实对称矩阵与相似对角阵

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线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化

(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵，对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关，但不一定是正交的；量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1

实对称矩阵的相似对角化

§3 实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6

5[1].3_实对称矩阵的对角形

数学科学学院
, λs ,其重数分别为
徐鑫
2008年10月15日星期三
r1 , r2 ,
, rs , ∑ rk = n.
k =1
s
r 由性质2、性质3与特征向量性质可知：k重特征
值 λk 恰对应着 rk个线性无关特征向量，将它们正交化和单位化即得A的 rk 个单位正交特征向量。这样的特征向量共有n个，以它们为列[注意与Λ的列相对应]构成的相似变换阵P是正交阵，且有
徐
鑫
2008年10月15日星期三
4 例2 设 A = 0 0
0 3 3
为对角阵。〖解〗求特征值：
λ 4
0 0
0 1 ，求一个正交阵P，使 P1 AP = Λ 3
| λ E A |=
0 0 r1展开 λ 3 1 λ 3 1 = (λ 4) = (λ 4) 2 (λ 2) 1 λ 3 1 λ 3
故特征值为 λ1 = 2, λ 2 = λ3 = 4. 求特征向量：对 λ1 = 2 ，由
2 0 0 r ÷( 2) 1 0 0 r13 r2 2E A = 0 1 1 0 1 1 → 0 1 1 0 0 0 数学科学学院
徐
鑫
2008年10月15日星期三
得特征向量
P AP = Λ 其中Λ的对角元素含有 r1个λ1 , r2个λ2 , , rs个λs , 恰为
A的n个特征值。
数学科学学院徐鑫
1
2008年10月15日星期三
四、实对称阵的对角化 n阶实对称阵A正交相似于对角阵的步骤： 1、求出A的n个特征值 λ1 , λ2 , , λn （计重根）； 2、对A的每个 r重特征值 λ求A的 rk 个特征向量， k k 并将它们在组内正交化和单位化。最后得A的n个单位正交特征向量； α1 , α 2 , , α n 【若相异的n个根，则只要进单位话即可（性质2）】 3、作正交相似变换阵P与对角阵Λ，注意其列的对应关系： P = (α1 , α 2 , , α n ) , Λ = diag[λ1 , λ2 , , λn ] 则 P1 AP = Λ.

6-3实对称矩阵的相似对角化

1 = (2 λ )(4 λ ) , 3λ
2
0
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A 2 E ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 1 对 λ 2 = λ 3 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得基础解系
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
α Tα1 α Tα1 α Tα1 1 2 n T α 2 α Tα 2 α Tα 2 2 n α1 =E T α α α Tα α Tα 1 n 2 n n n
1, 当 i = j; α α i = δ ij = 0, 当i ≠ j
T j
( i , j = 1, 2, , n )
§6.3
实对称矩阵的相似对角化
一,实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 定理1 的特征值为实数. 实对称矩阵 ( AT = A) 的特征值为实数.
证明设复数 λ为对称矩阵 A的特征值 , 复向量 x为
对应的特征向量 , Ax = λx , x ≠ 0. 即
用 λ 表示λ的共轭复数, x表示x的共轭复向量, 表示则 A x = A x = ( Ax ) = (λx ) = λ x .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
∵ A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
范正交化.
定理5 定理5 设 α1 , α 2 , L , α s 是一组线性无关的向量,则可以找到一组正交的向量 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 使得向量组 α1 , α 2 , L , α s 与 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 证明首先, 首先,令 β 1 = α1 再令 β2 = α2 + kβ1 及 β 1 , β 2 = 0 即 β 1 , α 2 + k β 1 , β 1 = 0 从而求出

