周期函数的解法
人教高一数学三角函数的周期性
及函数y=Acos(ωx+Ψ),x∈R
(其中A,ω,Ψ为常数,且A≠0,ω>0)的周期
T=2π/ω.
练习：
１．求下列函数的周期：
(1) y sin 3 x, x R ; (2 ) y co s x ; 3
(3) y 3sin x , x R;(4) y sin(x );
2、由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x)的两端作用 的是相同的对应法则f.
3、 函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ为常数，且 A≠0,ω>0)的周期T=2π/ω.
作业：
１．教材Ｐ５８３． ２．利用定义证明 y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R (其中A,ω,Ψ为常数,且A≠0,ω>0) 的周期T=2π/ω.
2
6
26
2sin1(x11)2sin(1x) 2.
23
26
(1)对x,x+4π作用的法则是
2sin
1 2
6
(2)对x,x+11π/3作用的法则分别是
6,2sin12 .
(1)式两端对x及x+4π作用相同的对应法则， 而(2)式两端对x及x+11π／３作用不相同 的对应法则．而等式f(x+T)=f(x)的两两端 是同一个法则，所以两种解法中，第二种 是错误的． 结论：由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x) 的两端作用的是相同的对应法则f.
４．函数y=cosx,x∈R+是不是周期函数？ -2π是不是它的一个周期？为什么？
高考数学二级结论快速解题：专题05 函数周期性问题(解析版)
专题05函数周期性问题一、结论已知定义在R 上的函数()f x ,若对任意x R ,总存在非零常数T ,使得()()f x T f x ,则称()f x 是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果()()f x a f x (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a (2)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(3)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(4)如果()()f x a f x c (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(5)如果()()f x a f x b (0,0a b ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期||T a b .(6)如果()()()f x f x a f x a (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期6T a .二、典型例题1．（2021·全国·高考真题）已知函数 f x 的定义域为R ， 2f x 为偶函数， 21f x 为奇函数，则（）A ．102fB ． 10f C ． 20f D ． 40f 【答案】B 【解析】因为函数 2f x 为偶函数，则 22f x f x ，可得 31f x f x ，因为函数 21f x 为奇函数，则 1221f x f x ，所以， 11f x f x ，所以， 311f x f x f x ，即 4f x f x ，故函数 f x 是以4为周期的周期函数，因为函数 21F x f x 为奇函数，则 010F f ，故 110f f ，其它三个选项未知.故选：B.解法二：因为函数(2)f x 为偶函数，所以其图象关于0x 对称，则函数()f x 的图象关于直线2x 对称；所以()(4)(1)f x f x ；又函数(21)f x 为奇函数，所以其关于(0,0)对称；121(21)(2+1)=(2)()2f x f x f x f x 横坐标向右平移个单位横坐标伸长为原来2倍（）通过图象平移伸缩变换，可以得到(2)f x 关于1(,0)2对称，进而()f x 关于(1,0)对称；可得：()(2)(2)f x f x ；综合（1）（2）可得(4)(2)(2)()f x f x f x f x ；利用结论()()f x a f x 的周期为2T a ,故本题中()f x 的周期为4T 利用()(2)(2)f x f x 可得13(34)(1)2(1)0(1)0f f f f f f 【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.对称性问题：①轴对称问题：()f x 关于x a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；②点对称问题：()f x 关于(,0)a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；2．（2021·全国·高考真题（理））设函数 f x 的定义域为R ， 1f x 为奇函数， 2f x 为偶函数，当 1,2x 时，2()f x ax b ．若 036f f ，则92f（）A ．94B ．32C ．74D ．52【答案】D 【解析】令1x ，由①得： 024f f a b ，由②得： 31f f a b ，因为 036f f ，所以 462a b a b a ，令0x ，由①得： 11102f f f b ，所以 222f x x ．因为 1f x 是奇函数，所以 1f x 图象关于(0,0)对称，1(1)()f x f x 横坐标向右平移个单位所以()f x 关于(1,0)对称，得：()(2)(1)f x f x因为 2f x 是偶函数，所以 2f x 图象关于0x 对称；22()f x f x 横坐标向右平移个单位，所以()f x 关于2x 对称，得：()(4)(2)f x f x ；综合（1）（2）得到：(4)(2)(2)()f x f x f x f x 得到4T 所以9122f f，再利用()(2)(1)f x f x 令12x 代入：135(()222f f 故选：D．【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.三、针对训练举一反三1．（2008·湖北·高考真题（文））已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)()f x f x ，当(0,2)x 时，2()2f x x ，则(7)f A ．-2B ．2C ．-98D ．98【答案】A 【详解】∵(4)()f x f x ，∴()f x 是以4为周期的周期函数，由于()f x 为奇函数，∴(7)74211f f f f ，而 12f ，即(7)2f .故选：A ．2．