积的算术平方根PPT课件
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九年级数学上册(华东师大版)课件：21.2 2.积的算术平方根
2.积的算术平方根
备选探究问题 二次根式的化简 例 532－282.
解： 532－282＝ （53＋28）（53－28）＝ 81×25＝ 9×5＝45.
例 [教材例题变式] 化简： (1) 18；(2) 72×52. [解析] 首先将被开方数进行因式分解，化为乘积的形式， 如果根号内有开得尽方的因式就移到根号外面来，用它的算 术平方根来代替，达到化简的目的．
解：(1) 18＝ 9×2＝ 32×2＝ 32× 2＝3 2. (2) 72×52＝ 72× 52＝7×5＝35.
2.积的算术平方根
[归纳总结] (1)二次根式乘法法则的逆用就是积的算术平 方根的性质．
(2)在应用此性质时，要保证其前提条件是a，b均为非负 数，如 （－2）（－3） ≠ －2 × －3 ，而应为
（－2）（－3）＝ 2×3＝ 2× 3； (3) abc＝ a· b· c(a≥0，b≥0，c≥0)； (4)积的算术平方根的结果应尽量化简．
数学
新课标（HS） 九年级上册
21.2 二次根式的乘除法
2.积的算术平方根
2.积的算术平方根
新知梳理
► 知识点 积的算术平方根
法则：积的算术a≥0，b≥0)
．
2.积的算术平方根
重难互动探究
探究问题 积的算术平方根
2.积的算术平方根
第4课 积的算术平方根
PPT课程 第4课 积的算术平方根 主讲老师:
一、知识储备
1. 填空：12＝__1__， 22＝__4__，32＝__9__，42＝_1_6__， 52＝_2_5__， 62＝_3_6__， 72＝_4_9__， 82＝_6_4__，92＝_8_1__. 1 ＝__1__， 4 ＝__2__， 9＝__3__，16＝__4__，25＝__5__， 36 ＝__6__， 49 ＝__7__，64＝__8__，81＝__9__.
|x－4|＋ 9x2 6x 1＋|x－2|.
由题意知：3x＋1≥0，2－x≥0， ∴－13≤x≤2 ∴x－4＜0，x－2≤0， ∴|x－4|＋ 9x2＋6x＋1＋|x－2| ＝－(x－4)＋(3x＋1)－(x－2) ＝4－x＋3x＋1＋2－x＝7＋x
22. 观察下列等式：
① 52 42 ＝1×3；
4. 化简：
(1) 9 2＝___3__2___； (3) 2 36＝___6__2___；
(2) 25 _.
5. (例2)化简：
(1) 8 ＝_______4___2______＝__2___2___； (2) 18 ＝_______9___2______＝___3__2___； (3) 32 ＝_______1_6___2_____＝___4___2__； (4) 50 ＝_______2_5___2_____＝___5__2___； (5) 72 ＝_______3_6___2_____＝___6__2___.
2. 填空：(1) 2 3 ＝____6____，1 27 ＝____3____；
3
(2) a b ＝____a_b___(a≥0，b≥0)， ab ＝__a_·____b_(a≥0，b≥0)．
二、新课学习
一、知识储备
1. 填空：12＝__1__， 22＝__4__，32＝__9__，42＝_1_6__， 52＝_2_5__， 62＝_3_6__， 72＝_4_9__， 82＝_6_4__，92＝_8_1__. 1 ＝__1__， 4 ＝__2__， 9＝__3__，16＝__4__，25＝__5__， 36 ＝__6__， 49 ＝__7__，64＝__8__，81＝__9__.
|x－4|＋ 9x2 6x 1＋|x－2|.
由题意知：3x＋1≥0，2－x≥0， ∴－13≤x≤2 ∴x－4＜0，x－2≤0， ∴|x－4|＋ 9x2＋6x＋1＋|x－2| ＝－(x－4)＋(3x＋1)－(x－2) ＝4－x＋3x＋1＋2－x＝7＋x
22. 观察下列等式：
① 52 42 ＝1×3；
4. 化简：
(1) 9 2＝___3__2___； (3) 2 36＝___6__2___；
(2) 25 _.
