自回归滑动平均模型
sarima模型的实现
sarima模型的实现摘要：一、引言二、SARIMA 模型简介1.自回归滑动平均模型2.SARIMA 模型的构成3.SARIMA 模型的应用领域三、SARIMA 模型的实现1.平稳性检验2.确定模型参数3.模型拟合与预测四、SARIMA 模型的优缺点五、总结正文：一、引言在时间序列分析中，SARIMA 模型是一种重要的预测模型，广泛应用于经济学、金融学、气象学等领域。
本文将介绍SARIMA 模型的实现过程，包括模型的构建、参数确定、拟合与预测等步骤。
二、SARIMA 模型简介1.自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型(ARIMA) 是由自回归模型(AR)、移动平均模型(MA) 及差分操作组成的。
自回归模型描述的是一个时间序列与自身的历史值之间的关系，移动平均模型描述的是一个时间序列与自身未来值之间的关系。
差分操作主要是为了满足平稳性条件，使得模型具有预测能力。
2.SARIMA 模型的构成SARIMA 模型是ARIMA 模型的一种扩展，它引入了季节性因素，用季节自回归移动平均(SARIMA) 来描述。
SARIMA 模型可以表示为：(1) 季节差分自回归移动平均模型(SARIMA,p,d,q)其中，p、d、q 分别表示自回归项、差分项和移动平均项的阶数，季节周期为T。
3.SARIMA 模型的应用领域SARIMA 模型广泛应用于时间序列数据的预测，特别是在经济学、金融学、气象学等领域。
例如，它可以用于预测股票价格、汇率、通货膨胀率、气温等数据。
三、SARIMA 模型的实现1.平稳性检验在构建SARIMA 模型之前，首先需要对原始时间序列数据进行平稳性检验。
常用的平稳性检验方法有ADF 检验和PP 检验。
如果原始序列不平稳，需要进行差分处理，使得序列达到平稳。
2.确定模型参数在确定SARIMA 模型参数时，需要通过信息准则（如AIC、BIC 等）来选择最优的模型。
通常采用网格搜索法，对不同的参数组合进行拟合，比较预测效果，选取最优的参数组合。
时间序列分析中的自回归模型和滑动平均模型
时间序列分析中的自回归模型和滑动平均模型随着人们对数据分析和预测需求的不断增加，时间序列分析也成为了一个备受关注的领域。
而在时间序列分析中，自回归模型和滑动平均模型是两种重要的预测方法。
自回归模型（Autoregressive Model，AR）是建立在一组时间上的自回归思想中的，其核心是用前一时期的观测值来预测当前时期的观测值。
其数学式表示为：Y_t = c + Σφ_i * Y_t-i + e_t其中，Y_t为当前时期的观测值，c为截距项，φ_i 为 AR 模型中自回归系数，e_t为当前时期的噪声项。
AR 模型存在自相关性的问题，也就是说模型中的一部分误差项与模型中的其他自变量或误差项之间可能存在相关性。
为了解决自相关性问题，滑动平均模型（Moving Average Model，MA）岿然而生。
滑动平均模型是一种使用到多个时间上的滑动平均思想，其核心是对过去一段时间内的噪声项进行平均，作为当前时期噪声项的估计。
MA 模型的数学式表示为：Y_t = c + Σθ_i * e_t-i + e_t其中，θ_i 为 MA 模型中的滑动平均系数，e_t 为当前时期的噪声项。
MA 模型建立在数据中存在噪声项的前提之下，因而只要数据不存在自相关性问题，滑动平均模型就会产生更好的预测结果。
然而，实际情况下，许多时间序列数据中存在着自相关和噪声项的问题，如何有效地处理这些问题，提高模型的预测能力是时间序列分析中的重要课题。
因此，自回归滑动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，ARIMA）应运而生。
ARIMA 模型是将自回归模型和滑动平均模型结合起来，同时加入对时间序列数据的差分，以对误差项中的自相关性和噪声项进行有效建模。
其数学式表示为：Y_t –μ = φ_1 * (Y_t-1 –μ) + θ_1 * e_t-1 + e_t其中，Y_t 为当前时期的观测值，μ为中心化参数，φ_1 为一阶自回归系数，θ_1 为一阶滑动平均系数，e_t 为当前时期的噪声项。
arma模型(自回归移动平均)数学公式
arma模型(自回归移动平均)数学公式ARMA模型是一种常用的时间序列分析方法，它结合了自回归（AR）和移动平均（MA）模型，用于描述时间序列数据的动态特征。
在ARMA模型中，每个观测值被认为是过去观测值的线性组合，其中包括自回归项和移动平均项。
ARMA模型的数学公式可以表示为:y_t = c + ϕ_1*y_(t-1) + ϕ_2*y_(t-2) + ... + ϕ_p*y_(t-p) + ε_t - θ_1*ε_(t-1) - θ_2*ε_(t-2) - ... - θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间序列的观测值，c为常数，ϕ_1, ϕ_2, ..., ϕ_p 为自回归系数，ε_t为满足白噪声条件的随机误差，θ_1, θ_2, ..., θ_q为移动平均系数。
ARMA模型的阶数分别为p和q，分别表示自回归项和移动平均项的阶数。
ARMA模型的核心思想是利用过去观测值的线性组合来预测未来观测值。