相似及相似对角化

若n阶方阵A 则称A可对角化。
diag(1, 2 , n
, n )，
对角化条件： n 阶方阵 A 与对角阵相似无关的特征向量.
A 有 n 个线性
1、相似对角化条件
说明 (1)若 A～Λ diag (1, 2 , , n ), 则A与Λ的特征值相同， Λ 的主对角线元素1, 2 , , n为A的全部特征值.
(3) 将 pi1, pi 2 , , piri，正交化，单位化，得 qi1, qi 2 , , qiri , 仍为 i 之特征向量；
(4) 写出正交矩阵（即为正交相似变换矩阵） Q q11, , q1r1 , q21, , q2 r2 , , qm1, , qmrm ,

及对角阵
3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵
1
, n )
3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵
推论设1, 2 ,..., m是n 阶实对称矩阵A的m 个不同
的特征值，重数依次为 r1, r2 , , rm , 且 r1 r2 rm n 则 ri 重特征值 i 必有 ri 个线性无关的特征向量.
3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵 n 阶实对称阵 A 正交相似于对角阵的问题与求解步骤
值，重数依次为 r1 , r2 , , rm , 且 r1 r2 rm n. 则 A 与对角阵相似 A 的ri 重特征值i恰有ri个线性无关的特征向量(i 1, 2, , m) p1r1 r1 个线性无关 1 r1 重 p11 p12 p2r2 r2 个线性无关 2 r2 重 p21 p22 即
a1P 1 AP a0 P 1EP
4、矩阵多项式
推论设, p是A的特征值和特征向量，则

高等数学 5-4实对称矩阵的相似对角形

1

1

2 2
0
1
3

2 2
注：P仅是可逆矩阵，而不是正交矩阵.
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的
特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
且对角矩阵对角元素即为特征值．
两式相减，得 ( )xx 0.
但因为 x 0,
n
n
所以 xx xi xi xi 2 0, ( ) 0,
i 1
i 1
即 , 由此可得是实数.
由定理5.4.1可推出：
由于对称矩阵A的特征值i为实数, 所以齐次
线性方程组
(A i E )x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
恰有r个线性无关的特征向量.
定理5.4.1 设A为n阶实对称矩阵,则有正交矩阵P, 使P1 AP ,其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵. 证明设A的的互不相等的特征值为1, 2 , , s ,
它们的重数依次为r1, r2 , , rs (r1 r2 rs n).
以它们为列向量构成正交矩阵P，则 P1AP P1P
其中对角矩阵的对角元素含 r1 个1,
是A的n个特征值.
二、实对称矩阵对角化的方法
, rs 个s , 恰
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：
1.求A的特征值
2.由( A i E)x 0,求出A的特征向量;
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.

5.3 实对称矩阵的正交相似对角化

得 1 2 2(二重), 3 7.
第二步由 A i E x 0, 求出A的特征向量
将 1 2 2代入 A 2E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
1 2 4 1 2 0 2
2
0
得 1 4, 2 1, 3 2.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
对 1 4,由 A 4 E x 0, 得 2 x1 2 x2 0 2 2 x1 3 x2 2 x3 0 解之得基础解系 1 2 . 1 2x 4x 0 2 3 对 2 1,由 A E x 0, 得
值为 6 , 3 , 3, 且特征值 6 对应的一个特征向量为
p1 (1,1,1) .
T
解设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵的不同的特征
值所对应的特征向量正交, 故
[ p1,x] x1 x2 x3 0,
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
二、实对称矩阵的性质
性质 1 对称矩阵的特征值为实数.
性质 2 设 1 , 2 是对称矩阵 A 的两个特征值
p1 , p2 是对应的特征向量, 若 1 2 , 则 p1 , p2
正交.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
性质 3 设 A 为 n 阶对称矩阵, 是 A 的特征方
1 2 s
且 Q-1AQ = 其中
Λ diag( λ1,, λ1, λ2 ,, λ2 ,, λs ,, λs ).

