用基本不等式解决应用题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识看似抽象遥远，但实际上却无处不在，尤其是基本不等式，它能帮助我们解决许多实际问题，让我们做出更明智的决策。
基本不等式，通常表述为对于任意两个正实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。
这个看似简单的公式，却蕴含着丰富的应用价值。
先来说说购物中的应用。
假设我们在商场看到同一款式的 T 恤有两种包装，一种是单件装，售价为x 元；另一种是三件装，售价为y 元。
如果我们打算购买 n 件 T 恤，怎样购买更划算呢？这时候基本不等式就能派上用场。
假设单件购买 m 件，三件装购买 k 套（k 为整数），使得 m ＋ 3k＝ n 。
那么总花费 C ＝ mx ＋ ky 。
我们希望总花费最小，考虑到均值不等式，C ／ n ＝（mx ＋ ky)／ n ＝（m ／ n)x ＋（k ／ n)y 。
为了使 C ／ n 最小，我们需要找到合适的 m 和 k 。
通过分析和计算，可以发现当（m ／ n) ＝（k ／ 3n) 时，C ／ n 可能取得最小值。
再比如，在安排工作任务时，基本不等式也能发挥作用。
假设一项工作总量为 A ，有甲、乙两人合作完成。
甲单独完成这项工作需要 a 小时，乙单独完成需要 b 小时。
那么两人合作完成这项工作所需的时间 t ＝ A ／（A ／ a ＋ A ／b) ，化简可得 t ＝ ab ／（a ＋ b) 。
根据基本不等式，t ＝ ab ／（a ＋b) ≤ （a ＋ b) ／ 4 。
这意味着，在分配工作任务时，要考虑到两人的工作效率，合理安排，以达到最快完成工作的目的。
在投资理财方面，基本不等式同样能提供一些思路。
假设我们有一笔资金 P ，可以选择两种投资方式，一种年利率为 r₁，另一种年利率为 r₂。
为了在一定时间内获得最大的收益，我们需要合理分配资金。
设投入第一种投资方式的资金为 x ，投入第二种的为 P x 。
3.4.4基本不等式解决应用题
即 220000SS＋＋2102200S09＋00S2490P000S，3420000S0(，，S )2＋6 S－160 0，解得
即即2即(02002SS00＋S0)2＋S＋ 1＋2160210020S0－0SS1S6P0PP03，23023解002000得，00，00，
S 100， S 10，
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理 成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果 不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
xy＝12x＋80x000－200≥2 12x·80x000－200＝200， 当且仅当12x＝80x000，即 x＝400 时， 才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元.
2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3, 深解为：3设m底，面如的果长池为底x每m1，m宽2的为造ym价，为水15池0元的，总池造壁价每为1zm元2，的
造根价据为题意12，0元得，问怎样48设00计水池能使总造价最低，最低总 造价是多少z元？150 3 120(2 3x 2 3 y)
3.某机构准备建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5 米)，前后墙用彩色钢板，两侧用复合钢板，两种钢板的 价格都用长度来计算彩色钢板每米450元，复合钢板每米 200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200 元．每套房材料费控制在32000元以内，试计算： (1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为 P，试用x，y表示P； (2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面 墙的长度应设计为多少米？
数列，因此使用x年的总维修费用为 x0.2 0.2x 万元， 2
基本不等式实际应用题
得最小值为（ ） B
（2009年天津理6）
A. 8
B. 4 C. 1
D.
11 ab
1 4
2.（2010四川文）设ab0， 则a2 1 1 的最小值是( D )
ab a(ab) A1 B 2 C3 D 4
3.（2009山东理12T)设 x满,足y约束条件
3x y 6 0,
x
y若 目2 标 函0 ,数
2(x+y)=20
即 x+y=10
∴ xy ( x y )2 =25
当且仅当x=y=5时取等号
2
∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，
为25
m2
y x
（5）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？
解： 设菜园的长和宽分别为xm，ym
5000 + 16× 2
x·3025 = 6760 x
只 有 x = 3025 即 x = 55取 " = "
x
4 8 4 0 = 8 8 ,a = 5 5 < 1
x
88
例2：某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一 年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合 算(即使用多少年的平均费用最少？)
a2
16 b(a
b)
a2
64 a2
2
a
2
64 a2
16,
a 2 2,b 2
1. 两个不等式 （1）
a,bR,那么 a2b2 2ab （2） (当且 当且仅仅 当aa=b当 时，b等时 号成立取 ""号)
(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)
基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。
(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。
基本不等式的应用场景练习题及答案解析
基本不等式的应用场景练习题及答案解析练题一已知对于任意实数 a 和 b，有以下不等式成立：a - b > 0。
根据该不等式，请解决以下问题：1. 证明对于任意的正数 x，-x < 0；2. 证明对于任意的实数 x，-x ≤ 0；3. 如果 a = 5 和 b = 3，a - b 的值是多少？答案解析1. 首先，由于 x 是正数，那么 -x 是负数。
假设 -x > 0，则两边同时乘以 -1，得到 x < 0，与 x 是正数矛盾。
因此，-x < 0 成立。
2. 对于任意实数 x，有以下两种情况：- 当 x > 0 时，根据第一题解析可知，-x < 0 成立；- 当 x = 0 时，-x = 0，即 -x ≤ 0 成立；综上所述，对于任意实数 x，-x ≤ 0 成立。
3. 当 a = 5 和 b = 3 时，a - b = 5 - 3 = 2。
练题二已知不等式 x - 2 > 3，根据该不等式，请回答以下问题：1. 证明对于任意实数 x，x > 5；2. 如果 x = 10，该不等式是否成立？答案解析1. 首先，由于 x - 2 > 3，将 2 移到右侧得到 x > 5。
2. 当 x = 10 时，代入不等式中得到 10 - 2 = 8，8 > 3 成立。
练题三已知不等式 2x + 1 < 9，根据该不等式，请回答以下问题：1. 证明对于任意实数 x，x < 4；2. 证明对于任意实数 x，2x < 8；3. 如果将不等式变形为 2x < 8，该不等式是否成立？答案解析1. 首先，由于 2x + 1 < 9，将 1 移到右侧得到 2x < 8。
然后，两边同时除以 2 得到 x < 4。
2. 对于任意实数 x，2x < 2 * 4 = 8 成立。
3. 当将不等式变形为 2x < 8 时，不等号的方向没有发生改变，因此该不等式成立。
基本不等式应用题的四大类型
基本不等式应用题的四大类型
基本不等式应用题的四大类型如下：
1. 求最值：这种题型的特点是两个式子中x的次数互为相反数，相乘后可以抵消掉。
如果是以多项式为整体应用基本不等式，为了让多项式产生联系，通常采用对多项式加减常数来解决。
2. 分式结构的基本不等式：这种题型有一次比二次型、二次比一次型、二次比二次型。
对于一次比二次型和二次比一次型，通常令一次结构部分为t，将y化成关于t的函数，然后分子分母同除以t。
对于二次比二次型，通常先分离常数，然后再采用上述方法。
3. 带限制条件的基本不等式问题：这类问题通常需要结合其他数学知识，如代数、方程、函数等，通过设立代数式、方程或不等式来解决。
4. 直接应用基本不等式：题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。
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应用题 基本不等式类型1
