浙江科技学院线性代数 向量组的线性相关性与两个向量组之间的关系
第二节 向量组的线性相关性
∴ α m 可由 α 1 , α 2 ,L , α m −1 线性表示 .
证毕. 证毕
性质1. 性质 任意一个包含零向量的向量组必 线性相关. 线性相关 证明: 证明 设向量组 α 1 = 0 , α 2 , L , α m ,
∴ 齐次方程组有非零解 . ∴ α 1 , α 2 , α 3 线性相关 .
代入(2)、 有 又由(1)得 k1 = − k3 , 代入 、(3),有
15
返回
2k2 + 2k3 = 0 5k + 5k = 0 2 3
⇒ k2 = − k3.
则 k1 = k 2 = 1,
∴ α 1 + α 2 − α 3 = 0. α1 = −α2 + α3 , α2 = −α1 + α3 , α3 = α1 + α3 .
4
返回
即存在数 a1 , a2 ,L , an , 使 α = a1ε 1 + a 2ε 2 + L + a nε n , 所以任一 n 维向量 α 均可由 ε 1 , ε 2 , L , ε n 线性表示. 线性表示 ε 1 , ε 2 , L , ε n 称为 n 维单位向量组 单位向量组.
例2. 若 α1 = (0,0,1), α2 = (1,1,0), α3 = (3,3,0), 问 α 3 可否由 α 1 , α 2 线性表示 ? 解: 显然 α 3 = 0 ⋅ α 1 + 3 ⋅ α 2 . ∴ α 3 可由 α 1 , α 2 线性表示 . 换句话说,存在一组不全为 的数 的数0,3,-1,使 换句话说,存在一组不全为0的数 使 0 ⋅ α1 + 3 ⋅ α 2 + ( −1) ⋅ α 3 = 0.
第二章 第二讲 向量组的相关性
第二讲 向量组的线性相关性2.2.1 向量组的线性相关性向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是n 维向量空间中向量之间是否存在线性关系.在两个向量之间, 最简单的线性关系是对应坐标是否成比例,如果存在数字k 使得k αβ=，我们就认为向量α与β之前存在线性关系，称他们是线性相关的，否则它们无线性关系.而在多个向量之间,这种成比例的关系则通过线性组合的形式来表现.定义2.2.1 对s 个n 维向量12,,s ααα ,他们的线性组合1122s s k k k ααα++= 0 ... ... (2.1)(1) 若,12,s k k k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组12,,s ααα 线性相关; (2) 若当且仅当12,s k k k 全为零，（2.1）式成立，称向量组12,,s ααα 线性无关 . 定义2.2.1易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关.(2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理2.2.1 （1） 如果向量组m ααα,,,21 中有一部分组线性相关,则向量组m ααα,,,21 必线性相关.（2）如果向量组m ααα,,,21 线性无关,则任何部分组必线性无关.证明（1） 假设该组向量中12,αα线性相关，由定义2.2.1必存在 12,k k 不全为零，使得1122+=0k k αα成立。
取一组不全为零的数12,,0,0,,0k k ，有11223m ++0++0=0k k αααα 成立，故m ααα,,,21 线性相关。
证明（2）用反证法即可证得。
定理2.2.2 如果向量组m ααα,,,21 线性无关,而向量组βααα,,,,21m 线性相关,则β可由向量组m ααα,,,21 线性表出且表达式唯一.证明 由已知存在一组不全为零的数12m+1,,m k k k k ，使得1122+1++++=0m m m k k k k αααβ 成立。
向量组线性相关性
向量组线性相关性在线性代数中，向量组的线性相关性是一个重要的概念。
当我们谈论向量组的线性相关性时，实际上是在探讨这些向量之间是否存在一种线性关系，即是否存在一组实数使得这些向量的线性组合为零向量。
在本文中，我们将深入探讨向量组的线性相关性，包括线性相关性的定义、判定方法以及线性相关性与线性无关性之间的关系。
定义给定一个由n个向量$\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2, \\ldots,\\boldsymbol{v}_n$组成的向量组，如果存在不全为零的实数$k_1, k_2, \\ldots,k_n$，使得$k_1\\boldsymbol{v}_1 + k_2\\boldsymbol{v}_2 + \\ldots +k_n\\boldsymbol{v}_n = \\boldsymbol{0}$，那么这个向量组就被称为线性相关的；否则，这个向量组就被称为线性无关的。
