 过右焦点2F ，和椭圆C 交于,A B 两点，且满足222AF F B =， 0190F AB ∠=，则椭圆C 的离心率为ABCD12.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f = ,当0x > 时，有2()()0xf x f x x'-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是()().2,02,A -+∞ ()().2,00,2B - ()().,22,C -∞-+∞ ()().,20,2D -∞-第7题图第Ⅱ卷 非选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)． 13． 已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则b 在a 方向上的投影为 . 14．过点(1,1)-且斜率存在的直线被圆2224110x y x y +---= 截得的弦长为，则该直线的方程为 . 15.已知函数sin()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如右图所示，则ω= ；ϕ= .16．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令2015log n n a x =，则12a a ++…2014a +的值为 .三、答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)令1(1)n nb n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .18. (本小题满分12分)从高三年级的女生中,随机抽取50名,其体重(单位:斤)的频数分布表如下:(1) 根据频数分布表计算女生体重在[90,95)的频率;(2) 用分层抽样的方法从体重在[80,85)和[95,100)的女生中共抽取4名,其中体重在[80,85)的有几名? (3) 在(2)中抽出的4名女生中,任取2名,求体重在[80,85)和[95,100)中各有1名的概率.19. (本小题满分12分)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD 中点．（1）求证：11AD B E ⊥；A 1 D 1B 1C 1（第15题图）（2）若2AB =，求平面AB 1E 把长方体1111ABCD A B C D -分成 的两部分几何体的体积的比值．20． (本小题满分12分)已知过曲线21:4C x y =-上点(2,1)-的切线为l ，圆2C 圆心为曲线1C 的焦点，圆2C 在直线l 上截得的弦长为（1）求圆2C 的方程；（2）设圆2C 与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A ，B ，点C 在曲线1C 上，求ABC ∆面积的最小值。
2014年高考真题——理科数学(新课标II)精校版含答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6a ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2，则AC=( )A. 5B.5 C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.33 B.938 C. 6332 D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.30 D.2 12.设函数()3x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题（13）12（14）1 （15）()1,3- （16）[]1,1- 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由131n n a a +=+得 n 111a 3().22n a ++=+ 又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列。
海南省2014年高考模拟检测题理科数学详解
海南省2014年高考模拟检测题理科数学（一）1、解析：230,x x -≥≤则M={x 同时对于N 集合根据指数函数3x y =的单调性有3333,31x x -≤≤-≤≤，因此阴影部分为(){|1M C M N x x ⋂=< 2、解析：考察相等复数及运算5(2)12,1, 3.2(2)(2)i ai b b i a b a b i i +-=+=++==-+=--+3、解析：简单的程序框图，tan()3π-=4、解析：考察向量的数量积运算由,0a b a b ⊥⋅=则2212121122(23)(4)2(38)12e e ke e ke k e e e +⋅-=+-⋅-，16k = 5、解析：数形结合，首先排除k 取负数的情况（带入特殊点(0,1)检验），当0k =时所围成的面积大于16、解析：由n k S S ≤，转化为求等差数列前n 项和的最大值，由已知14725899....(1),93. (2)a a a a a a ++=++=，(2)(1)36,2,d d -==-=-带入（1）解得412,0,20.5n n a n a n =-≥≤令即则前20项和最大7、解析：对于A ，由于原命题为真，因此逆否命题一定为真，对于B ，σ方差越大，表示总体分布越分散，对于C 命题的否定要将结论否定，即2,10x R x x ∀∈++≥，对于D ，应为充分不必要条件（注意充分必要判断时的条件与结论）8、解析：考察定积分与几何概型，21132131200211||333x S S x dx x x =-=-=-=⎰阴因此13S P S ==阴正 9、解析：考察两角和差公式，30,2444ππππαα<<<+<结合1cos()043πα+=>有sin()43πα+=，同时0,0,2422244ππβπβππβ-<<-<<-<-<-有sin()243βπ-=-cos()cos[()()]24249βπβπαα+=++-= 10、解析：如图建立坐标系，根据正六边形的性质，设抛物线方程为22y px =抛物线上两个点分别为(,1)(a a 带入方程有21,2(4pa p a ==相除解得32a p ==11、解析：考察了复合函数求导及数形结合，函数有四个极值点，根据极值点处导数为零'()sin x f x x e ωωω-=-+令'()0,sin 0sin 0x x f x x e x ωωωω--=-+=-=即，e 转化为两函数()x f x e ω-=与g(x)=sin x 在[0,2]π上正好有四个交点，结合图像看只需要满足33222,222T T Tππω≤≤≤=≤ 12、解析：已知1cos 3023,sin 3012AB AC AB AC S AB AC ⋅====，因此12x y +=，所以141442()()2(5)2(518y x x y x y x y x y +=++=++≥+= 13、解析：根据三视图（注意虚线部分），可判断原几何体为一个长方体内挖掉一个半球，因此体积为1422214233V V ππ-=⨯⨯-=-长半球 14、解析：考察二项式展开式（采用特殊值法）， 令00,1x a ==，令0120131,...1x a a a =+++=-，又由于所求0102020130012013()()...()2012(...)2011a a a a a a a a a a ++++++=++++= 15、解析：由于线性回直线过样本中心点(,)x y ，有已知得42353.54x +++==带入回归方程有42y =，因此49395442,264a a +++==16、解析：由于曲线关于y 轴对称，因此只考虑右半部分，由已知得22225161717x y x y +=+，分类讨论，当0,0x y >>时， 22225162,1717x y xy xy xy +=+≥存在最大值（舍去）同理当22225160,0,2,1717x y x y xy xy xy ><+=+≥-存在最小值（当且仅当x y =-）带入原方程有：2225350x == 17、解析：（1）由于11222222n n n n n n n a a -+-==⋅-=-且122n n a a ==因此，则n n b na =因此121231*********...(1)22.....(1)21222...