一元二次函数性质
关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系
1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。
当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。
一元二次函数
一元二次函数一、一元二次函数的定义形如y=ax 2+bx+c(其中a ≠0)的函数称之为一元二次函数。
一般情况下，我们会把一元二次函数改写成：224()24b ac b y a x a a-=++写成这样的目的主要是：〔1〕可以看出对称轴方程及顶点坐标；抛物线的对称轴的方程为：x= -2b a 顶点坐标为〔-2b a ，244ac b a-)〔2〕可以得到最大、小值：当a ＞0，y 取最小值，y= 244ac b a-当a<0，y 取最大值，y= 244ac b a-由一元二次函数的对称轴，从而我们可以知道一元二次函数的单调性：当a>0时，〔-∞，-2b a ]为单调减区间；[-2b a ，+∞〕为单调增区间。
当a<0时，[-2b a ，+∞〕为单调减区间；〔-∞，-2ba]为单调增区间〔3〕解答平移问题方便。
平移的法那么遵循两条：左加右减，上加下减。
题型一：平移图像，求新的解析式 【例题1】：y=x 2-2x+3向左移动一个单位，向上移动两个单位，移动后的解析式是什么？ 解答：y=(x-1)2+2根据“左加右减〞的原那么，向左移动一个单位，那么有：y=(x-1+1)2+2 根据“上加下减〞的原那么，向上移动两个单位，那么有y=(x-1+1)2+2+2 所以，最终的结果是：y=x 2+4题型二：三点求函数的解析式——方法：待定系数法【例题2】一元二次方程y=ax 2+bx+c 经过点A(1，3),B(2，4),C(3，11),求函数的解析式。
解答：根据题意有：a b c 34a 2b c 49a 3b c 11++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解上面的方程组，得：388a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以：y=3x 2-8x+8【例题3】函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为A(-3，0),B(1，0),并且经过点〔4,21〕，求函数的解析式。
一般情况下，如果告诉你一元二次方程的两个解x 1，x 2；这个时候我们设：y=a(x-x 1)(x-x 2)最为方便。
一元二次函数的图像性质
一、新授内容1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=， 性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --，对称轴是直线a bx 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴； 但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
例题精解一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x x y 的图象教师姓名 学生姓名 上课时间 年级 初三学科数学课时计划教学内容 一元二次函数的图像性质 教学重难点 函数图像及其性质 教学目标熟练掌握二次函数的图像性质审核校区主任： 时间：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数性质【例3】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【例4】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。
2021年一元二次函数的图像和性质
一元二次函数的图像和性质4一元二次函数的图象和性质复习目标1．掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2．掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题3．会求二次函数在指定区间上的最大（小）值4．掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
知识回顾1．函数yax2bxc(a0)叫做一元二次函数。
一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数yax2bxc(a0)都可把它的解析式配方为顶点式b2a4acb4a2ya(x)2，性质如下（1）图象的顶点坐标为(（2）最大（小）值①当a0，函数图象开口向上，y有最小值，ymin4acb4a4acb4ab2a2b2a,4acb4a2)，对称轴是直线xb2a。
2，无最大值。
②当a0，函数图象开口向下，y有最大值，ymax（3）当a0，函数在区间(,当a0，函数在区间上(b2ab2a)上是减函数，在(，无最小值。
,)上是增函数。
b2a)上是增函数。
,)是减函数，在(,【说明】我们研究二次函数的性质常用的方法有两种配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
例题精解一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数y【解】y12212x4x6的图象12(x8x12)22x4x12[(x4)22-4]12(x4)22-2以x4为中间值，取x的一些值，列表如下x-7-6-5-4-3-2-1y52032-232052【例2】求作函数yx24x3的图象。
【解】yx24x3(x24x3)[(x2)27][(x2)27先画出图角在对称轴x2的右边部分，列表xy-2-176051423【点评】画二次函数图象步骤(1)配方；(2)列表；(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数性质【例3】求函数yx26x9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
一元二次函数的图像性质
【例 3】求函数 y x 2 6x 9 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】 y x2 6x 2 x2 6x 9 7 (x 3)2 7
由配方结果可知:顶点坐标为 (3， 7) ,对称轴为 x 3 ；
1 0
∴当 x 3 时, y min 7
函数在区间 (， 3] 上是减函数,在区间[3， ) 上是增函数。
一元二次函数的图像性质
———————————————————————————————— 作者: ———————————————————————————————— 日期:
一、新授内容
1．函数 y ax2 bx c(a 0) 叫做一元二次函数。
2． 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3 ． 任 何 一 个 二 次 函 数 y ax2 bx c(a 0) 都 可 把 它 的 解 析 式 配 方 为 顶 点 式 ：
【例 4】求函数 y 5x 2 3x 1图象的顶点坐标、对称轴、最值。
b 3 3 , 4ac b2 4 (5) 1 32 29
2a 2 (5) 10 4a
4 (5)
20
∴函数图象的顶点坐标为 ( 3 , 29) ,对称轴为 x 29
10 20
20
5 0
∴当 x
3 时,函数取得最大值 10
6
4C
2
D
-5
AO
B
5
10
-2
-4
-6
-8
二、课堂训练
基础练习
一、选择题：
1．（2００3·大连)抛物线 y=(x－２)2＋3 的对称轴是(
).