判定方法方法一：行列式判别法对于n个n维向量组成的矩阵$A=[\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2,\\ldots, \\boldsymbol{v}_n]$，如果$\\text{det}(A) = 0$，则这个向量组线性相关；如果$\\text{det}(A) \ eq 0$，则这个向量组线性无关。
方法二：向量组的秩将向量组的向量依次排列成矩阵A的列向量，然后对矩阵A进行行变换化为阶梯形矩阵B，向量组的秩r即为矩阵B的非零行数，如果r=n，则向量组线性无关；如果r<n，则向量组线性相关。
线性相关性与线性无关性的关系线性相关性和线性无关性是一对互补的概念。
线性相关的向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表示，而线性无关的向量组中每个向量都不能被其他向量线性表示。
在实际应用中，线性相关的向量组会造成冗余信息，降低计算效率，而线性无关的向量组则被广泛应用于解方程组、矩阵变换等问题中。
3.3向量组的线性相关性
推论3：当向量组中所含的向量个数大于向量的维数 时，此向组必线性相关。
例1：n维向量组
ε 1 1, 0 , , 0 , ε 2 0 ,1, , 0 , , ε n 0 , 0 , ,1
T T T
称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性。 解：n维单位向量组构成的矩阵
T T T
线性相关。 2、定理4：若向量组 α 1 , α 2 , , α s , β 线性相关，而向量组 α 1 , α 2 , , α s 线性无关，则向量 β 可由 α 1 , α 2 , , α s 线性 表示，且表示法唯一 。 α 1 , α 2 , , α s , β 线性相关 故存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s , k 有
x1 2 x 2 3 x 3 0 x 5x 6x 0 2 3 1
1 1
2 5
2 0 6
所以，齐次线性方程组有非零解，即 x1 , x 2 , x 3 不全为零。 故向量组线性相关。
二、线性相关性基本定理 1、定理1：向量组 α 1 , α 2 , , α s s 2 线性相关的充要条件 是向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向 量线性表示。 必要性： 设 α 1 , α 2 , , α s线性相关，则存在s个不全为零的 数 k 1 , k 2 , , k s ，使得 k 1α 1 k 2 α 2 k s α s 0 成立 不妨设 k 1 0 ，于是 k 1α 1 k 2 α 2 k s α s
hs α s 0
h s，故表示法唯一
整理得 l1 h1 α 1 l 2 h 2 α 2 l s
向量组的线性相关与线性无关向量组的线性无关
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示就是有好处的。
２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。
向量组间的线性关系
也线性无关。
例10 已知 证明 设存在数
线性无关，证明 线性相关.
使得
即 已知
线性无关， 只有
不全为零，故向量组线性相关。
三、线性组合与线性表示
定义2 设有m维向量组
则称 的线性组合 称
如果存在一组数 是向量组 为组合系数.
若存在一组数
使得
称 可由
线性表示。
1、线性表示
观察四个向量 之间的关系有
例1
即 线性相关。
例2 当向量组含两个非零向量时，
设
，
与 线性相关
与 对应分量成正比
证明 与 线性相关
或
或
即 与 的对应分量成比例
例3 对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例，
几何上说向量
共线。
线性相关。
求证含有零向量的向量组必线性相关。
例4 证明 设向量组中 取数 必有
则此向量组必定线性相关。
例13 判断 是否为向量组 的线性组合？ 对矩阵
4
3
0 11
1
2
4
1 2 4
1
1
2
1 5
2
2
1
1 1
2
1 5
1 1 1
3
0 11
~
0
0 0
1 0 0
1
1 0
线性无关，
01
定理6
02
03
线性相关，则
可由A线性表示且表法唯一。
已知向量组
例14 证明 ①
②
0 1 0 2
0 0
0 0
1 0
-1 0
1 1 2 2 0 2 -1 5
线性代数-向量组的线性相关性
下面举例说明定理的应用.
