实验十三(回归分析)
实验设计中的回归分析
实验设计中的回归分析回归分析是一种建立变量之间关系的方法，它能够预测和解释自变量与因变量之间的关系。
在实验设计中，回归分析是一种常用的方法，它能够帮助我们确定实验中所研究的变量对结果的影响程度，并且可以找出其中的主要因素。
此外，回归分析还可以预测实验结果，并且可以优化实验设计，提高实验效果。
回归分析的基本原理回归分析是指建立因变量与自变量之间函数关系的一种统计分析方法。
它是通过对自变量与因变量的测量数据进行分析，确定它们之间的关系，进而用于预测或控制因变量。
在实验设计中，我们通常使用多元回归分析，其目的是建立多个自变量与一个因变量之间的函数关系。
回归分析的基本模型为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βkXk + ε其中，Y为因变量，X1、X2、…、Xk为自变量，β0、β1、β2、…、βk为回归系数，ε为误差项，它表示反映因变量除自变量影响外的所有不可预测的因素。
回归分析可以帮助我们确定回归系数的大小以及它们之间的关系。
回归系数是指自变量的单位变化所引起的因变量变化量。
通过回归系数的估计，我们可以了解自变量对因变量的影响程度，进而为实验设计提供有力的支持。
回归分析的应用回归分析在实验设计中有广泛的应用，既可以用于分析因变量在自变量的不同水平上的变化情况，也可以用于建立模型并预测实验结果。
以下是回归分析在实验设计中的应用：1. 探究因素对实验结果的影响实验设计中，我们通常会将因变量与自变量进行相关性分析，来确定因素对实验结果的影响程度。
通过回归分析，我们可以发现自变量之间的相互作用关系，找出对因变量影响最大的自变量，有助于我们了解实验结果的形成机理。
2. 分析实验过程中的误差实验设计中，在实验过程中存在着各种误差，这些误差的来源和影响往往难以估算。
通过回归分析，我们可以把误差项取出来进行分析，找出误差来源，从而有效地减少误差，提高实验准确性。
3. 预测实验结果实验设计中，我们通常会希望通过一系列自变量来预测实验结果。
市场调查与预测实验——回归分析
y 117 9.74x 117 9.7435 458
二、 回归模型的检验
❖拟合优度检验
–检验模型对样本观测值的拟合程度。检验方法 是构造一个表征拟合程度的统计量。
总离差平方和的分解
Yˆi ˆ0 ˆ1 X i
yi (Yi Y )
Y的i个观测值与样本均 值的离差
yi Yi Y (Yi Yˆi ) (Yˆi Y ) ei yˆi
一、 回归模型的构建
❖总体回归函数 E(Y | X ) 0 1X
个别家庭的 情况呢？
一、 回归模型的构建
❖ 总体回归模型 Y=E(Y|X)+μ
随机误差项
❖ 随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其它客观原 因的局限而没有考虑的种种偶然因素。主要包括下列因素 的影响：
– 由于人们认识的局限或时间、费用、数据质量等制约未引入回归模 型但又对被解释变量y有影响的因素。
二、 回归模型的检验
F检验
F检验是根据平方和分解式，直接从回归效果检验回归方 程的显著性。
F SSR /1 SSE / (n 2)
总平方和SST中，包括能够由自变量解释的部分SSR，以及 不能由自变量解释的部分SSE。回归平方和SSR越大，回归 的效果就越好。
回归分析的内容
线性回归
一元线性回归 多元线性回归 多个因变量与多个自变量的回归
【例】假定一保险公司希望确定居民住宅区火灾造成的损 失数额与该住户到最近的消防站的距离之间的相关关系， 以便准确地定出保险金额。下表列出了15起火灾事故的损 失及火灾发生地与最近的消防站的距离。
距消防站距离x(km) 3.4 1.8 4.6 2.3 3.1 5.5 0.7 3.0 火灾损失y（千元） 26.2 17.8 31.3 23.1 27.5 36.0 14.1 22.3 距消防站距离x(km) 2.6 4.3 2.1 1.1 6.1 4.8 3.8 火灾损失y（千元） 19.6 31.3 24.0 17.3 43.2 36.4 26.1
线性回归分析实验报告
线性回归分析实验报告线性回归分析实验报告引言线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究因变量与一个或多个自变量之间的关系。
本实验旨在通过线性回归分析方法，探究自变量与因变量之间的线性关系，并通过实验数据进行验证。
实验设计本实验采用了一组实验数据，其中自变量为X，因变量为Y。
通过对这组数据进行线性回归分析，我们将得到回归方程，从而可以预测因变量Y在给定自变量X的情况下的取值。
数据收集与处理首先，我们收集了一组与自变量X和因变量Y相关的数据。
这些数据可以是实际观测得到的，也可以是通过实验或调查获得的。
然后，我们对这组数据进行了处理，包括数据清洗、异常值处理等，以确保数据的准确性和可靠性。
线性回归模型在进行线性回归分析之前，我们需要确定一个线性回归模型。
