1映射与函数讲义教材
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第一节映射与函数ppt课件
子集: 设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合 B的元素，则称A是B的子集，记作 A B (读作A 包含于B)或B A (读作 B 包含 A ).
相等: 如果集合A与集合B互为子集，即 A B 且B A ,
就称集合A与B相等，记作A=B.
例如，设A={1,2}，B={2,1}，C={x|x2-3x+2=0}
A\B={ x | x A且 x B}.
有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中 进行，所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时，我们 称集合I为全集或基本集，I\A为A的余集或补集，记
作 Ac .例如，在实数集 R 中，集合A={ x |0< x 1}的余
集就是
Ac={x| x 0或 x >1｝.
有 ( f g)(x) f [g(x)]
f (sin x) 1 sin 2 x
| cos x |
三、函数
1、函数的概念
定义：设数集D R，则称映射 f : D R为定义在D 上的函数，通常简记为
y f (x), x D 其中 x称为自变量，y 称为因变量，D称为定义域， 记作 D f，即 D f D.
f g:X Z ( f g)(x) f [g(x)], x X
构成复合映射的条件是：g的值域必须包含在f 的
定义域内，即 Rg D f .否则，不能构成复合映射.
例4 设有映射 g: R[–1,1]，对每个xR，g( x)=sin x , 映射 f :[–1,1] [0,1]，对每个u[–1,1]， f (u) 1 u2 . 则映射g 和f构成的复合映射 f g :R [0,1]，对每个x R
3、区间和邻域 区间是用得较多的一类数集，设 a 和 b 都是实数，
相等: 如果集合A与集合B互为子集，即 A B 且B A ,
就称集合A与B相等，记作A=B.
例如，设A={1,2}，B={2,1}，C={x|x2-3x+2=0}
A\B={ x | x A且 x B}.
有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中 进行，所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时，我们 称集合I为全集或基本集，I\A为A的余集或补集，记
作 Ac .例如，在实数集 R 中，集合A={ x |0< x 1}的余
集就是
Ac={x| x 0或 x >1｝.
有 ( f g)(x) f [g(x)]
f (sin x) 1 sin 2 x
| cos x |
三、函数
1、函数的概念
定义：设数集D R，则称映射 f : D R为定义在D 上的函数，通常简记为
y f (x), x D 其中 x称为自变量，y 称为因变量，D称为定义域， 记作 D f，即 D f D.
f g:X Z ( f g)(x) f [g(x)], x X
构成复合映射的条件是：g的值域必须包含在f 的
定义域内，即 Rg D f .否则，不能构成复合映射.
例4 设有映射 g: R[–1,1]，对每个xR，g( x)=sin x , 映射 f :[–1,1] [0,1]，对每个u[–1,1]， f (u) 1 u2 . 则映射g 和f构成的复合映射 f g :R [0,1]，对每个x R
3、区间和邻域 区间是用得较多的一类数集，设 a 和 b 都是实数，
第1课时映射与函数.ppt
一般改写为y=f-1(x) (x∈C)
反函数的性质
(1)只有一一映射函数才有反函数；通常偶函数没有反函数
(2) 反函数的定义域是原函数的值域；反函数的值域是原 函数的定义域；
(3)原函数的图象与其反函数的图象关于直线y=x对称.
(4)原函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性.
(5) 设函数y=f(x)的定义域、值域分别为A、C.其反函数为 y=f-1(x) 则有 f-1 [f(x)]=x (x∈A)
2.函数(p22)
(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变 量x,y，并且对于x在某个范围内的每一个确定 的值，按照某个对应法则f,y都有惟一确定的值 和它对应，那么y就是x的函数， 记作y=f(x) (2)近代定义：函数是由一个非空数集到另一个 非空数集的映射.
3.函数的三要素 函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的 对应法则三部分组成的特殊映射.
(2) 证明单调性。任取x1、x2 ∈ (0,+∞)设x1<x2, 则x2/x1>1 、恒有f(x2)- f(x1)= f(x2/x1)<0，所以 f(x) 在(0,+∞)为单调减函数，故其必有反函数
(3)用公式。f[f-1(x1) f-1(x2)]= f[f-1(x1)]+ f[f-1(x2)] =x1+x2 =f[f-1(x1+x2)],根据单调性可得f-1(x1+x2)= f-1(x1) f-1(x2)
（90高考）如果直线y=ax+2的图象与直线y=3x-b的图象关
于直线y=x对称，那么___A_______
( A)a 1 b 6 (B)a 1 b 6
3
3
(C)a 3 b 2 (D)a 3 b 6
反函数的性质
(1)只有一一映射函数才有反函数；通常偶函数没有反函数
(2) 反函数的定义域是原函数的值域；反函数的值域是原 函数的定义域；
(3)原函数的图象与其反函数的图象关于直线y=x对称.
(4)原函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性.
(5) 设函数y=f(x)的定义域、值域分别为A、C.其反函数为 y=f-1(x) 则有 f-1 [f(x)]=x (x∈A)
2.函数(p22)
(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变 量x,y，并且对于x在某个范围内的每一个确定 的值，按照某个对应法则f,y都有惟一确定的值 和它对应，那么y就是x的函数， 记作y=f(x) (2)近代定义：函数是由一个非空数集到另一个 非空数集的映射.
3.函数的三要素 函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的 对应法则三部分组成的特殊映射.
(2) 证明单调性。任取x1、x2 ∈ (0,+∞)设x1<x2, 则x2/x1>1 、恒有f(x2)- f(x1)= f(x2/x1)<0，所以 f(x) 在(0,+∞)为单调减函数，故其必有反函数
(3)用公式。f[f-1(x1) f-1(x2)]= f[f-1(x1)]+ f[f-1(x2)] =x1+x2 =f[f-1(x1+x2)],根据单调性可得f-1(x1+x2)= f-1(x1) f-1(x2)
（90高考）如果直线y=ax+2的图象与直线y=3x-b的图象关
于直线y=x对称，那么___A_______
( A)a 1 b 6 (B)a 1 b 6
3
3
(C)a 3 b 2 (D)a 3 b 6
影射与函数PPT课件
例2 不是单射,是满射;
例3 既是单射,又是满射,因此是一一映射.
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映射又称为算子. 根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名 称. 如: 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.
从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换. 从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X 上的函数.
开区间 闭区间
半开区间
和
称a,b为区间的端点，
称b－a为这些区间的长度.