5. (例2)化简：
(1) 8 ＝_______4___2______＝__2___2___； (2) 18 ＝_______9___2______＝___3__2___； (3) 32 ＝_______1_6___2_____＝___4___2__； (4) 50 ＝_______2_5___2_____＝___5__2___； (5) 72 ＝_______3_6___2_____＝___6__2___.
2. 填空：(1) 2 3 ＝____6____，1 27 ＝____3____；
3
(2) a b ＝____a_b___(a≥0，b≥0)， ab ＝__a_·____b_(a≥0，b≥0)．
二、新课学习
《二次根式的乘法 22积的算术平方根》PPT课件
能力提升练 8．计算 9a2· ba(a＞0，b≥0)的结果是__3___a_b__．
能力提升练
9．计算：
(1)
15×
解：原式＝ 45；
15×45＝ 9＝3.
(2)6 8×(－3 2)； 解：原式＝－18 16＝－18×4＝－72.
(3) 5×(－2 10)× 212.
解：原式＝－2 5×10×52＝－2 125＝－2×5 5＝－10 5.
能力提升练
10．已知矩形花坛与圆形花坛面积相等，矩形花坛的长为 140π m，宽为 35π m．求圆形花坛的半径．
解：设圆形花坛的半径为 r m. 由题意得 πr2＝ 140π× 35π，解得 r＝ 70(r＝－ 70不合题意， 舍去)． 所以圆形花坛的半径是 70 m.
素养核心练
11．已知 2＝a， 20＝b，用含 a、b 的式子表示 0.016. 解：∵ab＝2 10， 0.016＝0.04 10， ∴ 0a.0b16＝0.2041010＝50， ∴ 0.016＝a5b0＝0.02ab.
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
温馨提示： 此PPT
可修改编辑
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
04积的算术平方根 课件
（2）设 2 =a, 3 =b,用含有 a,b 的式子表示 0.54 ，正确的是（ A ）
A．0.3ab
（1） 45 （2） 12 （3） 200
（4） 32x4（5） 16a3b （6） 132 122
6
2、不改变式子的值，把根号外的非负因 式适当变形后移入根号内。
50 ； 75
• 三、成功议学（10分钟） • 四、成功示学：学生展示（10分钟）
五、成功用学
（（5）1）二次根式 (2)2 6 的计算结果是（ A ）
A．2 6
B．-2 6
C．6
D．12
（2）等式 x2 1 x 1 • x 1 成立的条件__x_≥_1__
分析：由题意得：｛
解得：x≥1
x-1≥0 x+1≥0
(1) 3 2 3
(2) -3 2 3
(3) a 1 a
(4) -a 1 a
• 六、成功思学
21.1.2 二次根式的乘除（2）
复习回顾 二次根式的乘法法则用字母表示：
________ 倒过来可以得到 __________
一、成功目标
• 1、学习二次根式的性质：积的算 术平方根等于积中每一个因式的 算术平方根的积。
• 2、并能利用这一性质进行二次根 式的化简。
二、成功自学
• 例、化简 • 24 ；
（3）若x≤0 化简 8x 2 y =
★ 4、 (1)下列各式的计算中，不正确的是（A）
A． (4)(6) 4 6 =（-2）×（-4）=8
B． 4a4 4 a4 22 (a2 )2 2a2
C． 32 42 9 16 25 5
D． 132 122 (1312)(1312) 1312 1312 25 1 =5
积的算术平方根华东师大版九年级数学上册PPT精品课件
怎么活。
•
2.