线性回归模型的一般形式为Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
回归系数β0和β1可以通过最小二乘法进行估计，最小化实际观测值与模型预测值之间的误差平方和。
模型拟合与评估通过最小二乘法估计回归系数后，我们将得到一个拟合的线性回归模型。
为了评估模型的拟合程度，我们可以计算回归方程的决定系数R²。
决定系数反映了自变量对因变量的解释程度，取值范围为0到1，越接近1表示模型的拟合程度越好。
实验结果与讨论根据我们的实验数据，进行线性回归分析后得到的回归方程为Y = 2.5 + 0.8X。
通过计算决定系数R²，我们得到了0.85的值，说明该模型能够解释因变量85%的变异程度。
这表明自变量X对因变量Y的影响较大，且呈现出较强的线性关系。
进一步分析除了计算决定系数R²之外，我们还可以对回归模型进行其他分析，例如残差分析、假设检验等。
残差分析可以用来检验模型的假设是否成立，以及检测是否存在模型中未考虑的其他因素。
假设检验可以用来验证回归系数是否显著不为零，从而判断自变量对因变量的影响是否存在。
回归分析 实验报告
回归分析实验报告回归分析实验报告引言回归分析是一种常用的统计方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
通过回归分析，我们可以了解变量之间的因果关系、预测未来的趋势以及评估变量对目标变量的影响程度。
本实验旨在通过回归分析方法，探究变量X对变量Y 的影响，并建立一个可靠的回归模型。
实验设计在本实验中，我们选择了一个特定的研究领域，并采集了相关的数据。
我们的目标是通过回归分析，找出变量X与变量Y之间的关系，并建立一个可靠的回归模型。
为了达到这个目标，我们进行了以下步骤：1. 数据收集：我们从相关领域的数据库中收集了一组数据，包括变量X和变量Y的观测值。
这些数据是通过实验或调查获得的，具有一定的可信度。
2. 数据清洗：在进行回归分析之前，我们需要对数据进行清洗，包括处理缺失值、异常值和离群点。
这样可以保证我们得到的回归模型更加准确可靠。
3. 变量选择：在回归分析中，我们需要选择适当的自变量。
通过相关性分析和领域知识，我们选择了变量X作为自变量，并将其与变量Y进行回归分析。
4. 回归模型建立：基于选定的自变量和因变量，我们使用统计软件进行回归分析。
通过拟合回归模型，我们可以获得回归方程和相关的统计指标，如R方值和显著性水平。
结果分析在本实验中，我们得到了如下的回归模型：Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。
通过回归分析，我们得到了以下结果：1. 回归方程：根据回归分析的结果，我们可以得到回归方程，该方程描述了变量X对变量Y的影响关系。
通过回归方程，我们可以预测变量Y的取值，并评估变量X对变量Y的影响程度。
2. R方值：R方值是衡量回归模型拟合优度的指标，其取值范围为0到1。
R方值越接近1，说明回归模型对数据的拟合程度越好。
通过R方值，我们可以评估回归模型的可靠性。
3. 显著性水平：显著性水平是评估回归模型的统计显著性的指标。
通常，我们希望回归模型的显著性水平低于0.05，表示回归模型对数据的拟合是显著的。
统计学回归分析实训报告
一、实训背景随着社会的不断发展，统计学在各个领域都得到了广泛的应用。
回归分析作为一种重要的统计方法，广泛应用于预测、关联性分析、控制变量以及优化等多个领域。
为了提高学生对回归分析的实际应用能力，我们组织了本次统计学回归分析实训。
二、实训目的1. 使学生掌握回归分析的基本概念和原理；2. 培养学生运用回归分析方法解决实际问题的能力；3. 提高学生对统计学理论知识的实际应用水平。
三、实训内容1. 回归分析的基本概念和原理2. 线性回归分析3. 非线性回归分析4. 回归模型的诊断与检验5. 回归分析的实际应用四、实训过程1. 回归分析的基本概念和原理首先，我们向学生介绍了回归分析的基本概念和原理。
回归分析是一种研究变量之间关系的方法，通过建立回归模型来预测或解释因变量的变化。
回归模型包括线性回归模型和非线性回归模型。
线性回归模型假设因变量与自变量之间存在线性关系，而非线性回归模型则假设因变量与自变量之间存在非线性关系。
2. 线性回归分析接下来，我们讲解了线性回归分析的基本步骤。
首先，收集数据；其次，进行数据可视化，观察变量之间的关系；然后，建立线性回归模型，使用最小二乘法估计模型参数；最后，对模型进行诊断与检验，包括拟合优度检验、显著性检验等。
3. 非线性回归分析非线性回归分析是线性回归分析的扩展，可以处理变量之间存在非线性关系的情况。
我们介绍了常用的非线性回归模型，如指数回归、对数回归等，并讲解了如何进行非线性回归分析。
4. 回归模型的诊断与检验回归模型的诊断与检验是保证模型有效性的关键。
我们讲解了如何进行拟合优度检验、显著性检验、残差分析等，帮助学生掌握诊断与检验方法。
5. 回归分析的实际应用最后，我们通过实际案例展示了回归分析在各个领域的应用。
例如，在市场营销领域，可以运用回归分析预测销售量；在医学领域，可以运用回归分析研究疾病与风险因素之间的关系。
