等差数列通项公式推导
等差数列的2个通项公式
等差数列通项公式是an＝a1＋（n－1）＊d。
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
通项公式推导：a2－a1＝d；a3－a2＝d；a4－a3＝d……an－a（n－1）＝d，将上述式子左右分别相加，得出an－a1＝（n－1）＊d→an＝a1＋（n－1）＊d。
相关扩展：
在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a－b)。
记等差数列的前n项和为S。
若a >0，公差d<0，则当a ≥0且a +1≤0时，S 最大；若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且+1≥0时，S 最小。
若等差数列Sp=q,Sq=p,则Sp+q=-p-q,并且有ap=q,aq=p则ap+q=0。
在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。
并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍。
数列的求和与通项公式推导
数列的求和与通项公式推导在数学中，数列是一组按照一定规律排列的数的集合。
而数列的求和以及推导通项公式是数列研究中的重要内容。
本文将介绍数列的求和以及通项公式推导，并通过实例进行说明。
一、等差等差数列是指一个数列中每个数与它的前一个数之差是一个常数，这个常数被称为公差。
我们将针对等差数列的求和与通项公式进行讨论。
1. 求和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，我们要求前n项的和Sn。
我们可以观察等差数列的前n项和与首项与末项的关系：Sn = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) + (aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₁)根据等差数列的性质，我们可以得到：Sn = (a₁ + aₙ)(n/2)这就是等差数列的求和公式。
2. 通项公式推导：为了推导等差数列的通项公式，我们假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an。
通过观察等差数列的规律，我们可以发现：aₙ = a₁ + (n-1)d二、等比等比数列是指一个数列中每个数与它的前一个数之比是一个常数，这个常数被称为公比。
我们将针对等比数列的求和与通项公式进行讨论。
1. 求和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为r，我们要求前n项的和Sn。
类似地，我们观察等比数列的前n项和与首项与末项之间的关系：Sn = (a₁ + a₂ + ... + aₙ)Sn * r = (a₁r + a₂r + ... + aₙr)通过两式相减，我们可以得到：Sn * (1 - r) = a₁(1 - rⁿ)化简后得到：Sn = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)这就是等比数列的求和公式。
2. 通项公式推导：为了推导等比数列的通项公式，我们假设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an。
通过观察等比数列的规律，我们可以发现：an = a₁ * r^(n-1)综上所述，我们介绍了等差数列和等比数列的求和以及通项公式推导。
这些公式在数列相关问题的求解中起到重要的作用。
等差数列通项公式推导
16.在等比数列 {an }中,a3a4a5 3,a6a7a8 24, 则 a9a10a11 D
A. 48 B. 72 C. 144
D. 192
17.在等比数列{an } 中,2a4 a6 a5
则公比q等于: C
A. 1或2 B. -1或-2 C. 1或-2 D. -1或2
课堂小结 （1）等比数列的定义 （2）等比数列的通项公式及推导方法
3、在等比数列{an}中, a2 2, a5 54 ,求a8.
练习：
4、若等比数列{an}, a4=1, a7=8,则a6与a10的等比中项是 __±__1_6_.
5、若等比数列{an}中, ⑴⑵若若已已知 知aa23=a44a,a55==8,求12,a求2aa6n的; 值.