中国人对蔬菜 的 热 爱 ，本 质 上 是 对 土地 和 家 乡 的 热爱 。 本 诗 主 人公 就 是 这 样 一位 采 摘 野 菜 的同
时，又保卫祖 国 、眷 恋 家 乡 的 士兵 。
•
3 . 本 题运 用 说 明 文 限制 性 词 语 能 否删 除 四 步 法 。不 能 。 极 大 的一 词 表 程 度 ，说 明 绘 画 的 题材 范 围 较 过 去有
；
（2） 200 = 2 100 =10 2 ；
（3） 250 = 10 25 =5 10
；
二、探究与合作
探究点1：积的算术平方根
1.填空：
（1） 12136 = 66 ； 121 36 =
66 ；
（2） 2581 = 45 ； 25 81 =
2.观察填空：
12136 121 36
45 ；
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若
a b 3=(m n 3)2 ，用含m、n的式子分别表示a、b，
得：a= m2 3n2， b= 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n
填空： 7 + 4 3 =( 2 ＋ 1 3 )2
（3）若 a+4 3 (m n 3)2，且a、m、n均为正整数，
2.如何化二次根式为最简二次根式 .
拓展提升 把下列各式化成最简二次根式：
（1） 82 4 4
（2） 25m4 225m2 (m ０) （3） 0.04 0.01
（4）a 1
1
a1
a a3 2a2 a
(５) a３ __a____a_ .
3.阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可
二次根式的乘法 积的算术平方根 课件
注意隐含条件
五、师生互动，运用新知 师生互动，
练习化简： (1) 27 (2) 32 (3) 48
(4) 45
(5) 27
(6) 72
化简
(1) 9× 25 (3) 20 − 16
2 2
2 (2) 24 3 (4) (-4)(-25)
练习化简： (1) 16a b
2
(2) 8a b c
3 2
(3) 12x y
提问：观察以上计算结果，你能发现什么？ 提问：观察以上计算结果，你能发现什么？
概括： 概括：
a × b = a ×b
注意： 注意： a、b 必须都是非负数，上式才能成立。 、 必须都是非负数，上式才能成立。 两个二次根式相乘， 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘
用途：二次根式的运算
三、师生互动，运用新知 师生互动，
a × b = a × b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
2.积的算术平方根的性质 （化简） 积的算术平方根的性质: 化简） 积的算术平方根的性质
a ⋅ b = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
利用(1)(2)进行计算和化简二次根式 进行计算和化简二次根式. 利用 进行计算和化简二次根式
在实数范围内， 注意 在实数范围内， 当a≥0时， 时 当a< 0时， 时 有意义。 有意义。 a 没有意义， a 没有意义，
二、提出问题，引出新知 提出问题，
1. 试一试： 试一试：
(1) 4 × 25 = ___ = ___ 4× 25 = ____ = _____
(2) 16 × 9 = ___ = ___ 16×9 = ____ = _____
(6) 4a
2
3
二次根式的乘法与积的算术平方根课件华师大版数学九年级上册
华师版九年级上册
第21章 二次根式
21.2.1&21.2.2 二次根式的乘法 与积的算术平方根
新课导入
1.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) 1 ； x 1
(2) x 3 . x 1
(3) 1 x 1 . x3
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
(4) x 2 3 x. ∴ 2 ≤ x ≤ 3.
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
(3) 2 3 7 ( 2 3) 7 6 7 42.
二次根式乘法法则 a b = ab （a≥0，b≥0）
ab＝ a b （a≥0，b≥0）
归纳知识 1.二次根式乘法法则
a b = ab （a≥0，b≥0）
2.积的算术平方根的性质 ab＝ a b （a≥0，b≥0）
解：（1） 14 7= 14 7= 72 2=7 2.
（3） 3x
1 xy．
3
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2.
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
课堂小结
二 法则
算
次
术
根
平 方
式
根
乘
法 性质
a b ab (a≥0,b≥0) (计算) (化简)
猜想 a b＝ab (a≥0，b≥0)
归纳知识 二次根式乘法法则
a b a b a≥0，b≥0.