(1)22 (2)(2)(1):22....22222n n n n n n n n n n n S n n S n n S n n -++++=⋅+⋅++-⋅+⋅=⋅+⋅++-⋅+⋅-=----+⋅=-+⋅（2）110,12n n n kn b k b c c n k ++--+-=><-若前8项递增，则只需要保证71bk<-即可，则由已知条件知126k b k --≤<-，则1,2k =，分类讨论 当1k =，13,12....7b =---七个取值当2,14,13k b ==--两个取值，因此满足条件的数列{}n c 个数为90 18、解析：(1)根据题意面试调题分三类：两次B 类，一次A 一次B ，两次A 类，X 的分布列如下：(2)由（1）得分布列为则()(1)(2)1424E X n n n n =++++=+ 19、解析：采用空间直角坐标系法：（1）以B 为原点，1B B 所在直线为Z 轴，BC 所在直线为Y 轴建立直角坐标系则可得：10,0,40B O A E （）（）（）（，）因此有：12,42000BO OA OE -=（0,2）,=（-2，，）,=（，） 则：11BO OA BO OE ⋅⋅=0,,=0且OA OE ⊂⊂平面AEO ,平面AEO 则1B ⊥O 平面AEO(2)设平面AEO 的法向量为(,,)n x y z =根据已知条件(sin cos ,0),(sin ,cos ,0)A OA θθθθ= 由sin cos 00200x y n OA z n OE θθ⎫+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎬⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎭令2z =则2(,tan n θ=由于直线与平面所成夹角11sinn B On B Oα⋅===由于3[,]64ππθ∈结合正切函数图像可知当minsin624ππθθααα==时，tan最小，同时有最小值sin=20、解析：（1）由已知得B所以22:C x=，又(8,8P设21:2C y px=带入点得：P=8，即21:16C y x=同时216a=椭圆方程为221162x y+=（2）由于直线OP方程为y=因此设动直线方程为y x b=+联立22222581601162y x bx bx y⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩要保证动直线与椭圆交于不同两点则22)45(816)0,b b∆=-⨯-><<设两个交点分别为1122(,)(,)M x y N x y则221212128168,,555b bx x x x y y--+===因此21212121)2(91614)5QM QN x x x x y y b b⋅=++++=+-所以当838,99b QM QN=-⋅-取得最小值21、解析：（I）复合函数求导：22'[(ln(1))]'2ln(1)[ln(1)]'ln(1)1y x x x xx=+=++=++因此'(0)0f=且切点为(0,0)则切线方程为0y=22、解析：（1）连结BE ，AE 为直径，则90ABE ∠=又ACB AEB ∠=∠且90ADC ∠=因此,AC ADRt AEBRt ACD AC AB AD AE AE AB=⋅=⋅即又AB=BC 因此AC BC AD AE ⋅=⋅（2）由于FC 为切线FB 为割线，因此22649FC FA FB FB FB =⋅=⋅=，，，AB=5 又弦切角ACF ABC ∠=∠，因此510,463AC BC AC ACF CBF AC AF CF ∆∆===，， 23、解析：（1）考察极坐标与直角坐标的转化及参数方程与一般方程的转化222cos 2cos sin 2sin sin y x θθρρθθθ=⇒=⇒= （2）结合参数方程的意义可知：对应的直线方程为1()2y k x =-（过抛物线的焦点）设直线与抛物线的交点为1122(,)(,)A x y B x y 根据抛物线性质有121AB x x =++因此联立直线与抛物线方程组：222222(2)014()2y xk k x k x y k x ⎧=⎪⇒-++=⎨=-⎪⎩则2122222112k AB x x k k+=++=+=+则最小值为2，此时直线与X 轴垂直 24、解析：（1）22220,224x a x x a x x ax a x +-≤+≤⇒++≤化简得：22320x ax a --≥()(3)0(3a x a x a x a x -+≥⇒≤≥-舍去）或又{2}2,63aM x x a ⊆≥⇒-≥≤- （2）当6a =-，()62f x x x =--去掉绝对值得：6(6)()63(6)x x f x x x --≥⎧=⎨-<⎩最大值为(1)3f =。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析汇报理科海南卷
实用文档文案大全2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷Ⅱ）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合0,1,2M?｛｝，2{|320}Nxxx????，则MN?( )A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}2．设复数12,zz在复平面内的对应点关于虚轴对称，12zi??，则12zz?（）A．5? B．5 C．4i?? D．4i??3．设向量,a b满足||10ab??，||6ab??，则ab??( )A．1 B．2 C．3 D 5 4．钝角三角形ABC的面积是12，1AB?，2BC?，则AC?( ) A． 5 B．5 C．2 D．15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是075．，连续两天优良的概率是06．，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．08． B．075． C．06． D．045．6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．1727 B．59 C．1027 D．137．执行右图程序框图，如果输入的,xt均为2，则输出的S?（）实用文档文案大全A．4 B．5 C．6 D．78．设曲线ln(1)yaxx???在点(0,0)处的切线方程为2yx?，则a?（）A．0 B．1 C．2 D．39．设,xy满足约束条件70,310,350.xyxyxy??????????????则2zxy??的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．210．设F为抛物线2:3Cyx?的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于,AB两点，O 为坐标原点，则OAB的面积为（）338 C6332 D9411．直三棱柱111ABCABC?中，90BCA???，MN,分别是1111ABAC,的中点，1BCCACC??，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A．110 B．25 C．3010 D．2212．设函数()3sinxfxm??．若存在()fx的极值点0x满足22200[()]xfxm??，则m的取值范围是（）结束输出S 1M?，3S?开始输入x1k?kt?MMxk?SMS??1kk??是否实用文档????,66,????? B．????,44,????? C．????,22,?????文案大全A．D．????,14,?????第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题13．10()xa?的展开式中，7x的系数为15，则a?________．．(用数字填写答案) 14．函数()sin(2)2sincos()fxxx???????的最大值为_________．．15．已知偶函数()fx在[0,)??单调递减，(2)0f?．若(1)0fx??，则x的取值范围是______．．16．设点0(,1)Mx，若在圆22:1Oxy??上存在点N，使得45OMN???，则0x的取值范围是____．．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a满足11a?，131nn aa???．（Ⅰ）证明1{}2n a?是等比数列，并求{}n a的通项公式；（Ⅱ）证明：1211132n aaa????．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD?平面，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PBAEC∥平面；（Ⅱ）设二面角DAEC??为60°，1AP?，3AD?，求三棱锥EACD?的体积．实用文档文案大全19．（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：(0,3,0) ,2013 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2．9 3．33．64．44．85．25．9（Ⅰ）求y关于的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：??????121niiinii ttyybtt?????????，??aybt??20．（本小题满分12分）设12,FF分别是椭圆22221xyab??（0ab??）的左右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且1||5||MNFN?，求,ab．21．（本小题满分12分）已知函数()2xx fxeex????。
2014年海南省海口市高考数学二模试卷(理科)
