第10章 应力应变分析及应力应变关系
应力应变分析法范文
应力应变分析法范文应力应变分析法是一种常用于材料力学研究和工程设计中的分析方法，通过对材料在受外力作用下的应力和应变进行定量分析，可以得到材料的力学性能和变形特征。
本文将对应力应变分析法的原理、应用及其在工程设计中的应用进行详细介绍。
一、应力应变分析法的原理应力（Stress）是指材料在单位面积上所受到的力的大小，通常用σ表示，单位为帕斯卡（Pa）。
应力的大小与物体的受力情况和物体的几何形状有关。
应变（Strain）是指材料在受到外力作用后产生的变形程度，通常用ε表示，无单位。
应变的大小与物体的材料特性和力的作用方式有关。
哈脱烈定律是应力应变关系的基本定律，描述了材料的应力与应变之间的关系。
根据哈脱烈定律，材料的应力与应变之间存在线性关系，即应变与应力成正比。
二、应力应变分析法的应用1.弹性模量和刚度计算：根据应力应变关系，可以通过应力应变分析法计算材料的弹性模量和刚度，这是材料力学性能的重要指标。
2.材料性能评估：通过对材料在受外力作用下的应力和应变进行分析，可以评估材料的强度、变形和破坏等性能，为工程设计提供依据。
3.结构设计：应力应变分析法可以用于结构设计中的受力分析和可靠性评估，帮助工程师设计出更加安全和稳定的结构。
4.疲劳寿命估计：通过对材料在循环载荷下的应力和应变进行分析，可以估计材料的疲劳寿命，为材料的使用寿命及维护提供参考。
5.压力容器设计：应力应变分析法可以用于压力容器的受力分析和设计，确保容器在正常工作条件下不发生破坏。
三、应力应变分析法在工程设计中的应用示例以钢筋混凝土梁的设计为例，说明应力应变分析法在工程设计中的应用。
在钢筋混凝土梁的设计中，需要计算梁的强度和变形情况。
首先，通过应力应变分析法计算梁的弹性模量和刚度，以确定材料的力学性能。
然后，根据梁的几何形状和受力情况，计算梁的外部应力。
根据哈脱烈定律，将外部应力与钢筋混凝土的材料性能相结合，计算梁的内部应力和应变。
根据材料的破坏准则，对梁的承载能力和变形进行评估，并进行结构优化设计。
应力应变分析
§10.1 应力的概念 一点处的应力状态
1.内力在变形体内某一截面上分布的描述
用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的
内力分量：FN , FS ,T , M ——截面分布内力系向截
y
FR FN
面形心简化后的等效力系 x
FS
T
为正确描述变形，应在 该截面上的每一点，描
Pi
2
注意
同理，某点的三个主应力中，任意二个主 应力都可找出一组切应力极值，分别为：
主切应力
P1
2
2
3
P2
1
3
2
P3
1
2
2
该点单元体的最大切应力应为三者当中的最大者，即
max
1
2
3
2
2
（10.5）
2
1
1
1
3 P3所在平面
3 P1 所在平面
3 P2 所在平面
而最大切应力所在平面的法向应为1，3两方向 的角平分线方向。
求
1，
2，
，
3
max
y
80
解： z 50MPa 为一个主应力
x
在 x，y 平面内
z
50
80 2
80 2 2
1 90MPa
2 10MPa
3 50MPa
302
40 50
9010MPa
50
Dy
10
C
max
1 3
2
70MPa
30
90
Dx
§11.6 应变分析
1. 某点处（单元体的）变形的描述——应变
x y
2
x
北京理工大学工程力学学习
课程名称：工程力学一级学科：08 工学二级学科：0817 工程力学类教学层次：本科教师姓名：梅凤翔学校名称：北京理工大学院系名称：北京理工大学理学院力学系申报状态：已获奖申报级别：国家级课程介绍：工程力学是北京理工大学许多工科专业（如机械类、土建类、航天航空类、船舶类、水利类等）的一门重要技术基础课，它不仅是整个力学学科的基础，而且也为有关专业学生学习后续相关课程和将来从事科学技术工作奠定必要的基础。
学生在学习工程力学时需要有清晰的物理概念和形象的几何直观，准确地理解基本概念和基本原理，熟练地掌握数学推理和分析与求解问题的基本方法，因此，工程力学具有科学严密性和应用灵活性紧密结合的魅力，是培养和训练学生综合研究素质的一门课程，可以很好地培养学生的逻辑思维能力、抽象简化能力、实践应用能力和初步的科学研究能力。