练习：
6、有三个数成等比数列，若它们的积
3、a1 .an
.p..,aqa22.a.Na1仍n ,且 为1 m等a比3n.a数np列2其q,.则公.. a比m 为anq1
a
p
a
q
4、等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项 符号相同。
三、判断等比数列的方法
定义法: an1 q(是与n无关的数或式子 ,且q 0）
N=N+1 A=A*(1/2)
N5？
结束
例3．在4与 1 之间插入3个数，使这5个数成等 4
比数列，求插入的3个数。
解：依题意，a1=4，a5
1 4
由等比数列通项公式得 1
q4
a5 a1
1 16
所以 q 2
1
因此插入的3个数依次是2，1 1
，
2
或－2，1，－ 2
等差数列前n项和公式推导是什么
的知识点，也是一个十分常见的考点。下面是由店铺编辑为大家整理的“等差数列前n项和公 式推导”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。 等差数列求和公式
推导过程 (1)从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是 n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。 (2)从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类 似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。 (3)若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)= (2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。若m+n=2p，则 a(m)+a(n)=2*a(p)。
等差数列通项公式总结
等差数列通项公式总结等差数列通项公式总结_数列公式学好数学的关键是公式的掌握，数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科。
下面是小编为大家整理的等差数列通项公式总结，希望能帮助到大家!等差数列通项公式总结an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式等差数列是指一个数列中任意两个相邻数之间的差值都是固定的。
为了确定等差数列的特征，我们需要知道该数列的公差和首项。
公差是指相邻两项的差值，首项是指数列的第一项。
通项公式（或者称为通项表达式）是可以通过公式计算出数列中任意一项的公式。
对于等差数列来说，我们可以使用通项公式来计算数列中任意一项的值。
通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d其中，an是第n项的值，a1是首项的值，d是公差，n是项数。
下面，我们将通过推导证明这个通项公式。
假设我们有一个等差数列，其首项为a1，公差为d。
那么，数列的第二项应该是a1+d，第三项是a1+2d，以此类推。
因此，数列的第n项应该是a1+(n-1)d。
我们可以通过实际例子来验证这个通项公式。
比如，考虑一个等差数列：2,4,6,8,10。
首项是2，公差是2、我们可以使用通项公式来计算第5项的值：a5=a1+(5-1)d=2+(5-1)2=2+4×2=2+8=10正如我们所见，第5项的值确实是10。
另外，有时候我们也可以将通项表达式写成更简洁的形式。
如果一个等差数列的首项是a1，差值是d，项数是n，最后一项是an，我们可以将通项公式改写为：an = a1 + (n-1)d= (a1 + an)/2 * n这个改写后的公式是由等差数列的求和公式推导得到的。
现在，让我们通过一个实际的例子来演示如何使用等差数列的通项公式。
假设我们有一个等差数列，首项是3，公差是4，我们想要计算数列中第10项的值。
根据通项公式：a10=a1+(10-1)d=3+(10-1)*4=3+9*4=3+36=39因此，第10项的值是39在实际应用中，等差数列的通项公式非常有用。
它可以帮助我们快速计算出数列中任意一项的值，而不需要逐个计算。
这对于数学问题的解决和实际应用都非常有帮助。
值得注意的是，通项公式只适用于等差数列，对于其他类型的数列，我们需要使用其他的方法来计算其中的项的值。
等差数列前n项和公式推导
这个故事告诉我们求等差数列前 ｎ项和的一种很重要的思想方法，就
是我们要介绍的“倒序相加”法。
二、等差数列前ｎ项和公式１：
对等差数列ａ１，ａ２，…，ａｎ前ｎ项求和， 得
Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ， Ｓｎ＝ａｎ＋ａｎ－１＋ａｎ－２＋．．．＋ａ２＋ａ１，
上面两式相加得：
解之得：n1=9, n2=-3（舍）所以等 差数列-10，-6，-2，2，…前9项和 是54.
四、巩固练习
1、求集合M={m/m=7n,n ∈N ＋且m ＜100}的元 素个数，并求这些元素的和。
2、已知一个等差数列的前100项和是310， 前20项的和是1220，求其前n项和公式.
五、课后作业
S
n
=
na1
n(n 1)d 2
（2）
公式（2）又可化为
n d
S n= 2
2 (a1 d)n 2
当d ≠0时，这是一个常数项为零的关 于n的二项式.