（2021·全国·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数 f x ，对x R ，有(6)()(3)f x f x f 成立，当03x 时，()26f x x ，则 2021f （）A ．0B ．2C ．4D ．2【答案】C 【详解】依题意对x R ，有(6)()(3)f x f x f 成立，令3x ，则 33323f f f f ，所以 30f ，故 6f x f x ，所以 f x 是周期为6的周期函数，故 202163371112164f f f f .故选：C3．（2021·江西·三模（理））已知函数 f x 的图象关于原点对称，且满足 0(3)1f x f x ，且当)4(2x ，时，12()log (1)f x x m ，若(2021)1(1)2f f ，则m （）A ．43B ．34C ．43D ．34【答案】C 【详解】因为函数 f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，因为 133f x f x f x ，故函数 f x 的周期为4，则 20211f f ；而 11f f ，所以由(2021)1(1)2f f 可得1(1)3f ；而121(1)(3)log (31)3f f m，解得43m .故选：C .4．（2021·四川·石室中学模拟预测（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(4)()(2)f x f x f ，当(0,2)x 时，2()231 f x x x ，则函数()y f x 在[4,4] 上零点的个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D 【详解】解：因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f ．因为(4)()(2)f x f x f ，令2x ，得(24)(2)(2)f f f ，即(2)(2)(2)f f f ，所以(2)0f ．又因为()f x 为奇函数，所以(2)(2)0f f ，所以(4)()(2)()f x f x f f x ，所以()f x 是以4为周期的周期函数．根据周期性及奇函数的性质画出函数()y f x 在[4,4] 上的图象，如图．由图可知，函数()y f x 在[4,4] 上有零点-4，-3.5，-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13个零点．故选：D5．（2021·广西玉林·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x ，且当(0,3)x ，()e x f x x ，则下面结论正确的是（）A ．19(ln 3)(e)2f f fB ．19(e)(ln 3)2f f fC ．19(e)(ln 3)2f f fD ．19(ln 3)(e)2f f f【答案】A 【详解】由(6)(33)()()f x f x f x f x ，知()f x 是周期函数，且周期为6，∴192f551222f f ，∵e 2 ，∴1ln32 ，∴51ln 32e 32，又()(1)e x f x x ，易知()f x 在(0,3)内单调递增，所以19(ln 3)(e)2f f f.故选：A ．6．（2021·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知 y f x 为奇函数且对任意x R ， 2f x f x ，若当 0,1x 时， 2log a f x x ，则 2021f （）A ．1B ．0C ．1D ．2【答案】C 【详解】解：因为 y f x 为奇函数，即 f x f x ，因为对任意x R ， 2f x f x f x ，所以 4f x f x ，当 0,1x 时， 2log a f x x ，所以 20log 0f a ，所以1a ，则 22021505411log 21 f f f .故选：C.7．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，满足 2f x f x ，且当 0,1x 时， 2log 1f x x ，则函数 3y f x x 的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【详解】由 2f x f x 可得()f x 关于1x 对称，由函数 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 2()(2)(2)f x f x f x f x f x ，所以()f x 的周期为4，把函数 3y f x x 的零点问题即 30y f x x 的解，即函数()y f x 和3y x 的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x 的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.8．（2021·陕西·模拟预测（文））已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 2f x f x ．当12x 时， 2log 7f x x ，则 2021f （）A ．3B ．3C ．5D ．5【答案】A 【详解】由条件可知， f x f x ，且 2f x f x ，即 2f x f x ，即 2f x f x ，那么 42f x f x f x ，所以函数 f x 是周期为4的函数，22021505411log 83f f f .故选：A9．（2021·全国·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ，40f x f x ．若 136f f ，则 21f ______．【答案】3 【详解】由 40f x f x 可得 310f f ，又 136f f ，所以 33f ．由 40f x f x 可得 44f x f x f x ，故 8f x f x ，故 f x 的一个周期为8，则 21333f f f ．故答案为：3 .10．（2021·陕西·二模（理））已知定义在R 上的奇函数()y f x 满足(8)()0f x f x ，且(5)5f ，则(2019)(2024)f f ___________.【答案】5因为(8)()0f x f x ，所以(8)()f x f x ，所以(16)(8)()f x f x f x ，所以函数()y f x 是以16为周期的周期函数.又在(8)()0f x f x 中，令0x 得(8)(0)0f f ，且奇函数()y f x 是定义在R 上的函数，所以(0)0f ，故(8)0f ，所以(2024)(161268)(8)0f f f .又在(8)()0f x f x 中，令3x ，得(5)(3)0f f ，得(5)(3)(3)5f f f ，则(2019)(161263)(3)5f f f ，所以(2019)(2024)5f f .故答案为：5。