通过该课程的学习，学生不仅可以掌握力学的基本概念和定理或原理，还可以学会处理力学问题的基本方法和技能。
同时，它又是一门将高等数学知识较早地应用于工程实际的课程，在对学生进行工程意识与工程能力、科学素质与创新能力的培养中起到了举足轻重的作用。
4-2-2知识模块顺序及对应的学时（上册）第一章运动学基础与点的运动学 (6学时)第二章刚体的平面运动 (9学时)第三章复合运动 (9学时)第四章刚体的定点运动和一般运动 (自学)第五章静力学基本概念 (6学时)第六章力系的简化 (4学时)第七章力系的平衡 (10学时)第八章虚位移原理 (9学时)第九章变形固体静力学概述及一般杆件的内力分析 (2学时)第十章应力应变分析及应力应变关系 (6学时)第十一章轴向拉压 (6学时)第十二章扭转 (4学时)第十三章梁的弯曲 (12学时)（下册）第十四章组合变形 (7学时)第十五章能量法 (6学时)第十六章静不定结构 (5学时)第十七章压杆稳定 (4学时)第十八章实验应力分析（课堂讲授6学时，课外实验8学时）第十九章动能定理 (6学时)第二十章动量原理 (7学时)第二十一章达朗贝尔原理 (8学时)第二十二章变形固体的动力失效问题（8学时)第二十三章动力学普遍方程和拉格朗日方程 (3学时)（附件7（a）：教学大纲；附件7（b）:教学计划）。
弹性力学-应力和应变
σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法： 采用张量下标记号的应力写法 写法： 把坐标轴x、 、 分别 把坐标轴 、y、z分别 表示， 用x1、x2、x3表示， 或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量： 应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。 有关。
四、等效应力 1.定义： 定义： 定义 相等的两个应力状态的力学效应相同， 如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义： 对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
三、等斜面上的应力 等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 坐标轴与三个应力主轴一致， 设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面： 八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成 满足（ 20）式的面共有八个， 一个八面体，如图所示。 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。 等斜面常也被叫做八面体面。 若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（ 若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3
应力应变分析及仿真实验
（3）应变模态和应变值选用 X、Y 方向时：
2.1.2 频率为 8Hz（自然频率） （1）应变模态和应变值选用 6 个方向时：
（2）应变模态和应变值选用 X、Y 和 xy 切方向时：
（3）应变模态和应变值选用 X、Y 方向时：
2.1.3 频率为 15Hz （1）应变模态和应变值选用 6 个方向时：
通过 ansys 直接读取的应变值如下：
NODE EPELX EPELY EPELZ EPELXY EPELYZ EPELXZ 173 -0.15963E-02-0.12650E-04 0.30648E-03 0.99216E-04-0.78163E-19 0.12150E-19 181 -0.15643E-02-0.10177E-04 0.29990E-03 0.14003E-04-0.75947E-19 0.17149E-20 2411 -0.20190E-02 0.20524E-03 0.34548E-03 0.11681E-04-0.34348E-19 0.14305E-20
