4统计规律-3麦克斯韦分子速率分布定律

平动
分子热运动 转动
分子内原子间振动
讨论能量问题：要包含转动和振动能量，
从而将分子视为——质点组
各个分子无规运动，能量不断变化。 平衡态下，大量分子系统： 分子各种运动形式的能量分布及平均总能量均遵守
统计规律--各种平均能量按自由度均分.
2 .自由度：确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数 总自由度数=平动自由度+转动自由度+振动自由 度 i t r s 1） 质点：只有平动，最多三个自由度 (x, y, z)
2) 推导公式：
“跟踪”一个分子A，认为其它分子不动，A以平均 相对速率 u 相对其它分子运动。 A球心轨迹：折线 质心与折线距离 < d 的分 子将与A相碰；
u
质心与折线距离 > d 的分 子将不与A相碰
d 2 : 碰 撞 截 面 时间 t 内，A通过的折线长 u t
以折线为轴的曲折圆柱体积 圆柱内分子数
1 . 分子平均碰撞频率
1） 模型的改变：
z
单位时间内每个分子平均与其它分子相撞次数 思考： 是否可以象求 p 那样视为质点？ 是否需要象计算 E 那样考虑内部结构？ 分析分子碰撞的过程 •分子间相互作用
r r 0 斥力 0 F
r r 0 0 F r r 0 引力 0 F
r r 0 0 F
[ B ]
练习
6.在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率 与气体的热力学温度 T 的关系为:
(A) z 与T 无关。 (C) z与 成反比。 T
T (B) z 与 成正比。
z
(D) z与T 成正比。
z 2 d2n v p 8 kT 2 d 1 T kT m
2
[C]
练习
7.下列各式中哪一种表示气体分子的平均平动动能？ （式中 M 为气体的质量,m 为气体分子的质量, N 为气 体分子总数目, n 为气体分子密度, N0 为阿伏加德罗常 数, Mmol为摩尔质量。） 3M 3m pV ; （B） 2 M mol pV ; （ A） 2M
V 2 V , n n 2
1 2d 2 n
p nkT 不变， n n 2 ,T 2 T
v
8RT

i k kT 2
练习 3..容器中储有一定量理想气体,温度为 T ,分子质量 为 m ,则分子速度在 x 方向的分量的平均值为: （A） v
x

1 3
8kT m
1 kT 2 3 kT 2 i kT 2 i RT 2
: 平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能 : :
:
平衡态下，物质分子的平均平动动能 平衡态下，物质分子的平均总动能 平衡态下，1mol 理想气体内能
M i M RT : 平 衡 态 下mol ，理 想 气 体 内 能 2
练习：
P639 19-12
•两分子相碰过程（经典模型）
r r 0 匀 速 直 线 运 动A
B
r r 0 加速
r r v 0 v max
r r 0 减速
r d v 0 返回
分子间最小距离 d 与分子初动 能有关，其统计平均值—分子 10 的有效直径。 ( 一般 10 m )
A d A d
B
B
分子相撞——视为直径为 d 的刚性小球的弹性碰撞
t t kT
2
E M i RT 2
p M RT V
5 : 3 10 :3 2 4
练习 2. 一定量的理想气体，经等压过程从 V
2V
则表述分子运动的下列各量与原来的量值之比是： 2 ： 1 1） 平均自由程：___________
2 :1 2） 平均速率：___________
2 ： 1 3） 平均动能：___________ 解：
3 （C） npV ; 2
3M mol N pV . （D） 2M 0
3 3 RT mM 3 m MRT 3 m kT pV
t
2
2 N 2 M M 2 M 0 mM m ol
[ A ]
练习 8.一瓶氦气 He 和一瓶氮气 N2 质量密度相同,分子 平均平动动能相同,而且都处于平衡状态,则它们： （A）温度相同、压强相同。 （B）温度、压强都不同。 （C）温度相同,但氦气的压强大于氮气的压强。 （D）温度相同,但氦气的压强小于氮气的压强。
3） 理想气体内能：（分子数 N） 模型：分子间无相互作用~无分子相互作用势能
i 分子动能： N kT 2 s 原子振动势能： N kT 2
1 N(t r2 s) kT 2
模型：刚性分子~无振动自由度 分子数为 N 的理想气体的内能为
i t r
i EN k N kT 2
平动自由度： t =3 转动自由度： r =3 最多6个自由度: i = t +r = 6 定轴刚体 : i = r = 1 ( )
3）气体分子
单原子分子—自由质点 i = t =3 双原子分子—轻弹簧联系的两个质点
质心位置 t = 3
m m r 2 位 1, 2连 线 方
m s1 1 ,m 2 相对于质心的位置
k
i kT 2
1 2
定性说明：由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式、各自由度 之间转移，平衡时，各种平均动能按自由度均分。 由温度公式
1 2 1 2 2 2 3 m v m ( v v v kT t x y z) 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 v v v 每个自由度上的平均平动动能： m x m y m z kT 2 2 2 2
一容积为10cm3 的电子管，当温度为 300K时，将管 内抽成压强为5☓10-6 mmHg的高真空，求此时 1.管内空气分子数； 2.这些分子的平均平动动能的总和；
3.这些分子的平均转动动能的总和；
4.这些分子的平均动能的总和； 空气——刚性双原子分子气体
3 6 V 10 cm T 300 K p 5 10 mm Hg
练习 5. 水蒸气分解为同温度 T 的氢气和氧气,即 H2OH2+0.5O2 内能增加了多少？ （A）50% （C）66.7% （B）25% （D）0.
1 mol H2O : E 6RT 2 1 mol H2 : E 5RT 2 E 5RT 4 0.5 mol O2 :
Hale Waihona Puke E 3RT 4; E E 1 4
（B） v x （D） v