以上这些区间都称为有限区间.
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引进记号： + ∞ －∞ ∞
无限区间
（读作正无穷大） (读作负无穷大） （读作无穷大）
用数轴可以表示区间, 区间常用I表示.
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邻域
(1) 设δ是任一正数，称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域，记为 U(a,δ)，即
定义域 D=(－∞,+∞), 值域 =Z.
5 7
0.
y
4321
-4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3
-4
阶梯曲线
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例9 函数
y
f (x)
2
x ,0 x 1
1 x, x 1
是一个分段函数.
它的定义域 D=[0,+∞).
如:
y
1 [0,1], f 1 2 1 2;
例如,在由方程 x 2 y 2 a 2 给出的对应法则中,附加“
的条件, 就可得到一个单值分支
y y1 a2 x2 .
表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.
第一节 映射与函数课件
函数 f 的值域，记作 Rf = f (D) = { y| y = f (x) , x D }．
第一节 映射与函数
两点说明
(1) 函数两要素：定义域、对应法则 例如：函数 f (x) = x2 ，自然定义域为 (- , + )，
若它表示正方形的面积 则其定义域为(0 , + )．
表达式有意义的全体实数的集合，称之为自然定义域．
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
定义域
Df
π 2
,
π 2
,
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． y
1
π 2
f (x) = sin x
O
πx
2
-1
第一节 映射与函数
2、常见映射类型
（1）若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射.
映射 g 为 f 的逆映射，记作 f -1 , 其定义域 D f 1 R f ,
值域 R f 1 X .
Rf
只有单射才存在逆映射
第一节 映射与函数
(2)定义 设有两个映射 g : X Y 1 , f : Y 2 Z ,
其中 Y1 Y2 , 则由映射 g 和 f 可以定义一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x X 映成 f [g(x)] Z . 这个法 则确定了一个从 X 到 Z 的映射，称之为映射 g 和 f 构成
X
Rg Df
Z
第一节 映射与函数
例4.
第一节 映射与函数
二、函数
第一节 映射与函数
两点说明
(1) 函数两要素：定义域、对应法则 例如：函数 f (x) = x2 ，自然定义域为 (- , + )，
若它表示正方形的面积 则其定义域为(0 , + )．
表达式有意义的全体实数的集合，称之为自然定义域．
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
定义域
Df
π 2
,
π 2
,
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． y
1
π 2
f (x) = sin x
O
πx
2
-1
第一节 映射与函数
2、常见映射类型
（1）若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射.
映射 g 为 f 的逆映射，记作 f -1 , 其定义域 D f 1 R f ,
值域 R f 1 X .
Rf
只有单射才存在逆映射
第一节 映射与函数
(2)定义 设有两个映射 g : X Y 1 , f : Y 2 Z ,
其中 Y1 Y2 , 则由映射 g 和 f 可以定义一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x X 映成 f [g(x)] Z . 这个法 则确定了一个从 X 到 Z 的映射，称之为映射 g 和 f 构成
X
Rg Df
Z
第一节 映射与函数
例4.
第一节 映射与函数
二、函数
高数课件映射与函数
3
图像和原像的关系
图像和原像之间存在一对多或多对一的关系，取决于映射的特性。
函数的定义和性质
什么是函数?
函数是一种特殊的映射，它 将定义域中的每个元素映射 到值域中唯一的元素。
函数的性质
函数具有单调性、有界性和 奇偶性等重要性质，可应用 于各个领域。
示例
举例说明具体函数的定义和 性质，在实际问题中的应用。
映射与函数的关系
1 映射与函数的相同点
映射和函数都是描述元素之间的对应关系，具有相似的数学概念和性质。
2 映射与函数的不同点
映射是一个更普遍的概念，而函数是一种特殊的映射。
3 映射与函数的交叉应用
通过具体案例来展示映射和函数在高等数学中的应用。
映射与函数在高数中的应用
微积分
映射和函数是微积分中研究函数 极限、导数和积分等重要工具。
高数课件映射与函数
欢迎来到高数课件映射与函数的世界！本课程将带你深入了解映射和函数的 定义、性质以及它们在高等数学中的应用。准备好开始探索吧！
映射的定义和性质
1 什么是映射?
映射是一个将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则。
2 映射的性质
映射可以是单射、满射或双射，具有重要的代数和几何意义。
图论
映射和函数被广泛应用于图论中 的图的表示和性质研究。
最优化问题
映射和函数为解决最优化问题提 供了数学建模的基础。
ห้องสมุดไป่ตู้
什么是复合函数?
复合函数是将两个函数结合在 一起形成一个新的函数。
复合函数的性质
复合函数的定义域和值域取决 于两个函数的定义域和值域。
示例
通过具体的数学表达式和图形 展示复合函数的概念和性质。
高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt
f ( x ) g f ( x ) e
e1 e0 e 1
| x |1 e | x |1 | x | 1 1 | x |1 1 | x |1 e | x |1
18
复合次序不同 ,结果不相同 .
高 等 数 学 PPT 课件
第 一 章
教材 : 同济 高等数学 第五版
欢迎您加入本课堂，希望 您刻苦学习，努力争取最优异 的成绩。
2
第一章
第一节
函数与极限
映射与函数
3
一 . 邻域 : U ( a ,) x x a
x a x a
( 取整函数) 3 ) .y int( x ) ( x 1 ,x ] 上的整数
x 1 int( x ) x
6, 例 . int( 5 . 6 )
( 6 . 6 , 5 . 6 ]
int( 3 . 8 ) 3 ,
int( 0 . 4 ) 0 ,
int( 5 ) 5 ,
2 2 2 2 2 ch x 1 . ch 2 x ch x sh x 1 2 sh x x x y y x x y y e e e e e e e e sh x ch y ch x sh y 2 2 2 2 x yx y x y x yx y x yx y x y e e e e e e e e 4 4 x y x y 2 e 2 e sh ( x y ) 14 4
9
以上五类函数称为基本 初等函数 . (P 17 )
要熟练掌握基本初等函 数的图形 ,有界性 ,单调性 , 奇偶性 , 周期性 , 定义域 , 值域等 .