实对称矩阵的相似对角化

但因x 但因 ≠ 0,所以 ,
x′x = ∑ x i x i = ∑ | x i | ≠ 0,
i =1 i =1 n n 2
这就说明λ为实数. 故 λ λ = 0 ,即 λ = λ ,这就说明λ为实数.
定理2 是实对称阵A的两个特征值定理设λ1,λ2是实对称阵的两个特征值, , 是实对称阵的两个特征值, p1,p2是对应的特征向量.若λ1 ≠ λ2,则p1,p2 是对应的特征向量. , 是对应的特征向量 , , 正交. 正交. 证 λ1 p1 = A p1,λ2p2 = Ap2,λ1 ≠ λ2. , , . 对称, 因A对称,故对称 λ1p1′ = (λ1p1)′ = (A p1)′ = p1′A′ = p1′A, ′ λ ′ ′ ′ ′ ′ , 于是, 于是, λ1p1′p2 = p1′Ap2 = p1′ (λ2p2) = λ2p1′p2, ′ ′ ′ λ ′ , λ1) ′ 即 (λ2λ p1′p2 = 0 λ λ 正交. 但λ1 ≠ λ2,故p1′p2 = 0,即p1与p2正交. , ′ , 与正交
例2 设
1 1 1 0 1 0 1 1 A= 1 1 0 1 1 1 1 0
求一个正交阵P, 求一个正交阵 ,使P1AP=∧为对角阵. ∧为对角阵. 解 A的特征多项式为的特征多项式为
λ 1 1 1 1 1 λ A λE = 1 1 λ 1 λ 1 1 1 1 = (λ 1) 3 (λ + 3)
对ξ1,ξ2,ξ3应用施密特正交化方法,得应用施密特正交化方法, , , 应用施密特正交化方法
1 1 ζ 2 = ξ1 = 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1 [ξ 2 , ζ 2 ] ζ3 = ξ2 ζ2 = = 1 2 0 2 2 [ζ 2 , ζ 2 ] 0 0 0

实对称矩阵和对角矩阵的关系

实对称矩阵和对角矩阵的关系1. 实对称矩阵的定义实对称矩阵是指矩阵的转置与其本身相等的矩阵。

也就是说，对于一个n × n 的实对称矩阵 A，满足 A^T = A，其中 A^T 表示 A 的转置。

2. 对角矩阵的定义对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

对于一个n × n 的对角矩阵 D，满足 D[i][j] = 0，当i ≠ j，其中 D[i][j] 表示 D 在第 i 行、第 j 列的元素。

3. 实对称矩阵与对角矩阵的关系实对称矩阵和对角矩阵之间存在一种特殊的关系。

这种关系体现在实对称矩阵必然可以通过正交矩阵相似变换成对角矩阵，即 A = P^T · D · P，其中 P 是正交矩阵，D 是对角矩阵。

证明这一关系可以分为两个方面：一是对于实对称矩阵 A，存在正交矩阵 P，使得A = P^T · D · P；二是对于任意满足 A = P^T · D · P 的实对称矩阵 A，P 是正交矩阵。

3.1 实对称矩阵通过正交矩阵相似变换成对角矩阵假设 A 是一个n × n 的实对称矩阵，那么根据线性代数的一般理论，可以推导出存在正交矩阵 P 和对角矩阵 D，使得 A = P^T · D · P。

首先，由于 P 是一个正交矩阵，因此满足P^T · P = I，其中 I 是单位矩阵。

所以，P 的每一列都是一个单位向量，并且 P 的列向量两两正交。

其次，我们定义一个矩阵 B = P^T · A · P，其中 B 是一个n × n 的矩阵。

我们观察 B 的对角线元素，即 B[i][i]，可以得出以下结论：•当i ≠ j 时，B[i][j] = (P^T · A · P)[i][j] =(P^T)[i][k] · A[k][l] · (P)[l][j] (其中，k 和 l 是由矩阵 A 定义的，可以是任意值)。

实对称矩阵正交相似于对角矩阵的证明

为了证明实对称矩阵正交相似于对角矩阵，我们可以按照以下步骤进行推导：
第一步，我们首先需要了解实对称矩阵的定义，即实对称矩阵A 的所有特征值都是实数，并且对于任意的实数x，都有Ax=xA。