自回归项描述了当前观测值与过去观测值之间的线性关系，移动平均项描述了当前观测值与过去误差项之间的线性关系。
通过调整自回归系数和移动平均系数的取值，我们可以得到不同的ARMA模型，从而适应不同时间序列数据的特点。
ARMA模型的建立可以通过多种方法，其中一种常用的方法是最大似然估计。
该方法通过最大化观测数据出现的概率来确定模型的参数。
具体而言，我们需要估计自回归系数、移动平均系数和误差项的方差。
通过最大似然估计，我们可以得到最优的参数估计值，从而建立起准确的ARMA模型。
ARMA模型在时间序列分析中具有广泛的应用。
首先，ARMA模型可以用于时间序列数据的预测和预测不确定性的度量。
通过拟合ARMA模型，我们可以根据过去观测值来预测未来观测值，并得到相应的置信区间。
其次，ARMA模型可以用于时间序列数据的平滑和去除季节性因素。
通过去除ARMA模型的季节性分量，我们可以得到更平滑的时间序列数据，从而更好地分析其长期趋势。
自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析
自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析系统中某一因素变量的时间序列数据没有确定的变化形式，也不能用时间的确定函数描述，但可以用概率统计方法寻求比较合适的随机模型近似反映其变化规律。
(自变量不直接含有时间变量,但隐含时间因素)1．自回归AR(p)模型（R：模型的名称 P：模型的参数）（自己影响自己，但可能存在误差，误差即没有考虑到的因素）(1)模型形式（εt越小越好，但不能为0：ε为0表示只受以前Y的历史的影响不受其他因素影响）yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt式中假设：yt的变化主要与时间序列的历史数据有关，与其它因素无关；εt不同时刻互不相关，εt与yt历史序列不相关。
式中符号：p模型的阶次，滞后的时间周期，通过实验和参数确定；yt当前预测值，与自身过去观测值yt-1、…、yt-p是同一序列不同时刻的随机变量，相互间有线性关系，也反映时间滞后关系；yt-1、yt-2、……、yt-p同一平稳序列过去p个时期的观测值；φ1、φ2、……、φp自回归系数，通过计算得出的权数，表达yt 依赖于过去的程度，且这种依赖关系恒定不变；εt随机干扰误差项，是0均值、常方差σ2、独立的白噪声序列，通过估计指定的模型获得。
(2)识别条件当k>p时，有φk=0或φk服从渐近正态分布N(0,1/n)且(|φk|>2/n1/2)的个数≤4.5%，即平稳时间序列的偏相关系数φk为p步截尾，自相关系数rk逐步衰减而不截尾，则序列是AR(p)模型。
实际中，一般AR过程的ACF函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用PACF函数判别(从p阶开始的所有偏自相关系数均为0)。
(3)平稳条件一阶：|φ1|<1。
二阶：φ1+φ2<1、φ1-φ2<1、|φ2|<1。
φ越大，自回归过程的波动影响越持久。
(4)模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。
自回归滑动平均模型法
自回归滑动平均模型法
第1页：
自回归滑动平均模型（ARIMA）是一种应用于时间序列预测的重要统计模型，它有三个维度：自回归（AR），差分（I）和移动平均（MA）。
ARIMA的主要目标是拟合一个模型，用来描述一个时间序列的趋势和周期性，并可以用来预测未来的数据。
它是一种基于历史数据的建模方法，通过对时间序列进行分析并建立模型，以获得一个准确的预测。
自回归滑动平均模型的基本步骤如下：
（1）收集历史数据。
确定要预测的变量（即时间序列），并从每一个阶段收集足够的数据。
（2）检查时间序列数据的平稳性、趋势和季节性（如果存在）。
（3）确定ARIMA模型的参数。
（4）使用调整最小二乘法（OLS）或其他统计估计方法来估计ARIMA模型的参数。
（5）使用正态诊断检查拟合程度，确保拟合效果良好。
（6）通过模型预测未来时间序列的值，并评价预测精度。
（7）评估模型的有效性，加以改进，进行循环处理，以提高预测精度。
ARIMA模型的一个重要特点是，它是一个极具灵活性和适应性的模型，不仅可以用于单变量时间序列的预测，也可以用于多变量时间序列的预测。
因此，ARIMA模型在预测和分析给定数据的可能性方面拥有较强的威力。
ARIMA模型-自回归移动平均模型
自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)[编辑]什么是ARIMA模型?ARIMA模型全称为自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。
其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归, p为自回归项; MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
[编辑]ARIMA模型的基本思想ARIMA模型的基本思想是：[编辑]ARIMA模型预测的基本程序（一）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。
