简谐振动振动合成ppt课件
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高中物理奥林匹克竞赛专题--振动合成(共23张PPT)
52 52 255cos4 5cm
3
a rc ta nA 1 s in1 A 2s in2 a rc ta n0
A 1 c o s1 A 2c o s2
1
x5cos(t)cm
2
练习九，十
xx
x1
x2
xAcos(t)
t
结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率 的谐振动
152、–矢8量法多普勒效应
设有：
Y
A2
第十五章 机械波 A
x1A 1cos(t1)
x2A 2cos(t2)
xAcos(t)
2 1
O
证明：A 所代表的谐振动就是合振动 x
一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出 较复杂性的情况
x
x1
x x1 x2
x2
t
叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大 的两个谐振动的叠加
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
声音时大时小---“拍现象”
若有： x1A 1cos(1t1)
x2A 2cos(2t2)
设 1 2 但：1 2
相位依次相差，求合振动的振幅与相位。
设：（N=5）
x1 acost
x2acos(t)
x3acos(t2)
x4acos(t3)
x5acos(t4)
a5
a4
a3
a2 a1 X
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
A
A2
2 1
ca o c so ( s 2 [ 1 )]
a
2 1 A1
大学物理(简谐振动篇)ppt课件
通过图表展示实验结果，如位移-时间 图、速度-时间图等，以便更直观地分 析振动特性。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验目的通过观察Βιβλιοθήκη 测量波动现象，验证波动方程的正确性。
实验原理
利用波动方程描述波的传播规律，通过实验数据验证理论预测。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验设计思路
选择合适的波动源和测量仪器，如振动台、激光 干涉仪等。
01
实验步骤
02
搭建实验装置，包括弹簧、振子、测量仪器等。
调整实验参数，如弹簧劲度系数、振子质量等，以获得不同条
03
件下的振动数据。
弹簧振子实验设计思路分享
使用测量仪器记录振动的位移、速度 、加速度等数据。
对实验数据进行处理和分析，提取简 谐振动的基本特征。
单摆实验数据处理技巧指导
实验目的
通过观察和测量单摆的运动，研究简谐振动的基本规律。
波动传播速度
波动在介质中传播的速度称为波动传播速度。对于简谐振动 形成的机械波而言，波动传播速度与介质的性质有关，如弹 性模量、密度等。同时，波动传播速度还与振动的频率有关 ，频率越高则波动传播速度越快。
02
简谐振动的动力学特征
回复力与加速度关系
回复力定义
指向平衡位置的力，大小与位移成正比，方 向始终指向平衡位置。
1 研究非线性振动现象
通过设计和实施非线性振动实验，探索非线性振动的基 本规律和特性，如混沌现象、分岔行为等。
2 探究复杂系统中的振动传播
研究复杂网络中振动传播的动力学行为，揭示网络结构 对振动传播的影响机制。
3 开发新型振动传感器件
结合微纳加工技术和振动理论，设计并制作具有高灵敏 度、高分辨率的振动传感器件，应用于精密测量和工程 领域。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验目的通过观察Βιβλιοθήκη 测量波动现象，验证波动方程的正确性。
实验原理
利用波动方程描述波的传播规律，通过实验数据验证理论预测。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验设计思路
选择合适的波动源和测量仪器，如振动台、激光 干涉仪等。
01
实验步骤
02
搭建实验装置，包括弹簧、振子、测量仪器等。
调整实验参数，如弹簧劲度系数、振子质量等，以获得不同条
03
件下的振动数据。
弹簧振子实验设计思路分享
使用测量仪器记录振动的位移、速度 、加速度等数据。
对实验数据进行处理和分析，提取简 谐振动的基本特征。
单摆实验数据处理技巧指导
实验目的
通过观察和测量单摆的运动，研究简谐振动的基本规律。
波动传播速度
波动在介质中传播的速度称为波动传播速度。对于简谐振动 形成的机械波而言，波动传播速度与介质的性质有关，如弹 性模量、密度等。同时，波动传播速度还与振动的频率有关 ，频率越高则波动传播速度越快。
02
简谐振动的动力学特征
回复力与加速度关系
回复力定义
指向平衡位置的力，大小与位移成正比，方 向始终指向平衡位置。
1 研究非线性振动现象
通过设计和实施非线性振动实验，探索非线性振动的基 本规律和特性，如混沌现象、分岔行为等。
2 探究复杂系统中的振动传播
研究复杂网络中振动传播的动力学行为，揭示网络结构 对振动传播的影响机制。
3 开发新型振动传感器件
结合微纳加工技术和振动理论，设计并制作具有高灵敏 度、高分辨率的振动传感器件，应用于精密测量和工程 领域。
振动合成.ppt
合
A1 sin 1
成