仿真总结 实验结果图附在文章的最后面，一共选取了 6 个频率处的情况进行了分析， 对每个频率处又分析了 3 种应变值的情况， 也就是 3 种传感器布局的情况。对实 验分析的总结有一下两点。 （1）对于每一种特定的频率，使用的应变模态和应变值越多，误差越小。 其实，使用的应变值的个数就是传感器的个数，当我们采用 X、Y 方向的应变值 的时候，就要在同一点放置两个正交的传感器；当我们采用 X、Y 以及 xy 切方向 的应变时，相当于放置了 3 个传感器；同样，使用 6 个方向的应变值的时候，相 当于 6 个传感器，当然，有些切方向应变为 0。一个重要的规律就是，在自然频 率处或者低频范围内， 三种传感器布局之间的误差比较小， 也是就说， 在实验中， 使用正交的传感器布局基本能满足实验要求。当频率很大时，误差很大，且三者 之间的误差也变大。可能原因，在高频时，变形比较复杂，对传感器的布局和模 态数量的要求都比较高。 2.2 应变值/ EMS 误差 （%） X、Y 方向应变 5Hz 5.85 0.60 8Hz(自然) 15Hz 11.88 0.52 19Hz(自然) 1.95 23Hz(自然) 27Hz 27.02 X、Y 及 XY 切方向 5.29 0.54 10.68 0.46 1.74 23.87 6 个方向 5.00 0.51 10.02 0.43 1.61 21.99
应力-应变关系
3、变形累积
与土的变形累计规律类似 当较小时，趋于缓慢稳定增加 当较大时，急剧增加 随增加，稳定的增加
4、泊松比
一般0.2-0.5，一般取0.25-0.35
三、稳定类材料
1、强度特性
• 强度来源：黏结力，内摩擦力 • 当采用黏结力、内摩擦力的概念时，总与剪切有关。实际
抗弯拉强度，抗剪切强度，抗拉强度 影响因素：沥青的性质与含量，集料的性质与级配， 温度和加荷速率
抗剪切强度（P53，图5-14、5-15） 抗拉强度（P54，图5-19）
6、疲劳特性
试验方法，梁式、劈裂和悬臂式
加载方法
• 应力控制，试验过程中保持所加的荷载不变，应变不断增 大，P58，图5-23
• 应变控制，试验过程中保持所加的应变不变，应力不断减 小；破坏不明显，一般定义为模量衰变50%时为破坏点； P58，图5-23
• 目前已经逐步趋向于采用应变控制
疲劳方程 双对数直线方程
b
Nf
a
1
r
d
εLog ε
Nf
c
1
r
Log N
目前一般采用应变表示法。
k为系数，k1=7.0-15.7，k2=0.46-0.64
由于σ1与σ3有关，所以模量还可以表示为：
Er f1 3 f2
荷载-弯沉关系
随着荷载（弯沉）的增大，模量在增加
P 破坏点 l
设计中的考虑
粒料模量的取值比较困难，因为E=F（应力， 棱角，纹理，密度），设计中无法考虑这 么详细
• 典型蠕变关系曲线见图。
温度影响：受温度影响是沥青混合料的主要 特点之一，高低温时应变可相差几十倍
复合材料力学答案
复合材料力学答案【篇一：材料力学】教程第二版 pdf格式下载单辉祖主编本书是单辉祖主编《材料力学教程》的第2版。
是根据高等工业院校《材料力学教学基本要求》修订而成。
可作为一般高等工业院校中、少学时类材料力学课程的教材，也可作为多学时类材料力学课程基本部分的教材，还可供有关工程技术人员参考。
内容简介回到顶部↑本教村是普通高等教育“十五”国家级规划教材。
. 本教材仍保持第一版模块式的特点，由《材料力学(Ⅰ)》与《材料力学(Ⅱ)》两部分组成。
《材料力学(Ⅰ)》包括材料力学的基本部分，涉及杆件变形的基本形式与组合形式，涵盖强度、刚度与稳定性问题。
《材料力学(Ⅱ)》包括材料力学的加深与扩展部分。
本书为《材料力学(Ⅱ)》，包括非对称弯曲与特殊梁能量法(二)、能量法(二)、静不定问题分析、杆与杆系分析的计算机方法、应力分析的实验方法、疲劳与断裂以及考虑材料塑性的强度计算等八章。
各章均附有复匀题与习题，个别章还安排了利用计算机解题的作业。
..与第一版相同，本教材具有论述严谨、文字精炼、重视基础与应用、重视学生能力培养、专业面宽与教学适用性强等特点，而且，在选材与论述上，特别注意与近代力学的发展相适应。
本教材可作为高等学校工科本科多学时类材料力学课程教材，也可供高职高专、成人高校师生以及工程技术人员参考。
