函数的单调性
函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法
函数单调性的判断方法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。
首先对函
数进行求导,令导函数等于零,得X值,判断X与导函数的关系,当导函数大于零时是增
函数,小于零是减函数。
(1)证明一个函数的单调性的'方法:定义法,导数法;
(2)推论一个函数的单调性的常用方法:定义法,导数法,图象法,化归常用函数法,运用无机函数单调性规律。
3.常用复合函数单调性规律:
(1)若函数f(x),g(x)在区间d上均为减(减至)函数,则函数f(x)+g(x)在区间d上仍
为减(减至)函数。
(2)若函数f(x)在区间d上为增(减)函数,则函数-f(x)在区间d上为减(增)函数。
(3)无机函数f[g(x)]的单调性的推论分后两步:ⅰ考量函数f[g(x)]的定义域;ⅱ利
用内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)确认函数f[g(x)]的单调性,法则就是“同增异减至”,即为内外函数单调性相同时为增函数,内外层函数单调性恰好相反时为减至函数。
函数的单调性
单调性定义的几种变形形式:
设任意x1,x2∈[a,b]且x(x2 ) x2
0
⇔f(x)在[a,b]上是增函数
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
⇔f(x)在[a,b]上是减函数.
②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增
调性。
x
1
在(-1,+∞)上的单
函数单调性的应用(二)求函数的最值与比较 函数值的大小
} ①x1<x2 D
②f(x)是增函数
f(x1)<f(x2)
例1:求函数f(x)=x2-2x+3在[1,4]上的值域。
例2:求函数f(x)=
2x 1 x2
在[1,4]上的最值。
例3:求函数f(x)= x 1 - 6 2x 的值域。
且满足f( )<f(a), 求a的取值范围.
例5:已知函数f(x)=
则不等式
f(a2-4)>f(3a)的解集为( ) A.(2,6) B.(-1,4) C.(1,4) D.(-3,5)
函数的单调区间(一)求函数的单调区间
例1:求函数y=x-|1-x|的单调增区间。
1 2x
例2:求函数y=
的单调增区间。
函数.
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减 函数.
单调性的有关结论:
1.若f(x),g(x)均为增(减)函数, 则f(x)+g(x)仍为增 (减)函数.
2.若f(x)为增(减)函数, 则-f(x)为减(增)函数,
3.y=f[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调 性相同,则其复合函数f[g(x)]为增函数;
《函数的单调性》知识点
一、函数单调性的定义如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ,当21x x <时都有()()21x f x f <,则()x f 在D 内是增函数;当21x x <时都有()()21x f x f >,则()x f 在D 内时减函数.二、单调性的定义的等价形式 设[]b a x x ,,21∈,那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数;()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数;()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数;()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是增函数.三、函数单调性的应用若()f x 在区间D 上递增且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈);若()f x 在区间D 上递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈). 四、函数单调性的性质在公共定义域内,有:①增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数;②减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数;③增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数;④减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数.五、双勾函数及其性质 函数)0,0(>>+=b axbax y 叫做双勾函数. 双勾函数在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增;在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减.六、复合函数单调性的判断(同增异减)讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意:①若()u g x =,()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则[()]y f g x =为增函数;②若()u g x =,()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则[()]y f g x =为减函数.列表如下:单性相异时递减. 七、用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤:(1)取值:设1x ,2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量,且12x x <; (2)变形:作差变形(因式分解、配方、有理化等)或作商变形;(3)定号:判断差的正负或商与1的大小关系;(4)得出结论.。
函数的单调性知识点
函数的单调性知识点在数学的广阔天地中,函数的单调性是一个非常重要的概念。
它就像是函数的“性格特征”,帮助我们更好地理解函数的变化规律。
让我们从最基础的开始理解。
什么是函数的单调性呢?简单来说,就是函数值随着自变量的增大或减小而呈现出的一种有规律的变化趋势。
如果函数值随着自变量的增大而增大,那这个函数在相应的区间就是单调递增的;反之,如果函数值随着自变量的增大而减小,那就是单调递减的。
为了更准确地判断函数的单调性,我们通常会使用一些方法。
其中,最常见的就是利用导数。
对于一个可导的函数,如果它的导数大于零,那么函数在这个区间就是单调递增的;如果导数小于零,就是单调递减的。
比如说,对于函数\(f(x) =x^2\),它的导数是\(f'(x) =2x\)。
当\(x > 0\)时,\(f'(x) > 0\),函数单调递增;当\(x < 0\)时,\(f'(x) < 0\),函数单调递减。
除了导数,我们还可以通过函数的定义来判断单调性。
假设我们有一个函数\(f(x)\),对于区间\(I\)内的任意两个自变量\(x_1\)和\(x_2\),如果当\(x_1 < x_2\)时,都有\(f(x_1) < f(x_2)\),那么函数\(f(x)\)在区间\(I\)上就是单调递增的;如果都有\(f(x_1) > f(x_2)\),那就是单调递减的。
再来看一些常见函数的单调性。
一次函数\(y = kx + b\)(\(k \neq 0\)),当\(k > 0\)时,函数在\(R\)上单调递增;当\(k <0\)时,函数在\(R\)上单调递减。
反比例函数\(y =\frac{k}{x}\)(\(k \neq 0\)),当\(k > 0\)时,函数在\((\infty, 0)\)和\((0, +\infty)\)上分别单调递减;当\(k < 0\)时,函数在\((\infty, 0)\)和\((0, +\infty)\)上分别单调递增。
函数的单调性
4.1、函数的单调性函数的单调性就是函数的一种增减性,主要看y 随x 的变化而发生的一种变化情况,简单的说当y 随x 的增大而增大时,就说y 是在相应的x 的取值范围内是增函数,对应的区间为其增区间;而当y 随x 的增大而减小时,我们就说y 是在相应的x 的取值范围内是减函数,对应的区间为其减区间。
A 、定义:一般地,设函数)(x f 的定义域为I 。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。
