关于方程组的同解性
(完整版)二元一次方程组的同解错解参数等问题(最新整理)
请解答:已知关于
x、y
的方程组
y y
kx b
3k 1
x
2
分别求出 k,b 为何值时, 方程组的解为:
⑴有唯一解; ⑵有无数多个解; ⑶无解?
5x y 7 ① 例 2. 选择一组 a,c 值使方程组 ax 2 y c
1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解
与
x 2y 5 5x by 1
（3） （4）
。
有相同的解，
2、错解 由方程组的错解问题，求参数的值。
ax by 2
x 3
x 2
例：解方程组 cx 7 y 8
时，本应解出
y
2
由于看错了系数
c,从而得到解
y
2
试求 a+b+c 的值。
方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而求出参数的 值。
4. 已知方程组
4
x
by
2
① ②
x 3
由于甲看错了方程①中的
a
得到方程组的解为
y
1
;
x 5
乙看错了方程②中的
b
得到方程组的解为
y
4
,若按正确的
a、b
计算,求原方程组的解.
5..关于
x、y
的二元一次方程组
x x
y y
5k 9k
的解也是二元一次方程
2x
3y
6
的解,则
k
的值？
6.
若
4x
3y
6z
0,
x
2y
7z0 xyz来自0,求代数式5x2 2y2 z2 2x2 3y2 10z2
什么是方程同解原理的应用
什么是方程同解原理的应用1. 简介方程同解原理是数学中一个重要的概念。
它在多个数学领域都有广泛的应用。
方程同解原理指的是具有相同形式的方程，在一定条件下可以求得相同的解。
这个原理被广泛应用于微分方程、线性代数、概率论等数学分支中。
2. 微分方程中的应用微分方程是一种描述变量之间关系的方程，是自然科学研究中常见的数学工具之一。
在求解微分方程时，方程同解原理可以起到很大的帮助作用。
在求解一阶线性常微分方程时，可以利用方程同解原理来简化求解过程。
若两个方程形式相同但具有不同的常数，且一个方程的解已知，根据方程同解原理可以得到另一个方程的解。
这样可以通过一个已知解来导出更多的解，简化了求解的过程。
3. 线性代数中的应用方程同解原理在线性代数中也有重要的应用。
线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支。
在线性代数中，方程同解原理可以用来解决线性方程组的问题。
对于一个线性方程组来说，如果两个方程具有相同的系数矩阵和常数向量，那么它们的解也是相同的。
利用方程同解原理，我们可以通过一个已知的线性方程组解来得到其他具有相同系数矩阵和常数向量的方程组的解。
这样可以简化线性方程组的求解过程。
4. 概率论中的应用方程同解原理在概率论中也有一定的应用。
概率论是研究随机现象的规律性的数学分支。
在概率论中，方程同解原理可以用来解决一些概率分布相关的问题。
对于某些概率分布来说，它们具有相同的概率密度函数或累积分布函数。
利用方程同解原理，我们可以通过已知的概率分布的解得到其他具有相同概率密度函数或累积分布函数的分布的解。
这样可以简化概率分布相关问题的求解过程。
5. 小结方程同解原理是一个重要的数学原理，在微分方程、线性代数、概率论等多个数学领域都有应用。
在微分方程中，方程同解原理可以简化求解过程；在线性代数中，方程同解原理可以简化线性方程组的求解；在概率论中，方程同解原理可以简化一些概率分布相关问题的求解。
熟练掌握方程同解原理对于解决相关数学问题具有重要的作用。
两个齐次方程组同解,对应的系数矩阵的行最简形一样
两个齐次方程组同解，对应的系数矩阵的行最简形一样引言在线性代数中，齐次方程组是指系数矩阵乘以未知向量得到零向量的方程组。
当两个齐次方程组具有相同的解时，它们的系数矩阵的行最简形将具有相同的形式。
本文将详细讨论这一关系，并且给出相关示例。
让我们开始吧！齐次方程组和系数矩阵首先，我们需要明确齐次方程组以及系数矩阵的定义。
齐次方程组：一个方程组中的所有方程都是齐次的，即所有方程右端的常数项均为零。
例如：a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ=0b₁x₁+b₂x₂+...+bₙxₙ=0...其中，`x₁,x₂,...,xₙ`为未知量，`a₁,a₂,...,aₙ`和`b₁,b₂,...,bₙ`为系数。
系数矩阵：将齐次方程组中的系数按照顺序排列并组成一个矩阵，即为系数矩阵。
例如：A=[a₁a₂...aₙ][b₁b₂...bₙ][......]其中，`A`为一个`m×n`的矩阵，`m`表示齐次方程组的个数，`n`表示未知量的个数。
了解了齐次方程组和系数矩阵的基本概念后，接下来我们将探讨当两个齐次方程组有相同的解时，它们的系数矩阵的行最简形是否一致。
齐次方程组同解与系数矩阵行最简形假设有两个齐次方程组：A₁x=0A₂x=0其中，`A₁`和`A₂`分别表示两个齐次方程组的系数矩阵。
如果这两个方程组有相同的解，说明它们的解空间是相等的。
因为两个齐次方程组具有相同的解，所以它们的系数矩阵的行最简形应当一致。
行最简形：一个矩阵经过一系列行变换后，能够化为行最简形的形式。
行最简形的矩阵具有以下特点：1.每一非零行首元素为1。
2.前面的行比后面的行短。
基于上述定义，我们可以得出结论：对应于齐次方程组同解的系数矩阵，经过一系列行变换后，其行最简形应当是相同的。
示例为了更好地理解上述结论，我们来看一个具体的示例。
考虑以下两个齐次方程组：3x+2y+z=0(方程组一)2x+4y+z=0(方程组二)将它们的系数整理成矩阵形式：A₁=[321][241]A₂=[321][682]我们可以通过高斯消元法对系数矩阵进行行变换，并化为行最简形。
线性方程组的通解
2
(2)若R(A)R(B) 则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行 最简形 (3)设R(A)R(B) r 把行最简形中 r 个非零 行的首非零元所对应的未知数取作非自由未 知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并
令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B
的行最简形 即可写出含nr个参数的通解
a22 x2
a2n xn 0
(2)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
或用矩阵方程方程组(1)表示为: Ax 0
齐次线性方程组 Ax0 有非零解的判断与求解步骤： (1)对于齐次线性方程组 把它的系数矩阵A 化成行阶 梯形 从A的行阶梯形可同时看出R(A) 若R(A)n , 则齐次线性方程组只有零解
并求一般解。
解：
1 2 5 1
B
3 2
1 0
5 2
2
1 2 5 1
0
5
10
5
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 0 0 2
2 时方程组有解。
8
1 2 5 1
B
~
0 0
1 0
2 0
01
1 0 1 －1
15
第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组
第六讲 线性方程组的通解
一、非齐次线性方程组的通解 二、齐次线性方程组的通解
1
一、非齐次线性方程组的通解
对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
全效学习七下培优专题二元一次方程组的同解、错解、参数问题
∵z≠0，∴将③两边都除以 z，得7zx＋1＝0，解得xz＝－17.