Ａ.直线 x=－3
B.直线 x=3
C．直线ｘ=-2
一元二次函数及应用
一元二次函数及应用
思考：小张家在农村，他建一个矩形养猪 场，现已备足可以砌20m长砖墙的材料， 如何设计，才能使得猪场的面积最大呢？ 这些实际生活中的问题就需要数学 知识来加以解决，在解决此问题前我们 首先学习一元二次函数的性质。 。
一、一元二次函数的性质
给定a、b、c⋲R,且a≠0,把函数 y=ax²+bx+c叫做一元二次函数，它的 定义域是实数集R，图像是一条抛物 线。 一元二次函数y=ax²+bx+c具有如下的性 质： b （1）图像具有对称轴x= − 2a b ，4ac−b2 （2）图像的顶点坐标（− ） 2a 4a
下面我们来帮助小张解决猪圈的设计 方案. 设矩形的长为xm，则宽为0.5（20-2x） (m),得矩形的面积为 S=x（10-x）=-x²+10x （0<x<10） 因为a=-1<0，因此函数有最大值。将 a=-1,b=10，c=0代入公式，得到矩 形的边长等于5m的正方形时，其面 积最大达到25㎡.
课堂巩固
解下列一元二次不等式： 解下列一元二次不等式：
（1）x²-x-6≥0； （2）-x²+4x-4>0; （3）x²+6x-7<0; （4）x²-x-12≥0.
三、区间
设a、b是两个实数，而且a<b: （1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭 闭 区间，表示为[a、b]； 区间 （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区 开区 间，表示为（a、b）； （3）满足不等式a<x≤b的实数x的集合叫做半 半 开半闭区间，表示为（a、b]； 开半闭区间 （4）满足不等式a≤x<b的实数x的集合叫做半 半 闭半开区间，表示为[a、b)。 闭半开区间 这里的实数a与b叫做相应区间的端点 相应区间的端点。 相应区间的端点
第6讲 一元二次函数的图象和性质
第六讲二次函数的图象和性质【趣题引路】例生产某商品xt需费用1000+5x+110x2元,出售该商品xt时的价格是每吨a+xb元,其中a,b是常数,如果生产出的商品都能卖掉,并且当产量是150t时利润最大,•这时的价格是每吨40元,求a,b的值.解析设卖出xt的利润是y元,则y=x(a+xb)-(1000+5x+110x2)=(1b-110)x2+(a-5)x-1000.又由题设知,当x=150时,y最大,因此5150,112()1015040.abab-⎧-=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩即30035,15040. abab⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得 a=45,b=-30.当b=-30时, 1b-110<0,∴函数有最大值.∴a=45,b=-30为所求.点评这是一个关于商品的利润问题,解决此类问题的关键是函数建模,使之转变为函数问题,利用一元二次函数的性质求解.二次函数的研究通常和一元二次方程、一元二次不等式等联系起来.【知识延伸】例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是(8,0),顶点坐标是(6,-12),求这个二次函数的解析式.解析 方法一:由题意可列方程组 22880,6,212.4a b c b a b c a⎧⎪⨯+⨯+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 解得a=3,b=-3b,c=96.故函数解析式为y=3x 2-36x+96;方法二:设所求解析式为y=a(x-6)2-12.又图象过(8,0),∴a(8-6)2-12=0,∴a=3,故函数解析式为y=3x 2-36x+96;方法三:函数图象关于直线x=6对称,因此图象一定通过点(8,0)和点(4,0),即4,8是方程ax 2+bx+c=0的两个根,因而二次函数可以写成y=a(x-4)(x-8).