第二讲 数的整除1
第二讲 数的整除
数的整除【知识点回顾】数的整除特征：1、能被9整出的书的特征：各个数位数字之和是9的倍数。
2、能被8（或125）整除的数的特征：末三位能被8（或125）整除。
3、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
4、能被11整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除。
5、能被7（或11或13）整除的数的特征：这个整数的末三位与末三位之前的数字所组成的数的差（大减小）能被7、（或11或13）整除。
【例题讲解】例1 在□处填入适当的数字使四位数24□1是3的倍数。
□处有几种不同的填法？思路分析：要想使24□1是3的倍数，就要满足各数字之和是3的倍数。
2+4+1=7,7加上几是3的倍数呢？7+2=9,7+5=12,7+8=15. 解：□里可以填2,5,8. 这个四位数是2421,2451,2481. 所以有3种填法。
例2 最高位上的数字是1，并且能同时被2，3，5整除的最小四位数是多少？思路分析：能同时被2，5整除，个位数字只能是0，为使这四位数最小，百位数字取0，进而由3的倍数特征知十位数字为2,5,8，从而最小数字1020.解：最小四位数是1020.例3 在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4或25整除。
思路分析：43217□的个位数字不知是几，不妨记作x，那么43217□=432100+70+x。
而432100能被4和25整除，所以，只要70+x能被4或25整除，这个六位数就能被4或25整除。
70+ x要能被4整除，x只能是2或6。
70+x要能被25整除，x只能是5.解：所以432172和432176能被4整除，432175能被25整除。
例4 四位数3AA1能被9整除，求A。
思路分析：四位数3AA1要是9的倍数，它的各个数位之和就必须是9的倍数，3+A+A+1的和可能是9或18.当3+A+A+1=9时，A=2.5. 2.5不是自然数，不符合题目要求。
数的整除一
数的整除一一、整除得概念：a÷b=c，整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫a能被b整数，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数。
二、例题（1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数。
例1；24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数。
（2）如果数a、b都是c的倍数，那么（a+b）与（a－b）也是c的倍数。
例2：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30－24）也是6的倍数。
（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数。
例3：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数。
（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数。
例4：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数。
（5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b，那么a就是b的倍数。
例5：60含有因数15，那么60就是15的倍数。
三、例题（1）4（或25）的倍数的特征：如果一个自然数的末两位是4（或25）的倍数，那么这个数就是4（或25）的倍数。
例1：58372的末两位是72，72是4的倍数，那么58372就是4的倍数。
57325得末两位是25，25是25的倍数，那么58325就是25的倍数。
（2）8（或125）的倍数的特征：如果一个自然数的末三位是8（或125）的倍数，那么这个数就是8（或125）的倍数。
例2：58272的末三位是272，272是8的倍数，那么58272就是8的倍数。
58375的末三位是375，375是125的倍数，那么58375就是125的倍数。
（3）7（或11，13）的倍数的特征如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）是7（或11，13）的倍数，那么这个数就是7（或11，13）的倍数。
例3：1059282是否是7的倍数？把1059282分为1059和282两个数。
数的整除第二讲
数的整除第二讲1 、如果41位数5555、、、、、、55（20个5）（）999999、、、99（20个9）能被7整除，那么中间方格内的数字是几？2、判断1059282是否是7的倍数？3、在（）内填上合适的数字，使六位数19（）88（）能被35整除。
4、李老师共为学校买了28支价格一样的钢笔，共付了人民币9（）.2（）元。
已知（）数字相同，请问每支钢笔的价格是多少？5、一个三位数，能同时被2、5、7整除，这样的三位数按照由小到大的顺序排成一列，中间的一个数是几？6、将1、2、3………从左到右依次排列成一个51位数123456…2930，试问这个51位数除以11的余数。
7、用0到9这十个不同的数字可以组成许多的十位数，在这些数字中能被11整除的最大的十位数是多少？（每个数字只能用上一次）8、已知整数（1a2a3a4a5a）能被11整除，求所有满足这个条件的整数。
9、用6、7、8、9四个数字组成的，各个数字互不相同的四位数中，能被11整除的有多少个？10、在（）内填上合适的数字，使六位数（）1991（）能被66整除。
11、在28的前面连续写上若干个1993，得到19931993…1993199328。
如果这个数字能被11整除，那么它最小是几位数？12、判断3456725能否被13整除。
13、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中选出5个不同的数，组成一个5位数，使它可以被3、5、7、13整除，这个数字最大是多少？14、求能被26整除的六位数x1991y。
15、甲乙两个人进行下面的游戏。
两个人约定一个整数N，然后由甲开始，轮流地用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字之一组成一个六位数的一位，数字可以重复。
如果这个六位数能被N整除，就算是乙胜，如果这个六位数不能被N整除，就算是甲胜。
设N小于15，那么当N取哪个几个数时，乙才能取胜？16、把三位数3ab接连重复地写下去，共有1993个3ab，所得的这个多位数恰好是91的倍数。
257除以多少是整数
257除以多少是整数篇一：四年级数学思维训练基础第2讲数的整除(一)四年级数学思维训练基础第二讲数的整除（一）姓名如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。
例如，84能被2，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21都是整数。
而84不能被5整除，因为84÷5=16……4，有余数4。
也不能被13整除，因为84÷13=6…6，有余数6。
问题一：怎样的数能被2整除？（2倍数的特点）偶数和奇数有如下运算性质：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数，偶数±奇数＝奇数，奇数±偶数＝奇数，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数。
例1在1～200中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？例2(1)不算出结果，判断数（524＋42－429）是偶数还是奇数？(2)数（42□＋30－147）能被2整除，那么，□里可填什么数？(3)右面的连乘积是偶数还是奇数？1×3×5×7×9×11×13×14×15。
问题二：怎样的数能被5整除？（5倍数的特点）例3由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？例4下面的连乘积中，末尾有多少个0？1×2×3×………×29×30。
问题三：怎样的数能被3整除？（3倍数的特点）例5判断下列各数是否能被3整除：2574，38974，587931。
例6六位数257a38能被3整除，数字a＝？练习二1、在1～100的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？2、不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：(1)1＋2＋3＋4＋5；(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；(3)1＋2＋3＋………＋9＋10；(4)1＋3＋5＋………＋21＋23；(5)13－12＋11－10＋………＋3－2＋1。
