对归纳法几个问题的浅析
《数学归纳法》教法浅探(全文)
《数学归纳法》教法浅探(全文)【【数学归纳法是中师数学的教学难点和教研重点，原因是这部分知识对于学生来说，他们的知识准备不足，然而他们具有足够的生活经验。
正因为如此，从日常生活经验中体验数学归纳法，为突破难点提供了感性材料。
教材不可能提供大量的事例，这就要求教师在备课时深入挖掘，准备足够的材料一、设悬置疑巧引入学习兴趣盎然来例1、某主妇养小鸡十只，公母各半。
她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。
天天早晨她拿米喂鸡。
到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。
”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。
这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了，虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。
我们不妨把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”。
我们介绍以上资料，不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来.实质上：不完全归纳只是验证了有限个事件，所验证的各项与其后面的项不存在因果关系，故并不能保证其后各项都成立。
也就不能保证命题的成立。
所以用不完全归纳法可能给出错误的结论。
师生共同回顾等差数列通项公式推导过程：等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，一但错误，我们已建立的数列大厦必将倒塌，必须对其进行抢救性证明，如何证明这类有关正整数的命题呢？然而对于“无限”的命题，我们又不可能将其一一验证，数学归纳法则巧妙地解决了这一问题。
数学归纳法则呼之欲出。
二、创设情景共探讨柳暗花明又一村教师可以利用多媒体播放多米诺骨牌倒下片断，以及放鞭炮的片断。
看过之后教师提问学生多米诺骨牌游戏操作的方法？教师引导学生总结出两个条件：第一，必须推倒第一块，第二个条件是假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块。
若上述两个条件都满足，我们可以断定什么结论？学生回答：全部的骨牌都倒下。
数学归纳法课堂后的一些思考
数学归纳法课堂后的一些思考1查资料的过程中我发现我们同学出现了一些概念性错误,比如我就把数学归纳法归纳为完全归纳法。
讲课时出现这样的错误时非常不应该的。
数学归纳法不是完全归纳法.归纳与演绎相对,指人的思维方式与推理方法.原来教材对归纳法的解释是指从一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.有人认为,更改归纳法定义,去掉”有限”,即可将数学归纳法划进完全归纳法的范畴,这是不对的.从认识角度,人能否直接观察无限个特殊事例?人如何观察无限个特殊事例?在数学上,是通过”有限”去认识”无限”.典型的例子是数学归纳法与极限概念.那么,数学归纳法究竟是什么?应该说它是一个推理方法,它是归纳推理还是演绎推理?从数学归纳法的本质讲,数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理(5)即归纳公理的直接应用,从推理的角度理解数学归纳法,观察归纳法的两个步骤:首先说明一个命题是正确的,接着建立递推关系:如果一个命题正确,那么它后面的一个命题也正确.由这两个步骤说明命题对所有的自然数都成立.从中可以看出,数学归纳法通过两个步骤,利用递推说明所有的命题即P(n)(nIN*)都是正确的.它并不是”从有限个(即便改为无限)特殊事例中得到一般规律”,所以,从推理角度思考,不应该将数学归纳法划入归纳法的范畴,数学归纳法中有更多的演绎成份.所以,有人也将数学归纳法称为”递推证法”.《再谈数学归纳法的教学设计200093 上海市控江中学曾国光》这个问题其实之前我们小组的同学互相之间讨论过,但是没有讨论出一个让大家信服的结果出来,网上查资料的时候也没有查到,这个情况让我深刻地意识到要真正做一个数学老师我们还差得很远很远……而且微格教学展示课的时候我们小组的展示同学卜怡情把数学归纳法归纳为完全归纳法的时候老师也没有提出质疑,所以我就更纠结了,我好想知道数学归纳法到底是不是完全归纳法,希望老师能给我解答~2平时的作业和练习中,学生暴露出来的一个问题就是不大明白数学归纳法两个步骤的关系,特别是容易忽视第一步,常常省略了第一步.我认为比较好的方法是应用两个反例,让学生自己验证数学归纳法的两个步骤能否省略其中一步。
数学的归纳法解析总结
数学的归纳法解析总结2020-10-27数学的归纳法解析总结数学归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础，第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数(或n≥n且n∈N)结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的.推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
常见数学归纳法及其证明方法(一)第一数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，对于一般数列取值为1，但也有特殊情况(2)假设当n=k(k≥[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题(1)验证n=n0时P(n)成立(2)假设no。
数学归纳法中常见的错误
数学归纳法中常见的错误王晓华数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的，是高考测试内容之一。
数学归纳法有其独特的固定步骤：1。
证明当n 为某一个值时，结论是成立的。
2。
假定n=k 时成立，证明n=k+1时，结论也是成立的。
但是同学们在运用过程中常常犯错。
下面我们就一些常见的错误简要分析。
一、逻辑性错误例1：设n ∈N*，求证：2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1证明：假设当n ＝k 时等式成立，即2＋4＋6＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1那么，当n ＝k ＋1时，有2＋4＋6＋…＋2k ＋2(k+1)＝k 2＋k ＋1＋2(k+1)＝(k+1)2＋(k+1)＋1因此，对于任何n ∈N*，等式都成立。