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9．已知|a－2b＋7|＋(2c＋a－7)2＝0，b≠0，求a＋b c的值． 解：依题意，得 a－2b＋7＝0，2c＋a－7＝0， 即a2－c＋2ab＝＝7－，7②，① 由①得：b＝a＋2 7， 由②得：c＝7－2 a，
① ②
②×2－①得，
y＝37a－272，
把 y＝37a－272代入②得，
x＝87a－172，
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则87a－172－(37a－272)＝a， 解得 a＝5， ∴方程组的解为xy＝＝－4，1.
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6．由于粗心，在解方程组■7xx－－42y＝y＝△5，时，小明把系数■抄错了，
得 到 的 解 是 yx＝＝－－11330，； 小 亮 把 常 数 △ 抄 错 了 ， 得 到 的 解 是
xy＝＝－－196，. 请找出错误，并写出■和△的原来数字，求出正确的解．
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解：∵7×－13－4×－130＝△，∴△＝11，
∵－9■－2×(－16)＝5，∴■＝3，
∴原方程组是37xx－ －24yy＝ ＝
5， 11，
① ②
②－①×2，得 x＝1.
把 x＝1 代入①得 y＝－1，
所以原方程组的解为xy＝＝－1，1.
∴a＋b c＝a＋a＋7－27 a＝aa＋ ＋77＝1. 2
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关于两个线性方程组同解条件的再思考
关于两个线性方程组同解条件的再思考陈耀光【摘要】首先给出了两个线性方程组Ax=c及Bx=d的解与解之间的关系,通过对两个方程组有公共解的条件的研究,从而给出了两个方程组有同解的充分必要条件.根据所得结论,最后给出了两个线性方程组是否有同解的判别方法以及同解的求解方法.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2014(030)004【总页数】5页(P71-75)【关键词】线性方程组;公共解;同解;条件;方法【作者】陈耀光【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046【正文语种】中文【中图分类】O151.1线性方程组是大学本科中工科线性代数的最重要也是最主要的部分，它贯穿于线性代数的始终，也可以说线性代数就是线性方程组的代数，因此在线性代数中对线性方程组的讨论已经比较充分，但在教学过程中，学生经常会问到两个线性方程组的解与解有什么关系？如何判断？如何求解？关于这一点工科线性代数中几乎没有讨论，在其它教材中也讨论甚少，即使有也不全面.而在文献[1]中，虽然对此进行了讨论，但所给结论的条件出现了漏洞.为此笔者通过查阅大量相关资料，并进行深入分析与研究，得到了本文相关结论及方法.1 预备知识设非齐次线性方程组Ax=b，(1)其中,,,, j=1,2,…，n.非齐次线性方程组的向量形式x1t1+x2t2+…+xntn=b.(2)引理1 非齐次线性方程组(1)有解的充分必要条件是R(A)=R(Ab).引理2 非齐次线性方程组(1)有解的充分必要条件是向量b可由向量组t1，t2，…，tn 线性表示.2 两个方程组的解与解的关系设有两个非齐次线性方程组Ax=c(3)及Bx=d,(4)其中,,,,,其所对应的齐次方程组Ax=0(5)及Bx=0(6)定义如果有n维向量x同时满足非齐次线性方程组(3)和(4)，则称向量x为非齐次方程组(3)和(4)的公共解.如果方程组(3)的任意解都是方程组(4)的解，而方程组(4)的任意解都是方程组(3)的解，则称方程组(3)和方程组(4)是同解的.对于齐次方程组(5)和(6)也同样有非零公共解和非零同解的概念，这里就不再赘述了.3 两个非齐次方程组有公共解的充分必要条件引理3 齐次线性方程组(5)和(6)有非零的公共解的充分必要条件是引理4 非齐次线性方程组(3)和(4)有公共解的充分必要条件是引理5 非齐次线性方程组(3)和(4)有公共解的充分必要条件是向量可由的列向量组线性表示.由引理4(引理5)知，若非齐次线性方程组(3)和(4)有公共解，则非齐次线性方程组(3)和(4)都有解.即如果，则一定有RA=RAc和RB=RBd.反之，非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，非齐次线性方程组(3)和(4)不一定有公共解.例如：方程组x+y=1有解，方程组x+y=2也有解，但方程组无解，即方程组x+y=1和方程组x+y=2无公共解.4 两个线性方程组同解的充分必要条件1.两个齐次线性方程组同解的充分必要条件.引理6 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是. (参见文献[1]的定理3).引理7 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是A的行向量组与B的行向量组等价.定理1 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零同解的充分必要条件是2.两个非齐次线性方程组同解的充分必要条件.在上面我们研究了两个线性方程组有公共解的问题.很明显，如果两个线性方程组同解，则这两个线性方程组一定有公共解.反之，当两个线性方程组有公共解时，这两个线性方程组不一定同解.而对于两个线性方程组同解的条件，文献[1]中对此进行了相应的讨论，并给出了如下两个结论(文献 [1]中的定理2)：结论1 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则非齐次线性方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是向量组α1，α2,…，αm与向量组β1，β2，…，βs等价.其中向量组α1，α2,…，αm是方程组(3)的增广矩阵Ac的行向量组，向量组β1，β2，…，βs是方程组(4)的增广矩阵Bd的行向量组.结论2 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则非齐次线性方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解.对于结论2，通过研究和讨论，其必要性是完全正确的，但其充分性是有问题的.对此，笔者从理论和实例两个方面来加以说明.首先设向量组a1，a2，…，am是齐次线性方程组(5)的系数矩阵A的行向量组，向量组b1，b2，…，bs是齐次线性方程组(6)的系数矩阵B的行向量组.注意向量组a1，a2，…，am与α1，α2,…，αm的差异，向量组b1，b2，…，bs与β1，β2，…，βs的差异.若齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，由引理7知向量组a1，a2，…，am与向量组b1，b2，…，bs等价.而向量组a1，a2，…，am与向量组b1，b2，…，bs等价推不出向量组α1，α2,…，αm与向量组β1，β2，…，βs 等价(如(1,2，-1)与(2,4，-2)等价，但(1,2，-1,1)与(2,4，-2,3)不等价)，从而推不出非齐次线性方程组(3)和(4)同解.再则也可以看一反例：方程组x+y=1有解，方程组x+y=2有解且它们所对应的齐次方程组x+y=0和x+y=0同解.但方程组无解,即方程组x+y=1与方程组x+y=2不同解.正因如此，我们对文献[1]中的结论2进行了更加深入的研究，并得出如下结论.定理2 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解，且非齐次线性方程组(3)和(4)至少有一个公共解.证必要性参见文献[1].充分性.设RA=r.由已知非齐次线性方程组(3)和(4)所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解，所以RA=RB=r，并且Ax=0的基础解系ξ1，ξ2，…，ξn-r也是方程组Bx=0的基础解系.又因为Ax=c及Bx=d有解且至少有一个公共解，不妨设为η*，则x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+η*既是Ax=c的通解，也是Bx=d的通解,所以方程组(3)和(4)同解.定理3 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是此定理的证明可由引理4和引理6直接得到.定理4 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解，且向量可由的列向量组线性表示. 