4.梁的稳定计算

2 EI y

得
2 EI y I
l2
l 2GI t 1 2 I EI y

将双轴对称工字形截面的 Iw=Iyh2/4 代入得：
M cr
2 EI y h 2
l2
4GI t l 2 1 2 2 4 EI y h
z
l
M2 EI GI t 0 EI y l l

4

2
上式中的M就是双轴对称工字形截面简支梁纯弯曲时的 临界弯矩Mcr 2 EI
M cr l EI y GI t 1 l 2 GI t
梁整体稳定的临界荷载与梁的侧向抗弯刚度、抗扭刚度 、翘曲刚度及梁的跨度有关。
M t r tds t rds
rds
—周边积分，为壁厚中心线所围成面积A的2倍
M t 2tA
Mt 2 At
2.约束扭转
由于支承条件或外力作用方式使构件扭转时截面的翘曲受到约 束，称为约束扭转。约束扭转时，构件产生弯曲变形，截面上将 产生纵向正应力，称为翘曲正应力。同时还必然产生与翘曲正应 力保持平衡的翘曲剪应力。双轴对称工字形截面悬臂构件，悬臂 端处受外扭矩使上、下翼缘向不同方向弯曲。悬臂端截面翘曲变 形最大，越靠近固定端截面的翘曲变形越小，固定端处翘曲变形 完全受到约束，中间各截面受到不同程度的约束。
§4.4 梁的稳定系数
1.梁的整体稳定系数
双轴对称工字形截面简支梁的临界应力 梁的整体稳定应满足下式
M x cr cr f y σ b f Wx R fy R
cr
M cr Wx
b —梁的整体稳定系数
代入数值E=2.06×103N/mm2，E/G＝2.6，令Iy＝Aiy2，l/iy＝λy， 取 1.25 1 2 I y h2 3 纯弯曲双轴对称工字形截面 It biti At1 I 3 3
b 1.07
44000 235
单轴对称时
2 fy Wx y b 1.07 (2 b 0.1) Ah 14000 235
(2)T形截面(弯矩作用在对称轴平面) 1)弯矩使翼缘受压时 双角钢T形截面 b 1 0.0017 y f y / 235 剖分T型钢和两板组合T形截面 b 1 0.0022 y f y / 235 2) 弯矩使翼缘受拉且腹板宽厚比不大于 18 235 f 时
0.282 1.07 b
' b
但 b 不得大于1.0
轧制普通工字钢简支梁整体稳定系数 b应按附表采用， 当所得的 b 值大于0.60时，应采用 b' 代替 b 值。
轧制槽钢简支梁的整体稳定系数，不论荷载的形式和荷 载作用点在截面高度上的位置，均可按下式计算
570bt 235 b l1h f y
1）梁侧向无支撑长度或受压翼缘侧向支承点的间距l， l 越小，则整体
稳定性愈好，临界弯矩值愈高。 2）梁截面的尺寸，包括各种惯性矩。惯性矩愈大，则梁的整体稳定性 愈好，特别是梁的受压翼缘宽度b1的加大，还可以提高公式中的y。 3）梁端支座对截面的约束,如能提高对截面y轴的转动约束，那么梁的 整体稳定性将大大提高； 4）所受荷载类型，纯弯、均布荷载、跨中集中荷载等； 5）沿截面高度方向荷载作用点位置，a值；上翼缘为负，下翼缘为正。
令
h 2 EI y ( ) 2l GI t
M cr
则有