在数学归纳法的运用过程中，很多同学会忘记了第一步，数学归纳法的第一步是递推的基础,有了此基础,在第二步中的假设才能成立,才不是真正意义上的纯粹假设. 第二步是递推的依据,当假设中的某些情况(n ≥n 0时n 取值较小的情况)成为事实后,依据第二步就可知当n 取下一个值时命题也成立,如此又增加了假设中变为命题成立的n 的取值,经不断地循环递推便得到对满足n ≥n 0的所有正整数命题都成立.再看例2：设n ∈N*，求证：2n >n 2.证明（1）当n ＝1时，21>12，不等式显然成立，（2）假设当n ＝k 时不等式成立，即2k >k 2，那么当n ＝k+1时有2k ＋1＝2·2k >k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k+1)2这就是说，当n ＝k+1时，不等式也成立。
根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N*，不等式都成立。
在第一步中的初始值不一定从1取起,也不一定只取一个数(有时需取n=n 0,n 0+1等),证明应根据具体情况而定.二、伪数学归纳法如下证明对吗？例3：用数学归纳法证明：n n )21(12121212132-=＋＋＋＋ 证明：(1)当n=1时，左边＝21，右边＝212111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，左边＝右边，等式成立。
关于数学归纳法的几个问题
关 于 数 学 归 纳 法 的 几 个 问 题段 绍 容（余庆县城关中学，贵州 余庆 564400 ）摘 要：数学归纳法是中学数学教学内容中的重点与难点之一。
重点是因为数学归纳法使用面比较广；难点则是因为它是学生第一次接触从有限到无限的认识方式，也初步认识自然数的“后继”特征，同时涉及到的知识和技巧较多。
本文讨论了数学归纳法与归纳法的关系、数学归纳法的理论依据、基本形式和教学中较多出现的现象等。
关键词： 数学 归纳法 问题中图分类号： 文献标识码：E 文章编号： 1009—3583 （2004）04—00On Several Problems in Mathematical DeductionDuan Shaorong( Yuqing Suburban Middle School Yuqing County Guizhou )Abstract : Mathematical deduction is one of key and different points in middle school mathematics teaching. It is a key point because it is widely used; it is a difficult point because it is the first time for students contact the way of realizing finite and infinite, thus recognizing subsequence trait in natural number. It deals with various knowledge and techniques. This essay is to discuss the relationship between mathematical deduction and deduction, theoretical basis, its basic form and problems in teaching.Key words: mathematics deduction problem一、归纳法与数学归纳法归纳法是人类认识自然、认识社会及认识自我的重要思想方法，是寻找真理和发现真理的主要手段，科学上的无数定理、定律都是归纳的结果。
数学归纳法运用中的几个问题
。
它 是 数 学 归纳
”
”
数 学 归 纳法 第二 形式
n 涉 及 自 然 数 的 命题
,
)是一 个
法 的 核心 思 想 方 法
缺 少 的 组 成 部分
。
若
。
继 有效 的 不 可 — 后 继 有效 的 合 理 性在
“
:
“
后
i ) 11 )
证 明 P ( k ) 成立
n 在 P ( r
。
( k 〔 N )
n
,
则 P ( ) 对 所 有 自然 数 ( > k ) 均
n
n
,
有其 它 的 自然 数
n
。
可 以认 为
,
完 成 归 纳 推理
。
成立
纯
,
。
的 过程 是 这 个 性 质 的 直 接 应 用
n
与
n
在 运 用 数 学归 纳 法 时
虽 然 思 路 比较 单
。
+
1
是 密 切 相关 的
,
若 失 去了
“
就无
不 及 演 绎推 理 广
,
。
(k
1 ) + 1 命题 P ( k + 2
。
) 是 否 还具 有 P ( k
1)
没 有 ( 在归 纳 假 定条 件 下 ) 完 成 归 纳 推 理 这
的 性质
由 此可 见
“
,
归纳 假定是 欲 证 命 题 的
一 步骤
,
可 是归 纳
属 性的
传递
”
者
,
有承 上启 下 的 功 能
。
只
归纳概括题存在的问题及解题技巧讲解
归纳概括题存在的问题及解题技巧讲解1.归纳概括题存在的问题：特点一：题目字数限制。
在找到要点之后，最让考生头疼的莫过于要在规定的字数之内把答案写出来，且归纳概括题目的字数要求往往少于300字，而考生通常会超字数。
特点二：有些要点过长。
根据归纳概括题目的特点，有些要点很直接考生可以直接抄写即可，但是有些要点需要从很长的句子中提炼，甚至要从整段话中提炼，考生便无从入手。
2.技巧详解：由于前面所述归纳概括题目的两个特点，考生在作答此题型时可以运用删除不必要修饰词的方法，让答案更加简洁。
所谓“不必要的修饰词”是指在长句子中删除或者留下都对原句没有任何影响的词语或短语。
3.例题：示例：根据给定资料，概括我国目前公益性质文化场馆面临的困难。
(20分) 要求：概括全面，条理清楚;语言简洁，书写工整;不超过200字。
【材料引用】尽管我国文化馆、博物馆等公共文化设施总数不断增加，但相对于发达国家而言，我国公共文化设施总体发展程度仍然较低，据了解，英国伦敦市拥有400多个大小剧院、音乐厅及现场音乐表演场地，每10万人拥有1.4个剧场，每10平方公里拥有1.3个剧场，每年大型剧场的入场人次达1240万;拥有近600个图书馆，395家公共图书馆，平均每10万人拥有5家公共图书馆，人均藏书量5本;拥有22座国家级博物馆，200余座非国家级别的博物馆，每10平方公里有1.1座博物馆，即每个社区附近都会有博物馆，而我国平均每40万人才拥有1座博物馆。
【解析】要点点拨：在这段话中很明显谈到了“但相对于发达国家相比，我国公共文化设施总体发展程度仍然较低”是在描述当前公益性质文化场馆所面临的问题，下面通过一系列英国数据作对比，那么在这个要点中，数据是不能写在答案中的，考生需要根据数据提炼出数据背后所反映的信息，而“整体水平低”是对数据的整体概括。
要点即：但相对于发达国家相比，我国公共文化设施总体发展程度依然较低。