函数方程和函数迭代问题（奥数）
函数方程和函数迭代问题（奥数）第四讲函在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质.一. 探求函数的解析式函数方程的求解事实上也是一个探求函数解析式的过程,而函数方程常见的初等解法有许多,下面对其作进一步详尽的介绍.1,换元法换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解.例1 解函数方程 f(x)+f(xx 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) f(x)=x+1/x+1/(1-x) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x) f(x)=c/(a-b)x+c/(a+b)2.赋值法赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的.例3 已知定义在R 的函数满足⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x 2∈R,a 为常数) f(x)=(a-1)(sin2x-cos2x)+a⑵ f(0)=f(4π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式;⑵常数a 的取值范围.例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y);⑵ f(2)=0⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠0 f(x)= 0,x>=22/(2-x),x<23递推法这一方法的其本思想是:当f(x)是定义在自然数集上的函数(实际上就是通项为a n =f(n)的数列)时,可根据题中所给函数方程,通过持殊值得到关于f(n)的递推关系,然后根据递推关系求出(即数列{a n}的通项表达式)例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=23,且对任意x,y ∈N,有 f(x+y)=(1+1+x y )f(x)+(1+1+y x )f(y)+x 2y+xy+xy 2,求f(x) 4. 柯西法柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解例6 设f(x) 是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y 有f(x+y)=f(x)+f(y),试求f(x)5, 待定系数法这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a 0x n +a 1x n-1+….+a n (a 0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x 最高次幂的指数和x 同次幂的系数,便可得出关于n 及a 0 a 1…a n .的方程组,解这个方程组便可确定n 及a 0 a 1…a n 的值,从而得到函数方程的解例７确定符合下列条件的所有多项式f(x) f(x+1)=21f[f(x)]+23 6 , 利用不等式夹逼利用不等式夹逼求解函数方程,主要是利用下列几个明显的结论:⑴ 若对任意x ∈I, 有f(x)≥g(x) 及f(x)≤g(x)则对任意x ∈I,有f(x)＝g(x)⑵ 若对任意x,y ∈I,有f(x)≤g(y)则交换x,y 得f(y)≤g(x)于是对任意的x,y ∈I 有f(x)＝g(y)由此可得f(x)＝常数(x ∈I).⑶ 若f:N →N 满足m ≤f(n)＜m+1或m-1＜f(n)≤m 或m-1＜f(n)＜m+1(m,n ∈N)则f(n)=m,例8 设f(x) 是具有下列性质的函数⑴ f(n)对每一正整数n 有定义;⑵ f(n)是正整数;⑶ f(2)=2⑷ f(mn)=f(m)f(n),对一切m,n 成立;⑸ f(m)＞f(n),当m ＞n 时试证: f(m)=f(n)例9 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,它的值域也是全体自然数所成的集N,并且对任意两个自然m 与n,只要m ≥n 就有f(m) ≥n, 试证: f(m)= m 对任意的自然数m 成立.例10 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,满足: ⑴f(n )的值域为整数;⑵当m ＜n 时,f(m)＜f(n);⑶当m,n 互素时,f(mn)=f(m)f(n),试求符合上述条件的一切函数f(x).二. 探求函数的值在各级各类数学竞赛中除了求函数方程的解以外,还经常遇到由函数方程给出的特殊定义的抽象函数,要求参赛者探求其函数的特殊的函数值.例11. 设N 是自然数集, f(x)是定义在N 上并在N 内取值的函数,且对x,y ∈N,有f[f(x)+y]=x+y,求f(1988)的所有可能的值例12. 设f(n )对所有正整数有定义,取非负整数值,并且对所有正整数m,n 有f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1.又f(2)=0.f(3)＞0,f(9999)=3333,求f(1982).例13. 设f(x),g(x)是定义在正整数集Z +上并取整数的严格递增函数,如果它们满足:⑴f(Z +) ∪ g ( Z +) = Z +(⑵f(Z +) ∩ g ( Z +) =⑶g(n)=f(f(n))+1试求f(240).三.讨论函数的性质探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。
一类由函数方程确定的周期函数
即 为
Ｆ（ ＋ 丁） Ｆ（ （ 一 ） Ｖｚ∈ 瓞 ） ，
故 Ｔ为 Ｆ 的周 期 ． 此 由
记 Ｆ ）三厂 ＋ Ｔ ） （ 三＿ 三（ 一厂（ ， Ｆ（ 是 以 Ｔ ） 则 ） ｚ为 周 期 的 周 期 函 数 ． 于 Ｔ一 Ｔ ， 以 丁 也 是 Ｆ（ 的 由 所 ）
周 期 ， Ｆ（ Ｔ 一 厂 ） 或 即 ＋ ） （ ，
．
ｆ（ ｘ＋ Ｔ Ｔ） 厂（ ＋ 一 ｚ＋ 丁） ｆ（ 一 ｘ＋ Ｔ 一 （ ． ） ）
ｆｘ ｎ ） ∑ Ｆｘ ） ／ ＝ Ｆ ＋＿ｚ Ｖ Ｎ） （＋ Ｔ 一 （＋ 丁 ＋ ’ ）＝ （） ， ） ∈ ． （ ＝ 、 （ （
若 Ｆ（ ） Ｏ 令 一 ＋ Ｃ ， 知 （ ） ± ｃ ， －有 界 矛 盾 ． 此 Ｖ ∈飓 ， 有 Ｆ（ ） Ｏ 即 ｚ≠ ， ×可 ３ ｚ一 ｘ 与 厂 ３ 因 应 ｚ一 ，
所 以 － ） 以 Ｔ 为周期 的周期 函数 ． 厂 是 （
推 论 １ 设 ， ｚ 是满 足 （ ） 的有 界 实 函数 ， 中 Ｔ ≥ Ｔ ＞Ｏ 若 Ｔ ／ ： 时 ， Ｔ （） ２式 其 ． Ｔ ∈ 则 是 ＿ ． 的周 厂ｚ （）
