第10章 应力应变分析及应力应变关系

x yx
xy

y

指标形式：
(10.13)
11
i j 21
31
12 22 32
13
1 1

23

i j
21
33
0
12 22
0
0
12 21
0 i j
xy y
0
0 0 0

x yx
xy

y

(10.12)
矩阵形式：
xy yx
yxx zx
xy y zy

xz yz



x yx
z
0
xy y
0
0 0 0
y y yx
应力状态。 平面应力状态，单元体可简化为平面表示方
xy x
法，如图
y
O x
yx
x
y
xy
xy x
z
O
yx
x
y
15
平面应力状态的应力张量
yxx zx
xy y zy

xz yz

x yx
z 0
用张量指标形式可表示为
i j ji
(10.9)
一点的应力状态
(1) 应力张量——二阶对称张量，9个分量中，6个独立分量。 (2) 一点处的应力张量可写为




xx
xy xz x
yy

yz

或

xy xz 11
y

yz

或

点的应力状态
(1) 应力矢量与所取截面的方向有关
正应力分量 应力矢量 剪应力分量
它们都是在物体某一截面上定义的，因此应力矢量与所取截面的方 向有关
(2) 一维物体的应力矢量 当研究对象为杆件（一维物体）时，描述的截面仅为杆件的横截面， 正应力、剪应力足以清楚地给出横截面上各点的内力分布。 因此，在研究杆件时，除非特别指明所研究的截面为斜截面，多数情 况只需清楚地描述杆件横截面上任意一点的正应力和剪应力。
(2) 可以证明，对于二阶张量，只要知道这3个面上9个应力分量，则通 过该点的任意方向截面上的应力矢量就可用其表示出来，即该点的 应力状态是完全确定的。
用二阶张量描述一点的应力状态
(1) 一点的应力状态用二阶张量来描述时，表示方法各种各样，如直角 坐标系、柱坐标系和球坐标系等。
(2) 应力分量按其所在平面及方向依次排列成 3 3 阶方阵
y
(2) 截面上某点的应力是一个矢量。
x
正应力
lim FN
A0 A
(10.1)
剪应力 (切应力) lim FS (10.2)
A0 A
4
应力的量纲与单位
力 长度2
N m2 Pa
MN m2 MPa GN m2 GPa 1GPa 103MPa 109 Pa
(5) 二阶应力张量的指标形式
将直角坐标系作如下替换：x 1, y 2, z 3
11 12 13
i j 21
22

23
31 32 33
(i, j 1,2,3) (10.6)
11
剪应力互等定理
(1) 若将任意一点处的单元体看作从物体中切出来的一个分离体，则可 对单元体写出全部6个平衡方程
Fx 0 : ( xx yx zx ) ( xx yx zx ) 0 Fy 0 : ( xy yy zy ) ( xy yy zy ) 0
Fz 0 : ( xz yz zz ) ( xz yz zz ) 0
则
(10.28) (10.29)
18
x cos2 y sin 2 x sin 2

x
y
2Hale Waihona Puke Baidu
x
y
2
cos 2
x
sin
2


x
y
2
sin
2
x
cos 2
斜截面应力公式
(10.30) (10.31)
19
§10.4 主平面 主方向 主应力 最大剪应力
12 13
22

23
对称
zz 对称
z 对称
33
(10.10)
(10.11)
14
§10.3 平面应力状态分析
平面应力状态
单元体各面上的应力分量中，有的分量为零，而不为零的分量都位于同
一平面内。
假设所有不为零的应力分量都位于xy平面内，如图
法线与xy平面垂直的那些单元体表面上的应 力分量的数值为零。这种应力状态称为平面
应力张量
描述一点处应力状态的这些矢量（无穷多个）的集合，要用一种新的物 理量，即二阶张量，称为一点的应力张量。
二阶张量与标量、矢量不同，需要有新的表示方法。
6
§10.2 应力张量的表示方法
为了描述一般受力状态下变形固体内任意一点处的应力状态，需引入一 点处单元体的概念。
单元体（微元体）
若取直角坐标系，可在物体内某点周围，用三对分别垂直于三个坐标轴 的截面切取一个边长无限小的长方体，称为该点的单元体。
(
zydxdy)

dz

(
zzdxdy)

dy 2

(
zzdxdy
)

dy 2
0
12
M y 0 : xz zx (10.8)
(
xxdydz)

dz 2

(
xzdydz)

dx

(
xxdydz)

dz 2

(
yxdxdz)

dz 2

(
yzdxdz)