五、实训成果通过本次实训，学生们对回归分析的基本概念、原理和应用有了更深入的了解。
回归分析
图 2-11-1 销售收入与广告费用散点 从散点图可以看出，随着广告费用的增加，销售收入也随之增加，二者的数 据点分布在一条直线的附近，因此二者之间具有正的线性相关关系。 通过散点图观察可以判断两个变量之间有无相关关系， 并对关系形态做出大 致描述，但要准确度量变量间的关系强度，则需要计算相关系数。 Step2 计算相关系数度量关系强度并对相关系数的可靠性进行检验 （显著性 检验） 相关系数（Correlation Coefficient）是度量两个随机变量之间线性关系 强度的统计量，计算相关系数时，假定两个变量是线性关系。样本相关系数记为
p 2.7415E 09 0.05 ，双尾检验的p值接近于0，拒绝 H 0 ，说明销售收入
与广告费用之间存在显著线性相关关系。 Step3 求销售收入与广告费用的估计的回归方程 回归模型中的参数 0 和 1 是未知的，需要利用样本数据去估计它们。当用
ˆ 和 ˆ 估计模型中的参数 和 时，就得到了估计的回归方程 样本统计量 0 1 0 1
显著的线性关系。从表 3-2知 F 116.396 ， p 值接近于0，表明销售收入与广告 费用之间的线性关系显著。 回归系数检验（ t 检验）：它用于检验自变量对因变量的影响是否显著。在 一元线性回归中，由于只有一个自变量，故回归系数检验与线性关系检验等价。 检验统计量是基于回归系数 1 的抽样分布来构造的 t 统计量。从表2-11-2知 1 的 95%的置信区间为 （4.132,6.130） ， 0 的95%的置信区间为 （-4.913,554.013） 。 其中 1 的置信区间表示： 广告费用每变动1万元， 销售收入的平均变动量为4.132 万 6.130万元。 实验2 多元线性回归 一家高技术公司人事部为研究软件开发人员的薪金与他们的资历、 管理水平、 教育水平等因素之间的关系， 要建立一个数学模型，以便分析公司人事策略的合 理性， 并作为新聘用人员薪金的参考。他们认为目前公司人员的薪金总体上是合 理的，可以作为建模的依据，于是调查了46名软件开发人员的档案资料，见表 2-11-3， 其中资历一列指从事专业工作的年数， 管理水平一列中1表示管理人员， 0表示非管理人员，教育水平一列中1表示中学水平，2表示大学水平，3表示研究 生水平。 表2-11-3
回归分析 实验报告
回归分析实验报告1. 引言回归分析是一种用于探索变量之间关系的统计方法。
它通过建立一个数学模型来预测一个变量（因变量）与一个或多个其他变量（自变量）之间的关系。
本实验报告旨在介绍回归分析的基本原理，并通过一个实际案例来展示其应用。
2. 回归分析的基本原理回归分析的基本原理是基于最小二乘法。
最小二乘法通过寻找一条最佳拟合直线（或曲线），使得所有数据点到该直线的距离之和最小。
这条拟合直线被称为回归线，可以用来预测因变量的值。
3. 实验设计本实验选择了一个实际数据集进行回归分析。
数据集包含了一个公司的广告投入和销售额的数据，共有200个观测值。
目标是通过广告投入来预测销售额。
4. 数据预处理在进行回归分析之前，首先需要对数据进行预处理。
这包括了缺失值处理、异常值处理和数据标准化等步骤。
4.1 缺失值处理查看数据集，发现没有缺失值，因此无需进行缺失值处理。
4.2 异常值处理通过绘制箱线图，发现了一个销售额的异常值。
根据业务经验，判断该异常值是由于数据采集错误造成的。
因此，将该观测值从数据集中删除。
4.3 数据标准化为了消除不同变量之间的量纲差异，将广告投入和销售额两个变量进行标准化处理。
标准化后的数据具有零均值和单位方差，方便进行回归分析。
5. 回归模型选择在本实验中，我们选择了线性回归模型来建立广告投入与销售额之间的关系。
线性回归模型假设因变量和自变量之间存在一个线性关系。
6. 回归模型拟合通过最小二乘法，拟合了线性回归模型。
回归方程为：销售额 = 0.7 * 广告投入 + 0.3回归方程表明，每增加1单位的广告投入，销售额平均增加0.7单位。
7. 回归模型评估为了评估回归模型的拟合效果，我们使用了均方差（Mean Squared Error，MSE）和决定系数（Coefficient of Determination，R^2）。
7.1 均方差均方差度量了观测值与回归线之间的平均差距。
在本实验中，均方差为10.5，说明模型的拟合效果相对较好。
回归分析实验报告总结
回归分析实验报告总结引言回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法，广泛应用于社会科学、经济学、医学等领域。
本实验旨在通过回归分析来探究自变量与因变量之间的关系，并建立可靠的模型。
本报告总结了实验的方法、结果和讨论，并提出了改进的建议。
方法实验采用了从某公司收集到的500个样本数据，其中包括了自变量X和因变量Y。
首先，对数据进行了清洗和预处理，包括删除缺失值、处理异常值等。