期 ．此 时 ， Ｔ 一 Ｔ ） （ Ｔ 一 ．
［ 摘
要］ 通 过 对 一 例 题 的 分 析 ， 论 了一 类 由 函数 方 程 确 定 的周 期 函数 ． 讨
［ 键词］周期函数 ； 关 函数 方 程 ； 界 函数 ； 限 有 极 ［ 图分 类 号 ］ Ｏ１ １ 中 ７ ［ 文献 标 识 码 ］ Ｃ ［ 章 编 号 ］ １ ７—４ ４ ２ １ ） ４０ ７—３ 文 ６ ２１５ （０ ０ ０ —１８０
简单函数方程的解法
简单函数方程的解法1.函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程。
如f(x+1)=x、f(-x)=f(x)、f(-x)= -f(x)、f(x+2)=f(x)等。
其中f(x)是未知函数2.函数方程的解能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。
如f(x)=x-1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理(柯西函数方程的解)若f(x)是单调(或连续)函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)证明：由题设不难得f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- (1)x=1，则f(n)=nf(1)x= ，则f(m)=nf( ) ，解得f( )= f(m)= f(1) --------- (2)x=- ，且令y=-x>0，则f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0∴f(x)=-f(y)=-yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)由上述(1)，(2)，(3)知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列{xn}，则有：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)综上所述，对于任意实数x，有f(x)=xf(1)函数方程的解法：1.代换法(或换元法)把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发生变化)，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例1 (1)已知f(2x-1)=x2+x，那麽f(x)=______________。
略解：设t=2x-1，则x= (t+1)，那麽f(t)= (t+1)2+ (t+1)= t2+t+故f(x)= x2+x+(2) 已知f( +1)=x+2 ，那麽f(x)=____________。
从一道例题谈周期函数概念的教学
典 型 的解 法 有如 下两 种
i
’
’
)
= 一
[ 二+
兀一 二
对
一
对
)1 =
一 s io
劣
5
i
二一
二
)
二
成 立了
)
.
.
二一s i
)。 一
)
=
劣
s
i
=
一 般地
,
我们 发现
,
函数 存 在 正
、
负周 期和 函 数
,
是函 数
,
i ) 二s
的周期
,
)
加斗 0 )
由于
x
君是
) 二 s io
的周 期
故2 月对 ( 。 〔 2
,
.
成立
,
而 不 要 求( I
,
x
一T
( ,
x
)同时成 立
十
因
,
此 周 期 函数 的定 义 域可 以仅 为正 ( 负 ) 实 数集或其 真
子 集 率实上
( l
,
)二si n ( e
.
,“
)就 是定 义 在 R 上
,
而 非的 错误
.
比如
,
周 期 函 数 的定 义域 是 否 关于
:
.
轴
对 称的问题
.
,
便是一 例
最 小正 周期 为 2兀 的 周 期 函 数 克服的 办 法 只 能是 透彻地 讲解 定 义
的 反例
.
补 之 以 适当
x
x
我 们 先 , 下 面 的 例子 例1 下列 函 数 中 不 是 周 期 函 撅的是 (
函数的周期性
函数的周期性
一、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax 无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性. 1、正弦函数 y=sin x 的最小正周期 在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段 MP. 正弦函数的周期性 动点 P 每旋转一周，正弦线 MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当 P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化 方向不会重现. 因此，正弦函数 y=sinx 的最小正周期 2π. 2、y=sin（ωx）的最小正周期 设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为 L . 按定义 y = sin ω（x+L） = sin（ωx+ ωL） = sinωx . 令ωx = x' 则有 sin （x' + ωL） = sin x' 因为 sinx 最小正周期是 2π，所以有
sin 2
x 1 2 cos x 2
【解答】 （1）y = 2cos2x + 1 的最小正周期由 cos2x 决定 2、求正弦函数的周期 【例 2】 （1）y =2cos2x+1 的最小正周期为 . （2）y =|sinx + cosx|的最小正周期为 . 2 2 【解答】 （1）y = 2cos x + 1 的最小正周期由 cos x 决定，故答案为π. （2） | sin x cos x |
sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x 1 . 2 sin 2 x 4
理解·掌握·升华——谈谈函数的周期性
关键 ． 我们知道 ， 有 些 函数 具 有 这 样 的特 征 ：
（ ３ ）函数 的周 期 往 往 是 一 个 数 集 ， 最 小
当 自变量 在定 义 域 内增 加 某 一 个 值 时 ， 函数 正周 期才 是一 个 正 数 ， 平 时 经 常讲 的周 期 就 值就 会 有 规 律 地 重 复 出 现 ， 这就是周期 性． 是指 最小 正周 期 ． 但 是 并 不 是 任何 周期 函数 用数 学语 言表 达 ： 一般地 ， 对 于 函数 厂（ ｚ ） ， 若 都有 最 小 正 周 期 ． 如 著 名 的狄 利 克 雷 函 数 存在 一个 非零 常 数 Ｔ， 使 得 对定 义 域 中每 一 个 ， 都有 ｆ （ ｘ ４ － Ｔ）一 厂（ ） ， 则 函数 厂 （ ｚ）
” ，
而不是“ 某一个 Ｘ的值 ” ． 如对 于 函数 Ｙ— 有负周 期 一２ ７ ｒ ， 一４ ７ ｃ ， …； 函数 Ｙ— ｓ ｉ ｎ
