实验八离散系统的Z域分析
MATLAB 离散系统z域分析
实验八 离散系统的Z 域分析一、目的（1）掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法 （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法（3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法 （4）掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法二、离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即()()N Miji j a y n i b x n j ==-=-∑∑ （8-1）其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。
将式（8-1）两边进行Z 变换的00()()()()()Mjjj Nii i b zY z B z H z X z A z a z-=-====∑∑ （8-2） 将式（8-2）因式分解后有：11()()()Mjj Nii z q H z Cz p ==-=-∏∏ （8-3）其中C 为常数，(1,2,,)j q j M =为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N =为()H z 的N 个极点。
系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。
因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。
通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ● 离散系统的稳定性； ● 离散系统的频率特性；三、离散系统零极点图及零极点分析 1．零极点图的绘制设离散系统的系统函数为则系统的零极点可用MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。
如多项式为231()48B z z z =++，则求该多项式根的MATLAB 命令为为：A=[1 3/4 1/8]; P=roots(A) 运行结果为： P =-0.5000-0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z -的升幂次序排列。
实验八-离散系统的Z域分析
实验八-离散系统的Z域分析一、验证性实验1.Z变换确定信号f1(n)=3^nU(n),f1(n)=co(2n)U(n)的Z变换。
2.Z反变换已知离散LTI系统的激励函数为f(k)=(-1)^k某U(k),h(k)=[1/3某(-1)^k+2/3某3^k]U(k),采用变换域分析法确定系统的零状态响应Yf(t).3.绘制离散系统极点图采用MATLAB语言编程，绘制离散LTI系统函数的零极点图，并从零极点图判断系统的稳定性。
已知离散系统的H（z），求零极点图，并求解h(k)与H(e^jw)。
（1）实验代码（2）实验结果4.离散频率响应函数一个离散LTI系统，差分方程y(k)-0.81y(k-2)=f(k)-f(k-2),试确定：（1）系统函数H(z);（2）单位序列响应h(k)的数学表达式，并画出波形；（3）单位阶跃响应的波形g(k);（4）绘出频率响应函数H(e^jθ)的幅频和相频特性曲线。
1）实验代码2）实验结果二、程序设计实验1.试分别绘制下列洗头的零极点图，并判断系统的稳定性；如果系统稳定，绘制幅频特性和相频特性。
（a）H(z)=(3某z^3-5某z^2+10某z)/(z^3-3某z^2+7某z-5)1)实验代码2)实验结果（b）H(z)=(4某z^3)/(z^3+0.2某z^2+0.3某z+0.4)1）实验代码2）实验结果（c）H(z)=(z^2-2某z-1)/(2某z^3-1)1）实验代码2）实验结果（d）H(z)=(2某z^2+2)/(z^3+2某z^2-4某z+1)1）实验代码2）实验结果2.分别确定下列信号的Z变换。
(a)f(k)=(2/5)^k某U(k)(b)f(k)=co(2某k)U(k)(c)f(k)=(k-1)U(k)(d)f(k)=(-1)^k某k某U(k)3.已知某LTI离散系统在输入激励f(k)=(1/2)^k某k某U(k)时的零状态响应为Yf(k)=[3某(1/2)^k+2某(1/3)^k]U(k),通过程序确定该系统的系统函数H(z)以及系统的单位序列响应h(k).4.分别确定下列因果信号的逆Z变换。
数字信号处理 实验 离散系统的Z域分析
数字信号处理实验报告实验名称：离散系统的Z 域分析 学号： 姓名：评语： 成绩：一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。
2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。
3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。
二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：∑∞-∞=-=n nzn x Z X )()(。
在MA TLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。