以本教材为主教材的相关教学资源，尚有《材料力学课堂教学多媒体课件与教学参考》、《材料力学学习指导书》、《材料力学网上作业与查询系统》与《材料力学网络课程》等。
...作译者回到顶部↑本书提供作译者介绍单辉祖，北京航空航天大学教。
1953年毕业于华东航空学院飞机结构专业，1954年在北京航空学院飞机结构专业研究生班学习。
1992—1993年，在美国特拉华大学复合材料中心．从事合作研究。
.历任教育部工科力学教材编审委员、国家教委工科力学课程指导委员会委员、中国力学学会教育工作委员会副主任委员、北京航空航天大学校务委员会委员、校学科评审组成员与校教学指导委员会委员等。
主体结构工程检测中的应力-应变关系研究与分析
主体结构工程检测中的应力-应变关系研究与分析摘要：本文研究了主体结构工程检测中的应力-应变关系，并分析了其在工程实践中的应用。
首先介绍了主体结构工程检测的非破坏性和破坏性方法与技术，包括声波检测、热红外检测、振动监测、磁性检测、应力板法和应变计法等。
接着重点探讨了应力-应变关系的研究与建模，包括弹性、塑性和黏弹性模型，以及材料特性和本构关系的影响因素。
此外，还介绍了数值模拟和计算方法，如有限元法和边界元法。
最后，通过桥梁结构、建筑结构以及输电线路和电力设施等应用案例，展示了应力-应变分析在主体结构工程检测中的实际应用价值。
这些研究和分析有助于评估结构的健康状况、预测寿命和指导工程维护和加固工作的决策。
关键词：主体结构工程；检测；应力-应变1 引言主体结构工程的安全性和可靠性对于人们的生活和财产安全至关重要。
为了保证主体结构的正常运行和预防事故的发生，需要对其进行定期的检测与评估。
应力-应变关系是主体结构工程检测中的一个重要研究内容，它描述了结构在受力时的变形和应力分布情况。
通过研究和分析应力-应变关系，可以评估结构的健康状况、预测其寿命以及指导维修和加固工作。
2 主体结构工程检测的方法与技术主体结构工程检测是确保结构安全和可靠性的重要环节。
为了实现对主体结构的全面评估，需要采用各种方法和技术进行检测。
其中包括非破坏性检测技术和破坏性检测技术。
非破坏性检测技术是主体结构工程检测中常用的方法之一。
其主要特点是在不破坏结构完整性的前提下，通过对结构表面或内部进行观测和测试，获取结构的性能参数和缺陷信息。
其中，声波检测是一种常见的非破坏性检测方法，通过声波的传播和反射来检测结构中的缺陷、裂纹等问题。
热红外检测则利用红外辐射测量结构表面的温度分布，以识别热损伤、漏水等问题。
振动监测则通过对结构的振动响应进行分析，判断结构的刚度、固有频率以及可能存在的损伤。
磁性检测则通过磁场的变化来检测结构中的缺陷和裂纹。
应力应变关系
第四章 应力应变关系前一章引进了应力和应变的概念以及应力分析和应变分析的公式。
应力分析仅用到力的平衡概念，应变分析仅用到几何关系和位移的连续性。
这些都没有涉及到所研究物体的材料性质。
本章开始将研究材料的性质。
这些性质决定了各种材料特殊的应力－应变关系，显示出材料的力学性能。
下面将着重描述低碳钢的力学性能，介绍各向同性材料的广义胡克定律。
作为选读材料，将介绍各向异性的复合材料单层板的应力－应变关系。
§4-1 低碳钢的拉伸试验在分别考虑了应力和应变后，从直觉上知道这两个量是互相关联的。
事实上，在第一章的绪论里已经提到过应力应变之间的胡克定律。
它描述了很大一类材料在小变形范围，在简单拉伸（压缩）条件下所具有的线性弹性的力学性能。
低碳钢Q235是工程上常用的金属材料。
这一节着重介绍低碳钢的力学性能，然后简单介绍其他一些材料的性能。
有关材料性能的知识来自于宏观的材料试验，以及从这些试验得出的宏观的、唯象的理论。
固体物理学家一直在从原子和分子量级上研究这些力学性能的微观基础。
力学家也已开始从细观尺度来分析材料的力学性能，并已经取得了很大进展。
材料力学作为固体力学的入门课程，将只限于材料的宏观力学性能的描述。
为了确定应力与应变关系，最常用的办法是用单向拉伸（压缩）试验来测定材料的力学性质。
这种试验通常是在常温（室温）下对试件进行缓慢而平稳加载的静载试验。
5l d =一、低碳钢拉伸试验按照我国的国家标准 “金属拉伸试验试样” （GB6397－86），将试件按规定做成标准的尺寸。
图4－1所示是一根中间直径为d 的圆杆型试件，两端的直径比中间部分大，以便于在试验机夹头上夹持。
