2020高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点学案苏教版选修2-1

2.6.2 求曲线的方程 2.6.3 曲线的交点

学习目标 1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．

知识点一 坐标法的思想

思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？

答案 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．

思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？ 答案 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．

梳理 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法． (2)解析几何研究的主要问题：

①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质． 知识点二 求曲线的方程的步骤 1．建系：建立适当的坐标系．

2．设点：设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )． 3．列式：列出符合条件p (M )的方程f (x ，y )＝0. 4．化简：化方程f (x ，y )＝0为最简形式．

5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 知识点三 曲线的交点

已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.

(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨

⎪⎧

f 1(x 0，y 0)＝0.

f 2(x 0，y 0)＝0，

(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

f 1(x ，y )＝0，

f 2(x ，y )＝0的实数解．

(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．

1．x 2＋y 2

＝1(x ＞0)表示的曲线是单位圆．(×)

2．若点M (x ，y )的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，则点M 在曲线f (x ，y )＝0上．(√)

3．方程y ＝x 与方程y ＝x 2

x

表示同一曲线．(×)

4．曲线xy ＝2与直线y ＝x 的交点是(2，2)．(×)

类型一 直接法求曲线的方程

例1 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2PA . 则|8－x |＝2(x －2)2

＋(y －0)2

， 化简，得3x 2

＋4y 2

＝48，

故动点P 的轨迹方程为3x 2

＋4y 2

＝48. 引申探究

若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，

则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又PA ＝(x －2)2

＋(y －0)2， 故|y －8|＝2(x －2)2

＋(y －0)2

， 化简，得4x 2

＋3y 2

－16x ＋16y －48＝0.

故动点P 的轨迹方程为4x 2

＋3y 2

－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系； ②找出所求动点满足的几何条件．

(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．

跟踪训练1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →

成公差小于零的等差数列．求点P 的轨迹方程． 解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)， 得PM →＝－MP →

＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →

＝(1－x ，－y )， MN →

＝－NM →

＝(2,0)．

∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2

－1， NM →·NP →

＝2(1－x )．

于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →

成公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨

⎪⎧

x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，

即⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 2

＋y 2

＝3，x >0.

∴点P 的轨迹方程为x 2

＋y 2

＝3(x >0)． 类型二 相关点法求解曲线的方程

例2 动点M 在曲线x 2

＋y 2

＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋3

2，y ＝y

2，

即⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 0＝2x －3，

y 0＝2y ，

又因为M 在曲线x 2

＋y 2

＝1上， 所以(2x －3)2

＋4y 2

＝1.

所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2

＋4y 2

＝1. 反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)． (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪

⎧

x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).

(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．

跟踪训练2 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝

x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．

解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0＋6＋x ′

3

，y ＝0＋0＋y ′3，

所以⎩⎪⎨

⎪⎧

x ′＝3x －6，y ′＝3y .