A1 cos1 A2 cos2
(1) : x1和 x2 的角频率
(2)A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) x Acos( t )
(3) tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
两个简谐运动的合成（二）
同一直线上不同频率的简谐运动的合成
振动在同一直线上
振幅相同 初相相同`
振动频率不同
x1 A cos(1t ) 分振动 x2 A cos(2t )
合振动 x x1 x2
x x1 x2
A cos(1t ) A cos(2t )
A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
频率与函数变化关系
y 3cos1t y 3cos 5t
三角函数的和差化积公式
cos cos
2cos cos
2
2
2
A
c
os
2
1
t
cos(2
1
t
)
2
2
2 1 2 1
A~ cos(2 1 t )
2
拍的形成
近似简谐运动——拍
A~ 2Acos2 1 t
2
振幅调节
总 （1）同一直线上同频率的简谐运动的合成
结 求合运动的方法：相量图，矢量求合。
x Acos( t ) 简谐运动
一个质点参与两个在同一直线上频率相同的 简谐振动，其合成运动仍为简谐振动。
p204 17.19 一个质点同时参与两个在同一直线 上的简谐运动
大学物理学课件-振动的合成与分解
大学物理学
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4.2 振动的合成与分解
分析：
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1 )
（1）若两分振动同相：
2 1 2 k
A A1 A2
k 0,1, 2,
两分振动相互加强
（2）若两分振动反相:
2 1 ( 2 k 1)
×
×
−
()
()
得
−
= ( − )
大学物理学
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4.2 振动的合成与分解
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
分振动
x A1 cos( t 1 )
y A2 cos( t 2 )
= 0
= /4
P
.
·
= /2
= 3/4
= 3/2
= 7/4
Q
=
= 5/4
0 时，逆时针方向转动。
0 时，顺时针方向转动。
大学物理学
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四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成
两振动的频率成整数比
2
1
2
2
A1 A2
A1 A2
(1)2 1 0
x
y 2
(
) 0
A1 A2
y
A2
y
x
A1
x
质点离开平衡位置的位移
S
大学物理学
x2 y2
A12 A2 2 cos( t )
大学物理课件---简谐振动的合成.-..李培官..2013.8.3
合成振动表达式：
x(t ) A cos( 1t ) A cos( 2t )
( 2 1 )t ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
随t变化缓慢
随t变化较快
14
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
(2 1 )t | 当 1与 2 都很大，且相差甚微时，可将 | 2 A cos 2 视为振幅变化部分，合成振动是以 ( 2 1 ) / 2 为角频率
3
1)当
2 1 2k
时,
( k 0,1,2,) 0,1,2,)
A2
2)当 2 1 （2k 1） 时, ( k
A A1 A2
合振动振幅最大.
A | A1 A2 | 合振动振幅最小.
3). 一般情况
A1 A2 A A1 A2 x x
20
x2 y2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
1）
2 1 0, π合振动为线振动。
π 2 1 合振动为正椭圆。 2
2）
且当 A1=A2 时,即为圆。 3） 一般情况下，合振动为斜椭圆。
H= A1.Sin(φ1)+A2.Sin(φ2)+...+An.Sin(φn) H= ASin(π/2)+A.Sin(7π/6)+A.Sin(11π/6)=0 L= A1Cos(φ1)+A2.Cos(φ2)+...+An.Cos(φn) = ACos(π/2)+A.Cos(7π/6)+A.Cos(11π/6)=0
• A合=(H2+L2)1/2 =0 • 合振动： X=A合Cos(ωt+φ)=0
x(t ) A cos( 1t ) A cos( 2t )
( 2 1 )t ( 2 1 )t 2 A cos cos[ ] 2 2
随t变化缓慢
随t变化较快
14
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
(2 1 )t | 当 1与 2 都很大，且相差甚微时，可将 | 2 A cos 2 视为振幅变化部分，合成振动是以 ( 2 1 ) / 2 为角频率
3
1)当
2 1 2k
时,
( k 0,1,2,) 0,1,2,)
A2
2)当 2 1 （2k 1） 时, ( k
A A1 A2
合振动振幅最大.