Ｎ ｅ ｗ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ＇ ３
（ ｚ∈ Ｒ ）既 有 正 周 期 又 有 负 周 期 ± ２ ７ ｃ ， － ， 。 （ ０ ） 一２ ０ １ ６ ．
都 是指 自变 量 ｚ本 身 的增 加 量． 如 对 于 函数
Ｙ— ｓ ｉ ｎ ２ ｘ来 说 ， ２ ｚ每 增 加 ２ ７ ： ，ｓ ｉ ｎ ２ ｘ的值 就会 重 复 ， 而 此 时 自变 量 Ｘ增 加 兀 ， 换 句 话 说， 自变 量 Ｘ增加 ，ｓ ｉ ｎ ２ ｘ的值 就 会 重 复 ， 所 以 函数 Ｙ— ｓ ｉ ｎ ２ ｘ的周期是 ７ ｃ ． 事实 上 ， 我 们 也有 如下 结论 ： 如 果 对 于 任 意 ∈定 义 域
微分方程的傅里叶级数解法
微分方程的傅里叶级数解法微分方程在科学和工程领域中是一种常见的数学工具，用于描述动态系统的行为。
在解微分方程时，常常可以利用傅里叶级数的性质来简化求解过程。
傅里叶级数是一种将周期函数分解为正弦和余弦函数的无穷级数表示的方法，它在信号处理和物理学中有着广泛的应用。
傅里叶级数的基本概念傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的级数形式的方法。
对于一个具有周期T的函数f(t)，其傅里叶级数的表达式为：$$ f(t) = \\frac{a_0}{2} + \\sum_{n=1}^{\\infin} [a_n \\cos(n\\omega t) + b_n\\sin(n\\omega t)] $$其中，a0、a n和b n为傅里叶系数，$\\omega = \\frac{2\\pi}{T}$为角频率。
傅里叶级数展开的函数必须是周期为T的函数。
将微分方程表示为傅里叶级数对于某些微分方程，如果无法直接求解，可以将方程表示为傅里叶级数的形式来简化求解过程。
考虑一个一阶线性常系数齐次微分方程：$$ a_n(t) \\frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1}(t) \\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \\ldots+ a_1(t) \\frac{dy}{dt} + a_0(t)y = f(t) $$假设函数y(t)和f(t)是周期为T的函数，可以将y(t)和f(t)表示为其傅里叶级数：$$ y(t) = \\frac{a_0}{2} + \\sum_{n=1}^\\infty [a_n \\cos(n\\omega t) + b_n\\sin(n\\omega t)] $$$$ f(t) = \\frac{c_0}{2} + \\sum_{n=1}^\\infty [c_n \\cos(n\\omega t) + d_n\\sin(n\\omega t)] $$其中，a0、a n、b n、c0、c n和d n为对应的傅里叶系数。
函数的周期性及其应用
函数的周期性及其应用
张平
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2022()13
【摘要】函数的周期性是函数的基本性质之一,揭示了函数值随自变量变化而呈现的循环往复的规律,能反映现实世界中周而复始、周期性变化的自然现象.在高考及
竞赛试题中,以函数周期性为背景的试题屡见不鲜,它们着重考查周期性的定义与性
质的简单应用,或结合函数的单调性、奇偶性、对称性等进行综合考查,对数形结合
思想、转化与化归思想、赋值法等数学思想方法进行检验,对培养学生的探究精神
与探索能力有着十分重要的作用,是提升学生数学核心素养的有力载体.下面对函数
周期性的相关知识与方法进行总结,并分类剖析主要题型及解法.
【总页数】5页(P45-49)
【作者】张平
【作者单位】广东省珠海市实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.论周期函数的导函数与原函数的周期性
2.函数的对称性、周期性及其关系在抽象函数问题中的应用
3.从抽象函数形式看函数性质——抽象函数在周期性、对称性、
奇偶性上的体现4.论周期函数的导函数与原函数的周期性5.函数的对称性、周期性及其关系在抽象函数问题中的应用
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初二函数所有的知识点总结
初二函数所有的知识点总结一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它表示一种从一个集合到另一个集合的对应关系。
在数学上，函数通常用 f(x) 或 y = f(x) 的形式表示，其中 x 是自变量，y 是因变量。
函数的定义域是指函数的自变量可以取的值的集合，值域是函数的因变量所能取得的值的集合。
函数的图像是函数在坐标系上的呈现形式，它能够直观地表示函数的性质。
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等。
二、函数的表示方法1. 公式表示法：函数可以用数学公式的方式进行表示，比如 f(x) = 2x + 3。
2. 表格表示法：可以通过制作函数的输入和输出值的对应表格来表示函数。
3. 图形表示法：函数的图像可以用坐标系上的点来表示。
三、函数的运算1. 函数的加法和减法：当两个函数相加或相减时，可将它们的对应值相加或相减。
2. 函数的乘法和除法：当两个函数相乘或相除时，可将它们的对应值相乘或相除。
3. 复合函数：当一个函数中出现另一个函数时，称为复合函数。
四、基本函数1. 线性函数：线性函数是一种特殊的一次函数，它的图像是一条直线，表示为 f(x) = kx + b。
2. 平方函数：平方函数的一般形式是 f(x) = ax^2 + bx + c，它的图像是一条抛物线。
3. 绝对值函数：绝对值函数的一般形式是 f(x) = |x - a| + b，它的图像以直线为轴对称。
4. 一次函数：一次函数的一般形式是 f(x) = ax + b，它的图像是一条直线。
5. 反比例函数：反比例函数的一般形式是 f(x) = k/x，它的图像是两个坐标轴的倒数。
五、函数的性质1. 奇函数和偶函数：奇函数满足 f(-x) = -f(x)，而偶函数满足 f(-x) = f(x)。
2. 单调函数：如果函数 f(x) 的导数在定义域上恒大于 0 或恒小于 0，那么 f(x) 就是单调函数。
3. 周期函数：如果存在一个正数 T，使得对于定义域上的任意 x 都有 f(x+T) = f(x)，那么f(x) 就是周期函数。
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
例 4 求定积分 I sin x dx ，其中 n 为自然数。
0
n
解：注意到 sin x 是偶函数且以 为周期，因此利用性质可以简化计算
I sin x dx n sin x dx n sin x dx 2n sin x dx 2n 2 sin xdx 2n .