应用题 基本不等式类型16、运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．7、某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？4、小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年 起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车 运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其 销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)5、要制作一个如图的框架(单位：米)，要求所围成的总面积为19.5(平方米)，其中四边形ABCD 是一个矩形，四边形EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h ＝12AB ，tan ∠FED ＝34，设AB ＝x 米，BC ＝y 米．(1)求y 关于x 的表达式；(2)如图设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？答案1、解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]． (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])． (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时，等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．2、解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x 10＋x. (2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x ) ＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)．装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x＝－x 2－5x －5010(17＋x )， 令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤310， 当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211. 答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．4、解 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )，即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋5 2.而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．5、解 (1)如图，等腰梯形CDEF 中，DH 是高． 依题意，DH ＝12AB ＝12x ， EH ＝DH tan ∠FED ＝43×12x ＝23x ， ∴392＝xy ＋12⎝⎛⎭⎫x ＋x ＋43x 12x ＝xy ＋56x 2， ∴y ＝392x －56x . ∵x ＞0，y ＞0，∴392x －56x ＞0，解得0＜x ＜3655， ∴所求表达式为y ＝392x －56x (0＜x ＜3655)． (2)Rt △DEH 中，∵tan ∠FED ＝34， ∴sin ∠FED ＝35， ∴DE ＝DH sin ∠FED ＝12x ×53＝56x ， ∴l ＝(2x ＋2y )＋2×56x ＋⎝⎛⎭⎫2×23x ＋x ＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x ＝39x ＋133x ≥2 39x ×13x 3＝26. 当且仅当39x ＝133x ，即x 2＝9，即x ＝3时取等号，此时y ＝392x －56x ＝4， ∴AB ＝3米，BC ＝4米时，能使整个框架用材料最少.1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．（1）为控制预算，要求每批产品的总费用控制在1000元，求x的范围；（2）为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件．2．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，并求出最大值．3．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时) f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)1、解析 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8(x ＞0)，即x ＝80时“＝”成立．答案 802、解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x ＞0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案 5 83、解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20<x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b再由已知得⎩⎨⎧ 200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0≤x ≤20，13(200－x )，20<x ≤200. (2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(200－x )22＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.。
基本不等式应用题型
基本不等式应用题型1. 一个长方形的长是x+3，宽是x-2，求长方形的周长和面积。
解答：周长=2(x+3+x-2)=2(2x+1)=4x+2，面积=(x+3)(x-2)=x^2+x-6。
2. 一个三角形的两边长分别是x和x+2，第三边长是2x-1，求三角形的周长。
解答：周长=x+(x+2)+(2x-1)=4x+1。
3. 一个矩形的长是x+4，宽是x-1，求矩形的周长和面积。
解答：周长=2(x+4+x-1)=2(2x+3)=4x+6，面积=(x+4)(x-1)=x^2+3x-4。
4. 一个正方形的边长是2x-1，求正方形的周长和面积。
解答：周长=4(2x-1)=8x-4，面积=(2x-1)^2=4x^2-4x+1。
5. 一个圆的半径是x+2，求圆的周长和面积。
解答：周长=2π(x+2)=2πx+4π，面积=π(x+2)^2=π(x^2+4x+4)。
6. 一个等腰三角形的底边长是2x-1，两腿长分别是x和x+3，求三角形的周长。
解答：周长=(2x-1)+x+(x+3)=4x+2。
7. 一个梯形的上底长是x+2，下底长是2x-1，高是x，求梯形的面积。
解答：面积=((x+2)+(2x-1))×x/2=(3x+1)×x/2=3x^2+x/2。
8. 一个圆的直径是2x+1，求圆的周长和面积。
解答：周长=π(2x+1)=2πx+π，面积=π[(2x+1)/2]^2=π(x+1/2)^2。
9. 一个等边三角形的边长是2x-1，求三角形的周长和面积。
解答：周长=3(2x-1)=6x-3，面积=(2x-1)^2=4x^2-4x+1。
10. 一个平行四边形的边长分别是x和x+3，高是x-1，求平行四边形的周长和面积。
解答：周长=2(x+x+3)=4x+6，面积=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3。
基本不等式实际应用题
• 基本不等式的概念和性质 • 基本不等式的应用场景 • 基本不等式的解题技巧 • 基本不等式的实际应用案例 • 基本不等式的扩展和深化
01
基本不等式的概念和性质
基本不等式的定义
定义
基本不等式是数学中常用的一个不等 式，它表示两个正数的平均数总是大 于或等于它们的几何平均数。
总结词：代数变换技巧是基本不等式 解题中的重要技巧之一，通过代数运 算对项进行变换，可以简化计算过程， 提高解题效率。
放缩法技巧
放缩法技巧是指通过放缩不等式的两边，使不等式更易于解 决。例如，在利用基本不等式求最值时，可以通过放缩法技 巧将问题转化为更容易求解的形式。
总结词：放缩法技巧是基本不等式解题中的重要技巧之一， 通过放缩不等式的两边，可以将问题转化为更容易求解的形 式，提高解题效率。
构造函数技巧
构造函数技巧是指根据题目的特点，构造一个函数来解决问题。例如，在利用基本不等式求最值时，可以通过构造函数技巧 将问题转化为求函数的最值问题。
总结词：构造函数技巧是基本不等式解题中的重要技巧之一，通过构造函数可以将问题转化为求函数的最值问题，简化计算 过程，提高解题效率。
04
基本不等式的实际应用案例
VS
详细描述
在资源有限的条件下，如何合理分配资源 以达到最优效果是资源分配问题的核心。 基本不等式可以用来解决这类问题，例如 在农业生产、资金分配等方面，通过优化 资源配置，可以提高整体效益。
最短路径问题
总结词
在交通、通信和工程领域，最短路径问题至关重要，基本不等式为寻找最短路径提供了 理论支持。
极值问题
在极值问题中，基本不等式可以用来确定函数的极值点，以及极值的大小。
优化问题的求解
基本不等式及其应用 习题及解析
基本不等式及其应用习题及解析基本不等式及其应用一、选择题（共15小题）1.已知$x,XXX{R}$，$x+y+xy=315$，则$x+y-xy$的最小值是（）A。
35B。
105C。
140D。
2102.设正实数$x,y$满足$x>1,y>1$，不等式$\frac{x}{y-1}+\frac{y}{x-1}\geq 4$的最小值为（）A。
2B。
4C。
8D。
163.已知$a>0,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$，当且仅当（）A。
$a=b$B。
$a=b=1$XXX 1$D。
$a\neq b$4.已知$x,y$都是非负实数，且$x+y=2$，则$xy$的最大值为（）A。
0B。
$\frac{1}{4}$C。
$\frac{1}{2}$D。
15.已知$x,y,z$为正实数，则$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$的最大值为（）A。