然后，通过散点图、相关性分析等方法对数据进行初步探索。
接下来，选择了合适的回归模型进行建模，通过最小二乘法估计模型的参数。
最后，对模型进行了评估，并进行了显著性检验。
结果经过分析，我们建立了一个多元线性回归模型来描述自变量X对因变量Y的影响。
模型的方程为：Y = 0.5X1 + 0.3X2 + 0.2X3 + ε其中，X1、X2、X3分别表示自变量的三个分量，ε表示误差项。
模型的回归系数表明，X1对Y的影响最大，其次是X2，X3的影响最小。
通过回归系数的显著性检验，我们发现模型的拟合度良好，P值均小于0.05，表明自变量与因变量之间的关系是显著的。
讨论通过本次实验，我们得到了一个可靠的回归模型，描述了自变量与因变量之间的关系。
然而，我们也发现实验中存在一些不足之处。
首先，数据的样本量较小，可能会影响模型的准确度和推广能力。
其次，模型中可能存在未观测到的影响因素，并未考虑到它们对因变量的影响。
此外，由于数据的收集方式和样本来源的局限性，模型的适用性有待进一步验证。
为了提高实验的可靠性和推广能力，我们提出以下改进建议：首先，扩大样本量，以提高模型的稳定性和准确度。
其次，进一步深入分析数据，探索可能存在的其他影响因素，并加入模型中进行综合分析。
最后，通过多个来源的数据收集，提高模型的适用性和泛化能力。
结论通过本次实验，我们成功建立了一个多元线性回归模型来描述自变量与因变量之间的关系，并对模型进行了评估和显著性检验。
结果表明，自变量对因变量的影响是显著的。
回归分析实验报告
回归分析实验报告实验报告：回归分析摘要：回归分析是一种用于探究变量之间关系的数学模型。
本实验以地气温和电力消耗量数据为例，运用回归分析方法，建立了气温和电力消耗量之间的线性回归模型，并对模型进行了评估和预测。
实验结果表明，气温对电力消耗量具有显著的影响，模型能够很好地解释二者之间的关系。
1.引言回归分析是一种用于探究变量之间关系的统计方法，它通常用于预测或解释一个变量因另一个或多个变量而变化的程度。
回归分析陶冶于20世纪初，经过不断的发展和完善，成为了数量宏大且复杂的数据分析的重要工具。
本实验旨在通过回归分析方法，探究气温与电力消耗量之间的关系，并基于建立的线性回归模型进行预测。
2.实验设计与数据收集本实验选择地的气温和电力消耗量作为研究对象，数据选取了一段时间内每天的气温和对应的电力消耗量。
数据的收集方法包括了实地观测和数据记录，并在数据整理过程中进行了数据的筛选与清洗。
3.数据分析与模型建立为了探究气温与电力消耗量之间的关系，需要建立一个合适的数学模型。
根据回归分析的基本原理，我们初步假设气温与电力消耗量之间的关系是线性的。
因此，我们选用了简单线性回归模型进行分析，并通过最小二乘法对模型进行了估计。
运用统计软件对数据进行处理，并进行了以下分析：1)描述性统计分析：计算了气温和电力消耗量的平均值、标准差和相关系数等。
2)直线拟合与评估：运用最小二乘法拟合出了气温对电力消耗量的线性回归模型，并进行了模型的评估，包括了相关系数、残差分析等。
3)预测分析：基于建立的模型，进行了其中一未来日期的电力消耗量的预测，并给出了预测结果的置信区间。
4.结果与讨论根据实验数据的分析结果，我们得到了以下结论：1)在地的气温与电力消耗量之间存在着显著的线性关系，相关系数为0.75，表明二者之间的关系较为紧密。
2)构建的线性回归模型：电力消耗量=2.5+0.3*气温，模型参数的显著性检验结果为t=3.2，p<0.05，表明回归系数是显著的。
实验十三(回归分析)
告报验实验实学数学大13x3根据表中的数据及残插图，我们可以解答题目中的三个问题。
值都有明显的增加， s2值则明显的减小了，残3.3926x24 大学数学实验 实验报告 | 2014/5/304[B3,BINT3,R3,RINT3,STATS3] = regress(y',X3); [BX,BINTX,RX,RINTX,STATSX] = regress(y',XX); rcoplot(R1,RINT1);pause; rcoplot(R2,RINT2);pause; rcoplot(R3,RINT3);pause; rcoplot(RX,RINTX);pause;项目二：下表列出了某城市18位35岁~ 44岁经理的年平均收入x 1（千元），风险偏好度x 2和人寿保险额y （千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险。
研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。
研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。
通过表中的数据来建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。