六年级数学数的整除1(2019年12月整理)
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分配方案后会计部主管会计根据经股东大会批准的利润分配方案进行账务处理 五、单据及报告 利润分配方案 利润分配表 会计档案管理制度( P4-Z1-J4-5 ) 1． 会计档案的范围 会计档案的范围一般指会计凭、会计帐簿、会计报表以及其他会计核算资料等四个部分。 ( 1 ) 会计凭 会 计凭是记录经济业务，明确经济责任的书面明。它包括自制原始凭、外来原始凭、原始凭汇总表、记帐凭、银行存款（借款）对帐单、银行存款余额调节表等。- ( 2 ) 会计帐簿 会计帐簿是一定格式、相互联结的帐页组成，以会计凭为依据，全面、连续、系统地记各项经济业务的簿籍 。它包括按科目设置的总分类帐、各类明细分类帐、现金日记帐、银行存款日记帐以及辅助簿等。- ( 3 ) 会计报表 会计报表是反映公式会计财务状况和经营成果的总结性书面文件，主要有主要财务指标快报，月、季度会计报表、年度会计报表，包括资产负债表、损益表、财务情况说 明书等。- ( 4 ) 其他会计核算资料 其他会计核算资料属于经济业务范畴，与会计核算、会计监督紧密相关的，由会计部负责办理的有关数据资料。如：经济合同、财务数据统计资料、财务清查汇总资料、核定资金定额的数据资料、会计档案移交清册、会计档案保管清册、会计档案销 毁册等。存贮在计算机存储器和网络上的会计数据、程序文件及其他会计核算资料均应视同会计档案一并管理。- 2．会计档案的装订 会计档案的装订主要包括会计凭、会计帐簿、会计报表及其他文字的装订。 （1）会计凭的装订。一般每月装订一次，装订好的凭按年分月妥善保管归档 。 （2）会计帐簿的装订。各种会计帐簿年度结帐后，应按时整理立卷。 （3）会计报表的装订。会计报表编制完成及时报送后，留存的报表按月装订成册谨防丢失。 3．会计档案的保管 （1）会计档案的移交手续。会计部在将会计档案移交公式档案部门时，应按下列程序进行： A、 开列清册，填写交接清单； B、在帐簿使用日期栏填写移交日期； C、交接人员按移交清册和交接清单项目核查无误后签章。 （2）会计档案的借阅。 A、会计档案为公式提供利用，原则上不得借出，有特殊需要须经公式领导批准。 B、外部借阅会计档案时，应持有单位正式介绍信，经 总经理或财务总监批准后，方可办理借阅手续；公式内部人员借阅会计档案时，应经会计部部长批准后，办理借阅手续。借阅人应认真填写档案代阅登记簿，将借阅人姓名、单位、日期、数量、内容、归期等情况登记清楚。- C、借出的会计档案，会计档案管理人员要按期如数收回，并 办理注销借阅手续。 ( 3 )会计档案的保管期限。各种会计档案的保管期限，按其特点可分为永久性和定期性两类。凡是在立档单位会计核算中形成的，记述和反映会计核算的，对工作总结、查考和研究经济活动具有长远利用价值的会计档案，应永久保存。定期保管期限分别为3年、5年 、10年、15年、20年、25年6种。会计档案的保管期限，从会计年度终了后的第一天算起，如：2001年度终了日为12月31日，保管期限按2002年元月1日开始计算。- 为了全面反映会计档案情况，立档部门应设置“会计档案备查表”（见下表）及时记载会计档案的保存数，借阅数和归档数 ，做到中心有数、不出差错。- 会计档案备查表 单位盖章： 总计数凭档案帐簿档案会计报表档案其他会计资料档案 年初数本年增加数本年减少数本年年终数借阅档案情况复制档案情况归还档案情况 自用外调填报单位负责人： 填表人： 4．会计档案的销毁 （1）会计档案保管期满需 要销毁时，由档案部门提出销毁意见，会同有关部门共同鉴定、严格审查，编造会计档案销毁清册。- （2）会计档案要销毁时，报财务总监批准后销毁。 （3）会计档案保管期满，但其中未了结的债权债务的原始凭，应单独抽出，另行立卷，由档案部门保管到结清债权债务时为止；（ 4）销毁档案前，应按会计档案销毁清册所列的项目逐一清查核对；销毁会计档案时应由档案部门和会计部共同派员监销；会计档案销毁后经办人在“销毁清册”上签章，注明“已销毁”字样和销毁日期，以示负责，同时将监销情况写出面报告一式两份，一份报财务总监，一份入档案 备查。会计档案销毁审批表和会计档案销毁清册的参考格式见下表：- 会计档案销毁审批表 销毁会计档案意见帐簿卷（册）数凭卷（册）数备 注 鉴定单位领导小组负责人（签名）年 月 日 主 管 负 责 人 批 示 （签名）年 月 日 监 销 人 （签名）年 月 日 会计档案销毁清册 顺 序号类别案卷号案卷题名起止日期页数保管期限已保管期限备注 会计工作交接的内部控制制度( P4-Z1-J4-6 ) 1．交接前的准备工作 会计人员工作调动或者因故离职，必须将本人所经管的会计工作全部移交接替人员。没有办清交接手续的不得调动或离职。会计人员办理移交必须作好以 下准备工作：- ?已经受理的经济业务尚未填制会计凭的应当填制完毕。 ?尚未登记帐目应当登记完毕，结出余额，并在最后一笔余额后加盖经办人员印章。 ?整理应该移交的务项资料，对未了事项和遗留问题要定出书面说明材料。 ?编制移交清册，列明移交凭、帐簿、会计报表、公章 、现金、有价券、支票、文件、其他会计资料和物品等内容；实行会计电算化的单位，从事该项工作的移交人员应在移交清册上列明人软件及密码、会计软件数据盘、磁带等内容。- ?会计部部长、主管会计移交时，应将会计工作、重大收支问题和会计人员的情况等向接替人员介绍清楚 。 2． 交接的基本程序 （1）移交点收 移交人员离职前必须将本人经管的会计工作，在规定的期限内，全部向接管人员移交清楚。接替人员应认真按照移交清册逐项点收。具体要求是：- ?现金要根据会计帐簿记录余额进行当面点交，不得短缺 ，接替人员发现不一致或“白条顶库”现 象时，移交人员在规定期限内负责查清处理。- ?有价券的数量要与会计帐簿记录一致，有价券面额与发行价不一致时，按照会计帐簿余额交接。 ?会计凭、帐簿、报表和其他会计资料必须完整无缺，不得遗漏。如有短缺，必须查明原因，并在移交清册上注明，由移交人负责。- ?银行存 款帐户要与银行对帐单核对一致，如有未达帐项，应编制银行存款余额调节相符；各种帐产物资和债权债务的明细帐户余额要与总帐有关帐户余额核对相符；对重要实物要实地盘点，对余额较大的往来帐户要与往来单位、个人核对。- ?公章、收据、空白支票、、科目印章以及其他物品 等必须交按清楚。 ?交接双方在计算机上对有关数据进行实际操作，确认有关数字正确无误后，方可交接。 （2）专人监督 会计人员在办理交接手续时，必须有人监交，以起督促、公正作用。对监交的具体要求是： ?一般会计人员办理交接手续，由会计部部长或主管会计负责监交； ? 主管会计办理交接手续，由会计部部长负责监交； ?会计部部长办理交接手续，由财务总监（或财务总监指派内部审计人员）负责监交。 （3）交接后的有关事宜 ?会计工作交接完毕后，交接双方和监交人要在移交清册上签名盖章，，并在移交清册上注明：单位名称，交接日期，交接双 方和监交人的职务、姓名，移交清册页数及需要说明的问题和意见等。- ?接管人员应继续使用移交前的帐簿，不得擅自另立帐簿，经保会计记录后衔接，内容完整。 ?移交清册填制一式三份，交接双方各持一份，存档一份。 3． 会计工作临时交接 会计人员临时离职或者因其他原因暂 时不能工作的，都要办理临时交按手续。 ?临时离职或因病不能工作需要接替或工理的，会计部部长必须指定专人接替或者代理，并办理会计工作交接手续。 ?临时离职或困病不能工作的会计人员恢复工作时，应当与接替或代理人员办理交接手续。 ?移交人员因病或其他特殊原因不能亲 自办理移交手续的，经财务总监批准，可由移交人代办交接，但委托人应当对所移交的会计凭、会计帐簿、会计报表和其他有关资料的合法性、真实性承担法律责任。- 4．移交后的责任 移交人员对移交的会计凭、会计帐簿、会计报表和其他会计资料的合法性、真实性承担
01数的整除(六年级精品)
1第一章 数的整除一、知识框图：二、数的分类： 第一种： 树状图 韦恩图第二种：第三种：整数奇数偶数整数自然数负整数 零 正整数正奇数 正偶数整数正整数 素数 合数 12三、知识梳理第一节 整数和整除1.1整数和整除的意义1. 零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数。
2. 整除定义（概念）：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a 相当于被除数，b 相当于除数3. 整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽，反之则不一定（即a 能被b 除尽，则a 不一定能被b 整除）。
如4÷2=2, 4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8, 4能被5除尽，却不能说4能被5整除【基础巩固】1. 在8，－10，0，0.25，－50，73，100，－8.5中，正整数有 ，自然数有 ，整数有 。
2.最小的自然数是 。
3、提高（非负整数）----小于3的非负整数有。
4．除0以外的数都是自然数。
( )5. 在下列各组数中，如果第一个数能被第二数整除，请在（）内打勾。