A | A1 A2 | 合振动振幅最小.
3). 一般情况
A1 A2 A A1 A2 x x
20
x2 y2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
1）
2 1 0, π合振动为线振动。
π 2 1 合振动为正椭圆。 2
2）
且当 A1=A2 时,即为圆。 3） 一般情况下，合振动为斜椭圆。
H= A1.Sin(φ1)+A2.Sin(φ2)+...+An.Sin(φn) H= ASin(π/2)+A.Sin(7π/6)+A.Sin(11π/6)=0 L= A1Cos(φ1)+A2.Cos(φ2)+...+An.Cos(φn) = ACos(π/2)+A.Cos(7π/6)+A.Cos(11π/6)=0
• A合=(H2+L2)1/2 =0 • 合振动： X=A合Cos(ωt+φ)=0
简谐振动的合成PPT(课件)-高中物理竞赛
2）反相位 2 0 1 0(2 k 1 )π(k0， 1, )
xx
o A1
20
o
A
A2
Tt
AA1A2
两个同方向同频率的合振动振幅与分振动的相位关系
（1）相位差 20102kπ (k0， 1， )
两个简谐振动的相位相同，合振动的振幅
AA1A2 相互加强
若 A1 A2 则 A2A1
（2）相位差 20 10 (2k1)π(k0， 1， )
不仅与两分振幅有关，而且还与相02位差10
讨论两种特殊相位情况 A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s0 (1)0
1）同相位 2 0 1 02 kπ(k0， 1 ， 2 , ) xx
0
o
A1
o
A2
A
AA1A2
T
t
讨论两种特殊相位情况 A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s0 (1)0
由余弦定理
A
A2
A2si n20
A 2010 0
x x x x 2
A1cos10
A1si n10
1
1A2 cos20
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2co2 s 0 1 ()0
tan0A A 1 1c so i n1 1 s0 0 A A 2 2scio n2 2 s0 0
两个简谐振动的相位相反，合振动的振幅
AA1A2 相互削弱
若 A1 A2 则 AO
（3）一般情况
A 1A 2A A 1A 2
合振动的振幅在 A1 A2 和 A1 A2 之间
例 两个同方向的简谐振动曲线如图所示，求合振动 方程。
x
攀登雪山时，尽量避免大声讲话，以免引起共振造成雪崩。
xx
o A1
20
o
A
A2
Tt
AA1A2
两个同方向同频率的合振动振幅与分振动的相位关系
（1）相位差 20102kπ (k0， 1， )
两个简谐振动的相位相同，合振动的振幅
AA1A2 相互加强
若 A1 A2 则 A2A1
（2）相位差 20 10 (2k1)π(k0， 1， )
不仅与两分振幅有关，而且还与相02位差10
讨论两种特殊相位情况 A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s0 (1)0
1）同相位 2 0 1 02 kπ(k0， 1 ， 2 , ) xx
0
o
A1
o
A2
A
AA1A2
T
t
讨论两种特殊相位情况 A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s0 (1)0
由余弦定理
A
A2
A2si n20
A 2010 0
x x x x 2
A1cos10
A1si n10
1
1A2 cos20
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2co2 s 0 1 ()0
tan0A A 1 1c so i n1 1 s0 0 A A 2 2scio n2 2 s0 0
两个简谐振动的相位相反，合振动的振幅
AA1A2 相互削弱
若 A1 A2 则 AO
（3）一般情况
A 1A 2A A 1A 2
合振动的振幅在 A1 A2 和 A1 A2 之间
例 两个同方向的简谐振动曲线如图所示，求合振动 方程。
x
攀登雪山时，尽量避免大声讲话，以免引起共振造成雪崩。
医用物理学教学课件 第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2[cos01 cos02 sin01 sin02]
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
t4 t3
t2
t1 Y超前π /2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π /2
左旋振动
例七
一质点同时参与相互垂直的两个振动：
X
8c
os(
t
)
cm
36
Y 6cos( t ) cm
33
请你画出合振动运动轨迹图。
解：
36
2
2B ∵Y落后π/2，左旋振动
2
2
A0
cos
2
O
X
2 A0
cos 2
1
2
t
注： 2t 1t
1 2
(1
cos
)
cos
2
从角度可分析：
t
2
1
2
t