2014年海南省海口市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合M={y|y=x，x∈[1，4]}，N={x|y=log2（1-x）}，则（∁R N）∩M=（）A.{x|1≤x≤2}B.{x|1≤x≤4}C.{x|≤x≤2}D.∅【答案】A【解析】解：由M中y=x，x∈[1，4]，得到1≤y≤2，即M={y|1≤y≤2}，由N中y=log2（1-x），得到1-x＞0，即x＜1，∴N={x|x＜1}，∁R N={x|x≥1}，则（∁R N）∩M={x|1≤x≤2}．故选：A．求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，求出N补集与M的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.设i为虚数单位，则满足条件（2+i）z=（1+i）2的复数z的共轭复数是（）A.+iB.--iC.-+iD.-i【答案】D【解析】解：因为i为虚数单位，则满足条件（2+i）z=（1+i）2所以，z的共轭复数为，故选：D．直接利用复数的除法运算法则，化简复数的分母为实数，然后求出复数的共轭复数即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．3.设S n是数列{a n}的前n项和，命题p：{a n}是等差数列，命题q：S n=A n2+B n+C（A，B，C∈R），则命题p是命题q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.以上都不正确【答案】A【解析】解：若S n=A n2+B n+C，则当n≥2，a n=S n-S n-1=A n2+B n+C-[A（n-1）2+B（n-1）+C]=2A n+B-A，当n=1，a1=S1=A+B+C，C≠0时，不满足a n=2A n+B-A，故必要性不成立，若数列{a n}成等差数列，则S n=A n2+B n，即充分性成立，故命题p是命题q成立的充分不必要条件，故选：Ap⇒q，但当C≠0时，{a n}不是等差数列，即可得出结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据求出等差数列的通项公式是解决本题的关键．4.设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（-1＜ξ＜0）=（）A.+pB.1-pC.1-2pD.-p【答案】D【解析】解：∵随机变量ξ～N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ＞1）=p，∴P（ξ＜-1）=p，∴P（-1＜ξ＜0）=-p，故选D．根据随机变量ξ～N（0，1），正态曲线关于x=0对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于-1的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，得到结果．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性的应用，考查关于对称轴对称的区间上的概率相等，本题是一个基础题，题目中所处的字母p可以变式为实数．5.育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A.80种B.90种C.120种D.150种【答案】D【解析】解：依题意分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有=25，再分配，乘以A33，即得总数150，故选：D．分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有25种，再分配，共有A33种果，根据分步计数原理知结果．本题考查分步计数原理，首先分组，再进行排列，属于基础题．6.如图是一个根据△ABC的三条边的边长a，b，c判断三角形形状的程序框图，则框图中菱形内应该填写的是（）A.a＞c？B.a＜c？C.b＞c？ D.b＜c？【答案】A【解析】解：由程序框图知，该程序是根据余弦定理判断三角形是锐角三角形？还是直角三角形？钝角三角形？因此A应是△ABC三个内角中最大的角，所以a应是△ABC三条边中最大的边；因此，菱形内应该填写的是“a＞c？”．故选：A．根据程序框图输出的结果，是根据余弦定理判断三角形是钝角、直角三角形、还是锐角三角形？由此得出判断框中应填写的是什么．本题考查了程序框图和余弦定理的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的判定，是基础题目．7.等比数列{a n}的前项和为S n，S8=17S4，a3a5=2，则a6a8=（）A.32B.64C.128D.256【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则由等比数列前n项和的性质：，解得q2=4．∴．故选：C．由等比数列前n项和的性质，求出q2=4，即可求出a6a8．本题考查等比数列前n项和的性质，考查学生的计算能力，比较基础．8.抛物线x2=py与直线x+ay+1=0交于A、B两点，其中点A的坐标为（2，1），设抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：把A的坐标（2，1）代入抛物线及直线方程得：p=4，a=-3，联立得：9y2-10y+1=0，由抛物线定义|FA|+|FB|的值等于点A、B到准线y=-2的距离之和，∴．故选：C．把点（2，1），代入抛物线和直线方程，分别求得p和a，得到直线和抛物线方程，联立消去x，再根据抛物线的定义求得答案．本题主要考查抛物线的应用，考查抛物线的定义，属基础题．9.空间直角坐标系中，△ABC的三视图如图所示，已知A （0，0，0），B（0，2，2），则点C的坐标是（）A.（0，-2，2） B.（-2，-2，2）C.（2，0，0） D.（2，-2，2）【答案】 D【解析】解：由三视图，借助长方体模型作出空间三角形如图，由点A、B的坐标知点A的位置只能在MN中点处，可得C点坐标为（2，-2，2）．故选：D．由三视图，借助长方体模型作出空间三角形，即可得出结论．本题考查三视图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10.在区域D={（x，y）|x∈[-1，c]，y∈[0，]}上随机取一个点P（x，y），落在所表示的可行域内的概率值（）A. B. C. D.与c的值有关【答案】C【解析】解：区域D的面积为，可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积为，由几何概型，．故选：C．确定区域D的面积、可行域的面积，利用几何概率的计算公式可求．本题主要考查了几何概型的求解，还考查了线性规划的知识，同时考查了数形结合的思想，属于简单综合．11.在△ABC中，已知•=16，sin C=cos A sin B，S△ABC=6，P为线段AC上的点，且=x+y，则xy的最大值为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】解：在△ABC中，∵sin C=cos A sin B，可得sin A cos B+cos A sin B=cos A sin B，由sin A＞0得cos B=0，∴．由得，∴|AB|=4，由S△ABC=6，求得|BC|=3．如图以B为原点，BA方向为x轴建立平面直角坐标系，由及向量坐标的定义，可知P（x，y），A（4，0），B（0，3），由P为线段AC上的点可设＜＜，即（x-4，y）=λ（-4，3），得：x=4-4λ，y=3λ，∴．在△ABC中，由sin C=cos A sin B，求得cos B=0，可得．由求得|AB|=4，由S△ABC=6，求得|BC|=3．如图以B为原点，BA方向为x轴建立平面直角坐标系，由P为线段AC上的点可设＜＜，即（x-4，y）=λ（-4，3），解得x=4-4λ，y=3λ，计算xy的值，并利用基本不等式求得它的最大值．本题主要考查三角恒等变换，平面向量基本定理及其意义，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．12.设球O是正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】解：如图，易知BD'过球心O，且BD'⊥平面ACD'，不妨设垂足为M，正方体棱长为a，则球半径为，易知，∴，∴截面圆半径，所以截面圆面积S=πr2=6π，得，a=6，∴球O的半径为．故答案：B．易知BD'过球心O，且BD'⊥平面ACD'，不妨设垂足为M，正方体棱长为a，平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，建立方程，求出正方体的棱长，即可求出球O的半径．本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.计算|x-1|dx= ______ ．【答案】1【解析】解：|x-1|dx=（1-x）dx+（x-1）dx=（x-x2）|+（x2-x）|=1-+=1，故答案为：1．原积分化为（1-x）dx+（x-1）dx，再根据定积分计算即可．本题主要考查了定积分的计算，关键是去绝对值，属于基础题．14.过点（-1，1）的直线与圆x2+y2-2x-4y-11=0截得的弦长为4，则该直线的方程为______ ．