第二讲 数的整除1

第二讲 数的整除性

一、整除的一些定义：

1．整数的定义：对于整数a ，b （b ≠0），如存在整数q ，使a=bq （即a ÷b=q ）则称a 能被b 整除，或称b 能整除a ，记为b │a 。我们称a 是b 的倍数，或b 是a 的约数。

2．带余数除法：对于整数a ，b （b ≠0），如a 除以b 得到的整数商q 和一个余数r （0≢r ＜b 且为整数），则a ，b ，q ，r 间有如下关系：a=bq+r 。

3．同余的定义：两个整数a ，b ，如果它们除以自然数n 所得的余数相等，则称a ，b 对于模n 同余，记作a ≡b （modn ）。

4．剩余类的定义：用任意一个自然数去除以一个自然数b ，根据除数b 以及余数r 的大小，我们可以把全体自然数进行分类。一个自然数被b 除时的余数只能有0、1、2、…、b-2、b-1共b 种，因此我们把自然数按照余数的情况分成b 类，这类就是剩余类。

二、整除的一些基本性质：

1．如果两个整数都能被一个自然数整除，那么这两个整数的和与差也能被这个自然数整除，即： 若，m │a ，m │b ，则m │（a ±b ）。

2．如果两个整数的和或差及一个整数能被一个自然数整除，那么另一个整数也能被这个自然数整除，即： 若，m │a ，m │（a ±b ），则m │b 。

3．如果一个整数能被一个自然数整除，那么这个整数的整倍数也被这个自然数整除，即： 若，m │a ，则m │ka （k 是整数）。

4．如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个整数能被这两个互质数的积整除，即： 若，m │a ，m │b ，（a ，b ）=1，则m │ab 。

5．如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个整数能被这两个互质数中任一个整除，即： 若（a ，b ）=1，且m │ab ，则m │a ，且m │b 。

6．．如果一个自然数能被第二个自然数整除，第二个自然数能被第三个自然数整除，那么一个自然数能被第三个自然数整除，即：

若，b │a ，c │b ，则c │a 。

三、习题：

1．求无重复数字，能被75整数得五位数563b a 。

2．某校六年级共有学生72人，每人买一本语文课外读物和一本数学课外读物。已知两本的书得单价不同，但语文课外读物和数学课外读物的总价都在200元和300元之间，且元位上得数字是8，角位上得数字是4，问，每个学生为购买这两本书付了多少钱？

3．有这样两个五位数，一个能被11整除，另一个能被7整除。它们的前四位都是9876，而末位数字不同。求这两个五位数的和。

4．求用1、2、3、4、5、6这六个数字组成一个六位数abcdef ，其中不同的字母代表1到6不同的数字。要求前两位数字组成的两位数ab 能被2整除，且前三位数abc 能被3整除，前四位数abcd 能被4整除，前五位数abcde 能被5整除，abcdef 能被6整除。

5．有1995个1组成的11…1能否被41整除？

6．证明任意一个三位数连着写两遍得到的六位数一定同时能被7，11，13整除。

7．两个自然数的各位数字中都只用到了1。4。6。9这四种数字，问：是否有可能其中的一个自然数正好是另一个自然数的17倍？

8．在1994的右边补上三个数字，变成一个七位数M ，若M 能被3，4，5整除，求M 的最大值。

9．求用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成的能被99整除的最大的十位数。

10．已知P 和3)8(2-+P 都是质数，求P （P+1）（P+2）（P+3）的值。

11．三个质数的和为140，求这三个质数的乘积最大值。

12．写出12个都是合数的连续自然数。

13．将下面八个数平均分成两组，使这两组的乘积相等。

14，30，33，35，39，75，143，169

14．若a ，b ，c ，d 是互不相等的自然数，且a ×b ×c ×d ＝1988，求a+b+c+d 的最大值。

15．甲、乙两数都只含有质数3和5，它们的最大公约数是75。已知甲数有12个约数，乙数有10个约数，则甲乙两数的最小公倍数是多少？

16．小明的储蓄筒内有二分和五分的硬币。他把这些硬币倒了出来，估计有五六元。小明把这些硬币分成两堆，这两堆的钱数相等，而且第一堆里二分和五分的硬币个数相等，第二堆里二分的总钱数与五分的总钱数相等，求小明一共存了多少钱？

17．有15个同学，每个同学有一个号码，从1到15。1号同学写了一个自然数a ，第i 号同学说“a 能被i 整除”，即每个同学都说这个数能被他的编号数整除。1号同学作了验证，发现有编号连续的两位同学说的不对，其余都对，问：

（1）说的不对的两个同学，他们的编号是多少？

（2）若编号为1的同学写得是五位数，那么这个五位数是多少？

18．用

3

19943333个除以7。余数是多少？ 19．有一个整数，用它去除63、91、129所得到的三个余数之和为25，求这个数。 20．390，369和425被某整数除时余数相同，试求2581被这个整数除时的余数。

21．已知a ，b ，c 三个数中，一个是7，一个是8，一个是9。问（a-1）（b-2）（c-3）是奇数还是偶数？

22．证明：任给五个整数，必能从中选取三个，使它们的和能被3整数。

23．证明：任给32个自然数，一定能从中选出6个数，用减号、乘号和括号连接成一个式子，它的运算结果一定是1984的倍数。

24．将一个三位数的数字重新排列后能得到最大的三位数减去最小的三位数所得得差正好等于原来得三位数，求这个三位数。

25．设有六位数abcde 1乘以3后，变成1abcde

，求这个六位数。 26．张帆在1994年时得年龄正好等于他出生那年年号的四个数字之和，求他的年龄？

27．任意写出一个三位数)(c a abc >，把它倒转后得到cba ，若def cba abc =-，把def 倒转后得到fed ，证明def +fed =1089。

28．一辆汽车在公路上匀速行驶，司机看见里程碑上得数字是个二位数ab ，一个小时后，看到得里程碑上面得数字是ba ，再过一个小时，里程碑上数字是b a 0。问这三个里程碑上得数字各是多少？汽车得速度是多少？