1t
AA
2 1 t
2
O
X
将A与ωt表达式代入 x Acost
x
2
A0
cos 1
∴画一个2A*2B的矩形，内切
画椭圆，标出左旋箭头即可
2A
（2） 2 m 的情况： 1 n
若频率不相等，但是整数比，则合振动的轨迹 是有规则的稳定的闭合曲线-------李萨如图形。
高二物理竞赛简谐振动的合成课件
根据x0= A 1 cos1+ A 2 cos2的正负确定反正切函数是否加上
合振动是简谐振动, 其频率仍为
分析
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相：
2 1 2k k 0,1, 2,
A A1 A2 两分振动相互加强
若两分振动反相:
2 1 (2k 1) k 0,1, 2,
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
=| 2- 1|
(1)在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。
由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
=|2-1|
拍 2 1
或：T 2 2 1
t t t
波的能量
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振
动能量的传播。
dV
1. 波的能量
o
u x
有一平面简谐波
yAcos[(tx)]
u
在x处取一体积元dV 质量为 dmdV
质点的振动速度 vyA sin[(tx)]
t
u
T 0
T0
u
T
w 1 A22
2
0sin2d 2
2. 波的能流和能流密度
在单位时间内通过一定截面的波动能量为能流
P w u dtS wuS
dt
在一个周期中的平均能流为
1T
PT0Pdt wuS
udt
us
能流密度 通过垂直于波线截面单位面积上的能流。
大小： I dP wu dS
合振动是简谐振动, 其频率仍为
分析
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相：
2 1 2k k 0,1, 2,
A A1 A2 两分振动相互加强
若两分振动反相:
2 1 (2k 1) k 0,1, 2,
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
=| 2- 1|
(1)在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。
由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
=|2-1|
拍 2 1
或：T 2 2 1
t t t
波的能量
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振
动能量的传播。
dV
1. 波的能量
o
u x
有一平面简谐波
yAcos[(tx)]
u
在x处取一体积元dV 质量为 dmdV
质点的振动速度 vyA sin[(tx)]
t
u
T 0
T0
u
T
w 1 A22
2
0sin2d 2
2. 波的能流和能流密度
在单位时间内通过一定截面的波动能量为能流
P w u dtS wuS
dt
在一个周期中的平均能流为
1T
PT0Pdt wuS
udt
us
能流密度 通过垂直于波线截面单位面积上的能流。
大小： I dP wu dS
高二物理竞赛两个同方向同频率简谐运动的合成PPT(课件)
x1 5 cos(20 t 2) cm
x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法
4 -5 振动合成
A2 4
AOx
A A12 A22 5 2 cm
A1
5
4
x 5 2 cos (20 t 5 ) cm
4
11
物理学
第五版
4 -5 振动合成
两个简谐运动方向相同，频率相同，振
3
x A co t s ( ) n n 当木块位于平衡位置下方时，x>0
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
n
A 例2 已知两谐振动的曲线(如图),它们是同频率的谐振动,求它们的合振动方程。
1、图示，木块上放置一质量为 m 的砝码，木块沿竖直方向作简谐运动，问砝码脱离木块的可能位置将发生在
2
x x x x 1 2 （b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
两振动步调反0 向,
1
12
2
（2）若另有一简谐运动
xAco t s() 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
例3、两个同方向、同频率简谐运动方程分别为
当 一
N两≥个0同时方，向砝同码2 频不率脱简离谐木运块动2 的合成
2
合位移 xx1x2
（SI）求：合成谐振动方程
（b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
0.4 （4）推广到 多个同方向同频率简谐运动的合成
（2）若另有一简谐运动
则合振幅为
则合振幅为
6
A2