其命令格式为： syms n;f=(1/2)^n+(1/3)^n; ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )*h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z )则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n nzn h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若∞<∑∞-∞=n n h |)(|，则系统稳定。
由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。
因为∑∞-∞=-=n nzn h z H )()(，若z =1时H (z )收敛，即∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。
因此因果稳定系统应满足的条件为：1,||<∞≤<ααz ，即系统函数H (z )的所有极点全部落在z 平面的单位圆之内。
3、MA TLAB 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法MATLAB 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。
第八章 离散系统的 域分析
y(k) = zk *h(k) = h(k)* zk
∞
∞
∑ ∑ = h( j)zk− j = zk h( j)z− j = zk H (z) − ∞ < k < +∞
j=−∞
j=−∞
∞
∑ 其中， H (z) = h( j)z − j = Z[h(k)] j = −∞
东南大学移动通信国家重点实验室
1． 定义
∑−1
bkε(−k −1) ↔ F (z) = bk z−k = −
z
k=−∞
z−b
而
| z |<| b |
∑ ∑ m
i=1
bikε (−k
− 1)
↔
F(z)
=
m
−
i=1
z
z − bi
| z |< m in{|bi |}
东南大学移动通信国家重点实验室
Im[z] x
x
x Re[z]
x x
⇒
左边序列极点均在收敛域外。
↔
(z
z − 1) 2
ROC：|z|>1
∞
∑ F (z) = kz −k = z −1 + 2z −2 + 3z −3 + " k =0 = (z −1 + z −2 + ")(1 + z −1 + z −2 + ")
=
z −1 1 − z−1
1 ⋅ 1 − z−1
=
z (1 − z)2
z >1
东南大学移动通信国家重点实验室
注：
（1） 若 f (k) 本身单边，即 f (k) = f (k)ε(k) ，
第八章 离散时间系统的z域分析
收敛域为 z > a
(2) x(n) = ebnu(n) 当上面(1)中 当上面(1)中 a = e b 时
z Z[e u(n)] = b z e
bn
收敛域为 z > e
b
(3) x(n) = na u(n) ∞ n 1 n 已知 Z[a u(n)] = ∑(az ) =
n
n=0
1 1 (az1 )
1. x(n) 为因果序列（右边序列） 为因果序列（右边序列） X(z) 为z -1的幂级数，收敛域为 z > Rx1 的幂级数，
X(z) = ∑x(n)z
n=0 =0 ∞ n
= x(0) + x(1)z + x(2)z +L+
1 2
用降幂次序作长除法。 用降幂次序作长除法。
例 8-3 已知
z X(z) = , z >1 2 (z 1)
8 .3
z 变换的收敛域
一、收敛域定义 二、收敛域的重要性 三、级数收敛的判定条件 四、序列收敛域讨论
8.3
z 变换的收敛域
一、收敛域定义 对于任何给定的有界序列x 对于任何给定的有界序列x(n)，使 z变换定义式级数收敛之所有 z值的集 收敛域。 合，称为 z变换 X(z)的收敛域。 简写为 ROC (Region of convergence)
8.5 z变换的基本性质 一、线性 若 Z [x(n)] = X(z), (Rx1 < z < Rx2 ) Z [ y(n)] = Y(z), (Ry1 < z < Ry2 )
则 Z [ax(n) + by(n)] = aX ( z ) + bY ( z ), ( R1 < z < R2 )
第八章 离散时间信号与系统的z域分析
| z |< a
（3）余弦序列的Z变换
z ]= Z [e jω 0 z−e z − jω 0 n ]= Z [e − jω 0 z−e Z [cos ω 0 n ] = Z [( e jω 0 n + e − jω 0 n ) / 2 ]
jω 0 n
z z =( + )/2 jω 0 − jω 0 z−e z−e z ( z − cos ω 0 ) = 2 z − 2 z cos ω 0 + 1
n =−∞
g[n] = f [n]r − n 代入上式得 将
G (Ω) =
n =−∞
∑
∞
f [n]r − n e − jΩn =
n =−∞
∑
∞
f [n](re jΩ ) − n
z = re jΩ ,则上式既可看成实数 Ω 的函 令复变量 数，也可看成复数 z 的函数，用 F ( z ) 代替 G (Ω) ， ∞ 则有： −n F ( z ) = ∑ f [ n ] z = G (Ω )
复数 z = re 是沿圆心在原点，半径为 r 的圆， 按逆时针方向绕行一周，即关于 z 的积分是闭合 曲线积分。
Im
jΩ
z 平面