技巧点拨：在这个要点中，“仍然”一词是修饰词，根据判断我们可以发现，这个词去掉或者留下，不会给整句话带来任何影响，因此属于我们的技巧中所谈到的“不必要修饰词”;“相对于发达国家而言”这句话同属于“不必要修饰词”。
数学归纳法需讲明的几个问题
．
。
所 以 增 加 的 式 子 为
＋ ｊ
１ 一 － １ ＿
。
．
左边＝ 右边 ， 等式成立 。
练 习 ： 数 学 归 纳 法 证 明 （ １ （＋ ）ｎ ３ … （ ＋ ）２ ・ ・ 用 时 ） ｎ ２ （ ＋ ） ｎ ｎ ＝ ｎ １
（ ）假 设 当 ｎ ｋ时 ， 等 式 成 立 ， 即 １ ２ ＋ … … ＝ ２ ＝ ＋ ３＋
加 应 由 ＋ ） ｋ决 定 。 １ｆ ） － ｌ
例 ３用 数学归纳法 证明 １ １十 ． １ ＜ｎ （ ｎ＞ ） １ ．…‘ 几∈ １
（ ） 设 当 ｎ 时 命 题 成 立 （ ２假 ＝ ∈Ｎ 且 ｋ 。 ， 导 出 当 ｎ ≥ｎ ） 推 ＝ ｋ ｌ时 。 题 也 成 立 。 （ ＋ 命 推理 的依 据 ） 如此 简单 的两 步 怎 么会 有证 明命 题 的 作 用 ？ 我们 下 面 以 多
ｋ张 骨牌 不 能 拿 走 ． 们 认 为 在 整 个 实 验 过 程 中必 须 保 持 骨 牌 我 倒 下 的 连 续 性 。 缺 了第 １步 ， 没 有 了 推 理 的 基 础 ， 了第 ２ 就 缺
当 左 ＝ ｝ … ； 边１ ＋ ＋ ＋ １ 当 １， ＝１｝． ＋ １ 一 ‘ ｎ＋ 左 １ ＋ ＋ ＋ 十 ＋ 时 边 ＿ … ． …
１
； 以增 加 的式 子 为 ＋ 所
＋ …＋ …
＿ 。 １
分 析 由 ｎ ｋ到 ｎ ｋ ＝ ＝ ＋ｌ式 子 的变 化 时 ． 上 下 对 照 ． 可 能 应 有 仅 在 后 面 增 加 项 ． 有 可 能 出 现前 面减 少 项 的情 况 。 也
例 ４用 数 学 归 纳法 证 明 １
：
浅谈归纳法
浅谈归纳法哲学结业论文2012/5/10浅谈归纳法一、归纳法归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。
它通过许多个别的事例或分论点，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论。
归纳法可以先举事例再归纳结论，也可以先提出结论再举例加以证明。
前者即我们通常所说之归纳法，后者我们称为例证法。
例证法就是一种用个别、典型的具体事例实证明论点的论证方法。
归纳法是从个别性知识，引出一般性知识的推理，是由已知真的前提，引出可能真的结论。
它把特性或关系归结到基于对特殊的代表(token)的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式(pattern)的有限观察的规律。
生活中，我们经常用到归纳法，比如，天会黑，天会亮，四季会轮回，就算我们不知道为什么，我们依然知道这些事情会发生。
还有老人告诉我们的一些经验，比如看云识天气，也许并不是每个人都知道为什么，我们相信，是因为长辈们运用归纳法历经几千年将这些经验传下来的。
同时我们知道，这些经验并不是所有时候都是准确无误的，我们接受这些说法的同时也接受了它们带来的误差。
二、培根和穆勒的古典归纳法古典归纳逻辑，是由培根创立，经穆勒发展的归纳理论.它主要研究完全归纳推理，不完全归纳推理(简单枚举归纳和科学归纳),求因果五法等.亚里士多德探讨了归纳.他在<前分析篇>谈到简单枚举归纳推理.他举例说，内行的舵手是最有效能的.所以，凡在自己专业上内行的人都是最有效能的.古典归纳逻辑创始人是17世纪英国弗兰西斯培根，他在<新工具>中，贬演绎，倡归纳，首次提出整理和分析感性材料的"三表法",即具有表，缺管表和程度表，认为在此基础上，通过排除归纳法等归纳方法，可以从特殊事实"逐级"上升，最后达到"最普遍的公理".19世纪英国约翰穆勒(John Mill)是古典归纳逻辑的集大成者，他在<逻辑学体系>中，通过总结自培根以来古典归纳逻辑的研究成果，系统论述了"求因果五法",即求同法，求异法，求同求异并用法，共变法和剩余法，对其形式和规则做了具体规定和说明.三、梅纳德凯恩斯的现代归纳法现代归纳逻辑，也称概率逻辑.它是由梅纳德凯恩斯(Magnard Keynes)创立，由莱辛巴哈(Reichenbach),卡尔纳普（Rudolf Carnap)科恩等发展，运用概率论，形式化的公理方法等工具，探索归纳问题所取得的成果。
数学归纳法的分析探讨
数学归纳法的分析探讨谢立亚，兰州大学附属中学（甘肃兰州730000）数学归纳法是数学中的一个重要的证明方法，也是中学数学的一个重要内容.多年以来，国内有众多的文章讨论数学归纳法是否是归纳法或者演绎法的问题[1]，对数学归纳法在中学数学中的教学亦产生了不小的影响.通过对国家高中数学课程标准[2]和普通高中课程标准实验教科书——《数学》以及与数学归纳法有关的一些文献学习和思考，笔者以为，以数学归纳法知识容量之大、方法精妙之极、思想维度之广、文化内涵之丰，单一地肯定或者否定它是什么方法，或许有失偏颇.尽管数学方法是处理、探索、解决问题，实现数学思想的技术手段和工具，数学思想又是数学中处理问题的基本观点，是数学基础知识与基本方法本质的概括，但由于数学方法与数学思想互为表里，都建立在一定的知识基础上，反过来又促进知识的深化提高和向能力转化，我们从数学方法与数学思想的结合点来探讨数学归纳法之表象与实质、形式与过程，将有助于更好地认识和理解数学归纳法，从而使其发挥更好的教育教学功能.本文认为，就“方法”与“思想”而言，数学归纳法主要体现了“归纳”、“演绎”、“递推”、“模型”，其中“归纳”是数学归纳法产生的基础，“演绎”是数学归纳法自身发展的推力，“递推”使数学归纳法从有限走向无限，而“模型”则使数学归纳法为人们所广泛应用.一、“归纳”是数学归纳法产生的基础我们知道，研究一般问题时，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从中归纳、发现一般的规律和性质，归纳思想指的就是这种从特殊到一般、从局部到整体的思维倾向.归纳思想也可以用符号语言来叙述为：对于一个数学对象P，如果P可以分解为若干个种类A，B，C，…，那么从研究A，B，C，…入手，概括得到对象P的属性.这与分类讨论思想是不同的，分类讨论在于获得对象P在各种情况下的结果，而归纳思想则取向于获得A，B，C，…的共性，以及由这些共性所反映的对象P的本质.数学知识的发生过程正就是归纳思想的应用过程.（一）数学归纳法最基本的数学思想来源于归纳（1）生活游戏：把许多砖块按一定的间隔距离竖立起来，假定将其中任何一块推倒都可以波及下一块砖倒掉，这时你如果推倒了第一块砖，后面无论有多少块砖，肯定全部会倒掉.（2）社会现象：中国家族姓氏传递有这样的特点，若下一代的姓氏随上一代父亲的姓确定，并且知道了有个家族第一代姓王，只要明确了这两点，我们就可以得出结论：这个家族世世代代都姓王.（3）主妇养鸡：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.（4）秃头问题：1根头发时是秃头；设k根头发时是秃头，n=k+1时，k根头发是秃头，多长一根头发也是秃头啦，所以k+1根头发时是秃头；从而n根头发时也是秃头.