x
0.12 x 0 .5 co 3 t s0 .1 ( 2 )
3
14
物理学
x 第五版 1
0.4cos3t()
3
x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法
4 -5 振动合成
A2 4
AOx
A A12 A22 5 2 cm
A1
5
4
x 5 2 cos (20 t 5 ) cm
4
11
物理学
第五版
4 -5 振动合成
两个简谐运动方向相同，频率相同，振
3
x A co t s ( ) n n 当木块位于平衡位置下方时，x>0
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
n
A 例2 已知两谐振动的曲线(如图),它们是同频率的谐振动,求它们的合振动方程。
1、图示，木块上放置一质量为 m 的砝码，木块沿竖直方向作简谐运动，问砝码脱离木块的可能位置将发生在
2
x x x x 1 2 （b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
两振动步调反0 向,
1
12
2
（2）若另有一简谐运动
xAco t s() 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
例3、两个同方向、同频率简谐运动方程分别为
当 一
N两≥个0同时方，向砝同码2 频不率脱简离谐木运块动2 的合成
2
合位移 xx1x2
（SI）求：合成谐振动方程
（b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
0.4 （4）推广到 多个同方向同频率简谐运动的合成
（2）若另有一简谐运动
则合振幅为
则合振幅为
6
A2
x
0.12 x 0 .5 co 3 t s0 .1 ( 2 )
3
14
物理学
x 第五版 1
0.4cos3t()
3
简谐振动PPT幻灯片课件
a
2
A cos (t
2
)
以上结果表明：
(1)v,a与x的ω相同
(2) vmax A, amax 2 A
(3)a与x方向相反，且成正比
x、v、a相位依次差π/2。
振幅
10
二、初始条件确定振幅和初相位
初始条件： t 0, x0 , v0
x0 Acos
写为：
v0 Asin
3
利用旋转矢量法求解很直观，
根据初始条件就可画出如图所 示的振幅矢量的初始位置，从 而得到：
O
x0 v0
x
21
(2) v Asin(t ) 0.12 sin(t )
3
a 2 Acos(t ) 0.12 2 cos(t )
3
半径R——振幅A
角速度——角频率ω
初始矢径与x轴的交角—初相位 o
t时刻A矢量在x轴上的投影
x Acos(t 0 )
2.旋转矢量
表示出三个特征量
A
t
t 0 0
x
A
用旋转矢量法处理问题更直观、 动画
O
x
更方便，必须掌握。
17
18
19
[例题3]一质点沿x轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期T=2s， 当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向x轴正 向运动。 求：(1)此振动的表达式
由牛顿第二定律，有： kx m d2 x
令：
k 2,
dt2
m
则有：
d2 dt
x
2
高二物理竞赛简谐运动的合成 课件
若 1， 2 均较大，而差值较小，则合振动
的“振幅”时而大（为 2A），时而小（为 0）。
这种合振动周期性的时强时弱的现象称作拍
单位时间内振动加强（或减弱）的次数叫拍频。
A(t) 2 A cos 2 1 t
2
合振幅变化的周期
Tb
|
2 1 2
|| 2 2 1
|
b
1 Tb
2 1 2 2
2 1
v拍 | v1 v2 | 或 b=|2-1|
4
x1
1
x2
2
=1 - 2
x
第8章 机械振动
t
t
t
5
第8章 机械振动
6
黑管的振动是由9个不同的简谐运动合成的第8章 机械振动
7
钢琴的振动是由16个不同的简谐运动合成的第8章 机械振动
8
受迫振动
共振危害：
第8章 机械振动
A）160多年前，拿破仑率军入侵到西班牙，在 整齐跨过一铁链桥时坍塌，士兵纷纷落水。
1940年华盛顿的塔科曼大桥建成 同年7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁
10
第8章 机械振动
11
第8章 机械振动
消除共振
A）消极：阻尼器吸收振动能量 B）积极：共振原理做成机械滤波装置，滤掉 有害波段。或改变系统和外界驱动力频率。
共振的利用
A）电驱蚊器 B）微波炉
C）次声波武器 D）核磁共振
12
B）1906年，俄国士兵在圣彼得堡的卡坦卡河，也 发生同样惨剧，士兵纷纷落水。
C）1940年，美国的Tocoma Narrow Bridge， 在风中发生共振坍塌。唯一伤者为一个记者的长毛 狗，在牺牲前将救它的华盛顿大学专家咬伤。（该 桥曾一度作为休闲好去处）
相互垂直的简谐振动的合成ppt课件
1.频率相差很小，合运动轨迹缓慢变化。
2.频率相差较大，数值有简单的整数比值关系时，运动轨迹 为闭合曲线，称为李萨如图形。
y
x
A1
A2
o
-A2
- A1