一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。
（二）对非平稳序列进行平稳化处理。
如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
（三）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。
若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。
（四）进行参数估计，检验是否具有统计意义。
（五）进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。
（六）利用已通过检验的模型进行预测分析。
[编辑]相关链接[编辑]各国的box-jenkins模型名称[编辑]ARlMA模型案例分析[编辑]案例一:ARlMA模型在海关税收预测中的应用2008年。
arfima模型定义
arfima模型定义
ARFIMA模型是一种时间序列模型，也称为自回归分数积分滑动平均模型。
该模型用于描述具有长期记忆性的时间序列数据，其特点是能够同时考虑时间序列的长期依赖性和短期波动性。
ARFIMA模型的名称由自回归项(AR)、分数积分项(FI)和滑动平均项(MA)三个部分组成。
其中，自回归项用于描述时间序列的短期依赖性，即时间序列的当前值与其过去值之间的关系；分数积分项用于描述时间序列的长期记忆性，即时间序列的当前值与其过去长期状态之间的关系；滑动平均项用于描述时间序列的噪声成分，即时间序列中的随机波动。
在ARFIMA模型中，自回归项、分数积分项和滑动平均项的阶数可以自由设定，并且可以通过参数估计来确定这些阶数。
模型的参数估计通常采用最大似然估计法或最小二乘法等统计方法。
ARFIMA模型的应用非常广泛，它可以用于描述股票市场指数、汇率、债券价格等金融时间序列数据，也可以用于描述气温、降水等自然时间序列数据。
通过ARFIMA模型，可以对时间序列数据进行预测、分析和建模，从而为决策提供依据和支持。
需要注意的是，ARFIMA模型是一种比较复杂的模型，需要一定的统计和编程知识才能正确应用。
同时，由于模型的参数估计涉及到大量的计算和优化，因此也需要较高的计算能力和技术水平。
arima模型
ARIMA模型全称为自回归积分滑动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出一著名时间序列(Time-series Approach)预测方法，所以又称为Box-Jenkins模型、博克思-詹金斯法。
其中ARIMA(p，d，q)称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归，p为自回归项; MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。
ARIMA 模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程(MA)、自回归过程(AR)、自回归移动平均过程(ARMA)以及ARIMA过程。
ARIMA模型的基本思想是：将由预测对象形成的数据序列视为随机序列，并使用某个数学模型对该序列进行近似。
一旦确定了模型，就可以根据时间序列的过去和现在值预测将来的值。
现代统计方法和计量经济学模型已经能够在一定程度上帮助公司预测未来。
预测程序：ARIMA模型预测的基本程序(一)根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。
一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。
(二)对非平稳序列进行平稳化处理。
如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
(三)根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。
若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型;若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型;若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。
ARIMA模型
ARIMA模型自回归滑动平均模型（ARMA 模型，Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。
在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。
基本原理将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。
一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk，由回归分析，其中Y是预测对象的观测值，Z为误差。