72和36； 17和34； 3.5和0.5； 51和17；（）（）（）（）6. 判断：（1）1能被任何正整数整除. ( )（2）因为15÷4=3.75，所以4能被15整除。
( )（3）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除。
( )7. 填空:（1）45÷5= 9， ( ) 能被( )整除，( )能整除( )；( )是( ) 的因数，( ) 是( ) 的倍数。
（2）一个正整数a的因数的个数是( ) ，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )；正整数a的倍数的个数是( )，其中最小的一个是( ) 。
五年级奥数第二讲数的整除
第二讲 数的整除知识点：﹤1﹥整除概念： 表示：﹤2﹥整除的性质：﹤3﹥整除的特征：（1）解法：○1 ○2 我要上名校示例﹤1﹥有一个四位数b a 62，它能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？练一练：有一个四位数Ο2Ο2，它能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？示例﹤2﹥有一个六位数b a 4273,它能被72整除，则a 、b 分别为多少？练一练：若四位数b a 89能被15整除，则a 、b 分别为多少？示例﹤3﹥有一个十位数59911995xy 能被99整除，则χ、y 分别为多少？练一练：有一个六位数Ο2004Ο，能被99整除，则○中分别填多少？示例﹤4﹥六位数ΟΟ1992能被95整除，这个六位数是多少？练一练 能被4、5、6整除的最大的三位数是多少？示例﹤5﹥1~200中，有多少个数能被2或5整除？练一练：1~300中，有多少个数不能被3或5整除？示例﹤6﹥一个整数乘17，积的末三位是999，这个数最小是多少？练一练：一个整数乘19，积的末三位是321，这样的整数中最小是多少？示例﹤7﹥五年级有72名学生，乘车春游，共交车费Ο7.52Ο元（○为污损数字，看不清）平均每个学生交了多少元钱？练一练：一本老账本上记着：老王买了72只桶，共用去Ο9.67Ο元，其中○处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。
示例﹤8﹥ 一个两位数能被2整除，且两个数位上的数字之和是8，这样的两位数有多少个？练一练：能被11整除，并且各个数位上数字之和等于43的五位数一共有多少个？示例﹤9﹥在28的前面连续写上若干个1993，得到一个多位数 1993199319931993若干个28如果这个多位数能被11整除，那么它最少是多少位？练一练：如果 2005200520052005个n 01能被11整除，那么n 的最小值是多少？示例﹤10﹥ 商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走其中的五箱，已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物有多重？练一练：五年级同学分成四个小组集邮，第一组集了127张，第二组集了149张，第三组集了238张，第四小组只集了95张。
六年级数学下册数的整除1课件人教版
除尽 整除
能除尽的不一定都能整除， 但能整除的一定能除尽。
如果数a能被数b（b≠ 0）整除， a就叫做b的 倍数， b就叫做a的约数。（或a 的约数）
因为15 ÷ 5＝ 3，所以15是倍数，5是约数（×）
约数和倍数是相互依存的
因为4.6 ÷ 2＝ 2.3，所以4.6是2的倍数，2是4.6 的约数（×）
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
个位上是0或者5的数，都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就 能被3整除。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
个位上是0或者5的数，都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就 能被3整除。
能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。
特殊情况
两个数是互质数,它们的最大公约 数是1。
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数； 其中最大的一个叫做最大公约数。
特殊情况
两个数是互质数,它们的最大公约 数是1。
两个数具有约倍关系,最大公约数 就是较小的数。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数； 其中最小的一个叫做最小公倍数。
特殊情况
两个数是互质数,最小公倍数 就是它们的乘积。
约数和倍数必须以整除为前提
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数； 其中最大的一个叫做最大公约数。
特殊情况
两个数是互质数,它们的最大公约 数是1。
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数； 其中最大的一个叫做最大公约数．
特殊情况
两个数是互质数,它们的最大公约 数是1。
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数； 其中最大的一个叫做最大公约数．
最少有3个约数
奥数第二讲数的整除.doc
奥数第二讲数的整除如果整数a除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a能被b整除，或叫b能整除如果a能被b整除，那么，b叫做a的因数，a叫做b的倍数。
数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0, 那么这个整数一定能被2整除。
（2）能被3 （或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3 （或9）整除，那么这个整数一定能被3 （或9）整除。
（3）能被 4 （或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被 4 （或25）整除，那么这个数就一定能被4 （或25）整除。
（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。
（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除, 那么这个数就一定能被6整除。
（6）能被7 （或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是。
或是7 （或11或13）的倍数，这个数就能被7 （或11或13）整除。
（7）能被8 （或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8 （或125）整除，那么这个数就一定能被8 （或125）整除。
（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。
一、例题与方法指导例1、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？（数的整除特征）88205, 167128, 250894, 396500,675696, 796842, 805532, 75778885。
例2、一个六位数23Q56口是88的倍数，这个数除以88所得的商是或思路导航:一个数如果是88的倍数，这个数必然既是8的倍数，又是11的倍数.根据8 的倍数，它的末三位数肯定也是8的倍数，从而可知这个六位数个位上的数是0 或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是。
初中数学竞赛讲座——数论部分2(整数的整除性)
第二讲 整数的整除性一、基础知识：1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义： 设a ，b 是整数，b ≠0．如果有一个整数q ，使得a=bq ，那么称a 能被b 整除，或称b 整除a ，并记作b ｜a ．也称b 是a 的约数，a 是b 的倍数。