又函数图象过(6,-12),∴a(6-4)(6-8)=-12.∴a=3.故函数解析式为y=3x 2-36x+96.点评在求二次函数解析式时,若已知抛物线上任意三点,常设一般式:y=a x 2+bx+c(•a ≠0);若已知顶点或对称轴,常设顶点式:y=a(x+m)2+n,其中(-m,n)为顶点;若已知抛物线与x 轴交点的坐标时,常设交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0).例2 已知抛物线y=x 2+px+q 上有一点M(x 0,y 0)位于x 轴下方,(1)求证:已知抛物线与x 轴有两个交点A(x 1,0),B(x 2,0),其中x 1<x 2;(2)求证:x 1<x 0<x 2;(3)当点M•为(1,-1999)时,求整数x 1,x 2.解析 (1)由已知,得022200000,4().24y p p q y x px q x <⎧⎪⎨-=++=+-⎪⎩ △=p 2-4q=4(x 0+2p )2-4y 0>0,即△>0, ∴方程x 2+px+q=0有两个实根,且不相等.不妨设x 1<x 2,抛物线与x 轴有两个交点A(x 1,0),B(x 2,0);(2)由韦达定理1212,.x x p x x q +=-⎧⎨=⎩又y0=x02+px0+q<0,即x02-(x1+x2)x0+x1x2<0,(x0-x1)(x0-x2)<0,即x1<x0<x2;(3)当点M为(1,-1999)时有x0=1,y0=-1999,则由x1,x2为整数,(x1-1)(x2-1)也为整数,且x1-1>x2-1,得1211999, 11,x x -=⎧⎨-=-⎩或1211,11999.xx-=⎧⎨-=-⎩解得122000, 0,x x =⎧⎨=⎩或122,1998.xx=⎧⎨=-⎩点评此题“△”的求值较新颖,值得借鉴;第(3)•问利用二次三项式的因式分解过渡自然.【好题妙解】佳题新题品味例设抛物线y=a x2+bx+c开口向下,与x轴交于-1与3处,试判断下列关系式哪些是正确的?(1)abc>0;(2)a+b+c=0;(3)a=-12b;(4)3b=2c;(5)a-b+c>0;(6)5a+b+c>0;(7)•c>2b;(8)9a+3b+c=0.解析由开口向下知,a<0.由于抛物线与x轴交于x1=-1与x2=3处.∴y=a(x-x1)(x-x2)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.即b=-2a,c=-3a.由此可知abc=6a3<0表明(1)错;a+b+c=-4a>0表示(2)错;b=-2a表明(3)对;3b=-6a,•2c=•-6a表示(4)对;a-b+c=0表明(5)错;5a+b+c=0表明(6)错;c-2b=a<0,(7)错;9a+3b+•c=0,(8)对.中考真题欣赏例(2003年北京市中考题)已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴一个交点为A(-1,0).(1)求抛物线与x轴另一个交点B的坐标;(2)D是抛物线与y轴交点,C是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线解析式;(3)E是第二象限内到x轴,y轴的距离之比为5:2的点,如果点E在(2)•中的抛物线上,且它与点A在抛物线对称轴同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,•使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)由已知,-1为方程ax2+4ax+t=0的一根,设另一根为x2,则-1+x2=-4aa=-4∴x2=-3,即抛物线与x轴另一交点为(-3,0);(2)由(1)知(-1)·x2=t a∴ t=3a.