作为预测对象Yt受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，由此，获得ARMA模型表达式：基本形式AR模型如果某个时间序列的任意数值可以表示成下面的回归方程，那么该时间序列服从p阶的自回归过程，可以表示为AR(p)：可以发现，AR模型利用前期数值与后期数值的相关关系（自相关），建立包含前期数值和后期数值的回归方程，达到预测的目的，因此成为自回归过程。
这里需要解释白噪声，大家可以将白噪声理解成时间序列数值的随机波动，这些随机波动的总和会等于0。
VAR模型MA模型如果某个时间序列的任意数值可以表示成下面的回归方程，那么该时间序列服从q阶的移动平均过程，可以表示为MA(q)：可以发现，某个时间点的指标数值等于白噪声序列的加权和，如果回归方程中，白噪声只有两项，那么该移动平均过程为2阶移动平均过程MA(2)。
比较自回归过程和移动平均过程可知，移动平均过程其实可以作为自回归过程的补充，解决自回归方差中白噪声的求解问题，两者的组合就成为自回归移动平均过程，称为ARMA模型。
ARMA模型自回归移动平均模型由两部分组成：自回归部分和移动平均部分，因此包含两个阶数，可以表示为ARMA(p,q)，p是自回归阶数，q为移动平均阶数，回归方程表示为：从回归方程可知，自回归移动平均模型综合了AR和MA两个模型的优势，在ARMA模型中，自回归过程负责量化当前数据与前期数据之间的关系，移动平均过程负责解决随机变动项的求解问题，因此，该模型更为有效和常用。
arima模型原理详解
arima模型原理详解ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model）是指自回归滑动平均模型，是一种有效的时间序列分析模型，适用于预测时间序列数据。
ARIMA模型的核心思想是，通过对时间序列数据的分析和拟合，找到一个可以描述数据规律的数学模型，从而实现对未来数据的预测。
其模型的基本包括三个部分：自回归、差分和滑动平均。
自回归（AR）是指当前的数值是由前面值的加权和和随机误差项决定，它是利用时间序列数据的历史信息来预测未来数据。
AR模型可以表示为：Y(t)=β0+β1Y(t-1)+β2Y(t-2)+...+βpY(t-p)+εt。
其中，Y(t)表示时间t的数据值，p为自回归阶数，β0-βp为回归系数，εt为误差项，它们符合一个均值为0，方差为常数的正态分布。
差分（I）是为了消除时间序列数据的非平稳性，使其满足平稳性假设。
平稳性假设是指时间序列数据具有相同的均值和方差，且其自协方差函数只与时间间隔有关，而不与时间本身有关。
差分操作具体表现为：在原始序列上减去前一个值，以此类推，得到的序列就是差分序列。
标准的差分算子是Δ，代表一次差分：I(ΔY(t))=Y(t)-Y(t-1)。
滑动平均（MA）是指当前的数据取决于过去几个时间点的随机误差，也就是当前值等于过去若干个随机误差之和乘以对应的权重系数。
MA模型可以表示为：Y(t)=μ+εt+θ1εt-1+θ2εt-2+...+θqεt-q。
其中，μ为均值，q为滑动平均阶数，θ1-θq为权重系数，εt为随机误差项。
ARIMA模型的总体表达式为：ARIMA(p,d,q)。
其中，p表示自回归阶数，d表示差分阶数，q表示滑动平均阶数。
举例说明，如果一个时间序列需要差分一次才能满足平稳性，需要使用滞后1期的自回归模型和滞后1期的滑动平均模型，则该序列符合ARIMA （1，1，1）模型。
换句话说，ARIMA模型对时间序列数据的处理和建模过程可以总结为：首先对原始序列进行差分或取对数等处理，使其满足平稳性假设；然后，通过对处理后的序列拟合自回归、滑动平均模型，完成时间序列的预测。
自回归移动平均模型公式
自回归移动平均模型公式
自回归移动平均模型（ARMA）是一种经济时间序列分析方法，用于预测未来的观测值。
它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）的特点，具有很好的预测性能。
ARMA模型的数学表达式为：
y_t = c + φ₁*y_(t-1) + φ₂*y_(t-2) + ... + φ_p*y_(t-p) + ε_t + θ₁*ε_(t-1) +
θ₂*ε_(t-2) + ... + θ_q*ε_(t-q)
其中，y_t 是时间 t 的观测值，c 是常数项，φ₁, φ₂, ..., φ_p 是自回归系数，表示 t-1, t-2, ..., t-p 时刻 y 值对 t 时刻 y 值的线性影响；ε_t 是时间 t 的误差项，θ₁, θ₂, ..., θ_q 是移动平均系数，表示 t-1, t-2, ..., t-q 时刻的误差对 t 时刻 y 值的影响。
ARMA模型的参数估计可以利用最大似然估计或最小二乘法等方法进行。
根据观测数据的特征，选择合适的 AR 和 MA 阶数是模型建立的关键。
ARMA模型的预测能力在实际应用中被广泛认可。
通过估计模型参数，可以利用过去的观测值来预测未来的观测值。
预测结果可以帮助决策者制定相应的策略和措施。
需要注意的是，ARMA模型在实际应用中可能面临一些限制。
例如，如果数据存在非平稳性或季节性等特征，需要对数据进行预处理或使用其他模型进行分析。
总之，自回归移动平均模型是一种常用的时间序列分析工具，通过结合自回归和移动平均的特点，提供了对未来观测值的预测能力。
在实际应用中，应根据数据特征选择合适的阶数，并结合其他方法进行验证和优化，以达到更好的预测效果。
