平面向量的一些重要结论

平面向量的一些重要结论

向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：

（一）向量与三角形四心 ①1()3

PG PA PB PC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ÛG 为ABC D 的重心， 特别地0PA PB PC P ++=Ûuuu r uuu r uuu r r 为ABC D 的重心；

(),[0,)AB AC l l +Î+¥uuu r uuu r 是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心；

()

1,2

AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r 等于已知AD 是ABC D 中BC 边的中线. ②PA PB PB PC PC PA P ×=×=×Ûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 为ABC D 的垂心； ()||cos ||cos AB AC AB B AC C

l +uuu r uuu r uuu r uuu r [0,)l Î+¥是ABC △边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心. ③ ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=Ûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r ABC D 的内心； 向量()(0)||||

AC AB AB AC l l +¹uuu r uuu r uuu r uuu r 所在直线过ABC D 的内心(是BAC Ð的角平分线所在直线). ④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +×=+×=+×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r

222OA OB OC OA OB OC Û==Û==Ûuuuu r uuuu r uuuur uuu r uuu r uuu r O 为ABC D 的外心.

（二）向量与平行四边形 向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD 中，设,AB a AC b ==uuu r r uuu r r ，则有以下的结论： ①,AB AC a b AD +=+=uuu r uuu r r r uuu r 通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若C AB D =uuu r uuu r ,可判断四边形为平行四边形；

②,,a b AD a b CB +=-=r r uuu r r r uuu r 若0a b a b a b +=-Û×=r r r r r r 对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；

()()0a b a b a b +×-=Û=u u r r r r r r 对角线垂直.则平行四边形为菱形； ③222222a b a b a b ++-=+r r r r r r 说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；

④||||||||||||a b a b a b -£±£+r r r r r r ，特别地，当 a b r r 、同向或有0r Û||||||a b a b +=+r r r r ³||||||||a b a b -=-r r r r ；当 a b r r 、反向或有0r Û||||||a b a b -=+r r r r ³||||||||a b a b -=+r r r r ；当 a b r r 、不共线Û||||||||||||a b a b a b -<±<+r r r r r r (这些和实数比较类似).

（三）解析几何与向量综合时可能出现的结论

（1） 给出直线的方向向量()k u ,1=r 或()n m u ,=r ；

（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;

（3）给出0r =+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;

（4）给出()BQ BP AQ AP +=+l ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一： ①AC AB //； ②存在实数,AB AC l l =r

r 使； ③若存在实数,,1,OC OA OB a b a b a b +==+uuu r uuu r uuu r 且使,

等于已知C B A ,,三点共线.

（6） 给出l

l ++=1OB OA OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，l 为定比，即PB AP l = （7） 给出0=×MB MA ,等于已知MB MA ^,即AMB Ð是直角,给出0<=×m MB MA ,等于已知AMB Ð是钝角, 给出0>=×m MB MA ,等于已知AMB Ð是锐角,

（8

）给出MP MB MA =öæ+l ,等于已知MP 是AMB Ð的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-×+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，等于已知ABCD 是矩形;

（11）在ABC D 中，给出2

22OC OB OA ==，等于已知O 是ABC D 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在ABC D 中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC D 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在ABC D 中，给出OA OC OC OB OB OA ×=×=×，等于已知O 是ABC D 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在ABC D 中，给出+=OA OP (||||

AB AC AB AC l +uuu r uuu r uuu r uuu r )(+ÎR l ，等于已知AP 通过ABC D 的内心； （15）在ABC D 中，给出,0=×+×+×OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC D 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16在ABC D 中，给出()

12AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ,等于已知AD 是ABC D 中BC 边的中线;