3第三章疲劳强度

周期 确定的应力-时间历程 可以通过明确的数学表达式描述。 非周期 稳态 随机应力-时间历程 只能用统计和概率的方法来预测 非稳态
某一特定的应力发生的概率。
第三章 应力-时间历程分析
一、确定的应力-时间历程 二、随机应力-时间历程 三、随机载荷序列的计算机再生方法
一、确定的应力-时间历程
稳态随机过程——当随机过程的统计量与时间无关时，这类随机 过程就称稳态（平稳）随机过程。
强稳态随机过程和弱稳态随机过程
强稳态——所有平均值（各K阶矩）都是常数，所有的 自相关函数（各K阶关联矩）仅取决于时间间隔 t 2 t1
弱稳态——只有线性平均值 m1 (t ) （一阶矩）和一阶自 相关数（矩） R(t1, t2 ) 不随时间变化。或称为“广义稳态 ”
三、随机载荷序列的计算机再生方法
3.载荷序列生成
再生过程：
载荷下降边(第二边)的确定方法与以上相同， 只是这时求和元素在主对角线以下的第 β 行，从 β行求和得到Tβ ，然后又用伪随机 数法确定载荷下降的终止等级(列)，例如γ 列。如此循环下去，即可得到载荷序列的 交错峰值和谷值所在的等级，连接这些峰 值与谷值，既的计算机模拟的随机载荷。
1.周期性应力-时间历程
最简单的周期性应力-时间历程是用正弦函数表示的过程：
X (t ) X m X a sin(2f 0t )
Xm——函数的平均值，函数瞬时值在这个数的上下变化； Xa——幅值；f0——变化频率；φ——初相位；
工程中的一般载荷很少是简单和单一的，周期性应力-时间历程可 能是多个同频率的正弦信号的叠加，也可能是多个不同频率信号的复合。 复合的周期性应力-时间历程一般都可以用Fouier函数展开成不同 频率的周期信号叠加： a0 X (t ) (an cos2nf1t bn sin 2f1t ) 2 n1
应力时间-历程与载荷-时间历程有很大区别。
①载荷（外载）只作用在构件的某一个部位，而应力范围要广泛的多。 ②应力时间历程比较容易测定，而载荷较难。
③应力时间历程可用较广义的量来描述。
第三章 应力-时间历程分析

应力-时间历程分类
按数学处理方法，可将应力-时间历程分为确定的应力-时间历程 和随机的应力-时间历程。
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疲劳强度
刘义伦
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第三章 应力-时间历程分析
第三章 应力-时间历程分析