则抛物线解析式为y=ax2+4ax+3a,∴D为(0,3a).又AB∥CD ∴C为(-4,3a),∴│AB│=2,│CD│=4,梯形高为│3a│.∴9=242.3│a│,求得a=±1.故所求抛物线为y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3;(3)设E(x0,y0)则y0= -52x0(x0<0).(i)若a=-1,则y0=-x02-4x0-3即-52x0=-x02-4x0-3,而此方程无实根;(ii)若a=1,则y0=x02+4x0+3,解方程-52x0=x02+4x0+3,得x01=-12,x02=-6(舍去).∴E(-12,54)∵AE长度一定,只须PA+AE最小.又点A关于x=-2的对称点为B(-3,0),∴PA+PE=PB+PE≥BE.∴P为BE与x=-2的交点时满足题设要求.不难求得BE解析式为y=12x+32,令x=-2,得y=1 2 ,∴P(-2, 1 2 ).即存在这样的点P(-2, 12)满足(3)要求.点评本题难点在(3),关键是将△APE周长最小的条件转化为B、P、E三点共线,•从而求点P.竞赛样题展示例1 (1997年陕西数学竞赛题)若二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)•的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),则S=a+b+c 的值的变化范围是( )A.0<S<1B.0<S<2C.1<S<2D.-1<S<1解析 将(0,1),(-1,0)代入y=ax 2+bx+c 得1,0.c a b c =⎧⎨-+=⎩即1, 1.c a b =⎧⎨=-⎩ ∴S=a+b+c=2b.∵二次函数y=ax 2+bx+c 顶点在第一象限,∴-2b a>0,又a=b-1, ∴-2(1)b b ->0,即2b(b -1)<0. ∴0<b<1,即0<S<2.选B.点评本题只给出两点,不能求出a 、b 、c 具体的值，只能求出a 、b 、c 之间的关系，•据此再求Ｓ的取值范围.例2 (1993年江苏初中数学竞赛试题)已知mn 是两位数,二次函数y=x 2+mx+n •的图象与x 轴交于不同的两点,这两点间距离不超过2.(1)求证:0<m 2-4n≤4;(2)求出所有这样的两位数mn .解析 (1)设y=x 2+mx+n 的图象与x 轴的两交点为A(x 1,0),B(x 2,0),x 1•≠x 2,•则x 1,x 2为方程x 2+mx+n=0的两个不同实根.∴x 1+x 2=-m,x 1·x 2=n.又0<│x 1-x 2│≤2 即0<(x 1+x 2)2-4x 1x 2≤4,也即0<m 2-4n≤4;(2)∵m,n 为整数(m≠0),∴m 2-4n=1,2,3,4,而m 2被4除余0或1,故m 2-4n 被4除也余0或1,从而只能有m 2-•4n=1或m 2-4n=4.解这两个不定方程,得:1,0,m n =⎧⎨=⎩ 3,2,m n =⎧⎨=⎩ 5,6,m n =⎧⎨=⎩ 2,0,m n =⎧⎨=⎩ 4,3,m n =⎧⎨=⎩ 6,8.m n =⎧⎨=⎩ ∴所求两位数为10,32,56,20,43,68.点评一元二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴两交点的横坐标即是方程ax 2+bx+c=0的两根,利用韦达定理即可求解.全能训练A 卷1.已知函数y=(m 2+m)x 2+mx+4,(1)m 是何值时,y 是x 的一次函数?(2)m •是何值时,y 是x 的二次函数?2.已知抛物线y=23x 2与直线y=x+k 有交点,求k 的取值范围.3.已知二次函数的图象经过点(1,0)和(-1,8),且与抛物线y=2x2•的开口方向及形状相同.(1)求此二次函数解析式;(2)求其顶点坐标和与x轴交点坐标;(3)若将此抛物线绕顶点旋转180°后,求旋转后的抛物线的解析式.4.