l
( EI y )(GI t ) 1 2
EI y GI t l
或
M cr
1 2 （梁整体稳定屈曲系数）
亦可表示为
M cr

l
EI y GIt 1
2 EI
l 2 GI t
（4）影响钢梁整体稳定性的主要因素
梁可以看做是受拉构件和受压构件的组合体。 受压翼缘其弱轴为1 -1轴，但由于有腹板作连 1 Y 续支承，（下翼缘和腹板下部均受拉，可以提 X 供稳定的支承），压力达到一定值时，只有绕 y轴屈曲，侧向屈曲后，弯矩平面不再和截面 的剪切中心重合，必然产生扭转。 梁维持其稳定平衡状态所承担的最大荷载或 最大弯矩，称为临界荷载或临界弯矩。
自由扭转时，开口薄壁构件截面上剪应力在壁厚范围内构成一 个封闭的剪力流，剪应力方向与壁厚中心线平行，大小沿壁厚度 直线变化，中心处为零，壁内、外边缘最大。最大剪应力值
M tt d t 或 t Gt It dz
闭口薄壁构件自由扭转时，截面上剪应力的分布与开口截面
完全不同。闭口截面壁厚两侧剪应力方向相同。由于壁薄，可认 为剪应力沿厚度均匀分布，方向为切线方向，可以证明任一处壁 厚的剪力 t 为一常数。微元 ds 上的剪力对原点的力矩为 r tds 总扭转力矩为
算得的 b 大于0.6时，应采用 b' 代替b 值。
双轴对称工字形等截面(含H型钢)悬臂梁的整体稳定系 数，可按公式计算，但式中系数b应按附表查得，l1为 悬臂梁的悬伸长度。当求得的 b 大于0.6时，应采用 ' b 代替 b 值。
2. 整体稳定系数的近似计算 均匀弯曲的梁，当 y 120 235 / f y 时，其整体稳定系数 b 可按下列 近似公式计算。 (1)工字形截面(含H型钢) 双轴对称时 2 fy y
翘曲剪应力形成的翘曲扭矩与由自由扭转产生的扭矩Mt之和， 应与外扭矩MT相平衡 M T M t M 距固定端为z任意截面，扭转角为 ，上、下翼缘在水平方向 的位移各为u，则
根据弯矩曲率，一个翼缘的弯矩为 一个翼缘的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平剪力为
h u 2
d 2u h d 2 M 1 EI1 2 EI1 dz 2 dz2
求解上述微分方程，则得到 的弯扭屈曲微分方程
d 4 d 2 M 2 EI 4 GI t 2 0 dz dz EI y
假设两端简支梁的扭转角为正弦曲线分布 C sin
4 2 M2 z EI GI C sin 0 t EI y l l l
扇性惯性矩；
l——侧向无支撑长度； a ——荷载高度方向作用点位置；
y
1 2I x

A
y x 2 y 2 dA y0

4.49
为单轴对称截面的一种几何特性 EIy、GIt 、EIw——侧向抗弯刚度、扭转刚度和翘曲刚度；
荷载情况
系数
跨中集中荷载
满跨均布荷载 纯弯曲
C1 1.35 1.13 1.00
b─梁整体稳定的等效弯矩系数； y＝l1/iy─梁在侧向支承点间对
截面弱轴y的长细比；A─梁的毛截面面积； h、t1─梁截面的全高和受压翼缘厚度；
b─截面不对称影响系数： 双轴对称截面 b＝0
单轴对称工字形截面：加强受压翼缘
b
I1 I1 I 2
b＝0.8(2b－1) 加强受拉翼缘 b＝2b－1
开口薄壁构件自由扭转时，扭矩和扭转角（扭转率）的关系
式
d M t GI t dz
It—截面的扭转惯性矩。
当截面由几个狭长矩形板组成时(如工字形、H形、T形、槽形)， k 可由下式计算 I b t3
t
3
i i
bi 、 ti—矩形板的宽度和厚度； k—考虑有利影响的修正系数，其值由试验确定。T形截面 k=1.15；槽形截面k=1.12；工字形截面k=1.20；多板件组成的焊 接组合截面可取k=1.0。
─ I1 和 I2 分 别 为 受 压 翼 缘 和 受 拉 翼 缘 对 y 轴 的
惯性矩。
上述整体稳定系数按弹性稳定理论求得。研究证明，当
求得的 b大于0.6时，梁己进入非弹性工作阶段，整体稳
定临界应力明显降低，必须对进行修正。当按上述公式
确定的 b ＞0.6时，用下式求得的 b' 代替进行梁的整体 稳定计算。
忽略腹板的影响
令
dM 1 h d 3 V1 EI 1 dz 2 dz 3
I 1h 2 / 2 I
为扇形（翘曲）惯性矩
h 2 d 3 M V1h EI 1 2 dz 3
约束扭转的平衡微分 方程
d 3 d M T EI 3 GI t dz dz
§4.3 梁的临界弯矩
四
梁的稳定计算
1.梁整体稳定的概念
2.梁的扭转
3.梁的临界弯矩
4.梁的稳定系数
5.梁的稳定实用计算法
6.提高梁稳定性的措施
§4.1 梁整体稳定的概念 梁主要用于承受弯矩，为了充分发挥材料的强度，其截面 通常设计成高而窄的形式。荷载作用在最大刚度平面内，当荷 载较小时，仅在弯矩作用平面内弯曲，当荷载增大到某一数值 后，梁在弯矩作用平面内弯曲的同时，将突然发生侧向弯曲和 扭转，并丧失继续承载的能力，称为梁的弯扭屈曲或整体失稳 。
1 X
Y