arima模型基本原理
arima模型基本原理ARIMA模型是一种经典的时间序列分析方法，用于对时间序列数据进行建模和预测。
ARIMA模型的全称是自回归移动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average），它由自回归（AR）和移动平均（MA）两部分组成。
ARIMA模型的基本原理是对时间序列数据进行分解，将其分解为自回归成分、移动平均成分和随机误差项。
自回归成分表示当前观测值与过去观测值之间的相关关系，移动平均成分表示当前观测值与过去观测值的误差之间的相关关系，而随机误差项则表示无法用前述两个成分解释的波动。
ARIMA模型中的“自回归”（AR）指的是当前观测值与过去观测值之间的相关关系。
自回归过程是指当前观测值与过去观测值的线性组合，其中系数称为自回归系数。
AR模型的阶数(p)表示过去观测值的个数，即自回归系数的个数。
AR模型的一般形式可以表示为：Y_t = c + φ_1 * Y_(t-1) + φ_2 * Y_(t-2) + ... + φ_p * Y_(t-p) + ε_t其中，Y_t是当前观测值，c是常数，φ_1, φ_2, ..., φ_p是自回归系数，ε_t是随机误差项。
ARIMA模型中的“移动平均”（MA）指的是当前观测值与过去观测值的误差之间的相关关系。
移动平均过程是指当前观测值与过去观测值的线性组合，其中系数称为移动平均系数。
MA模型的阶数(q)表示过去观测值的误差个数，即移动平均系数的个数。
MA模型的一般形式可以表示为：Y_t = c + θ_1 * ε_(t-1) + θ_2 * ε_(t-2) + ... + θ_q * ε_(t-q) + ε_t其中，Y_t是当前观测值，c是常数，θ_1, θ_2, ..., θ_q是移动平均系数，ε_t是随机误差项。
ARIMA模型中的“差分”（I）是为了消除时间序列数据的非平稳性。
非平稳性是指时间序列数据的均值、方差或自相关函数与时间的关系不稳定。
自回归滑动平均模型
自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型（ARMA）是一种常用的时间序列模型，用于预测未来值的方法。
它结合了自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA），能够更好地捕捉时间序列数据的特征。
自回归模型是基于过去的观察值来预测未来值的模型。
它假设未来值和过去值之间存在相关性，即当前值与之前的若干值相关联。
自回归模型将过去的观察值作为自变量，当前值作为因变量，通过调整自变量系数来预测未来值。
滑动平均模型是通过给定的窗口大小，在当前值与其前面若干值的线性组合的基础上，对未来值进行预测的模型。
滑动平均模型认为当前值的变动由之前几个值的加权平均引起，权重通过最小化预测误差来确定。
ARMA模型结合了自回归模型和滑动平均模型的优点，既可以捕捉时间序列数据的历史趋势，也可以考虑数据的随机波动。
ARMA模型的一般形式为ARMA(p,q)，其中p是自回归模型的阶数，q是滑动平均模型的阶数。
使用ARMA模型进行预测时，首先需要确定模型的阶数。
可以通过观察自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来确定。
ACF和PACF可以展现数据的相关性和延迟效应，根据它们的曲线图可以估计出ARMA模型的阶数。
确定了模型的阶数后，就可以使用最小二乘法或极大似然法来估计模型的系数。
然后，可以利用估计出的系数进行模型的拟合和预测。
如果模型的残差序列与随机序列相似，说明模型的预测效果较好。
总之，自回归滑动平均模型是一种常用的时间序列预测方法，它综合考虑了过去观察值的相关性和随机波动，可以较好地捕捉时间序列数据的特征。
但在使用ARMA模型进行预测时，需要注意选择适当的阶数，并根据模型的残差序列来评估预测效果。
自回归滑动平均模型（ARMA）是时间序列分析中的一种重要工具，常用于预测未来的数值或观测序列。
该模型结合了自回归（AR）和滑动平均（MA）两种模型的优点，既能考虑序列的历史信息，又能捕捉随机波动的特征，使得预测结果更加准确和可靠。
在ARMA模型中，自回归（AR）部分用于描述当前值与历史值之间的相关性，滑动平均（MA）部分用于描述当前值与误差（即残差）之间的相关性。
时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型
模型(2.2)的任意解可写成
k r(j) 1
Y tX t
V l,jtl jtco s(jtl,j),z Z
(2.7)
j 1l 0
其中 { X t } 为平稳解(2.6). z1, z2, , zk为 A ( z )
的全体互不相同的零点。z j
eij j
有重数r
(
j)
随机变量Vl , j , l , j 由Y 0 X 0 ,Y 1 X 1 , 唯一 ,Y p 1 X p 1 决定。
自协方差
02 (1 b 1 2 b 2 2 ),22 b 2 12 (b 1 b 1 b 2 ),k 0 ,k 2 自相关系数
1 1 b 1 b 1 2 b 1 b b 2 2 2, 2 1 b 1 b 2 2 b 2 2, k 0 ,k 2 .