【答案】x=-1或3x+4y-1=0【解析】解：由圆x2+y2-2x-4y-11=0化为：（x-1）2+（y-2）2=16，得到圆心C（1，2），半径r=4．①过点（-1，1）的直线与x轴垂直时，把x=-1代入圆的方程：（-1）2+y2-2×（-1）-4y-11=0，化为y2-4y-8=0，解得y1=，．∴弦长=y2-y1=．满足题意．②过点（-1，1）的直线不与x轴垂直时，设直线的方程为：y-1=k（x+1），即kx-y+k+1=0．圆心C到此直线的距离d==．∴，即，化为4k=-3，解得．∴直线的方程为：x-y-+1=0，化为3x+4y-1=0．综上可知：所求直线的方程为x=-1或3x+4y-1=0．故答案为：x=-1或3x+4y-1=0．分类讨论：过点（-1，1）的直线与x轴垂直时，直接验证即可；过点（-1，1）的直线与x轴垂直时，设直线的方程为：y-1=k（x+1），利用点到直线的距离公式可得：圆心C到此直线的距离d．利用弦长公式，即可解得k．本题考查了直线与圆相交的问题、弦长公式、点到直线的距离公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．15.设角θ为第四象限角，并且角θ的终边与单位圆交于点P（x0，y0），若x0+y0=-，则cos2θ= ______ ．【答案】【解析】解：由三角函数定义，x0=cosθ，y0=sinθ，则，两边平方得，∴，注意到θ为第四象限角，sinθ＜0，cosθ＞0，cosθ+sinθ＜0，∴|sinθ|＞|cosθ|，∴cos2θ=|cosθ|2-|sinθ|2＜0，∴．由三角函数定义，x0=cosθ，y0=sinθ，则，两边平方得sin2θ，再利用平方关系可得cos2θ．利用三角函数值与角所在象限的符号即可得出．本题考查了倍角公式、平方关系、三角函数值与角所在象限的符号，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.定义在R 上的运算“⊕”：对实数x 和y ，x ⊕y =＜，设函数f （x ）=（x 2+2x -2）⊕（-x 2+2），x ∈R ．若函数f （x ）+a 的图象与直线y =1恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 【答案】a ＜-1或0＜a ＜3 【解析】解：∵x 2+2x -2≥-x 2+2，解得x ≤-2或x ≥1， ∴ ，， ＜ ＜ ，，作出f （x ）图象如图，函数f （x ）+a 的图象与直线y =1恰有两个公共点，即有方程f （x ）=1-a 有两个不相等的实根，则1-a ＞2或-2＜1-a ＜1，易知a ＜-1或0＜a ＜3故答案为：a ＜-1或0＜a ＜3．由新定义得到f （x ）的表达式，画出f （x ）的图象，函数f （x ）+a 的图象与直线y =1恰有两个公共点，即有方程f （x ）=1-a 有两个不相等的实根，则1-a ＞2或-2＜1-a ＜1，解出即可．本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的能力，及新定义的理解运用，和不等式的运算求解能力，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分) 17.设函数f （x ）=sin （2x +）-cos 2x -cos 2x +（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和在区间[0，]上的取值范围；（Ⅱ）△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f （B ）=1，a +c =4，求b 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=sin （2x +）--cos 2x +=sin 2x +cos 2x -cos 2x =sin 2x -cos 2x =sin（2x -），∵ω=2，∴T=π，∵x∈[0，]，∴2x-∈[-，1]，则f（x）在区间[0，]上的取值范围是[-，1]；（Ⅱ）f（B）=sin（2B-）=1，由0＜B＜π，得-＜2B-＜，∴2B-=，即B=，由余弦定理得：cos B==，即=1，整理得：a2+c2-b2=ac，∴b2=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=16-3ac，又ac≤（）2=4，∴b2=16-3ac≥4，即b≥2，则b的范围为：[2，4]．【解析】（Ⅰ）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，根据x的范围确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；（Ⅱ）根据f（B）=1，确定出B的度数，利用余弦定理表示出cos B，将B度数及a+c 的值代入，并利用基本不等式求出b的范围即可．此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18.如图所示，三棱锥D-ABC，已知平面ABC⊥平面ACD，AD⊥DC，AC=6，AB=4，∠CAB=30°（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）若二面角A-BC-D为45°，求直线AB与平面BCD所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明：△ACB中，应用余弦定理：∠，解得，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．（3分）∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=CD，BC⊥AC∴BC⊥平面ACD．又∵AD⊂平面ACD∴BC⊥AD．（6分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ），BC⊥平面ACD，CD⊂平面ACD，∴BC⊥CD．又∵AC⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC，∴∠ACD是平面BCD与平面ABC所成的二面角的平面角，即∠ACD=45°．（8分）∵AD⊥DC，AD⊥BC，∴AD⊥平面BCD．∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角．（10分）R t△ACD中，°∴R t△ADB中，∠．（12分）（Ⅱ）法二：利用空间向量：如图建立空间直角坐标系，平面CAB法向量u=（0，0，1），设平面BCD的法向量v=（1，λ，μ），由v，知λ=0，从而v=（1，0，μ），cos＜u，v＞==解得μ=1，v=（1，0，1），由题意知A（6，0，0），，，，则，，，设直线AB与平面BCD所成的角为θ，则＜，v＞|=，即求直线AB与平面BCD所成的角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）由余弦定理得，从而AC⊥BC，BC⊥平面ACD．由此能证明BC⊥AD．（Ⅱ）解法一：由BC⊥平面ACD，BC⊥CD．∠ACD是平面BCD与平面ABC所成的二面角的平面角，由此能求出直线AB与平面BCD所成的角的正弦值．（Ⅱ）法二：利用空间向量：建立空间直角坐标系，忍能求出直线AB与平面BCD所成的角的正弦值．本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19.2013年，国务院常务会议五项加强房地产调控的政策措施，俗称“国五条”．以下是对海口市工薪阶层关于“国五条”态度进行的调查数据，随机抽取了50人，他们月参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d．（Ⅱ）若对月收入在[15，25），[25，35）内的被调查人员中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“国五条”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【答案】解：（Ⅰ）2×2列联表：∴＜．（5分）∴没有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“国五条”的态度有差异．（6分）（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3（7分），则，，，，（10分）所以，ξ的分布列是所以．（12分）【解析】（I）根据提供数据，可填写表格，利用公式，可计算K2的值，根据临界值表，即可得（II）ξ的所有可能取值有0，1，2，3，利用“超几何分布”和互斥事件的概率计算公式即可得出，进而得出分布列和数学期望．本题考查独立性检验的应用和2×2列联表的作法，考查了“超几何分布”和互斥事件的概率计算公式、分布列和数学期望，属于中档题．20.已知椭圆C：+x2=1，过点（0，m）作圆x2+y2=1的切线交椭圆C于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将|AB|表示成m的函数，并求|AB|的最大值．