I n,m
sin x1 sin x d sin x Rsin x
n 2
0
因此 I n,m 0
其中 Ru 为 u 的某个多项式（不含常数项） 例 6 求定积分 x 3 x sin x 4 x 2 1 dx 。
4
2
解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故 例 7 求定积分 I= 解 ：I=
0 0
所以 f x dx f x dx f x dx 0 . (2)因为 f x f x ， 而
f x dx f x dx f x dx
a a 0 a
a
0
a
a
0
f x dx f x dx
f x
， q x f x f x ， 则
p x q x ，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。 2 (三)、定积分中周期函数的处理方法 对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函 数与复合的三角函数的周期） ，并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周 期函数定积分的问题。
2
1
4 3 9
例 11
求定积分 I= 21 ( 1 4 x 2 cos ln
2
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法作者：文/王新荣来源：《新课程·中学》2014年第05期不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。
一般形式为y=f （x），或许还附有定义域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在各地高考试题中不断出现；学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法归类如下：题型一：求抽象函数的定义域例1.已知函数f（x－1）的定义域为［0，3］，求f［log■（3-x）的定义域。
解析：自变量x的取值范围即为函数的定义域，因此函数f（x－1）中x－1∈［－1，2］，所以log■（3-x）∈［－1，2］，所求定义域为［1，■］一般情况下，函数y=f（x）定义域为［a，b］，则函数y=f（g（x））的定义域为不等式a≤g（x）≤b的解集；函数y=f（g（x））的定义域［a，b］，则函数y=f（x）定义域为g （x）（x∈［a，b］）的值域。
题型二：求抽象函数值例2.已知函数f（x）满足：当x＞4时，f（x）=（■）x，当x＜4时，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。
解析：首先判断2+log23∈［3，4］，再根据当x＜4时，f（x）=f（x+1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（■）■=■。
题型三：求抽象函数的解析式例３．已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）＋g（x）=■，求f（x）和g （x）。
解析：用－x代换x得：f（－x）＋g（－x）=■，由于已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以－f（x）＋g（x）=■，与已知条件解方程组即可得f（x）和g（x）解析式．题型四：判断或证明抽象函数的奇偶性例４．已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1+x2）=f （x1）+f（x2），试判断函数f（x）的奇偶性。
高考数学常见题型解法归纳反馈训练第26讲三角函数周期的求法
第26讲三角函数周期的求法【知识要点】一、周期函数的定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内任意一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期，周期函数的周期不唯一，都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期.二、使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是,注意一定要注意加绝对值. 三角函数的周期公式中代表的是的系数，不是什么地方都是. 函数中的系数是，最小正周期，不是.三、求三角函数的周期常用的方法有两种：公式法、图像法.【方法讲评】方法一公式法使用情景直接代三角函数的周期公式.解题步骤一般先把三角函数化成一般形式，再代入三角函数周期公式.【例1】函数的最小正周期为．【点评】（1）代三角函数的周期公式时，必须首先把三角函数化简成三角函数的一般形式，然后才能代公式.(2)代公式时，注意弦函数的周期公式是，切函数的周期公式是.【反馈检测1】已知，，设函数.求函数的周期.方法二图像法使用情景已知函数图像的性质.解题步骤一般利用函数的图像分析解答.【例2】如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为（）A. 3B. 6C. 12D. 24【解析】由题意得：，解得：，因为，所以，故选．【点评】（1）通过对余弦函数的图像的分析发现，相邻两个零点之间的距离是周期的一半,是解题的关键.（2）我们在做题时，会遇到各种不同情况，都要结合函数的图像和性质分析出函数的周期.【例3】在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为 .（请填序号）【点评】(1)已知中函数不能求代三角函数的周期公式，因为它不能化成三角函数的一般形式.所以只能通过画图观察函数图象找到周期.(2)的图象就是保留函数的图像在轴上方部分的图像，把轴下方的图像翻折到轴上方.【反馈检测2】已知角的终边经过点，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（）A． B． C． D．【反馈检测3】已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A．6 B．3 C． D．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第26讲：三角函数周期的求法参考答案【反馈检测1答案】函数的周期为.【反馈检测2答案】【反馈检测2详细解析】由已知，，，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离等于，可得函数周期，故，所以.【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】由题得>0 所以的最小值为. 故选择.。