如果不存在这样的整数q ，使得a=bq ，则称a 不能被b 整除，或称b 不整除a ，记作b ｜a ．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1若c b b a |,|，则c a |证明：∵c b b a |,|，∴bq c ap b ==,（q p ,是整数），∴a pq q ap c )()(==，∴c a |性质2 若a ｜b ，b ｜a ，则 |a |=|b |．性质3 若c ｜a ，c ｜b ，则c ｜(a ±b )，且对任意整数m ，n ，有c ｜(m a ±n b )．证明：∵c a b a |,|，∴aq c ap b ==,q b ,(是整数），∴)(q p a aq ap c b ±=±=±，∴|()a b c ±性质4 若b ｜a ，d ｜c ，则bd ｜ac ．特别地，对于任意的非零整数m ，有b m ｜a m性质5 若a =b ＋c ，且m ｜a ，m ｜b ，则m ｜c ．性质6 若b ｜a ，c ｜a ，则[b ，c ]｜a ．特别地，当(b ，c )=1时，bc ｜a【此处[b ，c ]为b ，c 的最小公倍数；(b ，c )为b ，c 的最大公约数】．性质7 若c ｜ab ，且(c ，a )=1，则c ｜b ．特别地，若p 是质数，且p ｜ab ，则p ｜a 或p ｜b ．性质8 n 个连续整数中，必有一个能被n 整除．【特别地：两个连续整数必有一偶数；三个连续整数必有一个被3整除，如11，12，13中有3 | 12；41，42，43，44中有4 |44；77，78，79，80，81中5 | 80．】二．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法等．下面举例说明．例1若a ｜n ，b ｜n ，且存在整数x ，y ，使得ax +b y=1，证明：ab |n ．证明：由条件，可设n=au，n=b v，u，v为整数，于是n=n(ax+b y)= nax+nb y=abvx+abu y= ab(vx+u y)所以n|ab例2证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证明：设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24 |[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例3若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k ＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证明因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例4若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证明：设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．例5已知a，b是自然数，13a＋8b能被7整除，求证：9a+5b都能被7整除．分析：考虑13a＋8b的若干倍与9a+5b的若干倍的和能被7整除，证明13a＋8b+4（9a+5b）=7（7a+4b）是7的倍数，又已知13a+8b是7的倍数，所以4（9a+5b）是7的倍数，因为4与7互质，由性质7|（9a+5b）例6已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证明 用反证法．如果a ，b 不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1) a ，b 两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a ，3b ．令a =3m ，b =3n±1(m ，n 都是整数)，于是a 2+b 2=9m 2+9n 2±6n+1=3(3m 2＋3n 2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2) a ，b 两数都不能被3整除．令a =3m±1，b =3n±1，则a 2＋b 2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m 2±6m+1+9n 2±6n ＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a ，b 都是3的倍数．例7 已知a ，b 是正整数，并且a 2＋b 2能被ab 整除，求证：a =b ．先考虑a ，b 互质的情况，再考虑一般情况。
小学奥数 数论问题 第二讲 数的整除特性
第二讲数的整除特性讲义（一）整除的定义：所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整数”就是说“商a/b是一个整数”；或者换句话说：存在这第三个自然数c，使得a=b×c，这时候我们就说“b整除a”或者“a能被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记做“b︱a”（二）整除的性质：（传递性）若c︱b，b︱a，则c︱a（可加性）若c︱a，c︱b，则c︱（a+b）（可乘性）若c︱a，d︱b，则cd︱ab（三）常见的整除特征：尾数系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；数字和系：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；分段做差系：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.课后习题基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。
【闯关2】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？提高篇：【闯关3】如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。
【闯关4】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？巅峰篇：【闯关5】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)第二讲数的整除特性课后习题：基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。
解析：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；4+9+3=16，所以至少增加2就是3的倍数。
数的运算数的整除1
• 【例 4】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个 新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：① 9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数 的和到底是多少?
•
【例 5】以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字 之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.
二、整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c ︱a，c︱b，那么c︱(a±b)． 性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果 b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出： 性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a， 那么b∣a，c∣a． 性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能 被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如 果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am （m为非0整数）； 性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；
知识点拔
一、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字 之和 的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之 差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
数学《数的整除》教案范文
数学《数的整除》教案范文第一章：数的整除概念介绍一、教学目标：1. 让学生理解整除的概念，能够识别整除的数学表达式。
2. 培养学生运用整除概念解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 整除的定义：整除是指一个整数除以另一个不是零的整数，得到的商是整数，而没有余数。
2. 整除的数学表达式：如果a | b (读作"a整除b")，a 是b 的因数，b 是a 的倍数。
三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，通过实际例子引导学生思考和探索整除的概念。