这显然是一个荒谬的推理.分析上述问题，可以看到：在一些条件的假设下，某件事情发生具有传递性.数学地思考问题，还可以看到：如果用k表示次数，那么第k次与第k+1次是“紧接着”的两次.然//而“生活游戏”和“社会现象”中的“事件发生”为什么会传递？“主妇养鸡”、“秃头问题”中的“事件发生”为什么又传递不下去呢？如果用p来表示事件，用p（k）来表示第k次时的事件，进一步分析发现：“假设p（k）成立推得p（k+1）成立”的意义与“p是否为真”无关.如：或许，古代“数学归纳法”就是在类似“生活游戏”、“社会现象”等这样道理的基础上抽象出来的也未可知.从数学史的一些情况[3]来看，近似于“数学归纳法”的方法在古希腊就有了运用.数千年来，随着人们对类似上述问题认识的不断深化，“数学归纳法”逐渐形成.人们归纳得到了一个正确命题——数学归纳法，但它的正确性并没有被证明而且是不可能被证明的.从这个角度讲，这是对“数学归纳法”体现归纳思想与归纳方法的一个基本认识，或许也是许多人叫它为数学归纳法公理、或者数学归纳法公设的原因.（二）数学归纳法的表现形式具有归纳的意味数学归纳法断言：设p（n）是与正整数n有关的命题.若（i）命题p（）成立；（ii）对所有大于等于的正整数k，若p（k）成立推得p（k+1）也成立；由（i）、（ii）可知命题对大于等于的一切正整数成立.用数学归纳法来证明一个与自然数n有关的命题p（n）时，证明的步骤如下：（i）验证当n取第一个值时，命题p（）成立；（ii）假设当n=k（k∈N，k≥）时命题p（k）成立，由此推得命题p（k+1）成立；（iii）根据（i）、（ii）断定，对大于等于的任意正整数命题p（n）成立.（三）数学归纳法的结论也具有归纳的意味我们不应忽视：从用数学归纳法证明一个与自然数n有关的p（n）的命题成立的步骤来看，一系列演绎推理实质上有无穷多个，结论也有无穷多个.数学归纳法把证明一个无穷过程的问题转化成只需要操作三步即可完成的有限过程，以有限的步骤来概括无穷多个结论，因而具有归纳特点，体现了归纳思想与归纳方法.所以，无论是其最基本的数学思想来源，还是其表现形式或者结论，数学归纳法都体现了归纳思想与归纳方法，可以说“归纳”是数学归纳法产生的基础.但是，由此而说“数学归纳法是归纳法”却是片面的；数学归纳法不是归纳法.数学归纳法与归纳法有本质的不同，归纳法的结构是似真的，而数学归纳法的结构是真实的.那么数学归纳法是完全归纳法吗？也不是，因为完全归纳法是需要研究每一个所涉及的对象，数学归纳法并没有逐个研究也不可能逐个研究，也就不符合完全归纳法的特点，所以数学归纳法也不是完全归纳法.二、“演绎”是数学归纳法自身发展的推力与归纳相对，演绎是指由一般到特殊的逻辑推理，数学知识的应用过程就是演绎思想与演绎方法的体现过程.数学归纳法也是如此.（一）数学归纳法可由皮亚诺归纳公理演绎而来1686年伯努利给出并使用了现代形式的数学归纳法.1838年德•摩根给了“数学归纳法”（mathematical induction）的名称.1889年，皮亚诺自然数的公理体系建立，提出皮亚诺归纳公理（公设）：设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M.那么M是全体正整数的集合.数学归纳法与皮亚诺归纳公理的这种历史关系表明，后者是前者的“特例”.如果从数学理论体系看，皮亚诺自然数的公理体系建立后，数学归纳法才似乎找到了皮亚诺归纳公理为其理论基础，从而得到了广泛的确认和应用；而且皮亚诺归纳公理为数学归纳法提供了理论基础已普遍为人们所认可.就此而言，数学归纳法成为皮亚诺归纳公理的一个特定的解释，即数学归纳法是由皮亚诺归纳公理演绎而来的方法.（二）数学归纳法的过程是由演绎推理完成的演绎推理有着大家熟知的一般模式“三段论”，即以两个包含有一个共同词项的性质命//题为前提，推导出一个性质命题为结论的推理形式.三段论推理的公理是：一类思维对象的全体是什么或不是什么，那么这类对象中的部分或个别对象也是什么或不是什么.由两个或两个以上的三段论所构成的特殊推理形式构成复合三段论，组成复合三段论的每一个三段论都必须遵守三段论的规则，否则只要其中任何一个三段论违反了规则，那么整个复合三段论就是无效的.如果它是以前一个三段论的结论作为后一个三段论的小前提的复合三段论，那它就是后退式的复合三段论[4].演绎推理的结论和前提之间的联系是必然的，只要前提真实并且推理形式正确，结论就必然真实.形式或结果上含归纳之意，但本质上又是演绎，两种不同的思维倾向附着于一体，这正是数学归纳法的一个神奇魅力所在，也是辩证的统一.其实，归纳与演绎往往是“藕断丝连”.尽管归纳推理与演绎推理有着思维起点不同、前提和结论联系性质不同的区别，但演绎推理的一般性知识（大前提）来源于归纳推理的概括和总结，而归纳过程的分析、综合过程所利用的工具（概念、范畴）是归纳过程本身所不能解决和提供的，需要借助于演绎活动来完成；单靠归纳推理是不能证明必然性的，常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证，这说明归纳推理时也难舍演绎推理.正如恩格斯所说：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的.”互相依赖、互为补充，所以，数学归纳法是一种“归纳”为基础、以“演绎”为推力的独特的数学方法，是归纳与演绎的一个美妙结合.三、“递推”使数学归纳法从有限走向无限这里所说的“递推”是一种具有确定方向和一定程序的变换，通过它把一般性问题逐步归结为同类的已知的特殊问题（其含义比一般说的“化归”、“转化”狭窄）.比如，求数列通项常用的递推方法，就是从初始条件出发，利用“递推关系”（一般项与前一项的关系）而求得一般结果.数学归纳法也是体现了这种思想和方法.在数学归纳法中，人类运用“递推”，就把“归纳”与无穷多个“演绎”完美地结合在一起，仅用有限的步骤就“准确”、“清晰”地考察了所有对象，完成了从有限到无限的跨越.这不能不说是数学归纳法的又一个美妙神奇之处.四、“模型”则使数学归纳法为人们所广泛应用模型思想与模型方法就是借助于数学模型来处理各类问题.数学模型的出发点不仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述的东西.并且，研究手法也不是单向的，需要从数学和现实这两个出发点开始，规划研究路径、构建描述用语、验证研究结果、解释结果含义，从而得到与现实世界相容的、可以描述现实世界的结论.所以，数学模型就是实际问题的简化和抽象，通俗地说，数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事[5].近些年“模型”已成为中学数学中一种极为重要而又普遍运用的思想与方法，高中数学课标教材起到了很好地推动作用.总之，分析数学归纳法所体现的主要数学思想与数学方法，有助于比较全面、本质地加深对数学归纳法认识理解，使其更好地发挥教育教学功能.“从事数学教学工作的教师应当把握数学思想（史宁中）”.如果能使数学思想落实到学习和应用数学的思维活动上，“纵然把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里.”。