此定理的证明可由引理5和引理6直接得到.5 两个方程组同解的判断及同解的求法以下我们仅对非齐次线性方程组加以讨论，而对于齐次线性方程组其方法类似. 设有两个非齐次线性方程组Ax=c(3)及Bx=d.(4)如果能判断出(3)和(4)同解，则它们的同解的求法就很简单了，只要求出(3)或(4)的通解就行了.而同解的判断可以根据定理3的结论来加以进行.下面就通过具体实例来说明这一方法.例1 设非齐次线性方程组及讨论这两个方程组是否有公共解，是否同解？如同解，则求其同解的通解形式. 解,所以.即已知的两个方程组都有解，且有公共解.而由以上易知RA=RB=2≠，即已知的两个方程组所对应的齐次方程组不同解，所以已知的两个方程组不同解. 本例说明，在定理2的充分条件中两个非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解的条件不可缺少，而在第四部分中的反例说明在定理2的充分条件中两个非齐次方程组(3)和(4)至少有一个公共解的条件不可缺少.例2 设非齐次方程组及讨论这两个方程组是否有公共解，是否同解？如同解，则求其同解的通解形式. 解，易知RB=2. 所以.由定理2知，已知的两个线性方程组同解，且同解的通解形式为【相关文献】[参考文献][1] 罗家贵. 关于线性方程组同解的条件[J]．大学数学，2012，28 (3)：141—145.[2] 尹晓东. 线性代数习题课需要解决的几个问题[J]．大学数学，2012，28 (2)：139—141.[3] 同济大学. 线性代数 [M]．5版．北京：高等教育出版社，2007.。
两个齐次线性方程组同解的充要条件
两个齐次线性方程组同解的充要条件作者：周津名来源：《文存阅刊》2018年第22期摘要：本文研究了两个齐次线性方程组同解的充要条件及其在代数图论里的一个简单应用。
关键词：齐次线性方程组；同解线性方程组是线性代数里的一个重要内容，不少线性代数教材中都详细讲解了线性方程组的解法及解的结构，但介绍同解线性方程组的内容却不多。
本文研究齐次线性方程组同解的充要条件，并给出在代数图论中零因子图中的一个应用。
下文中，对任意矩阵A，用r（A）表示A的秩，用En表示n阶单位阵。
本文主要定理如下：定理设A，B均为矩阵m×n，则齐次线性方程组Ax=0和Bx=0同解，当且仅当存在m阶可逆矩阵P使得B=PA。
证明先证充分性。
若P为M阶可逆矩阵且B=PA，显然有Ax=0Bx=P（Ax）。
再证必要性。
若Ax=0和Bx=0同解，则Ax=0和Bx=0的解空间具有相同的维数，即n-r （A）=n-r（B），从而可设r=r（A）=r（B）。
下面分两种情况进行讨论。
（1）若r=0，则由r（A）=r（B）=0可知A=B=0。
此时，任取m阶可逆矩阵P均有B=PA。
（2）若r>0，将矩阵A按行分块A=，不妨设a1，a2，……，ar为A的行向量组a1，a2，……，am的一个最大无关组。
由r（B）可知，存在初等矩阵P1，使得P1B的前行r为P1B的行向量组的一个最大无关组。
因此，不妨设P1B=，且β1，β2，……，βr为B的行向量组β1，β2，……，βm的一个最大无关组。
注意到Bx=0和P1Bx=0同解，故Ax=0和P1Bx=0同解，进而Ax=0和同解。
由于的解空间维数为n-r（A），且a1，a2，……，ar的前行线性无关，故ar+1，……，am，β1，β2，……，βm可由a1，a2，……，ar线性表示。
从而β1，β2，……，βr可由线性表示，又由于β1，β2，……，βr与a1，a2，……，ar均线性无关，故存在r阶可逆矩阵P2使得（β1，β2，……，βr）=（a1，a2，……，ar）。
证明齐次线性方程组同解的一种新方法
每 提 升 １ ， 售 量 将 减 少 １ ％ ． 样 由于 公 司 提 价 ５ ， 销 ％ 销 ． 这 ２ ％ 将 售 量 减 少 ５ １ ％＝ ％ ； 由 于 居 民 收 入 将 增 加 １％ ， 将 使 销 ｘ． ６ 又 ２ ０ 这 售 量 增 加 １％× ＝ ０ ０ ３ ３ ％。综 合 以 上 两 个 因 素 ， 知 明 年 的 销 售 可 量 将 增 加 的百 分 比为 ３ ％一 ％： ４ ．因 为 当年 的销 售 量 为 ９ Ｏ ６ ２％ ０ 万 单 位 ， 以 明年 的 生 产量 大 约 为９ （＋ ４ ＝ １．万 单 位 。 所 ０ １ ２ ％） １ １ ６ 对 于 问题 （ ） 果 手 机 制 造 商 下 一 年 的 生 产 量 最 多 可 增 ２如 Ｊ ５ 而 居 民 收入 增 加 １％ ， 使 销 售 量 增 加 ３ ％ ． 果 此 时 Ｊ ％， ｎ ０ 将 ０ 如 手 机 制 造 商 不 采取 提 高价 格 的措 施 ，还 有 ２％ 即 ＡＱＱ ＝ ５ ５ ／ ２ ％ 的需 求 缺 １ ， 致 产 品 将 供 不 应 求 ． 缓 解 供 求 矛 盾 ． 为 厂 ２ 导 １ 为 也
定 理 。 定 理 “ Ａ、 即 设 Ｂ为ｍ￣ 矩 阵 ， 齐 次 线 性 方 程 组 Ａ ０ ｎ 则 Ｘ＝ 与 Ｂ ＝ 同解 的充 分 必 要 条 件 是 存 在 可逆 矩 阵 Ｐ Ｘ０ ，使 得ｐ ＝ ．和 Ａ Ｂ” 定 理 “ 有 齐次 线 方 程 组 Ａ ＝ － Ｘ ０ 则Ａ ＝ － Ｘ ０ 设 Ｘ ０ ￣Ｂ ＝ ， ｘ ｏ￣ｎ ＝
两个方程组同解的充分必要条件
两个方程组同解的充分必要条件
有些数学问题，比如两个或多个方程组能否具有同解这样的问题，为科学工作者提供了巨大的挑战和困难。
解决这个问题十分关键，因为从科学和技术到计算机程序，几乎所有工作者都有时必须假设有一个强有力的解决方案存在。
为此，研究者们利用这一概念来确定两个方程组是否可以同解。
共解的充分必要条件是：两个方程组必须具有相同的系数矩阵，即系数矩阵的值须完全相等；其次，它们必须具有相同的常数项向量，即常数项向量的值也要完全相等。
只有当两个方程组都满足这两个要求时，它们才能具有同解。
换句话说，两个方程组具有相同的系数矩阵和常量项向量，这样一来，它们可以用一组有效的参数解释同一类问题，从而得出同一组解，使用这一理念的技术有很多应用，不仅能更好地处理问题，而且能够推广到广泛的研究领域。
正是基于此，出现了大量的算法和技术，来验证两个或多个方程组之间的同解性。
例如通过构建一个同类问题一致性检查模型，以及通过建立一个模型来比较两个方程组之间的解以及系数，我们可以判断这两个方程组是否具有相同的解，或者说具有相同的充分必要条件，这种方法极大地拓展了研究者们对方程组问题的研究范围。
总之，验证两个方程组之间共解性的充分必要条件，即具有相同的系数矩阵和常量向量，是解决大量科学和技术上的问题的关键所在，这些技术允许科研人员建立模型，以验证两个方程组问题之间的充分必要条件，并进行进一步的研究。
方程组同解的结论
方程组同解指的是两个或多个方程组有完全相同的解集。
以下是方程组同解的结论：
1. 方程组同解的充分条件是它们的增广矩阵经过一系列初等变换后可以化为行简化阶梯形矩阵，并且最后一行形如[0, 0, ..., 0 | b]，其中b 不为零。
2. 如果两个方程组同解，则它们的系数矩阵、增广矩阵和未知量个数必须完全相同。
3. 如果一个方程组存在自由未知量，则不同的自由未知量可以得到不同的解，因此该方程组与任意一个同解方程组的解集都不完全相同。
4. 如果一个方程组无解，则它与任意一个同解方程组的解集也必然不同。
5. 如果两个方程组同解，则它们所代表的线性方程组的几何意义也完全相同，即它们所表示的线性子空间相同。
总之，方程组同解的关键是它们的解集完全相同，而不是每个方程的形式。
因此，判断方程组是否同解需要比较它们的解集，而不是逐个比较方程。
线性方程组的同解变换
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 ——
下页
1 -2 01 00
43 23 12
结束
1.2 消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广 矩阵施以初等行变换的过程. 行阶梯形矩阵
—r3—-2r2
x1 -2x2+4x3 = 3
x2+2xx33
= =
3 2
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 x3 = 2
返回
3 -5 14 12
(Ab)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
—r1 —r2
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
即若c1, c2, …, cn是方程组(1)的一个解，则有：
a11c1 + a12c2 + + a1ncn = b1 a21c1 + a22c2 + + a2ncn = b2
+ + - = am1c1 + am2c2 + + amncn = bm
《线性代数》
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1.2 消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广 矩阵施以初等行变换的过程.