3B。
4C。
5D。
66.若$a,b\in\mathbb{R},ab\neq 0$，且$a+b=1$，则下列不等式中，XXX成立的是（）A。
$ab\leq \frac{1}{4}$XXX{1}{4}$XXX{1}{8}$D。
$ab\geq \frac{1}{8}$7.设向量$\vec{OA}=(1,-2),\vec{OB}=(a,-1),\vec{OC}=(-b,2)$，其中$O$为坐标原点，$a>0,b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$的最小值为（）A。
4B。
6C。
8D。
98.若$x>0,y>0,x+y=1$，则$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$的最小值为（）A。
2B。
3C。
4D。
59.在下列函数中，最小值是2的是（）A。
$y=x^2+1$B。
$y=2-x^2$C。
微专题04 利用基本不等式解决多元最值问题(解析版)
微专题04利用基本不等式解决多元最值问题【方法技巧与总结】利用基本不等式求解多元最值的常用技巧（1）互倒模型（2）平方和与积的转换（3）条件等式求范围（4）换元消元法【题型归纳目录】题型一：互倒模型题型二：平方和与积的转换题型三：条件等式求范围题型四：换元消元法【典型例题】题型一：互倒模型例1．（2022·湖北恩施·高一期末）若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（）A ．16B ．18C ．20D ．22【答案】C【解析】因为2a >，3b >，所以22224499492310232323a b a b a b a b a b a b -+-++=+=-++-++------1020≥+=（当且仅当4,6a b ==时，等号成立），所以2223a b a b +--的最小值是20．故选：C例2．（2022·天津·一模）设20a b >>，那么()412a b a b +-的最小值是___________．【答案】16【解析】因20a b >>，则221122(2)2(2)()2228b a b a b a b b a b +--=⋅-≤⋅=，当且仅当22b a b =-，即14b a =时取“=”，因此，()442221118()81628a a a ab a b a ++≥=+≥⨯-，当且仅当221a a=，即1a =时取“=”，所以，当11,4a b ==时，()412a b a b +-取最小值16．故答案为：16例3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知正实数,a b ，且22a b +=，则11121a ab ++++的最小值是（）A ．2B ．32C ．54D ．43【答案】C【解析】因为正实数,a b ，22a b +=，故(1)(21)4a b +++=，所以111121[(1)(21)](114141b a b a a a +=+++⨯=++++，故1112111121115(1)212141214412144a b a b a a b a b a b ++++++=++=+⨯+≥+=++++++，当且仅当15,36a b ==时取得等号，故选：C例4．（2022·全国·高三专题练习）若正数a ，b 满足11a b +=1，则41611a b +--的最小值为__．【答案】16【解析】因为正数a ，b 满足11a b+=1，则有1a =111b b b --=，则有11ab b=-，1b =111a a a--=，即有11b a a =-，则有41641611b a a b a b +=+≥=--16，当且仅当416b aa b=即有b ＝2a ，又11a b +=1，即有a 32=，b ＝3，取得最小值，且为16．故答案为：16．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________．【答案】120x y ≥>，0z >，所以43223x y z xx y y z+++++223223x y y z xx y y z +++=+++231223y z xx y y z+=++++23111223y z x x y z +≥++≥+=++当"232,23,2223y z xx y x y z x y x y z +===+=+取等号“综上所述：43223x y z xx y y z+++++的最小值为1故答案为：1例6．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知0a b >>，当41422a a b a b+++-取到最小值时，=a ___________．【答案】34【解析】知0a b >>，当41422a a b a b +++-取到最小值时，=a 由题意知：41414222222++=+++-++-+-a a b a b a b a b a b a b≥6=，当且仅当412,222+=-=+-a b a b a b a b，即31,42a b ==时取等，故当41422a a b a b +++-取到最小值时，34a =．故答案为：34．例7．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数a b ，满足1a b +=，R c ∈，则222313a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】3【解析】由1a b +=，得2221a ab b ++=，0,0a b >>，则222222222(31132143)3(2)311a a a ab b a b c c c bc b abc ab c b ab c b a++++=++=+++++++，2263(1)331c c ≥++-≥+，当且仅当2262,3(1)1b ac c ==++时取“=”，所以当212,,133a b c ===-时，222313a c bc b abc ab++++的最小值为3．故答案为：3题型二：平方和与积的转换例8．（2022·全国·高一专题练习）,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bca b c +++的最大值为________．【答案】12【解析】22222222ab bc ab bca b c a b b c ++=+++++，222a b ab +≥，222b c bc+≥当且仅当a b c ==时取等号，所以222222212222ab bc ab bc ab bc a b c a b b c ab bc +++=≤=++++++∴2222ab bc a b c +++的最大值为12．故答案为：12．例9．（2022·浙江·高一阶段练习）若实数m ，n 满足2241m n +=，则421mnm n +-的最小值是___________．【答案】1,2x m y n ==，则()2222()42()1121111x y x y mn xy x y x y m n x y x y x y +-++-====+++-+-+-+-，因为2221222x y x y ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以x y ≤+≤2111xyx y x y =++≥++-，当且仅当x y ==立，故421mnm n +-的最小值为1．故答案为：1例10．（2022·辽宁·高二期末）若实数,a b 满足2244a b -=，则252a ab +的最小值为__________．【答案】4【解析】2244,122b b a b a a ⎛⎫⎛⎫-=∴+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设2b a x +=，则0x ≠，12b a x -=，111,2a x b x x x⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭，222211111151552592444242a ab x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+++-=++⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，等号在3x =±，即a b ==a b ==所以252a ab +的最小值为4．故答案为：4例11．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知0a <<，则2125a M a a +=+++的最大值为______．【答案】54【解析】当0a <<时，()()22111142541411a a a a a a a ++==+++++++，当且仅当411a a +=+时，即当1a =时，等号成立．当0a <<时，22212a a +-≤=，当且仅当222a a =-时，即当1a =时，等号成立．因此，当1a =时，M 取得最大值，即max 15144M =+=．故答案为：54．例12．（2022·浙江·高一课时练习）若,,x y z 均为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值是_______．【答案】22【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以2222222()11(2)2xy yz xy yzx y y x zy z ++=+++++≤，当且仅当2x y y z ⎧=⎪⎪=，即2x z y ==时等号成立．故答案为：2．例13．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知x ，y R ∈，2291x xy y -+=，则3x y +的最大值为________．