高一数学 第二章 函数 知识点归纳(一)

高一数学第二章函数知识点归纳（一）

2.1.1 函数

1.函数的概念：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的

数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。

2.定义域：函数定义中，x叫做自变量，自变量x的取值范围称作函数的定义域。

3.值域：所有函数值构成的集合。

4.函数三要素：定义域，对应法则，值域。

其中值域是由定义域和对应法则确定。

5.函数的实质：两个非空数集之间“任意对唯一”的特殊对应关系。

6.区间的表示：

（1）a≤x ≤b区间表示：[a,b] (读作：闭区间a到b)

（2）a

（3）a≤x

（4）a

（5）a≤x 区间表示： [a,+∞) (读作：左闭区间a到正无穷大)

（6）x

（7） R 区间表示： (-∞,+∞) (读作：负无穷大到正无穷大)

（8）x ≤a或b

(读作：负无穷大到a右闭区间并上开区间a到b)

说明：①区间表示一段连续的实数。②区间实质也是集合。

③定义域和值域一定要用区间或集合形式表示。

7.映射的定义：设A、B是两个非空集合

．．．．，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与x对应，则称对应f是集合A到集合B的映射。

这时称y是x在映射f的作用下的象．，记作f(x). 于是y=f(x)，x∈A。

x称作y的原象

．．。映射f也可记为f：A→B．

7. 概念的延伸：

（1）映射三要素：定义域，值域，对应法则

（2）A、B是两个非空集合可以是

．．．．．．．任意集合

．．．．。．

（3）映射是有方向的，A到B的映射与B 到A的映射是不同的。

（4）映射的本质：A中任何一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应（“即任意对唯一”）

（5）允许B中元素没有原象。

（6）映射只能是“一一对应”或“多一对应”，不能是“一多对应”

8. 一一映射：

映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素

．．．．，在集合A中都有且只有一个原象

．．．．．．．．．，

只是称这两个集合间的元素存在着一．一对应关系

．．．．．，并把这种映射叫做集合A到集合B的一一映射9. 映射与函数的关系：

函数是非空数集到非空数集的特殊映射。10.映射个数的确定：

设集合A中有a 个元素，集合B中有b个元素，则可以构造b a种集合A到集合B的映射。

11.具体函数求定义域要求：（1）偶次根号下被开方数大于等于零。

（2）分式中分母不为零。

（3）零的零次幂无意义。

12.抽象函数求定义域解题关键：（1）定义域是指函数定义中自变量x 的取值范围。

（2）相同法则作用范围保持不变。

2.1.2节函数的表示方法

1.函数的表示方法：

（1）列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法。

（2）解析式法：在函数y=f(x), x∈A中，f(x)是用代数式（或解析式）来表达的。

（3）图象法：用函数图象来表示函数关系。

2.对号函数： (0)

a

y x a

x

=+>

x x

x x

⎧>

⎪

⎨

<

⎪⎩

当时，时，函数取得最小值

当时，时，函数取得最大值

3.高斯函数：不超过x的的最大整数（即向下取整函数）。记作：y= [ x ] .

4.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则的函数。

5. 分段函数的值域是各段函数值域的并集。

6.一般地，设函数

()

y f x

=的定义域为A，区间M A

⊆,如果取区间M中的任意两个值12

,x x

，

改变量

21

x x x

∆=->，则：当

21

()()0

y f x f x

∆=->时，就称函数()

y f x

=在区间M上是增函数。

当

21

()()0

y f x f x

∆=-<时，就称函数()

y f x

=在区间M上是减函数。

7.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在区间M上具有单调性。

区间M称为单调区间。

8.设函数

()

y f x

=的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x D

-∈且()()

f x f x

-=-，则这个函数叫做奇函数。

9.设函数

()

y g x

=的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x D

-∈且()()

g x g x

-=，

则这个函数叫做偶函数。

10.如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。

11.如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于与y轴对称，则这个函数是偶函数