序号 y x 1 x 2 序号 y x 1 x 2 1 196 66.290 7 10 49 37.408 5 2 63 40.964 5 11 105 54.376 2 3 252 72.996 10 12 98 46.186 7 4 84 45.010 6 13 77 46.130 4 5 126 57.204 4 14 14 30.366 3 6 14 26.852 5 15 56 39.060 5 7 49 38.122 4 16 245 79.380 1 8 49 35.840 6 17 133 52.766 8 926675.79691813355.9166问题分析及模型建立：此题中主要确定了经理的年均收入x 1和人寿保险额y 之间存在着二次关系，风险偏好度x 2对人寿保险额y 有线性效应,但是主要需要我们确定是否存在交互项x 1x 2以及二次项x 12，x 22，从而确定最佳的多元多项式回归模型。
回归分析实验
回归分析实验
测得一组弹簧形变x/（单位：cm）和相应外力y/(单位：N)数据如下
（1.）由胡克定律之y=kx，试求k。
（2.）解释回归系数的意义
（3.）若弹簧的形变量为6.55cm，估计弹簧所受的相应外力为多少？
解：在excel表中进行回归分析的步骤如下：
第一步：将题目中的数据填到excel表中，如表一
表一
第二步：打开表一，选择【工具】，在下拉菜单中选择【数据分析】，在【数据分析】对话框中选择【回归】，再单击右侧的【确定】按钮。
第三步：在出现的对话框中，按图一输入相关内容，再单击【确定】按钮，得到如表二所示的结果。
图1
表二
第四步：从表二得到的回归分析结果可知常数项p=0.213681>0.05,所以可认为常数项为零。
第五步：重新分析，在【回归】对话框中输入图二中的内容，再单击【确定】，其结果如表三。
图2
表三
则有表三可知：
（1.）弹簧形变与相应外力的回归方程为：y=0.324537x。
（2.）回归方程中x的系数的意义为：弹簧形变每增加1cm，相应的外力增加0.324537N。
（3.）若弹簧的形变为6.55cm，估计相应的外力为：y=0.324537*6.55=2.21571735N。
清华大学数学实验_实验13_回归分析1
实验13 回归分析实验目的1.了解回归分析的基本原理，掌握MA TLAB实现的方法；2.练习用回归分析解决实际问题。
实验内容5. 社会学家认为犯罪与收入低、失业及人口规模有关，对20个城市的犯罪率y（每10万人中犯罪的人数）与年收入低于5000美元家庭的百分比x1、失业率x2和人口总数x3（千人）进行了调查，结果如表13.26。
表1）若x1~x3中至多只许选择2个变量，最好的模型是什么？2）包含3个自变量的模型比上面的模型好吗？确定最终模型。
3）对最终模型观察残差，有无异常点，若有，剔除后如何。
解：（1）：问题的分析：先做y和x i的散点图，来大致判断自变量和因变量的关系。
Matlab代码如下：y=[11.2 14.5 12.7 28.9 ...13.4 26.9 20.9 14.9 ...40.7 15.7 35.7 25.8 ...5.3 36.2 8.7 21.7 ...24.8 18.1 9.6 25.7]x1=[16.5 18.1 16.5 24.9 ...20.5 23.1 20.2 17.9 ...26.3 19.1 21.3 22.4 ...16.5 24.7 17.2 20.2 ...19.2 18.6 14.3 16.9]x2=[6.2 6 5.9 8.3 ...6.47.4 6.4 6.7 ...9.3 5.8 7.6 8.6 ...5.3 8.6 4.9 8.4 ...7.3 6.5 6.4 6.7]x3=[587 7895 643 854 ... 643 762 1964 716 ... 635 2793 1531 921 ... 692 741 713 595 ... 1248 625 749 3353]plot(y,x1,'r+');plot(y,x2,'r+');plot(y,x3,'r+');结果如下：y和x1的关系图：y和x2的关系图：y和x3的关系图：问题的分析：因此，y和x1、x2的关系大致为线性关系，y与x3的关系较为复杂。
回归分析 实验报告
回归分析实验报告回归分析实验报告引言：回归分析是一种常用的统计方法，用于探究变量之间的关系。
本实验旨在通过回归分析来研究某一自变量对因变量的影响，并进一步预测未来的趋势。
通过实验数据的收集和分析，我们可以得出一些有关变量之间关系的结论，并为决策提供依据。
数据收集：在本次实验中，我们收集了一组数据，包括自变量X和因变量Y的取值。
为了保证数据的可靠性和准确性，我们采用了随机抽样的方法，并对数据进行了严格的统计处理。
数据分析：首先，我们进行了数据的可视化分析，绘制了散点图以观察变量之间的分布情况。
通过观察散点图，我们可以初步判断变量之间是否存在线性关系。
接下来，我们使用回归分析方法对数据进行了拟合，并得到了回归方程。
回归方程：通过回归分析，我们得到了如下的回归方程：Y = a + bX其中，a表示截距，b表示斜率。
回归方程可以用来预测因变量Y在给定自变量X的取值时的期望值。
回归系数的解释：在回归方程中，截距a表示当自变量X为0时，因变量Y的取值。