【答案】解：（Ⅰ）椭圆的半长轴长a=2，半短轴长b=1，半焦距，（2分）∴焦点坐标是，，，，离心率是；（5分）（Ⅱ）易知|m|≥1，当|m|=1时，切线AB方程为y=1或y=-1，此时；（6分）当|m|＞1时，易知切线AB方程斜率不为0，可设切线AB的方程为：y=kx+m，即kx-y+m=0，则，得：k2=m2-1①联立：，得：，整理：（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0（8分）其中△=（2km）2-4（k2+4）（m2-4）=-16m2+16k2+64则②①代入②：，（10分）而，等号成立当且仅当，即时．（12分）【解析】（Ⅰ）椭圆的半长轴长a=2，半短轴长b=1，半焦距，即可求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）分类讨论，将|AB|表示成m的函数，直线与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求|AB|的最大值．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）（1）若函数y=f（x）和y=g（x）的图象无公共点，试求实数a的取值范围；（2）若存在两个实数x1，x2且x1≠x2，满足f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），求证【答案】（1）解：∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象无公共点，∴方程f（x）=g（x）无实数解，即lnx=ax无实数解，则a=，令h（x）=，h （x）=，当x＞e，h （x）＜0；当0＜x＜e，h （x）＞0．故x=e，h（x）取极大值，也为最大值．∴实数a的取值范围是：（，+∞）．（2）证明：令x1＞x2＞0，∵f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），∴lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，∴lnx1-lnx2=a（x1-x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2），∴x1•x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2⇔a（x1+x2）＞2⇔a＞，即＞⇔ln＞，令=t，则t＞1，x1•x2＞e2等价于lnt＞，令g（t）=lnt-，g （t）=＞0，∴g（t）在（1，+∞）上递增，即有g（t）＞g（1）=0，即lnt＞成立．故x1•x2＞e2．【解析】（1）由条件可知方程f（x）=g（x）无实数解，即lnx=ax无实数解，令h（x）=，应用导数求出h（x）的最值，即可得到a的取值范围；（2）由条件得lnx1-lnx2=a（x1-x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2），故推出x1•x2＞e2等价于ln＞再令令=t，x1•x2＞e2等价于lnt＞，构造g（t）=lnt-，应用导数，判断单调性，得到g（t）在（1，+∞）上递增，从而得证．本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值、最值中的应用，以及构造函数应用导数证明不等式，属中档题．22.如图，过圆O的直径AC的端点A作直线AB、AD分别交圆O于另一点B和点D，过点D作DE⊥AB于E，已知∠EAD=∠CAD．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）若DE=6，AE=3，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）证明：连结OD，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．因为∠EAD=∠OAD，所以∠EAD=∠ODA．因为∠EAD+∠EDA=90°，∠EAD+∠ODA=90°，即DE⊥OD．所以DE是圆O的切线．（5分）（Ⅱ）解：因为DE是圆O的切线，所以DE2=EA•EB，即62=3（3+AB），所以AB=9．因为OD∥AB，所以O到AB的距离等于D到AB的距离，即为6，又因为O为AC的中点，C到AB的距离等于12故△ABC的面积S=AB•BC=54．（10分）【解析】（Ⅰ）连结OD，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．由此能推导出DE⊥OD．从而证明DE是圆O的切线．（Ⅱ）因为DE是圆O的切线，所以DE2=EA•EB，因为OD∥AB，所以O到AB的距离等于D到AB的距离，由此能求出△ABC的面积．本题考查直线与圆的切线的证明，考查三角形的面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．23.己知曲线曲线C2的参数方程是，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系（极坐标系与直角坐标系x O y的长度单位相同）．若曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ-与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．【答案】解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，，，则|=．（Ⅱ）当时，B，C两点的极坐标分别为，，，，化为直角坐标为，，，．C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为，所以m=2，．【解析】（Ⅰ）依题意可得，|OA|=4cosφ，，，利用两角和差的余弦公式化简|OB|+|OC|，即可证得等式成立．（Ⅱ）当时，求得B，C两点的极坐标，再化为化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，而经过点B，C的直线方程为，从而求得m和α本题主要考查简单曲线的极坐标方程和参数方程，把点的极坐标化为直角坐标的方法，两角和差的余弦公式，属于基础题．24.设函数f（x）=|x-|+|x-a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=-时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【答案】解：（Ⅰ）证明：∵当a=-时，f（x）=|x-|+|x+|=，＜，＜，的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x-|+|x-a|≥|（x-）-（x-a）|=|a-|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a-|≥a，∴a-≥a，或a-≤-a，解得a≤，故a的最大值为．【解析】（Ⅰ）当a=-时，根据f（x）=，＜，＜，的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥|a-|，可得|a-|≥a，由此解得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，函数的恒成立问题，属于基础题．。
海南2014高考数学卷(带解析)
海南2014高考数学卷(带解析)海南2014高考数学卷(带解析)导言：海南2014年高考数学卷是历年来高考数学卷中的一份，本文将对该数学卷进行解析，帮助考生们更好地理解和应对高考数学题型和解题方法。
一、选择题部分：选择题部分是高考数学卷中的必答题部分，共有25个小题，每题4分，总分100分。
该部分主要考察考生对基础数学概念和运算符号的理解能力，以及对数学思维和逻辑推理的运用。
1. 若二项式(x+1)^3的展开结果为ax^3+bx^2+cx+d，则abcd的和为多少？解析：根据二项式展开的公式，展开后的二项式共有4个项，分别为x^3、3x^2、3x、1。
根据对应项之间的系数，将abcd的值代入进去，可得：a=1，b=3，c=3，d=1。
所以，abcd的和为1+3+3+1=8。
2. 设集合A={x | -1 ≤ x ≤ 4}，集合B={x | 1 ≤ x ≤ 6}，则集合A∪B的区间表示为（）。
解析：根据集合并运算的定义，集合A∪B表示的是同时属于集合A或属于集合B的元素的集合。
根据题目给出的区间表示，集合A中的元素为[-1, 4]，集合B中的元素为[1, 6]。
将两个区间合并，得到集合A∪B的区间表示为[-1, 6]。
3. 已知a，b是锐角三角形ABC的两个内角的正弦值，且a＞b，则下列结论错误的是（）。
A. sinA＞sinBB. cosA＞cosBC. tanA＞tanBD. cotA＞cotB解析：由题目可知，a，b是锐角三角形ABC两个内角的正弦值，且a＞b。
根据正弦函数的性质，可得sinA＞sinB。
所以，选项A是正确的。
根据余弦函数和正切函数的性质，cosA＞cosB，tanA＞tanB，cotA＞cotB。
所以，选项B、C、D均是正确的。
因此，下列结论错误的选项为A。