如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做)(x f y =的单调区间。
B 、函数单调性的证明对于某区间内的函数的单调性,一般利用定义来证明,其基本步骤如下: (1)取值:设21,x x 为该区间内的任意两个值,并且21x x <;(2)作差变形:作差)()(21x f x f -,并利用因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差值的符号的方向变形;(3)定号:确定差值的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论; (4)下结论:根据函数的单调性的定义得出结论。
C 、函数单调性的判断判断函数单调性的常用方法有:(1)定义法:即“取值——变形——定号——下结论”;(2)图像法:先作出函数的图像,在利用图像的形象直观判断函数的单调性;(但应注意极值点及其拐点) (3)复合法:)(x f y =增 增 减 减(4)导数法:求出函数导数后,在令其导数大于零的x 的连续区间为其单调递增区间,令其导数小于零的x 的连续区间为其单调递减区间;4.1.1、函数单调性的判断与证明A 、函数单调性的证明:1、证明函数12)(+-=x x f 在R 上是减函数。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法判断函数单调性的常用方法一、定义法设$x_1.x_2$是函数$f(x)$定义域上任意的两个数,且$x_1f(x_2)$,则此函数为减函数。
例如,证明:当$x>0$时,$x>\ln(1+x)$。
f'(x)=\frac{1}{1+x}>0$,所以$f(x)$为严格递增的。
因为$f(x)>\lim\limits_{x\to 0}-\ln(1+x)=-\ln(1+0)=0$,所以$x>\ln(1+x)$。
二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外,利用单调性的有关性质也能简化解题。
若函数$f(x)。
g(x)$在区间$B$上具有单调性,则在区间$B$上有:⑴$f(x)$与$f(x)+C$($C$为常数)具有相同的单调性;⑵$f(x)$与$c\cdot f(x)$当$c>0$时具有相同的单调性,当$c<0$时具有相反的单调性;⑷当$f(x)。
g(x)$都是增(减)函数,则$f(x)+g(x)$都是增(减)函数;⑸当$f(x)。
g(x)$都是增(减)函数,则$f(x)\cdot g(x)$当两者都恒大于时也是增(减)函数,当两者都恒小于时也是减(增)函数。
三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法。
对于复合函数$y=f[g(x)]$满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域),可令$t=g(x)$,则三个函数$y=f(t)。
t=g(x)。
y=f[g(x)]$中,若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数;若有两个函数单调性相反,则第三个函数为减函数。
注:(1)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性;2)互为反函数的两个函数有相同的单调性;3)如果$f(x)$在区间$D$上是增(减)函数,那么$f(x)$在$D$的任一子区间上也是增(减)函数。
设单调函数$y=f(x)$为外层函数,$y=g(x)$为内层函数。
函数的单调性ppt课件
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定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0,则函数在该区间内单调递增;如果函数的导数小于0,则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性,可以确定函数的零点所在的区间,进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性,可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性,可以分析企业生产成本与收益之间的关系,制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中,单调性可用于评估投资风险,例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系,导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势,而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增,则其导数在该区间内大于等于零;如果函数在某个区间内单调递减,则其导数在该区间内小于等于零。因此,通过求函数的导数,可以判断函数的单调性。
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函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0,则函数在该区间内单调递增;如果函数的导数小于0,则函数在该区间内单调递减。
函数单调知识点归纳总结
函数单调知识点归纳总结一、函数单调性的定义1. 单调递增函数对于定义域内的任意x1和x2,若x1<x2恒成立,则有f(x1)<=f(x2)成立,则称函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数。
2. 单调递减函数对于定义域内的任意x1和x2,若x1<x2恒成立,则有f(x1)>=f(x2)成立,则称函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
二、函数单调性的性质1. 如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒大于0,则函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数;如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒小于0,则函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
2. 函数的单调性与导数的关系:若函数f(x)在定义域上的一阶导数大于0,则函数f(x)在该定义域上是单调递增函数;若函数f(x)在定义域上的一阶导数小于0,则函数f(x)在该定义域上是单调递减函数。
3. 在具有一阶导数的情况下,如果函数f(x)在定义域上导数恒大于0,则函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+\infty);如果函数f(x)在定义域上导数恒小于0,则函数f(x)的单调递减区间为(-\infty,+\infty)。
4. 对于具有n阶导数的函数f(x),通过求解导数的符号变化,可以得到函数f(x)在定义域上的单调性和拐点位置。
三、求解函数的单调区间1. 使用导数符号变化法求解函数的单调区间:首先求出函数f(x)的一阶导数,并求出导数的零点,然后将定义域分成几个子区间,然后再求解导数对应的区间上的符号,得到函数的单调性。
2. 使用导数的恒定性求解函数的单调区间:根据导数的恒定性可以快速求出函数的单调区间,比如函数的导数在某个区间上恒大于0,则函数在该区间为单调递增函数。
四、与单调性相关的知识1. 函数的最值。
在函数的单调性的基础上,可以求解函数的最值,对于单调递增函数来说,函数在定义域上的最小值为f(x1);对于单调递减函数来说,函数在定义域上的最大值为f(x2)。
函数的单调性
函数的单调性,是指函数在其定义域内某一区间上的取值是递增或递减的性质。
不强调区间的情况下,所谓的单调函数是指,对于整个定义域而言,函数具有单调性。
单调性的判定方法主要有两种:定义法和导数法。
定义法利用的是函数的增减性,即如果对于定义域内的任意两个变量x1和x2,当x1<x2时,有f(x1)≤f(x2),则称该函数在区间D上为增函数;如果对于定义域内的任意两个变量x1和x2,当x1<x2时,有f(x1)≥f(x2),则称该函数在区间D上为减函数。
导数法则是利用函数的导数来判断其单调性,如果函数在某区间内的导数大于0,那么这个函数在这个区间就是单调递增的;如果函数在某区间内的导数小于0,那么这个函数在这个区间就是单调递减的。
函数的单调性
概念辨析
1.函数y=f(x),x ∈[0,3]的图象如图所示. y
O
1
2
3
x
区间[0,3]是该函数的单调增区间吗?