【解析】2291x xy y -+=，22916x y xy xy ∴+=+ ，即15xy ，当且仅当3x y =，即151515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，222112(3)69171755x y x xy y xy ∴+=++=+≤+⨯=，∴3x y ≤+3x y ∴+的最大值为5．例14．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z恒成立，则a 的最大值是__________．【答案】1【解析】因为222222212222xy yz xy yz xy yz x y z x y y z xy yz +++==++++++≤，当x y z ==时取等号，所以2222xy yz x y z +++的最大值是12，即211122a a +-≥，解得112a -≤≤，所以a 的最大值是1．故答案为：1例15．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（）A ．9B ．16C ．49D ．81【答案】D【解析】由题意得332727ab a b =++≥+，得)27930ab --=≥，9≥，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立．故选：D例16．已知实数,a b ，且0ab >，则22224aba b a b +++的最大值为______．【答案】16【解析】由2220a b ab +≥>，所以222222424ab aba b a b ab a b ≤+++++，又由221142462ab ab a b ab ab ==++++，当且仅当a b =时，等号成立，所以2222146ab a b a b ≤+++．故答案为：16．例17．（2022·天津英华国际学校高一阶段练习）设0x >且2212y x +=，则的最大值为_______【答案】324【解析】由题意，0x >>由均值不等式，当0,0a b >>时，222222a ba b ab ab ++≥⇔≤，当且仅当22a b =即a b =时等号成立故22222113)2222x y y x ++=++=，即324≤=即22x y ==±时等号成立故答案为：4例18．（2022·江苏泰州·高一阶段练习）已知正实数x ，y ，z 满足2224y x z ++=，则2xy yz+的最大值为___________．【答案】【解析】∵x ，y ，z 为正实数，∴22222224455y y y z z y x x z ⎛⎫⎛⎫++=+++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，∴2xy yz +≤y ===∴2xy yz +的最大值为故答案为：例19．（2022·四川巴中·高一期中）已知正实数x ，y 满足1x y +=，则22x y +的最小值为________．【答案】12【解析】因为1x y +=，所以2211224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立，所以()222112121242x y xy x x y y =+-=--⨯=+≥，所以22x y +的最小值为12，故答案为：12．题型三：条件等式求范围例20．（2022·全国·高三专题练习）设220,0,4x y x y x y >>+-=，则11x y+的最小值等于（）A ．2B ．4C ．12D ．14【答案】B【解析】因为224x y x y +-=，可得224x y x y +=+且0,0x y >>，所以2211444x y x y xy x y xy xy xy +++===+≥，当且仅当4xy xy=时，即2xy =等号成立，所以11x y+的最小值为4．故选：B ．例21．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知实数x ，y 满足223x y +=，则2211(2)(2)x y x y ++-的最小值为__________．【答案】415【解析】设2(2)x y m +=，(0)m >，2(2)x y n -=，(0)n >可得2222(2)(2)5()15m n x y x y x y +=++-=+=，则2211111114()()(2)(22(2)(2)15151515n m m n x y x y m n m n +=++=++≥++-．当且仅当n m m n =，即152m n ==时，等号成立．故答案为：415．例22．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）已知0x >，0y >，且22x y +=，则433x yx y++的最小值为__________．【答案】33+【解析】因为22x y +=所以432434333333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+=当且仅当4322y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即132x y ==时，取等号，所以433x y x y ++的最小值为33+．故答案为：33+例23．（2022·全国·高三专题练习）若正数a ，b 满足21a b +=，则222a ba b+--的最小值是__．【答案】132-【解析】设22,2u a v b =-=-，则2,22ua b v -==-，可得3(,0)u v u v +=>，所以11212311232()()222232u a b v u v a b u v u v u v --+=+=+-=++---1231331(3)(31323222v u u v =++-≥+-=-=，当且仅当63v u =-=时，等号成立，取得最小值．故答案为：132-．例24．（2022·山东德州·高二期末）若2,1a b >>-，且满足26ab a b +-=，则1921a b +-+的最小值为______．【答案】3【解析】由()()2122624a b ab a b -+=+--=-=又2,1a b >>-，则20,10a b ->+>所以19321a b +≥==-+当且仅当1921a b =-+以及26ab a b +-=，即8,53a b ==时取得等号．所以1921a b +-+的最小值为3故答案为：3例25．（2022·上海交大附中高一期中）已知正实数a ，b ，满足6a b +=，则2211a ba b +++的最大值为___．【答案】16【解析】因为正实数a ，b ，满足6a b +=，则222222222226(1)6(1)6(1)11(1)(1)()1()237(1)36a b ab a b a b ab ab ab a b a b ab a b ab ab ab +++++++====+++++++-+-+，因为6a b +=，0a >，0b >，所以20()92a b ab +<= ，当且仅当3a b ==时取等号，令1=-t ab ，18t -< ，则原式26(2)36t t +=+26(2)640(2)4(2)40242t t t t t +===+-++++-+ 当且仅当4022t t +=+，即2t =时取等号，此时取得最大值16+，故答案为：16．例26．（2022·江苏苏州·高二竞赛）已知正实数a ，b ，c 满足()2a b ab +=，且a b c abc ++=，则c 的最大值为___________．【答案】815【解析】由0,0a b >>，则()22a b ab +=≥⋅，可得16ab ≥，当且仅当4a b ==时取等；又由a b c abc ++=可得11122222a b ab c ab ab ab +===+---，由16ab ≥可得1102230ab <≤-，则18215c <≤，则c 的最大值为815．故答案为：815．例27．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________．【答案】4【解析】由题得331(3)3,3a b ab a b a b a b ab b a++=+∴+==+，所以23133(3)()(3)101016a b a b a b b a b a +=++=++≥+=．（当且仅当1a b ==时取等）因为34a b +≥，所以3a b +的最小值为4．故答案为：4例28．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则的最大值为___________．【答案】【解析】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b +=又0,0a b >>，设t =，则0t >21262t a b =+++++由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立．所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立．故答案为：例29．（2022·天津河北·二模）已知0a >，0b >，且2610a b a b +++=，则52b a-的最大值为___________．【答案】4【解析】因为0a >，0b >，且2610a b a b+++=，所以152624b a b a b a -=+--1410a b b a =----4101a b b a ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭又44a a +≥=，当且仅当4a a =，即2a =时取等号，12b b +≥=，当且仅当1b b =，即1b =时取等号，所以461a b b a +++≥，则41041a b b a ⎛⎫-+++≤ ⎪⎝⎭，即524b a-≤，当且仅当2a =、1b =时取等号；故答案为：4例30．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知a ，b 为正实数，且196a b a b+=++，则a b +的最小值为_______．