试件中间取一段长度为l 的等直部分作为标距。
对圆截面标准试件，规定标距l 与直径d 的关系为 ，或，分别称为10倍试件和5倍试件。
试件也可制成截面为矩形的平板型，平板试件的10倍与5倍试件的标距分别为10l d==l和l =，其中A 为试件的横截面面积。
第9章应力应变分析及应力应变关系
扭矩 T
沿x轴方向的内力偶矩 M 的分量称为扭矩（其作用面为杆件的横截
面）。
18
弯矩 M y , M z
(M M y M z )
沿y轴和z轴方向上的内力偶矩分量称为弯矩（其作用面分别为xz和xy平 面）。 轴力、剪力、扭矩、弯矩四种内力分别对应于变形体静力学中的所研究 的杆件的四种基本形式，轴向拉压、剪切、扭转、弯曲。 在变形体静力学中，对这些内力分量不需要进行矢量运算，强调的是它 们的变形效应，所以只需用其在自身方向上的投影表示即可。
工程实际中，构件受到载荷作用，要保证构件能正常、安全地工作，必 须解决以下3个问题：
3
变形固体静力学要解决3个方面的问题 1. 强度
指构件承受外力而不发生破坏的能力。 例如：房屋倒塌、飞机坠落、高压容器爆破等都是由于强度不够所导致。
2. 刚度
指构件抵抗变形的能力。 若变形过大，即使构件没有破坏，但也不能正常工作。 例如： 机床主轴变形过大，会影响加工精度。
(4) 外力作用下，一般杆件的内力分析。
2
第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析
§9.1 变形固体静力学的任务
真实应力应变和有效应力应变
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真实应力是指材料在力学响应中所实际承受的应力值，该值考虑了物体的几何构型及其尺寸效应的影响；真实应变则是衡量材料在受力状态下实际发生的形变程度，它涵盖了材料体积变化的考量。
应力与应变分析课件
03
边界元法
边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，适用于解决各种物理问
Байду номын сангаас
题。未来，边界元法将在更多领域得到应用，例如流体力学、电磁场等
问题。
考虑材料非线性的影响
材料非线性是指材料的应力-应变关系不是线性的，需要考虑 材料内部结构、相变等因素的影响。未来，研究人员将进一 步考虑材料非线性的影响，以更准确地预测材料的力学性能 。
解方程
通过加权残值法，求解方程中 的参数，使得残值的平方和最
小化。
05
应力与应变分析在工 程中的应用
结构优化设计
总结词
提高结构性能与稳定性
详细描述
应力与应变分析在结构优化设计中具有重要作用，通过分析可以评估结构的强 度、刚度和稳定性，发现潜在的薄弱环节，为结构设计和改进提供依据，从而 提高结构的性能与稳定性。
应力分类
根据作用力的来源和性质，应力 可以分为多种类型，如正应力、 剪应力、弯曲应力等。
应力与应变的关系
应力的作用
应力作用在物体上，会导致物体 内部发生形变，即应变。
应变分类
应变分为线应变和角应变，分别表 示物体形状和大小的改变。
弹性力学基本方程
描述应力与应变之间关系的方程， 如胡克定律（Hooke's law）。
应力应变关系。
04
应变分析的基本方法
直接方法
定义应变分量
根据物体的形状和受力情况，将物体分为多个小的单元，并定义 每个单元的应变分量。
建立方程
根据弹性力学方程和应变分量的定义，建立物体整体的应变方程。
解方程
根据方程的解，得到每个点的应变值。
最小二乘法
确定目标函数
第10章 应力应变分析及应力应变关系
点的应力状态
(1) 应力矢量与所取截面的方向有关
正应力分量 应力矢量 剪应力分量
它们都是在物体某一截面上定义的，因此应力矢量与所取截面的方 向有关
(2) 一维物体的应力矢量 当研究对象为杆件（一维物体）时，描述的截面仅为杆件的横截面， 正应力、剪应力足以清楚地给出横截面上各点的内力分布。 因此，在研究杆件时，除非特别指明所研究的截面为斜截面，多数情 况只需清楚地描述杆件横截面上任意一点的正应力和剪应力。
y (dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
