周期函数的解法

1. 已知函数f (x )图象关于x =2对称，且函数f (6+x )是定义在R 上的偶函数，f (11)=2，则f (2011)=

2.函数

f (x )定义在R 上，且对一切x ∈R 满足(2)(2),(7f x f x f x f x +=-+=- ，设(0)0f =，求方程()0f x =在区间

[1000,1000]-中至少有几个实根？

3..若偶函数f (x )，x ∈R 满足：(1)图象关于x =a 对称(a >0)；(2)在区间0,a ]上是减函数；求证：f (x )以2a 为最小正周期

总结：如果函数有两条不同的对称轴，则它一定是周期函数

若函数f (x )的图象关于直线x =a 和直线x =b 对称(a≠b)，

则函数f (x )必为周期函数，2|a -b |是它的一个周期；

2.轴对称中心对称与周期函数的关系

f (x )是定义在R 上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()7.5f =

2..定义域为R 的函数()f x 满足()()48f x f x --=+，且()8y f x =+为偶函数，则()f x

3.若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01，-上是增函数，且)()2(x f x f -=+. )(x f 的周期；

若函数f (x )关于点(a ,0)和点(b ,0)对称，

则函数f (x )必为周期函数，2|a -b |是它的一个周期；

若函数f (x )的图象关于点(a ,0)和直线x =b 对称，

则函数f (x )必为周期函数，4|a -b |是它的一个周期；

3.周期函数的计算

1. 设函数3,05()(),55f x f x x x x ⎧≤<=⎨≥-⎩，则(2015) ()f =

2. 设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1－x ),则

总结：

1.周期函数性质()()x T f x f += ()()x T f x f -=

2.若()()()f x a f x b a b ++≠＝则f (x )是周期函数，其中一个周期是.||T a b ＝－

3.对比：若()()f x a f x b -＋＝＋则函数f (x )图象的对称轴2

a b x +=

同号看周期，异号看对称

4.中心对称与周期函数

1.已知函数f (x -1)为奇函数,函数f (x +3)为奇函数,f (0)=1,则f (8)=( ).

2.设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.

3.()f x 定义域为R ，对于任意x 都有()()11f x f x +=--且()()44f x f x +=--问()f x 是否是周期函数？如是则周期是多少？

总结：1.如果一个函数含有两个不同的对称中心，那么它一定是周期函数。

2. 周期T =2|a -b |

5.对称性 奇偶性与周期函数的关系

1.设f (x )是定义在R 上的函数，且满足(20)(),f x f x +=(10)(10)f x f x =-+，则f (x )是( )

2..设f (x )是（－∞，＋∞）上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x≤1时， f (x )＝x ，则f (7.5)=（ ）。

3. 设f (x )是（－∞，＋∞）上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x≤1时，2()1f x x =+ 则f (-5)的值为_____

若奇函数f (x )关于点(a ,0) (0a ≠)对称，2|a |是它的一个周期；

若偶函数f (x )关于直线x =a (0a ≠)对称， 2|a |是它的一个周期；

若奇函数f (x )关于直线x =a (0a ≠)对称， 4|a |是它的一个周期；

若偶函数f (x )关于点(a ,0) (0a ≠)对称， 4|a |是它的一个周期；

6.抽象函数周期的求法

1.已知函数f (x )满足()1f x +=

，若()02016f =，则()2016f =

2.设函数f (x )的定义域为R ，且对任意的实数x ，y 满足()()2()f x y f x y f x f y =-++，并存在非零实数c ，使()02f c =，证明函数f(x)是周期函数

模型法解题：

我们从剖析题设条件的结构入手，

大胆类比，联想出原型函数（主要是从三角公式联想），

通过猜想，进而确定函数的周期性。

7.递推法求抽象函数周期

1.已知定义在R 上的函数f (x )满足11()()1)(f x f x f x ++=

-，则f (x )必有一周期为

2.已知函数()()f x x R ∈满足(1)()(2)f x f x f x +=++，且()() 11,22010f f ==，则()()()()1232009f f f f +++⋯+=

3.设f (x )是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R ，都有1(1)2f x +=

+，又1(1)2f -=

，求f (2005)的值

8.特殊周期函数周期求法

1.已知定义在R上的函数f(x)满足

1

2

(

)

()

1

)

(

f x

f x

f x

-

+=

+

，当(0,4)

x∈时，

2

()1

f x x

=-，则f(2011)=( )

2.已知定义在R上的函数f(x)满足

1

3

(

)

()

1

)

(

f x

f x

f x

+

+=

-

，若f(0)=1，则f(2400)=( )

总结: 形如

1()

(),0

1()

f x

f x a a

f x

+

+=≠

-

的函数是周期函数，且T=4a

形如

1()

(),0

1()

f x

f x a a

f x

-

+=≠

+

的函数是周期函数，且T=2a