斜率b表示自变量X每变动一个单位时，因变量Y的平均变动量。
通过对回归系数的解释，我们可以更好地理解变量之间的关系。
回归方程的显著性检验：为了验证回归方程的有效性，我们进行了显著性检验。
通过计算回归方程的F值和P值，我们可以判断回归方程是否具有统计学意义。
如果P值小于显著性水平（通常为0.05），则我们可以拒绝零假设，即回归方程是显著的。
回归方程的拟合优度：为了评估回归方程的拟合程度，我们计算了拟合优度（R²）。
拟合优度表示因变量的变异程度可以被自变量解释的比例。
拟合优度的取值范围为0~1，值越接近1表示回归方程对数据的拟合程度越好。
回归方程的预测：通过回归方程，我们可以进行因变量Y的预测。
当给定自变量X的取值时，我们可以利用回归方程计算出因变量Y的期望值。
预测结果可以为决策提供参考，并帮助我们了解自变量对因变量的影响程度。
结论：通过本次实验，我们成功地应用了回归分析方法，研究了自变量X对因变量Y的影响，并得到了回归方程。
回归分析实验
第 1 章回归分析实验目次1.1线性回归模型1.2非线性回归模型1.3线性回归分析实验示范1.3.1背景资料1.3.2实验步骤分解1.4非线性回归分析实验示范1.4.1背景资料1.4.2回归报告1.4.3结果解释1.5回归分析实验练习注记 1参考文献附表 11.1线性回归模型考虑线性计量经济模型Y i=a0+b1X1i+ +b m X mi+u i（ 1-1）其中： a0为截距， b1, , b m为回归系数， X 1i ,, X mi为解释变量，它们是非随机变量， u i为随机扰动项。
当m1时，模型1-1 称为一元线性回归模型或单变量线性模型；当时，模型 1-1称为多元线性回归模型。
m 1模型 1-1 的应用效果取决于模型的系数是否被有效确定，即与其估计系数的 t 检验和模型的F检验是否显著有关，而这些检验则必须满足一定的前提条件才行。
在应用普通最小二乘法（OLS ）做回归分析时，如果模型1-1 满足以下假设：假设 1-1解释变量和随机扰动项线性无关：cov( u i, X ji )0, j1,2, , m 假设 1-2随机扰动项的期望为0： E (u i )0假设 1-3随机扰动项服从同方差分布：var( u i )21,2, , i假设 1-4随机扰动项没有自相关关系：cov( u i , u j )0, i j假设 1-5随机扰动项服从正态分布：u i2 ~ N(0, )假设 1-6解释变量之间没有共线性关系，即任一个解释变量均不能被其余解释变量线性表示得到。
那么，模型 1-1 的 OLS 估计量就是最优线性无偏估计量，估计系数的t 检验和模型的 F 检验就是有效的。
只要其中的任意一个假设没有得到满足，模型系数的 OLS 估计量就变成无效或不是最优线性无偏估计的了。
OLS 是线性回归模型系数估计的常用方法之一，其实，最大似然估计法（ML ）也是常用方法之一。
在满足六个假设前提下，除了ML 方法估计残差项可能会导致渐进有偏估计以及低估值外，OLS 和 ML 在系数的估计上是一致的，即均是无偏估计。
回归分析报告(regressionanalysis)
回归分析报告(regressionanalysis)回归分析报告（Regression Analysis）1. 引言回归分析是一种统计方法，用于探究两个或多个变量之间的关系。
在这份回归分析报告中，我们将对一组数据进行回归分析，以了解自变量与因变量之间的关系，并使用得出的模型进行预测。
2. 数据收集与变量定义我们收集了包括自变量和因变量的数据，以下是对这些变量的定义：- 自变量(X)：在回归分析中，自变量是被视为预测因变量的变量。
在本次分析中，我们选择了自变量A、B、C。
- 因变量(Y)：在回归分析中，因变量是被预测的变量。
在本次分析中，我们选择了因变量Y。
3. 描述性统计分析在进行回归分析之前，我们首先对数据进行了描述性统计分析。
以下是我们得出的结论：- 自变量A的平均值为X1，标准差为Y1。
- 自变量B的平均值为X2，标准差为Y2。
- 自变量C的平均值为X3，标准差为Y3。
- 因变量Y的平均值为X4，标准差为Y4。
4. 回归分析结果通过对数据进行回归分析，我们得到了如下的回归公式：Y = β0 + β1A + β2B + β3C在该公式中，β0表示截距，β1、β2和β3分别表示A、B和C的回归系数。
5. 回归系数和显著性检验我们对回归方程进行了显著性检验，以下是我们得出的结论：- β0的估计值为X5，在显著性水平α下，与零的差异是显著的/不显著的。
- β1的估计值为X6，在显著性水平α下，与零的差异是显著的/不显著的。
- β2的估计值为X7，在显著性水平α下，与零的差异是显著的/不显著的。
- β3的估计值为X8，在显著性水平α下，与零的差异是显著的/不显著的。
6. 回归方程拟合程度为了评估回归方程的拟合程度，我们计算了R²值。
以下是我们得出的结论：- R²值为X9，表示回归方程可以解释Y变量的百分之X9的变异程度。
- 残差标准误差为X10，表示回归方程中预测的误差平均为X10。
回归分析实验报告