判断下列说法是否正确
1、如果对于区间(a,b)上存在 x 1 x 2 ,使得 f ( x 1 ) 则函数f(x)在区间(a,b)上是增函数。
函数y=f(x)的定义域为I,区间DI,如果对于区间D内 的任意两个值x1,x2, 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),
那么就说函数y=f(x)在区间D上是单调增函数,区间D称 y 为函数y=f(x)的单调增区间.
问题:
f(x1) f(x2)
如何定义单调减函数和单调减区间呢?
0
x1
x2
x
函数y=f(x)的定义域为I,区间D I,如果对于区间D 内的任意两个值x1,x2
当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),
那么就说函数y=f(x)在区间D上是单调减函数, y 区间D称为函数y=f(x)的单调减区间.
f(x1) f(x2) x
2
0 x1
x
如果函数
y f (x )
在区间D上是增函数或减函数,那么
就说函数 y f ( x )
在这一区间具有(严格的)单调性,区
2
在 ( 0 , + ) 上 函 数 值 随 x 的 增 大
在y轴的右侧是上升的。
而增大。
对于(0,≦)上的任意x1,x2,当x1<x2时, f(x1)<f(x2)
问题:
设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI,在区间D上,y 随x的增大而增大,该如何用数学符号语言来刻画呢?
函数的单调性知识点
函数的单调性知识点在数学的广阔领域中,函数的单调性是一个非常重要的概念。
它就像是函数世界里的指南针,帮助我们理解函数的行为和变化规律。
首先,咱们来聊聊什么是函数的单调性。
简单说,单调性指的是函数在某个区间内的变化趋势。
如果函数在某个区间内,随着自变量的增大,函数值也一直增大,那这个函数在这个区间就是单调递增的;反过来,如果随着自变量的增大,函数值一直减小,那就是单调递减的。
比如说,一次函数 y = 2x + 1,当 x 越来越大时,y 也会越来越大,这就是单调递增。
再看反比例函数 y = 1/x,在 x > 0 这个区间,x 越大,y 越小,所以它在这个区间是单调递减的。
那怎么判断一个函数的单调性呢?这就需要一些方法和技巧了。
一种常见的方法是利用定义。
假设函数 f(x) 在区间(a, b) 上有定义,如果对于任意的 x1、x2 属于(a, b),当 x1 < x2 时,都有 f(x1) <f(x2),那函数 f(x) 在区间(a, b) 上就是单调递增的;如果都有 f(x1) >f(x2),那就是单调递减的。
举个例子,证明函数 f(x) = x^2 在区间 0, +∞)上是单调递增的。
我们任取 x1、x2 属于 0, +∞),且 x1 < x2。
那么 f(x1) = x1^2 ,f(x2) = x2^2 。
f(x2) f(x1) = x2^2 x1^2 =(x2 x1)(x2 + x1) 。
因为x1 < x2 ,所以 x2 x1 > 0 ,又因为 x1、x2 都大于等于 0 ,所以 x2 +x1 > 0 。
所以 f(x2) f(x1) > 0 ,即 f(x1) < f(x2) ,所以函数 f(x) =x^2 在区间 0, +∞)上是单调递增的。
除了定义法,还有求导法。
如果函数 f(x) 在某个区间内的导数大于0 ,那么函数在这个区间单调递增;如果导数小于 0 ,则单调递减。
比如函数 f(x) = 3x^3 4x ,对它求导得到 f'(x) = 9x^2 4 。
函数的单调性
x y' y
(,1)
(1,2)
-
(2,)
+
+
例2.
y ( x 1) 2 ( x 2)3 .
y f ( x) ( x 1)( x 2) 2 (5 x 7).
解:定义域是 R. 由
令 f ( x) 0 解得 x 1,
7 和 2. 5
现列表讨论如下:
Th.3 (极值的必要条件)
若x0 是f ( x)的极值点 则x0只可能是 ( x)的零点 , f
或f ( x)的不可导点 .
由此求出可能使 f (x) 取极值的点之后,如何判定 它是取极大值还是极小值呢?
y
y
o
x0
x
o
x0
x
图示可见, 由导数符号可判定极大极小值点.