函数周期性在解题中的应用
函数周期性在解题中的应用函数的周期性是新教材第四章中的难点，也是高考常考的内容之一，一些学生对解周期性的问题无从下手、无所适从。
根据笔者近几年的教学实践，现将函数周期性问题的解法归纳总结如下。
解决函数周期性问题的要点是通过代换、变形，使f（x+T）=f（x）成立（其中T≠0为常数），借此确定函数的周期，然后再通过函数的其他性质去解决问题。
一、在求函数周期上的应用例1.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x），则函数f（x）的一个周期是______。
解：∵ f（x+2）=-f（x），∴作代换将x换为x+2，得f[（x+2）+2]=-f（x+2），即f（x+4）=-f （x+2）=f（x），∴函数f（x）的一个周期是4。
二、在求函数值上的应用例2.设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x,则f（π）=______。
解：∵x∈（-∞，+∞），f（x+2）=-f（x），故将x换为x+2得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是以4为周期的奇函数，∴f（π）=f（-1×4+π）= f（π-4）= f[-（4-π）]=- f（4-π）。
而4-π∈[０,１]且x∈ [０,１]时f（x）=x，∴f（π）=- f（4-π）=-（4-π）=π-4。
三、在求函数解析式上的应用例3.设奇函数f（x）是定义在R上的周期为4的周期函数，当x∈[０,2] 时，f（x）=2x-x2。
当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式。
分析：要求x∈[2,4]时f（x）的解析式，须将x换为x+2k（k∈Z）,且使x+2k∈[０,2]，则可由已知条件求得f（x）的解析式。
解：∵ x∈[2,4]，∴ -x∈[-4,-2], ∴4-x∈[０,2]；又∵x∈[０,2] 时， f（x）=2x-x2 ∴f（4-x）=2（4-x）-（4-x）2=-x2+6x-8；又∵ f（4-x）=f（-x）=-f（x），∴-f（x） =-x2+6x-8，即 f（x）=x2-6x+8，x∈[2,4]。
函数周期性证明的解题策略
时 难 以确 定 ． 如 果 注 意 到 偶 函 数 的 图 象 但
关于 ｚ —Ｏ对 称 ， 合 条 件 ， ） 图 象 关 于 结 的
以 ２ —２ ６ ａ为 周期 的周 期 函 数 ．
ｚ一 １对 称 ， 将 其 与 命 题 ２ 作 类 比 ， 难 并 ① 不
发 现 ，（ 的 周 期 是 ２ １ ０ 一２ 再 用 定 义 ｚ） （— ） ，
① ，（ ＋ｎ 一， ｚ－ａ ； ｚ ） （ － ） ②，（ 十ｎ 一 －ｆ（ ； ｚ １ ） ｘ）
１
关 键 ， 是学 生颇感 困难 的一 步 ． 如果 我 们 也 而 将所 证 问题 的题 设 条件 与 上 述两 个 命 题作 一
个类 比 ， 问题 往 往 会 迎 刃 而解 ． 则 例 １ （ ９ １ ６年 仝 国 高 考 题 ） ，ｈ ） ９ 设 是 Ｒ 上 的奇 函 数 ， ｚ＋ ２ 一 一，（ ， ０ ｚ ｆ（ ） ｚ） 当 ≤
１ 扣 紧 定 义 ， 求 思路 方 法 探 周 期 函数 的定 义 是 证 明 函数 具 有周 期 性 的重 要 依 据 ， 是 最 基 本 的 方 法 ． 用 定 义 ， 也 利 可 证 明如 下 两个 常见 的命 题 ： 命 题 １ 设 ｎ是 非 零 常 数 ， 于 函数 一 对 ， ） 义 域 内 的 一 切 ｚ， 有 下 列 条 件 之 一 ０ 定 总 成 立 ， 函 数 一，ｈ ） 周 期 函数 ， ２ 则 是 且 ａ是 它 的 一个 周 期 ：
・ ８・ ２
ｆ（ ） 偶 函数 ， ｘ是
．
中学数学月刊
２ ０ 年第 １ ０２ 期
（） 在正 常 数 ｎ 使 ， ｎ 一 １ ２存 ， （） ．
判别 ，（ ） 否 为奇 函数 ？ 否 为周 期 函 ｚ是 是 数 ？并 证 明你 的 结 论 ．
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。
一类力学问题的简便解法
一类力学问题的简便解法
高长贤
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2014(000)004
【摘要】在学习过高中物理必修部分的力学知识后，我们常常会遇到这样一类问题：两个或多个相关的物体以不同的或相同的加速度运动，分析整体的受力或运动情况．通常的做法是所谓的隔离法，即逐个分析，列出牛顿第二定律，然后得到结果．但这种解法比较麻烦．本文介绍一种简便的解法——质点组的牛顿第二定律．【总页数】1页(P12-12)
【作者】高长贤
【作者单位】东北师大物理学院
【正文语种】中文
【相关文献】
1.介绍一类周期函数问题的简便解法
2.先定线,再取点——一类由三视图还原直观
图问题的简便解法3.先求充分,再证必要——例析一类含参恒成立问题的简便解法4.一类有相对位移问题的简便解法5.一类多车、多货物运输配送问题新的简便解法