什么是应力-时间历程
载荷是构成疲劳问题的主要因素之一。许多情况下，作用在构件 上的载荷是随时间变化的，这种加载过程称为载荷-时间历程。
我们更关心的是构件上的应力的变化，因此将构件某点的应力随 时间变化的情况称为应力-时间历程。它主要描述的是系统的动态响 应。因此将构件某点上测得的时变响应函数（不管它们是应力、应 变还是其他说明构件应力信息的量，如力矩、剪力或加速度）通称 为应力-时间历程。
三、随机载荷序列的计算机再生方法
2.过渡矩阵及其形成
取N0 =106 ，载荷不规则度 系数I分别为0.3, 0.5, 0.7, 0.99。 则通过积分形成的过度矩阵如 下：
三、随机载荷序列的计算机再生方法
3.载荷序列生成
讨论如何从过渡矩阵得到一个随机载荷系列的方法。 从以上讨论可知，过渡矩阵的每一个元素都表示从某 一等级开始到某一等级结束的载荷发生的次数。且从谷值 到峰值的边都记录在矩阵的主对角线以上的元素中（此时 i<j），而从峰值到谷值的边都记录在主对角线以下的元素 中（此时i>j ）。
a——载荷幅值； m——载荷中值； σ——均方差； I——载荷不规则度系数，根据概率理论， I即为a、m的相关系数； N——一段载荷的峰值点数； N0——基准零水平穿越数；
上式的分布形如小山丘
三、随机载荷序列的计算机再生方法
2.过渡矩阵及其形成
在疲劳寿命预测的双参数计数中，当计下载荷的正变程（或负变程） 的起、终点等级，并将结果存入一矩阵的对应元素中，这个矩阵就称为 过渡矩阵。如图:
n 1,2
一、确定的应力-时间历程
2.非周期性应力-时间历程
有些应力-时间历程虽然不是周期变化的，但从总体上来讲我 们知道它的变化趋向，通过多个分量的计算可确定任意时间的 轨迹，这种应力-时间历程称为非周期应力-时间历程。
非周期应力-时间历程可以看作是多个信号的混杂。视这种相互混 杂信号的多少和差异，有些信号可以称为“几乎周期性”的。如多 发动机螺旋桨飞机的各发动机不同步时所引起的振动响应，属于 “几乎周期性”的。 凡不符合“几乎周期性”的非周期的应力时间历程称为瞬变信号。
三、随机载荷序列的计算机再生方法
2.过渡矩阵及其形成
过渡矩阵的形成： 在本章研究随机载荷序列生成时，其过程正好与载荷计数生成过渡 矩阵相反，先由概率密度函数通过积分得到过渡矩阵中的元素值，再由 过渡矩阵通过随机方法产生载荷序列。 根据过渡矩阵性质，过渡矩阵的主、副对角线正好与密度函数的a, m坐标重合. 在a ,m平面上，过渡矩阵的元素为以下的积分值：
N0可用载荷不规则度系数I 反映：
I N0 N
N——一段载荷的峰值点数。
三、随机载荷序列的计算机再生方法
1.工程载荷统计分析
据统计，许多随机载荷的幅值a和均值m服从正态分布，它们的二 维概率密度函数为：
h(m, a) a m2 a2 2 2 exp 2 2 (1 I 2 ) 2 2 I 2 2 2 I 2 (1 I ) N
C ij h(m, a )dadm
积分区域是：ΔFij , 由于问题的对 程性，积分可在主对角线以上或 以下进行。
数值积分可采用辛卜森（Simpson）积分法。当将过渡矩 阵分为32 ×32级，每个积分区间ΔFij 长度为K, 。积分步长是 再将K细分为128等分。这里 ，K 2 2 ln N
三、随机载荷序列的计算机再生方法
为了对试件进行随机载荷的疲劳试验，所以要研究 随机载荷的再生方法。
1.工程载荷统计分析
2.过渡矩阵及其形成
3.载荷序列生成
三、随机载荷序列的计算机再生方法
1.工程载荷统计分析
任一随机载荷，都是由从谷值点q到峰值点p的正变程（上升边）、 和从峰值点到谷值点的负变成（下降边）组成。如果忽略其连线的形状， 则任一随机载荷可由三个基本参数确定：幅值a，中值m和基准零水平 穿越数 N0。
X(t)——复合周期信号在t时刻的取值；f1——-基频，即单位时间内基本循环数(Hz）； 其余系数： Tp 2 Tp 2 Tp 2 a0 xt dt ; an x(t ) cos(2nf1t )dt ; bn x(t ) sin(2nf1t )dt TP 0 Tp 0 Tp 0
三、随机载荷序列的计算机再生方法
3.载荷序列生成
生成的载荷序列：
将从过渡矩阵中得到的载荷峰值点和谷值点用直线连起来，就得到再生的 载荷序列：
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二、随机应力-时间历程
从数学上我们已知：当一随机函数所依赖的参数为时间 t 时，这 个随机函数称为随机过程。随机应力-时间历程就是一个随机过程。 如从甲地开往乙地的汽车轮轴上的应力记录集合是一个随机过程， 从甲地到乙地航行的船所受到的海浪载荷记录集合也是一个随机 过程。 随机应力-时间历程不能用一个明确的数学表达式来描述应力在未 来某一时刻的准确值。因为任何一个样本记录与其它记录都不相同。 随机过程都用其统计量来描述，随机过程的统计量一般都与时间 有关。
三、随机载荷序列的计算机再生方法
2.过渡矩阵及其形成
过渡矩阵的性质：
1）过渡矩阵某行元素之和等于对应某列元素之和。（因为对于某一级 水平，有多少进入这一级水平作为终止级，就有多少从这一级出发
作为开始级）。
2）主对角线两边三角形矩阵是对称的（由于均值m是统计对称的）。 过渡矩阵关于副对角线也是对称的。 3）过渡矩阵中与主对角线平行的元素 的所有载荷幅值相等。 4）过渡矩阵中与主对角线垂直线相连 的元素的均值相等。
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取N0 =106 ，载荷不规则度系数I分别为0.3, 0.5, 0.7, 0.99。 则通过积分形成的过度矩阵如教材P.56~59。
三、随机载荷序列的计算机再生方法
2.过渡矩阵及其形成
取N0 =106 ，载荷不规则度 系数I分别为0.3, 0.5, 0.7, 0.99。 则通过积分形成的过度矩阵如 下：
三、随机载荷序列的计算机再生方法
3.载荷序列生成
再生过程：
假设载荷序列的开始等级为 α，其相应的位置在过渡矩阵中为i= α ， j>α，如图。为了确定这个载荷边的终止等级，也即确定过渡矩阵的列 数，我们借助伪随机数来决定。
将第i行的主对角线以上的元素求和，得到 T α ，在产生以 T α为周期的伪随机数R α ， 从 R α中顺序减去第i行元素。当其差值出 现负数时，即以这个元素作为载荷的终止 等级，例如β 列。这样载荷序列的第一个 边（上升边）即被确定。