Th. 4 (极值判别法之一)
x O( x0 , ) 都有
f ( x) f ( x0 )
(或 f ( x) f ( x0 ))
则称f ( x)在x0取(局部)极大值(或 极小值) x0 称为极大 , 点(或极小点)统称为极值、极值点若上述两不等式 , . 中等号不成立 则称为严格意义下的极 . , 值
y
o a
有f ( x0 ) 0, 即x0 是方程f ( x) 0的解, 称为f ( x)的
稳定点或驻点.
(2) 若f ( x)在x0 不可导, 则x0也可能是极值点 例如, .
f ( x) | x | 在x 0不可导, 但x 0是其极小值点 .
稳 f 结论 f ( x)的 极 值 点 只 可 能 是 它 的 定 点 ( 即 ( x)的 零 点) 和f ( x)不 存 在 的 点 但f ( x)在 其 稳 定 点 和 不 可 导 点 . 不 一 定 就 取 局 部 极 值例 如 : .
高一函数的单调性的知识点
高一函数的单调性的知识点函数是数学中的重要概念之一,而在高一阶段学习的数学中,函数的单调性是一个重要的知识点。
下面我们将详细介绍高一函数的单调性的相关知识。
一、函数的单调性定义函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体来说,若对于定义域上的任意两个数x₁和x₂,当x₁<x₂时,函数f(x₁)的值与函数f(x₂)的值之间的关系。
如果函数在定义域上满足这种关系,我们称之为函数的单调性。
二、单调递增与单调递减函数的单调性可分为单调递增和单调递减两种情况。
1. 单调递增函数f(x)在定义域上,当x₁<x₂时,如果f(x₁)≤f(x₂),则函数f(x)是单调递增的。
例如,对于函数f(x)=x²,在整个实数范围上,无论取哪两个不相等的实数x₁和x₂,当x₁<x₂时,f(x₁)≤f(x₂)恒成立。
因此,函数f(x)=x²是单调递增的。
2. 单调递减函数f(x)在定义域上,当x₁<x₂时,如果f(x₁)≥f(x₂),则函数f(x)是单调递减的。
例如,对于函数f(x)=1/x,在定义域(0,+∞)上,当x₁<x₂时,f(x₁)≥f(x₂)恒成立。
因此,函数f(x)=1/x是单调递减的。
三、判断函数的单调性的方法我们可以通过函数图像、导数和函数的增减性来判断函数的单调性。
1. 函数图像法通过画出函数的图像,观察图像随x的变化趋势,判断函数的单调性。
例如,对于函数f(x)=x³,我们可以绘制出函数的图像。
通过观察图像可知,当x₁<x₂时,f(x₁)≤f(x₂)恒成立,因此函数f(x)=x³是单调递增的。
2. 导数法对于一元函数f(x),如果其导数f'(x)的值恒大于0(或小于0),则函数f(x)是单调递增的(或递减的)。
例如,对于函数f(x)=2x²-3x,我们首先求出其导数f'(x)=4x-3。
通过观察导数的值可知,f'(x)在整个实数范围上恒大于0,也就是说函数f(x)是单调递增的。
函数的单调性
函数的单调性一、知识梳理&方法总结1. 单调性的定义和证明(1) 单调性:当x 逐渐增加时,函数值y 逐渐减小;当x 逐渐增加时,函数值y 逐渐增加。
函数的这两种性质都叫做函数的单调性。
(2) 定义:一般地,对于给定区间I 上的函数()y f x =:① 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调增函数。
② 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调减函数。
(3) 如果函数()y f x =在某个区间I 上是增(减)函数,那么就说函数()y f x =在区间I 上是单调函数。
区间I 叫做函数()y f x =的单调区间。
若()f x 在区间D 上是增(减)函数,则()f x 在D 的任一子区间上也是增(减)函数 (4) 函数单调性的证明(证明某函数在指定区间上增减性的步骤)① 在该区间上任取12x x <② 作差12()()f x f x -,通过因式分解等恒等变形方法将差式化为若干因式的积或商.③ 由判断各因式的符号来确定差式的符号,从而得到12()()f x f x >(或12()()f x f x <)即()f x 的增减性依定义证明完毕.任取、做差、变形、定号、下结论。
(5) 函数单调性的两种等价定义设12,[,]x x a b ∈则①1212()()0()f x f x f x x x ->⇔-在[,]a b 上是增函数1212()()0()f x f x f x x x -<⇔-在[,]a b 上是减函数② 1212()[()()]0()x x f x f x f x -->⇔在[,]a b 上是增函数1212()[()()]0()x x f x f x f x --<⇔在[,]a b 上是减函数2. 四则运算的单调性增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数; 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数; 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数; 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
函数的单调性
2函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数y =f (x )的单调区间. 2.题型一 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )=axx 2-1(a >0)在x ∈(-1,1)上的单调性.思维启迪 可根据定义,先设-1<x 1<x 2<1,然后作差、变形、定号、判断. 解 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=ax 1x 22-ax 1-ax 2x 21+ax 2(x 21-1)(x 22-1)=a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1). ∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 21-1)(x 22-1)>0.又∵a >0,∴f (x 1)-f (x 2)>0, ∴函数f (x )在(-1,1)上为减函数.思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤:(1)已知a >0,函数f (x )=x +ax(x >0),证明:函数f (x )在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数;(2)求函数y =x 2+x -6的单调区间.(1)证明 设x 1,x 2是任意两个正数,且0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫x 1+a x 1-⎝⎛⎭⎫x 2+a x 2 =x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,又x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数; 当a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,又x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,+∞)上是增函数.(2)解 令u =x 2+x -6,y =x 2+x -6可以看作有y =u 与u =x 2+x -6的复合函数. 由u =x 2+x -6≥0,得x ≤-3或x ≥2.∵u =x 2+x -6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y =u 在(0,+∞)上是增函数.∴y =x 2+x -6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞). 题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a 的取值范围是( )A .a >-14B .a ≥-14C .-14≤a <0D .