re jΩ
r
Ω
Re
Z变换：F ( z ) =
n =−∞
∑
∞
f [ n] z − n
1 F ( z ) z n −1dz 逆Z变换： f [n] = 2πj ∫C
Z 记为： f [n] ←⎯→ F ( z )
n =−∞
根据离散时间傅氏逆变换，信号 g[n] 可表示为
1 g[ n] = 2π
∫
2π 0
G ( Ω ) e j Ωn d Ω
离散时间系统的Z域分析
第八章 Z 变换、离散时间系统的Z 域分析Z 变换的定义和收敛典型信号的z 变换Z 变换的性质求Z 逆变换系统函数H (z )幂级数展开部分分式法围线积分法定义由零极点决定系统的时域特由零极点决定系统的频域特由零极点决定系统的稳定性例题 •例题1：求z 变换•例题2：求逆变换•例题3：求系统的响应•例题4：求系统函数及频率响应等•例题5：零极点，初值定理例8-1利用性质求序列的z 变换方法一：利用典型序列的z 变换及线性性质求解方法二：利用z 变换时移性质直接求解若 则 ()()()n u n n x 2-=()()[]()()[]()()1z 12312122222>--=---=-=-z z z z z z z n u n nu Z n u n Z ()[]()z X n x Z =()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z ---=--∑+=-1方法三把原序列如下表示 所以例8-2，求其逆变换。
方法一：因为X (z )不是真分式，首先把X (z )写成多项式与真分式两相之和的形式，即 其中 ()()[]()z X z m n u m n x Z n -=--()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z --=∑-=+10()()[]()z X z m n u m n x Z n =++()()()()()()()()()()()()()()()时，二者才相同。
，为有始序列只有当，而不是的左移序列是相同；为因果序列时，二者才，只有当而不是的右移序列是由上式可见，0=<+++---n x m n n x n u m n x m n u m n x n u n x n x n u m n x m n u m n x n u n x ()()[]()()1 123 )2()1(122222222>--=-+-+-=-∴---z z z z z z z z z z z n u n Z ()()()()()()12222-----=-n n n u n n u n δδ()()[]()()1 12321222121>--=--+-=---z z z z z z z n u n Z ()21z 616511211>+-+=---z z z z X ()()() 616561611121+--+=+=z z z z F z Q z X () 31-z A 21-z A 6165616112121+=+--=z z z z F则 所以方法二观察X (z )的分子多项式的根，其中含有一个零点为z=0 ，式中则 所以原序列为两种方法求逆z 变换，其结果完全一致。
信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
信号实验离散系统的Z域分析
信号实验离散系统的Z域分析上机实验8 离散系统的Z域分析⼀．实验⽬的1. 掌握离散时间信号的Z变换和Z逆变换的实现⽅法与编程思想。
2. 掌握系统频率响应函数幅频特性、相频特性和系统函数的零极点图的绘制⽅法。
3. 了解函数ztrans,iztrans,zplane,dimpulse,dstep和freqz的调⽤格式及作⽤。
4. 了解利⽤零极点图判断系统稳定性的原理。
⼆．实验原理离散系统的分析⽅法可分为时域解法和变换域解法两⼤类。
其中离散系统变换域解法只有⼀种。
即Z变换域解法。
Z变换域没有物理意义，它只是⼀种数学⼿段，之所以在离散系统的分析中引⼊Z变换的概念，就是要像在连续系统分析是引⼊拉⽒变换⼀样，简化分析⽅法和过程，为系统的分析研究提供⼀条新的途径。
这种⽅法的数学描述为Z变换及其逆变换，这种⽅法称为离散信号与系统的Z域分析法。
三．实验内容：验证性试验1 Z变换确定信号f1(n)=n3U(n),f2(n)=cos(2n)U(n)的Z变换。
程序：%确定信号的Z变换syms n zf1=3^n;f1_z=ztrans(f1)f2=cos(2*n);f2_z=ztrans(f2)结果：f1_z =z/(z - 3)f2_z =(z*(z - cos(2)))/(z^2 - 2*cos(2)*z + 1)2 Z反变换已知离散LTI系统的激励函数为f(k)=(-1)^kU(k),单位序列响应h(k)=(1/3*(-1)^k+2/3*3^k)U(k)，采⽤变换域分析法确定系统的零状态响应程序：syms k zf=(-1)^k;f_z=ztrans(f);h=1/3*(-1)^k+2/3*3^k;h_z=ztrans(h);yf_z=f_z*h_z;yf=iztrans(yf_z)结果：yf =(5*(-1)^n)/6 + 3^n/2 + ((-1)^n*(n - 1))/3计算1/(（1+5*z^（-1））*(1-2*z^(-1))^2),|z|>5的反变换程序：num=[0,1];den=poly([-5,1,1]);[r,p,k]=residuez(num,den)结果：r =-0.1389 + 0.0000i-0.0278 - 0.0000i0.1667 + 0.0000ip =-5.0000 + 0.0000i1.0000 + 0.0000i1.0000 - 0.0000ik = []3采⽤MATLAB语⾔编程，绘制离散LTI系统函数的零极点图，并从零极点图判断系统的稳定性。