谱密度
f()22|1b1eib2ei2|2
q步相关
平稳序列{ X t } 的自协方差函数若满足 q 0， k 0,kq，则称{ X t } 是q步相关的。
滑动平均模型的例子
每隔两小时记录的化学反应数据时间序 列{Xt,t1,2, 197}。
一阶差分得
ytx tx t 1 ,t2 , ,1 9 7
{ y t } 的样本自相关系数列呈现截尾性。
MA的特征
用推移算子把模型写为
Xt B()t,tZ
(1.3)
对于可逆MA，B 1 ( z ) 有Taylor 展式
B1(z) jzj,|z|1(0) j0
所以 t B1()Xt jXtj j0
(1.4)
MA序列的自协方差函数
记 b 0 1 ，则对MA(q)序列有 EX t 0 ，
自协方差和自相关
0 1
自回归移动平均模型ARMA(p,q
Hale Waihona Puke 图10.4.1由图10.4.1可以看出p = 1和q = 1，即样本数据具有 ARMA(1,1)模型过程。
（二）模型的估计 模型的理论计算过程较繁杂，我们这里仍然直接利 用EViews软件计算:
在工作文件主窗口点击Quick/Estimate Equation ， 在Equation Specification 对话框中填入 y ma(1) ar(1) 便得到模型ARMA(1,1)的估计结果，如图10.4.2所示：
图10.4.2
由图10.4.2可以知道模型为：
yˆ t =0.0134yt-1+ut+0.945ut-1
而这个计算是一个复杂的过程，为了实际应用的方 便我们采用直接利用计算机软件EViews来判断p和q 的数值各是多少，从而就确定了模型和模型的阶数。 在样本数据窗口，点击View/Correlogram 然后在对 话框中选择滞后期数，我们这里选取12，再点击 “OK”得到自相关系数和偏自相关系数及其图形， 如图10.4.1所示：
在实际应用中，用ARMA(p,q)拟合实际数据时所 需阶数较低，p和q的数值很少超过2。因此， ARMA模型在预测中具有很大的实用价值
二、ARMA模型阶数的确定和模型的估计 （一）ARMA模型阶数的确定 是建立AR模型、MA模型还是ARMA模型？这就 需要确定p和q的数值各是多少，为此需要计算 样本数据的自相关系数和偏自相关系数。
最简单的自回归移动平均模型是ARMA(1，1)，其
yt 1 yt1 ut 1ut1
(10.4.1)
模型ARMA(p,q)
yt 1 yt1 2 yt2 p yt p ut 1ut1 2 ut2 q utq
(10.4.2)
arima模型
ARIMA模型（英语：自回归综合移动平均模型），差分综合移动平均自回归模型，也称为综合移动平均自回归模型（移动也可以称为滑动），是时间序列预测分析方法之一。
在ARIMA（p，d，q）中，AR是“自回归”，p是自回归项的数量；MA是“移动平均数”，q是移动平均项的数量，d是使其成为固定序列的差（顺序）的数量。
尽管ARIMA 的英文名称中没有出现“difference”一词，但这是关键的一步。
非平稳时间序列在消除其局部水平或趋势后显示出一定的同质性，也就是说，该序列的某些部分与其他部分非常相似。
经过微分处理后，可以将该非平稳时间序列转换为平稳时间序列，称为均质非平稳时间序列，其中差值的数量为齐次。
因此，可以得出结论如果存在一个D阶非平稳时间序列，那么如果存在一个平稳时间序列，则可以称为ARMA（p，q）模型，其中，它们是自回归系数多项式和移动平均系数多项式。
零均值白噪声序列。
该模型可以称为自回归求和移动平均模型，表示为ARIMA（p，d，q）。
当差分阶数D为0时，ARIMA模型等效于ARMA模型，即两个模型之间的差分为差分阶数D是否等于零，即序列是否平稳。
ARIMA模型对应于非平稳时间序列，而ARMA模型对应于平稳时间序列。
时间序列的预处理包括两个测试：平稳性测试和白噪声测试。