2. 使用多媒体教具和实物模型，帮助学生直观地理解整除的概念。
四、教学步骤：1. 引入整除的概念，让学生尝试判断一些简单的整数除法是否为整除。
2. 引导学生总结整除的定义和数学表达式。
3. 通过实际例子，让学生运用整除概念解决问题。
五、练习与作业：1. 设计一些整除的练习题，让学生巩固整除的概念。
2. 鼓励学生寻找生活中的实际问题，运用整除概念解决。
第二章：整除的性质与判定一、教学目标：1. 让学生理解整除的性质和判定方法。
2. 培养学生运用整除性质和判定解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 整除的性质：整除具有传递性、互补性和分配性。
2. 整除的判定方法：通过观察数字的因数和倍数关系来判断整除。
三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，通过实际例子引导学生思考和探索整除的性质和判定方法。
2. 使用多媒体教具和实物模型，帮助学生直观地理解整除的性质和判定方法。
四、教学步骤：1. 引导学生回顾整除的概念，引入整除的性质和判定方法。
2. 通过实际例子，让学生体验整除的性质和判定方法。
3. 让学生进行一些整除的判定练习，巩固整除的性质和判定方法。
五、练习与作业：1. 设计一些整除的判定练习题，让学生巩固整除的性质和判定方法。
2. 鼓励学生寻找生活中的实际问题，运用整除性质和判定方法解决。
第三章：整除的应用一、教学目标：1. 让学生能够运用整除的概念和性质解决实际问题。
数的整除1
数的整除（一）一、概念1．0⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩自然数整数正整数负整数2．整除：整数a 除以整数b (0)b ≠，若除得的商是整数而余数为零，就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a 。
3．整除的条件：(三整一零)（1）除数、被除数都是整数（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零4. 数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，4，5，…叫做正整数。
5.0的含义是什么？(1) 零可以表示没有物体。
(2) 可以表示计量过程中某种量的基准数。
如：零摄氏度，归零，从零开始。
6.最小的自然数是 0，没有最大的自然数。
7. 区别“整除”与“除尽”的概念注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。
8.a b ，读作a 除以b ，或b 除a ；a 被b 除，或b 去除a（本章中学习的整数，在没有特别说明是，都是指正整数。
）1、________________统称为自然数；________________统称为整数；最小的自然数是____________；最小的正整数是_____________。
2、小于三的自然数有____________。
3、从下列书中选择适当的数填入相应的圈内。
25,-13,2.47,8.75,-0,29自然数正整数 整数4、从下列算式中选择适当的算式填入相应的圈内÷=÷=，254 6.25÷=， 2.50.552555÷=0.90.33÷=÷=3575265 5.25、下面各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在（）内打“√”A.27和3（）B.3.6和1.2（）C.12和24（）D.91和7（）6、能整除12的数有哪些？________________________________。
7、既能被2整除又能被3整除的最小的整数是__________________。
8、判断题（1）自然数的个数是有限的。
（）（2）0既不是正整数，也不是负整数。
数学奥赛辅导 第二讲 整除
数学奥赛辅导 第二讲整除知识、方法、技能整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.Ⅰ. 整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如b a ,是整除，0≠b ，则ba不一定是整数. 由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数a 和任一整数b ，必有惟一的一对整数q ，r 使得r bq a +=，b r <≤0，并且整数q 和r 由上述条件惟一确定，则q 称为b 除a 的不完全商，r 称为b 除a 的余数.若0=r ，则称b 整除a ，或a 被b 整除，或称b a 是的倍数，或称a b 是的约数（又叫因子），记为a b |.否则，b | a .任何a 的非1,±±a 的约数，叫做a 的真约数. 0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数.由整除的定义，不难得出整除的如下性质： （1）若.|,|,|c a c b b a 则（2）若.,,2,1,,|,|1n i Z c b c a b a i ni i i i =∈∑=其中则（3）若c a |，则.|cb ab 反之，亦成立.（4）若||||,|b a b a ≤则.因此，若b a a b b a ±=则又,|,|. （5）a 、b 互质，若.|,|,|c ab c b c a 则（6）p 为质数，若,|21n a a a p ⋅⋅⋅ 则p 必能整除n a a a ,,,21 中的某一个.特别地，若p 为质数，.|,|a p a p n 则（7）如在等式∑∑===mk k ni i b a 11中除开某一项外，其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c 的倍数.（8）n 个连续整数中有且只有一个是n 的倍数. （9）任何n 个连续整数之积一定是n 的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以讨论整数的约数的个数了.定理一：设大于1的整数a 的标准分解式为n n p p p p p p a n <<<⋅= 211(21ααα为质数，i α均为非负整数），则a 的约数的个数为∏=+=ni i a d 1)1)(α（.所有的约数和为：∏=+--=ni ii p p a i 1111)(ασ. 事实上，由算术基本定理的推论知∏=+=ni i a d 1)1()(α，而各约数的和就是∏=+++ni i i ipa p 1)1( 展开后的各项之和，所以∏∏==--=+++=ni ni i i i p p p p a ii11111)1()(αασ 例如，25200=24·32·52·7，所以90)11)(12)(12)(14()25200(=++++=d ， 999441717151513131212)25200(2335=--⨯--⨯--⨯--=σ.Ⅱ. 最大公约数和最小公倍数定义二：设a 、b 是两个不全为0的整数.若整数c 满足：b c a c |,|，则称b a c ,为的公约数，b a 与的所有公约数中的最大者称为b a 与的最大公约数，记为),(b a .如果),(b a =1，则称b a 与互质或互素.定义三：如果a d 是、b 的倍数，则称a d 是、b 的公倍数. b a 与的公倍数中最小的正数称为b a 与的最小公倍数，记为],[b a .最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用),,,(21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最大公约数，],,,[21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最小公倍数.若1),,,(21=n a a a ，则称n a a a a ,,,,321 互质，若n a a a ,,,21 中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n 个整数互质与n 个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于|||,|,b a b a 与有相同的公约数，且|)||,(|),(b a b a =（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.显然，若b a ,的标准分解式为i ni i n i i p p b p a ii(,11∏∏====βα为质数，i i a β,为非负整数），则∏==ni i i i p b a 1),min(),(βα ①∏==n i man i i i p b a 1),(],[βα ②例如 3960=23·32·5·11， 756=22·33·7，则 （3960，756）=22·32=36，[3960，756]=23·33·5·7·11=83160. 