映射与函数PPT课件
象与原象的概念
一一映射的定义 单射＋满射 = 一一映射
*注意: 1.映射是一种特殊的对应：多对一、一对一
2.一一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，
B到A也是映射。
-
19
-
20
定义ห้องสมุดไป่ตู้：一般地，设A、B是两个集合。f：A→B
是集合A到集合B的映射，如果在这个映射 下，对于集合A的不同元素，在集合B中 有不同的象，且B中每一个元素都有原象， 那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有 唯一的抛物线和它对应。 A={二次函数}，B={坐标平面内的抛物线}
法则f：画图像
-
5
(1) A 开平方 B
9
3 -3
4
2 -2
1
1 -1
A 求正弦 B
(2)
300
½
450
600
900
1
A
(3)
1 -1 2 -2 3 -3
求平方
B
(4) A
1
1
4
2
9 前进
A
B
0
0
1
1
2
4
4
9
9
64
答：是映射，不是一一映射。
-
16
（2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4}, 对应法则 f：求平方根
答：不是映射。
（3）A=Z，B=N*，对应法则 f：求绝对值
答：不是映射。
（4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0}, 对应法则 f：求被7除的余数
√
-
10
定义2：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，
映射与函数(2019年12月整理)PPT课件
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4） f (x) 满足某个等式，这个等式除f (x) 外还有其他未知量，需构造另个等式：
解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．
.
4
； https:// 美国生孩子
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数据分析与报告制度 按多种具体营运目标和物资特性定义库存和库存参数标准，定期形成基础数据的分析和相关报表、报告的传递和反馈，在向营运部门提供及时、充分供应的同时，实现库存规模、结构和周转率有效性控制。- ?存货帐实准确性控制 通过贯彻基层帐务建设的一般控制标 准和实施在库物资的定期抽查和循环盘点，保库存物资帐实一致，提高资产规模、资产价值及资产减损等财务信息的准确性和真实性。- ?在库物资清查处理制度和存货非生产损耗控制 按物资流转和经营特性，明确不确定性和潜在风险较大、物流费用较高的库存物资，划定重点控制存量、 流量和周转的物资范围，制定有针对性的，特殊的物资交接、在库存储和清理政策，减少滞料和废料，控制生产环节之外的物料消耗。- 第二节 组织机构及岗位职责 一、部门及部门职责 1、供应循环管理组织机构 供应部： ?直接参与制定公式在既定会计期间内整体供应政策和预算安 排，规划供应部内部具体业务的管理模式； ?实施归口物资的采购、仓储、配送运输，相关的物资购存进度及结构规划、物料实物管理、基础帐务管理、物料流转帐表和报告、物流信息管理、物流成本控制；- ?供应部内部设一个业务统筹管理控制机构，即计划成本组；两个业务运作机构， 即采购组和仓库管理组；一个信息辅助机构，即档案资讯组。- 计划成本组： ?与财务管理部在采购计划和进货成本控制方面形成主要工作接口，负责物资采购流程与进度的全面计划和控制，监督本部门预算指标的执行并汇总分析和报告预算完成情况；- ?制定和调整采购业务的操作标 准以及特殊采购行为的管理模式，设定仓库管理的标准参数，实施材料市场行情调研和主要供应商调研，制定进货成本控制目标和控制方法，组织对采购业务执行过程、执行结果和供应商交易、供应商合作的考评，提交供应商汰换和新供应商引进的建议；- ?对采购作业、进货渠道选择、 进货价格确定和其他采购费用进行规范性指导、监督，并负责采集、汇总、加工和提供采购业务相关的基础数据资料，包括供应商资料、材料市场行情、采购业务历史数据等，向供应部经理提出改进采购业务的建议；- ?按有关责任部门设定的技术型号标准组织招标采购； ?计划成本组内 部岗位包括计划成本主管、材料物资计划员、非生产性物资计划员、招标管理员、成本管理员、库存控制员。- 采购组： ?分解采购计划，按相关规程、指标要求及授权范围操作执行具体采购业务，包括业务洽谈、询比价、下单、催单、查单、退货补货执行、差异记录等，形成自我监督 和接受外部监督；- ?具体协调与供应商的合作关系，落实供应部与供应商的交易合作策略，收集供应商和材料市场的基础信息，向档案资讯组汇总，直接参与供应商交易考核；- ?采购组内部岗位包括采购主管、采购经理。 仓库管理组： ?库区、仓位和运输配送的具体安排调度； ?仓库 物料的收料、发料、退料、转调、存储、清查、盘核、外验、销毁等实物管理，在库物资仓储保管。 ?实施物料编码、仓储货位编码、实施物料仓储标准参数、仓库基础帐务记录冲销、制单和单据传递、定期库存分析、相关帐表汇总和报告等信息监管，在帐务管理和库存信息分析管理上 与财务管理部形成工作接口；- ?仓库管理组内岗位包括仓库主管、仓库管理员、收料员、发料员、质检员、仓库统计员、总统计员。 档案资讯组： ?汇总、归集、建档、维护、更新所有采购业务的相关信息及文档，包括供应商档案、合同订单档案、材料市场价格信息库、招标采购工作 档案等；- ?按权限级别控制档案资料的调用； ?定期对原始信息数据进行分类汇总和其他形式的加工，充实基本数据库，提交相应报表，为部门内和其他管理部门提供多层次的决策信息支持；- ?档案资讯组内设立档案管理员。 2、供应循环涉及部门及职责 财务管理部： 按业务控制要 点和权限划分范围参与采购、仓储、存货管理等供应循环控制，主要职权包括供应计划和资金计划的审定、重要合同会签、参予和监督招标议标采购、以及相关控制评价工作。- 会计部： 定期获得和汇总相关票据和明细帐表，负责重点环节审核、票据审核、对帐、核算。 各职能部门 （生产部、设备部及其他）： 提出物资和劳务等项目请购需求，传递需求计划或请购需求，参与特定采购程序。 法务部： 对采购合同进行法律条款审定，并负责最后合同签章。 质量技术部： 负责材料物资到货、退库等环节的质量检验和验收工作。 审计部： 对采购作业和自采过 程进行定期稽核，提交稽核报告。 二、岗位职责 供应部经理： ?协调和规划部门内具体工作，落实供应部相关预算任务，并根据预算限额控制本部门的业务运作； ?审定采购库存业务参数指标的设定结果； ?制订和调整供应商管理与合作的原则和政策； ?审定进货价格成本控制目标并 指导具体推进措施，审定存货流转的改进目标并指导具体推进措施； ?审核和提交存货资产损溢的定期处理报告； ?审核超预算采购支出和费用支出。 