有限元方法课件

第1讲 抛物问题有限元方法

1、椭圆问题有限元方法

考虑椭圆问题边值问题：

（1） ()⎩

⎨⎧Ω∂∈=Ω

∈=∆-x u x x f u ,0,

问题（1）的变分形式：求()Ω∈1

0H u 使满足

（2） ()()()Ω∈∀=1

,

,,H v v f v u a ()v u a ,的性质，广义解的正则性结果。

区域Ω的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。

剖分区域上分片k 次多项式构成的有限元空间()Ω⊂1

0H S h 。

h S 的逼近性质，逆性质：

∞≤≤≤≤≤≤-+-+p k k m u

Ch u

I u p

k m k p

m h 1,1,0,,11,

h h p

m h

q

n p n l m q

l h

S v l m q p v Ch

v ∈∀≤∞≤≤≤---,,,1,),

0(max ,

这里，h h S u I ∈为u 的插值逼近。

问题（2）的有限元近似：求h h S u ∈使满足 （3） ()()h h h h h S v v f v u a ∈∀=,

,,

（3）的解唯一存在，且满足f M u h ≤1

。

（3）的解()()∑==

N

i i i h x u x u 1φ所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：

()()N j f u a j

N

i i

j

i

Λ,2,1,

,,1

==∑=φφφ

（4） f u K ϖ

ϖ=

刚度矩阵()()

N

N j

i a K ⨯=φφ,的由单元刚度矩阵组装而成。

-1H 模误差分析：由（2）－（3）可得

（5） h h h h S v v u u a ∈∀=-,0),(

由（5）可首先得到

()()11

21

,,u I u u u M u I u u u a u u u u a u u r h h

h h h h h

--≤--=--≤-

则得到

（6） 1,1

11

≥≤-≤-+k u

Ch u I u C u u k k h h

2L －模误差分析

设21

0H H w I ∈ 满足

h h u u C w w

in u u w -≤=Ω-=∆-Ω

∂2,

0,,

用h u u -与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到

()()w u u A u u w A u u h h h

,,2

-=-=-

()h

h

h

h h h h u u u u Ch w

u u Ch w I w u u C w I w u u A --≤-≤--≤--=1

2

1

11,

再利用-1H 模误差估计结果，得到 （7） 1,1

11

≥≤-≤-++k u

Ch u u Ch u u k k h

h

最优阶误差估计和超收敛估计概念。

当()t u u =与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得 （8） h h h t h S v v u u a ∈∀=-,0),)((

利用（7），类似分析可得 （9）

()()1,1

11

≥≤-+-++k u Ch u u h u u k t

k t

h t h

2、抛物问题半离散有限元方法

考虑抛物型方程初边值问题：

（10） ()()()()()()()()⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧Ω∈=Ω∂⨯∈=Ω⨯∈=∆-∂∂x x u x u T x t x u T x t x t f u t u

,,0,0,,0,0,,

,0

（10）的变分形式：求 ()())()0(,

],0(:01

0x u u H T t u =Ω→ 使满足

（11） ()()()()Ω∈∀=+1

,

,,,H v v f v u a v u t

（11）的半离散有限元近似：求 ()h h S T t u →],0(:使满足 （12） ()()()⎩⎨

⎧∈∈∀=+h

h h

h h h h h t h S u S v v f v u a v u )0(,,,,,

令()()()∑==

N

i i

i h x t u t u 1

φ，代入（12）

，依次取j h

v φ=可导出常微分方程组：

（13） T t t f t u K dt

t u d M ≤<=+0),

()()

(ρρρ

其中N N j i M ⨯=)),((φφ为质量矩阵，K 为刚度矩阵。()j j T N f f f f f φ,,),,(1==Λρ

。

求解常微分方程组（13），得到()(),,,1T

N u u t u Λρ

=代回()t u h 的表达式，即得半离散有限元

解()t u h 。

定理1. 问题（12）的解h u 唯一存在且满足稳定性估计：

（14） ()()()0,

00

>+≤⎰t d f u t u t

h h ττ

证明：在（12）中取h h u v =得到

()()()h h h h u f u u a t u dt

d ,,212

=+ 整理为（注意()v u a ,是正定的）

()

f t u dt

d

h ≤ 对此式积分，证毕。

误差分析。引进解u 的椭圆投影逼近：h h S u R ∈满足 （15） ()h h h h S v v u R u a ∈∀=-,0,

根据椭圆问题的有限元结果可知 （16） ()1,1,0,1

1

≥=≤-++k s u

D Ch

u u D k s t k h s

t

分解误差：θη+=-+-=-h h h h u u R u R u u u

η的估计由（16）式给出，只须估计h S ∈θ。

由（11），（12）和（15）知，θ满足

()()()h h h t h h t S v v v a v ∈∀-=+,

,,,ηθθ

取θ=h v ，类似稳定性论证可得