求最大公约数也可以用辗转相除法，其理论依据是：定理二：设a 、b 、c 是三个不全为0的整数，且有整数t 使得c bt a +=，则a 、b 与b 、c 有相同的公约数，因而),(),(c b b a =，即).,(),(bt a b b a -=因为，若a d 是、b 的任一公约数，则由b d c d c bt a b d a d 是即知和,||,|+=、c 的公约数；反之，若b d 是、c 的任一公约数，a d 也是、b 的公约数.辗转相除法：设a 、b a N b >∈*且,， 由带余除法有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+=<<+=<<+=<<+=+++----.0,,0,,0,,0,111111212221111n n n n n n n n n n n r r q r r r r r q r r r r r q r b b r r bq a ③ 因为每进行一次带余除法，余数至少减1，即11+>>>>n n r r r b ，而b 为有限数，因此，必有一个最多不超过b 的正整数n 存在，使得0≠n r ，而01=+n r ，故由定理二得：).,(),,(),(),(11211b a b r r r r r r r r n n n n n ======-+（）例如，（3960，756）=（756，180）=（180，36）=36. 具体算式如下：5（q 1） 3960（a ） 756（b ） 4（q 2） 3780 720 180（r 1） 36（r 2） 5（q 3） 1800（r 3）由定义和上述求法不难得出最大公约数和最小公倍数的如下性质：（1）),(),(,b a m bm am N m =∈则.（2）设b a c ,为的公约数，则.),(),(cb a cb c a =特别地，若1),(),,(==cbc a b a c 则.（3）设n a a a ,,,21 是任意n 个正整数，如果n n n c a c c a c c a a ===-),(,,),(,),(1332221 ，则n n c a a a =),,,(21 .因21121111|,|,|,|,|,|--------n n n n n n n n n n n n c c a c c c a c c c a c 故而，如此类推得出n c 能整除n n n c a a a 于是,,,,11 -是它们的一个公约数.又设n a a a c ,,,21 为的任一公约数，则21|,|a c a c ，因而2|c c ，同理可推出3|c c ，如此类推最后可得n c c |. 于是n c c c ≤≤||，故n c 是最大公约数.（4）若c b a =),(，则一定有整数y x 和，使得c by ax =+. 特别地，⇔=1),(b a 存在1,=+by ax y x 使得. 这可由辗转相除法的③式逆推而得by ax r c n +==. （5）若),(),(,1),(b c b ac b a ==则. （6）*∈N b a , ①)(],[],[*∈=N k b a k bk ak ；②b a m ,为的任一公倍数，则m b a |],[；③ab b a b a =],)[,(，特别地，若ab b a b a ==],[,1),(则.①可由③直接得到，②可由最小公倍数定义得，③根据①、②式知，=],)[,(b a b a∏∏==+==ni ni i i i iab p pi i 11),min(βαβα.（7）设na a a ,,,21 是任意n 个正整数.若===-],[,,],[,],[1332221n n a m m a m m a a m n ，则n n m a a a =],,,[21 .这是一个求多个整数的最小公倍数的方法.它可用证明③类似的方法来证明. Ⅲ.方幂问题一个正整数n 能否表成m 个整数的k 次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当1=m 时称为k 次方问题，当2=k 时，称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数，关于平方数，明显有如下一些简单的性质和结论： （1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9.（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1.（3）奇数平方的十位数字是偶数.（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6.（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7. （6）平方数的约数的个数为奇数.（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数. 进一步研究可得到有关平方和的几个结论:定理三：奇素数p 能表示成两个正整数的平方和的充要条件是.14+=m p定理四：设正整数p m n 2=，其中p 不再含平方因数，n 能表示成两个整数的平方的充要条件是p 没有形如34+q 的质因数. 定理五：每个正整数都能表示成四个整数的平方和.这几个定理的证明略.这里重点是介绍有关k 方幂的解法技巧.k 方幂中许多问题实质上是不定方程的整数解问题，比如著名的勾股数问题.赛题精讲例1：证明：对于任何自然数n 和k ，数1042),(3++=k k n n k n f 都不能分解成若干个连续的正整数之积.（1981年全国高中联赛试题）【证明】由性质9知，只需证明数),(k n f 不能被一个很小的自然数n 整除.因,1)1)(1()3(31033),(333++--++=++-+=k k k k k k k k k n n n n n n n n n k n f),1)(1(|3),3(3|33+-++k k k k k n n n n n 3 1，故3 ),(k n f ，因而),(k n f 不能分解成三个或三个以上的连续自然数的积. 再证),(k n f 不能分解成两个连续正整数的积.由上知，)(13),(N q q k n f ∈+=，因而只需证方程：)1(13+=+x x q 无正整数解.而这一点可分别具体验算234,134,3++=r x 时，)1(+x x 均不是13+q 形的数来说明.故),(k n f 对任何正整数n 、k 都不能分解成若干个连续正整数之积. 例2： 设p 和q 均为自然数,使得.131911318131211+--+-= q p证明：p 可被1979整除. (第21届IMO 试题)【证明】)131814121(2)1319131211(+++-+++= q p =)6591211()1319131211(+++-++++=)99019891()131816611()131916601(++++++ =1979×)99098911318661113196601(⨯++⨯+⨯两端同乘以1319！得1319！*).(1979N m m qp∈⨯=⨯此式说明1979|1319！×.p 由于1979为质数，且1979 1319！，故1979|.p【评述】把1979换成形如23+k 的质数，1319换成*)(12N k k ∈+，命题仍成立.牛顿二项式定理和n b a b a b a b a n n n n (|)(,|)(-+--为偶数),n b a b a n n (|)(-+为奇数)在整除问题中经常用到.例3 ：对于整数n 与k ，定义,),(112∑=-=nr k r k n F 求证：)1,(n F 可整除).,(k n F（1996加拿大数学竞赛试题）【证明】当m n 2=时，,)12()1,2(21∑=+==mr m m r m F∑∑+=-=-+=mm r k mr k rrk m F 2112112),2(],)12([)12(12112112112-=-=-=--++=-++=∑∑∑k mr k mr k mr k r m r r m r由于[…]能被12)12(+=-++m r m r 整除，所以),2(k m F 能被12+m 整除，另一方面， =),2(k m F ,)2(])2([1212121112----=-++-+∑k k k m r k m m r m r上式中[…]能被m r m r 2)2(=-+整除，所以),2(k m F 也能被m 整除.因m 与2m +1互质，所以),2(k m F 能被m （2m +1）（即)1,(m F ）整除.类似可证当12+=m n 时，F （2m +1，k ）能被F （2m +1,1）整除. 故),(k n F 能被)1,(n F 整除.例4 ：求一对整数b a ,，满足：(1))(b a ab +不能被7整除；（2）777)(b a b a --+能被77整除.(第25届IMO 试题)【解】777)(b a b a --+=)](5)(3)[(7223355b a b a b a ab b a ab +++++=.))((7222ab b a b a ab +++ 根据题设要求(1)(2)知，|,)(|72226ab b a ++即.|7223ab b a ++令,7322=++ab b a 即,343)(2=-+ab b a 即19=+b a ，则.343192-=ab 故可令1,18==b a 即合要求.