第二步，我们设实对称矩阵A的n个特征值为λ1,λ2,...,λn，并且设P为可逆矩阵，使得P-1AP为对角矩阵。

第三步，我们设P-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)，根据对角矩阵的定义，我们可以得到方程组P-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)，即
AP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)。

第四步，我们根据矩阵乘法的性质，将AP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)两边同时转置，得到APT=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)T，即ATP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)。

第五步，由于实对称矩阵A的所有特征值都是实数，因此我们可以将diag(λ1,λ2,...,λn)替换为diag(λ1,λ2,...,λn)T，得到
ATP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)T，即ATPAP=diag(λ1,λ2,...,λn)。

第六步，我们根据对角矩阵的定义，可以发现ATPAP实际上是一个对角矩阵，因此我们证明了实对称矩阵A正交相似于对角矩阵
diag(λ1,λ2,...,λn)。

综上所述，我们证明了实对称矩阵正交相似于对角矩阵。

新5-3线性代数第三节相似矩阵及实对称阵的对角化

理6( 如上)可得：
对应特征值 i (i = 1,2, , s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs = n知, 这样的特征向量共可得 n个.
(2) A = - 5 3 - 3
1 0 2
2- -1
2
A - E = 5 - 3 - 3 = - 13
-1
0 -2-
所以A的特征值为1 = 2 = 3 = -1.
把 = -1代入A - E x = 0, 解之得基础解系
= (1,1,-1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
=
4 -3
对应的特征向量,
即
Ax = x , x 0.
用表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量 ,
则 A x = A x = Ax = x = x.
于是有 xT Ax = xT Ax = xT x = xT x,
及 xT Ax = xT AT x = Ax T x = xT x= xT x.
1
1
0
,
1 0 1
则有
P -1 AP
=
-2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．
例3
设矩阵A
=
1 4
1 1
0 t ,
0 0 3
(1)求A100的特征值 .
(2)确定t,使A相似于对角阵，并求出及可逆阵 P，
使 P-1AP = .
2. P -1A1 A2 P = P -1 A1P P -1 A2 P .
3. 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.

线性代数 5-2矩阵相似对角化

线性代数
数学科学学院陈建华
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4.2 矩阵相似对角化
• 相似矩阵 • 矩阵可对角化条件 • 矩阵对角化的应用 • 实对称矩阵特征值和特征向量的性质 • 实对称矩阵的对角化
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一、相似矩阵
引例
⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ,A = ⎜ , B =⎜ , 设 P =⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ −1 2 ⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ 0 1⎠
| AB + A − B − E |=| ( A − E )( B + E ) |=| A − E || B + E | =| A − E || A + E |=| A2 − E |=| E |= 1
例2 设n阶矩阵A,B ,则下列结论正确的是（） (A) 矩阵A,B有相同的特征值，则它们相似 (B) 矩阵A的非零特征值个数与它的秩相等 (C) 若矩阵A,B相似，则它们与同一个对角形矩阵相似 (D) 若A 可对角化，且A,B相似，则它们与同一个对角形矩阵相似
⎛ λ1 ⎜ λ2 ⎜ = ( α 1 , α 2 ,⋯ , α n ) ⎜ ⎜ ⎝
PΛ
AP = P Λ ⇒ P −1 AP = Λ
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⇒
P AP = Λ ⇒ AP = P Λ
⎛ λ1 ⎜ ⎜ α , α , , α ⋯ ( ) n = 1 2 ⎜ ⎜ ⎝
−1
P = (α1 , α 2 ,⋯ , α n )
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α1 , α 2 分别是矩阵A 的属例3.已知A是 3 阶方阵， -1 和1的特征向量，Aα 3 = α 2 + α 3 证明：于特征值于特征值-1 -1和