8 kT 3 m
（C） v x

3 kT 2m
x
0
[ D ]
4.标准状态下,若氧气和氦气的体积比V1/V2 = 1/2, 则其内能 E1/E2 为: （A）1/2 ; （C）3/2 ; （B）5/6 ; （D）1/3 .
E V 15 i i 1 i 1 1 5 M E RT pV ; [ B ] 2 2 E V 26 2 i 2 2 3
i t 3
受限制时自由度减少 飞机（视为质点 ） 轮船 火车
t =3
t =2
t =1
2） 刚体
y
决定质心位置 ( x, y,z )

o z

过质心转轴方位
(, , 之二）
x c ,y ,z
x
2 2 2 cos cos cos 1
刚体相对于轴的方位 ( )
v z 1 2 d 2n

kT 2 d 2 p
p nkT
8 7 常温常压下： 10 ~ 10 m为分子有效直径的数百倍
注意： 当 p 很小， n 很小时，算出的 容器线度
这时 容器线度
练习：在气体放电管中，电子不断与气体分子碰撞。因 为电子速率远大于气体分子的平均速率，所以可以认为 气体分子不动。设气体分子的有效直径为 d ，电子“有 效直径”比起气体分子来可以忽略不计，求：
u t d 2
n u t d2
单位时间内平均碰撞次数
n u d2
平均相对速率
v v
u
2v
v v
v
u
A
A
u 0
B
A
u2 v
B
B v
u 2v
平均碰撞频率 一般：
z 2n d2v
9 10 10 ~ 10 s1
2.分子平均自由程
1） 定义 分子在连续两次碰撞间通过的自由路程的平均值。 2）
对 1mol 刚性分子理想气体
i i E N kT RT A 2 2
对
M

M i E RT mol 刚性分子理想气体 2
单原子分子 刚性双原子分子
E
M 3 RT 2
M 5 E RT 2
E M 3 RT
刚性多原子分子

理想气体内能是温度 T 的单值函数
练习：指出下列各式的物理意义
1.电子与气体分子的碰撞截面 2.电子与气体分子碰撞的平均自由程（气体分子数密度 n ） 解： 1) 碰撞截面
d2 1 2 s ( R r ) ( ) d e 2 4
2
2） 设气体分子不动，电子平均速率
ve
单位时间内与电子相碰的气体分子数： z n d2 ve 4 v 4 平均自由程： e nd2 z
5 8 N N ( ) pV 1 . 67 10 ( J ) t r 2
4)
四. 分子碰撞的统计规律 分子速率分布 平均动能按自由度分布 都是依赖分子间 频繁碰撞实现的
每个分子1秒内与其它分子相撞次数 连续两次相撞间经过的时间间隔 连续两次相撞间通过的路程 只能求统计平均值， 寻求其统计规律。 均不确定
2）实际气体的内能：（分子数 N）