-14≤a ≤0(2)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(2-a )x +1,x <1,a x ,x ≥1,满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围,解题思路为视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参.答案 (1)D (2)[32,2)解析 (1)当a =0时,f (x )=2x -3,在定义域R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a ≠0时,二次函数f (x )的对称轴为x =-1a ,因为f (x )在(-∞,4)上单调递增,所以a <0,且-1a ≥4,解得0>a ≥-14.综合上述得-14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数, ∴⎩⎪⎨⎪⎧2-a >0a >1(2-a )×1+1≤a, 解得32≤a <2,∴a 的取值范围是[32,2).思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:①若函数在区间[a ,b ]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;②分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.(1)函数y =x -5x -a -2在(-1,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( )A .a =-3B .a <3C .a ≤-3D .a ≥-3 (2)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1),⎝⎛⎭⎫4-a 2x +2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为( )A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y =x -5x -a -2=1+a -3x -(a +2),由函数在(-1,+∞)上单调递增,有⎩⎪⎨⎪⎧a -3<0a +2≤-1,解得a ≤-3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数,所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1,4-a 2>0,a ≥4-a 2+2.解得4≤a <8,故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0.(1)求f (1)的值;(2)证明:f (x )为单调递减函数;(3)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值.思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值,证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证.问题(3)用函数的单调性即可求最值. (1)解 令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0.(2)证明 任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1>x 2,则x 1x 2>1,由于当x >1时,f (x )<0,所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0, 即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)解 ∵f (x )在(0,+∞)上是单调递减函数. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9).由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2)得, f ⎝⎛⎭⎫93=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为-2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x 1,x 2在所给区间内比较f (x 1)-f (x 2)与0的大小,或f (x 1)f (x 2)与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形:如x 1=x 2·x 1x 2或x 1=x 2+x 1-x 2等;(2)利用函数单调性可以求函数最值,若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (x )的最小值是f (a ),最大值是f (b ).(1)如果函数f (x )对任意的实数x ,都有f (1+x )=f (-x ),且当x ≥12时,f (x )=log 2(3x-1),那么函数f (x )在[-2,0]上的最大值与最小值之和为( )A .2B .3C .4D .-1(2)函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的最大值是1,最小值是13,则a +b =________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1+x )=f (-x ),可知函数f (x )的图象关于直线x =12对称.又函数f (x )在[12,+∞)上单调递增,故f (x )在(-∞,12]上单调递减,则函数f (x )在[-2,0]上的最大值与最小值之和为f (-2)+f (0)=f (1+2)+f (1+0)=f (3)+f (1)=log 28+log 22=4. (2)易知f (x )在[a ,b ]上为减函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=1,f (b )=13,即⎩⎨⎧1a -1=1,1b -1=13,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =4. ∴a +b =6.题型四 函数单调性的应用函数f (x )对任意的m 、n ∈R ,都有f (m +n )=f (m )+f (n )-1,并且x >0时,恒有f (x )>1. (1)求证:f (x )在R 上是增函数; (2)若f (3)=4,解不等式f (a 2+a -5)<2.思维启迪 (1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出f (x 2)-f (x 1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本小题的切入点.要构造出f (M )<f (N )的形式. 规范解答(1)证明 设x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,∴x 2-x 1>0, ∵当x >0时,f (x )>1,∴f (x 2-x 1)>1.[2分] f (x 2)=f [(x 2-x 1)+x 1]=f (x 2-x 1)+f (x 1)-1,[4分]∴f (x 2)-f (x 1)=f (x 2-x 1)-1>0⇒f (x 1)<f (x 2), ∴f (x )在R 上为增函数.[6分](2)解 ∵m ,n ∈R ,不妨设m =n =1, ∴f (1+1)=f (1)+f (1)-1⇒f (2)=2f (1)-1,[8分]f (3)=4⇒f (2+1)=4⇒f (2)+f (1)-1=4⇒3f (1)-2=4, ∴f (1)=2,∴f (a 2+a -5)<2=f (1),[10分]∵f (x )在R 上为增函数,∴a 2+a -5<1⇒-3<a <2, 即a ∈(-3,2).[12分]课堂强化1.函数y =x 2-6x +10在区间(2,4)上是( )A .递减函数B .递增函数C .先递减再递增D .先递增再递减答案 C解析 作出函数y =x 2-6x +10的图象(图略), 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增.2.