(第15届美国普特南数学竞赛试题)【评述】数学归纳法在整除问题中也有广泛应用.例5：是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都能被某个素数的平方所整除？【解】存在.用数学归纳法证明它的加强命题：对任何正整数,m 存在m 个连续的整数，使得每一个都含有重复的素因子. 当m =1时，显然成立.这只需取一个素数的平方.假设当m =k 时命题成立,即有k 个连续整数k n n n +++,,2,1 ,它们分别含有重复的素因子k p p p ,,,21 ,任取一个与k p p p ,,,21 都不同的素数1+k p (显然存在),当21,2,1+=k p t 时,)1(22221+++k n p p tp k 这21+k p 个数中任两个数的差是形如)11(2122221-≤≤+k k p a p p ap 的数,不能被21+k p 整除,故这21+k p 个数除以21+k p 后,余数两两不同.但除以21+k p 后的余数只有0，1，…，21+k p －1这21+k p 个，从而恰有一个数)1(2100+≤≤k p t t ，使)1(222210+++k n p p p t k 能被21+k p 整除.这时，（)1+k 个连续整数：,1222210++n p p p t k ++n p p p t k 222210 2，…，++n p p p t k 222210 k ，++n p p p t k 222210 （k +1）分别能被2122221,,+k k p p p p 整除，即1+=k m 时命题成立.故题对一切正整数m 均成立.例6：求证：.),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a = （第1届美国数学奥林匹克竞赛试题）【证明】设,,,111∏∏∏======ni ini ini ii p c i p b i p a γβα其中i p 为质数，i i i γβα,,为非负整数，则 ∏==ni i iiip c b a 1),,max(,],,[γβα∏==ni i i i p b a 1),max(,],[ βα∏=∏=ni i iiip c b a 1),,min(,),,(γβα∏==ni i iip b a 1),min(,),( βα因此只需证明2max(),m ax (),m ax (),m ax (),,i i i i i i i i i αγγββαγβα---=2min(),m in(),m in(),m in(),,i i i i i i i i i αγγββαγβα---上式关于i i i γβα,,对称，则不妨设i i i γβα≥≥，于是上式变为：.22i i i i i i i i γγβγαβαα---=---此式显然成立，故得证.例7：设a 和b 是两个正整数，p b a ,1),(=为大于或等于3的质数，ba b a b a c pp +++=,(），试证：（1）1),(=a c ；（2）1=c 或.p c =（1985新加坡数学竞赛试题）【证明】由已知得),(,N s t cs ba b a ct b a pp ∈=++=+，两式相乘得,)(1112ct pa t pac t c a ct a b a st c p p p p p p p p p ---++-=-+=+= 于是,12211-----++-=p p p p p pa t pac t c cs 故.|1-p pa c（1）现用反证法来证明1),(=a c .若,1),(>=k a c 令q 是k 的一个质因子，则有.|,|a q c q 因b a c +|，则b a q +|，从而.|b q 于是q 是a 、b 的一个公约数，这与),(b a =1矛盾，故1),(=a c .（2）因为,1),(,|1=-a c pa c p 所以.|p c 而p 为质数且3≥p ，故1=c 或.p c =例8：设∑=+=nk n k k S 175)(，求最大公约数).,(3n n S S d =（第26届IMO预选题）【解】能过具体计算可猜想.)2)1((2)21(244+=+++=n n n S n 此式不难用数学归纳法获证. 为求),(3n n S S d =，对n 分奇偶来讨论.（1）当k n 2=时，).)16(812,)12(2()]2)16(6[2,]2)12(2[2(444444+⨯+=++=k k k k k k k k d 由于12+k 和16+k 互质，所以).81,)12((244+=k k d 而当13+=t k 时13,)12(81)12(44+≠+=+t k t k 时，4)12(+k 与81互质.故此时有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++==+==⨯⨯=⨯=.)0(4666,812;26,8812812812444444t t t n n k t n n n k d 时或当时当 （2）当当12+=k n 时).)23)(12(3[2,)]1)(12[(2(44++++=k k k k d1,1223+++k k k 与因与质，所以).3,)1(()12(2444++=k k k 而当23+=t k 时，23),1(31+≠+=+k k t k 时，1+k 与34互质.故此时有⎪⎩⎪⎨⎧++==++==⨯=⨯+=.)36162)12(2;56,162323)12(2444444时或当时当t t n n k t n n n k d 例9：m 盒子中各若干个球，每一次在其中)(m n n <个盒中加一球.求证：不论开始的分布情况如何，总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是.1),(=n m （第26届IMO 预选题）【证明】设1),(=n m ，则有Z v u ∈,使得)1()1(1++-=+=v m v vm un ，此式说明：对盒子连续加球u 次，可使1-m 个盒子各增加了v 个，一个增加)1(+v 个.这样可将多增加了一个球的盒子选择为原来球数最少的那个，于是经过u 次加球之后，原来球数最多的盒子中的球与球数最少的盒子中的球数之差减少1，因此，经过有限次加球后，各盒球数差为0，达到各盒中的球数相等.用反证法证明必要性.若1),(>=d n m ，则只要在m 个盒中放1+m 个球，则不管加球多少次，例如，加球k 次，则这时m 个盒中共有球kn m ++1（个），因为,1,|,|>d n d m d 所以kn m ++1不可能是d 的倍数，更不是m 的倍数，各盒中的球决不能一样多，因此，必须1),(=n m .例10：求所有这样的自然数n ，使得n 222118++是一个自然数的平方.（1980年第6届全俄数学竞赛试题）【证明】（1）当8≤n 时，)122(222118118++⋅++=--n n n N ，因（…）为奇数，所以要使N 为平方数，n 必为偶数.逐一验证8,6,4,2=n 知，N 都不是平方数. （2）当9=n 时，11222289118⨯=++=N 不是平方数.（3）当10≥n 时，)29(288-+=n N ，要N 为平方数，829-+n 应为奇数的平方，不妨假设829-+n =2)12(+k ,则).2()1(210+⨯-=-k k n 由于1-k 和2+k 是一奇一偶，左边为2的幂，因而只能1-k =1，于是得2=k ，由21022=-n 知12=n 为所求.。
小升初数学复习资料：数的整除
必备的小升初数学复习资料：数的整除为了更有效地帮助学生梳理学过的知识，提高复习质量和效率，在考试中取得理想的成绩，下文为大家准备了小升初数学复习资料。
数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
2能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
3. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
4. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
5. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
6. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
《数的整除》教案（精选4篇）
《数的整除》教案（精选4篇）《数的整除》篇1教学目标：1、通过对数的整除整理和复习，使学生进一步理解、掌握数的整除的有关概念，并能作出明确的判断和区分，进一步完善知识间的联系，形成知识网络。
2、通过复习，让学生掌握抓重点内容进行复习的方法，最好能根据知识间的联系建立知识网络。
3、创设相互协作积极向上的学习情境，培养全员参与合作的意识。
教学重点：理解、掌握整除的有关概念；整除与除尽的关系；自然数的分类；能被2、3、5整除数的特征。
教学难点：自然数的分类；小组合作整理，形成知识网络教学过程：一、揭示课题，导入新课师：今天我们一起来复习数的整除，{板书：数的整除}在开始复习之前，我想问大家，对于课题“数的整除”中的“数”，你是怎样理解的？（生：……）它表示什么数？（整数）师：那与整除有关的知识，我们都是在什么数范围内研究的？（生：整数）下面我们就来具体复习数的整除和相关内容。