dx 2

(
单元体各表面的应力分量
(1) 由“某一截面上应力矢量”的定义，可以知道 单元体的6个表面上定义着该点不同方向截面上的应力矢量，且由于 单元体边长无限小，相对的两个面上应力矢量大小相等、方向相反。
(2) 若以直角坐标来描述应力矢量，则每个表面上的应力矢量可分解为 一个正应力（沿该表面的法线方向） 两个剪应力（沿该表面相互正交的两个切向方向）
5
(3) 二维或三维物体的应力矢量 当研究对象为二维或三维物体（如板或块）时，过物体中某一点M， 可以取无数多个不同的截面，无数多个不同方向的截面上的应力矢 量，其中的任意一个并不能全面描述点M的总体应力特性。 因此，需用过一点的所有方向截面上的应力矢量的集合来描述点M 的总体应力特性，称为该点的应力状态。
2
第10章 应力应变分析 应力应变关系
§10.1 应力的概念 一点处的应力状态
引入应力概念的意义
用截面法求得物体任意截面上的内力，这一组内力只是截面上分布内力 的等效力系，一般来说，这一部分内力在截面上各点的数值与方向是不 同的。 对于变形固体来说，为进一步描述内力在截面上的分布性质，需要引入 应力的概念。
8
z zz
单元体上的应力分量
zx
zy yz
z
xz
yy xy yx
xx
y yx xy
xx
x
正面上的应力分量
yy
xz
yz
zx
zy
zz
x
负面上的应力分量
y
9
结论：
(1) 以单元体来描述一点的应力状态，仅需要描述该点处3个相互垂直的 截面上的应力状况。
7
(3) 应力矢量的记法 a. 以x、y、z轴方向表示单元体三对相互垂直的表面法线方向， 正面——外法线方向与坐标轴正向一致的表面； 负面——外法线方向与坐标轴正向相反的表面； b. 各表面上应力的记法
i j i——应力分量所在平面的法线方向
j——应力分量指向 c. 应力分量的“+,-”规定
正面上与坐标轴同向的应力分量为“+”； 负面上与坐标轴反向的应力分量为“+”， 反之为“-”。 (4) 各面上的应力分量及正向，如图所示。
10.13 1
第10章 应力应变分析 应力应变关系
本章主要内容
(1) 从静力学的角度给出应力的概念，一点处的应力状态的分析； (2) 从连续介质变形几何学的角度，给出应变的概念，一点处的应变状态
的分析； (3) 应力和应变的关系
将一点处的应力与应变联系起来的是材料本身所固有的力学性能，在 大量实验结果的基础上，本章给出常见工程材料的应力应变关系。
y (dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
Ft 0 : dA x (dAcos)sin x (dAcos) cos
y (dAsin ) cos y (dAsin )sin 0
考虑到 x y，仅数值相等
xx xy xz
yx
yy

yz

zx zy zz
(10.3)
正应力分量 xx yy zz
剪应力分量 xy xz yz yx zx zy
(3) 常常写作以下形式：
10
yxx
xy y

xz yz
yxdxdz)

dz 2

(
yzdxdz)

dx 2

(
zxdxdy)

dz

(
zz
dxdy
)

dx 2

(
zz
dxdy
)

dx 2
0
Mz 0 : xy yx
(10.7)

( xxdydz)
dy 2

( xydydz) dx

(
xxdydz
)

dy 2

(
若给定外力，正应力 x , y 和剪应力 x确定，
(10.30)
x cos2 y sin 2 x sin 2

x
y
2

x
y
2
cos 2
x
（假设研究的物体不存在体力矩）
M x 0 : yz zy (10.8)

( xydydz)

dz 2

(
xzdydz)

dy 2

(
xydydz)

dz 2

(
xzdydz)

dy 2

(
yydzdx)

dz 2

(
yzdxdz)
dy

(
yydxdz
)

dz 2

yxdxdz
)

dy

(
yydxdz)

dx 2

(
yydxdz)

dx 2

(
zxdxdy)

dy 2

(
zydxdy)

dx 2

( zxdxdy)
dy 2

( zydxdy)
dx 2
0
13
(2) 剪应力互等定理
在物体内任一点处互相垂直的两个截面上，剪应力总是同时存在， 且大小相等，两者的方向共同指向或共同背离这个两截面的交线。
3
应力
考察物体截面上的内力分布，

设物体截面某点M处微元面积 A 上的内力合力矢量为F ， 该微元上的内力分布的平均值 F
F
A 当 A 0 时， lim F
A0 A
z
FS
n FN
这一极限值称为物体该截面上该点的应力。
A M
应力的含义：
(1) 应力是内力矢量在该点的集度。
y
y x x
y
x
x
y y
x y
弹性力学的平面应力记法
工程上平面应力记法
17
斜截面 上的应力状态
m dA y
n
x x
x
ym y t
y y
x x
x x
y y
工程上平面应力记法
Fn 0 : dA x (dAcos) cos x (dAcos)sin

zx zy z
(4) 二阶应力张量的矩阵形式
(10.4)
正应力分量 x y z
剪应力分量 xy xz yz yx zx zy
yxx
xy y

xz yz

zx zy z
(10.5)
第10章 应力应变分析 应力应变关系 6学时
10.1 应力的概念 一点处的应力状态 10.2 应力张量的表示方法 10.3 平面应力状态分析 10.4 主平面 主方向 主应力 最大剪应力 10.5 莫尔圆 10.6 三向应力状态分析 10.7 应变分析 10.8 应力应变关系 作业 10.6(1) 10.7(1)(2) 10.9 10.10 10.11 10.12
0


11 21
12

22

平面应力状态只有3 个不为零的独立分量
x , y , xy yx
(i, j 1,2) (10.14)
16
杆件内各点的平面应力状态
杆件受力时，杆内各点的应力状态通常为平面应力状态。
x xy
xy x yx
y yx yx y xy x xy x yx y