三、讲解例题：
例1、一堆放铅笔的V型架的最下层放一支铅笔，往上 每一层都比它下一层多放一支，最上层放120支，问：这 个V型架上共放多少支铅笔？
解：由题意知，这个V型架上共放120层铅笔且自下而 上各层的铅笔成等差数列，记为{an}其中a1=1,a120=120,根 据等差数列前n项和公式得:
已知等差数列的前n项和为a，前2n 项和为b，求前3n项和。
下课！
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
高中等差数列公式大全
高中等差数列公式大全一、等差数列的定义。
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
设等差数列{ a_n}的首项为a_1，则a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)二、等差数列的通项公式。
1. 基本公式。
- a_n=a_1+(n - 1)d- 推导：a_2=a_1+d，a_3=a_2+d=a_1+2d，a_4=a_3+d=a_1+3d·s，以此类推可得a_n=a_1+(n - 1)d。
2. 变形公式。
- a_n=a_m+(n - m)d（m,n∈ N^*）- 推导：由a_n=a_1+(n - 1)d，a_m=a_1+(m - 1)d，两式相减得a_n-a_m=(n - m)d，移项可得a_n=a_m+(n - m)d。
三、等差数列的前n项和公式。
1. 公式一。
- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}- 推导：S_n=a_1+a_2+·s+a_n，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1，将这两个式子相加得2S_n=n(a_1+a_n)，所以S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。
2. 公式二。
- S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d- 推导：因为a_n=a_1+(n - 1)d，将其代入S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}中，得到S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。
四、等差数列的性质。
1. 若m,n,p,q∈ N^*，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。
- 特别地，当m + n = 2k（m,n,k∈ N^*）时，a_m+a_n=2a_k。
2. 在等差数列{ a_n}中，若a_n=m，a_m=n（m≠ n），则a_m + n=0。
等差数列三个基本公式推导
等差数列三个基本公式推导
等差数列的三个基本公式是：
1. 通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
证明：设等差数列的第k项为aₙ，则 aₙ = a₁ + (k-1)d。
将k替换为n得到 aₙ = a₁ + (n-1)d。
2. 前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则前n项和公式为Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)。
证明：等差数列的前n项和可以表示为 Sₙ = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + ... + (a₁ + (n-1)d)。
将每一项按照首项和公差展开得到Sₙ = na₁ + d(1+2+...+(n-1))。
根据等差数列的性质，1+2+...+(n-1)可以表示为(n-1)n/2，代入得到Sₙ = na₁ + d(n-1)n/2 = (n/2)(2a₁ + (n-1)d) = (n/2)(a₁ + aₙ)。
3. 通项和前n项和的关系：设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，前n项和为Sₙ，则有 Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)。
证明：将通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)d 代入前n项和公式 Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ) 中得到Sₙ = (n/2)(a₁ + a₁ + (n-1)d) = (n/2)(2a₁ + (n-1)d) = (n/2)(a₁ + aₙ)。
等差数列的通项与公式
等差数列的通项与公式数列是数学中常见的一种数学序列，它由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
其中等差数列是一种特殊的数列，在等差数列中，任意两个相邻项之间的差值都是相同的。
这个差值称为公差，用字母d 表示。
等差数列的通项公式是用来表示该数列中第n个数的公式。
可以用以下方式来推导等差数列的通项公式。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，第n个数为an。
根据等差数列的定义，可以得到以下等式：an = a1 + (n - 1)d在上述等式中，a1表示数列的首项，(n - 1)d表示数列中前n-1个数的总和，可以看出，每一项都是由首项a1加上一定数量的公差d得到的。
利用上述等式，可以进一步推导出等差数列的通项公式。
首先，将前面的等式展开得到：an = a1 + nd - d然后，将nd和-d相加并整理得到：an = a1 + (n - 1)d + d接下来，将(n - 1)d + d化简为nd：an = a1 + nd最后，将上式整理为等差数列的通项公式：an = a1 + (n - 1)d根据上述推导，我们可以得到等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d。
这个公式可以用来计算等差数列中任意一项的值。
举个例子来说明等差数列的通项公式的用法。
假设有一个等差数列，首项为2，公差为3，求出该数列的前5项。