(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围,再利用充要条件的定义进行判断. 当a =0时,f (x )=|(ax -1)x |=|x |在区间(0,+∞)上单调递增;当a <0时,结合函数f (x )=|(ax -1)x |=|ax 2-x |的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1)所示;当a >0时,结合函数f (x )=|(ax -1)x |=|ax 2-x |的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示.所以,要使函数f (x )=|(ax -1)x |在(0,+∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在(0,+∞)上单调递增”的充要条件.3.函数f (x )=2xx +1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________.答案 43,1解析 f (x )=2x x +1=2(x +1)-2x +1=2-2x +1在[1,2]上是增函数,∴f (x )max =f (2)=43,f (x )min =f (1)=1.4.函数y =log 2112(2x 2-3x +1)的单调减区间为________.答案 (1,+∞) 解析 由2x 2-3x +1>0,得函数的定义域为(-∞,12)∪(1,+∞).令t =2x 2-3x +1,则y =log 21t ,∵t =2x 2-3x +1=2(x -34)2-18,∴t =2x 2-3x +1的单调增区间为(1,+∞).又y =log 21t 在(1,+∞)上是减函数,∴函数y =log 21 (2x 2-3x +1)的单调减区间为(1,+∞).A 组 专项基础训练一、选择题1.函数f (x )中,满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A .f (x )=1x B .f (x )=(x -1)2C .f (x )=e xD .f (x )=ln(x +1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0,+∞)上是减函数.A 中,f (x )=1x满足要求;B 中,f (x )=(x -1)2在[0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;C 中,f (x )=e x 是增函数;D 中,f (x )=ln(x +1)是增函数.2.若函数f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=(a +1)1-x 在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )A .(-1,0)B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,1)D .(0,1]答案 D解析 ∵f (x )=-x 2+2ax =-(x -a )2+a 2在[1,2]上是减函数, ∴a ≤1.①又g (x )=(a +1)1-x 在[1,2]上是减函数.∴a +1>1,∴a >0.② 由①、②知,0<a ≤1.3.已知函数f (x )=2ax 2+4(a -3)x +5在区间(-∞,3)上是减函数,则a 的取值范围是( )A .(0,34)B .(0,34]C .[0,34)D .[0,34]答案 D解析 当a =0时,f (x )=-12x +5,在(-∞,3)上是减函数,当a ≠0时,由⎩⎪⎨⎪⎧a >0-4(a -3)4a ≥3,得0<a ≤34,综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4.已知f (x )为R 上的减函数,则满足f (1x )>f (1)的实数x 的取值范围是( )A .(-∞,1)B .(1,+∞)C .(-∞,0)∪(0,1)D .(-∞,0)∪(1,+∞)答案 D解析 依题意得1x <1,即x -1x >0,所以x 的取值范围是x >1或x <0. 二、填空题5.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是__________.答案 ⎣⎡⎭⎫32,4解析 函数f (x )的定义域是(-1,4),u (x )=-x 2+3x +4=-⎝⎛⎭⎫x -322+254的减区间为⎣⎡⎭⎫32,4,∵e>1,∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32,4.6.设函数f (x )=ax +1x +2a 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a 的取值范围是__________.答案 [1,+∞)解析 f (x )=ax +2a 2-2a 2+1x +2a =a -2a 2-1x +2a,∵函数f (x )在区间(-2,+∞)上是增函数.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2-1>0-2a ≤-2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2-1>0a ≥1⇒a ≥1. 7.已知f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________. 答案 (-1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1),得⎪⎪⎪⎪1x >1, ∴1x >1或1x <-1,∴0<x <1或-1<x <0. 三、解答题8.函数f (x )=x 2-4x -4在闭区间[t ,t +1](t ∈R )上的最小值记为g (t ). (1)试写出g (t )的函数表达式; (2)求g (t )的最小值.解 (1)f (x )=x 2-4x -4=(x -2)2-8. 当t >2时,f (x )在[t ,t +1]上是增函数, ∴g (t )=f (t )=t 2-4t -4;当t ≤2≤t +1,即1≤t ≤2时,g (t )=f (2)=-8; 当t +1<2,即t <1时,f (x )在[t ,t +1]上是减函数, ∴g (t )=f (t +1)=t 2-2t -7.从而g (t )=⎩⎪⎨⎪⎧t 2-2t -7 (t <1),-8 (1≤t ≤2),t 2-4t -4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示,由图象易知g (t )的最小值为-8.9.已知函数f (x )=-2x +1,x ∈[0,2],求函数的最大值和最小值.解 设x 1,x 2是区间[0,2]上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=-2x 1+1-(-2x 2+1)=-2(x 2+1-x 1-1)(x 1+1)(x 2+1)=-2(x 2-x 1)(x 1+1)(x 2+1).由0≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,(x 1+1)(x 2+1)>0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在区间[0,2]上是增函数.因此,函数f (x )=-2x +1在区间[0,2]的左端点取得最小值,右端点取得最大值,即最小值是f (0)=-2,最大值是f (2)=-23.B 组 专项能力提升1.已知函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g (x )=f (x )x 在区间(1,+∞)上一定( )A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数答案 D解析 由题意知a <1,∴g (x )=f (x )x =x +ax -2a ,当a <0时,g (x )在(1,+∞)上是增函数, 当a >0时,g (x )在[a ,+∞)上是增函数, 故在(1,+∞)上为增函数, ∴g (x )在(1,+∞)上一定是增函数.2.已知函数f (x )=e |x -a |(a 为常数).