如何解决高中数学中的数学归纳法难题
如何解决高中数学中的数学归纳法难题数学归纳法是数学中一种重要且常用的证明方法，也是高中数学课程中的重点内容之一。
然而，对于很多学生来说，数学归纳法问题常常令人困惑。
本文将探讨如何解决高中数学中的数学归纳法难题，并提供一些实用的解题方法。
一、了解数学归纳法的基本概念在解决数学归纳法难题之前，首先需要明确数学归纳法的基本概念。
数学归纳法是一种证明方法，通常用于证明一系列命题的正确性。
它由三个步骤组成：基础步骤、归纳步骤和归纳假设。
基础步骤是证明命题在某个特定情况下成立，归纳步骤是假设命题在某个情况下成立，然后证明在此情况下命题成立时，命题在下一个情况也成立。
通过这样的迭代过程，最终证明了命题对于所有情况都成立。
二、培养数学归纳法的思维方式数学归纳法要求学生具备一种递推的思维方式。
为此，学生应该通过大量的练习来培养这种思维方式。
首先，学生可以选择一些简单的数学归纳法问题进行练习，如证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
通过这些简单的问题，学生可以逐步熟悉和掌握数学归纳法的思维方式。
当学生掌握了基本的思维方式后，可以逐渐挑战更复杂的数学归纳法问题。
三、分析问题，寻找规律在解决数学归纳法难题时，学生应该先分析问题，寻找规律。
要想顺利地应用数学归纳法，必须先观察到规律，以便在归纳步骤中正确地应用归纳假设。
可以通过列举特殊情况的方法来观察规律，也可以通过找到数列或数列之间的关系来进行推导。
例如，对于证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2的问题，可以通过列举几个特殊情况，观察到和式的规律，并通过数学归纳法证明。
四、学会用递推关系式表示问题在解决数学归纳法难题时，学生需要学会用递推关系式表示问题，即将问题的解与问题的较小规模的解之间建立关系。
这一步骤在归纳假设的应用中非常关键。
通过建立递推关系式，可以将大问题化简为小问题，并通过已知的小问题的解来推导出大问题的解。
例如，对于证明1+3+5+...+(2n-1)=n^2的问题，可以将其分解为1+3=2, 1+3+5=4,1+3+5+7=9等小问题，并通过这些小问题的解递推得出大问题的解。
归纳问题总结
归纳问题总结在我们的日常生活和工作中，我们经常会面临各种各样的问题。
这些问题可能是由于我们自身的疏忽导致的，也可能是由于环境的变化而产生的。
无论问题的来源如何，我们都需要学会归纳问题并做出总结。
本文将探讨归纳问题的重要性以及一些可行的解决方法。
一、为什么需要归纳问题归纳问题是为了更好地理解和解决问题。
通过将问题进行分类和总结，我们可以更清楚地了解问题的本质，并找到解决问题的最佳途径。
归纳问题还可以帮助我们学会从不同的角度思考问题，并提供更全面的解决方案。
此外，归纳问题还有助于我们不断改进和提高自己的能力。
通过总结过去的问题及其解决方法，我们可以更好地应对类似的问题，并避免再次犯同样的错误。
归纳问题还可以培养我们的分析思考能力和抽象概括能力，这对于我们在生活和工作中的其他方面也非常有帮助。
二、归纳问题的方法1. 细化问题将大问题分解为小问题是解决问题的一种常用方法。
通过将大问题分解为一系列小问题，我们可以更加有针对性地解决每一个小问题，最终解决整个大问题。
细化问题的关键是要将问题划分得足够细致，确保每个小问题都有明确的解决思路。
2. 归类问题将类似的问题进行分类也是一种有效的归纳问题的方法。
通过将相似的问题放在一起，我们可以更好地了解问题之间的联系和规律，从而为解决这些问题提供更有效的方法。
归类问题还可以帮助我们发现问题背后的根本原因，并针对性地解决这些原因。
3. 总结经验总结经验是归纳问题的一个重要环节。
我们可以将遇到的问题及其解决方法记录下来，并反思这些经验。
通过总结经验，我们可以及时发现问题的规律和趋势，并调整我们的思维方式和解决策略。
总结经验还可以帮助我们提高自己的知识储备，为将来遇到类似问题时提供参考。
4. 寻求他人帮助在解决问题的过程中，我们不要害怕寻求他人的帮助。
别人可能有不同的观点和解决方法，通过和他人的交流，我们可以开阔自己的视野，并获得更多的解决思路。
寻求他人帮助也可以减轻我们的负担，帮助我们更快地解决问题。
浅谈归纳法
浅谈归纳法哲学结业论文2012/5/10浅谈归纳法一、归纳法归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。
它通过许多个别的事例或分论点，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论。
归纳法可以先举事例再归纳结论，也可以先提出结论再举例加以证明。
前者即我们通常所说之归纳法，后者我们称为例证法。
例证法就是一种用个别、典型的具体事例实证明论点的论证方法。
归纳法是从个别性知识，引出一般性知识的推理，是由已知真的前提，引出可能真的结论。
它把特性或关系归结到基于对特殊的代表(token)的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式(pattern)的有限观察的规律。
生活中，我们经常用到归纳法，比如，天会黑，天会亮，四季会轮回，就算我们不知道为什么，我们依然知道这些事情会发生。
还有老人告诉我们的一些经验，比如看云识天气，也许并不是每个人都知道为什么，我们相信，是因为长辈们运用归纳法历经几千年将这些经验传下来的。
同时我们知道，这些经验并不是所有时候都是准确无误的，我们接受这些说法的同时也接受了它们带来的误差。
二、培根和穆勒的古典归纳法古典归纳逻辑，是由培根创立，经穆勒发展的归纳理论.它主要研究完全归纳推理，不完全归纳推理(简单枚举归纳和科学归纳),求因果五法等.亚里士多德探讨了归纳.他在<前分析篇>谈到简单枚举归纳推理.他举例说，内行的舵手是最有效能的.所以，凡在自己专业上内行的人都是最有效能的.古典归纳逻辑创始人是17世纪英国弗兰西斯培根，他在<新工具>中，贬演绎，倡归纳，首次提出整理和分析感性材料的"三表法",即具有表，缺管表和程度表，认为在此基础上，通过排除归纳法等归纳方法，可以从特殊事实"逐级"上升，最后达到"最普遍的公理".19世纪英国约翰穆勒(John Mill)是古典归纳逻辑的集大成者，他在<逻辑学体系>中，通过总结自培根以来古典归纳逻辑的研究成果，系统论述了"求因果五法",即求同法，求异法，求同求异并用法，共变法和剩余法，对其形式和规则做了具体规定和说明.三、梅纳德凯恩斯的现代归纳法现代归纳逻辑，也称概率逻辑.它是由梅纳德凯恩斯(Magnard Keynes)创立，由莱辛巴哈(Reichenbach),卡尔纳普（Rudolf Carnap)科恩等发展，运用概率论，形式化的公理方法等工具，探索归纳问题所取得的成果。