根据等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，将a1替换为2，d替换为3，n替换为1至5，可以依次计算出前5项的值：a1 = 2a2 = 2 + (2 - 1) * 3 = 5a3 = 2 + (3 - 1) * 3 = 8a4 = 2 + (4 - 1) * 3 = 11a5 = 2 + (5 - 1) * 3 = 14所以，原等差数列的前5项分别为2、5、8、11、14。
等差数列的通项公式对于解决一些实际问题也非常有用。
例如，在物理学和经济学中，等差数列可以用来描述线性增长或减少的过程。
等差数列的公式推导过程
等差数列的公式推导过程1. 什么是等差数列？好啦，今天我们聊聊等差数列。
你可能会想，哎呀，这是什么鬼？别担心，等差数列其实很简单，就像吃方便面一样，方便又好懂。
简单来说，等差数列就是一串数字，每个数字和前一个数字之间的差都一样。
比如说，2, 5, 8, 11，这里每次加的都是3，对吧？这就是一个等差数列。
2. 等差数列的基本公式2.1 通项公式那么，怎么用公式来表示呢？这就来了，等差数列的通项公式就是：( a_n = a_1 + (n 1)d )。
这看起来可能有点复杂，但别担心，咱们慢慢来拆解。
这里的 ( a_n ) 是我们想找的第 ( n ) 项，( a_1 ) 是第一项，( d ) 是公差，也就是每次加的那个数。
听起来像是很高大上的公式，但其实它就像你去超市买东西，每次买的都是同样的东西，价格也差不多。
2.2 例子演示让我们举个简单的例子吧，假设你家楼下有个卖冰淇淋的小摊，第一天你买了1个冰淇淋，第二天你多买了1个，第三天又多买了1个。
这样第一天是1，第二天是2，第三天是3，依此类推。
用我们的公式来表示的话，( a_1 = 1 )，公差 ( d = 1 )。
所以，第 ( n ) 天的冰淇淋数量就可以用这个公式表示啦：( a_n = 1 + (n 1) cdot 1 = n )。
是不是简单明了？没错，数数就能算出来。
3. 求和公式3.1 和的推导好了，聊完通项，咱们再来说说等差数列的求和公式。
想象一下，你有一堆冰淇淋，每天都在吃，如果想知道这些天你一共吃了多少个冰淇淋，怎么办呢？这就需要用到求和公式了，等差数列的和的公式是：( S_n = frac{n{2 cdot (a_1 + a_n) )。
看起来是不是又一堆字母？其实它的意思就是把前 ( n ) 项的和算出来，挺简单的。
3.2 具体例子再用我们刚才的冰淇淋例子，假设你在小摊前呆了5天。
第一天1个，第二天2个，第三天3个，第四天4个，第五天5个。
等差数列求和公式及推导方法
等差数列求和公式及推导方法
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差。
前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。
1等差数列公式1.定义式
2.通项公式
3.求和公式
4.前n项和公式
1等差数列推论（1）从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常
数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次
函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)
=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)
+p(n-2)=。
=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。
（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-
1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，
…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。
若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p)。
等差数列通项公式推导过程
等差数列通项公式推导过程等差数列是我们在数学学习中经常会碰到的一个重要概念。
今天咱们就来好好聊聊等差数列通项公式的推导过程。
先给大家说个事儿，我之前监考的时候，发现有个学生在考等差数列相关的题目时，抓耳挠腮半天，愣是没写出答案。
这让我意识到，把等差数列的通项公式推导清楚是多么重要。
那咱们正式开始。
啥是等差数列呢？就是从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
比如说 1，3，5，7，9 这个数列，每一项和前一项的差值都是 2，这就是个等差数列。
咱们假设一个等差数列的首项是\(a_1\)，公差是\(d\)。
那么第二项就是\(a_2 = a_1 + d\)，第三项就是\(a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d\)，第四项\(a_4 = a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d\) ，以此类推。
咱们仔细观察一下就能发现规律，第\(n\)项\(a_n\)就等于首项\(a_1\)加上\((n - 1)\)个公差\(d\)。
所以等差数列的通项公式就是\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)。
为了让大家更好地理解，咱们来做个小练习。
比如说有一个等差数列，首项是 2，公差是 3，那第五项是多少呢？咱们就可以用通项公式来算，\(a_5 = 2 + (5 - 1)×3 = 2 + 12 = 14\)。
再比如说，给你一个等差数列，其中\(a_3 = 8\)，公差\(d = 2\)，让你求首项\(a_1\)。
那咱们就可以根据通项公式\(a_3 = a_1 + 2d\)，也就是\(8 = a_1 + 2×2\)，算出来\(a_1 = 4\)。
回到最开始提到的那个考试的学生，要是他能把这个推导过程弄明白，那这道题对他来说肯定就不是什么难事啦。
总之，等差数列通项公式的推导过程其实并不难，只要咱们多观察、多思考，就能轻松掌握。
等差数列求和公式证明推导