计划成本主管： ?制订采购业务控制参数，汇总和提交采购方面的预算分析报告； ?汇总、审核、修订和提交物资供应计划，根据计划审 定结果下达采购指令，组织监督采购经理计划完成情况； ?组织供应商规划和管理工作，制订进货价格成本控制目标和推进具体控制措施，协调和指导计划成本组公室的整体工作。- 材料物资计划员： ?制订并根据实际物料需求的变动调整生产性原辅料月度供应计划，监督采购组计划完 成情况和收集反馈信息； ?收集供应商基本信息，参加供应商考核和评审。 非生产性物资计划员： ?制订五金、配件、劳保、办公用品等物资的季度供应计划，监督采购组计划完成情况和收集反馈信息； ?收集供应商基本信息，参加供应商考核和评审。 成本控制员： ?负责集团内关联 企业供应商的年度、半年度利润成本分析，定期进行外部重点供应商季度询价，控制采购经理的询比价程序，收集主要物料的市场行情资料；- ?根据基本进货成本信息和财务管理部传递的成本变动数据，提交重点物料进价成本管理改进目标的建议。 招标管理员： ?负责按照设备部及使 用部门共同制订的设备购置质量、型号、技术规格标准和进货渠道限制标准，制作标书，组织具体招标活动，并与设备部和使用部门共同确认招标结果，向采购组传递采购指令；- ?归集所有招标工作档案并在资讯组存档。 库存控制员： ?负责库存物资动态信息的跟踪、汇总，监控库房 控制指标的达成情况； ?与统计员进行数据交流，定期分析库存规模、结构和周转情况，向仓库主管和财务管理部提交库存分析相关报表和报告；- ?定期按库存参数标准提出补货需求。 档案管理员： ?负责合同、订单，采购数据、价格数据供应商文件的归档、维护、更新，进行重要信 息汇总统计，每月出据分类汇总报表；- ?按权限管理资料调用，对供应部内部主管以上级别管理人员调用资料提供全部权限，主管以下级别管理人员调用须经各主管授权，供应部外部人员调用资料经供应部经理确定权限。- 采购主管： ?分解采购计划，下达采购指令，指导和监督采购经 理完成采购业务，完成计划成本组的采购计划； ?对采购经理的供应商询比价进行基本控制审核，组织收集供应商和原材料市场的一般数据资料。 采购经理（采购员）： 按采购指令和操作规范的要求完成具体采购作业，对供应商实施询比价程序，跟催供应商备货，记录和回馈采购业务 的基本情况和异常情况，负责收集、汇总和上报供应市场行业信息，提出供应商规划建议。- 仓库主管： ?指导和监督物资日常进出库作业，制订和调整库存参数； ?组织进行定期存货流转状况分析，审定并提交分析报告； ?制订库存管理改进目标和推进具体控制措施，组织监控存货资 产非生产性损耗，提交存货异常状态解决方案。 仓库管理员： 负责仓库的日常管理，组织和监督仓库员工日常工作，提交盘赢盘亏处理报告，报废存货、滞存物资处理报告。 收料员： 物资正常入库、退料入库、盘盈入库等收料环节交
（4） f (x) 满足某个等式，这个等式除f (x) 外还有其他未知量，需构造另个等式：
解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．
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数据分析与报告制度 按多种具体营运目标和物资特性定义库存和库存参数标准，定期形成基础数据的分析和相关报表、报告的传递和反馈，在向营运部门提供及时、充分供应的同时，实现库存规模、结构和周转率有效性控制。- ?存货帐实准确性控制 通过贯彻基层帐务建设的一般控制标 准和实施在库物资的定期抽查和循环盘点，保库存物资帐实一致，提高资产规模、资产价值及资产减损等财务信息的准确性和真实性。- ?在库物资清查处理制度和存货非生产损耗控制 按物资流转和经营特性，明确不确定性和潜在风险较大、物流费用较高的库存物资，划定重点控制存量、 流量和周转的物资范围，制定有针对性的，特殊的物资交接、在库存储和清理政策，减少滞料和废料，控制生产环节之外的物料消耗。- 第二节 组织机构及岗位职责 一、部门及部门职责 1、供应循环管理组织机构 供应部： ?直接参与制定公式在既定会计期间内整体供应政策和预算安 排，规划供应部内部具体业务的管理模式； ?实施归口物资的采购、仓储、配送运输，相关的物资购存进度及结构规划、物料实物管理、基础帐务管理、物料流转帐表和报告、物流信息管理、物流成本控制；- ?供应部内部设一个业务统筹管理控制机构，即计划成本组；两个业务运作机构， 即采购组和仓库管理组；一个信息辅助机构，即档案资讯组。- 计划成本组： ?与财务管理部在采购计划和进货成本控制方面形成主要工作接口，负责物资采购流程与进度的全面计划和控制，监督本部门预算指标的执行并汇总分析和报告预算完成情况；- ?制定和调整采购业务的操作标 准以及特殊采购行为的管理模式，设定仓库管理的标准参数，实施材料市场行情调研和主要供应商调研，制定进货成本控制目标和控制方法，组织对采购业务执行过程、执行结果和供应商交易、供应商合作的考评，提交供应商汰换和新供应商引进的建议；- ?对采购作业、进货渠道选择、 进货价格确定和其他采购费用进行规范性指导、监督，并负责采集、汇总、加工和提供采购业务相关的基础数据资料，包括供应商资料、材料市场行情、采购业务历史数据等，向供应部经理提出改进采购业务的建议；- ?按有关责任部门设定的技术型号标准组织招标采购； ?计划成本组内 部岗位包括计划成本主管、材料物资计划员、非生产性物资计划员、招标管理员、成本管理员、库存控制员。- 采购组： ?分解采购计划，按相关规程、指标要求及授权范围操作执行具体采购业务，包括业务洽谈、询比价、下单、催单、查单、退货补货执行、差异记录等，形成自我监督 和接受外部监督；- ?具体协调与供应商的合作关系，落实供应部与供应商的交易合作策略，收集供应商和材料市场的基础信息，向档案资讯组汇总，直接参与供应商交易考核；- ?采购组内部岗位包括采购主管、采购经理。 仓库管理组： ?库区、仓位和运输配送的具体安排调度； ?仓库 物料的收料、发料、退料、转调、存储、清查、盘核、外验、销毁等实物管理，在库物资仓储保管。 ?实施物料编码、仓储货位编码、实施物料仓储标准参数、仓库基础帐务记录冲销、制单和单据传递、定期库存分析、相关帐表汇总和报告等信息监管，在帐务管理和库存信息分析管理上 与财务管理部形成工作接口；- ?仓库管理组内岗位包括仓库主管、仓库管理员、收料员、发料员、质检员、仓库统计员、总统计员。 档案资讯组： ?汇总、归集、建档、维护、更新所有采购业务的相关信息及文档，包括供应商档案、合同订单档案、材料市场价格信息库、招标采购工作 档案等；- ?按权限级别控制档案资料的调用； ?定期对原始信息数据进行分类汇总和其他形式的加工，充实基本数据库，提交相应报表，为部门内和其他管理部门提供多层次的决策信息支持；- ?档案资讯组内设立档案管理员。 2、供应循环涉及部门及职责 财务管理部： 按业务控制要 点和权限划分范围参与采购、仓储、存货管理等供应循环控制，主要职权包括供应计划和资金计划的审定、重要合同会签、参予和监督招标议标采购、以及相关控制评价工作。