【答案】8【解析】因为0a >、0b >且196a b a b+=++，所以()()()21996610b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=+++=++++⎪⎝⎭()()610616a b a b ≥+++=++当仅当9b a a b =时取等号，即()()26160a b a b +-+-≥解得8a b +≥或2a b +≤-（舍去），当且仅当2a =、6b =时取等号；故答案为：8题型四：换元消元法例31．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）已知0x >，0y >，212x y xy ++=，则221318xy x y xy +++的最大值为___________．【答案】19【解析】12226x y xy xy xy =++≥⇒+≤，当2x y ==时取等，所以(]020,4xy <⇒∈，故令1t xy =+，则(]1,5t ∈，所以()()222211116318169131181xy t t x y xy t t t t t t +===≤++++-+-+++，当4t =时，等号成立．所以221318xy x y xy +++的最大值为19故答案为：19例32．（2022·福建三明·高二期末）已知正实数a ，b 满足12a b+=，则12ab a+的最小值是（）A ．52B ．3C ．92D．1【答案】A【解析】因为12a b+=，所以12>0a b=-，所以02b <<，所以()122221+212112b b b b b a a b b b ⎛⎫-+=- ⎪-+-⎝⎭=，令21b t -=，则+12t b =，且13t -<<，所以+1111522+2++222122t t t t t ab a =≥=+=，当且仅当122t t =，即12t =，32,43b a ==时，取等号，所以12ab a+的最小值是52．故选：A ．例33．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______．【答案】12【解析】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ，所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b-+＝﹣2（112b -）2+12，当112b =，即b ＝2时取得最大值12．故答案为：12．例34．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数x ，y 满足：222x x xy y ++=，则232x y y++的最小值为_________．【答案】【解析】因为222xx xy y++=，所以2224xx xy y+++=，所以2()()4x x y x y y+++=，所以2()4x y x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，令24x y mx y m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，则224322()2x y x y x m y y m ⎛⎫++=+++=+≥== ⎪⎝⎭，当且仅当42m m=即m 时取等号，所以232x y y++的最小值为故答案为：例35．（2022·全国·高三专题练习）若实数,x y 满足22321x xy y --=，则2252x yx xy y +++的最大值为___________．【答案】4【解析】令x y t +=，则()2222222322144x x x xy y x xy y t --++==-=-，即2241x t =+，所以()()222222225212421x y x y t tx xy y tx x xy y t t ++===++++++++，当0t ≤时，2012tt ≤+；当0t >时，211122t t t t=++，因为12t t +≥12t t =，即t =时，等号成立，所以22115242x y x xy y t t+=≤+++．所以2252x y x xy y +++的最大值为4．例36．（2022·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______．【答案】12【解析】令1x t -=，则1x t =+，0t >，所以222111447(1)4(1)72422x t t x x t t t t t t -===≤-++-++-++-，当且仅当4t t=，即2t =时，等号成立．所以()21147x x x x ->-+的最大值为12．故答案为：12．例37．（2022·江苏省上冈高级中学高二期中）设正实数x 、y 、z 满足22340x xy y z -+-=，当xy z 取得最大值时，22y yz+的最小值为______．【解析】正实数x 、y 、z 满足22340x xy y z -+-=，则2234z x xy y =-+，22114343xy xy x y z x xy y y x ∴===-++-，当且仅当2x y =时，等号成立，所以，当2x y =时，xyz取得最大值1，此时222234z x xy y y =-+=，22212222y y y y y z y y ∴+=+=+≥=y 时，等号成立．因此，22y yz+．例38．（2022·浙江杭州·高一期末）已知x ，y ＝R +，且满足x 12x++2y 1y +=6，若xy 的最大值与最小值分别为M 和m ，M +m ＝_____．【答案】134【解析】∵x ，y ＝R +，设xy t =，则1xyt=，∴11116222222xy y x x y x y x y x y x y t t t⎛⎫=+++=+++⋅=+++ ⎪⎝⎭∴12t ＝（2t +2）x +（4t +1）y≥，∴18t ≥（t +1）（4t +1）＝4t 2+5t +1，∴4t 2﹣13t +1≤0，t ≤≤∵xy 的最大值与最小值分别为M 和m，∴M 138+=，m 138-=，∴M +m 134=．例39．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）若实数,x y 满足2221x xy y +-=，则222522x yx xy y --+的最大值为________．【答案】24【解析】由2221x xy y +-=，得(2)()1x y x y -+=，设12,x y t x y t-=+=，其中0t ≠．则1121,3333x t y t t t =+=-，从而2222112,522x y t x xy y t t t -=--+=+，记1u t t=-，则22225222x y u x xy y u -=-++，不妨设0u >，则12u u≤+当且仅当2u u =，即u=．故答案为：24．例40．（2022·江苏连云港·高二期末（文））已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____．【答案】2【解析】∵x ，y ＞0，则2223x y xy y ++＝2231x y x y++，设xy＝t ，t ＞0，则()()2222212143311t t x y t xy y t t +-++++==+++＝（t +1）+41t +﹣﹣2＝4﹣2＝2，当且仅当t +1＝41t +，即t ＝1时取等号，此时x ＝y ，故2223x y xy y ++的最小值为2，故答案为2例41．（2022·黑龙江·铁人中学高二期中）若x ，y 均为正实数，且21123x y x y+=++，则x y +的最小值为________．【答案】95【解析】令x y t +=，则y t x =-，由21123x y x y +=++得211233x t x x t x +=+-+-，即21132x t t x +=+-，所以412232x t t x++-1=，因为0,0x y >>，所以220x t +>，320t x ->，所以[]41(22)(32)52232x t t x t x t t x ⎛⎫++-⋅+= ⎪+-⎝⎭，所以4(32)224152232t x x tt x t t x-++++=+-，所以4(32)225542232t x x t t x t t x -+-=+≥=+-，所以59t ≥，即95t ≥，当且仅当65x =，35y =时，等号成立．故答案为：95．。
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识无处不在，看似抽象的基本不等式其实也有着广泛的应用。
掌握并灵活运用基本不等式，能帮助我们解决许多实际问题，让生活变得更加高效和经济。
基本不等式，对于两个正实数 a 和 b，它们的算术平均数大于等于几何平均数，即：＼（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
先来说说购物方面的例子。
假设我们要购买一定数量的某种商品，比如苹果。
超市 A 售卖的苹果每个价格是 x 元，但是需要支付固定的运费 y 元；超市 B 售卖的苹果每个价格是 z 元，没有运费。
在考虑购买成本时，我们可以运用基本不等式来决定在哪家超市购买更划算。
设我们计划购买 n 个苹果。
在超市 A 购买的总费用为＼（C_{A} ＝ nx ＋ y\），在超市 B 购买的总费用为＼（C_{B} ＝ nz\）。
为了比较在哪家购买更经济，我们可以计算两者的平均值。
对于超市 A，平均每个苹果的费用为＼（＼frac{C_{A}｝｛n} ＝ x ＋＼frac{y}｛n}＼）。
这里，根据基本不等式，如果 x 是固定的，那么当＼（n\）足够大时，＼（＼frac{y}｛n}＼）会趋近于 0，平均费用就趋近于＼（x\）。
对于超市 B，平均每个苹果的费用始终是＼（z\）。
所以，当＼（x ＜ z\）时，在超市 A 购买更划算；当＼（x ＞ z\）时，在超市 B 购买更划算；当＼（x ＝ z\）时，则需要进一步考虑＼（y\）和＼（n\）的关系来决定。
再看一个房屋装修的例子。
假如我们要装修一间房间，需要购买地板材料和墙面涂料。