如图所示，图中所描绘的是 x :y=3:2， 2 0= 0， 10 = /4 时的 李萨如图形。
图形与y轴切点数
图形与x轴切点数
不同频率比不同初相位差的李萨如图
2、
合振动运动轨迹为直线
合振动运动轨迹为直线
3、
4、 两个简谐振动振幅相同时
合振动运动轨迹为正椭圆
合振动运动轨迹为园
二、两个频率不同的相互垂直的简谐振动的合成
两个频率不同的相互垂直的简谐振动合成之后运动轨迹随时间变化，不是稳定曲线。
设一个质点同时参与两个相互垂直的同频率简谐振动
一、两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成
消去时间t得轨迹方程：
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
椭圆的形状由两个振动的初相位差 决定
用旋转矢量描绘振动合成动画
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
当初相位差不同时两个沿垂直方向的同频简谐振动的合成
在电子技术中常用李萨如图测定未知频率
2.频率相差较大，数值有简单的整数比值关系时，运动轨迹 为闭合曲线，称为李萨如图形。
y
x
A1
A2
o
-A2
- A1
如图所示，图中所描绘的是 x :y=3:2， 2 0= 0， 10 = /4 时的 李萨如图形。
图形与y轴切点数
图形与x轴切点数
不同频率比不同初相位差的李萨如图
2、
合振动运动轨迹为直线
合振动运动轨迹为直线
3、
4、 两个简谐振动振幅相同时
合振动运动轨迹为正椭圆
合振动运动轨迹为园
二、两个频率不同的相互垂直的简谐振动的合成
两个频率不同的相互垂直的简谐振动合成之后运动轨迹随时间变化，不是稳定曲线。
设一个质点同时参与两个相互垂直的同频率简谐振动
一、两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成
消去时间t得轨迹方程：
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
椭圆的形状由两个振动的初相位差 决定
用旋转矢量描绘振动合成动画
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
当初相位差不同时两个沿垂直方向的同频简谐振动的合成
在电子技术中常用李萨如图测定未知频率
42振动的合成.ppt
2 m
22
E 1 kA2
A
2
1 2
kA2
1 mv 2 1
2
m
k
/
2
2
2
kx2
k
/
m
A
2021/6/30
2E / k
x2 v2 /2
12
例 1
已知:一弹簧振子质量 m=0.25kg，倔强系数 k=25N /m，
起始振动时具有势能EPx=0.06 J?和动能EK=0.02J。
求：(1) A=? (2) EP = EK 时
1s时，x1
0.24cos 5
6
0.208m
2021/6/30
f kx m2x1 5.13103(N) 4
(3). 设物体由初始位置运动到-0.12m处所需最短时间为t
一：解析法
0.12 0.24cos( t ) 23
cos( t ) 1
23 2 t 2 或 4
（2）
A2 A21 A22 2A1A2 cos
2021/6/30
或 3
22 22
例 一质点同时参与三个同方向的简谐振动，其振动方程分别为
3
x1
3.0 102 cos( 2t
4
);
x2
8.0 102 cos( 2t
3
4
)
解：x3如下5.作0 图10
2
cos(
2t
4
)
求：合振动方程？
A1与A2反向 A12 A2 A1 5.0102(m)
k
k
12
k
1
2
11 1
k k1 k2
k
m
1
k1k2
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8
x
=0
x
m
A
(a)
m
A
(c)
oA
o x
t T
-A o
xo
x0 = A -A
x0 = -A
-A
= T t
x
(b)
m
A
o
o x
x0 = 0
-A
= /2
(d) Tt
m o
x0 = 0
x A
xo -A
= 3/2(或 -/2) T t
弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线
0
3/ 2
A
x02
v0
2
②/①有 tg v0 / A v 0
x0 / A
x0
10
五、相位差
1.相位差和初相差 相位差---相位之差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差
= (t + 2) - (t + 1)
= 2 - 1
2.同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调
20
M msgiln
MJ
J
d 2
dt 2
Jdd2t2 mgslin
当 5 时
sin
dd2t2 mJgl 0
l
T
mg
21
dd2t2 mJgl 0
相同，称同相
11
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动
步调相反，称反相
x
A1
A2
o
- A2
x1 x2
同相
x
A1