- 会计部： 定期获得和汇总相关票据和明细帐表，负责重点环节审核、票据审核、对帐、核算。 各职能部门 （生产部、设备部及其他）： 提出物资和劳务等项目请购需求，传递需求计划或请购需求，参与特定采购程序。 法务部： 对采购合同进行法律条款审定，并负责最后合同签章。 质量技术部： 负责材料物资到货、退库等环节的质量检验和验收工作。 审计部： 对采购作业和自采过 程进行定期稽核，提交稽核报告。 二、岗位职责 供应部经理： ?协调和规划部门内具体工作，落实供应部相关预算任务，并根据预算限额控制本部门的业务运作； ?审定采购库存业务参数指标的设定结果； ?制订和调整供应商管理与合作的原则和政策； ?审定进货价格成本控制目标并 指导具体推进措施，审定存货流转的改进目标并指导具体推进措施； ?审核和提交存货资产损溢的定期处理报告； ?审核超预算采购支出和费用支出。 计划成本主管： ?制订采购业务控制参数，汇总和提交采购方面的预算分析报告； ?汇总、审核、修订和提交物资供应计划，根据计划审 定结果下达采购指令，组织监督采购经理计划完成情况； ?组织供应商规划和管理工作，制订进货价格成本控制目标和推进具体控制措施，协调和指导计划成本组公室的整体工作。- 材料物资计划员： ?制订并根据实际物料需求的变动调整生产性原辅料月度供应计划，监督采购组计划完 成情况和收集反馈信息； ?收集供应商基本信息，参加供应商考核和评审。 非生产性物资计划员： ?制订五金、配件、劳保、办公用品等物资的季度供应计划，监督采购组计划完成情况和收集反馈信息； ?收集供应商基本信息，参加供应商考核和评审。 成本控制员： ?负责集团内关联 企业供应商的年度、半年度利润成本分析，定期进行外部重点供应商季度询价，控制采购经理的询比价程序，收集主要物料的市场行情资料；- ?根据基本进货成本信息和财务管理部传递的成本变动数据，提交重点物料进价成本管理改进目标的建议。 招标管理员： ?负责按照设备部及使 用部门共同制订的设备购置质量、型号、技术规格标准和进货渠道限制标准，制作标书，组织具体招标活动，并与设备部和使用部门共同确认招标结果，向采购组传递采购指令；- ?归集所有招标工作档案并在资讯组存档。 库存控制员： ?负责库存物资动态信息的跟踪、汇总，监控库房 控制指标的达成情况； ?与统计员进行数据交流，定期分析库存规模、结构和周转情况，向仓库主管和财务管理部提交库存分析相关报表和报告；- ?定期按库存参数标准提出补货需求。 档案管理员： ?负责合同、订单，采购数据、价格数据供应商文件的归档、维护、更新，进行重要信 息汇总统计，每月出据分类汇总报表；- ?按权限管理资料调用，对供应部内部主管以上级别管理人员调用资料提供全部权限，主管以下级别管理人员调用须经各主管授权，供应部外部人员调用资料经供应部经理确定权限。- 采购主管： ?分解采购计划，下达采购指令，指导和监督采购经 理完成采购业务，完成计划成本组的采购计划； ?对采购经理的供应商询比价进行基本控制审核，组织收集供应商和原材料市场的一般数据资料。 采购经理（采购员）： 按采购指令和操作规范的要求完成具体采购作业，对供应商实施询比价程序，跟催供应商备货，记录和回馈采购业务 的基本情况和异常情况，负责收集、汇总和上报供应市场行业信息，提出供应商规划建议。- 仓库主管： ?指导和监督物资日常进出库作业，制订和调整库存参数； ?组织进行定期存货流转状况分析，审定并提交分析报告； ?制订库存管理改进目标和推进具体控制措施，组织监控存货资 产非生产性损耗，提交存货异常状态解决方案。 仓库管理员： 负责仓库的日常管理，组织和监督仓库员工日常工作，提交盘赢盘亏处理报告，报废存货、滞存物资处理报告。 收料员： 物资正常入库、退料入库、盘盈入库等收料环节交
高数上册第一章第一节映射与函数一.ppt
预备知识
一.区间和邻域
⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
开区间 ( a , b ) x a x b
oa
b
x
闭区间 [ a , b ] x a x b
oa
b
x
半开区间 无限区间
有限区间
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
3.【对数函数】 y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4.【三角函数】
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
2【注意】 1）构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
（即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
D : (,), 奇函数.
② 双曲余弦chx e x e x 2
D : (,), 偶函数.
y chx
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
③
双 曲 正 切 thx
shx chx
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
【双曲函数常用公式】
sh( x y) shxchy chxshy; ch( x y) chxchy shxshy; ch2 x sh2 x 1;
一.区间和邻域
⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
开区间 ( a , b ) x a x b
oa
b
x
闭区间 [ a , b ] x a x b
oa
b
x
半开区间 无限区间
有限区间
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
3.【对数函数】 y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4.【三角函数】
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
2【注意】 1）构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
（即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
D : (,), 奇函数.
② 双曲余弦chx e x e x 2
D : (,), 偶函数.
y chx
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
③
双 曲 正 切 thx
shx chx
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
【双曲函数常用公式】
sh( x y) shxchy chxshy; ch( x y) chxchy shxshy; ch2 x sh2 x 1;
高等数学PPT课件：映射与函数
描述法
{ x x2 2 x 3 0 }.