地板材料每平方米的价格是 a 元，墙面涂料每桶的价格是 b 元，每桶涂料可以涂刷 c 平方米的墙面。
房间的地面面积是 m 平方米，墙面面积是 n 平方米。
在预算有限的情况下，我们希望在满足装修需求的同时，尽可能节省费用。
设购买地板材料 x 平方米，购买涂料 y 桶。
3.4.2基本不等式的应用含答案
跟踪训练 3 高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精
力增多，因此不满意度升高，已知当教室在
n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为 n，但高处
嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第
n层
楼时，环境不满意度为 8，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为
跟踪训练 3 答案 B
解析 由题意知，教室在第 n 层楼时，同学们总的不满意度
8
8
y＝ n＋n≥４ 2，当且仅当 n＝ n，
即 n＝ 2
2时，不满意度最小， 又 n∈N*，分别把
8 n＝ 2,3 代入 y＝ n＋ n，易知 n＝ 3 时，y 最小．故
最适宜的教室应在 3 楼．
典例
0.2 n n＋ 1
第 2 课时 基本不等式的应用答案
4 例 1 (1) 若 x>0，求函数 y＝x＋ x的最小值，并求此时 x 的值；
4 (2) 已知 x>2，求 x＋ x－ 2的最小值；
3 (3) 设 0<x<2，求函数 y＝ 4x(3 － 2x) 的最大值．
4
4
解 (1) 当 x>0 时， x＋ x≥２ x· x＝4，
差数列逐年递增．
(1) 设使用 n 年该车的总费用 (包括购车费用 )为 f(n)，试写出 f(n)的表达式；
(2) 问这种新能源汽车使用多少年报废最合算
(即该车使用多少年年平均费用最少 )？年平均费
用的最小值是多少？
【课堂练习】
1．不等式
9 ＋ (x－ 2)≥ 6(x＞2) 中等号成立的条件是 x－ 2
为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
2.4.3 基本不等式及其应用(含答案)
【课堂例题】例1.用长为4a 的篱笆围成一个矩形菜园，怎样才能使所围矩形菜园的面积最大？例2.用篱笆围一个面积为218m 的矩形菜园，如果一边借用已有的一堵墙，则篱笆至少要多少米？例3.某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？(结果精确到0.1米)例4.某工厂建造一个无盖的长方体水池，其容积为34800m ，深度为3m ，如果池底每21m的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？43绿地【基础训练】1.(1)把36写成两个正数的积，要求这两个正数的和最小，那么36= .(2)把18写成两个正数的和，要求这两个正数的积最大，那么18= .2.用一根长为L 的铁丝制成一个矩形框架，框架的面积最大值为 .3.斜边长为10的直角三角形，面积最大值为 .4.某种产品的生产者准备对该产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价%p ，第二次提价%q ；方案乙：第一次提价%q ，第二次提价%p ； 方案丙：第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q +. 其中0p q >>，则上述总提价从小到大排列正确的是（ ）(A)甲<乙<丙; (B)甲=乙<丙; (C)丙<甲=乙; (D)由,p q 的具体数值确定.5.某汽车公司购买了一批客车投入营运，每辆客车营运的总利润y (单位10万元)与营运年数x *()x N ∈为二次函数关系如图，则每辆客车营运( )年时，其营运的年平均利润最大. (A)3; (B)4; (C)5; (D)6.6.建造一个容积为8造价每平方米分别为7.如图，一份印刷品的排版面积(虚线矩形面积)为18，它的两边都留有宽为1的空白，顶部和底部都留有宽为2的空白.如何选择纸张的尺寸注，才能使纸的用量最少？注：纸张的尺寸一般用m n 表示.【巩固提高】8.如图，制作一个木质窗框，如果可供使用的材料是l 米，求该木质窗框的最大面积.(结果用l 表示，忽略木料本身宽度).12129.经过长期观察测得：在交通繁忙时期，某公段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的关系为2920(0)31600v y v v v =>++ (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ (精确到0.1千辆/时)(2)若要求该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？提示：分子分母同除以v 后再处理.(选做)10.(1)用实验的方法比较三个正数,,a b c 的算术平均数3a b c++和(也可以证明)(2)利用(1)，尝试解决《数学》高一年级第一学期46P 课题一所提出的问题.【温故知新】 11.4{|,,0}A y y x x R x x ==+∈≠，则与A 相等的集合是( ).(A) (,4][4,)-∞-+∞; (B) [4,)+∞； (C) (,2][2,)-∞-+∞； (D) [2,)+∞.【课堂例题答案】例1.围成正方形时面积最大.例2.至少需要篱笆12米.例3.绿地长与宽分别为30.6米与22.9米时，人行道所占没面积最小.例4.底面为边长40米的正方形时，总造价最低，总造价为297600元.【习题答案】1.(1)66⨯; (2)99+.2.216L . 3.50.4.B 提示：22(1%)(1%)%%(1%)(1%)(1%)(1%)[](1)22p q p q p q q p ++++++=++<=+ 5.C 提示：2525()1210122(,5)y x x x x x x=-++≤-+=== 6.1760元.7.大小为105⨯规格. 8.248l . 9.(1)当汽车的平均速度v 为40千米/时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时；(2)汽车的平均速度应在(25,64)内.10.(1),,,3a b c a b c R +++∈≥，当且仅当a b c ==时等号成立 (2)227提示：3(4)(12)(12)2(1233x x x x +-+--==322(12)(12))327V x x x ∴=--≤= 11.A。
历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题(解析版)
历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题1、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．2、【2010年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1) 该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？规范解答 (1) 由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此算出的电视塔的高度H 是124 m. (2) (1) 由题知d ＝AB ，则tan α＝H d.由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －hd，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝()h hH H d d-+，当且仅当d ＝555时取等号． 又0<α－β<π2，所以当d ＝555时，tan(α－β)的值最大．因为0<β<α<π2，所以当d ＝555时，α－β的值最大．3、【2013年高考江苏卷】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力．满分14分．规范解答 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10km.(2) 因为a >0，所以炮弹可击中目标等价于存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0， 解得a ≤6，所以0<a ≤6.所以当a 不超过6km 时，炮弹可击中目标．一、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.运用基本不等式解决应用题一定要注意满足三个条件：一、正；二、定；三、相等。
借助基本不等式,解决三角形最值问题