例1.
r1r2 —— —rr2—3-+3rr11 —r3—-2r2
《线性代数》
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
方程组的同解性
方程组的同解性
方程组的同解性
解方程组的基本思路是消元，消元的方法：代入消元法和加减消元法．通过消元把复杂的方程组转化为新的简单的方程组．这里就产生一个问题，所得的新方程组的解是原方程组的解吗？会不会多呢，又会不会少呢？如果在解方程组的过程中，原方程组的解增多或减少，都不能达到解方程组的目的．为了保证在解方程组的过程中，方程组的解保持不变，我们在这里研究一些方程组的解会不会起变化的知识，也就是同解方程组的概念及其有关知识．
(1)同解方程组：如果两个方程组的解完全相同，也就是说第一个方程组的所有解都是第二个方程组的解，而第二个方程组的所有解也都是第一个方程组的解，这样的两个方程组叫做同解方程组．
解方程组时需要逐步用同解方程组来代替原方程组．原方程组如果有解，最后的与之同解的方程组的解，就是原方程组的解．
下面介绍三个同解变形定理，作为解方程组的理论根据．
同解定理一：如果方程组里的任何一个方程用和它同解的方程来代替，那么所得的新方程组与原方程组同解．
同解定理二：如果方程组中的一个方程是一个未知数用另一个未知数的代数式来表示的等式，在这方程组里的另一个方程中把这个未知数用这个代数式代替，则所得的新方程组与原方程组同解．
同解定理三：如果把方程组里的一些方程的两边分别相加(或相减)得出一个新方程，并且把原方程组里的任意一个方程换成这个新方程，则所得的新方程组与原方程组同解．
我们重点学习了二元一次方程组的解法，它的基本思想是通过消元将方程组转化为一元一次方程求解．消元的方法重点介绍了两种方法：代入消元法和加减消元法．通过解方程应体会到方程组的解是由它的系数决定的．。
(完整版)二元一次方程组的同解错解参数等问题
二元一次方程组的同解、错解、参数等问题一． 解下列方程组:二．含参数的二元一次方程组的解法二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。
1.、同解 两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。
例：已知方程 与 有相同的解，则a 、b 的值为 。
2、错解 由方程组的错解问题，求参数的值。
例：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=22y x 试求a+b+c 的值。
方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而求出参数的值。
3、参数问题 根据方程组解的性质，求参数的值。
例：1、m 取什么整数时，方程组的解是正整数？（1） （2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3） （4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ①② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。
4、根据所给的不定方程组,求比值。
2、求适合方程组⎩⎨⎧=++=-+05430432z y x z y x 的 z y x z y x +-++ 的值。
练习：2.已知关于x y 、的方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解,即x y 、都是整数,m 是正整数,求m 的值3、已知关于x y 、的方程组2647x ay x y -=⎧⎨+=⎩有整数解,即x y 、都是整数,a 是正整数, 求a 的值.4. 已知方程组 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩;乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩,若按正确的a b 、计算,求原方程组的解.5..关于x y 、的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解,则k 的值？6. 若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222222522310x y z x y z +---的值.7、先阅读,再做题:1.一元一次方程ax b =的解由a b 、的值决定:⑴若0a ≠,则方程ax b =有唯一解b x a=; ⑵若0a b ==,方程变形为00x ⋅=,则方程ax b =有无数多个解;a 515 42x y x by +=⎧⎨-=-⎩① ②⑶若0,0a b =≠,方程变为0x b ⋅=,则方程无解.2.关于x y 、的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的讨论可以按以下规律进行: ⑴若1122a ba b ≠,则方程组有唯一解;⑵若111222a b c a b c ==,则方程组有无数多个解;⑶若111222a b c a b c ≠=,则方程组无解.请解答:已知关于x y 、的方程组()312y kx by k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩分别求出k,b 为何值时, 方程组的解为: ⑴有唯一解; ⑵有无数多个解; ⑶无解?① 例2. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 2751.有无数多解，2.无解，3.有唯一的解。
二元一次方程组的同解错解参数等问题
二元一次方程组的同解、错解、参数等问题解下列方程组：变式题仆己知二元一次方程组为二:，则x-y=（ h x+y=（）7. LZfeJx+2y+3z=54. 3x+y+2z=4712x+3y+z=31T那么代数式x+y*z的值是（）二•含参数的二元一次方程组的解法二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。
1•、同解两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。
例：已知方程5x y 3（°与x 2y 5（3）有相同的解，ax 5y 4（2）5x by 1 （4）贝U a、b的值为______ 。
2、错解由方程组的错解问题，求参数的值。
ax by 2 x 3 x 2例：解方程组时，本应解出由于看错了系数c,从而得到解试求a+b+c的值。
cx7y8 y 2 y 2 方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而求出参数的值。
3、参数问题根据方程组解的性质，求参数的值。
例：1、m取什么整数时，方程组的解是正整数？2x my 6 ①x 3y 0 ②方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。
N己知关于X"的二元一次方稈细二二姿＜的解满足二元一次方程专€=4求m的WU4、根据所给的不定方程组，求比值。
14.若3x~4丫=0,且xy* O・则2、求适合方程组2X 3y 4Z 0的X y Z的值。
3x 4y 5z 0 x y z练习：13, ^4x+5y=10,^5x+4y=8,HiJ^^=()2.已知关于x、y的方程组mX 2y 10有整数解,即x、y都是整数,m是正整数，求m的值3x 2y 03、已知关于x 、y 的方程组 4： a y 76有整数解，即x 、y 都是整数，a 是正整数，求a 的值.ax 5y 15 ① 4.已知方程组 4x by 2 ② :5乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为，若按正确的a 、b 计算，求原方程组的解y 4 y 9：的解也是二元一次方程2x 3y 6的解则k 的值?7、先阅读，再做题:1.一元一次方程ax b 的解由a 、b 的值决定：⑴若a 0,则方程ax b 有唯一解x -;a⑵若a b 0,方程变形为Ox 0,则方程ax b 有无数多个解;由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为5..关于x 、y 的二元一次方程组6.若4x 3y 6z 0,x 2y 7z 0 xyz5 2 2 2 2 0,求代数式2x x 3y y lOz ^的值-⑶若a 0,b 0,方程变为Ox b,则方程无解.2•关于x、y的方程组aiX°的解的讨论可以按以下规律进行：a2x b2y c2⑴若虫如,则方程组有唯一解；a2b2⑵若虫直纟，则方程组有无数多个解；a? b? C2⑶若虫如9,则方程组无解.a? b? C2y kx b请解答:已知关于X、y的方程组分别求出k,b为何值时,方程组的解为:y 3k 1 x 2⑴有唯一解；⑵有无数多个解；⑶无解？① 例2.选择一组a,c值使方程组5x y 7 1.有无数多解，2.无解，3.有唯一的解ax 2y c。