A2
T o
t
- A2
x1
反相
T t
x2
-A1
-A1
(a) 两同相振动的振动曲线
(b) 两反相振动的振动曲线 12
3.领先和落后
若 = 2-1> 0,则x2比x1较早达到正最大，
x A co t s )(
v A si tn ) (
a A 2co t s) (
2
3
4 t
19
单摆
质量集中于小球上，不计悬线质量。
l
取逆时针为 张角
T
正向，以悬点为轴，
只有重力产生力矩。
M msgiln
mg
“ – ”表示力矩与 张角方向相反。
x ( t) A co t s) (A c o ( t T s ) [ ]
T2
2 2
T
2秒内的振动次数 (单位：1/S或rad./S)
x A c o s (t ) A c o s ( 2t ) A c o s ( 2t )
T
6
4、相位与初相φ
x A co t s )(
(t + )是t 时刻的相位
t时刻的相位反映t时刻的振动状态 由x =Acos(t + )
v A si tn ) (
a A 2co t s) (
t + 0 /2 3/2 2
x(t) A
0 -A
xA co ts
Acostπ
2
ddxt Asint
a A2 cot s π addt A2cost
2x
速度与加速度也都是周期变化的。 4
三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相位
1、振幅A x A cot s)(
令
2 k
m
ox
有
d2x dt2
2x
0
简谐振动微分方程
解微分方程 x A cot s)(
其中A为振幅，为圆频率，为初相位。
圆频率 k 单位：rad/s
m 只与弹x
2.周 期 T 2 2 m
k
3.频 率 1 1 k
0
A
(t) 0 -A 0 A 0
a(t) -2A 0 2A 0 -2A
7
初相(initial phase)是t = 0时刻的相位 (t =0称时间零点，是开始计时的时刻，不
一定是开始运动的时刻)
反映t = 0时刻的振动状态(x0，0 ) 要熟记典型 值所对应的振动情况和振动 曲线(如图)
/2
2
x0 A 0 -A 0 A
0 0 A
0
0
A
9
5、振幅与初相的确定
初始条件：x t0 x0 , V t0 V0
x A co t s )(
x0Acos ①
v Asitn ) ( v0Asin②
①2+(②/)2 有 x0 2(v0/ )2A 2
称x2比x1领先(或x1比x2落后)
领先、落后以 < 的相位角(或以< T/2的时间间
隔)来判断 x
A1
x1
A2
思考：在上图中，x1与x2两 振动谁领先?
o
- A2
x2
T t
-A1
振动的领先与落后 13
弹簧振子
F弹 x
1.符合简谐振动的条件
1.在平衡位置附近来回振动。
ox
2.受回复力作用。
2. 弹簧的振动 特点： 1.弹簧质量不计。 2.所有弹力都集中在弹簧上。
3.质量集中于物体上。
4.不计摩擦。
14
建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。
F弹 x
3.振动位移
ox
振动位移：从 o 点指向物体所在位置的矢量。
回复力： 一维振动
F弹kx F弹kxma
a d 2x F 弹 k x
dt 2 m
m
15
d2x k x 0 dt2 m
F弹 x
T 2 m
x
17
xA co ts
Acostπ
2
a A 2 c ot s π
x,,a均是作简谐振动的物理量
频率相同 振幅的关系
m A am A2
相位差
超前 落后
18
6.振动曲线
x,v,a
2A
a
Ax
o A
v
1
2
前言：振动和波动是物理中的重要领域：
振动:一个物理量随时间作周期性变化
简谐振动是最简单的振动,任何复杂的振动 都是简谐振动的线性迭加。
一、简谐振动
定义：物体运动时，离开平衡位置的位移（或 角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化， 这类运动称简谐振动。
x(t)A co ts() 3
二、简谐振动的速度、加速度
物体离开平衡位置的最大距离。 单位：米，m
2、周期 T
物体完成一次全振动所用的时间。 单位：秒，s 或曰,物体的运动状态完全重复一次所用的时间。
频率v
1秒内物体完成全振动的次数。
1
T
单位：赫兹，Hz
5
3、圆频率ω x A cot s)(
每隔周期T物体的运动状态复原: x(tT)x(t)
x
=0
x
m
A
(a)
m
A
(c)
oA
o x
t T
-A o
xo
x0 = A -A
x0 = -A
-A
= T t
x
(b)
m
A
o
o x
x0 = 0
-A
= /2
(d) Tt
m o
x0 = 0
x A
xo -A
= 3/2(或 -/2) T t
弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线
0
3/ 2
A
x02
v0
2
②/①有 tg v0 / A v 0
x0 / A
x0
10
五、相位差
1.相位差和初相差 相位差---相位之差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差
= (t + 2) - (t + 1)