4
映射与函数
注 对几个常用的数集规定记号如下
自然数的集合 N {0,1,2, ,n, };
正整数的集合 N+ {1,2, ,n, };
整数的集合 Z { , n, , 2, 1,0,1,2, ,n, };
5
映射与函数
有理数的集合
Q
p q
p Z, q N+ 且p与q互质 ;
33
映射与函数
例 取整函数 y [ x]表示不超过x的最大整数
y [x] n, 当 n x n 1 , n Z
y
阶
3•
梯
2•
曲
线
1•
o • •
21
•
•
•
•
123 4
x
• 1
• 2
定义域 D (,), 值域 Rf {整数}.
34
映射与函数
例 狄利克雷(Dirichlet)函数
y
D(
(A∩B)C = AC ∪ BC ;
13
映射与函数
直积 (乘积集或笛卡儿乘积)
设 A,B 是两个集合, 则称 A B { ( x, y) x A 且y B } 为 A, B 的 直积.
y
B AB
O
A
x
14
映射与函数
如, A (1,1), B [0,1], 则A B {( x, y) 1 x 1, 0 y 1}
有界.
36
映射与函数
函
数f
(
x)
1
x x
2
在
定
义
域
内
为(
C
).
《映射和函数》课件
奇函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则该函数为奇函数， 其图像关于原点对称。
06
常见函数的图像和性质
正比例函数
总结词
正比关系，过原点
详细描述
正比例函数是形如$y=kx$（$k neq 0$）的函数，图像是一条经过原点的直线。当 $k>0$时，图像过一、三象限；当$k<0$时，图像过二、四象限。
总结词
函数是数学中一个重要的概念， 它描述了两个集合之间的对应关 系。
详细描述
函数是建立在两个非空集合A和B 之间的对应关系，使得集合A中的 每一个元素x，通过某种对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的元 素与之对应。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内存在上界和下界；单调性是指函数在某一区间内 的增减性；奇偶性是指函数对于原点的对称性；周期性是指函数按照一定的周 期重复的性质。
详细描述
函数加法是将两个函数的输出作为输入，对应输出相加得到的新的函数。函数加 法满足交换律和结合律。
函数的数乘
总结词
数乘函数的概念和性质
详细描述
数乘是指将一个常数与一个函数相乘，得到一个新的函数。数乘满足结合律和分配律。数乘对函数的图像有伸缩 变换的影响。
函数的复合
总结词
复合函数的概念和性质
详细描述
映射中集合A的元素x的取值范围。
陪域
映射中集合B中元素y的取值范围。
函数
特殊的映射，其定义域和陪域都是数集， 且数集中的每一个元素都有唯一的一个数 与之对应。
映射的性质
01
02
03
04
一一对应
经典高等数学课件D01-1映射与函数1
注意： a (a, b), b (a, b).
几何表示：
oa
b
x
区间长度: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
9
类似的有：
闭区间: [a,b] {x | a x b};a [a,b], b[a,b].
oa
b
x
半开区间：(a,b] {x | a x b} 和 [a,b) {x | a x b};
a0
绝对值不等式:
x a (a 0) a x a;
常用数学符号： , , , , max, min
x a (a 0) x a 或 x a; a b a b a b .
14
二、映射:
定义: 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
19
(4)定义域及其求法：有实际背景的函数要考虑实际意义； 对于抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数 的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围. (自然定义域) 在这个约定下,表示函数时,不必写出 D,只用y f ( x)表示函数，如y 1 x2
1)分式函数：分母不等于零的自变量的值. 2)开偶次方：2n u(x), 须使u( x) 0；
即U(a, ) {x x a δ} {x a δ x a δ} (a δ,a δ).
(2)几何意义:
δ
aδ
a
aδ x
o
(3)点a的去心的
0
邻域：记作：U
(a
,
)或U
0 δ
(a
).
U(a, ) {x 0 x a δ} (a δ,a) (a,a δ)
a的左 邻域(a , a) ； a的右 邻域(a, a )
几何表示：
oa
b
x
区间长度: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
9
类似的有：
闭区间: [a,b] {x | a x b};a [a,b], b[a,b].
oa
b
x
半开区间：(a,b] {x | a x b} 和 [a,b) {x | a x b};
a0
绝对值不等式:
x a (a 0) a x a;
常用数学符号： , , , , max, min
x a (a 0) x a 或 x a; a b a b a b .
14
二、映射:
定义: 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
19
(4)定义域及其求法：有实际背景的函数要考虑实际意义； 对于抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数 的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围. (自然定义域) 在这个约定下,表示函数时,不必写出 D,只用y f ( x)表示函数，如y 1 x2
1)分式函数：分母不等于零的自变量的值. 2)开偶次方：2n u(x), 须使u( x) 0；
即U(a, ) {x x a δ} {x a δ x a δ} (a δ,a δ).
(2)几何意义:
δ
aδ
a
aδ x
o
(3)点a的去心的
0
邻域：记作：U
(a
,
)或U
0 δ
(a
).