数学归纳法浅析
纳 法
法 浅
析
２４０ ） １２ ６
归 纳 法 作 为 一 种 科 学 方 法 ， 要 用 于科 学发 展 。 学 史上 主 科 不 少 重 大 发 现 都 得 益 于 直 觉 归 纳 。 学 家们 往 往 从 实 验 、 察 科 观 得 到 的事 实 、 经验 出 发 ， 归 纳 法 获 得 经 验 定 律 。如 高 斯 的许 用 多定 理 都 是 靠 归 纳 法 发 现 的 ， 明 只 是严 谨 的手 续 。 证
、
（ ） ３ 出 反 面 ， ２ ６ 出 正 面 ， ’ 不 同情 况 ； ４第 次 第 — 次 有２种 （ ） ４ 出 反 面 ， ２ ６ 出正 面 ， ’ 不 同情 况 ； ５第 次 第 — 次 有２种
浅析数学归纳法
Ｊ ＋ ｌ ｙ ＋
・
． ．
√ ＋ ３ ｋ ＋ ２ ＜ ＋ ４ ＋ ４
√ （ 七 ＋ ２ ） ‘ ＝（ ｋ ＋ １ ） ＋ １
当ｎ ＝ ｋ ＋ ｌ 时， 命 题也 成 立 。
故 由①②可知 命 题 成立 。
ｄｏ ｇ ｏ ｂ 的大小， 并证明你的结论。
解 ． （ １ ） 由题意 得
学 术 论 坛
Ｓ ２ — ０ １ ３— Ｎ Ｏ ． ３ ２ ｃｉ ｅｎ ｃｅ ａｎ ｄ Ｔｅｃｈ ｎ ｏｌ ｏｇｙ Ｉ ｎｎ ｏｖ ａｔ ｉ ｏｎ Ｈｅ ｒ ａ ｌ ｄ
团冒露圈 一 ■ ｌ 置 皇 ‘ 一 ｜ Ｉ 一
浅析 数 学 归 纳法 ①
马晓东 （ 铁岭卫生职业学院 辽宁铁岭 １ １ ２ ０ ０ ８ ）
这 两 步 合为 一 体 ， 才是 数 学 归纳 法 ， 缺
一
（ ２ ） 假设ｎ ＝ ｋ 时， 命题成立 ， 即６ ＋ ３ “ ＋ ３ 是ｌ １ 的倍 数 则 当ｎ ＝ ｋ ＋１ 时 ，６ ： ｉ ｋ ＋ １ ￣ ＋ ３ “ ＋ ３ “
＝６ ＋ ３ ＋ ３ ： ３ ６ ・ ６ ＋ ３ ・ ３ ＋ ３ ・ ３
，
明 确要 求 用数 学 归 纳法 证 明 的题 目。 第
． ．
二 ，给 出 的 题 目是 与 自然 数 ｎ有 关 ，虽 未 明
３ 【 ３ ＋ ２ ） ＞ ３ ｘ ／ ３ ￣ ｋ ＝ ＋１ 、
丽
递 推 结 论 是 建 立在 归纳 假 设 的基 础 上
的 ，因 此 不 用 归 纳 假 设 而 证 明 第 二 步 的 方 法，实 际上 不是 归纳 法 。
因而（ １ ＋ １ ） （ １ ＋ ） （ １ １ ） … （ １ ＋ ） ＞ 师
[教研] “数学归纳法”中的三个问题
![[教研] “数学归纳法”中的三个问题](https://img.taocdn.com/s3/m/1751166ecaaedd3383c4d3e1.png)
“数学归纳法”中的三个问题绍兴市稽山中学孔莉群骆永明参加“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”第八次课题研讨会之前，绍兴的子课题研究成员特别围绕这次会议的主题举行了研讨会，鲁迅中学的老师开设了研讨课“数学归纳法”。
在衢州的会议中，笔者不但听到了四堂精彩的研究课，而且有幸聆听到许多专家的点评，收获很大。
在听课和讨论的过程中，想的最多的是以下三个问题：1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？讨论的过程中，好几个老师提到这个问题。
甚至有老师肯定的说数学归纳法是演绎法。
这就奇怪了，如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。
我想“数学归纳法”也不会例外。
首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。
众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤：（1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程：P(1)真⇒ P(2)真⇒ P(3)真⇒…⇒ P(k)真⇒ P(k+1)真⇒…因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。
纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序，从这个意义上讲，它是归纳的。
当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P3)真；……命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。
然而在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。
对归纳法几个问题的浅析
对归纳法几个问题的浅析摘要：归纳法作为一种基本的思维方法，是传统思维方法的重要组成部分，也是科学方法论的重要研究课题。
随着现代技术的不断进步和逻辑科学的发展，对归纳法的真实性和正确性问题、归纳法的特征问题、归纳法结论的性质问题的研究日益受到重视。
关键词：归纳法真实性正确性特征性质一、归纳法的真实性和正确性问题前提真实和形式正确的要求，是对一切必然性推理普遍有效的。
一个前提虚假或形式错误的演绎，必然不能得到真实结论。
而归纳属于或然性推理，他也有前提真实和形式正确的问题。
（一）关于前提的真实性问题前提真实是正确进行归纳的最基本要求。
这是因为，既然演绎的大前提一般是来自归纳，而且对一个正确的演绎来说，前提真实又是它的一个必要条件，那么归纳的真实性就必须得到保证。
也就是说，归纳获得真实结论的条件问题。
下面就几种主要归纳的前提真实性问题进行分析。
第一，完全归纳法，其前提必然都是真实的。
如果前提中有一个判断是虚假的，则必然不能得到真实结论。
第二，不完全归纳法，其已知前提必然都是真实的，同时要求未知部分不能出现相反的情况。
如果在已知判断或未知情况中出现了假判断，则必然不能推出真实结论。
第三，科学归纳法，其前提必须揭示出事物之间的必然联系，具有科学的真实性。
但是，由于实验条件不严格或实验结果不准确，往往不能揭示出真实的联系，因而也不能得到真实的一般结论，并且不能保证在未考察的范围内不出现反例。
因此，对科学归纳法要求前提必须要有科学的真实性。
由以上分析可见，归纳法只有在前提真实的条件下，才能归纳出真实的一般结论。
如果前提中有一个判断是虚假的，则必定不能推出真实结论。
归纳与演绎比较，在要求前提真实性这一点上是相同的。
对前提真实性的要求是正确进行归纳的最基本条件，这也是归纳自身性质所决定的。
（二）关于形式的正确性问题归纳除有前提真假问题外，还有形式对错的问题。
归纳作为一种思维形式的结构，其中必然有维系这种结构的形式上的联系，因而也可以找到它在形式联系上的某些规则。
总结归纳法可能的困境
总结归纳法可能的困境总结归纳法是一种常用的论述方法，通过归纳整合相关的细节，从而得出结论或总结某种规律。
然而，在实际运用中，总结归纳法也存在一些困境和问题。
本文将就总结归纳法可能的困境展开讨论，以提供更深入的理解。