二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移两个单位,再向上平移三个单位,•得到二次函数y=x2-2x+1,求b,c的值.5.已知抛物线y=x2+2x+(m-2),问:当m取何值时,抛物线与y轴的交点在x•轴的上方,在x轴的下方,抛物线过原点?6. 如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,则下列关系成立的是( )A.abc>0B.a+b+c<0C.a2<ab-acD.以上均不对A卷答案1.(1)m=-1时,y是x的一次函数;(2)m≠0,且m≠1时,y是x的二次函数.2.k≥-3 83.(1)y=2x2-4x+2. (2)(1,0),(1,0) (3)y=-2x2+4x-24.b=-6,c=6.5.在y=x2+2x+(m-2)中,令x=0,则y=m-2.当m-2>0,即m>2时,抛物线与y轴交于x轴上方;当m-2<0,即m<2时,抛物线与y轴交于x轴下方;当m-2=0,即m=2时,抛物线过原点.6.DB 卷1.设一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为98,99,在二次函数y=x 2+bx+c 中,若x 取0,1,2,…,100,曲 则y 的值能被6整除的个数是( )A.33B.34C.65D.672.二次函数y=a 2x 2-4x+1有最小值-1,则a 的值是( ).A. B.D.±2 3.如图,已知抛物线y=12x 2+(k+12)x+(k+1)(k 为常数),与x 轴交于A(x 1,0),•B(x 2,0)(x 1<0<x 2)两点,与y 轴交于C 点,且满足(OA+OB)2=OC 2+16.(1)求此抛物线解析式;(2)设M 、N 是抛物线在x 轴上方的两点,且与x 轴的距离均为1,点P •是抛物线顶点,问:过M 、N 、C 三点的圆与直线CP 是否只有一个公共点C?试证明你的结论.PN M y x O CB A4.已知抛物线y=13x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),与y轴交于点E(0,-1).(1)求此二次函数的解析式;(2)若点Q(m,n)在此抛物线上,且-3≤m≤3,求n的取值范围;(3)设点B是此抛物线与x轴的另一个交点,P是抛物线上异于点B的一个动点,•连结BP交y轴于点N(点N在点E的上方),若△AOE∽△BON,求点P的坐标.5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是C,它与x轴有两个不相同的交点A和B.(1)若点C的横坐标是3,A,B两点的距离是8,求方程ax2-(6a-b)x+9a-3b+c=0的根;(2)若点C到x轴的距离等于A、B两点距离的k倍,求证:b2-4ac=16k2.B卷答案1.D 由已知可得b=-197,c=98×99,则y=x2-197x+98×99=x(x+1)-198x+98×99.要使6|y,则6|x(x+1).又2|x(x+1),只须3|x(x+1),则3|x或3|x+1.当3|x时，共有[1013]+1=34个，当3|x+1时，共有[1003]=33个。
一元二次函数知识点汇总
一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab 时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
一元二次函数
其中，a是二次项系数，b是一次项系数， c是常数项。
知识学习 观察一元二次函数的图像性质
写出二次函数
的图象.
x
…
y
…
y x2 2x 3的顶点坐标,对称轴,并画出它
-2 -1 0 1 2 3 4 … 7 0 -3 -4 -3 0 7 …
x2 2x 3 0
N
当x为何时,y=0?