Ft 0 : dA x (dAcos)sin x (dAcos) cos
y (dAsin ) cos y (dAsin )sin 0
考虑到 x y，仅数值相等
y
(2) 截面上某点的应力是一个矢量。
x
正应力
lim FN
A0 A
(10.1)
剪应力 (切应力) lim FS (10.2)
A0 A
4
应力的量纲与单位
力 长度2
N m2 Pa
MN m2 MPa GN m2 GPa 1GPa 103MPa 109 Pa
0
11 21
12
22
平面应力状态只有3 个不为零的独立分量
x , y , xy yx
(i, j 1,2) (10.14)
16
杆件内各点的平面应力状态
杆件受力时，杆内各点的应力状态通常为平面应力状态。
x xy
xy x yx
y yx yx y xy x xy x yx y
土中应力
基底压力的 分布形式十 分复杂
基础尺寸较小 荷载不是很大
简化计算方法：
假定基底压力按直线分布的材料力学方法
三. 实用简化计算
基础形状与荷载条件的组合
荷载条件
竖直中心 F 矩 形 基 础 形 状 B L
p ( x, y )
竖直偏心
F x y o B
F G A
倾斜偏心 P
L
Mxy Ix Myx Iy
x y ; z xy , yz , zx 0
zx
xy
y yz
x
独立变量： x y , z ;
x y , z
x xy xz 0 0
x xy xz 0 0
0 0 ij = yx y yz zx 0 zy z 0
附加应力
地基沉降变形
基底附加 压力
p 0 p cd p 0 d
§4.4 地基附加应力
竖直 集中力 矩形面积竖直均布荷载
矩形面积竖直三角形荷载 竖直线布荷载
条形面积竖直均布荷载 圆形面积竖直均布荷载
水平 集中力
矩形面积水平均布荷载
特殊面积、特殊荷载
§4.4 地基附加应力
B
L
p ( F G) A
P Pv Ph
F’ 条 形 B
p ( F G) B
'
F’ B
p( x) F G
'
P’
B
Mx I B
F’—单位长 度上的荷载
P Pv Ph
三. 实用简化计算
矩形面积中心荷载
矩形面积偏心荷载
F B
F B
第十章 工程力学之弯曲应力
max拉MWm1ax [拉] ； max压MWm2ax [压]
式中W1和W2分别是相应于最大拉应力 max拉和最大压应力 max压 的抗弯截面模量，[ 压 ] 为材料的许用拉应力，[ 拉 ]为
材料的许用压应力。
例10-1 某冷却塔内支承填料用的梁，可简化为受均布载荷 的简支梁，如图10-8所示。已知梁的跨长为3m，所受均布
加载之前，先在梁的侧面，分别画上与梁轴线垂直的横线mn、 m1n1，与梁轴线平行的纵线ab、a1b1，前二者代表梁的横截面；
后二者代表梁的纵向纤维。如图10-2（a）所示。
在梁的两端加一对力偶，梁处于纯弯曲状态，将产生如图 10-2（b）、图10-2（c）所示的弯曲变形，可以观察到以下 现象：
•两条横线仍为直线，仍与纵线垂直，只是横线间作相对 转动，由平行线变为相交线。
2. 梁的变形规律
可以证明，纯弯曲梁变形后的轴线为一段圆弧。将图10-2(b)
中代表横截面的线段mn和m1n1延长，相交于C点，C点就是梁轴 弯曲后的曲率中心。若用 表示这两个横截面的夹角， 表
示中性层 故有
O
1
O
2
的曲率半径，因为中性层的纤维长度
O
1
O
2
不变，
O1O2
在如图10-2所示的坐标系中，y轴为横截面的对称轴，z轴为
如图10-1（a）所示的简支梁，其剪 力图如图10-1（b）所示，弯矩图如图 10-1（c）所示。可以看出梁中间一段 的剪力为零，而弯矩为常数，即为纯
弯曲； AC 和DB 段上既有剪力，又有
弯矩，为横力弯曲。
一、变形的几何关系
1. 梁的变形特点
如图10-2（a）所示，取梁的纵向对称面为xy平面。梁上的 外载荷就作用在这个平面内，梁的轴线在弯曲变形后也位于这 个平面内。
《工程力学》第十章 弯曲应力
• 三、静力学关系
• 自纯弯曲的梁中截开一个横截
面来分析，如图10-5所示，图
中y轴为横截面的对称轴；z轴
为中性轴，z轴的确切位置待
定。在截面中取一微面积dA，
作用于其上的法向内力元素为
σdA，截面上各处的法向内力
图10-5
元素构成了一个空间平行力系。
• 由于梁弯曲时横截面上没有轴向外力，所以