试验离散系统的Z域分析
实验三、 离散系统的Z 域分析（一）实验要求1）学习和掌握离散系统的频率特性及其幅度特性、相位特性的物理意义； 2）深入理解离散系统频率特性的对称性和周期性； 3）认识离散系统频率特性与系统参数之间的关系；4）通过阅读、修改并调试本实验系统所给源程序，加强计算机编程能力；（二）实验内容1、计算差分方程（1）用MATLAB 计算差分方程当输入序列为 时的输出结果。
MATLAB 程序如下： N=41;a=[0.8 -0.44 0.36 0.22]; b=[1 0.7 -0.45 -0.6]; x=[1 zeros(1,N-1)]; k=0:1:N-1; h=filter(a,b,x); stem(k,h)xlabel('n');ylabel('h(n)')请给出了该差分方程的前41个样点的输出，即该系统的单位脉冲响应。
(说明：y=filter(a,b,x)，计算系统对输入信号向量x 的零状态响应输出信号向量y,x 与y 长度相等，其中a 和b 是∑∑-=-Mii Nii i n x b i n y a )()(所给差分方程的相量。
详见教材P25-27)2、用MATLAB 计算差分方程所对应的系统函数的FT 。
差分方程所对应的系统函数为：1231230.80.440.360.02()10.70.450.6z z z H z z z z -------++=+--其FT 为23230.80.440.360.02()10.70.450.6j j j j j j j e e e H ee e e ωωωωωωω--------++=+--用MATLAB 计算的程序如下：k=256;num=[0.8 -0.44 0.36 0.02]; den=[1 0.7 -0.45 -0.6]; w=0:pi/k:pi; h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,1); plot(w/pi,real(h));grid title('实部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度') subplot(2,2,2); plot(w/pi,imag(h));grid title('虚部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitude') subplot(2,2,3); plot(w/pi,abs(h));grid title('幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值') subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(h));grid title('相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度')(说明：freqz 为计算数字滤波器H(z)的频率响应函数。
离散信号与系统的Z域分析
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 16
例： F(z) = 1/(za) |z| a 求f [k]。 解：
1 F ( z) z 1 1 az
z 例： (3) u[k ] , z 3 z 3
k
类似于傅氏、拉氏变换的尺度变换特性。
1 1 s L f (at ) F ( j ) f (at ) F ( ), a a a a
F
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 18
a 0, a 0
例*：求aksin(0k) u[k] 的z变换及收敛域
1 cos 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2 sin 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2
五、单边z变换的主要性质
f [k ] F ( z), z R f
f1[k ] F1 ( z), z R f 1
1 2
sin 0 z 1 za 2 2 z 1 cos 0 z 2
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 19
五、单边z变换的主要性质
4. z域微分特性（时域线性加权）
dF ( z ) kf [k ] z dz
Z
Z Rf
m d m d F ( z) Z m m 或写成 : ( z ) F ( z ) k f [k ] ( z ) m dz dz
2 2
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 13
五、单边z变换的主要性质
2. 位移特性(记忆)
因果序列的位移
第8章 离散时间系统的Z域分析
n0
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信号与系统
的原函数f(n)。
8.2 逆Z变换
z2 z 例题1 已知 F ( z ) 2 , |z|>1,|z|<1分别求F(z) z 2z 1
(2)F(z)的收敛域为|z|<1,故f(n)为反因果序列.