关于线性方程组同解的条件
（５）
与
ＢＸ ＝ ０
ｂ）
同 解 ．
定理３ 齐次线性方程组（５）和（６）同解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）一Ｒ ），这里Ｒ（Ａ）表示
矩 阵 Ａ 的 秩 ． 推 论 １ 如果 线性 方 程 组 （１）与 （２）都 有 解 ，则 （１）与 （２）同 解 的充 分 必 要 条 件 是 Ｒ（Ａ）一 Ｒ（Ｂ）
ｌ ｌ一 ，所以口 ，口。， 线性无关， 不能由口 ，口 线性表出，故推论２不成立．
４ 应 用
１．讨 论两个 含 有相 同变 元 的齐次 线性 方 程组是 否 同解 的步 骤． （ｉ）将齐次 线性 方 程组 （５）的系 数矩 阵 Ａ利 用行 初 等变 换化 为 阶梯 型矩 阵 Ａ ；
（ｉｉ）如果 Ａ 的非 零 行 的行 数等 于 ，即 （５）只有 零 解 时 ，则 将 （６）的系数 矩 阵 Ｂ利 用 行初 等 变换 化 为 阶梯 型矩 阵 Ｂ ，如果 Ｂ 的 的非零 行 的行数 等 于 ，那 么 （５）和 （６）都 只有 零 解 ，所 以 同解 ，否则 （５）和
一 （一 ２，一 ４，一 ５，Ｏ） ＋ ｋ（１，１，２，１） （是为任 意常 数 ）．
２— ４ｍ ＋ ５一 一 ５，
（ｉｉ）将 （Ｉ）的特 解 （一 ２，一 ４，一 ５，ｏ） 代 入 （ＩＩ），得 一 ４ ＋ ５一一 １１， 因此 －２，，ｚ一４，ｔ－６．此
｛一 ５一 一 ｔ＋ １，
３ 定 理 的 证 明
定理 ２的证 明 首 先证 明如果 线性 方程 组 （１）与 （２）同解 ，则它 们 的导 出组 （５）和 （６）同解 ． 事 实 上 ，设 ’，是 （１）的一 个特 解 ，则 ｔ，也 是 （２）的一 个 特解 ．现设 ｙ是 （２）的导 出组 （６）的 任 何 一个 解 ，则 由引理 ３知 ，，＋ｙ是 （２）的一个 解 ，因此 是 （１）的一 个 解．再 由 引理 ２知 ｙ一 （ ＋ ｔ，）一ｔ，是 （１）的导 出组 （５）的一 个解 ．同理 可 证 ＡＸ＝０的任 何 一个解 也是 ＢＸ＝０的一个 解 ，故 ＡＸ：Ｏ和 ＢＸ＝Ｏ同解． 下 面证 明若 （５）与 （６）同解 ，则 （１）与 （２）同解 ．
专题11方程组同解的问题
专题11 方程组同解的问题[例11.1] 已知齐次方程组同解，求a，b，c．[解法一] 设这两个方程组的系数矩阵分别为A和B，由Ax=0与Bx=0同解，知r(A)=r(B)．显然r(B)＜3，故|A|=0．于是由得到方程组(Ⅰ)的通解：k(-1，-l，1)T，其中k为任意常数．把x1=-k，x2=-k，x3=k代入方程组(Ⅱ)，得[解法二] 因为Ax=0与Bx=0同解[例11.2] 已知齐次方程组同解，求a，b，c之值并求它们的通解．[解] 设方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的系数矩阵分别是A和曰，a，b，c恒有r(A)=r(B)=2．取x2，x4为自由变量，得到(Ⅰ)的基础解系η1=(-1，1 -4，0)T，η2=(-a，0，-3a，1)T．因为(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，故η1，η2是(Ⅱ)的基础解系．代入(Ⅱ)有方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的通解均为k1(-1，1，-4，0)T+k2(2，0，6，1)T，其中k1，k2为任意常数．评注请你用[例11.1]的[解法二]再做一遍．[例11.3] 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，秩r(A)=n，证明齐次方程组ABx=0与Bx=0同解．[证明] 设α是齐次方程组Bx=0的解，则Bα=0．那么ABα=A(Bα)=A0=0，即α是方程组ABx=0的解．若α是齐次方程组ABx=0的解，则ABα=0，那么Bα是齐次方程组Ax=0的解．因为秩r(A)=n，所以Ax=0只有0解．故Bα=O．从而α是齐次方程组Bx=0的解．因此ABx=0与Bx=0同解．[例11.4] 设A是m×n矩阵，如果齐次方程组Ax=0的解全是方程b1x1+b2x2+…+b n x n=0的解，证明向量β=(b1，b2，…，b n)可由A的行向量线性表出．[证明] 因为Ax=0的解全是b1x1+b2x2+…+b n x n=0的解，所以若是矩阵A行向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组，那么也是α1，α2，…，αm，β的极大线性无关组．因此β可由线性表出，亦即β可由A的行向量线性表出．[例11.5] 证明n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是A T x=0的解全是b T x=0的解．[证明] (必要性)因为方程组Ax=b有解，设α是Ax=b的一个解，即Aα=b，即b T=(Aα)T=αT A T．若η是A T x=0的任一个解，则A Tη=0，那么b Tη=αT A Tη=αT0=0，即η是b Tη=0的解．(充分性)因为A T x=0的解全是b T x=0的解，所以A T x=0 与同解．那么即r(A)=r(A，b)，因此方程组Ax=b有解．专题12 抽象矩阵的特征值与特征向量[例12.1] 设A是3阶矩阵，其特征值是1，2，-1，那么(A+2E)2的特征值是______．[分析] 设矩阵A属于特征值λi的特征向量是αi，那么(A+2E)αi=Aαi+2αi=(λi+2)αi，(A+2E)2αi=(A+2E)(λi+2)αi=(λi+2)(A+2E)αi=(λi+2)2αi．由于αi≠0，故αi是矩阵(A+2E)2属于特征值(λi+2)2的特征向量，即矩阵(A+2E)2的特征值是9，16，1．[例12.2] 已知若矩阵A与αβT相似，那么(2A+E)*的特征值是______．[分析] 记B=αβT，由于所以矩阵曰的特征方程为|λE-B|=λ3-2λ2=λ2(λ-2)=0，即B的特征值是2，0，0．那么矩阵A的特征值是2，0，0，从而2A+E的特征值是5，1，1．因此，|2A+E|=5·1·1=5．所以，(2A+E)*的特征值是1，5，5．[例12.3] 设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足A4-3A3+3A2-2A=0．那么，矩阵A的n个特征值是______．[分析] 设λ是矩阵A的任一特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即Aα=Aα，α≠0．那么，A nα=λnα．于是有(A4-3A3+3A2-2A)α=(λ4-3λ3+3λ2-2λ)α=0．从而λ4-3λ3+3λ2-2λ=0，即λ(λ-2)(λ2-λ+1)=0．因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵A的特征值只能是2或0．又因为实对称矩阵必可相似对角化，故而r(A)=r(Λ)=r，从而矩阵A的特征值是2(r重)，0(n-r重)．[例12.4] 已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα-2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．