这些内力元素的合力在x方向的分量应等于
• 图10-3所示。
图10-3
图10-4的对称轴，z轴与截面的中性轴重 合，如图10-4所示，至于中性轴的确切位 置，暂未确定。现研究距中性层y处纵向 纤维ab
• 由平截面规律知，在梁变形后该微段梁两
端相对地旋转了一个角度d ，如果以ρ代
表梁变曲后中性层
《工程力学》第十章 弯曲应力
§10-1梁弯曲时的正应力 设一简支梁如图10-1(a)所示，其上作用两个对称的集中 力P。此时在靠近支座的AC，DB两段内，各横截面上同 时有弯矩M和剪力Q，这种情况的弯曲，称为剪切变曲； 在中段CD内的各横截面上，则只有弯矩M，而无剪力Q， 这种情况的弯曲，称为纯弯曲。为了更集中地分析正应力
（10-15） • Wz称为抗弯截面模量，它是衡量横截面抗
弯强度的一个几何量，其值与横截面的形 状和尺寸有关，单位为米3(m3)或厘米 3(cm3)。对于矩形截面(图10-9)
（10-16）
• 对于圆形截面(图10-10(a))， （10-17）
• 对于空心圆形截面(图10-10(b))，
（10-18）
• (1)若梁较短或载荷很靠近支座，这时梁的最大 弯矩Mmax可能很小，而最大剪应力Qmax却 相对地较大，如果按这时的Mmax来设计截面 尺寸，就不一定能满足剪应力的强度条件；
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Fz 0 : ( xz yz zz ) ( xz yz zz ) 0
(
zydxdy)
dz
(
zzdxdy)
dy 2
(
zzdxdy
)
dy 2
0
12
M y 0 : xz zx (10.8)
(
xxdydz)
dz 2
(
xzdydz)
dx
(
xxdydz)
dz 2
(
yxdxdz)
dz 2
(
yzdxdz)
dx 2
(
y (dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
Ft 0 : dA x (dAcos)sin x (dAcos) cos
y (dAsin ) cos y (dAsin )sin 0
考虑到 x y，仅数值相等
x yx
xy
y
指标形式：
(10.13)
11
i j 21
31
12 22 32
13
1 1
23
i j
21
33
0
12 22
0
0
12 21
0 i j
5
(3) 二维或三维物体的应力矢量 当研究对象为二维或三维物体（如板或块）时，过物体中某一点M， 可以取无数多个不同的截面，无数多个不同方向的截面上的应力矢 量，其中的任意一个并不能全面描述点M的总体应力特性。 因此，需用过一点的所有方向截面上的应力矢量的集合来描述点M 的总体应力特性，称为该点的应力状态。
12 13
22
23
对称
zz 对称
z 对称
33
(10.10)
(10.11)
14
§10.3 平面应力状态分析
平面应力状态
单元体各面上的应力分量中，有的分量为零，而不为零的分量都位于同
一平面内。
假设所有不为零的应力分量都位于xy平面内，如图
法线与xy平面垂直的那些单元体表面上的应 力分量的数值为零。这种应力状态称为平面
用张量指标形式可表示为
i j ji
(10.9)
一点的应力状态
(1) 应力张量——二阶对称张量，9个分量中，6个独立分量。 (2) 一点处的应力张量可写为
xx
xy xz x
yy
yz
或
xy xz 11
y
yz
或
yxdxdz)
dz 2
(
yzdxdz)
dx 2
(
zxdxdy)
dz
(
zz
dxdy
)
dx 2
(
zz
dxdy
)
dx 2
0
Mz 0 : xy yx
(10.7)
( xxdydz)
dy 2
( xydydz) dx
(
xxdydz
)
dy 2
(
3
应力
考察物体截面上的内力分布，
设物体截面某点M处微元面积 A 上的内力合力矢量为F ， 该微元上的内力分布的平均值 F
F
A 当 A 0 时， lim F
A0 A
z
FS
n FN
这一极限值称为物体该截面上该点的应力。
A M
应力的含义：
(1) 应力是内力矢量在该点的集度。
单元体各表面的应力分量
(1) 由“某一截面上应力矢量”的定义，可以知道 单元体的6个表面上定义着该点不同方向截面上的应力矢量，且由于 单元体边长无限小，相对的两个面上应力矢量大小相等、方向相反。