回归分析实验报告实验报告实验课程：[信息分析]专业：[信息管理与信息系统]班级：[ ]学⽣姓名：[ ]指导教师：[请输⼊姓名]完成时间：2013年6⽉28⽇⼀．实验⽬的多元线性回归简单地说是涉及多个⾃变量的回归分析，主要功能是处理两个变量之间的线性关系，建⽴线性数学模型并进⾏评价预测。
本实验要求掌握附带残差分析的多元线性回归理论与⽅法。
⼆．实验环境实验室308教室三．实验步骤与内容1打开应⽤统计学实验指导书，新建excel表2．打开SPSS，将数据输⼊。
3．调⽤SPSS主菜单的分析——>回归——>线性命令，打开线性回归对话框，指定因变量（⼯业GDP⽐重）和⾃变量（⼯业劳动者⽐重、固定资产⽐重、定额资⾦流动⽐重），以及回归⽅式；逐步回归（图1）图1 线性对话框4.在统计栏中，选择估计以输出回归系数B的估计值、t统计量等，选择Duribin-watson以进⾏DW检验；选择模型拟合度输出拟合优度统计量值，如R^2、F统计量值等（图2）。
图2 统计量栏5．在线性回归栏中选择直⽅图和正态概率图以绘制标准化残差的直⽅图和残差分析与正态概率⽐较图，以标准化预测值为纵坐标，标准化残差值为横坐标，绘制残差与Y的预测值的散点图，检验误差变量的⽅差是否为常数（图3）。
图3 绘制栏6.提交分析，并在输出窗⼝中查看结果，以及对结果进⾏分析。
系统在进⾏逐步分析的过程中产⽣了两个回归模型，模型1先将与因变量（销售收⼊）线性关系的⾃变量地区⼈⼝引⼊模型，建⽴他们之间的⼀元线性关系。
⽽后逐步引⼊其他变量，表1中模型2表明将⾃变量⼈均收⼊引⼊，建⽴⼆元线性回归模型，可见地区⼈⼝和⼈均收⼊对销售收⼊的影响同等重要。
从表2中给出了两个模型各⾃的R^2和调整后的R^2,第⼀个模型中的销售收⼊中有99%的变动可以⽤地区⼈⼝的变动解释，第⼆个模型中地区⼈⼝和⼈均收⼊的变动可以解释销售收⼊中99.9%的变动，显然第⼆个模型的拟合数据效果⽐较好⼀点。
实验数据分析方法_回归分析
例 试利用40个B型旋涡星系SD的氢含量(MH／MT)、色 指数(B－V)0的资料，求出它们之间的回归关系，并检验 回归结果是否显著。（见书P125）
实验数据分析方法_Chap.6
14
(二) 相关系数检验法
回归平方和U反映了在y的总变化中由于x与y的线
性关系而引起的部分。因此，可以用U在总平方
和lyy中所占的比例大小来衡量回归效果好坏．通
实验数据分析方法_Chap.6
9
6.1.2 回归方程的显著性检验
在前一小节中，我们在两个变量大致成线性关系的假定下，利 用最小二乘法得到了描述这两个变量相关关系的回归直线方程。 就这种数学方法本身而言，可以不加任何条件的约束：对任一
组数据(xk,yk),k＝1-N，都可由回归方程组求出一组b0,b, 从而得
常，用r2表示比值U／lyy，并称 的相关系数。
ra
Fa(为1,Nx与2)y
(N2)Fa(1,N2)
由r的定义可知r＜l。当r的绝对值较大时，说明y与x的线 性相关较密切；r的绝对值较小时，说明y与x的线性相关程 度较弱，这时散点离回归直线较分散；当r＝1时，所有的 点都在回归直线上，表示y与x完全线性相关；而当r＝0时， 则表示y与x毫无线性关系。下图显示了不同线性相关系数
衡量回归效果好坏的标准
在回归分析中，通常把因变量y看作为随机变量，并称某
一次观测的实际观测值yk与它的平均值 y 的差 y k 为y 离差， N次观测的离差平方和称为总平方和，用lyy表示，即:
实验数据分析方法_Chap.6
N
lyy ( yk y)2,10 k 1
将总平方和进行分解，有: ly y(y k y )2 (y k y ˆk) (y ˆk y )2
第13讲 回归分析
ˆ 0 t1 2 ( n 2 )ˆ e1 n L x x 2 ,x ˆ 0 t1 2 ( n 2 )ˆ e1 n L x x 2 x
和 ˆ 1 t( n 2 )ˆ e /L x,x ˆ 1 t( n 2 )ˆ e /L x x
2019/11/1
18
二、模型参数估计
1 i 2 用 最 小 二 乘 法 求 0 ,.k .的 估 .计 ,量 ： 作 离 差 平 方 和
n
Q y i 0 1 x i 1 . .k .x ik 2
线 性 模 型 (Y,X ,2In)考 虑 的 主 要 问 题 是 ：
返回
（ 1） 用 试 验 值 （ 样 本 值 ） 对 未 知 参 数和 2 作 点 估 计 和 假 设 检 验 ， 从 而 建 立 y与
x1,x2,..x.k之 , 间 的 数 量 关 系 ；
（ 2） 在 x1x0,1x2x0,2..xk. , x0k,处 对 y的 值 作 预 测 与 控 制 ， 即 对 y作 区 间 估 计 .
进 行 检 验 .
假 设 H 0 : 1 0 被 拒 绝 ， 则 回 归 显 著 ， 认 为 y 与 x 存 在 线 性 关
系 ， 所 求 的 线 性 回 归 方 程 有 意 义 ； 否 则 回 归 不 显 著 ， y 与 x 的 关 系 不 能 用 一 元 线 性 回 归 模 型 来 描 述 ， 所 得 的 回 归 方 程 也 无 意 义 .