等差数列求和公式证明推导1.等差数列等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
通项公式为：an=a1+(n-1)*d。
首项a1=1，公差d=2。
前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。
注意：以上n均属于正整数。
2.求和公式若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：S=(a1+an)n÷2即(首项+末项)×项数÷2前n项和公式注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和)等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。
即[a1+a1+(n-1)d]*n/2={a1n+n(n-1)d}/2。
Sn=n*a1+{n*(n-1)}/2*d点击查看：高中数学知识点总结3.等差数列求和公式证明推导一。
从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
二。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。
=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}三。
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。
等差数列通项公式2篇
等差数列通项公式2篇第一篇：等差数列通项公式的推导等差数列是指数列中相邻的两个项之间差值相等的数列。
所谓通项公式，即可以通过该公式来计算等差数列中的任意一项。
在这篇文章中，我们将用中文来描述等差数列通项公式的推导过程。
我们假设一个等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
根据数列的定义，我们有以下关系式：an = a + (n-1)d上述关系式可以从一个简单的例子中得到证明。
假设首项为a，公差为d，则第二项为a+d，第三项为a+2d，以此类推，第n项为a+(n-1)d。
我们可以看出，每一项与首项之间的差值始终为d。
接下来，我们将通过推导推导等差数列通项公式。
首先，我们观察到第n项与第n-1项之间的差值为d，可以表示为：an - an-1 = d根据前文的关系式an = a + (n-1)d，我们可以将其代入上述等式中：(a + (n-1)d) - (a + (n-2)d) = d化简上述等式，a + nd - d - a - (n-1)d = d化简后的等式可以简化为：nd - d - (n-1)d = d继续化简，nd - nd + d - d = d + (n-1)d经过化简，我们获得了等差数列通项公式的推导结果：an = a + (n-1)d通过这个推导过程，我们得到了等差数列通项公式的公式表达式。
根据该公式，我们可以通过已知的首项和公差，计算等差数列中的任意一项。
在实际应用中，等差数列通项公式经常用于计算等差数列的一些特定项，或者是判断某个数是否属于某个等差数列。
总结一下，等差数列通项公式的推导过程是通过观察数列中相邻两项之间的关系，找出某个关系式，并通过对其进行代数运算和化简，最终得到了等差数列通项公式的表达式。
这个公式在数学中有着广泛的应用，可以帮助我们更快地计算等差数列中的任意一项。
第二篇：等差数列通项公式的应用等差数列通项公式是数学中的一个重要工具，它可以很方便地计算等差数列中的任意一项。
推导等差数列与等比数列的公式
推导等差数列与等比数列的公式在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字所组成的序列。
等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。
本文将详细推导等差数列和等比数列的公式。
等差数列是指数列的相邻两项之间的差值都相等的数列。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an。
首先，我们可以确定等差数列的通项公式。
设第n项为an，第n-1项为an-1，则有：an = an-1 + d对于等差数列而言，相邻两项之间的差值是固定的，即an-1与an的差为d。
由此可得，等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d这个公式可以用于计算等差数列中任意一项的值。
接下来我们来推导等比数列的公式。
等比数列是指数列的相邻两项之间的比值都相等的数列。
假设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an。
同样地，我们可以确定等比数列的通项公式。
设第n项为an，第n-1项为an-1，则有：an = an-1 * r对于等比数列而言，相邻两项之间的比值是固定的，即an-1与an 的比为r。
由此可得，等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)这个公式可以用于计算等比数列中任意一项的值。
总结起来，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
通过上述推导，我们可以根据首项和公差（或公比）来计算等差数列和等比数列中的任意一项的值。
这些公式的推导过程基于数列的特点和规律，并被广泛应用于数学和实际问题的解决中。
需要注意的是，在使用这些公式计算时，我们要确保首项、公差（或公比）和所求项的编号是正确对应的。
此外，也要注意在进行计算时，使用符号和变量的准确和一致性，以避免产生错误的结果。
总而言之，等差数列和等比数列是数学中重要的数列类型，它们都有相应的通项公式可以用于计算数列中任意一项的值。
通过推导等差数列和等比数列的公式，我们能更好地理解数列的特点和规律，为数学和实际问题的解决提供便捷的计算工具。
等差数列所有公式大全
等差数列所有公式大全
等差数列的所有公式包括：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d。
这表示在等差数列中，第n项的值等于首项加上(n-1)乘以公差d。
2.项数公式：n=(an-a1)/d+1。
这给出了等差数列的项数的计算方法。
3.求和公式：Sn=(a1+an)n/2或Sn=n/2*(a1+an-d)。