[解法一] 由于A3+2A2α-3Aα=0，有A(A2α+2Aα-3α)=0=0(A2α+2Aα-3α)．因为α，Aα，A2α线性无关，故必有A2α+2Aα-3α≠0．所以λ=0是A 的特征值，而k1(A2α+2Aα-3α)(k1≠O)是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．类似地，由A3α+2A2α-3Aα=0，有(A-E)(A2α+3Aα)=0=0(A2α+3Aα)，(A+3E)(A2α-Aα)=0=0(A2α-Aα)．所以，λ=1是A的特征值，而k2(A2α+3Aα)(k2≠0)是属于λ=1的特征向量；λ=-3是A的特征值，而k3(A2α-Aα)(k3≠0)是属于λ=-3的特征向量．[解法二] 由A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，A3α)=(Aα，A2α，3Aα-2A2α)知矩阵B的特征值是0，1，-3，亦即A的特征值是0，1，-3．由(0E-B)x=0得基础解系β1=(-3，2，1)T；(E-B)x=0得基础解系β2=(0，3，1)T；(-3E-B)x=0得基础解系β3=(0，-1，1)T．如Bβ=λβ有(P-1AP)β=λβ，即 A(Pβ)=λPβ．所以[例12.5] 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，其中α1是齐次方程组Ax=0的解，又知Aα2=α2+2α2，Aα3=α1-3α2+2α3．(Ⅰ) 求矩阵A的特征值与特征向量；(Ⅱ) 判断A是否和对角矩阵相似并说明理由；(Ⅲ) 求秩r(A+E)．[解] (Ⅰ)据已知条件，有所以矩阵B的特征值是2，2，0，亦即矩阵A的特征值是2，2，0．对应于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-B)x=0得基础解系ξ1=(1，2，0)T．如果Bα=λα，则(P-1AP)α=λα，有A(Pα)=λ(Pα)，那么是矩阵A对应于特征值λ=2的特征向量．又Aα1=0=0α1，知α1是矩阵A对应于特征值λ=0的特征向量．从而矩阵A对应于λ1=λ2=2的特征向量是k1(α1+2α2)，k1≠0；矩阵A对应于λ3=O的特征向量是k2α1，k2≠0．(Ⅱ)因为秩r(2E-B)=2，矩阵曰对应于λ1=λ2=2只有一个线性无关的特征向量，矩阵B不和对角矩阵相似，所以A不和对角矩阵相似．(Ⅲ)因为A-B，有A+E-B+E．从而r(A+E)=r(B+E)=3．专题13 关于P-1AP=B中的矩阵P[例13.1] 已知α1是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量，α2和α3是矩阵A属于特征值λ=2的线性无关的特征向量，如果①P=(α3，-α2，2α1) ②P=(3α1，α3，α2)③P=(α2，α2-α3，α1) ④P=(α3，α1+α2，α1)那么正确的矩阵P是(A) ①，②．(B) ①，③．(C) ②，③．(D) ②，④．[分析]是矩阵A的特征值，而α1，α2，α3依次分别是α1，α2，α3的特征向量．根据特征值，特征向量的性质：1°若α，β是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则kα+lβ(kl≠0)仍是矩阵A属于特征值λ的特征向量．2°若α，β是矩阵A不同特征值的特征向量，则kα+lβ(kl≠0)就不是矩阵A的特征向量．因为④中的α1+α2不是矩阵A的特征向量，而②中矩阵P的特征向量的排序与对角矩阵Λ中特征值的排序不协调，故②、④不正确，所以应选(B)．[例13.2] 已知A是3阶实对称矩阵，若有正交矩阵P使得且α1=是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量，则P=______．[分析] 因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交．设属于λ=-3的特征向量α3=(x1，x2，x3)T，则评注注意正交矩阵的几何意义，列向量应两两正客且长度为1．以往在用正交变化实对称矩阵为对角形的问题中，总有同学忘记正交化(若特征值有重根)或单位化，在枝节问题上丢分是非常可惜的．[例13.3] 已知矩阵与对角矩阵Λ相似，求a的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP=Λ．[解] 由=(λ+1)(λ-3)2=0，得到矩阵A的特征值λ1=λ2=3，λ3=-1．由矩阵A的特征值有重根，而A与对角矩阵相似，可知λ=3必有2个线性无关的特征向量，因而秩r(3E-A)=1．于是由[例13.4] 已知矩阵试求可逆矩阵P，使P-1AP=B[分析] 因为A和B均与对角矩阵相似，可有[解] 由得到矩阵A的特征值：λ1=λ2=0，λ3=1．对应于λ1=λ2=0，解齐次线性方程组(0E-A)x=0，得基础解系：α1=(-2，1，0)T，α2=(-3，0，1)T．对应于λ3=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0，得基础解系：α3=(1，0，0)T．λ1=λ2=0，λ3=1．对应于λ1=λ2=0，解齐次线性方程组(OE-B)x=0，得基础解系：β1=(1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T．对应于λ3=1，解齐次线性方程组(E-B)x=0，得基础解系：β3=(2，1，O)T．专题14 由特征值、特征向量求矩阵中参数[例14.1] 已知有三个线性无关的特征向量，则a=______．[分析] 先求矩阵A的特征值，由知矩阵A的特征值是λ1=1，λ2=λ3=2．因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故λ=2必有两个线性无关的特征向量，那么秩r(2E-A)=1．所以a=-10．[例14.2] 已知矩阵A第一行3个元素是3，-1，-2，又α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，0)T，α3=(1，0，1)T是矩阵A的三个特征向量，则矩阵A=______．[分析] 设矩阵A的三个特征值依次为λ1，λ2，λ3，则利用第1行相乘，可知λ1=0，类似可知λ2=λ3=1，那么 A(α1，α2，α3)=(0，α2，α3)．所以[例14.3] 设，向量是矩阵A-1属于特征值λ0的特征向量，若|A|=-2，求a，b，c及λ0的值．[解] 由A-1α=λ0α两边左乘A得λ0Aα=α，即则有 a(b-6)=0．若a=0，由①、②解出c=-2，λ0=1，代入③得b=-2．若b=6，由①、③解出c=-4，λ0=-1，代入②得a=-2．评注虽α是A-1的特征向量誊但不要由A去求A-1那样会很繁琐，用恒等变形转换为A的特征向量会方便得多．[例14.4] 已知矩阵A和B相似，其中求a，b，c的值．[解] 由于矩阵A与对角矩阵B相似，知矩阵A的特征值是b，b，c．且λ=b有两个线性无关的特征向量，故秩r(bE-A)=1．矩阵A的特征多项式评注若A～B，则∑a ii=∑b ii，这是一个比较好用的必要条件．专题15 实对称矩阵的特征值[例15.1] 设A是3阶实对称矩阵，其主对角线元素都是0，并且α=(1，2，-1)T满足Aα=2α．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．[解]故(Ⅱ)由矩阵A的特征多项式评注若解方程组(2E-A)x=0求基础解系(1，1，0)T，(1，0，1)T，则因为这两个解不正交，而应当Schmidt 正交化处理，注意到已知条件的α=(1，2，-1)T与(1，0，1)T正交，选它们则计算量略小．[例15.2] 设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，-1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1=(2，3，-1)T与α2=(1，a，2a)T，A*是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A* -2E)x=0的通解．