M
x=-1, x=3
一元二次函数
一元二次函数
一元二次函数
检：5分钟
导入：5分钟
一元二次函数
初中接触过的一元二次函数
例如：y=2x2-3x+1
例如：y=-x2-x+2
例如：y=x2的图像
知识学习
一元二次函数
一元二次函数的概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数， a≠0),那么y叫做x 的一元二次函数。
二次函数的值域和最值问题
已知函数f(x)=x2+2ax+1，在区间[-1，2]上的最大值 为4，求a的值
x2ba时y， max4a4acb2
△＜０时抛物线于x轴没有交点
第二章 函数——函数的在性质对称轴左侧，y随x的增大而减小
y
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
y
在例对如称 ：轴y=-左x2侧-x+，2y随x的增在大对而减称小轴右侧，y随x的增大而增大
b求＝函０数时的对单称调轴区是间y轴和最在值。对称轴左侧，y随x的增大而增大
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有m 两i个n交点
a、b异号时对称轴在y轴右侧
x2ba时y， min4a4acb2
一元二次函数知识点汇总
一元二次函数知识点汇总系统分析一元二次函数知识点统计分析1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的一元二次函数.2.二次函数yax2的性质(1)抛物线yax2（a0）的顶点是原点，对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系：时抛物线正方形开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数yax2bxc的图像是坐标轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.0①当a4.二次函数yax2222bxc用配方法可化为：yaxhk的形式，其中hb，k4acb.2a4a5.抛物线yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a外环决定抛物线的开口轴线：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a越小，抛物线的开口越大，a越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y轴(或重合)的直线，记作xh.特别地，y轴记作直线x0.③定点是抛物线的最值点[最大值(a0时)或最小值(a0时)]，坐标为(h,k)。
6.求抛物线的顶点、直角的方法2bb4acbb4acb2(1)公式法：yaxbxcax，∴顶点是.（，），对称轴是直线x2a2a4a2a4a22(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是xh.2(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等几个的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，抛物线与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，一维再用公式法或对称性进行验证，才能分清万无一失★7.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用(1)a大小不一同意开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.(2)b和a共同决定圆盘对称轴的位置位置.由于抛物线yax2bxc的圆心是直线x①b0时，对称轴为y轴；②ba2b2a,故：0时,对称轴在y轴左侧；③ba0时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.2当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点(0，c)：①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负等速.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如双曲线的对称轴在y轴右侧，则ba0.8.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种型式：①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.人脸特征如下：线性解析式开口方向对称轴顶点坐标2x0(y轴)yax(0,0)22222yax2k2当a0时开口向上a0时k当开口向下x0(y轴)xhxhxb2a(0,k)(h,0)(h,k)2yaxhyaxh2yax2bxc4acb，(2a4ab)9.用待定系数法求二次函数美国式的解析式(1)一般式：yax2bxc.已知图像上八五点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：yaxhk.已知图像的正四面体或对称轴，通常选择顶点式.2(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah(3)抛物线与x轴的交点ax22bhc).二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应线性方程组bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点根可以由近似的一元二次方程的情况的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.而根的客观存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
一元二次函数知识点汇总
（2）配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为（1） a 决定开口方向及开口大小，这与2y ax 中的a 完全一样.⑵b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax 2 bx c 的对称轴是直线x-,故:2a0时，对称轴为y 轴；②卫a时，对称轴在y 轴左侧；③ba时，对称轴在y 轴右侧.（3） c 的大小决定抛物线y ax 2 bx c 与y 轴交点的位置2y ax h k 的形式，得到顶点为（h , k ），对称轴是x ⑶运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7.抛物线y ax 2 bx c 中，a, b, c 的作用1.定义：一般地，如果 y ax 2 bx c （a,b,c 是常数，a 0），那么y 叫做x 的一元二次函数2.二次函数y ax 2的性质（1）抛物线y ax 2（ a 0）的顶点是原点，对称轴是 y 轴.⑵函数y ax 2的图像与a 的符号关系:①当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；②当a 0时 抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数 y ax 2 bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线2 2 4.二次函数y ax bx c 用配方法可化成：y ax h k 的形式，其中h2a 4 ac5.抛物线y ax 2 bx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点 ①a 决定抛物线的开口方向: 当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于 y 轴（或重合）的直线，记作x h .特别地，y 轴记作直线x 0. ③定点是抛物线的最值点［最大值（a 0时）或最小值（a 0时）］，坐标为（h ,k ）。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 2(1)公式法：y ax 2bx c a x — 2a4ac b 2 4a顶点是匸，心），对称轴是直线 2a 4ab 2a当x 0时，y c，二抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0 , c）:①c 0，抛物线经过原点；②c°,与y轴交于正半轴；③ c°,与y轴交于负半轴以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b° .a8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2 2 2 2 2① y ax :② y ax k :③ y a x h :④ y a x h k :⑤ y ax bxc.其中①左右移动可得到③，再上下移动可得到④。