二、解答题部分：解答题部分是高考数学卷中的开放性问题部分，共有5个小题，每题12分，总分60分。
该部分主要考察考生的数学应用能力，解决实际问题的能力。
2014年海南省高考理科数学试卷及答案解析(word版)
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）设集合 M 0,1, 2 ， N = x x 2 3 x 2 0 ，则 M N (A) 1 (B)
2
(C)
0,1
(D) 1, 2
解析：∵ N = x x 2 3 x 2 0 x 1 x 2 ，∴ M N 1, 2 答案：D （2）设复数 z1 ， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1 2 i ，则 z1 z2 (A) 5 (B) 5 (C) 4 i (D) 4 i
0.6 0.8 0.75
答案：A （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm） ， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一个底 面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 (A) (C)
17 27 10 27
(B) (D)
5 9 1 3
答案：C
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题 考生都必须做答。第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13） ( x a )10 的展开式中， x 7 的系数为 15 ，则 a ． （用数字填写答 案）
由弦长公式得 | AB | (1 k 2 )[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ] 12
由点到直线的距离公式得： O 到直线 AB 的距离 d
|
3 3 00 | 3 4 3 8 3 ( ) 2 (1) 2 3
1 3 9 ∴ S OAB 12 2 8 4
2014广东高考数学试卷及答案(理科)
2014高考广东卷理科数学真题及答案解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃= 【答案】BA ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=AA ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 【答案】A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5 【答案】C4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1） 【答案】B6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,10 【答案】A7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．14,l l 既不垂直也不平行 D ．14,l l 的位置关系不确定 【答案】D 8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130 【答案】D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）.3.232332sin )4125sin()125(.23)125(),4sin()(=∴=⋅==+=∴=+=A A A A f f x A x f ππππππ且 9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2014年广东高考理科数学试题含答案(Word版)
答案: C 提示 : 画出可行域(略), 易知在点(2,1) (−1, −1)处目标函数 最小值m = −3,∴ M − m = 6, 选 C.
4.若实数 k 满足 0 < k < 9, 则曲线 A 离心率相等
别取得最大值M = 3,
x2 y2 x2 y2 − = 1 曲线 − = 1的 25 9 − k 25 − k 9
B.
a 成 60° 夹角的是
C. 0,-1,1 D. -1,0,1
-1,1,0
1,-1,0
答案 : B 提示 : 1 = ,即 12 + 02 + (−1) 2 ⋅ 12 + (−1) 2 + 0 2 2 (1, 0, −1) ⋅ (1, −1, 0) 两向 1 的夹角余弦值为 , 从而夹角为600 ,∴ 选 B. 2
6、已知某地区中小学生人数和近视情况 别如 1 和 用 层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查 则样本容 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10
2 所示 为了解该地区中小学生的近视形成原因 和抽取的高中生近视人数 别为
答案 : A 提示 : 样本容 为(3500 + 4500 + 2000) ⋅ 2% = 200,
.
+ 2 在点 (0,3) 处的 线方程为 答案 : 5 x + y − 3 = 0
提示 : y ' = −5e −5 x ,∴ y '
x =0
= − 5,∴ 所求 线方程为y − 3 = −5 x,即5 x + y − 3 = 0 .
.
11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个 的数 则 七个数的中位数是 6 的概率为 1 答案 : 6 提示 : 要使6为取出的7个数中的中位数, 则取出的数中必有3个 大于6,
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2014年海口市高考调研测试数学（理科）试题(二)注意事项：1．本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效． 2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效)1．设集合12{|,[1,4]}M y y x x ==∈，2{|log (1)}N x y x ==-，则()R C N M =A ．{|12}x x ≤≤B ．{|14}x x ≤≤C ．{2}x x ≤D ．∅ 2，设i 为虚数单位，则满足条件2(2)(1)i z i +=+的复数z 的共轭复数是A ．2455i +B ．2455i --C ．2455i -+D ．2455i -3．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，命题p ：{}n a 是等差数列，命题q ：2n S An Bn C =++（,,A B C R ∈），则命题p 是命题q 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上都不正确 4．设随机变量(0,1)N ξ，若(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<= A ．12p + B ．12p - C ．12p - D ．1p - 5．某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有A ．80种B ．90种C ．120种D ． 150种6．如右图是一个根据△ABC 的三条边的边长,,a b c 判断三角形形状的程序框图，则框图中菱形内应该填写的是( )A ．?a c >B ．?a c <C ．?b c >D ．?b c < 7．等比数列{}n a 的前项和为n S ，8417S S =，352a a =，则68a a =A ．32B ．64C ．128D ．256（第6题图）8．抛物线2x py =与直线10x ay ++=交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(2,1)，设抛物线的焦点为F ，则||||FA FB +等于A ．13 B ．176 C ．289 D ．3199．空间直角坐标系中，△ABC 的三视图如右图所示，已知(0,0,0)A ，(0,2,2)B ，则点C 的坐标是 A ．(0,2,2)- B ．(2,2,2)--C ．(2,0,0)D ．(2,2,2)-10．在区域1{(,)|[1,],[0,]}2c D x y x c y +=∈-∈上随机取一个点(,)P x y ，落在1000x y x y c y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域内的概率值 A ．14 B ．13 C ．12D ．与c 的值有关 11．在△AB C 中，已知16AB AC ⋅=，sin cos sin C A B =，6ABC S ∆=，P 为线段AC 上的点，且BA BC BP xyBABC=+, 则xy 的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．112．设球O 是正方体ABCD 1111A B C D -的内切球，若平面1ACD 截球O 所得的截面面积为6π，则球O的半径为 A ．32B ．3CD 第Ⅱ卷 非选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷中的横线上)．13．计算2|1|x dx -=⎰_________．14．过点(1,1)-的直线与圆2224110x yx y +---=截得的弦长为则该直线的方程为 ．15．设角θ为第四象限角,并且角θ的终边与单位圆交于点00(,)P x y ,若0013x y +=-,则cos 2θ=_________．16．定义在R 上的运算“⊕”： 对实数x 和y ，x y ⊕=(),(),x x y y x y ≥⎧⎨<⎩ 设函数()f x =()222x x +-()22x ⊕-+，x R ∈。