[分析] 若α是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量，则Aα=0α=0，即α是齐次方程组Ax=0的非零解，反之亦然．在已知条件是特征值、特征向量这一情况下，求齐次方程组的解应考虑λ=0的特征向量．[解] 由A的特征值是1，2，-l，可知行列式|A|=-2，那么A*的特征值是-2，-1，2．于是所以r(A* -2E)=r(A)=2．那么，(A* -2E)x=0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成．又因矩阵A属于λ=-1的特征向量就是A*属于λ=2的特征向量，亦即A* -2E属于λ=0的特征向量．由于A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交．设矩阵A属于特征值λ=-1的特征向量是α3=(x1，x2，x3)T，则有评注本题也可以通过特征值、特征向量先把矩阵A反求出来，然后再求A*，进而求方程组的通解，但那样做比较复杂，应当知道AX=0的解与特征向量之间的联系．[例15.3] 已知3阶矩阵A有三个互相正交的特征向量，证明A是对称矩阵．[证明] 设α1，α2，α3是矩阵A的相互正交的特征向量，若k1α1+k2α2+k3α3=0，用左乘得因为α1≠0，α1与α2，α3均正交，故于是有k1||α1||2=0．所以k1=0．类似可知k2=0，k3=0．即α1，α2，α3线性无关，那么矩阵A有3个线性无关的特征向量，所以矩阵A可以相似对角化．则Q是正交矩阵，并有Q-1AQ=Λ．于是 A=QΛQ-1。
两个齐次线性方程组的解集的关系的讨论
两个齐次线性方程组的解集的关系的讨论1.基本理论定理1：齐次线性方程组Ax=0的解一定是方程组BAx=0的解 。
定理2：设A 是实矩阵，则齐次线性方程组Ax=0与0=AX A T同解 。
证明：显然齐次线性方程组0=AX 的解都是0=AX A T 的解。
反过来：设ξ是0=AX A T的解，即0=ξA A T ，从而0=ξξA A T T 既0)()(=ξξA A T ，ξA 是列向量，令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 21ξ， 那么0)()(22221=+++=n T a a a A A ξξ，每个元素都是实数，所以021====n a a a ，即0=ξA定理3：设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)推论：设A 是实矩阵，则A 与A A T 的秩相等 。
定理4：齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件是A, B 的行向量组等价. . 证明：必要性: 设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解, Ax=0与0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡X B A 同解 事实上显然0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡X B A 的解都是Ax=0的解,反过来,由于Ax=0的解也满足Bx=0,从而也是 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡X B A 的解, 所以)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A r A r ,B 行向量可由A 的行向量(的极大无关组)线性表示, 反之,A 行向量可由B 的行向量线性表示,所以,A, B 的行向量组等价.充分性: 若A, B 的行向量组等价,则B 的行向量可以写成A 的行向量的线性组合, 所以方程组Bx=0中的每一个方程,都是Ax=0中的方程的线性组合,所以,方程组Ax=0的解都是Bx=0的解。
反过来方程组Bx=0的解都是Ax=0的解,所以：方程组Ax=0与Bx=0同解２.应用举例例１：设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.分析：本题也可找反例用排除法进行分析，但① n-秩(A)=n - 秩(B), ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.解： 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).评论：若Ax=0的解均是Bx=0的解，Ax=0的解集是Bx=0的解集的子集则，n －秩(A)≤n －秩(B)，秩(A)≥秩(B)，①成立．例２：已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.分析：方程组（ii ）显然有无穷多解，于是方程组（i ）也有无穷多解，从而可确定a ，这样先求出（i ）的通解，再代入方程组（ii ）确定b,c 即可.解：方程组（ii ）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii ）有无穷多解.因为方程组（i ）与（ii ）同解，所以方程组（i ）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i ）的系数矩阵施以初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20011010111532321a a ， 从而a=2. 此时，方程组（i ）的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110101211532321， 故T )1,1,1(--是方程组（i ）的一个基础解系.将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（ii ）可得2,1==c b 或.1,0==c b当2,1==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡110101312211， 显然此时方程组（i ）与（ii ）同解.当1,0==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡000101202101， 显然此时方程组（i ）与（ii ）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i ）与（ii ）同解.【评注】 本题求a 也可利用行列式0211532321=+-=a a，得a=2.本题也可这样考虑：方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=++=++=++=++0)1(2,0,0,0532,0323221321321321321x c x b x cx bx x ax x x x x x x x x 必存在无穷多解，化系数矩阵为阶梯形，可确定a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2，再对两组数据进行讨论即可.例３：设4元齐次方程组(Ⅰ)⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ,又知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为 )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+k k(1)求齐次方程组(Ⅰ)的基础解系(2)线性方程组(Ⅰ)和 (Ⅱ)是否有非零公共解?若有,求出所有非零公共解,若没有,请说明理由.