一、样本偏倚在运用总结归纳法进行推理时，常常会涉及选取样本。
但是，如果样本选择不当、偏倚较大，就会出现样本代表性不足的问题。
例如，在研究某种疾病的治疗方法时，如果选取的样本中多数是轻微病例而缺乏严重病例，那么得出的结论可能会忽视对严重病例的影响。
为避免样本偏倚，应尽量扩大和多样化样本范围，确保样本的代表性和可靠性。
此外，还可以采用配对样本或随机抽样等方法，以减小样本选择的偏倚。
二、数据缺失在运用总结归纳法时，需要从大量的数据中进行筛选和整理。
然而，由于研究中经常遇到缺失数据或不完整的信息，可能导致最终的归纳总结结果存在不确定性。
为解决数据缺失问题，可以采用补充数据、推算数据或进行敏感性分析等方法。
同时，在研究设计阶段就要注意数据的完整性和可靠性，以减少数据缺失的可能性。
三、归纳陷阱在进行总结归纳时，研究者可能会受到自身的主观认知、经验和偏见等的影响，导致出现归纳陷阱。
这可能导致得出不准确或片面的结论。
为避免归纳陷阱，需要尽量客观中立地观察和整理数据，充分考虑各种可能性和角度。
在归纳总结的过程中，也可以请其他研究者进行审核和确认，以提高结论的可信度和可靠性。
四、应对多样性总结归纳法通常是在分析大量细节后，得出相对概括性的结论。
然而，现实世界的问题往往十分复杂，各种变量和因素相互交织，不同的情况会有不同的表现和结论。
因此，总结归纳法在应对多样性方面存在一定的困境。
为应对多样性，可以采用细分样本、构建模型或进行灵活分类等方法，以更好地处理各种不同情况下的总结归纳问题。
此外，积累更多的数据和经验也可以提高总结归纳的适用性和准确性。
总结归纳法是一种重要的推理方法，可以用于各种学科和领域的研究和实践。
归纳问题 总结
归纳问题总结随着现代生活的发展，我们面临的问题也越来越多。
这些问题可能来自个人生活、工作环境、家庭关系等各个方面。
为了更好地解决这些问题，我们需要学会归纳问题，总结经验，寻找解决方案。
本文将从这个角度出发，讨论如何归纳问题和总结相关经验。
一、确定问题的范围在开始归纳问题之前，我们首先需要确定问题的范围。
问题可能是一个具体的事件或挑战，也可能是一类相似问题的统称。
通过明确问题的范围，我们可以更好地针对性地进行归纳和总结。
二、分析问题的根本原因归纳问题的首要任务是明确问题的根本原因。
这要求我们要深入分析问题，找出问题背后的根本原因。
只有找到问题的真正症结，才能有针对性地制定解决方案。
三、归纳问题的共同点和特征在分析问题的基础上，我们可以开始归纳问题的共同点和特征。
这些共同点和特征可能是问题发生的时间、地点、原因、影响等。
通过归纳这些共同点，我们可以更好地理解问题的本质，进而进行更有效的总结和解决。
四、总结问题的解决方案和经验通过归纳问题的共同点和特征，我们可以更好地总结问题的解决方案和经验。
有些问题可能已经被解决，我们可以总结出解决问题的有效方法和技巧。
有些问题可能还没有解决，但我们可以从中找到一些值得尝试的思路和方向。
总结问题的解决方案和经验，可以为我们今后遇到类似问题时提供借鉴和参考。
五、应用总结的经验解决新问题归纳问题和总结经验的最终目的是为了应对新问题。
通过学习和借鉴以往的经验，我们可以更好地应对新的挑战。
尽管每个问题都有其独特性，但通过学习和运用总结的经验，我们可以更加从容地应对新问题，提高问题解决的效率和质量。
六、持续反思和改进总结归纳是一个不断演进的过程，我们需要时刻反思和改进自己的总结能力。
在解决问题的过程中，我们要不断思考是否有更好的方法和思路。
我们要保持开放的思维，接受新的观点和方法，不断提高自己的总结能力。
综上所述，归纳问题和总结经验是一个提高问题解决能力的重要方法。
通过分析问题的根本原因，归纳问题的共同点和特征，总结问题的解决方案和经验，我们可以更好地应对新问题，提高个人和团队的问题解决能力。
归纳法浅谈
归纳法是一种从局部到整体的研究方法，它首先对被探讨的对象进行分析，从而衍生出部分的结论，随后将这些结论归纳到整体的抽象中，得出最终的综合结论。
一般而言，它可以分为三个步骤：收集信息、分析信息和归纳结论。
它是科学研究和推理研究的有效工具。
首先，收集信息是归纳法研究的第一步，是找出重要信息、理解信息背景等，也是实现归纳有效研究的基础。
收集数据可以是通过实验观察得到的，也可以是在文献调查中找出的，以此为根据，可以使归纳法的研究变得更加准确及可靠。
其次，分析信息是归纳法研究的第二步，根据不同的特点，对收集的数据进行分析，提出一些局部的结论，即对该问题的分析和思考。
分析的工作不仅仅是把各个因素进行归类，而应该站在大局的角度上，从全局把握事物，这样就可以得出科学客观的分析结论。
最后，归纳结论是归纳法研究的第三步，是根据对特征、特征变化、特征间关系及其变化走向的分析，提出有关一般结论，即依据分析提出的几个局部结论，归纳出一个总的综合结论，才是有意义的。
归纳法作为一种研究方法，具有很多好处。
它可以把局部的处理结果，成功的归纳到整体之中；它可以综合综合运用各种理论，进行全面分析，从而获得客观有效的结论；它也可以把悬而未决的问题归纳到具体实践中去。
因此，归纳法研究是科学研究、推理研究及普通日常思考的重要技能之一。
归纳法同时也存在不足之处。
它的结果受收集的数据的影响；它过于抽象，分析可能模糊不清；它要求研究者熟知问题的基本知识，能够从局部出发，归纳到全局；它的结果也受关键发现分析过程中主观判断因素的影响；它有可能无法反映完整性。
总之，归纳法是一种有效的研究方法，它将局部细节与全局相结合，使研究内容更加完整，方法更加直接，结果更加准确及可靠，从而更好的解决问题。
只要把握好归纳法的步骤，改进确实的不足，勤于把握有效数据和合理化，就可以取得良好的效果。
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对归纳法几个问题的浅析摘要：归纳法作为一种基本的思维方法，是传统思维方法的重要组成部分，也是科学方法论的重要研究课题。
随着现代技术的不断进步和逻辑科学的发展，对归纳法的真实性和正确性问题、归纳法的特征问题、归纳法结论的性质问题的研究日益受到重视。
关键词：归纳法真实性正确性特征性质
一、归纳法的真实性和正确性问题
前提真实和形式正确的要求，是对一切必然性推理普遍有效的。
一个前提虚假或形式错误的演绎，必然不能得到真实结论。
而归纳属于或然性推理，他也有前提真实和形式正确的问题。
（一）关于前提的真实性问题
前提真实是正确进行归纳的最基本要求。
这是因为，既然演绎的大前提一般是来自归纳，而且对一个正确的演绎来说，前提真实又是它的一个必要条件，那么归纳的真实性就必须得到保证。
也就是说，归纳获得真实结论的条件问题。
下面就几种主要归纳的前提真实性问题进行分析。
第一，完全归纳法，其前提必然都是真实的。
如果前提中有一个判断是虚假的，则必然不能得到真实结论。
第二，不完全归纳法，其已知前提必然都是真实的，同时要求未知部分不能出现相反的情况。
如果在已知判断或未知情况中出现了假判断，则必然不能推出真实结论。
第三，科学归纳法，其前提必须揭示出事物之间的必然联系，具有科学的真实性。