专题08 一元二次函数的图像和性质(解析版)
专题08 一元二次函数的图像和性质一、知识点精讲【问题1】函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝12x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．先列表：从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝12x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．【问题2】函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x 2＋b x a )＋c ＝a(x 2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b ac b a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系表二、典例精析【典例1】求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．【答案】见解析【解析】∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C(，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．【说明】：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．【典例2】某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？【答案】见解析【分析】：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．【解析】由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋b 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z ＝(－x+200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．【典例3】把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值． 【答案】见解析 【解析】解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x+2b )224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．【说明】：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．【典例4】已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．【答案】见解析【分析】本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论。
一元二次函数知识点(详细)
一元二次函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数cbx axy ++=2用配方法可化成：()kh x a y +-=2的形式，其中abac k ab h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab时,对称轴在y轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
一元二次函数的图像及性质
§ 3.4一元二次函数的图象和性质1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x xx 【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
一元二次函数的性质
一元二次函数的性质1.定义域和值域：- 当 $a > 0$ 时，对于任意 $x$，函数值 $f(x)$ 最小值为$f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^2}{4a}$。
因此最小值就是定义域的最小值，而值域为 $[c - \frac{b^2}{4a}, +\infty]$。
- 当 $a < 0$ 时，函数值 $f(x)$ 最大值为 $f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^2}{4a}$。
因此最大值就是定义域的最大值，而值域为 $(-\infty, c - \frac{b^2}{4a}]$。
- 当 $a = 0$ 时，函数不再是一元二次函数，而是线性函数 $f(x) = bx + c$。
其定义域和值域与一元一次函数相同。
2.对称轴和顶点：一元二次函数的图像是一个抛物线，其对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。
对称轴将图像分为两部分，两部分关于对称轴对称。
而对称轴上的点称为顶点，坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$。
顶点是抛物线的最低点或最高点。
当$a > 0$ 时，顶点为最低点；当 $a < 0$ 时，顶点为最高点。
3.开口和方向：-当$a>0$时，抛物线开口向上，形如“U”字型。
此时，函数的图像与对称轴以下的部分位于定义域的最小值处。
-当$a<0$时，抛物线开口向下，形如“∩”字型。
此时，函数的图像与对称轴以上的部分位于定义域的最大值处。
4.零点和因式分解：一元二次函数的零点是函数图像与 $x$ 轴相交的点，即满足 $f(x) = 0$ 的 $x$ 的值。
可以通过求解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 来求得零点。
而对于一元二次函数，也可以使用因式分解的方法来求得零点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2对称轴在区间外，根据函数性求解。
例：求函数y=-X2+2X+4在区间［2,4］上的最小值。
6.含有参数的二次函数问题
(1)动轴定区间
例：当0≤x≤2时，函数f(x)= 在X=2时取得最大值，求a的取值范围。
(2)定轴动区间
例：已知函数y= ,在0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围。
△<0，图像与X轴没有交点：
4.Hale Waihona Puke 次函数的基本形式（1）一般式：
（2）.顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a ）；
(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a ，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
一元二次函数与一元二次方程（一）
一、一元二次函数
1.定义：一般地，形如 （abc均是常数）的函数，叫做二次函数。在无特殊规定时，定义域为全体实数R。
2.图像与性质
a>0
a<0
开口方向
对称轴
顶点
最值
单调性
3.函数与X轴的交点个数
判别式 b2-4ac
△>0,图像与X轴有2个交点
△=0，图像与X轴有1交点
5.二次函数最值的求解
（1）配方法：配方法最主要的目的就是将一个一元二次方程式或多式化为一个一次式的完全平方，以便简化计算。
函数改写为顶点式y=a(x-h)2+k，其中k为函数的最大（a<0）最小值（a>0）.
（2）对于给出定义域的情况：首先寻找对称轴，判断对称轴与给定区间的位置关系。
1对称轴在区间内：轴上取一个最值，区间的某一端点取另一个最值。（离对称轴远的端点取另一个最值。）
5.配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1） ；（2） ；（3）
6.线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a=, b=, c=
【练习题】
1.函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中是二次函数的是
2.熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝ gt2（g＝9.8），则s与t的函数图像大致是（ ）
ABCD
3.数 与 的图象可能是（）
A． B． C． D．
4.抛物线 与直线 交于点 ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.