若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是________. 答案 (-∞,1]解析 ∵f (x )=e |x -a |=⎩⎪⎨⎪⎧e x -a(x ≥a ),e -x +a (x <a ),∴f (x )在[a ,+∞)上为增函数, 则[1,+∞)⊆[a ,+∞),∴a ≤1.3.对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b .设函数f (x )=-x +3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min{f (x ),g (x )}的最大值是________. 答案 1解析 依题意,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2.当0<x ≤2时,h (x )=log 2x 是增函数; 当x >2时,h (x )=3-x 是减函数,∴h (x )在x =2时,取得最大值h (2)=1. 4.已知函数f (x )=lg(x +ax -2),其中a 是大于0的常数.(1)求函数f (x )的定义域;(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围.解 (1)由x +ax -2>0,得x 2-2x +a x >0,a >1时,x 2-2x +a >0恒成立,定义域为(0,+∞), a =1时,定义域为{x |x >0且x ≠1},0<a <1时,定义域为{x |0<x <1-1-a 或x >1+1-a }. (2)设g (x )=x +ax -2,当a ∈(1,4),x ∈[2,+∞)时,g ′(x )=1-a x 2=x 2-ax 2>0恒成立,∴g (x )=x +ax -2在[2,+∞)上是增函数.∴f (x )=lg(x +ax -2)在[2,+∞)上是增函数.∴f (x )=lg(x +ax -2)在[2,+∞)上的最小值为f (2)=lg a2.(3)对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,即x +ax -2>1对x ∈[2,+∞)恒成立.∴a >3x -x 2,而h (x )=3x -x 2=-(x -32)2+94在x ∈[2,+∞)上是减函数,∴h (x )max =h (2)=2. ∴a >2.5.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. (1)证明 任取x 1<x 2<-2,则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2) (x1+2)(x2+2).∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.(2)解任设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a).∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1].。
函数单调性判断方法
函数单调性判断方法要判断一个函数的单调性,我们需要先了解什么是单调函数。
在数学中,如果函数的定义域为一个实数集,函数的值随着自变量的增大而增大,或随着自变量的减小而减小,那么这个函数就是单调函数。
简单来说,单调函数要么是递增的,要么是递减的。
接下来,我们将介绍三种常见的方法来判断函数的单调性。
第一种方法是使用导数的概念。
如果函数在定义域上连续,并且在每个点处的导数大于零,那么函数是递增的;如果函数在定义域上连续,并且在每个点处的导数小于零,那么函数是递减的。
要判断函数的导数符号,可以先求出函数的导数表达式,然后找出导数表达式的零点。
在零点的左侧,导数为负,函数递减;在零点的右侧,导数为正,函数递增。
如果函数的导数在某个区间上恒为正(或恒为负),则函数在该区间上单调递增(或单调递减)。
第二种方法是使用二阶导数的概念。
如果一个函数的二阶导数大于零,那么函数是凹的,也就是递增的;如果一个函数的二阶导数小于零,那么函数是凸的,也就是递减的。
要判断函数的二阶导数的符号,可以先求出函数的二阶导数表达式,然后找出二阶导数表达式的零点。
在零点的左侧,二阶导数为负,函数凸;在零点的右侧,二阶导数为正,函数凹。
如果函数的二阶导数在某个区间上恒为正(或恒为负),则函数在该区间上凹(或凸),即单调递增(或单调递减)。
第三种方法是使用区间端点的值来判断单调性。
对于函数f(x),如果在一个区间(a, b)上,当x逐渐从a增加到b时,有f(a) < f(b),那么函数在该区间上单调递增;如果在一个区间(a, b)上,当x逐渐从a增加到b时,有f(a) > f(b),那么函数在该区间上单调递减。
这种方法主要适用于一些简单的函数,例如多项式函数、指数函数、对数函数等。
需要注意的是,这三种方法都是相对简化的判断方法,适用于一些简单的函数。
对于复杂的函数,我们可能需要综合运用多种方法来判断函数的单调性。
举个例子,我们来判断函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的单调性。
函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性的定义是:函数的单调性,也叫函数的增减性,可以定性描述在一个指定
区间内,函数值变化与自变量变化的关系。
函数的单调性,也叫函数的增减性,可以定性描述在一个指定区间内,函数值变化与
自变量变化的关系。
当函数fx的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值也随
着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。
在集
合论中,在有序集合之间的函数,如果它们保持给定的次序,是具有单调性的。
如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性,则我们将D称作函数的一个单调区间,则可判断出:
D?Q(Q是函数的定义域)。
区间D上,对于函数fx,?(任取值)x1,x2∈D且x1>x2,都有fx1>fx2。
或,?x1,x2∈D且x1>x2,都有fx1<fx2。
函数图像一定是上升或下降的。
该函数在E?D上与D上具有相同的单调性。
一般是用导数法。
对F(x)求导,F’(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)
令F’(x)>0,可得到单调递增区间(-∞,-1)∪(1,+∞),同理单调递减区间[-1,1]
复合函数还可以用规律法,对于F(g(x)),如果F(x),g(x)都单调递增(减),则复合函数单调递增;否则,单调递减。
口诀:同增异减。
还可以使用定义法,就是求差值的方法。
感谢您的阅读,祝您生活愉快。
函数的单调性
数f(x)为单调增函数;如果f′(x)<0,则函数f(x)为单调减函数;
⑤性质法: 6奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性;
偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性。
5.函数单调性的判定方法 (1)定义法:利用定义 (2)图象法:作出函数图象 (3)复合法:对于复合函数 y=f[g(x)],如果内、外层函数单调 性相同, 那么 y=f[g(x)]为 ________, 如果内、 外层函数单调性相反, 那么 y= f[g(x)]为 __________. (4) 导 数 法 : 设 y = f(x) 在 定 义 域 的 给 定 区 间 上 可 导 , 如 果 ________,那么 f(x)为增函数;如果________,那么 f(x)为减函数. (5)性质法: ①若 f(x)、 g(x)都是增 (减 )函数, 则 f(x)+g(x)为 ______ 函数;若 f(x)为增函数, g(x)为减函数,则 f(x)- g(x)为 ________; 若 f(x)为减函数, g(x)为增函数,则 f(x)-g(x)为 ________函数. ②奇函数在两个对称的区间上具有 ________的单调性;偶函数 在两个对称的区间上具有 ________的单调性. ③互为反函数的两个函数具有 ________的单调性.