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
1.计算：
(1)
3
5 ； (2) (11)3 27 ；5 ； (2) 3
1 3
27 ；
第21章 二次根式
21.2.1&21.2.2 二次根式的乘法 与积的算术平方根
新课导入
1.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) 1 ； x 1
(2) x 3 . x 1
(3) 1 x 1 . x3
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
(4) x 2 3 x. ∴ 2 ≤ x ≤ 3.
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
(3) 2 3 7 ( 2 3) 7 6 7 42.
二次根式乘法法则 a b = ab （a≥0，b≥0）
ab＝ a b （a≥0，b≥0）
归纳知识 1.二次根式乘法法则
a b = ab （a≥0，b≥0）
2.积的算术平方根的性质 ab＝ a b （a≥0，b≥0）
解：（1） 14 7= 14 7= 72 2=7 2.
（3） 3x
1 xy．
3
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2.
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
课堂小结
二 法则
算
次
术
根
平 方
式
根
乘
法 性质
a b ab (a≥0,b≥0) (计算) (化简)
猜想 a b＝ab (a≥0，b≥0)
归纳知识 二次根式乘法法则
a b a b a≥0，b≥0.
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
1.计算：
(1)
3
5 ； (2) (11)3 27 ；5 ； (2) 3
1 3
27 ；
积的算术平方根PPT课件(华师大版)
7．计算： (1)－ 3× （－16）×（－36）；
解：原式＝－ 3× 16×36＝－ 3× 16× 36＝－ 3×4×6＝－24 3； (2) 2×13 3× 6； 解：原式＝13 2×3× 6＝13 6× 6＝13×6＝2；
(3)
135×2
3×－12
10；
1 解：原式＝2×－2×
8 5×3×10＝－ 48＝－4 3；
D. 36
3．[2019 春·番禺区期末]如果 x（x－6）＝ x· x－6，那么( B )
A．x≥0
B．x≥6
C．0≤x≤6
D．x 为一切实数
4．化简：
(1) 63＝ 3 7 ；(2) 16＝_4___．
5．设 a≥0，b≥0，化简下列二次根式：
(1) 72a5b2＝ 6a 2 b 2 a
；
(2) 8a2b3＝ 2ab 2b ．
解：(1) 4＋145＝4 145，
4
64
42×4
4
验证： 4＋15＝ 15＝ 15 ＝4 15.
(2) n＋n2－n 1＝n n2－n 1(n 为任意自然数，且 n≥2)，
n
n3－n＋n
n3
n2·n
验证： n＋n2－1＝
n2－1 ＝ n2－1＝ n2－1＝n
n n2－1.
分层作业
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数学HS版九年级上
第21章 21.2.2
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
2.积的算术平方根
学习指南
知识管理
归类探究
当堂测评
分层作业
学习指南
教学目标 1．掌握积的算术平方根的性质，并能运用； 2．能综合运用二次根式的乘法法则与积的算术平方根进行化简． 情景问题引入
华东师大版数学九年级上册 21.2.2积的算术平方根课件(共31张PPT)
a2 1
变式： 关于x是一元二次方程a 1x2 x a2 1 0的一个根是0， 则a的值为
A、1 B、1 C、1或 1 D、1
2
小结：
1、学会一元二次方程的定义和一般 式aX2+bX+c=0 (a≠0) ；
2、会把一个较复杂的一元二次方程 化为一般式，并会找出 a、b、c 各是什么；
3、切记一元二次方程aX2+bX+c=0 中，a≠0。
的条件是什么？
变式一： 已知关于x的方程 m2 4 x2 m 2x 1 0,
当m为何值时， 此方程是一元二 一次方程。
变式二： 已知关于x的方程m 2x m 3mx 1 0
是一元二次方程。 求m的值。
2 已知a是方程x2 3x 1 0的根，
求2a2 5a 2 3 的值。
(2) x x3 x x3 x4 x2
(3)2 ab 3 b (2 3) ab b 6 b2 6b
a
a
(4) 27 1 27 1 9 3
3
3
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab （a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
复习回顾
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2
( a )2 a（a≥0）
a2
a
a(a 0) a(a 0)
复习回顾
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数
x为任何实数
1、一个长方形的长为6cm，宽为 3cm， 这 个 长 方 形 的 面 积 是 多少 ？
变式： 关于x是一元二次方程a 1x2 x a2 1 0的一个根是0， 则a的值为