例１ n 维向量组
e1 = (1,0,,0)T ,e2 = (0,1,,0)T ,，en = (0,0,,1)T
称为n维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成 的矩阵 E = (e1, e2 ,, en )
是n阶单位矩阵. 由 E = 1 ≠ 0，知R(E) = n. 即R(E)等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
亦即（ x1 + x3 )α1 + ( x1 + x2 )α 2 + ( x2 + x3 )α 3 = 0,
因α1，α 2，α 3线性无关，故有
x1 + x3 = 0, x1 + x2 = 0,
x2 + x3 = 0.
由于此方程组的系数行 列式 1 01 1 1 0 =2≠0 011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，所以向量组 b1 ,b2 ,b3线性无关.
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
(1) 若向量组 A：α1,α2 ,,αm 线性相关,则 向量组 B :α1,,α m ,α m+1 也线性相关.反言之,若向
量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证明 （1）记A = (a1,, am ), B = (a1,, am , am+1 )，有 R(B) ≤ R( A) + 1.若向量组A线性相关,则根据定理 2，有R( A) < m，从而R(B) ≤ R( A) + 1 < m + 1,因此, 根据定理 2知向量组 B线性相关 .
说明 结论（2）是对增加一个分量（ 即维数增加1 维）而言的，若增加多 个分量,结论也成立.
线性代数 向量组的线性相关性知识分享
线性代数向量组的线性相关性第三节 向量组的线性相关性分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1★ 定理2 ★ 例3★ 例4★ 例5★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使,02211=+++s s k k k αααΛ (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关;② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例.⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .推论1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关.定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββαααΛΛ向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥ 推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使 ,02211=+e e λλ 也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 (E01) n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421 秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
线性代数向量的线性相关性
向量组的线性相关与线性无关
探讨向量和向量组的关系
一：向量组的线性组合、及线性表示
定义1
由若干维数相同的列向量（或行向量）构成的
向量集合称为向量组. 由m个n维向量构成的向量组可记为
M 1 , 2 ,, m 或M
例
R 中标准基 e1, e2 ,, en
n
以及 R n 自身
是这两个向量的对应坐标成比例
四 阶梯形矩阵在线性相关性问题中的应用
(一)向量组与矩阵的关系 1 向量组
矩阵
m维列向量组 M 1,2 ,,n 可构造两个矩阵
(1) 向量作成矩阵的列 A 1,2 ,,n mn
1T T 2 (2) 向量作成矩阵的行 B T n n m T 显然 A B
解：设有数 k1 , k2 , k3 使 k11 k22 k33 0 即方程
1 0 1 k1 1 2 3 k2 0 1 5 6 k 0 1 0 1 因为 1 2 3 0 1 5 6
由克莱姆法则知道方程有非零解。
则新向量组 M 1,2 ,,m , 线性相关.
反之是否成立?
定理2 若M 1,2 ,,m 线性无关 , 而向量组
N 1,2 ,,m , 线性相关, 则向量 一定能被向量组M
线性表示，且表示式是唯一的 . 注: 定理1、2充分揭示了向量组能否表示给定向量与 向量组线性相关性的关系.