ARMA 模型可以分析和预测的时间序列必须满足平稳非白噪声序列的条件。
检查数据的平稳性是时间序列分析中的重要步骤，通常通过时间序列和相关图进行检查。
时序图的特点是直观，简单，但误差较大。
自相关图，即自相关和部分自相关函数图，相对复杂，但结果更准确。
本文使用时序图直观地判断，然后使用相关图进行进一步测试。
如果非平稳时间序列有增加或减少的趋势，则需要进行差分处理，然后进行平稳性测试，直到稳定为止。
其中，差异的数量为ARIMA（p，d，q）的顺序。
从理论上讲，差异的数量越多，时间序列信息的非平稳确定性信息的提取就越充分。
从理论上讲，差异数量越多越好。
时间序列预测的相关模型
时间序列预测的相关模型
时间序列预测常用的模型包括：
1. 移动平均模型（MA）：一种基于过去误差的模型，假设当前预测值是过去一段时间内的误差的平均值。
2. 自回归模型（AR）：一种基于过去数值的模型，假设当前预测值与过去一段时间内的数值有关。
3. 自回归滑动平均模型（ARMA）：将AR和MA模型结合起来，综合考虑过去数值和误差，以提高预测的准确性。
4. 季节性自回归模型（SAR）：考虑时间序列数据的季节变化，以提高预测的精度。
5. 季节性自回归滑动平均模型（SARMA）：将SAR和ARMA模型结合起来，综合考虑季节性变化和误差，以提高预测的准确性。
6. 季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）：在SARMA模型的基础上，引入差分运算，以消除时间序列数据中的趋势和季节性变化。
7. 季节性指数平滑模型（SES）：一种简单的模型，根据历史数据的指数平均值来进行预测。
8. 灰色模型（GM）：一种基于少量样本数据进行预测的模型，适用于缺乏大量历史数据的情况。
以上是常用的时间序列预测模型，不同的数据类型和预测任务可以选择不同的模型进行预测。
自回归滑动平均模型
可编辑ppt
4
例 3.1 考虑 MA(1) 模型Yt
Zt
1Zt
。它的相关函数满足
1
1,
k 0,
Y (k)
1 (1
2 1
),
0,
k 1, 其它.
考虑另一个 MA(1) 模型
1
Xt Zt
Zt 1
1
那么有 X (k) Y (k) 。
{ X t } 和 {Yt } 二者具有相同的协方差函数。那么 { X t } 和 {Yt } 二者谁
(i) 对于所有的t ，Yt 满足(3.4)；
(ii) EYt 0 ， varYt 2 (1 2) ；
(iii)
cov(Yt ,Yt k ) cov
jZt j ,
Zl tkl
j0
l0
2
2j k
j0
2 k (1 2) 。
因此，这个新定义的{Yt}是平稳的并且问题 1 的答案是存在
平稳 AR(1)过程{Yt}满足(3.4)。
k
Yt
iZt i
i0
Y k 1 t k1
·暂假定 1。既然{Yt}是平稳的，那么对于所有的 t ， EYt2 常量 。
特别地，命 Yt 2 EYt2 ，则我们有：当 k
时，
2 k
Yt
jZt j
j0
Y 2k 2
2
t k1
0
因此依 L2 ，Yt
。 Zj
j0
tj
可编辑ppt
10
对于这个新定义的过程Yt
j 0 jZt j ，我们有如下性质：
更可取呢？
可编辑ppt
5
为了回答这个问题，倒过头来将{Zt } 用数据来表示。对于数据集{Yt } ，残差 {Z t } 可以写为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
qi2 ,
i= 0
k ９q, k k = 0, 其它.
0,
知，对于 MA(q) 模型，其 ACF 在 q 次滞后以后变为零。它显然是一个平稳模型。
例 3.1
考虑 MA(1) 模型 Yt = Zt - q1Zt- 1 。它的相关函数满足
ì 1, ï ï ï r Y (k ) = ï í - q1 (1 + q12 ), ï ï ï ï î 0, k = 0, k = 1, 其它.