U(a, ) {x 0 x a δ} (a δ,a) (a,a δ)
a的左 邻域(a , a) ； a的右 邻域(a, a )
高数课件-映射与函数
2.逆映射与复合映射
设∱是X到Y的单射，则由定义，对每个y∈Rf，有唯一的χ∈X，适合∱（χ）=y。于是， 我们可定义一个从Rf到X的新映射ℊ,即
ℊ:Rf→X， 对每个y∈Rf，规定ℊ(y)=χ，这χ满足∱（χ）=y。这个映射 ℊ称为∱的逆映射，记作∱-1， 其定义域Df-1=Rf，值域Rf-1=X。
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，
（3）函数的奇偶性 设函数∱（x）的定义域D关于原点对称。如果对于任一x∈D， ∱（-x）= ∱（x）
恒成立，那么称∱（x）为偶函数，如果对于任一x∈D， ∱（-x）= - ∱（x）
恒成立，那么称∱（x）为奇函数 。 偶函数的图形是关于y轴对称的。因为若是 ∱（x）为偶函数，则 ∱（-x）= ∱（x）。 所以如果A是图形上的点，那么与它关于远点对称的点A’也在图形上。 奇函数的图形是关于远点对称的。因为若 ∱（x）是奇函数，则 ∱（-x）= - ∱（x）， 所以如果A是图形上的点，那么关于与它y轴对称的点A’’也在图形上。幻灯片 14
Rf=∱（D）= yIy=∱（x）,x∈D
需要指出，按照上述定义，记号∱和∱（x）的含义是有区别的：前者表示自变量x 和因变量y之间的对应法则，而后者表示与自变量对应的函数值。但为了叙述方便， 习惯上常用记号“∱（x），x∈D”或“y=∱（x）,x∈D”来表示定义在D 上的函数， 这时应理解为由它所确定的函数∱。
高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】课时授课计划课次序号：01一、课题：§1.1 映射与函数二、课型：新授课三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念；2.理解函数的概念，了解函数的四种特性；3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念；4.熟悉基本初等函数的性质及其图形；5.会建立简单实际问题的函数关系式．四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态.教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1）八、授课记录：九、授课效果分析：第一章函数与极限第一节映射与函数高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.一、集合1. 集合的概念集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等．通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记作a∉A（或a∈A）．含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用∅表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程2x10的实根组成的集合是空集．集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N{1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A 记作A {x｜x具有性质p（x）}．例如，正整数集N也可表示成N{n｜n 1，2，3，…}；又如A{（x，y）｜2x2y1，x，y为实数}表示xOy 平面单位圆周上点的集合．2. 集合的运算设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）；若A⊆B，且有元素a∈b，但a∉A，则说A是B的真子集，记作A⊂B．对任何集A，规定∅⊆A．若A ⊆B，且B⊇A，则称集A与B相等，记作A B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B{x｜x∈A或x∈B}．由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B{x｜x∈A且x∈B}．由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即A\B{x｜x∈A但x∉B}．如图11所示阴影部分．图1 1在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集X的子集，则称X为基本集或全集．．X中的任何集A关于X的差集X\A称为A的补集（或余集），记作c A．集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:设A，B，C为三个任意集合，则下列法则成立：（1）交换律A∪B B∪A，A∩B B∩A；（2）结合律（A ∪B）∪C A∪（B∪C），（A∩B）∩C A∩（B∩C）；（3）分配律（A∪B）∩C（A∩C）∪（B ∩C），（A∩B）∪C（A∪C ）∩（B∪C），（A \B）∩C（A∩C）\（B∩C）；（4）幂等律A∪A A，A∩A A；（5）吸收律A∪∅A，A∩∅∅．设A i（i1，2，…）为一列集合，则下列法则成立：（1）若A i⊆C（i1，2，…），则1iiA∞=⊆C；（2）若A i⊇C（i 1，2，…），则1iiA∞=⊇C．设X 为基本集，A i（i1，2，…）为一列集合，则1c iiA ∞=⎛⎫⎪⎝⎭1c iiA∞=，1ciiA∞=⎛⎫⎪⎝⎭1ciiA∞=．3. 区间与邻域（1）区间设a和b都是实数，将满足不等式a＜x＜b的所有实数组成的数集称为开区间，记作（a，b）．即（a，b）{x｜a＜x＜b}，a和b称为开区间（a，b）的端点，这里a∉（a，b）且b∉（a，b）．类似地，称数集［a，b］{x｜a≤x≤b}为闭区间，a和b 也称为闭区间［a，b］的端点，这里a∈［a，b］且b∈［a，b］．称数集［a，b）{x｜a≤x＜b}和（a，b］{x｜a＜x≤b}为半开半闭区间．以上这些区间都称为有限区间．数b－a称为区间的长度．此外还有无限区间：（∞，∞）{x｜∞＜x＜∞}R，（∞，b］{x｜∞＜x≤b}，（∞，b）{x｜∞＜x＜b}，［a，∞）{x｜a≤x＜∞}，（a，∞）{x｜a＜x＜∞}，等等．这里记号“∞”与“∞”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”．（2）邻域设x0是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集{x｜x0δ＜x＜x0δ}为点x0的δ邻域，记作U（x0，δ）．称点x0为这邻域的中心，δ为这邻域的半径．（如图12）．图1 2称U（x0，δ）{x0}为x0的去心δ邻域，记作o U(x0,δ){x｜0＜｜x x0｜＜δ},,δ){x｜x0δ＜x＜x0}, o U(x0,δ){x｜x0＜x＜x0δ},记o U( x它们分别称为x0的去心左δ邻域和去心右δ邻域．当不需要指出邻域的半径时，我们常用U（x0），o U(x0)分别表示x0的某邻域和x的某去心邻域。
映射和函数-PPT课件
三
映射(Mapping)
1 映射概念
设 X ,Y 是两个非空集合，如果 存在一个法则 f ， 使得对 X 中每个元素 x ，按法则 f,在 Y 中有唯一的 确定的元素 y 与之对应，则称 f 为 X 从 Y 到的映射，
记作 f :X Y , 其中 y 称为元素的像，并记为 f(x ), 即 y f(x )
o
a
o b
x x
注:
2019/2/18
两端点间的距离称为区间的长度.
玉不琢，不成器；人不学，不知道 （持续更新，敬请收藏） 5
3 邻域 设 a 与 是两个实数 ,且 0 .
数集 { x x a } 称为点 a 的 邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
记作
U ( a , ) { x a x a } .
a
a
a
x
ˆ( 点 a 的去心的 邻域 , 记作 U a ,)
ˆ U ( a , ) { x 0 x a } .
2019/2/18 玉不琢，不成器；人不学，不知道 （持续更新，敬请收藏） 6
2满射、单射和双射 设 f为 X 从到 Y 的映射 ,若 R ,即 Y 中任一元素 y 都 f Y (如例 1 非满射、非单射）
是 X 中某元素的像，则称 f为 X 从到 Y 上的映射或满射
若 X 中任意两个 x 不 x 同 ,都 元 有 f(x 素 )f(x ), 1 2 1 2
则称 f 为 X 从到 Y 的单 ( 如 射例 2 ； 是满射，不是单
的定义域 D ，记作 f,
而元 x 称 素 为y 元 的素 一个原 X 像 称 ； 为 集 f 映 合 射
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二、映射
1.映射的概念 ❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, f为从X到Y的映射, 记作
f : XY. •需要注意的问题
(2)对每个xX, 元素x的像y是唯一的; 而对每个yRf, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域Rf是Y的一个 子集, 即Rf Y, 不一定RfY .
说明: 映映射射的g和复f构合成是复有合顺映序射的的, f条o g件有是意: 义g的并值不域表R示g必g o须f 也包
含有在意义f的.定即义使域它内们,都Rg有D意f 义. 否, 则f o,g不与能g 构o f也成未复必合相映同射..