所以b +c =433s i n B +s i n 2π3-B=432s i n B +12c o s B =4s i n B +π6 ㊂由于π6<B <π2,则有π3<B +π6<2π3,可得32<s i n B +π6ɤ1,所以b +c =4s i n B +π6ɪ23,4 ㊂所以әA B C 周长的取值范围为(2+23,6]㊂点评:解决涉及三角函数与平面向量的综合问题的常见方式有:利用平面向量的概念㊁公式等合理构建对应的关系式,将向量问题三角化,进而通过三角函数的恒等变换及图像性质等来分析与解决问题㊂在实际解决三角函数模块的解答题时,审清题意是解决问题的关键㊂合理挖掘具体的问题条件,创设解题的主要材料,联系并构建条件间的内在联系,特别是相关的角㊁相关的三角关系式等之间的联系是解题的必经之路㊂审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息,发掘条件的内在联系,进而借助对应的三角恒等变换公式㊁解三角形中的定理,以及平面向量中的公式等加以巧妙转化与综合应用,考查 四基 与基本能力等,成为高考命题的一个重要题型与考查方向㊂(责任编辑 王福华)ʏ江苏省苏州市桃坞高级中学校 甄 艳解三角形中的最值(或范围)问题是高考中最为常见的一类综合应用问题,也是一个热点与重点问题㊂基本不等式是破解三角形中的最值(或范围)问题的一个重点与基本点,特别在涉及解三角形的解答题中加以合理创设,综合性强,难度较大,且与其相关的问题灵活多样,备受各方关注㊂一、角的最值问题在解三角形的解答题中,利用基本不等式求角的最值问题是高考的一个考点,解决这类问题的关键是利用正㊁余弦定理及基本不等式求出角的某一三角函数值的范围,然后利用三角函数的单调性求出角的最值㊂例1 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且s i n C c o sB2=233-c o s Cs i n B 2㊂(1)当B =π3时,求s i n C +s i n A 的值;(2)求B 的最大值㊂分析:(1)根据题设条件,将角代入构建对应的三角关系式,通过所求关系式的诱导公式变形与两角和正弦公式的应用,合理转化得以求解;(2)利用三角关系式两边同乘以2c o s B 2进行恒等变形,合理化简并利用正弦定理化角为边,利用余弦定理确定c o s B 的表达式,通过基本不等式的应用来确定c o s B 的最值,并利用余弦函数的图像与性质来确定角B 的最大值㊂解:(1)由题意,可得s i n C c o sπ6=233-c o s Cs i n π6,即32s i n C +12c o s C =33㊂所以s i n C +s i n A =s i n C +s i n (π-C -B )=s i n C +s i n C +π3=32s i n C +32c o s C =332s i n C +12c o s C=1㊂51解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月(2)在s i n C c o s B 2=233-c o s C㊃s i n B 2的两边同乘以2c o s B 2,得2s i n C c o s2B 2=233-c o s C㊃2s i n B 2c o s B 2,即s i n C ㊃(1+c o s B )=233-c o s Csi n B ,化简整理得s i n C +s i n A =233s i n B ,由正弦定理可得a +c =233b ㊂在әA B C 中,由余弦定理可得c o s B =a 2+c 2-b 22ac =(a +c )2-b 2-2a c 2a c =b26a c-1,利用基本不等式有a c ɤa +c22=13b 2,当且仅当a =c 时等号成立,此时c o s B =b 26a c-1ȡ-12㊂由于B ɪ(0,π),而y =c o s x 在(0,π)上单调递减,故B 的最大值为2π3㊂点评:解决本题第(2)问的关键是利用倍角公式㊁余弦定理及基本不等式求出角B 的余弦值的范围,然后利用余弦函数的单调性求出角B 的最大值㊂结合三角形的应用场景,合理确定与角有关的三角函数,借助三角函数的单调性来确定相应角的最值(或范围),这是解决问题的理论依据所在㊂二㊁边的最值问题在解三角形的解答题中,涉及求边的最值问题是高考的一个考点,解决这类问题的关键是利用余弦定理表示出所要求的边,然后利用基本不等式或相关的变式,以及三角形三边的关系求出边的最值(或范围)等㊂例2 记әA B C 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知c o s C +(c o s B -22s i n B )c o s A =0㊂(1)求c o s A 的值;(2)若b +c =1,求a 的取值范围㊂分析:(1)将题设等式的第一项利用诱导公式化简,第二项利用单项式乘多项式法则计算,整理后根据s i n A 不为0构建涉及s i n A 与c o s A 与关系式,结合平方关系联立方程组,通过方程组的求解得以确定c o s A 的值;(2)由b +c =1,利用余弦定理和基本不等式可求a 的取值范围㊂解:(1)因为c o s C +(c o s B -22㊃s i n B )c o s A =0,而c o s C =c o s (π-A -B )=-c o s (A +B )=-c o s A c o s B +s i n A ㊃s i n B ,所以-c o s A c o s B +s i n A s i n B +c o s A c o s B -22s i n B c o s A =0,化简得s i n A s i n B -22s i n B c o s A =0㊂又0<A <π,0<B <π,所以s i n B ʂ0,s i n A >0,所以s i n A =22c o s A >0,所以c o s A >0,所以A 为锐角㊂联立s i n A =22c o s A ,s i n 2A +c o s 2A =1,可得9c o s 2A=1,所以c o s A =13㊂(2)由余弦定理可知a 2=b 2+c 2-2b c c o s A =(b +c )2-83b c ,利用基本不等式有b c ɤb +c22,所以a 2ȡ13(b +c )2=13,解得a ȡ33,当且仅当b =c =12时等号成立㊂由三角形的基本性质知a <b +c =1㊂综上可得,a 的取值范围为33,1㊂点评:利用余弦定理用(b +c )2表示出a 2是解决本题的关键,另外,在利用基本不等式求出a 的下界后,还要注意利用三角形三边的关系求出a 的上界,从而求出a 的取值范围㊂在求解三角形中边的最值(或范围)问题时,要注意充分利用条件确定相关的上界与下界,这里往往离不开基本不等式及三角形的基本性质㊂三㊁周长的最值问题在解三角形的解答题中,三角形周长的最值问题是高考的一个热点,这类问题一般可以求出一条边,然后利用余弦定理表示出另两条边满足的关系式,最后利用基本不等61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月式求出周长的最值㊂例3 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若A B ң㊃A C ң=92,b s i n A =4(s i n A c o s C +c o s A s i n C )㊂(1)求a 的长度;(2)求әA B C 周长的最大值㊂分析:(1)根据题设条件,利用正弦函数两角和公式与三角函数诱导公式将已知条件化解为b s i n A =4s i n B ,再利用正弦定理将其转化即可求解;(2)通过向量数量积公式与余弦定理可得b 2+c 2=25,再利用基本不等式即可求得b +c 的最大值,进而得以求解әA B C 周长的最大值㊂解:(1)由b s i n A =4(s i n A c o s C +c o s A s i n C )得b s i n A =4s i n B ㊂由正弦定理得a b =4b ,解得a =4㊂(2)由A B ң㊃A C ң=92得b c c o s A =92㊂利用余弦定理得b c ㊃b 2+c 2-162b c =92,整理得b 2+c 2=25,由基本不等式得25=b 2+c 2ȡ(b +c )22,所以b +c ɤ52,当且仅当b =c =522时等号成立㊂所以әA B C 周长的最大值为4+52㊂点评:解决本题第(2)问的关键就是构建两边平方和的关系b 2+c 2=25,进而利用基本不等式的变形公式加以转化,得以求解b +c 的最大值,为进一步确定三角形的周长的最值提供条件㊂在解决涉及三角形的周长的最值(或范围)问题时,要注意三角形的三边中相应的常量与变量,合理构建变量的线性关系式加以综合与应用㊂四、面积的最值问题在解三角形的解答题中,三角形面积的最值(或范围)问题是高考的一个热点,解决这类问题的关键是找出两边之积满足的不等关系式,然后利用三角形面积公式解决问题㊂这里比较常用的思维是利用基本不等式思维来转化与应用㊂例4 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且3a s i n B -b c o s A=b ㊂(1)求角A 的大小;(2)若a =2,求әA B C 面积的最大值㊂分析:(1)由题中的关系式利用正弦定理转化为涉及角的关系式,通过恒等变形,并结合辅助角公式(或范围),利用角的取值范围加以分析与求解;(2)通过余弦定理构建对应的关系式,利用基本不等式得以确定b c 的最大值,进一步确定әA B C 面积的最大值㊂解:(1)依题意,利用正弦定理可得3s i n A s i n B -s i n B c o s A =s i n B ,又s i n B ʂ0,所以3s i n A -c o s A =1,所以32s i n A -12c o s A =12,即s i n A -π6=12㊂又因为A ɪ(0,π),所以A -π6ɪ-π6,5π6,所以A -π6=π6,即A =π3㊂(2)利用余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即4=b 2+c 2-b c ,结合基本不等式可得4=b 2+c 2-b c ȡ2b c -b c =b c ,即b c ɤ4,当且仅当b =c =2时等号成立㊂所以S =12b c s i n A ɤ12ˑ4ˑ32=3,即әA B C 面积的最大值为3㊂点评:解决本题第(2)问的关键是利用余弦定理表示出b ,c 满足的关系式,然后利用基本不等式求出b c 满足的不等关系,最后利用三角形的面积公式解决问题㊂注意在确定三角形面积的最值(或范围)时,往往在定角背景下两夹边的乘积的最值确定,或是两边定值背景下夹角的正弦值的最值确定㊂借助基本不等式思维确定三角形中的最值(或范围)问题,主要是利用三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积等的关系式的 定和 或 定积 的结构特征,利用基本不等式来确定最值㊂解题的关键是利用解三角形进行统一化处理,或统一化边,或统一化角,结合仅含边或角的关系式的变形与应用来达到目的㊂(责任编辑 王福华)71解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月。