故向量组线性相关
例2* 讨论向量组 1 1 2 0 , 2 0 2 1 , 3 0 0 1
的线性相关性 解：设有数 k1 , k2 , k3 使 k11 k22 k33 0 即方程
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性1.1向量组的线性相关性的概念与判定1.1.1向量组的线性相关性概念定义1： 给定向量组12(,,)m A ααα=⋅⋅⋅,如果存在不全为零的数 12,,,m k k k ⋅⋅⋅,使11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=则称向量组A 是线性相关的, 否则称它是线性无关的.定义2：若向量组A 中每一个向量(1,2,,)i i t α= 都可由向量组{}1,,s B ββ= 线性表示，则称A 可由B 线性表示。
若两个向量组可互相线性表示，则称这两个向量组等价.性质：向量组的等价具有1）反射性；2）对称性；3）传递性.定义3： 向量组{}s αα,,1 称为线性无关，若它不线性相关，或：由11220s s k k k ααα+++= ，则必021====s k k k 。
即：11220s s x x x ααα+++= 只有唯一零解.定义6：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话）.所得的部分向量组都线性相关.定义7：一个向量组的极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组的秩数.性质：1.向量组{}r αα,,1 线性无关⇔{}r αα,,1 秩r =. 向量组{}r αα,,1 线性相关⇔{}r αα,,1 秩r <. 2.等价向量组的秩数相同.n P 中向量组的极大线性无关组的求法. 注意1: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的. 注意2: 若12,,m ααα⋅⋅⋅线性无关, 则只有当120m λλλ==== 时, 才有11220m m λαλαλα++⋅⋅⋅+=成立.注意3: 向量组只包含一个向量α 时,若0α=则说α线性相关; 若0α≠, 则说α 线性无关.注意4: 包含零向量的任何向量组是线性相关的.注意5: 对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例, 几何意义是两向量共线; 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.1.1.2线性相关性的判定向量组12,,m ααα⋅⋅⋅ (当m 2≥时)线性相关的充分必要条件是12,,m ααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其余1m -个向量线性表示.证明: 充分性. 设12,,m ααα⋅⋅⋅中有一个向量(比如m α)能由其余向量线性表示,即有112211m m m αλαλαλα--=++⋅⋅⋅+也就是112211(1)0m m m λαλαλαα--++⋅⋅⋅++-=因121,,,m λλλ-⋅⋅⋅,(-1)这m 个数不全为0,故12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关.必要性. 设12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关. 则有不全为0的数12,,,m k k k ⋅⋅⋅,使11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=不妨设10k ≠, 则有32123111()()().m m k k k k k k αααα=-+-++- 即1α能由其余向量线性表示. 证毕1.2 向量组线性相关性的性质和应用1.2.1向量组线性相关性的性质：1.含零向量的向量组必线性相关，即{}s ααθ,,,1 线性相关.θααθ=⋅++⋅+⋅s 00112.一个向量组若有部分向量线性相关，则此向量组线性相关。
向量组线性相关的概念
向量组线性相关的概念向量组线性相关是线性代数学中一个基本的概念，它涉及到它们之间的关系。
两个或多个向量，或一组由多个向量构成的线性组合，被称为向量组。
如果这些组中的每个向量都存在着唯一的关系，通常被称为向量组线性相关。
首先，要明确的是，什么是向量组。
向量组是一组由多个向量构成的线性组合。
这些向量通常与相关的系数相连，以表示每个向量对这个组的作用。
举个例子，如果只有两个向量，a和b，那么它们组成的向量组可以写为a + b，其中a和b代表着两个向量。
另外，如果有更多的向量，那么他们将分别写成a1 + a2 + + an，其中n表示他们的个数。
接下来就是线性相关的概念。
线性相关是指两个或多个变量之间的线性关系，如果两个变量之间有着精确的正相关或负相关，那么就可以说这两个变量之间具有线性相关性。
对于向量组来说，线性相关的概念也一样，如果向量组中的每一个向量都有着唯一的关系，那么就可以说这个向量组具有线性相关性。
线性相关在许多不同的领域也有着广泛的应用。
例如，在数学上，线性相关的概念可以用来解决任何一系列的方程，它可以用来解释不同变量间的关系以及相互之间的关系。
在物理学，研究事物之间的线性相关性可以帮助我们理解和研究它们之间的相互作用。
此外，线性相关的概念也在经济学、生物学和商业分析中有着重要的应用。
另外，由于线性相关的概念可以用来表示定系数之间的线性关系，因此它也可以用来计算不同变量之间的线性回归，从而帮助我们进行相关性分析，从而更好地理解这些变量之间的关系。
总之，向量组线性相关是一个重要的数学概念，它可以用来表示不同变量之间的线性关系，并可以用来计算线性回归，从而帮助我们更好地理解这些变量之间的关系。
此外，线性相关也广泛地应用在各个领域，由此可以看出线性相关的重要性及其对各个领域的重要性。
线性代数课件4-2向量组的线性相关性
共线 线性相关
不共线 线性无关
2020年8月11日10时15分
2 1 1
例2
1 3, 2 1, 3 2
4
1
3 1 2 3
1
,
2
,
共
3
面
不
全
为0的
数k1
,
k2
,
k3
st. k11 k22 k33 0
共面 线性相关
不共面 线性无关
2020年8月11日10时15分
§2 向量组的线性相关性
目的要求
（1）掌握向量组线性相关性的定义； （2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法； （3）掌握向量组线性相关性的相关结论.