这用于计算等差数列的前n 项和。
4.项与项数关系公式：an=a1+(n-1)d。
这表示在等差数列中，第n项的值等于首项加上(n-1)乘以公差d。
5.求和公式推导：an-a(n-1)=d，a(n-1)-a(n-2)=d…a2-a1=d,将上述式子左右分别相加，得出an-a1=(n-1)*d→an=a1+(n-1)*d。
这些公式可以用于求解等差数列的各种问题，包括求某一项或几项的和，判断一个数列是否为等差数列，等等。
在使用这些公式时，需要记住一些重要的参数，如首项、公差和项数。
求数列通项之做差法
2023届高考数学复习讲义5.8由递推公式求数列通项公式——作差法1.等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d=a m ＋(n －m )d （n ≧m ）．2.等差数列前n 项和公式：n d a n d d n n na a a n S n )2(22)1(2)(12121-+=-+=+=3.等差数列的常用性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)；(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)；(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)；(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d ；(5)S 2n -1=(2n-1)a n ；(6)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列；(7)若{a n }是等差数列，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.作差法当条件暗示S n 与a n 或者S n 与n 的关系式时，适合作差：若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2.必明易错1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一个确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．3.检验a 1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a n .4.写出a n 的完整表达式考向一：由n 与S n 的关系求通项公式例1已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋1.[解题技法]已知S n 与n 的关系，求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2时的表达式合并．【举一反三】1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________.2、已知数列{a n }的前n 项和Sn ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式是。
等差数列求项数公式推导过程
等差数列求项数公式推导过程1、等差数列前n项和公式推导：（1）Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n（a1+an）]/2（公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）二、对于等差数列前n项和公式的应用。
【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解依题意，得解得a1=113，d=－22．∴其通项公式为说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出an而即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为an＝3n－1；第二个数列的通项为bN=5N－3若am＝bN，则有3n－1＝5N－3若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40n=1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a ＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为[]A．1，3，5B．1，3，7C．1，3，99D．1，3，9又∵14＝5a＋3b。
∴a＝1，b＝3∴首项为1，公差为2∴a50=c=1＋(50－1)·2=99∴a＝1，b＝3，c＝99【例4】在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解依题意2＝1＋(2n＋2－1)d①由①，有(2n＋1)d=1⑤∴共插入10个数．【例5】在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．且Sm＝Sn，m≠n∴Sm+n＝0【例6】已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来．解方程组得：d＝－2，a1＝9∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11其余各项为负．数列{an}的前n项和为：∴当n≤5时，Tn＝－n2＋10n当n＞6时，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50说明根据数列{an}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n项和．【例7】在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34＝20a1＋190d＝5(4a1＋38d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17S20＝170【例8】已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．