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创版4篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、应用基本不等式解决实际问题的方法1.求解最值问题2.证明不等式3.解决实际生活中的问题三、基本不等式在实际问题中的应用案例1.求解最大利润问题2.证明不等式关系3.解决实际生活中的财务问题正文（篇1）一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，主要用于研究不等式之间的联系和关系。
基本不等式有两个基本性质，分别是对称性和传递性。
对称性指的是对于任意的实数 a 和 b，都有 a*b<=b*a，即乘法满足交换律。
传递性指的是对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a<=b 且 b<=c，那么 a<=c。
二、应用基本不等式解决实际问题的方法基本不等式在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下三种方法：1.求解最值问题：利用基本不等式可以方便地求解最值问题。
例如，对于函数 f(x)=x^2+ax+b，当 a^2-4b<=0 时，函数的最小值等于 b；当a^2-4b>0 时，函数的最小值等于 f(-a/2)。
2.证明不等式：基本不等式也可以用于证明不等式。
例如，要证明x+y<=2，可以利用基本不等式，得到 (x+y)^2<=4，从而证明 x+y<=2。
3.解决实际生活中的问题：基本不等式也可以用于解决实际生活中的问题。
例如，对于一个商人，他希望利润最大化，可以利用基本不等式，得到售价 - 成本<=售价*成本，从而得到最大利润的售价。
三、基本不等式在实际问题中的应用案例基本不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是两个应用案例：1.求解最大利润问题：一个商人要销售一批商品，商品的成本为 c，售价为 x，销售量为 y，利润为 P=xy-c。
利用基本不等式，可以得到最大利润的售价 x<=sqrt(2*c/y)。
2.证明不等式关系：在实际问题中，基本不等式也可以用于证明不等式关系。
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用基本不等式解决应用题
例1.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35
k
p x x =
≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式；
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．
变式：某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2
的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S （m 2
）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值．
:
…
17．解：（1）由题设，得
N
T
M
H G
F
E D
C
B
A
()9007200822916S x x x x ⎛⎫
=--=--+ ⎪⎝⎭
，()8,450x ∈． ………………………6分
（2）因为8450x <<
，所以72002240x x +
≥， ……………………8分 当且仅当60x =时等号成立． ………………………10分 从而676S ≤． ………………………12分 答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为
676m 2
． ………………………14分
例2．某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60AD m =，40AB m =，且EFG ∆中，90EGF ∠=，经测量得到10,20AE m EF m ==．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一直线交,AB DF 于N M ,，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设()DN x m =． （1）将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；
（2）当x 为何值时，市民健身广场的面积最大并求出最大面积．
'
！
变式. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆
心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面
的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/
米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值
：
18、（本题满分16分）
如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。
（I）求“舒适感” k的取值范围；
（II）已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MH＝t，当人在帐蓬里的“舒适感”k达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式；并求出y的最大值（请说明详细理由）。
%
17. （本小题满分14分）
某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足
2
4
x P
（其中0,x a a 为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本16()P
P
万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为
20
(4)
P
元/件.
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大
17.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120,,
AB AC
的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省
A
P
@
B
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18．（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的
需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，
区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1≤x≤16，x∈N*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），分离参数求最值，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，20=，∴2p=100，
…
∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），
∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；
（2）∴0≤M≤30，
∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），
∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；
设=t，则≤t≤1，．
由≤（x=4时取等号），可得m≥，
由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，
∴≤m≤．
17．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高%．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业
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（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少
考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．
专题：计算题；应用题．
分析：（1）根据题意可列出10（1000﹣x）（1+%）≥10×1000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案．
（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围．
解答：解：（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+%）≥10×1000，
即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．
即最多调整500名员工从事第三产业．
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则（1+%）
所以，
所以ax≤，
即a≤恒成立，
因为，
当且仅当，即x=500时等号成立．
所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，
即a的取值范围为（0，5]．。