F ( z ) 3z 3 3 z 2 1z
收敛域为|z|< |b|
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信号与系统
8.1 Z变换的定义及其收敛域
(4) 双边序列：
j Im[ z ]
X ( z) X (z)
n 1
n x ( n ) z n
n
Rx2 Rx1
Re[ z ]
f ( n) z
n
n 1
z
n
1 z 1 z
j Im[ z ]
∞
2 z z 1 1 F ( z) z 1 z z 0 z
Re[ z ]
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信号与系统 (2)右边序列
8.1 Z变换的定义及其收敛域
n m
n n2 n x ( n ) z
j Im[ z ]
lim n x( n) z 1
n
n
Rx 2
Re[ z ]
z
n
1 lim n x(n)
Rx2
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信号与系统
离散信号与系统Z域分析-8
k =−∞
f (k)z−k ∑
∞
F(z) =
k =−∞
∑ f (k)z
−k
<∞
j Im( z )
a k k ≥0 例： 求 f 1 ( k ) = k<0 0 Z变换的收敛域。
0
∞
a
Re(z )
F1 ( z ) = ∑ f1 ( k ) z
k =0
∞
−k
a = ∑ a k z −k = ∑
离散信号与系统Z域分析 第八章 离散信号与系统 域分析
8-1 离散信号的Z变换 离散信号的 变换 一、Z变换的定义 变换的定义
不满足绝对可和条件时， 乘以因子r 当序列 f (k)不满足绝对可和条件时，可采取给 不满足绝对可和条件时 可采取给f(k)乘以因子 –k 乘以因子 (k为实常数 的办法，得到一个新的序列 f (k)r–k，使其满足条件，则 为实常数)的办法 使其满足条件， 为实常数 的办法， 其傅里叶变换就存在了。 称为收敛因子。 其傅里叶变换就存在了。 r–k称为收敛因子。 f (k)r–k的离散傅里叶变换为 的离散傅里叶变换为
注意： 映射不是单值的。 注意：z ~ s 映射不是单值的。
8
8-2 Z变换的基本性质 变换的基本性质
1、线性特性：表现为叠加性和齐次性 、线性特性： 若
f1 (k ) → F1 ( z ) f 2 (k ) → F2 ( z )
r11 < z < r12 r21 < z < r22
max(r11, r21) < z < min(r12 , r22 )
δ (k)z −k = 1 ∑
k =0
∞
∞
z −k = z ∑ z −1 k =0
第8章 z变换、离散时间系统的z域分析
第八章z变换、离散时间系统的z域分析8.1 引言8.2 z变换的定义8.3 z变换的收敛域8.4 逆z变换8.5 z变换的基本性质8.6 z变换与拉普拉斯变换8.7 用z变换解差分方程8.8 离散系统的系统函数8.10 离散时间系统的频率响应特性§8.1 引言一.z 变换的导出我们从抽样信号的拉氏变换导出离散信号的z 变换()()∑∞−∞=−=⋅=n T nT t t x t t x t x δδ)()()(s ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=n n nT t n x nT t nT x )()()()(δδO t()t x s T T2()()nT t nT x −δOn()n x 12对连续信号x s (t )抽样得到离散信号x (n )[]()∑∑∑∞−∞=−∞−∞=−∞−∞===−=n nT s n Tn s n e n x en x nT t n x )()()()(δL j ωσs +=()()n x nT x e z sT表示为并将，引入复变量 =)()(|)(s z X zn x s X n ne s sT ==∑∞−∞=−=)(变换式为的（双边）对任一信号z n x ∑∞−∞=−=nnzn x z X )()([]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==∑∞−∞=n nT t n x t x s X )()()()(s s δL L 取拉氏变换对)(s t x ()[]00t s et t −=−δL∑∞−∞=−=n nzn x z X )()(���������������…⋯���������…的负幂的正幂z nz z n x z x z x z x z x z x +++++−+−=−−−)()2()1()0( )1()2(21012变换单边z zn x z X n n∑∞=−=0)()(右边序列的负幂级数的系数构成z n 0∞<≤左边序列的正幂级数的系数构成z n 1−≤<∞−变换或对因果信号取变换若双边序列取单边z z ,()的幂级数是1−z z X ()的位置指出中的幂 n x n n −()n x 级数的系数是二.对z 变换式的理解§8.2 z变换的定义典型序列的z变换z 变换的定义()[]∑∞=−==0)()(n nzn x n x z X z Z 变换单边∑∞∞=−=－变换双边n nzn x z X z )()(()()()变换为的时即当对于因果序列z n x n n x 0,0=<()变换为的对于双边序列z n x )(重点讨论())(z X n x ⎯→←())(z X n x TZ ⎯⎯→←或典型序列的z 变换⎩⎨⎧≠==001)(n n n δ()[]()10)()(0====∑∞−∞=−z zn n z X n nδδδZ nO)(n δ1一. 单位样值序列()[]⋯++++===−−−∞=−∑3211)(z z z zn u z X n nZ 二.单位阶跃序列⎩⎨⎧<≥=001)(n n n u nO)(n u 1123⋯三.斜变序列()[]∑∞=−===0)()()(n nnzn nu z X n nu n x Z ，下面用间接方法求其 z 变换的和函数。