若函数()f x a +的图像与直线1y =恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是__________．（第9题图）三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设函数211()sin(2)cos cos2622f x x x x π=+--+,（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和在区间[0,]2π上的取值范围；（Ⅱ）△ABC 中,设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若()1f B =,4a c +=,求b 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图所示，三棱锥D ABC -，已知平面ABC ⊥平面ACD ，AD DC ⊥，6AC =，AB =30CAB ∠=（Ⅰ）求证：BC AD ⊥；（Ⅱ）若二面角A BC D --为45，求直线AB 与平面BCD 所成的角的正弦值．19．（本小题满分12分）2013年，国务院常务会议五项加强房地产调控的政策措施，俗称“国五条”．以下是对海口市工薪阶层关于“国五条”态度进行的调查数据，随机抽取了50人，他们月收入的频数分布情况及对“国五条”赞成的人数如下表所示：（Ⅰ）由以上统计数据填写下面22⨯列联表并回答是否有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“国五条”的态度有差异；参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．（Ⅱ）若对月收入在[15,25)，[25,35)内的被调查人员中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“国五条”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．（第18题图）20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：2214y x +=，过点(0,)m 作圆221x y +=的切线交椭圆C 于A 、B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将||AB 表示成m 的函数，并求||AB 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln g x x =和函数()()x ax a R ϕ=∈.（Ⅰ）若函数()y g x =与()y x ϕ=的图象无公共点，试求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在两个实数1x ，2x 且12x x ≠，满足11()()g x x ϕ=，22()()g x x ϕ=，求证：212x x e >.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：平面几何选讲如图，过圆O 的直径AC 的端点A 作直线AB 、AD 分别交圆O 于另一点B 和点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，已知EAD CAD ∠=∠． （Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）若6DE =，3AE =，求△ABC 的面积．成立；（Ⅱ）若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值．2014年海口市高考调研测试 数学（理科）试题（二）参考答案一、选择题：1．解析：[1,2]M =，(,1)N =-∞，[1,)R N =+∞ð，()[1,2]R C N M =，答案A ．2．解析：2(1)2(2)242(2)(2)55i i i z i i i i +-===+++-，z 的共轭服饰为2455i -，答案D ． 3．解析：p q ⇒,但当0C ≠时，{}n a 不是等差数列，答案A ．4．解析：由(1)P p ξ>=得(1)P p ξ<-=，∴11(10)(12)22P p p ξ-<<=-=-，答案B ．5．解析：派出的5名老师去三所中学有2种情况，（1）一所学校3名，另外两所学校各一名：311352132260C C C A A =（335360C A =）种；（2）两所学校各一名，另外一所学校一名，122354232290C C C A A =（221353132290C C C A A =）种，一共150种，答案D ． 6．解析：由框图最后可知程序根据余弦定理：222cos 2c b a A bc+-=的符号判断三角形的形状，因此A ∠必须是△ABC 三个内角中最大的角，所以a 必须是△ABC 三条边中最大的边。
因此答案为A ．7．解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列前n 项和的性质：4844(1)17S q S S =+=，解得 24q =．∴336835()()128a a a q a q ==．答案C ．8．解析：把A 的坐标(2,1)代入抛物线及直线方程得：4p =，3a =-，联立2431x yx y ⎧=⎨=-⎩得：291010y y -+=，由抛物线定义||||FA FB +的值等于点A 、B 到准线2y =-的距离之和，∴28||||249A B p FA FB y y +=++⨯=．答案C ． 9． 解析：由三视图，借助长方体模型作出空间三角形如图，由点A 、B 的坐标知点A 的位置只能在MN 中点处，易知C 点坐标为(2,2,2)-．答案D ．10． 解析：区域D 的面积为2(1)2c S +=，可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积为2(1)4c S +'=，由几何概型，12S P S '==．答案C ．11．解析：sin cos sin C A B =得sin cos cos sin cos sin A B A B A B +=，由sin 0A >得2B π=．由16AB AC ⋅=得2||16AB =，∴||4AB =，由6ABC S ∆=得||3BC =．，如图以B 为原点，BA 方向为x 轴建立平面直角坐标系，由BA BC BP x y BABC=+及向量坐标的定义，知(,)P x y ，(4,0)A ，(0,3)B ，由P 为线段AC 上的点可设(01)AP AC λλ=<<，即(4,)(4,3)x y λ-=-， 得：44x λ=-，3y λ=，∴213(44)12(1)12()32xy λλλλλλ+-=-=-≤⨯=12． 解析：如图，易知BD '过球心O ，且BD '⊥平面ACD '，不妨设垂足为M ，正方体棱长为a ，则球半径为2a R =，易知13D M D B'=，∴16OM DB '==，∴截面圆半径r =，所以截面圆面积26S r ππ==，得r ==6a =，∴球O 的半径为32aR ==． 答案C ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)． 13． 1 14． 1x =- 15．16． 0a <或13a << 13．解析：1222200111|1|()()122x dx x x x x -=-+-=⎰14．解析：2224110x y x y +---=得22(1)(2)16x y -+-=，若直线斜率不存在，则直线方程为1x =-，代入圆方程得2480y y --=，则此时弦长为12||y y -=意；直线斜率存在时，可设直线方程为1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，圆心到直线的距离d =2=，k 无解．综上，直线方程为1x =-． 15．由三角函数定义，0cos x θ=，0sin y θ=，则1cos sin 3θθ+=-，两边平方得8sin 29θ=-，∴cos 2θ=，注意到θ为第四象限角，sin 0θ<，cos 0θ>，cos sin 0θθ+<， ∴|sin ||cos |θθ>，∴22cos2|cos ||sin |0θθθ=-<，∴cos 2θ= 16． 