3.1 简介
本章引入了时间序列分析常用的几个概率模型。假定所要研究的序列已 经用前两章介绍的方法剔除了趋势。粗略地说，存在三种模型：滑动平均模 型(MA)；自回归模型(AR)和自回归滑动平均模型(ARMA)。它们用来描述平稳 时间序列。此外，因一些类型的非平稳性可以用差分的手段来处理， 滑动平均模型 设 {Zt } 是具有均值为零方差为 s 2 的独立同分布的随机变量序列并用
Zt : i.i.d.(0, s 2 ) 表示之。假如我们只要求 {Zt } 是不相关的而不必是独立的，
则 {Zt } 有时被称为白噪音序列并用 Zt : WN(0, s 2 ) 表示之。从直观上说，这 意味着序列 {Zt } 是随机而且没有系统结构的。 在本书的通篇，我们都用
q(B) = 1+ q1B + L + qq Bq 而 BZt = Zt- 1 。 {Yt } 可逆的条件由如下定理给出。
定理 3.1 如果方程 q( B) = 0 的根全部位于单位圆之外，那么 MA(q) 模 型 {Yt } 是可逆的。 证明： MA(1) 情形说明了证明思路。 注释：假如一个常数均值 m 加入到方程中，使的 Yt = m+ q( B)Zt ，那么
(3.3)
如果 q1 < 1，方程(3.2)收敛而方程(3.3)发散。当我们想去解释残差 {Zt } 时 ，处理一个收敛的表达式当然是更合意的。因此方程(3.2)更可取。在这种 情形下， MA(1) 模型 {Yt } 被称为是可逆的。
一般地，设 {Yt } 是一个 MA(q) 模型，由 Yt = q( B)Zt 给出，这里
在不同的著作中，关于 AR(一般地，ARMA)模型的平稳性和因果性的 概念似乎存在着混淆。本节我们来澄清这种模棱两可的情况。
主要问题：AR(p)总是存在的吗？
为了回答这个问题，考虑简单的 AR(1)情形：
Yt = f Yt- 1 + Zt , Zt : WN(0, s 2 )
(3.4)
迭代这个方程，有 Yt = Zt + f Zt- 1 + L + f k + 1Yt- k- 1 。
问题 1. 我们可以找到满足方程(3.4)的平稳过程吗？ 首先，假如这样的过程 {Yt } 的确存在，它会是怎样的呢？ ·既然 {Yt } 满足方程(3.4)，它必须有如下形式：
考虑另一个 MA(1) 模型
X t = Zt 1 Zt- 1 q1
那么有 r X (k ) = r Y (k ) 。
{ X t } 和 {Yt } 二者具有相同的协方差函数。那么 { X t } 和 {Yt } 二者谁
更可取呢？
为了回答这个问题，倒过头来将 {Zt } 用数据来表示。对于数据集 {Yt } ，残差
(3.1)
此模型称为 q 阶滑动平均模型并记为 MA(q) 。
命题 3.1 (i) (iii)
设 {Yt } 是(3.1)式给出的 MA(q) 模型。那么
2 EYt = 0 ； (ii) var Yt = (1+ q12 + L + qq )s 2 ；
ì 0, ï ï ï q- k cov(Yt , Yt + k ) = ï í 2 ï s å qi qi+ k , ï ï ï î i= 0
EYt = m ，但是，自协方差函数保持不变。
3.3 自回归模型 另一类常用的模型是自回归(AR)模型。AR 模型之所以有吸引力是因为它 很类似于传统的回归模型。当我们用时间序列的过去(滞后)值代替经典回归 模型中的预测子后，我们就得到了一个 AR 模型。因此我们有理由料想为经典 回归导出的大部分统计结果可以不做什么修改就推广到 AR 情形。情况确实 如此并且正因为这个原因，AR 模型已经成为最常用的线性时间序列模型之一. 形式上，AR(p)模型 {Yt } 可以写为 f ( B)Yt = Zt ，这里 f (B) = (1- f 1B - L - f p B p ) ，
k > q, k £ q.
证明： cov(Yt , Yt+ k ) = E(YY t t+ k )
= E(Zt + L + qq Zt- q )(Zt + k + L + qq Zt + k- q )
=s
2
å
q- k
qiqi+ k ,
其中, q0 @1.
q
i= 0
观察公式
q- k ì ï ï qi qi+ k ï ï邋 i= 0 r (k ) = ï í ï 1, ï ï ï 0, ï ï î
{Zt } 可以写为
Zt = Yt + q1Zt- 1 = Yt + q1 (Yt- 1 + q1Zt- 2 )
= Yt + q1Yt- 1 + q12Yt- 2 + L
(3.2)
对于数据集 {X t } ，残差 {Zt } 可以写为
Zt = X t + 1 1 1 Zt- 1 = L = X t + X t- 1 + 2 X t- 2 + L q1 q1 q1
{Zt } 表示宽意义上的白噪音序列，这就是说， Zt : WN(0, s 2 ) 或者意味着
Zt : i.i.d.(0, s 2 ) 或者意味着 {Zt } 是具有均值为零方差为 s 2 的不相关的随机变
量序列。用 {Zt } 做成一个加权平均，我们就完成了如下的滑动平均(MA)时 间序列模型：
Yt = Zt + q1Zt- 1 + L + qq Zt- q , Zt : WN(0, s 2 )
BYt = Yt- 1 。于是， Yt = f 1Yt- 1 + L + f pYt- p + Zt 。正式地，我们有如下定义。
定义 3.1
称 {Yt } 为 AR(p)过程，如果
(i) {Yt } 是平稳的； (ii) 对所有的 t ， {Yt } 满足 f ( B)Yt = Zt 。
3.3.1 因果和平稳二象性