用相似变换将实对称阵的对角化

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对应特征值λ 根据定理 5 及定理 7 知，对应特征值 i ( i = 1, 2, …, s ) , 恰有 ri 个线性无关的实特征向量，把它们个线性无关的实特征向量，正交并单位化，个单位正交的特征向量，正交并单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量，由 ( r1+ r2 + … + rs = n ) , 知这样的特征向量共可得 n 个。按定理 6 知，对应于不同的特征值的特征向量正个单位特征向量两两正交。交，故这 n 个单位特征向量两两正交。于是以它们为是正交阵，列向量构成的矩阵 P 是正交阵，并有
1 r r p 单位化后可得 2 = 0, p3 = 0 0 1 . 2 1 2
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1 0 r r r 1 于是得正交阵 P = ( p1 , p2 , p3 ) = 0 2 − 1 0 2
0 0 r r 1 p ξ 得基础解系 1 = 1 , 单位化后可得 1 = . − 1 2 − 1 2
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r r 当λ2 = λ3 = 4时, 解方程组 A − 4E) x = 0,由 ( 0 0 1 − 1 0 0 A − 4E = 0 − 1 1 ~ 0 0 0 , 0 1 − 1 0 0 0 1 0 r r r r , ξ ξ 得基础解系 2 = 0,ξ3 = 1, 此时 2与ξ3正好正交 0 1
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= λ3 (λ − 4a) = 0,
故得特征值 λ1 = 4a, λ2 = λ3 = λ4 = 0.

14实对称矩阵的相似对角化

再单位化，得：
1 2 2 T 将 ξ1 = (1， − 2 ) 单位化，得： η1 = ，，） . 2，（ − 3 3 3 T T 将ξ 2 = ( −2,1,0) , ξ 3 = ( 2,0,1) 正交化，得：（ξ 3，β 2） 1 T β 2 = ξ 2 = ( −2,1,0) ，β 3 = ξ 3 − β 2 = ( 2,4,5)T （β 2，β 2） 5
性质3：性质：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
二、实对称矩阵的相似对角化：实对称矩阵的相似对角化：定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似一定与对角矩阵相似。定理：实对称矩阵一定与对角矩阵相似。定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似一定与对角矩阵正交相似。定理：实对称矩阵一定与对角矩阵正交相似。
∵ A = 0,∴ k = l . ∵ A − E = 0,∴ k = l = 0. 1 1 1 0 1 0 2 ∴ A = 0 1 0 . 2 Q= 0 1 0 1 0 1 − 1 0 1 2 2
A, P或Q及Λ三者的互求
且与对角阵相似。 1 1 2 − 2 Λ= 2 P = (α1 , α 2 , α 3 ) = 2 − 2 − 1 2 1 3 2 0 − 2 7 2 2 1 1 −1 A = PΛ P = 0 5 − 2 P −1 = 1 2 − 2 1 3 9 −2 −2 6 − 2 − 1 2
性质2：性质：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向对一般矩阵，只能保证相异特征量必定正交。
值所对应的特征向量线性无关。

实对称矩阵的相似对角化

1
1
,
2
13 2 4
所以
A
U
1
U
1
1
1
9
2 4
10
2
.
2 13
基本概念实对称矩阵基本理论 ① 实对称矩阵有n个实特征值 ② k重特征值有k个线性无关的特征向量 ③ 不同特征值下特征向量正交
基本方法 ① 求正交阵使实对称阵相似对角化
② 由一组特征值下的特征向量，求另外一个特征值下的特征向量，进而求得未知矩阵
1/ 2
1/ 6
1/ 3
1
1
/ 0
2
，
2
1/ 2 /
6 6
，
3
1/ 1 /
3 3
第四步令Q (1 2 3 ), 写出结果, 即
1/ 2 Q 1/ 2 0
1/ 6 1/ 6 2 / 6
1/ 1/ 1/
3
3 3
0
则 Q 1
AQ
0
0
0 0 0
0
0
3
归纳步骤
(1) 求全部特征值及所属的无关特征向量； (2) 将同一特征值下的无关特征向量正交化； (3) 将正交化后的特征向量单位化； (4) 构造Q，则 Q1 AQ ，注意特征向量与
Q-1 AQ= .
二、对于实对称矩阵A ，求正交矩阵Q，使得A相似对角化（即 Q1 AQ ）的方法
1 1 1
例1
设
A
1
1
1 求正交阵Q，使 Q1 AQ 为对角阵.
1 1 1
解第一步求A的特征值与所属的无关特征向量
1 1 1
E A 1 1 1 2( 3) 0, Q 1 0(二重), 2 3 1 1 1