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1. 已知函数f (x )图象关于x =2对称，且函数f (6+x )是定义在R 上的偶函数，f (11)=2，则f (2011)=
2.函数
f (x )定义在R 上，且对一切x ∈R 满足(2)(2),(7f x f x f x f x +=-+=- ，设(0)0f =，求方程()0f x =在区间
[1000,1000]-中至少有几个实根？
3..若偶函数f (x )，x ∈R 满足：(1)图象关于x =a 对称(a >0)；(2)在区间0,a ]上是减函数；求证：f (x )以2a 为最小正周期
总结：如果函数有两条不同的对称轴，则它一定是周期函数
若函数f (x )的图象关于直线x =a 和直线x =b 对称(a≠b)，
则函数f (x )必为周期函数，2|a -b |是它的一个周期；
2.轴对称中心对称与周期函数的关系
f (x )是定义在R 上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()7.5f =
2..定义域为R 的函数()f x 满足()()48f x f x --=+，且()8y f x =+为偶函数，则()f x
3.若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01，-上是增函数，且)()2(x f x f -=+. )(x f 的周期；
若函数f (x )关于点(a ,0)和点(b ,0)对称，
则函数f (x )必为周期函数，2|a -b |是它的一个周期；
若函数f (x )的图象关于点(a ,0)和直线x =b 对称，
则函数f (x )必为周期函数，4|a -b |是它的一个周期；
3.周期函数的计算
1. 设函数3,05()(),55f x f x x x x ⎧≤<=⎨≥-⎩，则(2015) ()f =
2. 设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1－x ),则
总结：
1.周期函数性质()()x T f x f += ()()x T f x f -=
2.若()()()f x a f x b a b ++≠＝则f (x )是周期函数，其中一个周期是.||T a b ＝－
3.对比：若()()f x a f x b -＋＝＋则函数f (x )图象的对称轴2
a b x +=
同号看周期，异号看对称
4.中心对称与周期函数
1.已知函数f (x -1)为奇函数,函数f (x +3)为奇函数,f (0)=1,则f (8)=( ).
2.设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.
3.()f x 定义域为R ，对于任意x 都有()()11f x f x +=--且()()44f x f x +=--问()f x 是否是周期函数？如是则周期是多少？
总结：1.如果一个函数含有两个不同的对称中心，那么它一定是周期函数。
2. 周期T =2|a -b |
5.对称性 奇偶性与周期函数的关系
1.设f (x )是定义在R 上的函数，且满足(20)(),f x f x +=(10)(10)f x f x =-+，则f (x )是( )
2..设f (x )是（－∞，＋∞）上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x≤1时， f (x )＝x ，则f (7.5)=（ ）。
3. 设f (x )是（－∞，＋∞）上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x≤1时，2()1f x x =+ 则f (-5)的值为_____
若奇函数f (x )关于点(a ,0) (0a ≠)对称，2|a |是它的一个周期；
若偶函数f (x )关于直线x =a (0a ≠)对称， 2|a |是它的一个周期；
若奇函数f (x )关于直线x =a (0a ≠)对称， 4|a |是它的一个周期；
若偶函数f (x )关于点(a ,0) (0a ≠)对称， 4|a |是它的一个周期；
6.抽象函数周期的求法
1.已知函数f (x )满足()1f x +=
，若()02016f =，则()2016f =
2.设函数f (x )的定义域为R ，且对任意的实数x ，y 满足()()2()f x y f x y f x f y =-++，并存在非零实数c ，使()02f c =，证明函数f(x)是周期函数
模型法解题：
我们从剖析题设条件的结构入手，
大胆类比，联想出原型函数（主要是从三角公式联想），
通过猜想，进而确定函数的周期性。
7.递推法求抽象函数周期
1.已知定义在R 上的函数f (x )满足11()()1)(f x f x f x ++=
-，则f (x )必有一周期为
2.已知函数()()f x x R ∈满足(1)()(2)f x f x f x +=++，且()() 11,22010f f ==，则()()()()1232009f f f f +++⋯+=
3.设f (x )是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R ，都有1(1)2f x +=
+，又1(1)2f -=
，求f (2005)的值
8.特殊周期函数周期求法
1.已知定义在R上的函数f(x)满足
1
2
(
)
()
1
)
(
f x
f x
f x
-
+=
+
，当(0,4)
x∈时，
2
()1
f x x
=-，则f(2011)=( )
2.已知定义在R上的函数f(x)满足
1
3
(
)
()
1
)
(
f x
f x
f x
+
+=
-
，若f(0)=1，则f(2400)=( )
总结: 形如
1()
(),0
1()
f x
f x a a
f x
+
+=≠
-
的函数是周期函数，且T=4a
形如
1()
(),0
1()
f x
f x a a
f x
-
+=≠
+
的函数是周期函数，且T=2a。