2020年8月11日10时15分
§2 向量组的线性相关性
1 3
例1
1 2, 2 6
3
9
2 31
1与2共 线 不 全 为 零 的 数 k1, k2
3
1
A:
a1
3 2 0
,
a2
1 1 5
,
a3
5 2 4
,
a4
3 2 5
用mathematica求解 1 2 3 1
10
RowReduce 70
5
3 15 3 21 2 2 05 45
MatrixForm
01
00 00
40
5
01 00
R ( a1, a2, a3, a4 )=3 向量组 a1 , a2 , a3 , a4 线性相关.
秩 R (A) < m
2020年8月11日10时15分
定理 2
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性无关
浙江科技学院大二理学专业线性代数试卷及答案2
浙江科技学院20X-20XX 学年第二学期考试试卷B 卷考试科目 线性代数A 考试方式 闭 完成时限 2小时 拟题人工程数学组审核人 批准人 20XX 年 6 月2日一、填空题（每小题3分，共21分1. 设1231231233,a a a b b b c c c = 则112233123123333222a b a b a b b b b c c c +++= ．2. 设A为三阶行列式，B为四阶行列式，且3,2,A B =-=-则B A ==__________3. 齐次线性方程组1231232302030x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩有非零解，则λ应满足的条件为 .4. 矩阵3111131111311113A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭的行最简形是 .5. 设310110121,225.342341A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则T TB A = ．.6. 设()()1123123231870212,303x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则二次型的对应矩阵是. 7. 设3阶方阵3560,A E A E A E -=-=-=，则A = . .二、选择题（每小题4分，共20分）1. 行列式103100204199200395301300600D==（ ）． （A ）1000 ； (B) －1000； (C) 2000； (D)－2000. 2.0,0设，为阶方阵，且，则A B n A AB ≠= ( ) .（A ）0B = ； （B ） 00或A B ==；（C ）0BA = ； （D ） 222（）A B A B +=+．3.设A 、B 是两个n 阶方阵，若由0AB =可以得到0B =，则必有()R A =（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）1n -； （D ）n .4. 下列矩阵中, ( )是正交矩阵.(A) 345453⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B)122212⎛⎫⎪-⎝⎭； (C) 1110⎛⎫ ⎪-⎝⎭； (D) 354543⎛⎫⎪-⎝⎭. 5. 设121212{(,,,)|,,,,}n n n S a a a a a a R a a a k =∈+++=且是向量空间,则k =( ) .（A ） 0 (B) 1( C ) 2 (D) 36. 设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非齐次线性方程组AX B =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( ) .(A)若AX O =仅有零解，则AX B =有唯一解. (B)若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多解.( (C)若AX B =有无穷多解，则AX O =仅有零解.(D)若AX B =有无穷多解，则AX O =有非零解.7. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，*A 表示A 的伴随矩阵，若A 与B 相似，则以下结论错误的是( ) . (A)1A -与1B -相似； (B) AB 与BA 相似；(C) TA 与TB 相似； (D) *A 与*B 相似.三、解答题（共52分）1.(8分)计算行列式ab acaeD bd cdde bf cfef-=--.2. （6分）设101020,003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求*A -1（）的植.3、（6分）判定求向量组的线性相关性：()()()1231,3,1,2,1,0,1,4,1,TTTααα=-==4、 （8分）解矩阵142031.121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. （10分）用初等变换法解非齐次线性方程组1234123412341,0,2244 1.x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪--+=-⎩（要求写出通解的向量形式）.6.（14分）设320200,002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求一正交矩阵,P 使1P AP -=Λ成对角阵．四、证明题（6分）设向量组321,,ααα线性无关，求证向量组2132135,2,34αααααα-+- 线性无关.浙江科技学院20XX-20XX学年第二学期考试试卷A卷参考答案与评分标准考试科目线性代数A考试方式闭完成时限2小时拟题人工程数学组审核人批准人20XX年6月2日一、填空题（每小题4分，共20分）1.18.2．