但是，由于实验条件不严格或实验结果不准确，往往不能揭示出真实的联系，因而也不能得到真实的一般结论，
并且不能保证在未考察的范围内不出现反例。
因此，对科学归纳法要求前提必须要有科学的真实性。
由以上分析可见，归纳法只有在前提真实的条件下，才能归纳出真实的一般结论。
如果前提中有一个判断是虚假的，则必定不能推出真实结论。
归纳与演绎比较，在要求前提真实性这一点上是相同的。
对前提真实性的要求是正确进行归纳的最基本条件，这也是归纳自身性质所决定的。
（二）关于形式的正确性问题
归纳除有前提真假问题外，还有形式对错的问题。
归纳作为一种思维形式的结构，其中必然有维系这种结构的形式上的联系，因而也可以找到它在形式联系上的某些规则。
这些规则或要求在不同类型的归纳中各有特点。
完全归纳法其前提包括两部分：第一部分是反映个别对象的若干简单判断，其主项之间是并列的种概念关系，其谓项之间是同一概念，可以把这一部分判断称为分析前提；如A1是P，A2是P，A3是P。
第二部分是一个主、谓项间外延重合的全称判断，主项外延包括了分析前提中全部个别判断的主项，谓项与主项的外延同一，由于此判断概括了分析前提的全部对象，而且对该事物无一遗漏，把这一判断叫做综合前提，分析前提包括的个别判断可以有若干个，综合前提却只有一个，如A1、A2、A3到An都属于A，这是综合前提，而结论就是A是P。
不完全归纳法，结构形式与完全归纳的不同在于：分析判断没有穷尽该类事物的一切对象。
综合判断的主项虽仍包括了分析判断中所有的主项，但其谓项却只反映了该类事物的部分对象，因而必然得到一个特称结论，如果据此推断出一般性结论，当
然只能是豁然的。
这可以用同一素材的全称判断与特称判断之间的关系来说明。
特称判断真，全称判断可真可假，具有或然性。
所以不完全归纳法并不像是“三段论的普遍性前提实质上是许多已有事例的总和”【1】那样，实际上是由特称判断的真，或然的推出一个全称判断为真的结论。
科学归纳法也是一种或然性的不完全归纳，但由于它具有揭示事物之间必然联系的特点，一般来说，结论比较可靠。
科学归纳法不应只列入不完全归纳的范围，它不仅可以在简单枚举的基础上形成，也可以在完全归纳推理中应用，从而使完全归纳的结论，既在数量上可以必然得到一般结论，又在科学性上得到更为可靠的证明。
如：奴隶社会的法律是为剥削阶级服务的，封建社会的法律是为剥削阶级服务的，资本主义社会的法律是为剥削阶级服务的，奴隶社会的法律、封建社会的法律、资本主义社会的法律是所有剥削阶级的法律，并且与为剥削阶级服务这一属性有必然性联系。
所以，一切剥削阶级社会的法律都是为剥削阶级服务的。
这是一个对一切剥削阶级社会的法律都是为剥削阶级服务的完全归纳，揭示了剥削阶级社会的法律与为剥削阶级服务之间的必然联系，又是科学归纳。
二、归纳法的特征问题
归纳是从个别到一般的推理，究其思维过程而言，是从个别性的知识出发概括出一般性的结论，除完全归纳外，以经验认识为基础的简单枚举归纳，是从人们观察到的事例中尚未发现反例出发，进而推出一般性的结论的思维过程。
由于简单枚举归纳是以人们观察到的事例作为前提，而人们观察到的事例为数是有限的，而且单凭观察所
获得的经验绝不能证明事物的必然性，因此在简单枚举归纳中，即使前提是真实的，也不能保证推导出必然真实的结论，是一种“就经验论归纳”【2】的形式。
在科学归纳中，虽然是以有关事物之间因果联系的判断作为推理的前提，然而由于考察的对象数量有限，事物之间因果联系的情况复杂，以及考察的场合受各种客观条件的限制，所以也不能从真前提推导出真结论。
归纳法即使前提真实，推理过程符合逻辑规则，也不能像演绎一样必然推导出真实的结论，这就难以保证归纳推理的有效性，使它只能为结论的真实性提供较可靠的依据，对归纳法的研究也仅限于如何提高结论的可靠性程度。
对归纳法的探讨，一般来说，观察的对象愈多，考察的范围越广，归纳出的结论的可靠程度就越高；归纳结论的可靠性程度，与观察的事例的数量、范围以及对于观察的对象的分析程度有着直接的关系，我们用世界上的一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚，只有对这个过程的分析才能做到这一点。
想要提高归纳结论的可靠性，必须加强对考察对象的分析。
但是究竟要观察多少对象，涉及多大范围，分析到什么程度，是很难作出统一的、明确的、严格的规定，致使“归纳问题在逻辑上无解”。
【3】
三、归纳法结论的性质问题
在归纳法问题中，完全归纳法与演绎一样，其结论没有超出前提所断定的范围。
三段论推出的必然结论，或完全归纳推出的必然结论，都是不同于前提的认识上的结论，是人们在认识的新层次获得的新知识。
虽然结论的知识与前提的知识是互相联系的，但有了前提中
的断定，并不等于就有了结论中的断定，当然也不等于就有了结论中的新知识，新知识就是脱胎于旧知识而来，借助推理推出的新知识有两种：一种情况表现为范围的扩大；另一种情况则表现为层次的推进，即由一般性认识深入到个别或特殊性的认识，这不能说不是由于人们认识的深化而获得的新知识。
如果说这种推理不能给人们提供任何新知识，其结论都包含在前提中，那么人们就没有必要做这种毫无意义的反复推理。
从逻辑结构上看，演绎的结论是反映小项与大项间的关系而在前提中没有一个判断是表明了小项与大项间的关系，前提只是分别反映了大项与中项，小项与中项的联系，所以演绎的结论是通过反映小项与大项的关系，从而为人们提供了新知识。
同样，在完全归纳中也是如此。
如三段论中关于两个特称前提不能的出真结论的问题：以两个特称肯定判断为前提不能必然得真结论；以两个特称否定判断为前提不能必然得真结论；以一个特称肯定判断为大前提，一个特称否定判断为小前提，不能必然得真结论；以一个特称否定判断为大前提，一个特称肯定判断为小前提，不能必然得真结论；以上四种特称判断的组合是三段论中两个前提为特称判断的一切可能的组合；所以，一切两个特称前提的三段论都不能必然得真结论。
在这个完全归纳中，结论所反映的主项一切两个特称前提的三段论与谓项不能必然得到真结论之间的断定关系，是前提中并没有揭示出来的新关系。
前提是对个别情况进行断定，结论是对全类对象进行断定，其范围也是不同的。
可见，完全归纳法前提中的所有判断，没有一个断定了结论中所断定的事物关系，完全归纳法的结论也为人们提供新知识。
总之，由个别认识推知一般认识，或由一般认识推知个别认识，都应看做是认识过程的飞跃；前提中的任一断定所反映事物联系，与结论中的断定所反映事物事物联系有质的不同。
由个别进到一般使人们思维概括力的表现，没有这一层次的飞跃，就不能概括共性，揭示事物的本质。
由一般进到个别是人们思维深化能力的表现，没有这一层次的飞跃，就不能借助一般认识去把物个别事物，演绎得到的知识与归纳得到的知识对人们认识的价值是不同的。
人们正是在这两种认识过程的反复交替和无限的发展中，不断增进对世界的了解。
参考文献：
［1］金岳霖.形式逻辑[ M ].北京：人民出版社，1979.172.
［2］王春华.想象在归纳中的作用[ M ].学术论坛，2005（10）
22.
［3］陈波.逻辑哲学导论[ M ].北京：中国人民大学出版社，2000.282.。