= 2 - 1
2.同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调
20
M msgiln
MJ
J
d 2
dt 2
Jdd2t2 mgslin
当 5 时
sin
dd2t2 mJgl 0
l
T
mg
21
dd2t2 mJgl 0
相同，称同相
11
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动
步调相反，称反相
x
A1
A2
o
- A2
x1 x2
同相
x
A1
A2
T o
t
- A2
x1
反相
T t
x2
-A1
-A1
(a) 两同相振动的振动曲线
(b) 两反相振动的振动曲线 12
3.领先和落后
若 = 2-1> 0,则x2比x1较早达到正最大，
x A co t s )(
v A si tn ) (
a A 2co t s) (
2
3
4 t
19
单摆
质量集中于小球上，不计悬线质量。
l
取逆时针为 张角
T
正向，以悬点为轴，
只有重力产生力矩。
M msgiln
mg
“ – ”表示力矩与 张角方向相反。
x ( t) A co t s) (A c o ( t T s ) [ ]
T2
2 2
T
2秒内的振动次数 (单位：1/S或rad./S)
x A c o s (t ) A c o s ( 2t ) A c o s ( 2t )
T
6
4、相位与初相φ
x A co t s )(
(t + )是t 时刻的相位
t时刻的相位反映t时刻的振动状态 由x =Acos(t + )
v A si tn ) (
a A 2co t s) (
t + 0 /2 3/2 2
x(t) A
0 -A
xA co ts
Acostπ
2
ddxt Asint
a A2 cot s π addt A2cost
2x
速度与加速度也都是周期变化的。 4
三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相位
1、振幅A x A cot s)(
令
2 k
m
ox
有
d2x dt2
2x
0
简谐振动微分方程
解微分方程 x A cot s)(
其中A为振幅，为圆频率，为初相位。
圆频率 k 单位：rad/s
m 只与弹x
2.周 期 T 2 2 m
k
3.频 率 1 1 k
0
A
(t) 0 -A 0 A 0
a(t) -2A 0 2A 0 -2A
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初相(initial phase)是t = 0时刻的相位 (t =0称时间零点，是开始计时的时刻，不
一定是开始运动的时刻)
反映t = 0时刻的振动状态(x0，0 ) 要熟记典型 值所对应的振动情况和振动 曲线(如图)
/2
2
x0 A 0 -A 0 A
0 0 A
0
0
A
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5、振幅与初相的确定
初始条件：x t0 x0 , V t0 V0
x A co t s )(
x0Acos ①
v Asitn ) ( v0Asin②
①2+(②/)2 有 x0 2(v0/ )2A 2
称x2比x1领先(或x1比x2落后)
领先、落后以 < 的相位角(或以< T/2的时间间
隔)来判断 x
A1
x1
A2
思考：在上图中，x1与x2两 振动谁领先?
o
- A2
x2
T t
-A1
振动的领先与落后 13
弹簧振子
F弹 x
1.符合简谐振动的条件
1.在平衡位置附近来回振动。
ox
2.受回复力作用。
2. 弹簧的振动 特点： 1.弹簧质量不计。 2.所有弹力都集中在弹簧上。
3.质量集中于物体上。
4.不计摩擦。
14
建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。
F弹 x
3.振动位移
ox
振动位移：从 o 点指向物体所在位置的矢量。
回复力： 一维振动
F弹kx F弹kxma
a d 2x F 弹 k x
dt 2 m
m
15
d2x k x 0 dt2 m
F弹 x
T 2 m
x
17
xA co ts
Acostπ
2
a A 2 c ot s π
x,,a均是作简谐振动的物理量
频率相同 振幅的关系
m A am A2
相位差
超前 落后
18
6.振动曲线
x,v,a
2A
a
Ax
o A
v
1
2
前言：振动和波动是物理中的重要领域：
振动:一个物理量随时间作周期性变化
简谐振动是最简单的振动,任何复杂的振动 都是简谐振动的线性迭加。
一、简谐振动
定义：物体运动时，离开平衡位置的位移（或 角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化， 这类运动称简谐振动。
x(t)A co ts() 3
二、简谐振动的速度、加速度
物体离开平衡位置的最大距离。 单位：米，m
2、周期 T
物体完成一次全振动所用的时间。 单位：秒，s 或曰,物体的运动状态完全重复一次所用的时间。
频率v
1秒内物体完成全振动的次数。
1
T
单位：赫兹，Hz
5
3、圆频率ω x A cot s)(
每隔周期T物体的运动状态复原: x(tT)x(t)