243.3 24.1001 0101 0011 0000-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪- ⎪⎝⎭5.5616513 51122⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭6 .145 426 563⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7.10二、选择题（每小题4分，共20分）1. (C )2.（B）3.（D）4.（D）5. ( A )6.（D）7. (B )三、解答题（共52分）1.（8分）解：....2..............8. (111111)11100211102002420分4分6分分7分b c e D adf b c e adfbce abcdef b c e abcdefabcdef ---=-=-=--=-=2.（6分）解由 ()---⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪⎝⎭1*1110111()3502066003分分分A A A A A,3（6分）解：领 123(,,)2分A ααα=，因12131404101A -==分故123,,ααα线性相关. ……6分.4.（8分）解 由111431203120111X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭分24311011[][]611011262-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭分=118104⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭分5.（10分）解111111100011110001112244100000A ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭行变 -与原方程组同解的方程组为1224340(,1x x x x x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为自由未知量)……4分 令*241300,1(0,0,1,0)T x x x x η==→==→= ……6分与导出组同解的方程组为122434(,x x x x x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩为自由未知量)，令241311,0,1,0,(1,1,0,0)T x x x x ξ==→==→=，又令241320,1,0,1,(0,0,1,1)T x x x x ξ==→==→=， …………9分则2*12121010010.(,)101001i i i k k k k k R ηηξ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ …10分6.（14分）解101320020,()20(1)(2)(4)101002A f A A E λλλλλλλ-⎛⎫⎪=-=-=-=+-- ⎪ ⎪-⎝⎭A →的特征值为1231,2, 4.λλλ=-==………3分当11λ=-时，11104002210001003000A ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，111122.00p ξ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ ， ………6分 当22λ=时，2120100220010,000000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22001p ξ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，………9 分当34λ=时，3120120240001,002000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭33221100p ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ……………12分令1230(,,)0010P p p p ⎛==⎪⎝⎭，则P 为正交矩阵，………13分 且1100020004P A P --⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭………14分.四、证明题（6分）证： 令121232313(5)(2)(34)l l l O αααααα-+++-=，………2分 即121122233(53)()(24)l l l l l l O ααα-++++-= …………………3分因321,,ααα线性无关，则13121232353000240l l l l l l l l l -+=⎧⎪+=→===⎨⎪-=⎩ ………5分故2132135,2,34αααααα-+-线性无关。
向量组的线性相关性
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
而 1 ,, m , 线性 定理7 设 1 , 2 ,, m 线性无关, 相关, 则 能由1 ,, m 线性表示, 且表示式是唯一的 .
k1 k3 0 k1 2k 2 3k3 0 k 5k 6k 0 2 3 1
显然k1=k2=1，k3=-1，满足上式。所以存在不全为零 的数1，1，-1使 k11 k2 2 k33 0 所以 1， 2，3
线性相关。
方法二：由克莱姆法则，此方程组的系数行列式
1 0 1 1 0 1 1 0 1 R(A)=2<3,所以 A 1 1 0 0 1 1 0 1 1 方程组有非零解。 0 1 1 0 1 1 0 0 0
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k2 2 km m 0.