MATLAB_离散系统z域分析
实验八离散系统的Z 域分析一、 目的(1) 掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法(2) 掌握离散时间系统的零极点分析方法 (3) 掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法二、 离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即NM∖ ay(n-i)=扛 b j X(n- j)i =Qj z0其中y(k)为系统的输出序列，x(k)为输入序列。
将式(8-1)两边进行Z 变换的将式(8-2)因式分解后有:M丨【(z-q j ) H(Z) =C 怡 丨丨(z- P i )i A其中C 为常数，q j (j =1,2,…,M)为H(Z)的M 个零点，p(i =1,2/ ,N)为H(Z)的N 个极点。
系统函数H (Z)的零极点分布完全决定了系统的特性， 若某系统函数的零极点已知, 则系统函数便可确定下来。
因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。
通过对系 统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：系统单位样值响应h(n)的时域特性； 离散系统的稳定性； 离散系统的频率特性；三、离散系统零极点图及零极点分析1 •零极点图的绘制设离散系统的系统函数为则系统的零极点可用MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为： p=roots(A) 其中A 为待求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量 P 则是包含多项式所有根的列向23 1量。
如多项式为B(Z)=Z -Z -,则求该多项式根的 MATLAB 命令为:4 8A=[1 3/4 1/8];P=roots(A)(8-1)H(Z) =Y(Z) X(Z)MXbjZ-j j =0二-NXBiZ ji =0B(Z) A(Z)(8-2)(8-3)H(Z)二B(Z) A(Z)运行结果为： P =-0.5000 -0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分 母多项式均按Z 的降幕次序排列；另一种是分子、分母多项式均按 Z J 的升幕次序排列 这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。
Matlab讲义-离散时间系统的Z域分析
atlab讲义-离散时间系统的Z 域分析离散时间系统的Z 域分析一、实验目的1. 加深理解和掌握离散时间序列信号求Z 变换和逆Z 变换的方法。
2. 加深理解和掌握离散时间系统的零极点分布于时域特征关系。
二、实验内容1. 离散时间信号的Z 变换()()n n F z f n z +∞-=-∞=∑(1)双边Z 变换，单边Z 变换MATLAB 实现 F=ztrans(f)//Z 变换 f=iztrans(F)//逆Z 变换7-1 已知序列1()()n f n a u n =，序列2()f n 的Z 变换为22()/(1/2)F z z z =-，求序列1()f n 的z 变换，2()F z 的逆z 变换。
f1=sym('a^n'); F1=ztrans(f1) F2=sym('z/(z-1/2)^2'); f2=iztrans(F2) F1 =z/a/(z/a-1) f2 =2*(1/2)^n*n由此可知 11zza F z z a a ==--，21()2()()2n f n nu n =2. 系统函数1201212012()()()mm nn b b z b z b z B z H z A z a a z a z a z------++++==++++ (2) 1111(1)(2)()()(1)(2)1(1)1(2)1()r r r n H z k k z p z p zp n z----=++++++--- MATLAB 实现 residuez()函数。
7-2 已知因果系统的传递函数2()(1/2)(1/4)z H z z z =--。
利用MATLAB 计算()H z 的部分分式展开，求单位冲激响应画出图形。
B=1;A=[1 -0.75 0.125]; [r p k]=residuez(B,A) r =2 -1 p =0.5000 0.2500 k =[]1121()10.510.25H z z z--=---。
08 离散z域分析
1
收敛域
a
收敛域
a
单位圆
单位圆 10
• 级数收敛的充要条件：绝对可和，即 • |x(n)z-n|<∞ • 正向级数收敛性判别法： • 比值判别法：对于级数 |an|, <1,收敛 an 1 >1,发散 lim n an =1,收发 • 根值判别法：
lim
n
x(n) [2 (0.5) ]u (n 1)
n
x(n) [2 (0.5) ]u (n)
n
17
• (2) 幂级数展开法（长除法） • 按定义 • X(z)= x(n)z-n • 若在收敛域内把X(z)展成幂级数，其系 数就是序列x(n) • X(n)一般为有理分式,即 • X(n)=N(z)/D(z)
1 2
Z [nu (n)] nz
n n 0
z ( z 1)
, z 1 2
3
•
Z [n u (n)] n z
2 2 n n 0
z ( z 1) ( z 1)
, z 1
4
(4) 单边指数序列an u(n)
Z [a u (n)] a z
n n n n 0
X (s) X ( z)
s ln z z e
s
X ( z) X (s)
8
4. Z变换的收敛域