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例4 设有映射 g : R[-1, 1], 对每个xR, g(x)sin x, 映射f [-1, 1][0, 1], 对每个u[-1, 1], f (u) 1-u2 . 则映射g和f构成复映射f o g: R[0, 1], 对每个xR, 有
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❖集合的表示 •列举法
把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. •描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为
M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}.
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( f g ) x ) ( f [ g ( x ) f ( ]x s ) 1 - i s 2 n x i | c n x |. o
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1.函数概念
三、函数
❖定义 设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数,
通常简记为
yf(x), xD,
其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
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二、映射
1.映射的概念 ❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
f : XY. •需要注意的问题
(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即 定义域DfX; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使 对每个xX, 有唯一确定的yf(x)与之对应.
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上表等的示,函此与数时自, 函这变数时量就应x对记理应作解的y为函g由(数x它)、值所.y确F定(x的)、函y数f(x.)
说明: Rf 是R在的几一何个上真,子这集个. 映射表示将平面上一个圆心在原点
的单对位于圆Rf周中上的的元点素投y, 影除到yx0轴外的, 它区的间原[-像1,不1]是上唯. 一的. 如y4的原像就有x2和x-2两个.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
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3.区间和邻域 ❖无限区间
[a, ){ x|ax}, (-, b]{ x|xb}, (a, ){ x|a<x}, (-, b){ x|x<b}, (-, ){ x| |x|<}.
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❖邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).
设>0, 则称 U(a, )(a-, a){x| |x-a|<}
等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记上页号下页. 返回 退出
❖函数的两要素 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么
这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. ❖函数的定义域
函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际 意义确定. 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式 有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的 自然定义域. 求函数的定义域举例>>>
f : XY. • y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即yf(x), •元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; •集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即DfX. •X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为 Rf , 或f(X), 即
Rf f(X){f(x)|xX}.
22
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2.逆映射与复合映射
❖逆映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的
xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即
g : R f X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？
y r2 -x2
此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支
yy1(x) r2-x2
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❖函数的表示法 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解
析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平
面上的点集 {P(x, y)|yf(x), xD}
称为函数yf(x), xD的图形.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
例3 f [-1, 1], 对每个x [- , ] f(x)sin x .
22
f是一个映射, 定义域D f , 值域R f [-1, 1].
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❖满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射.
•若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).
•若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射？
(3) f [-1, 1], 对每个x [- , ] , f(x)sin x .
讨论: 下述三个映射各是什么映射？ (1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2. (2)设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对
每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
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❖满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射.
研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本 集.
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❖集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.
§1.1 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
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一、集合
1.集合 ❖集合
集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. ❖元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
2.逆映射与复合映射 ❖复合映射
设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映 射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映 射成f[g(x)]Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的 映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即
f o g: XZ, (f o g)(x)f[g(x)], xX .
•(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
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❖直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB}
称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点
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❖单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯
一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总
有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这 种法则确定了一个多值函数.
例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:
为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半
二、映射
1.映射的概念 ❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, f为从X到Y的映射, 记作
f : XY. •需要注意的问题
(2)对每个xX, 元素x的像y是唯一的; 而对每个yRf, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域Rf是Y的一个 子集, 即Rf Y, 不一定RfY .
说明: 映映射射的g和复f构合成是复有合顺映序射的的, f条o g件有是意: 义g的并值不域表R示g必g o须f 也包
含有在意义f的.定即义使域它内们,都Rg有D意f 义. 否, 则f o,g不与能g 构o f也成未复必合相映同射..
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例4 设有映射 g : R[-1, 1], 对每个xR, g(x)sin x, 映射f [-1, 1][0, 1], 对每个u[-1, 1], f (u) 1-u2 . 则映射g和f构成复映射f o g: R[0, 1], 对每个xR, 有
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❖集合的表示 •列举法
把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. •描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为
M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}.
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( f g ) x ) ( f [ g ( x ) f ( ]x s ) 1 - i s 2 n x i | c n x |. o
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1.函数概念
三、函数
❖定义 设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数,
通常简记为
yf(x), xD,
其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
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二、映射
1.映射的概念 ❖ 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作
f : XY. •需要注意的问题
(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即 定义域DfX; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使 对每个xX, 有唯一确定的yf(x)与之对应.
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上表等的示,函此与数时自, 函这变数时量就应x对记理应作解的y为函g由(数x它)、值所.y确F定(x的)、函y数f(x.)
说明: Rf 是R在的几一何个上真,子这集个. 映射表示将平面上一个圆心在原点
的单对位于圆Rf周中上的的元点素投y, 影除到yx0轴外的, 它区的间原[-像1,不1]是上唯. 一的. 如y4的原像就有x2和x-2两个.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
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3.区间和邻域 ❖无限区间
[a, ){ x|ax}, (-, b]{ x|xb}, (a, ){ x|a<x}, (-, b){ x|x<b}, (-, ){ x| |x|<}.
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❖邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).
设>0, 则称 U(a, )(a-, a){x| |x-a|<}
等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记上页号下页. 返回 退出
❖函数的两要素 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么
这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. ❖函数的定义域
函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际 意义确定. 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式 有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的 自然定义域. 求函数的定义域举例>>>
f : XY. • y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即yf(x), •元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; •集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即DfX. •X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为 Rf , 或f(X), 即
Rf f(X){f(x)|xX}.
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2.逆映射与复合映射
❖逆映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的
xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即
g : R f X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？
y r2 -x2
此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支
yy1(x) r2-x2
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❖函数的表示法 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解
析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平
面上的点集 {P(x, y)|yf(x), xD}
称为函数yf(x), xD的图形.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
例3 f [-1, 1], 对每个x [- , ] f(x)sin x .
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f是一个映射, 定义域D f , 值域R f [-1, 1].
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❖满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射.
•若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).
•若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射？
(3) f [-1, 1], 对每个x [- , ] , f(x)sin x .
讨论: 下述三个映射各是什么映射？ (1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2. (2)设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对
每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
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❖满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射.
研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本 集.
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❖集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.
§1.1 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
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一、集合
1.集合 ❖集合
集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. ❖元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
2.逆映射与复合映射 ❖复合映射
设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映 射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映 射成f[g(x)]Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的 映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即
f o g: XZ, (f o g)(x)f[g(x)], xX .
•(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
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❖直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB}
称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点
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❖单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯
一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总
有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这 种法则确定了一个多值函数.
例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:
为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半