A、1 B、1 C、1或 1 D、1
2
小结：
1、学会一元二次方程的定义和一般 式aX2+bX+c=0 (a≠0) ；
2、会把一个较复杂的一元二次方程 化为一般式，并会找出 a、b、c 各是什么；
3、切记一元二次方程aX2+bX+c=0 中，a≠0。
的条件是什么？
变式一： 已知关于x的方程 m2 4 x2 m 2x 1 0,
当m为何值时， 此方程是一元二 一次方程。
变式二： 已知关于x的方程m 2x m 3mx 1 0
是一元二次方程。 求m的值。
2 已知a是方程x2 3x 1 0的根，
求2a2 5a 2 3 的值。
(2) x x3 x x3 x4 x2
(3)2 ab 3 b (2 3) ab b 6 b2 6b
a
a
(4) 27 1 27 1 9 3
3
3
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab （a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
复习回顾
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2
( a )2 a（a≥0）
a2
a
a(a 0) a(a 0)
复习回顾
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数
x为任何实数
1、一个长方形的长为6cm，宽为 3cm， 这 个 长 方 形 的 面 积 是 多少 ？
华师大版九年级上册课件：2121二次根式的乘法;2122积的算术平方根(1) 省优获奖课件ppt
曹杨二中高三(14)班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：北京 大学中文系 高考成绩：语文121分数学146分 英语146分历史134分 综合28分总分 575分 (另有附加分10 分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵” 总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
计算
4 9 4 25 16 9 100 0.01
=
49 4 25 16 9 100 0.01
=
= =
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
a b a b (a 0, b 0)
二次根式乘法法则:
两个算术平方根的积，等于它 们被开方数的积的算术平方根.
(1). 8 ; (2). 18; (3). a
3
语文
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2.积的算术平方根(共10张PPT)
Βιβλιοθήκη 2. 积的算术平方根总结反思
知识点 积的算术平方根的性质
等 式 a · b ＝ ab (a≥0 ， b ≥ 0) 也 可 以 直 接 写 成 ab ＝ ___a_·__b__(a≥0，b≥0)．
这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．
2. 积的算术平方根
[点拨] (1)被开方数的两个因数是负数时，先进行符号运算，把两 个因数转化为正数，再应用 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)化简．
解：(1) 18＝ 9×2＝ 32×2＝ 32× 2＝3 2. (2) 72×52＝ 72× 52＝7×5＝35. (3) 49×121＝ 49× 121＝ 72× 112＝7×11＝77.
2. 积的算术平方根
【归纳总结】积的算术平方根本卷须知： (1)二次根式乘法法则的逆用就是积的算术平方根的性质； (2)在应用此性质时，要保证其前提条件是 a，b 均为非负数， 如 （－2）×（－3）≠ －2× －3，而应为 （－2）×（－3） ＝ 2×3＝ 2× 3； (3) abc＝ a· b· c(a≥0，b≥0，c≥0)； (4)积的算术平方根的结果应尽量化简．
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
第21章 二次根式
2. 积的算术平方根
知识目标 目标突破 总结反思
2. 积的算术平方根
知识目标
1． 通过对 a· b＝ ab(a≥0，b≥0)的逆向思考，归纳出
积的算术平方根的性质． 2．经历积的算术平方根的性质的学习和例题的阅读，能应用
积的算术平方根的性质进行计算和化简．
(2)应用积的算术平方根化简的一般步骤： ①将被开方数(式)分解因数或分解因式； ②根据二次根式的性质 a2＝a(a≥0)化简．
知识点 积的算术平方根的性质
等 式 a · b ＝ ab (a≥0 ， b ≥ 0) 也 可 以 直 接 写 成 ab ＝ ___a_·__b__(a≥0，b≥0)．
这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．
2. 积的算术平方根
[点拨] (1)被开方数的两个因数是负数时，先进行符号运算，把两 个因数转化为正数，再应用 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)化简．
解：(1) 18＝ 9×2＝ 32×2＝ 32× 2＝3 2. (2) 72×52＝ 72× 52＝7×5＝35. (3) 49×121＝ 49× 121＝ 72× 112＝7×11＝77.