• 为什么研究收敛域？ • 收敛域: z变换中级数收敛的所有Z值的集合。 • 只有级数收敛，变换才有意义。对单边变 换，序列与变换式、收敛域唯一对应；一 般情况，单边z变换是存在的，只是收敛域 大小不同 • 对双边变换，不同序列、不同收敛域可能 映射为同一变换式，而且由于找不到收敛 域使变换不存在。 •
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实验八 离散系统的Z 域分析一、目的（1）掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法 （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法（3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法 （4）掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法二、离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即()()N Miji j a y n i b x n j ==-=-∑∑ （8-1）其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。
将式（8-1）两边进行Z 变换的00()()()()()Mjjj Nii i b zY z B z H z X z A z a z-=-====∑∑ （8-2） 将式（8-2）因式分解后有：11()()()Mjj Nii z q H z Cz p ==-=-∏∏ （8-3）其中C 为常数，(1,2,,)j q j M =为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N =为()H z 的N 个极点。
系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。
因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。
通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ● 离散系统的稳定性； ● 离散系统的频率特性；三、离散系统零极点图及零极点分析 1．零极点图的绘制设离散系统的系统函数为()()()B z H z A z =则系统的零极点可用MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。
如多项式为231()48B z z z =++，则求该多项式根的MATLAB 命令为为：A=[1 3/4 1/8];P=roots(A) 运行结果为： P =-0.5000 -0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z -的升幂次序排列。
这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。
（1）()H z 按z 的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如34322()3221z zH z z z z z +=++++其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 0 2 0]、B=[1 3 2 2 1]。
（2）()H z 按1z -的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则0z =的零点或极点就可能被漏掉。
如11212()11124z H z z z ---+=++其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 2 0]、B=[1 1/2 1/4]。
用roots()求得()H z 的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。
下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MATLAB 实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。
function ljdt(A,B)% The function to draw the pole-zero diagram for discrete system p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B); %求系统零点 p=p'; %将极点列向量转置为行向量 q=q'; %将零点列向量转置为行向量 x=max(abs([p q 1])); %确定纵坐标范围 x=x+0.1; y=x; %确定横坐标范围 clf hold onaxis([-x x -y y]) %确定坐标轴显示范围 w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) %画单位园 axis('square') plot([-x x],[0 0]) %画横坐标轴 plot([0 0],[-y y]) %画纵坐标轴 text(0.1,x,'jIm[z]') text(y,1/10,'Re[z]')plot(real(p),imag(p),'x') %画极点 plot(real(q),imag(q),'o') %画零点 title('pole-zero diagram for discrete system') %标注标题hold off例1：绘制如下系统函数的零极点（1）32323510 ()375z z zH zz z z-+=-+-（2）11210.5()31148zH zz z----=++解：MATLAB命令如下（1）A=[1 -3 7 -5];B=[3 -5 10 0];ljdt(A,B)绘制的零极点图如图8-1（a）所示。