(2) 若以直角坐标来描述应力矢量，则每个表面上的应力矢量可分解为 一个正应力（沿该表面的法线方向） 两个剪应力（沿该表面相互正交的两个切向方向）
则
(10.28) (10.29)
18
x cos2 y sin 2 x sin 2
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin
2
x
y
2
sin
2
x
cos 2
斜截面应力公式
(10.30) (10.31)
19
§10.4 主平面 主方向 主应力 最大剪应力
2
第10章 应力应变分析 应力应变关系
§10.1 应力的概念 一点处的应力状态
引入应力概念的意义
用截面法求得物体任意截面上的内力，这一组内力只是截面上分布内力 的等效力系，一般来说，这一部分内力在截面上各点的数值与方向是不 同的。 对于变形固体来说，为进一步描述内力在截面上的分布性质，需要引入 应力的概念。
zx zy z
(4) 二阶应力张量的矩阵形式
(10.4)
正应力分量 x y z
剪应力分量 xy xz yz yx zx zy
yxx
xy y
xz yz
zx zy z
(10.5)
y
y x x
y
x
x
y y
x y
弹性力学的平面应力记法
工程上平面应力记法
17
斜截面 上的应力状态
m dA y
n
x x
x
ym y t
y y
x x
x x
y y
工程上平面应力记法
Fn 0 : dA x (dAcos) cos x (dAcos)sin
点的应力状态
(1) 应力矢量与所取截面的方向有关
正应力分量 应力矢量 剪应力分量
它们都是在物体某一截面上定义的，因此应力矢量与所取截面的方 向有关
(2) 一维物体的应力矢量 当研究对象为杆件（一维物体）时，描述的截面仅为杆件的横截面， 正应力、剪应力足以清楚地给出横截面上各点的内力分布。 因此，在研究杆件时，除非特别指明所研究的截面为斜截面，多数情 况只需清楚地描述杆件横截面上任意一点的正应力和剪应力。
8
z zz
单元体上的应力分量
zx
zy yz
z
xz
yy xy yx
xx
y yx xy
xx
x
正面上的应力分量
yy
xz
yz
zx
zy
zz
x
负面上的应力分量
y
9
结论：
(1) 以单元体来描述一点的应力状态，仅需要描述该点处3个相互垂直的 截面上的应力状况。
(5) 二阶应力张量的指标形式
将直角坐标系作如下替换：x 1, y 2, z 3
11 12 13
i j 21
22
23
31 32 33
(i, j 1,2,3) (10.6)
11
剪应力互等定理
(1) 若将任意一点处的单元体看作从物体中切出来的一个分离体，则可 对单元体写出全部6个平衡方程
y y yx
应力状态。 平面应力状态，单元体可简化为平面表示方
xy x
法，如图
y
O x
yx
x
y
xy
xy x
z
O
yx
x
y
15
平面应力状态的应力张量
yxx zx
xy y zy
xz yz
x yx
z 0
0
11 21
12
22
平面应力状态只有3 个不为零的
(i, j 1,2) (10.14)
16
杆件内各点的平面应力状态
杆件受力时，杆内各点的应力状态通常为平面应力状态。
x xy
xy x yx
y yx yx y xy x xy x yx y
应力张量
描述一点处应力状态的这些矢量（无穷多个）的集合，要用一种新的物 理量，即二阶张量，称为一点的应力张量。
二阶张量与标量、矢量不同，需要有新的表示方法。
6
§10.2 应力张量的表示方法
为了描述一般受力状态下变形固体内任意一点处的应力状态，需引入一 点处单元体的概念。
单元体（微元体）
若取直角坐标系，可在物体内某点周围，用三对分别垂直于三个坐标轴 的截面切取一个边长无限小的长方体，称为该点的单元体。
10.13 1
第10章 应力应变分析 应力应变关系
本章主要内容
(1) 从静力学的角度给出应力的概念，一点处的应力状态的分析； (2) 从连续介质变形几何学的角度，给出应变的概念，一点处的应变状态
的分析； (3) 应力和应变的关系
将一点处的应力与应变联系起来的是材料本身所固有的力学性能，在 大量实验结果的基础上，本章给出常见工程材料的应力应变关系。