2. 积的算术平方根
【归纳总结】积的算术平方根本卷须知： (1)二次根式乘法法则的逆用就是积的算术平方根的性质； (2)在应用此性质时，要保证其前提条件是 a，b 均为非负数， 如 （－2）×（－3）≠ －2× －3，而应为 （－2）×（－3） ＝ 2×3＝ 2× 3； (3) abc＝ a· b· c(a≥0，b≥0，c≥0)； (4)积的算术平方根的结果应尽量化简．
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
第21章 二次根式
2. 积的算术平方根
知识目标 目标突破 总结反思
2. 积的算术平方根
知识目标
1． 通过对 a· b＝ ab(a≥0，b≥0)的逆向思考，归纳出
积的算术平方根的性质． 2．经历积的算术平方根的性质的学习和例题的阅读，能应用
积的算术平方根的性质进行计算和化简．
(2)应用积的算术平方根化简的一般步骤： ①将被开方数(式)分解因数或分解因式； ②根据二次根式的性质 a2＝a(a≥0)化简．
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小结： 当被开方数是数字时，要把被开方数中开得
尽方 的数移到根号外面来。
试一试 化简
⑴ (? 49 ) ? (? 121) = 49 ? 121= 49 ? 121 =7×11=77
⑵ 255 = 15 2 =15
⑶ 18 = 32 ? 2 = 32 ? 2 = 3 2
⑷ 27 ? 15 = 3? 32 ? 3? 5 = 32 ? 32 ? 5 = 32 ? 32 ? 5
利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简 与计算。 例1 化简
7 5 ⑴ 72 ? 52 = 2 ? 2 =7×5=35
⑵ 16?81 = 16 ? 81 =4×9=36
⑶ 292 ? 212 = (29? 21)(29? 21) = 50? 8 = 400 =20
⑷ 2000 = 10 2 ? 2 2 ? 5 = 10 2 ? 22 ? 5 =10? 2? 5 = 20 5
3、 49?64?5 ＝ 56 5 ， 300 ＝ 10 3
4、 (? 16) ? (? 25) ＝ 20 ， 402 ? 242 ＝ 32
x 5、化简 x3 y2 ＝ xy
，
49a3(x?3)2 (X≥3)＝ 7a(x ? 3) a
选择题
6、化简 x4 ? x2（x＞0）正确的是（ D ）
A X2+X B X2+1 C x2 x2 ? 1
⑸试把我们刚才发现的结论 ab = a ? b （a≥ 0,
b≥0）用语言表示出来。
ab = a ? b
(a≥0，b≥0）
积的算术平方根，等于积 中各因式的算术平方根的积。
11.2二次根式的乘法
一、积的算术平方根
制作：刘克欣
问题1：想一想：当 a≥0，b≥0，c≥0时， ab的c值 等于 a ? b ? c 吗？更多个非负数的积
只要ab ? 0即可，因此a、b同号或a、b至少有一
个为零即可）
观察与思考：
请完成下列填空：
⑴ 4 ? 9 = 36 ， 4 ? 9 = 36 ，
36 ? 1 = 2 9
， 36 ? 1 = 9
2
，
⑵根据填空你可以得出什么结论？一般情况下，当
? ? a 0,b 0时，ab 与 a ? b 有什么关系？
的算术平方根呢？
（ abc = a ? b ? c (a≥0,b≥0,c≥0;
几 个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式 的算术平方根。）
问题2：
在性质 ab = a ? b （ a≥0,b≥0）中，若 a=b,
公式可变形为什么形式？你能把它的结果写出来吗？
（当a=b时， ab = a ? a = a 2 ;
D x x2 ? 1
7、下列各式成立的是（ B ）
A (? 3) ? (?5) ＝ ? 3 ? ? 5
B (?3)2?(?5)2 ＝ (?3)2 ? (?5)2
5 3 C 5 2 ? 32 ＝
2?