加大梁的受压翼缘或在 梁的受压翼缘加支撑可 提高梁的整体稳定性。
荷载的临界值和它沿梁高的作用位置有关。荷载作用在 上翼缘，在梁产生微小侧向位移和扭转的情况下，荷载P将 产生绕剪力中心的附加扭矩Pe，它将对梁侧向弯曲和扭转起 促进作用，使梁加速丧失整体稳定。但当荷载P作用在梁的 下翼缘，它将产生反方向的附加扭矩Pe，有利于阻止梁的侧 向弯曲扭转，延缓梁丧失整体稳定。显然，后者的临界荷载 （或临界弯矩）将高于前者。
§4.2 梁的扭转
根据支承条件和荷载形式的不同，扭转分为自由扭转（圣维南扭转） 和约束扭转（弯曲扭转）。 1．自由扭转 截面上受到等值反向的一对扭矩作用；构件端部截面纵向纤维不受 约束。 非圆截面构件扭转时，原来为平面的横截面不再保持为平面，产生 翘曲变形，即截面上各点沿杆轴方向产生位移。如果扭转时轴向位移 不受任何约束，截面可自由翘曲变形，称为自由扭转或圣维南扭转。 自由扭转时，各截面的翘曲变形相同，纵向纤维保持直线且长度保持 不变；截面上只有剪应力，没有纵向正应力；单位长度的扭转角相等。
1.梁的微分方程 一两端简支、双轴对称工字形截面纯弯曲梁，两端均承受弯矩 M 作用，弯矩沿梁长均匀分布。“端部简支” 条件，即支座 处截面可自由翘曲，能绕 x轴和 y轴转动，但不能绕 z轴转动， 也不能侧向移动。 设固定坐标为 x、 y、 z，弯矩 M 达一定数值屈曲变形后，相应 的移动坐标为x’、y’ 、z’ ，截面形心在x、y轴方向的位移为u 、v，截面扭转角为 。
梁在最大刚度平面内发 生弯曲，平衡方程
d 2v EI x 2 M dz
梁在平面内发生侧向弯 曲，平衡方程为
d 2u EI y 2 M dz
梁端部支承，中部任意 截面扭转时，纵向纤维 发生弯曲，属于约束扭 转。扭转的微分方程
d 3 d du EI 3 GIt M dz dz dz
4
可得
yt1 2 235 4320 Ah b 2 1 ( ) y Wx 4.4h fy
简支梁的整体稳定系数。 实际上梁受纯弯曲的情况很 少，当梁为单轴对称截面、 受任意横向荷载时，求得临 界弯矩，再求稳定系数，非 常复杂。
选取较多的常用截面尺寸，应用计算机进行计算和数值统计分析
y t1 2 4320 Ah 235 b b 2 [ 1 ( ) b ] y Wx 4.4h fy
(2)单轴对称截面简支梁临界弯矩计算公式
M cr C1
2 EI y
l
2
C2 a C3 y
C a C
2 3 y
2
I Iy
l 2GIt 1 2 EI

C1、C2、C3——与荷载类型有关的参数； Iy、It 、 Iw——截面惯性矩、扭转惯性矩和
C2 0.55 0.46 0.00
C3 0.41 0.53 1.00
（3）双轴对称截面简支梁临界弯矩计算公式
1 y 2I x

A
y x 2 y 2 dA y0 =0
2
I l 2GI t M cr C1 2 C2 a C2 a 1 2 l I y EI 若为纯弯曲，a=0；由表中查得，C1=1, C2=0. M cr