Ch5.4实对称矩阵的相似对角化

在物理和工程中的应用
量子力学中的哈密顿算子
在量子力学中，哈密顿算子是一个实对称矩阵，其相似对角化在求解薛定谔方程等量子力学问题中具有重要作用。
结构动力学分析
在工程中，结构动力学分析需要考虑结构的振动和响应，通过将质量矩阵和刚度矩阵相似对角化，可以简化计算过程并提高计算精度。
04 实对称矩阵的相似对角化方法
ch5.4实对称矩阵的相似对角化
目录
• 引言 • 实对称矩阵的相似对角化 • 实对称矩阵相似对角化的应用 • 实对称矩阵的相似对角化方法 • 实对称矩阵的相似对角化实例
01 引言
实对称矩阵的定义
实对称矩阵
如果一个矩阵A的所有元素都是实数，且A的转置矩阵A'等于其本身，即$A'=A$，则称A为实对称矩阵。
三阶实对称矩阵的相似对角化实例
总结词
三阶实对称矩阵可以通过相似变换化为对角矩阵，需要找到三个线性无关的特征向量。
详细描述
对于三阶实对称矩阵，需要找到三个线性无关的特征向量，并构造一个可逆矩阵，使得该矩阵与原矩阵相似。通过求解特征值和特征向量，可以找到这三个特征向量，并利用
它们构造可逆矩阵。
n阶实对称矩阵的相似对角化实例
实对称矩阵的相似对角化可以用于矩阵分解，如QR分解、SVD分解等，这些分解在解决线性代数问题中具有广泛应用。
在微分方程中的应用
线性常微分方程组的求解
通过将微分方程组的系数矩阵相似对角化，可以将问题转化为求解一系列一阶常微分方程组，简化求解过程。
稳定性分析
通过将线性时变微分方程组的系数矩阵相似对角化，可以分析系统的稳定性和动态行为。
定义
如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{1}AP=B$，则称矩阵A与B相似。

实对称矩阵的相似对角化

令
Q [1 2
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则 Q是正交矩阵且
2 1 Q AQ 2 7
定理对任一n阶实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵
Q，使得
Q AQ diag(1 , 2 , n )
其中 1, 2 ,, n 为矩阵A的全部特征值。
11 , ,1r1 , 21 , , 2r2 , m1 , , mrm
是标准正交的特征向量
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若令
Q [11 , ,1r1 , 21 , , 2r2 , m1 , , mrm ]
则Q是正交矩阵且
1
Q AQ daig (1 , , 1 , 2 , , 2 , , m , , m )
有特征值 2(二重)和 -7，对应的特征向量为
1 T X1 ( 2, 1, 0) , X 2 ( 2, 0, 1) , X 3 ( , 1, 1) 2
T T
容易验证， X1 X 3 , X 2 X 3 但 X 1 与 X 2 不正交。
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例求正交矩阵 Q ，使 Q 1 AQ 为对角矩阵，
1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
解 ∵ | I A | ( 2) ( 2)
Q [1 2
则 Q是正交矩阵且
0 1 2 1 2
1 1 Q AQ 1 3
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例已知矩阵
1 2 2 A 2 2 4 2 4 2
AX X ,
AY Y
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