(1)不难求的齐次方程组(Ⅰ)的基础解系为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011,0100 (2)设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10110100122101104321k k k k 解方程组的，,,21243k k k k k -===所有非零公共解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112k例5已知线性方程组(Ⅰ)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++00022,221122,222212122,1212111n n n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的一个基础解系是 T n b b b ),,,(2,11211 ，T n b b b ),,,(2,22221 ，…,T n n n n b b b ),,,(2,21 试写出线性方程组(Ⅱ)的通解(Ⅱ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++00022,221122,222212122,1212111n n n n n n n n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b 解：两个齐次方程组都含有n 2个未知量，T n b b b ),,,(2,11211 ，Tn b b b ),,,(2,22221 ， …,T n n n n b b b ),,,(2,21 是方程组(Ⅰ)的基础解系，所以,),,,(2,11211T n a a a T n a a a ),,,(2,22221 …T n n n n a a a ),,,(2,21 线性无关，且是方程组(Ⅱ)的解．T n b b b ),,,(2,11211 ，T n b b b ),,,(2,22221 ，…,T n n n n b b b ),,,(2,21 线性无关，方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩是n ，所以,),,,(2,11211T n a a a T n a a a ),,,(2,22221 …T n n n n a a a ),,,(2,21 是方程组(Ⅱ)的基础解系． 方程组(Ⅱ)的通解为T n a a a k X ),,,(2,112111 =++T n a a a k ),,,(2,222212 …T n n n n n a a a k ),,,(2,21 +。
方程组同解的定义
方程组同解的定义
嘿，大家好啊！今天咱来说说方程组同解是啥意思。
有一回啊，我和几个同学一起做数学作业。
碰到一道题，是关于方程组的。
我们就开始讨论啥是方程组同解。
方程组同解呢，就是两个方程组解出来的答案是一样的。
比如说有两个方程组，一个是2x + 3y = 10，4x - y = 5；另一个是6x + 9y = 30，12x - 3y = 15。
看着不一样吧？但其实它们是同解的。
我们就开始解这两个方程组。
第一个方程组，我们先把第二个方程变形，变成y = 4x - 5，然后把它代入第一个方程，算出x 和y 的值。
接着解第二个方程组，也用同样的方法。
最后发现，两个方程组解出来的x 和y 是一样的。
这就像我们找宝藏，两个不同的地图可能看起来不一样，但最后都能找到同一个宝藏，那这两个地图就是同解的。
所以啊，以后碰到方程组，要是想知道它们是不是同解，就可以解出来看看答案一不一样。
好了，今天就聊到这儿吧。
希望大家都能
搞清楚方程组同解的概念。
同解方程组的定义
同解方程组的定义
嘿，朋友们！今天咱来聊聊同解方程组呀！这玩意儿就像是一群小伙伴一起解决一个大难题。
你看啊，方程组就像是一个迷宫，里面有好多条路呢。
而这些路有的能走通，有的走不通。
同解方程组呢，就是说有两个或多个方程组，它们就像好兄弟一样，能找到的通往答案的路是一样的。
比如说，有一个方程组是小明在找宝藏，另一个方程组是小红也在找同样的宝藏。
虽然他们走的路可能不太一样，但最后都能找到那个宝贝呀！这就是同解方程组啦。
咱再打个比方，同解方程组就像是不同的地图，但都能指引你到同一个美丽的地方去。
你在这个地图上能找到路，在另一个地图上也能，而且最后都能到达那个让你开心的终点。
这多有意思呀！想想看，如果我们在数学的世界里遇到了一个复杂的方程组，正头疼呢，突然发现还有另一个和它同解的方程组，那不就像找到了救星一样吗？一下子感觉有了帮手，不再孤单啦！
那怎么判断两个方程组是不是同解呢？这就需要我们仔细去观察、去分析啦。
就像侦探找线索一样，要一点点地挖掘出它们的共同点。
有时候可能需要一些巧妙的方法，一些特殊的技巧，但只要我们有耐心，总能找到答案的。
要是我们能熟练掌握同解方程组，那在数学的海洋里就能游得更自在啦！我们可以轻松地解决各种难题，就像鱼儿在水中欢快地游来游去。
而且哦，同解方程组可不是只在数学课本里有用呢！在我们的生活中也有很多类似的情况呀。
比如说我们要完成一个任务，可能有不同的方法，但最后都能达到同样的效果。
这不就是现实版的同解方程组嘛！
所以啊，大家可别小瞧了同解方程组，它可是我们数学世界里的一个小宝藏呢！让我们一起好好去探索它，发现它的奇妙之处吧！。
课题：二元一次方程组的同解、错解、参数等问题
v1.0 可编写可改正课题：二元一次方程组的同解、错解、参数等问题一． 解以下方程组（代入消元法和加减消元法） :x 4 y14 x y 1 3 1 y 2xy⑴y ⑵ 22x162 3二．含参数的二元一次方程组的解法二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和比赛的常有的题目，因此这一部分知识特别重要。
1. 、同解两个二元一次方程组有同样的解，求参数值。
5x y 3（ 1） x 2 y 5 （3）例：已知方程 ax5y 4（ 2） 与5x by 1 （4）有同样的解，则 a 、 b 的值为。
2、错解由方程组的错解问题，求参数的值。
例：解方程组ax by 2 x 3 c, 进而获得解x 2 cx7 y 8时，本应解出因为看错了系数 y试求 a+b+c 的值。
y22方法：是正确的解代入任何一个方程中间都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去进而，求出参数的值。
3、参数依据方程组解的性质，求参数的值。
例： m取什么整数时，方程组的解是正整数2x my 6 ①x 3y 0②方法：是把参数看作已知数求出方程的解，再依据已知条件求出参数的值。
4、依据所给的不定方程组, 求比值。
例：求合适方程组2x3y4z0求x y z的值。
3x 4 y5z0x y z 把 z 看作已知数。
1.解以下方程组:解方程组4x 3y31 3x 2 y1522.已知对于 x、 y 的方程组mx 2 y 10有整数解 , 即 x、y 都是整数 , m是正整数 , 求m的值3x 2 y 02x ay63、已知对于 x、y 的方程组有整数解,即x、y都是整数,a是正整数,求 a 的值.4. 已知方程组ax5 y15①因为甲看错了方程①中的 a 获得方程组的解为4x by2②x3;乙看错了方程②中的 b 获得方程组的解为x5,若按正确的 a、b 计算 , 求原方程组y1y4的解 .5.. 对于 x、 y 的二元一次方程组x y 5k的解也是二元一次方程 2x 3y 6 的解,则k的值x y9k6. 若 4x 3y 6z0, x 2 y 7z 0 xyz 0 , 求代数式5x22y2z2的值 .2x2 3 y210z27、先阅读 , 再做题 :1.一元一次方程 ax b 的解由 a、b 的值决定 :⑴若 a0 , 则方程 ax b 有独一解x b ;a⑵若 a b0 , 方程变形为 0 x0 , 则方程 ax b 有无数多个解 ;⑶若 a0, b0, 方程变成 0 x b , 则方程无解 .2. 对于 x、y 的方程组a1x b1 y c1的解的议论能够按以下规律进行 :a2 x b2 y c2⑴若a1b1 , 则方程组有独一解 ; a2b2⑵若a1b1c1, 则方程组有无数多个解 ; a2b2c2⑶若a1b1c1, 则方程组无解 . a2b2c2请解答:已知对于、的方程组y kx b分别求出 k,b 为什么值时,方程组的解为: x y y3k 1 x2⑴有独一解 ;⑵有无数多个解 ;⑶无解v1.0 可编写可改正①例 2.5x y7有无数多解， 2. 无解， 3. 有独一选择一组 a,c 值使方程组2 y1.ax c的解。