2
D 52 ? 32 ＝ 5＋3
8、化简 12?18 得：（ C ）
A 36 6 B ? 6 6 C 6 6 D ? 36 6
以是代数式，但都必须是非负数。 2、会利用此性质化简二次根式。★★★
3、公式 a 2＝a(a≥0)★
4、通过综合应用勾股定理等知识，培养 学生的实际应用能力。(能力训练点)
基础演练
填空：
1、若 ab ＝ a ? b 则 a≥0 ， b≥0 ；
a 若 2 ＝a,则 a ≥0
2、等式 x(x ? 3) ＝ x? x? 3 成立的条件是 X≥3
a ? b = a a ? a =( a ) 2 于是有 2 = ( a )2=a）
即 a 2 =a(a≥0） 练一练：（1）利用 a 2 =a(a≥0）计算
22 1.62
4 9
(mn)2 (m＞0,n＞0)
2、 (? 3)2 能利用 a2 = a(a≥0) 计算吗？若能，怎样做 ?
(? 3)2 = 9 =3
⑵ a b2(c?1)2 = a? b2 ? (c?1)2 = b(c ? 1) a
⑶ x3 ? 4 x2 y ? 4x y2 =
=
x( x2 ? 4 xy ? 4 y2)
x ( x? 2 y)2
= x ? (x? 2 y)2
= (x ? 2 y) x
小结：当被开方数是字母或多项式时， 先分解因式，把被开方数中能 开得尽的因式移到根号外面来。
=3? 3? 5 =9 5
例2 化简
⑴
4
a
2
b3=来自22? a 2?b2?b
= 22 ? a2 ? b2 ? b
= 2 ab b
x x y ⑵ x 4 ? y 2 =
(? )
2
2
2
= x2 ? x2 ? y2
=x x2 ? y2
做一做：化简
⑴ a2(b?c)2 = a2? (b?c)2 =a(b+c)
? AB= AC2 ? BC2
B
C
= 10 2 ? 24 2
= 676
= 22 ? 13 2
= 22 ? 132
=2×13=26(cm)
答：AB长26cm.
总结：
1、积的算术平方根的性质： ab ＝ a ? b （a≥0,b≥0)★★★
① a≥0,b≥0 是公式成立的条件 ②公式中的字母a,b既可以是数，也可
小结：当被开方数是数字时，要把被开方 数中开得尽方的数移到根号外面来。
化简二次根式的一般方法，先将被开方 数进行因数分解或因式 分解，然后把能开得尽 方的因数或因式，用它 们算术平方根代替，移 到根号外。
综合应用
例4： 如图在 ABC中，∠C=90o AC=10cm
BC=24cm 求AB？
A
? 解： A B2＝AC2+BC2
请你猜想一下。
4? 9 = 4? 9 ab = a ? b
⑶换两个数试一试， ab 与 a ? b 是否相等？
⑷想一想 ( ? 4 ) ? ( ? 9 ) = (? 4) ? (? 9) 成立吗？ 为什么？ ( ? 4 ) ? ( ? 9 ) 应该等于多少？
不成立。因为 ? 4, ? 9 没有意义，(?4)? (?9) ＝ 4? 9 ＝6
9、计算 3 2 ? 4 2 得： （ B ）
复习
1、我们已经知道 2 、7 、 2? 7 都是二次根 式，那么 ?2 、 ?7 是二次根式吗？ (?2)?(?7) 呢？
（ ?2 、 ?7 不是二次根式， (?2)?(?7) 是二次根式）
2、请你比较 a 、 b 中 a、b的取值与 ab 中 a、
b的取值有什么不同？
（ a 、 b 中的a、b都必须是非负数，而 ab 中，