解法一设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由已知可得由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4再由d＞0，得d＝2∴a1=－10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180解法二由等差数列的性质可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4又a3·a7=－12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2∵d＞0∴{an}是递增数列∴a3＝－6，a7=2【例9】等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若[]∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199解法二利用数列{an}为等差数列的充要条件：Sn＝an2＋bn可设Sn＝2n2k，Tn＝n(3n＋1)k说明该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件Sn=an2＋bn，由k是常数，就不对了．【例10】解答下列各题：(1)已知：等差数列{an}中a2＝3，a6＝－17，求a9；(3)已知：等差数列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；(4)已知：等差数列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．分析与解答a9=a6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(3)∵a4＋a6＋a15＋a17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a4＋a17=a6＋a15=25(4)∵an=33－3n∴a1＝30∵n∈N，∴当n=10或n=11时，Sn取最大值165．【例11】求证：前n项和为4n2＋3n的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为an，前n项和为Sn．当n≥2时，an＝Sn－Sn-1。
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1.等比数列定义：
如果一个数列从第 二 __项起，每一项与它 的前一项的比 _等于同 _ 一个常数，那么这个 数列就叫做 这个常数叫做等 比 数 公比 列的 _____ 公比通常用字母q表示
公差通常用字母d表示
等差数列
由于等差数列是 作差 故a 1 d 没 有要求
判断数列是等差数列的方法
等比数列
由于等比数列的每一 项都有可能作分母， 故a 1 ≠0 且 q ≠0
练习： 在等比数列 an 中,
(1)a4 27, q 3, 求a7 ;
(2)a5 4, a7 6, 求a9 ;
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个 数就会成为一个等比数列：
（ 1） 1， ±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
ac b
等比数列
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差) 中项 4.通项公式
an1 q an
等差数列
an1 an d
d可以是0
等差中项
q不可以是0,
等比中项 G ab
2A a b
an am q
an a1q
n 1
an a1 (n 1)d an am (n m )d
判断数列是等比数列的方法
an –an-1=d(n≥2)
an q(n 2) a n1
a n 1 或 q(n 1) an
或 an+1-an=d(n≥1)
等差数列通项公式推导:
设公差为 d 的 等差数列{ a n }，则有:
a 2 －a 1 = d a 3 －a 2 = d a 4 －a 3 = d
2、在等比数列bn 中，b4 3
3、在等比数列{an}中, a2 2,
a5 54 ,求a8.
练习：
4、若等比数列{an}, a4=1, a7=8,则a6与a10的等比中项是 ______. ±16 5、若等比数列{an}中,
1 ⑴若已知a2=4,a5= ,求an; 2
⑵若已知a3 a4a5=8,求a2a6的 值.
9．数列1，37，314，321，……中，398是这个
数列的（ C
（A）第13项
）
（B）第14项
（C）第15项 （D）不在此数列中 10.若数列{an}是等比数列，公比为q，则下列
命题中是真命题的是（ D ） （A）若q>1, 则an+1>an （B）若0<q<1, 则an+1<an （C）若q=1, 则Sn+1=Sn （D）若－1<q<0, 则
3、a1 .an a2 .an1 a3 .an 2 ...
4、等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项 符号相同。
三、判断等比数列的方法
an1 定义法: q(是与n无关的数或式子 , 且q 0） an 2 中项法: an1 an1 an ( 0) 2 三个数a,b,c成等比数列
A=A*(1/2)
输出：a1=1
输出：a2=a1*(1/2)
输出：a3=a2*(1/2)
输出：a4=a3*(1/2)
输出：a5=a4*(1/2)
5？
结束
1 例3．在4与 之间插入3个数，使这5个数成等 4 比数列，求插入的3个数。
1 解：依题意，a1=4，a5 4
a5 1 由等比数列通项公式得 q a1 16 1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
an1 an1 an ( 0)
G ab
即G ab
2
2
二、等比数列的性质
1 2、an .an1 ...a2 .a1仍为等比数列其公比为 q
1、若m, n, p, q N , 且m n p q, 则a m a n a p a q
练习：
6、有三个数成等比数列，若它们的积
等于64，和等于14，求此三个数？
7：有四个数，若其中前三个数成等比数
列，它们的和等于19，后三个数成等差数 列，它们的和等于12，求此四个数？
8. 已知等比数列an , 若a1 a2 a3 7,
a1 a2 a3 8, 求an.