因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0, 则有
1 c D 1 1
1
1
1 c 1 1 1 c
r2 r1 r3 (1 c ) r1
1 c c 2 c
1
1
c 0 c 2 (3 c ) c 0
由克莱姆法则
(1)当D 0即c 0且c -3时 ， 方 程 组 只 有 零 解 ， 向 量 组 线 性 无 关 ； ( 2)当D 0即c 0或c -3时 ， 方 程 组 有 非 零 解 ， 向 量 组 线 性 相 关 。
浙江科技学院线性代数向量组的线性相关性与两个向量组之间的关系资料
2. n维单位坐标向量组
2
(0,1,
,0)
线性无关.
n ( 0 , 0 , , 1 )
6
任一n维向量 (a1,a2, ,an)可以由 1,2, ,n线性表示，
事实上， a 11 a 22 a n n .
6
3. x 2 y 3z 1 2x y z 2 4x 5 y 7z 4
11
P86 定理2 A x b 有 解 R ( A ) R ( A ,b )
A :1,2, ,m
向量 b 能由向量组 A 线性表示
R ( 1 ， 2 ， ,m ) R ( 1 ， 2 ， ,m , b )
12
定义3
二、两个向量组间的关系
设有两个向量组 (I): 1, 2, , m
任一维向量可以由线性表示通过方程组的初等变换第三个方程的所有系数和常数项全化为0所以这个方程在方程组中是多余的在解方程时可以去掉它
§3.2 向量组的线性相关性与两 个向量组之间的关系
1
一、向量组的线性相关性
定义1 对于n维向量 1,2, ,m ,,
如果存在一组数 k1,k2, ,km, 使
k 11 k 22 k m m
15
小结
１. 线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用； ３. 线性相关与线性无关的判定方法. 4.两个向量组的等价关系
16
作业
P108 1（1）(2)，3（1）(2)，4, 6
17
பைடு நூலகம்
ks1 ks2
kst
这一线性表示的系数矩阵
14
P88 定理4 AXB有解 R (A ) R (A ,B )
定理4 A :1,2, ,s B:1,2, ,t
2向量组的线性相关性
k1s
k2s
.
kms
这里，矩阵Km×s= ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵.
由此可知，若 C m×n = Am×s Bs×n ,则矩阵C的列向 量组能由A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数
矩阵： ( c1 ,c2 , … , cn ) = (α1 , α2 , … , αs )
a1s a2s
T 1
2T
ams
s
T
综合上面的讨论，我们得出矩阵A经过初等行变换 变成矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组 合，即B 的行向量组能由A的行向量线性表示.由于初 等变换可逆，则矩阵B亦可经初等行变换变为A，从而 A 的行向量组也能由B 的行向量组线性表示.于是A的行 向量组与B的行向量组等价.
x1α1T + x2α2T + x3α3T = 0 即
（1）
( x1+x3 , x1+2x2+3x3 ,x1+ 5x2+6x3 ) = ( 0, 0, 0 )
亦即
x1 x1
2x2
x3 0 3x3 0
x1 5x2 6x3 0
由于
10 1
1 2 3 0
15 6
所以，方程组有非零解，即存在不全为零的 x1 , x2 , x3 使（1）成立.故向量组α1T, α2T, α3T是线性相关的.
2）设有x1, x2, x3 使 x1β1T + x2β2T + x3β3T = 0
（2）
即
x1
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" "1 , 2 , , m 中若有一向量，不妨设 m
能由其余m-1个向量线性表示， 则 m 11 2 2 m 1 m 1 , 即 11 2 2 m 1 m 1 (1) m 0, 所以 1 , 2 , , m 线性相关。
5注:Biblioteka 1.单个向量 （1） 0, 只有k取0时才成立 k 0, 所以，单个向量 线性无关. （2） 0, k取任何值都成立 k 0, 所以，单个向量 线性相关.