二、整除的意义师：通过预先的复习，谁知道什么叫“整除”？{板书：整除}（生……多几个学生说）师小结：{电脑显示}整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。
:师：你能根据整除的意义来判断下面几个算式中被除数能否被除数整除？1、90÷9=102、10÷3=3……13、1.2÷0.3＝44、18÷5＝3.65、25÷1=25师：象算式3、4、叫被除数被除数怎么样？（除尽）那整除和除尽之间有什么关系？（生：……）小结：整除属于除尽，除尽不仅仅包括整除。
（用集合图表示）三、复习与整除相关的知识并组成网络师：通过刚才复习整除的意义，你们能想到一些与整除相关的知识吗？先在四人小组内交流一下，再集体交流。
（学生活动）师：通过整除我们可以想到什么？生：倍数、约数、能被2、3、5整除的数的特征。
师：那通过倍数、约数、能被2、3、5整除的数的特征又能想到什么呢？想到了那些还可以想到什么呢？请你们以小组为单位，集思广益，根据它们之间的联系把它们串联成一张网络图。
六年级下册数学课件数的整除1_浙教版 (共13张PPT)
5是20的 素因数，因数 ，
4是20的 因数，ຫໍສະໝຸດ 10是20的 因数，
20是20的 因数 ，
2是 素数 ，
2和5是 互素
，
2和5是20的 素因数，因数 。
1、把210分解因是（ 2×3×5×7 ） 2、A=2×2×3×5，B=2×3×3×5，A 与B的最大公因数是（ 5 ），最小 公倍数是（ 180 ）。
整除与除尽；
10÷6＝1……4 7÷70＝0.1 9÷1＝9
整除
24÷3＝8 40÷19＝2……2 10÷4＝2.5
不能整除
9÷1＝9
7÷70＝0.1 10÷6＝1……4
24÷3＝8 10÷4＝2.5 40÷19＝2……2
除尽
除不 尽
用素数，因数，素因数，互素填空。
5是素数
，
2是20的 素因数，因数 ，
解 把42分解因数 42=2×3×7
一个数的约数包括1和它自身。 42的约数有：
1、2、3、7、42、
（2×3=）6、（2×7=）14、（3×7=）21
其中是3的倍数的数有：3、6、21、42。 答：这个数可以是3、6、21、42。
已知两整数m与n的最大公因数是15， 最小公倍数是90，且m＜n， （1）求：m、n的值。
解：m =3× 5 × a n=3 ×5 ×b (0<a<b)
3× 5 × a ×b =90所以a=2，b=3或者a=1，b=6 此时m=30，n=45或者 m=15，n=90
（2）如果m、n没有倍数关系，求m、n的大小。
此时m=30，n=45。
谢谢！
浙教版六年级数学下册
第五章 数的整除（二）
数的整除
一个整数
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第二讲 数的整除性
一、整除的一些定义：
1．整数的定义：对于整数a ，b （b ≠0），如存在整数q ，使a=bq （即a ÷b=q ）则称a 能被b 整除，或称b 能整除a ，记为b │a 。
我们称a 是b 的倍数，或b 是a 的约数。
2．带余数除法：对于整数a ，b （b ≠0），如a 除以b 得到的整数商q 和一个余数r （0≢r ＜b 且为整数），则a ，b ，q ，r 间有如下关系：a=bq+r 。
3．同余的定义：两个整数a ，b ，如果它们除以自然数n 所得的余数相等，则称a ，b 对于模n 同余，记作a ≡b （modn ）。
4．剩余类的定义：用任意一个自然数去除以一个自然数b ，根据除数b 以及余数r 的大小，我们可以把全体自然数进行分类。
一个自然数被b 除时的余数只能有0、1、2、…、b-2、b-1共b 种，因此我们把自然数按照余数的情况分成b 类，这类就是剩余类。
二、整除的一些基本性质：
1．如果两个整数都能被一个自然数整除，那么这两个整数的和与差也能被这个自然数整除，即： 若，m │a ，m │b ，则m │（a ±b ）。
2．如果两个整数的和或差及一个整数能被一个自然数整除，那么另一个整数也能被这个自然数整除，即： 若，m │a ，m │（a ±b ），则m │b 。
3．如果一个整数能被一个自然数整除，那么这个整数的整倍数也被这个自然数整除，即： 若，m │a ，则m │ka （k 是整数）。
4．如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个整数能被这两个互质数的积整除，即： 若，m │a ，m │b ，（a ，b ）=1，则m │ab 。
5．如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个整数能被这两个互质数中任一个整除，即： 若（a ，b ）=1，且m │ab ，则m │a ，且m │b 。
6．．如果一个自然数能被第二个自然数整除，第二个自然数能被第三个自然数整除，那么一个自然数能被第三个自然数整除，即：
若，b │a ，c │b ，则c │a 。
三、习题：
1．求无重复数字，能被75整数得五位数563b a 。
2．某校六年级共有学生72人，每人买一本语文课外读物和一本数学课外读物。
已知两本的书得单价不同，但语文课外读物和数学课外读物的总价都在200元和300元之间，且元位上得数字是8，角位上得数字是4，问，每个学生为购买这两本书付了多少钱？
3．有这样两个五位数，一个能被11整除，另一个能被7整除。
它们的前四位都是9876，而末位数字不同。
求这两个五位数的和。
4．求用1、2、3、4、5、6这六个数字组成一个六位数abcdef ，其中不同的字母代表1到6不同的数字。
要求前两位数字组成的两位数ab 能被2整除，且前三位数abc 能被3整除，前四位数abcd 能被4整除，前五位数abcde 能被5整除，abcdef 能被6整除。
5．有1995个1组成的11…1能否被41整除？
6．证明任意一个三位数连着写两遍得到的六位数一定同时能被7，11，13整除。
7．两个自然数的各位数字中都只用到了1。
4。
6。
9这四种数字，问：是否有可能其中的一个自然数正好是另一个自然数的17倍？
8．在1994的右边补上三个数字，变成一个七位数M ，若M 能被3，4，5整除，求M 的最大值。
9．求用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成的能被99整除的最大的十位数。
10．已知P 和3)8(2-+P 都是质数，求P （P+1）（P+2）（P+3）的值。
11．三个质数的和为140，求这三个质数的乘积最大值。
12．写出12个都是合数的连续自然数。
13．将下面八个数平均分成两组，使这两组的乘积相等。
14，30，33，35，39，75，143，169
14．若a ，b ，c ，d 是互不相等的自然数，且a ×b ×c ×d ＝1988，求a+b+c+d 的最大值。
15．甲、乙两数都只含有质数3和5，它们的最大公约数是75。
已知甲数有12个约数，乙数有10个约数，则甲乙两数的最小公倍数是多少？
16．小明的储蓄筒内有二分和五分的硬币。
他把这些硬币倒了出来，估计有五六元。
小明把这些硬币分成两堆，这两堆的钱数相等，而且第一堆里二分和五分的硬币个数相等，第二堆里二分的总钱数与五分的总钱数相等，求小明一共存了多少钱？
17．有15个同学，每个同学有一个号码，从1到15。
1号同学写了一个自然数a ，第i 号同学说“a 能被i 整除”，即每个同学都说这个数能被他的编号数整除。
1号同学作了验证，发现有编号连续的两位同学说的不对，其余都对，问：
（1）说的不对的两个同学，他们的编号是多少？
（2）若编号为1的同学写得是五位数，那么这个五位数是多少？
18．用
3
19943333个除以7。
余数是多少？ 19．有一个整数，用它去除63、91、129所得到的三个余数之和为25，求这个数。
20．390，369和425被某整数除时余数相同，试求2581被这个整数除时的余数。
21．已知a ，b ，c 三个数中，一个是7，一个是8，一个是9。
问（a-1）（b-2）（c-3）是奇数还是偶数？
22．证明：任给五个整数，必能从中选取三个，使它们的和能被3整数。
23．证明：任给32个自然数，一定能从中选出6个数，用减号、乘号和括号连接成一个式子，它的运算结果一定是1984的倍数。
24．将一个三位数的数字重新排列后能得到最大的三位数减去最小的三位数所得得差正好等于原来得三位数，求这个三位数。
25．设有六位数abcde 1乘以3后，变成1abcde
，求这个六位数。
26．张帆在1994年时得年龄正好等于他出生那年年号的四个数字之和，求他的年龄？
27．任意写出一个三位数)(c a abc >，把它倒转后得到cba ，若def cba abc =-，把def 倒转后得到fed ，证明def +fed =1089。
28．一辆汽车在公路上匀速行驶，司机看见里程碑上得数字是个二位数ab ，一个小时后，看到得里程碑上面得数字是ba ，再过一个小时，里程碑上数字是b a 0。
问这三个里程碑上得数字各是多少？汽车得速度是多少？。