1映射与函数讲义教材

g : Rf X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？ (3) f [-1, 1], 对每个x[- , ] , f(x)sin x .
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§1.1 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
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一、集合
1.集合 ❖集合
集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. ❖元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
2.逆映射与复合映射 ❖复合映射
设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映 射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映 射成f[g(x)]Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的 映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即
f o g: XZ, (f o g)(x)f[g(x)], xX .
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❖函数举例
例5 函数 y2. 这是一个常值函数, 其定义域为D(-, ), 其值域为Rf {2}.
例6 函数 y|x|-xx
x0 x<0
.
此函数称为绝对值函数,
其定义域为D(-, +),
其值域为Rf [0, + ).
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例3 f [-1, 1], 对每个x [- , ] f(x)sin x .
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f是一个映射, 定义域D f , 值域R f [-1, 1].
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❖满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射.
•若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).
研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本 集.
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❖集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.
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3.区间和邻域 ❖无限区间
[a, ){ x|ax}, (-, b]{ x|xb}, (a, ){ x|a<x}, (-, b){ x|x<b}, (-, ){ x| |x|<}.
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❖邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).
设>0, 则称 U(a, )(a-, a){x| |x-a|<}
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二、映射
1.映射的概念 ❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
f : XY. •需要注意的问题
(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即 定义域DfX; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使 对每个xX, 有唯一确定的yf(x)与之对应.
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❖单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯
一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总
有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这 种法则确定了一个多值函数.
例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:
f : XY. • y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即yf(x), •元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; •集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即DfX. •X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为 Rf , 或f(X), 即
Rf f(X){f(x)|xX}.
的集合, RR常记作R2.
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3.区间和邻域 ❖有限区间
数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}.
[a, b]{x|axb}——闭区间.
[a, b){x|ax<b}——半开区间, (a, wk.baidu.com]{x|a<xb}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.
(1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2. (2)设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对 每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
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2.逆映射与复合映射 ❖逆映射
设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的 xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即
•若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射？
(3) f [-1, 1], 对每个x [- , ] , f(x)sin x .
等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记上页号下页. 返回 退出
❖函数的两要素 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么
这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. ❖函数的定义域
函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际 意义确定. 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式 有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的 自然定义域. 求函数的定义域举例>>>
讨论: 下述三个映射各是什么映射？ (1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2. (2)设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对
每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
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❖满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射.
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二、映射
1.映射的概念 ❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
f : XY. •需要注意的问题
(2)对每个xX, 元素x的像y是唯一的; 而对每个yRf, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域Rf是Y的一个 子集, 即Rf Y, 不一定RfY .
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
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2.逆映射与复合映射
❖逆映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的
xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即
g : R f X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？
说明: Rf 是R在的几一何个上真,子这集个. 映射表示将平面上一个圆心在原点
的单对位于圆Rf周中上的的元点素投y, 影除到yx0轴外的, 它区的间原[-像1,不1]是上唯. 一的. 如y4的原像就有x2和x-2两个.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半
径.
❖去心邻域 。
U(a, ){x|0<|x-a|<}.
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二、映射
1.映射的概念
❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
y r2 -x2
此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支
yy1(x) r2-x2
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❖函数的表示法 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解
析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平
面上的点集 {P(x, y)|yf(x), xD}
称为函数yf(x), xD的图形.
( f g ) x ) ( f [ g ( x ) f ( ]x s ) 1 - i s 2 n x i | c n x |. o
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1.函数概念
三、函数
❖定义 设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数,
通常简记为
yf(x), xD,
其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
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❖集合的表示 •列举法
把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. •描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为
M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}.
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•(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
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❖直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB}
称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点
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2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集.
提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上表等的示,函此与数时自, 函这变数时量就应x对记理应作解的y为函g由(数x它)、值所.y确F定(x的)、函y数f(x.)
说明: 映映射射的g和复f构合成是复有合顺映序射的的, f条o g件有是意: 义g的并值不域表R示g必g o须f 也包
含有在意义f的.定即义使域它内们,都Rg有D意f 义. 否, 则f o,g不与能g 构o f也成未复必合相映同射..
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例4 设有映射 g : R[-1, 1], 对每个xR, g(x)sin x, 映射f [-1, 1][0, 1], 对每个u[-1, 1], f (u) 1-u2 . 则映射g和f构成复映射f o g: R[0, 1], 对每个xR, 有