高考数学二轮复习 小题综合限时练(八)

2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（八）

(限时：40分钟)

一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥l

D.m ⊥n

解析 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，C 正确.故选C. 答案 C

2.设a ＝log 314，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3，c ＝log 2(log 22)，则( )

A.b ＜c ＜a

B.a ＜b ＜c

C.c ＜a ＜b

D.a ＜c ＜b

解析 ∵c ＝log 212＝－1＝log 313＞log 31

4＝a ，b ＞0，

∴b ＞c ＞a .故选D. 答案 D

3.要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，只需将函数g (x )＝32cos 3x ＋12sin 3x 的图象

( )

A.向左平移5π

12个单位

B.向左平移5π

36个单位

C.向左平移π

12

个单位

D.向左平移π

36

个单位

解析 依题意知g (x )＝cos

π6cos 3x ＋sin π6sin 3x ＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫3x －π6，∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋5π36－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，

∴要想得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，只需将函数g (x )的函数图象向左平移5π36个

单位即可.故选B. 答案 B

4.一个六面体的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，

则该六面体的表面积是( ) A.12＋25 B.14＋25 C.16＋25 D.18＋25

解析 依题意，该几何体是一个直四棱柱，其中底面是一个上底长为1、下底长为2、高为2的梯形，侧棱长为2，因此其表面积等于2×1

2×(1＋2)×2＋(1＋2＋2＋5)×2＝16

＋2 5.故选C. 答案 C

5.在6道题中有3道理综题和3道文综题，如果不放回地依次抽取2道题，则“在第1次抽到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为( ) A.12 B.13 C.25

D.35

解析 法一 第1次抽到理综题的条件下，依次抽取2道题，共有C 13C 1

5＝15种抽法，其中第2次抽取文综题的情况共有C 13C 1

3＝9种，因此，所求概率P ＝915＝35

.故选D.

法二 第一次抽到理综题的概率P (A )＝A 13A 1

5A 26＝1

2，第一次抽到理综题和第二次抽到文综题

的概率P (AB )＝A 13A 13A 26

＝310，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝3

1012

＝3

5

.故选D.

答案 D

6.过抛物线y 2

＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )

A.13

B.23

C.34

D.43

解析 记抛物线y 2

＝2px 的准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1、B 1、C ，则有cos∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF |

|AF |＋|BF |，

∴cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝1

3

.故选A.

7.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x

3

－2，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，

直线(2＋λ)x －(3＋λ)y ＋(1－2λ)＝0(λ∈R )

过定点A (x 0，y 0)，则z ＝

y －y 0

x －x 0

的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤15，7 B.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤17，5

C.⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，15∩[7，＋∞) D.⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，17∩[5，＋∞) 解析 依题意知，直线(2＋λ)x －(3＋λ)y ＋(1－2λ)＝0(λ∈R )可以转化为2x －3y ＋1

＋λ(x －y －2)＝0，联立⎩

⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，

x －y －2＝0，

解得⎩

⎪⎨

⎪

⎧x ＝7，y ＝5，∴z ＝y －5

x －7，作出二元一次不等式组所表示的平面

区域如图阴影部分所示，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18

5

，－165，点C (6，0)，点

D (0，4)，观察可知z ＝y －5

x －7

表示阴影区域内的点与A (7，5)两

点连线的斜率，∴k AD ≤z ＝y －5x －7≤k AC ，即17≤z ＝y －5x －7≤5.∴z ＝y －y 0x －x 0的取值范围为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤17，5.故选B. 答案 B

8.已知函数f (x )＝2ax 3

＋3，g (x )＝3x 2

＋2，若关于x 的方程f (x )＝g (x )有唯一解x 0，且

x 0∈(0，＋∞)，则实数a 的取值范围为( )

A.(－∞，－1)

B.(－1，0)

C.(0，1)

D.(1，＋∞)

解析 依题意得，2ax 3

＋3＝3x 2

＋2，即2ax 3

－3x 2

＋1＝0(*).若a ＝0，则(*)式化为－3x

2

＋1＝0，该方程有两解，不合题意，舍去；若a ＞0，令h (x )＝2ax 3

－3x 2

＋1，则h ′(x )

＝6ax ⎝

⎛⎭

⎪⎫x －1a ，可知函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，

∴极大值为h (0)＝1，结合函数图象可知，h (x )还存在一个小于0的零点，不合题意，舍去；若a ＜0，则函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0上单调递增，在⎝ ⎛⎭

⎪⎫－∞，1a 和(0，＋∞)上单调递减，

要使零点唯一，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0，即2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－3⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a 2

＋1＞0，∵a ＜0，解得a ＜－1.故选A.