an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0） an=amqn-m
(n 1,1 m n、n、m N *)
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0 ，an ≠0
探究：P50
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：
an 2 ＿＿＿＿＿＿
n 1
1 上式还可以写成 an 2 n 2
一、温故知新：
1、等差数列定义： an an1 d
(常数)
(n 2)
2、等差数列的通项公式： an a1 (n 1)d an am (n m)d
an pn q( p, q为常数)
3、等差数列的性质：
若m n p q, 则am an a p aq
a n= a 1 q n－ 1
(a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +)
________________
常数列都是等差数列
问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？ 如果是,a必须满足什么条件？ (1) a＝0; 它只是等差数列。 (2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。
等比数列的通项公式：
等比数列通项公式推导:
设公比为 q的等比数列{ a n} ，则有:
q a2 ___ a1 a3 q ___ a2 ×) q an ___ a n 1 …
n－1个
n－1个
……
+ ) a n －a
n －1
=d (n≥2）
a n － a 1 = ( n－ 1 ) d
等差数列 { a n } 的首项为 a 1， 公差为 d 的通项公式为 a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N + ________________
B. 72 C. 144 D. 192 17.在等比数列 {an } 中,2a4 a6 a5
A. 48
则公比q等于:
A. 1或2 B. -1或-2
C
C. 1或-2 D. -1或2
课堂小结 （1）等比数列的定义 （2）等比数列的通项公式及推导方法 （3）等比数列的有关性质 （4）学习的思想方法： 类比方法
等差中项： 2an1 an an2
二、导入新课
来看几个数列：
1，2，4，8，16，…, 5，25，125，625，... 1 1 1 ... 1, , , 2 4 8 以上数列具有什么样的共同特点？ 你能类比等差数列的定义得出等比数列 的定义吗？
等差数列定义 如果一个数列从第 二项起，每一项与它 的前一项的差等于同 一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数 列的公差
11．在2与6之间插入n个数，使它们组成等比
数列，则这个数列的公比为（ C ） （A）
n
3
（B）
1
n
3
（C）n1 3 （D） n 2 3 12．若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续 三项，则x的值为（ A
（A）－4 （ C） 1 或 4
）
（B）－1 （D）－1或－4
13．三个正数a,b,c成等比数列，且 a+b+c=62, lga+lgb+lgc=3,
an q n 1 (n≥2） a1 首项为 a 1，公比为 q 的等比数 列的通项公式：
a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且
q ≠0
n ∈ N +)
等差数列
等差数列通项公式:
首项为 a 1，公差为 d 的通项公式为
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
等比数列
等比数列通项公式: 首项为 a 1，公比为 q 的 的通项公式：
则这三个正数为 50，10，2或2，10，50.
14．在正项数列{an}中，(an+3)2=an+1an+5, 且 a3=2, a11=8, 则a7= 4 .
15.首项为3,末项为3072,公比为2的等 比数列的项数有( A )
A. 11项 B. 12项 C. 13项 D. 10项
a3a4a5 3, a6a7a8 24, 16.在等比数列 {an }中, 则 a9a10a11 D
可见，表示这个等比数列
an 8 7
·
1 x 的各点都在函数 y 2 2
的图象上，如右图所示。
6
5 4
·
3
2
1 an 的图象是其对应的 结论： 等比数列 ·
·
2
函数的图象上一些孤立 的点0
1
3
4
n
例．已知等比数列{an}中，a5=20，a15=5，求a20. 1 10 解：由a15=a5q10，得 q 4 1 5 所以 q 2 5 5 因此 a20 a15q 2 5 5 或 a20 a15q 2
n m
5.性质 (若m+n=p+q)
a m a n a p a q a m a n a p aq
例2：根据下面的框图，写出所打印数列的 前5项，并建立数列的递推公式。 这个数列是等比数列吗？
开始 A=1 N=1 输出A N=N+1 N
a1=1 ，n=1 n=1+1=2 ，a2=a1*(1/2) n=2+1=3 ，a3=a2*(1/2) n=3+1=4 ，a4=a3*(1/2) n=4+1=5 ，a5=a4*(1/2) n=5+1=6 结束