1 (1, 0, , 0) (0,1, , 0) 2 2. n维单位坐标向量组 线性无关. 6 n (0, 0, ,1) 任一n维向量 (a1 , a2 , , an ) 可以由 1 , 2 , , n 线性表示， a1 1 a2 2 an n . 事实上，
15
小结
１. 线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用； ３. 线性相关与线性无关的判定方法. 4.两个向量组的等价关系
16
作业
P108 1（1）(2)，3（1）(2)，4, 6
17
（1）反身性
（2）对称性
（3）传递性
13
若记 A ( 1 , 2 ,, s ), B ( 1 , 2 ,, t ) 即对每个向量 j ( j 1, 2,, t ), B能由A线性表示， 存在数 k1 j , k2 j ,, ksj , 使得 k1 j
§3.2 向量组的线性相关性与两 个向量组之间的关系
1
定义1
一、向量组的线性相关性 对于n维向量 1 , 2 ,, m , ,
如果存在一组数
k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm
称 是向量组 1 , 2 ,, m 的一个线性组合，
A : 1 , 2 ,, m 线性相关 x11 x22 xmm 0 即 Ax 0 有非零解
定理2
1 , 2 , , m 线性无关, 1 , 2 ,, m， 线性相关. 能由 1 , 2 , , m 线性表示，且表示法唯一.
8
定理3
若一个向量组中有一部分向量组线性相关
整个向量组线性相关。
推论1
推论2
任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
如果一个向量组线性无关
它的任何一个部分向量组必线性无关。
例1
(0,1, 2, 3)T , 1 (2, 2, 3,1)T , 2 ( 1, 2,1, 2)T , 3 (2,1, 1, 2)T
6
3. x 2 y 3 z 1
2 x y z 2 4 x 5 y 7 z 4
通过方程组的初等变换，第三个方程的所有系数和常数项全 化为0，所以这个方程在方程组中是多余的，在解方程时， 可以去掉它。 线性方程组有无多余方程相当于方程组对应的向量组中 有无向量能由其余向量线性表示。 4.
其中 ki , i 1, 2,, m 不全为0。
k3 km k2 m , 不妨设 k1 0 ，则 1 2 3 k1 k1 k1 即 1 是向量组 2 , 3 , , m 的线性组合，
也即1 , 2 , , m 中必有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。
即 x （ x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, 1 1 2）
亦即 （ x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, x1 x 3 0, 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 2 0, x x 0. 1 0 1 2 3
或者 可由向量组 1 , 2 ,, m 线性表示。
即线性方程组 x11 x22 xmm 有解。
定义2
给定向量组 A : 1 , 2 ,, m ,
如果存在不全为零的数 k1 , k2 ,, km ,
使 k11 k22 kmm 0
1 1 0 2 0, 所以方程组只有零解 x1 x2 x3 0, 0 1 1 即 b1 , b2 , b3 线性无关。 11
P86 定理2 Ax b有解 R( A) R( A, b)
A : 1 , 2 ,, m
向量 b 能由向量组 A 线性表示
R(1，2， , m ) R(1，2， ,m , b)
则称向量组A是线性相关的； 否则称向量组A是线性无关的。
即当且仅当
k1 k2 km 0 时， k11 k2 2 km m 0 才成立.
3
定理1
1 , 2 , , m 线性相关
向量组中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示.
4
" "若 k11 k2 2 km m 0
这一线性表示的系数矩阵
14
P88 定理4 定理4
AX B 有解 R( A) R( A, B)
A : 1 ,2 ,, s B : 1 , 2 ,, t
向量组B 能由向量组A 线性表示
R(A) R(A,B)
推论
A : 1 ,2 ,, s 与 B : 1 , 2 ,, t 等价 R(A) R(B) R(A, B)
j k1 j1 k2 j2 ksjs
k2 j （1 , 2 , , s ) , k sj
k11 k12 k1t k k k 2t 21 22 （ , , , ) 则 （ 1 , 2 ,, t ) 1 2 s k s1 k s 2 k st
12
定义3
二、两个向量组间的关系 设有两个向量组 ( I ) : 1 , 2 ,, m ( II ) : 1 , 2 ,, s
若组（I ) 中的每个向量都能由组（II ) 线性表示， 则称向量组（I )可由向量组（II )线性表示; 若两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向 量组等价。 等价关系的性质：
问 是否可由
1 ,2 ,3 线性表示？
无解。
例2
已知向量组 1 ,2 ,3 线性无关，
b1 1 2 , b2 2 3 , b 3 3 1 ,
试证：b1 , b2 , b3 线性无关。 证明： 设有 x1 , x2 , x3 使 x1b1 x2 b2 x3 b 3 0,