（2）A=[1 3/4 1/8];B=[1 -0.5 0];ljdt(A,B)绘制的零极点图如图8-1（b）所示。
2．离散系统零极点分析（1）离散系统零极点分布与系统稳定性《信号与系统》课程已讲到离散系统稳定的条件为：●时域条件：离散系统稳定的充要条件为()nh n∞=-∞<∞∑，即系统单位样值响应绝对可和；●Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数()H z的所有极点均位于Z平面的单位圆内。
对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MATLAB来实现。
实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系统的稳定性。
例2：系统函数如例1所示，判断两个系统的稳定性。
（a）（b）图8-1 离散系统的零极点图解：由例1绘出的零极点图可以看出两个系统的稳定性分别为：第（1）个系统不稳定；第（2）个系统稳定。
（2）零极点分布与系统单位样值时域特性的关系 从《信号与系统》课程中已经得知，离散系统的系统函数()H z 与单位样值响应()h n 是一对Z 变换对；因而，()H z 必然包含了()h n 的固有特性。
离散系统的系统函数可以写成11()()()Mjj Nii z q H z Cz p ==-=-∏∏ （8-4）若系统的N 个极点均为单极点，可将()H z 进行部分分式展开为：1()Ni i i k zH z z p ==-∑ （8-5）由Z 逆变换得：1()()()Nn i i i h n k p u n ==∑ （8-6）从式（8-5）和（8-6）可以看出离散系统单位样值响应()h n 的时域特性完全由系统函数()H z 的极点位置决定。
从《信号与系统》的学习中已经得出如下规律： ● ()H z 位于Z 平面单位圆内的极点决定了()h n 随时间衰减的信号分量； ● ()H z 位于Z 平面单位圆上的一阶极点决定了()h n 的稳定信号分量；● ()H z 位于Z 平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了()h n 的随时间增长的信号分量；下面以例子证明上述规律的正确性：例3：已知如下系统的系统函数()H z ，试用MATLAB 分析系统单位样值响应()h n 的时域特性。
（1）1()1H z z =-，单位圆上的一阶实极点；（2）21()2cos()18H z z z π=-+，单位圆上的一阶共轭极点；（3）2()(1)zH z z =-，单位圆上的二阶实极点； （4）1()0.8H z z =-，单位圆内的一阶实极点；（5）21()(0.5)H z z =-，单位圆内的二阶实极点； （6）1() 1.2H z z =-，单位圆外的一阶实极点；解：利用MATLAB 提供的函数impz()绘制离散系统单位样值响应波形，impz()基本调用方式为（其他方式，请读者参看MATLAB 帮助）：impz(b,a,N)，其中，b 为系统函数分子多项式的系数向量，a 为系统函数分母多项式的系数向量，N 为产生序列的长度；需要注意的是，b 和a 的维数应相同，不足用0补齐，例如2211()(1)21H z z z z ==--+的b=[0 0 1]，a=[1 –2 1]。
下面是求解个系统单位样值响应的MATLAB 命令： （1）a=[1 -1];b=[0 1]; impz(b,a,10)运行结果如图8-2（a ）所示。
（2）a=[1 –2*cos(pi/8) 1];b=[0 0 1]; impz(b,a,50)运行结果如图8-2（b ）所示。
（3）a=[1 -2 1];b=[0 1 0]; impz(b,a,10)运行结果如图8-2（c ）所示。
（4）a=[1 -0.8];b=[0 1]; impz(b,a,10)运行结果如图8-2（d ）所示。
（5）a=[1 -1 0.25];b=[0 0 1]; impz(b,a,10)运行结果如图8-2（e ）所示。
（6）a=[1 -1.2];b=[0 1]; impz(b,a,10)运行结果如图8-2（f ）所示。
（a ）（b ）图8-2 系统的单位样值响应四、离散系统频率特性分析1．离散系统的频率响应()j H e ω对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为正弦序列：0()sin()()x n A n u n ω= 则，根据《信号与系统》课程给出的结果有，系统的稳态响应为：()()sin[()]()j ss y n A H e n u n ωωϕω=+定义离散系统的频率响应为()()()()j j j j z e H e H z H e e ωωωϕω=== 其中，()j H e ω——称为离散系统的幅频特性；()ϕω——称为离散系统的相频特性；()j H e ω是以2π为周期的周期函数，只要分析()j H e ω在ωπ≤范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。
2．用MATLAB 实现离散系统的频率特性分析方法 （1）直接法（c ）（d ）（e ）（f ）图8-2 系统的单位样值响应（续）设某因果稳定系统的系统函数()H z ，则系统的频响特性为：()()()()j j j j z e H e H z H e e ωωωϕω===MATLAB 提供了专门用于求离散系统频响特性的函数freqz()，调用freqz()的格式有以下两种：● [H,w]=freqz(B,A,N)B 和A 分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N 为正整数，返回量H 则包含了离散系统频响()j H e ω在0~π范围内N 个频率等分点的值，向量w 则包含0~π范围内N 个频率等分点。
调用中若N 默认，默认值为512。