解析：22222x x x +-≥-+，解得2x ≤-或1x ≥，∴22222,2()2,2122,1x x x f x x x x x x ⎧+-≤-⎪=-+-<<⎨⎪+-≥⎩，作出()f x 图象如图，易知0a <或13a <<三、 解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17． 解：（Ⅰ）211()sin(2)cos cos2622f x x x x π=+--+sin(2)6x π=-，∴22T ππ==． 3分∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤， ∴1sin(2)126x π-≤-≤，即()f x 在区间[0,]2π上的取值范围是1[,1]2-． 6分（Ⅱ）()sin(2)16f B B π=-=，由0B π<<，得112666B πππ-<-<，∴262B ππ-=，得：3B π=．由余弦定理：2221cos 22a cb B ac +-==， 8分∴2222()16b a c ac a c ac ac =++=+-=-，又2()42a c ac +≤=，∴21612b ac =-≥，即b ≥ 11分由三角形两边之和大于第三边，已知b 的范围是：4b < 12分18．解：（Ⅰ）证明：△ACB 中，应用余弦定理：222cos 2AC AB BC CAB AC AB +-∠==⋅，解得BC =，∴222AC BC AB +=∴AC BC ⊥． 3分∵平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC 平面ACD CD =，BC AC ⊥ ∴BC ⊥平面ACD ． 又∵AD ⊂平面ACD∴BC ⊥AD ． 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），BC ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， ∴BC CD ⊥．又∵AC BC ⊥，平面BCD 平面ABC BC =，∴ACD ∠是平面BCD 与平面ABC 所成的二面角的平面角，即45ACD ∠=． 8分 ∵AD DC ⊥，AD BC ⊥， ∴AD ⊥平面BCD ．∴ABD ∠是AB 与平面BCD 所成的角． 10分 Rt △ACD 中，sin 4532AD AC ==∴Rt △ADB 中，sin AD ABD AB ∠==． 12分法二：利用空间向量：如图建立空间直角坐标系，平面CAB 法向量(0,0,1)=u ，设平面BCD 的法向量=v (1,,)λμ，由v CB ⊥，易知0λ=，从而=v (1,0,)μ，cos ,<>=u v ||||=u vuv 2=解得1μ=，=v (1,0,1)，易知(6,0,0)A，(0,0)B，则(6,0)AB =-，设直线AB 与平面BCD 所成的角为θ，则sin |cos AB θ=<,|>=v AB 与平面BCD 所成的角的正弦19．解：∴2250(311729) 6.27 6.63510403218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯． 5分∴没有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“国五条”的态度有差异． 6分 （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3 7分22842251062884(0)1045225C C P C C ξ==⨯=⨯=， 21112882442222510510428616104(1)10451045225C C C C C P C C C C ξ==⨯+⨯=⨯+⨯=，111228244222225105104166135(2)10451045225C C C C C P C C C C ξ==⨯+⨯=⨯+⨯=，124222510412(3)1045225C C P C C ξ==⨯=⨯=，10分所以，ξ的分布列是所以84104352401232252252252255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．12分20．解：（Ⅰ）椭圆的半长轴长2a =，半短轴长1b =，半焦距c 2分2分∴焦点坐标是(0,，(0,，离心率是c e a ==； 5分 （Ⅱ）易知||1m ≥，当||1m =时，切线AB 方程为1y =或1y =-，此时||AB 6分 当||1m >时，易知切线AB 方程斜率不为0，可设切线AB 的方程为：y kx m =+，即0kx y m -+=1=，得：221k m =- ① 联立：2214y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：22()14kx m x ++=，整理：222(4)240k x kmx m +++-= 8分 其中22222(2)4(4)(4)161664km k m m k ∆=-+-=-++则||AB ②①代入②：||AB = 10分而||2||||AB m m ==≤+，等号成立当且仅当3||||m m =，即m = 12分 21．解：（Ⅰ）方法一：构造函数：()()()ln f x g x x x ax ϕ=-=-，在区间(0,)+∞上，11()axf x a x x-'=-=． 2分 ①若0a <，则()0f x '>，()f x 是区间(0,)+∞上的增函数， ∵(1)10f =->，()(1)0a a f e a e =-<，∴(1)()0a f f e <，函数()f x 在区间(0,)+∞上有唯一零点． 4分 ②若0a =，()ln f x x =有唯一零点1x =． 5分 ③若0a >，令()0f x '=得：1x a=． 在区间1(0,)a 上，()0f x '>，函数()f x 是增函数；在区间1(,)a+∞上，()0f x '<，函数()f x 是减函数；故在区间(0,)+∞上，()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a a a =-=--．由1()0f a <得1a e >．故所求实数a 的取值范围是1(,)e +∞． 6分方法二：通过证明ln xa x=在(0,)+∞上无实数解． （Ⅱ）同问题（1），原问题等价于若()f x 由两个相异零点1x 、2x ，求证：212x x e > 设120x x >>，∵1()0f x =，2()0f x =，∴11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，∴1212ln ln ()x x a x x +=+，1212ln ln ()x x a x x -=-．要证212x x e >，只需证12ln ln 2x x +>，即12()2a x x +>， 8分其中1212ln ln x x a x x -=-，从而只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即只需证11122121222(1)2()ln 1x x x x x x x x x x -->=++，（i ）注意到121x x >，不妨设2(1)()ln (1)1t u t t t t -=->+，则22(1)()0(1)t u t t t -'=>+，故函数()u t 在(1,)+∞上是增函数，∴()(1)0u t u >=，即2(1)ln (1)1t t t t ->>+成立，从而（i ）式成立，故原不等式成立． 12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．解：（Ⅰ）连结OD ，则OA OD =，所以OAD ODA ∠=∠． 因为EAD OAD ∠=∠，所以EAD ODA ∠=∠．因为90EAD EDA ∠+∠=，90EAD ODA ∠+∠=，即DE OD ⊥． 所以DE 是圆O 的切线．5分（Ⅱ）因为DE 是圆O 的切线，所以2DE EA EB =⋅， 即263(3)AB =+，所以9AB =．因为OD //AB ， 所以O 到AB 的距离等于D 到AB 的距离，即为6，又因为O 为AC 的中点，C 到AB 的距离等于12故△ABC 的面积1542S AB AC =⋅=S ＝ 1 2AB·BC ＝54．10分23．解：（Ⅰ）依题意，||4cos OA ϕ=，||4cos()4OB πϕ=+，||4cos()4OC πϕ=-则|||||4cos()4cos()44OB OC ππϕϕ+=++-|OA ϕ=5分（Ⅱ）当12πϕ=时，B ，C 两点的极坐标分别为(2,)3π，)6π-．化为直角坐标为(1,B，(3,C ．2C 是经过点(,0)m ，倾斜角为α的直线，又经过点B ，C的直线方程为2)y x =-…9分所以2m =，23πα=． 10分24．解：（Ⅰ）证明：122,,25115()||||3,,2222522,2x x f x x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，2分（第22题图）- 11 - 设函数()f x 的最小值为3，从而()3f x e ≥>，所以ln ()1f x >成立． 5分 （Ⅱ）由绝对值的性质得555()|||||()()|||222f x x x a x x a a =-+-≥---=-，所以()f x 的最小值为5||2a -，从而5||2a a -≥，解得54a ≤，因此a 的最大值是54． 10分。