题型一:利用函数图像求函数单调性
1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 A.y=- x+1 B.y= x 2 2 C.y=x -4x+5 D.y= x 解析:∵函数y= x的单调增区间为[0,+∞), ∴函数y= x在(0,2)上为增函数. 答案:B 2.函数y=(2k +1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则 1 1 A.k > B.k < 2 2 1 1 C.k >- D.k <- 2 2 解析:∵函数y=(2k +1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数, 1 ∴2k +1<0,∴k <- . 2 答案:D ( ) ( )
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函数的单调性(教学设计)
一、本节内容在教材中的地位与作用:
《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容,该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。
在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性.这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高.这节通过对具体函数图像的归纳和抽象,概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的.教材中判断函数的增减性,既有从图像上进行观察的直观方法,又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法,最后将两种方法统一起来,形成根据观察图像得出猜想结论,进而用推理证明猜想的体系.函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
二、学情、教法分析:
按现行新教材结构体系,学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数,所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。
依据现有认知结构,学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大,函数值增大”的变化趋势,而不能用符号语言进行严密的代数证明,只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。
所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。
在教学过程中,要注意学生第一次接触代数形式的证明,为使学生能迅速掌握代数证明的格式,要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程,在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。
三、教学目标与教学重、难点的制定:
依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析,制定本节课的教学目标为:
1.通过函数单调性的学习,让学生通过自主探究活动,体会数学概念的形成过程的真谛,学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义,掌握用定义证明函数的单调性的步骤,会求函数的单调区间,提高应用知识解决问题的能力。
3.能够用函数的性质解决生活中简单的实际问题,使学生感受到学习单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发其积极性。
在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线,它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程;利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解,且“取值、作差与变形、判断、结论”过程学生不易掌握。
所以对教学的重点、难点确定如下:
教学重点:函数的单调性的判断与证明;
教学难点:增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。
四、教材内容简析:
本节主要内容如下:
(1)单调性的相关定义:一般地,设函数的定义域为I,区间A I:如果对于区间A内的任意两个值,当时都有,那么就说
在区间A上是增加(减少)的。
此时,A是单调递增(递减)区间。
注:关键词:“区间A I:”、“任意”、“都”。
区间A I表明判断函数单调性首先判断函数的定义域,“任意”表明不可以用两个特定的值来确定函数是增函数还是减函
数,但是可以用来否定函数是增函数或者否定函数是减函数,“都”表示单调区间中的每一个值无一例外。
如果函数在定义域的某个子集上是增加或减少的,那么就称这个函数在这个子集上具有单调性。
如果函数在定义域是增加或减少的,那么就分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数。
(2)单调性的判断与证明:
①单调性的判断:图像法、定义法;(注:两个单调区间的“并”不一定是单调区间。
)
②单调性的证明步骤归结为五个步骤:取值、作差与变形、判断、结论。
五、教学过程设计:
对函数的单调性有感性的认识1.函数的单调性
问题1:在2003年抗击非典型性肺炎时,卫
生部门对疫情进行了通报,下图(课件中)是
北京市从4月21日至5月19日期间每日新
增病例的变化统计图。
从图看出,形势从何
日开始好转?
问题2:一次函数y=kx+b中,当k>0时,y
的值随x的值的增大而;当k<0
时,y的值随x的值的增大而。
思考交流:对于下图(课件中)给出的函数值
y随自变量x值的变化情况吗?(移动鼠标到
图像上观察会出现y随x值的变化情况)
给出实例:用鼠标拖动红点左右移动,你会
发现图像中点的坐标有何变化吗?你能找
出其中的规律吗?怎样用数学语言表达函
数值的增减变化吗?
考察学生
的观察能
力,培养
学生的数
学表达能
力让学生
自己分
析。
演
示
法
用课件
演示
对函数图
象的增、
减情况用
几何画
板演示,
增加直观
性、提高
学生兴趣
用课件
演示
设函数的定义域为,当
,那么就说
了解单调函数、单调区间的概念
能运用函数单调性的概念结合图2.单调函数、单调区间
[教师口述]:函数是单调增函数或是单调减函
数,是对定义域内某个区间而言的。
如果函数
在某个区间上是单调增函数(单调减
函数),那么就说函数在这个区间上
具有单调性。
这一区间叫做的单调增
(减)区间。
如果函数在定义域的某个子集
上是增加的或是减少的,那么就称函
数
在这个子集上具有单调性。
如果函数
在整个定义域内是增加的或是减少
的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,
统称为单调函数。
问题3:(如图)定义在区间上
的函数的图象,根据图象
说出的单调区间,以及在
每一单调区间上,是单调
增函数还是单调减函数。
(移动鼠标
到图像上观察会出现单调区间)
介
绍
相
关
概
念,
使
学
生
进
一
步
理
解
单
调
性
的
概
念。
使
学
生
进
一
谈
话
法
题目及图形的
给出用课件演
示。
注:
对函数的单调
减区间学生易
错写
成
的形式,要特别
加以澄清,并举
反例加以说明
说出函数
的图像,
)取值:设
的任意两个值,且;
在(
上的函数对任意两
函数是先增后减函数
函数是先减后增函数
C.
D.
函数
数,则
A.-1
B.7
C.3
D.
求证:函数在区
上是增函数,试求出
画出
说出函数
判断在(。