9.5
9
8.5
8
7.5
7
6.5
6
2
4
6
8
10
12
14
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告
报
验
实
验
实
学
数
学
大
1
3
x3根据表中的数据及残插图，我们可以解答题目中的三个问题。
值都有明显的增加， s2值则明显的减小了，残
3.3926x2
4 大学数学实验 实验报告 | 2014/5/30
4
[B3,BINT3,R3,RINT3,STATS3] = regress(y',X3); [BX,BINTX,RX,RINTX,STATSX] = regress(y',XX); rcoplot(R1,RINT1);pause; rcoplot(R2,RINT2);pause; rcoplot(R3,RINT3);pause; rcoplot(RX,RINTX);pause;
项目二：
下表列出了某城市18位35岁~ 44岁经理的年平均收入x 1（千元），风险偏好度x 2和人寿保险额y （千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险。
研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。
研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。
通过表中的数据来建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。
序号 y x 1 x 2 序号 y x 1 x 2 1 196 66.290 7 10 49 37.408 5 2 63 40.964 5 11 105 54.376 2 3 252 72.996 10 12 98 46.186 7 4 84 45.010 6 13 77 46.130 4 5 126 57.204 4 14 14 30.366 3 6 14 26.852 5 15 56 39.060 5 7 49 38.122 4 16 245 79.380 1 8 49 35.840 6 17 133 52.766 8 9
266
75.796
9
18
133
55.916
6
问题分析及模型建立：
此题中主要确定了经理的年均收入x 1和人寿保险额y 之间存在着二次关系，风险偏好度x 2对人寿保险额y 有线性效应,但是主要需要我们确定是否存在交互项x 1x 2以及二次项x 12，x 22，从而确定最佳的多元多项式回归模型。
这里我们只需要利用Matlab 中的stepwise 函数，并把交互项和二次项作为参数进行建模即可，并且以剩余标准差s （RMSE ）最小作为标准，使用交互窗口的“next step ”逐步确定最佳模型。
解决方案：
利用MATLAB 编写程序如下：
clear all ;
y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133];
x1=[66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.796 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916]; x2=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6]; xx1=x1.^2; xx2=x2.^2; x12=x1.*x2;
XX=[x1',x2',xx1',xx2',x12']; stepwise(XX,y');
可以发现，当所有因素都纳入模型中的时候，剩余标准差最小，也就是理论上最优的模型了。
在此基础上对其进行线性回归得到结果如下：
不断进行回归分析并剔除所有异常点后得到最终回归模型如下（剔除了3，5，7组数据）：
6 大学数学实验 实验报告 | 2014/5/30
6
由此确定出最终的模型为：
y =−64.7763+1.1075x 1+3.8722x 2+0.0347x 12+0.2917x 22−0.0160x 1x 2
项目三：
一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物实验，给24名患有同种病痛的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2，5，7和10（克），并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）。
为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试。
通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作0.25，0.50和0.75。
实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）。
请你为公司建立一个模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间。
病人序号
病痛减轻时间（分钟）
用药剂量（克）
性别 血压组别 1 35 2 0 0.25 2 43 2 0 0.50 3 55 2 0 0.75 4 47 2 1 0.25 5 43 2 1 0.50 6 57 2 1 0.75 7 26 5 0 0.25 8 27 5 0 0.50 9 28 5 0 0.75 10 29 5 1 0.25 11 22 5 1 0.50 12 29 5 1 0.75 13 19 7 0 0.25 14 11 7 0 0.50 15 14 7 0 0.75 16 23 7 1 0.25 17 20 7 1 0.50 18 22 7 1 0.75 19 13 10 0 0.25 20 8 10 0 0.50 21 3 10 0 0.75 22 27 10 1 0.25 23 26 10 1 0.50 24
5
10
1
0.75
问题分析及模型建立
该问题有三个可能的影响因素，但并不清楚这三个因素是怎样控制因变量的，所以只能先对每一个变量进行直观的判断，然后在综合可能的因素进行回归分析。
去掉异常点后在进行回归分析直到所有点均表现正常，得到回归结果如下：（依次去掉第23、
.75,0.25,0.50,0.75,0.25,0.50,0.75,0.25,0.50,0.75];
xx1=x1.^2;
xx2=x2.^2;
xx3=x2.^2;
x12=x1.*x2;
x23=x2.*x3;
x13=x1.*x3;
subplot(3,1,1),plot(x1,y,'+'),xlabel('x1'),ylabel('y');
subplot(3,1,2),plot(x2,y,'+'),xlabel('x2'),ylabel('y');
subplot(3,1,3),plot(x3,y,'+'),xlabel('x3'),ylabel('y');
pause;
XX=[ones(24,1),x1',x2',x3',xx1',xx3',x12',x23',x13'];
XXX=[x1',x2',x3',xx1',xx3',x12',x23',x13'];
[B1,BINT1,R1,RINT1,STATS1] = regress(y',XX);
stepwise(XXX,y');
rcoplot(R1,RINT1);
实验总结
本次实验学习了利用MATLAB进行了回归分析。
回归分析主要是对已有的数据进行回归模型的建立，然后再利用MATLAB命令求出回归系数并进行模型检验。
在日常生活中有着较广泛的应用。
一学期的数学实验课就要告一段落了。
通过这一学期的学习，我初步掌握了利用MATLAB 软件求解现实生活中数学问题的方法，与理论知识结合，将数学的功能发挥到最大。
当然，也
有很多东西是我们通过课本学不到的，还是要靠在生活中的实际应用来继续挖掘数学建模的应
用价值。
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大
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