微分方程一 ppt
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微分方程PPT(罗兆富等编)第六章 线性方程的Adomian分解法
计算得到
1 2 u0 ( x, y ) x xy 2 1 2 u1 ( x, y ) - x 2 uk ( x, y) 0 (k 2)
所以方程的精确解为
u ( x, y) un ( x, y)
xy
n 0 n 0
■
再将未知函数的级数展式 u( x, y) un ( x, y) 代入, 得到
解: 将方程写成算子形式
Lxu Lyu x y
其中 Lx
, Ly , x y
且Lx是可逆的, 将其逆算子 L 0 ()dx
-1 x
x
作用于方程的两端, 并注意到初始条件 u(0, y) 0, 得到 再将未知函数的级数展式 u( x, y) un ( x, y) 代入, 得到
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12
结束
三、修正的Adomian分解法 在Adomian分解法中, 有时若将(6.1.03)或(6.1.04)中 的项f分裂成两项, 即
f f1 f 2(来自.1.07)利用(6.1.07), 我们可将un的递推公式作稍许改变而使 得计算更容易, 就是令u0=f1, 而将f2配给u1,其它项不作改 变. 这样, un的递推公式就成为 u0 f1 ,
所以方程的精确解为
u ( x, y) un ( x, y)
u ( x, y) 1 y sinh x
代入方程验证后知, 它是方程的解, 故方程的精确解为
u ( x, y) 1 y sinh x.
■
计算得到
u0 ( x, y) 1 - y y sinh x y cosh x
u1 ( x, y) xy - y sinh x - y cosh x y
一阶微分方程ppt课件
Q( x) Qm ( x) , 即 y Q m ( x ) e x
情形2 若λ 是特征方程的单根, 即 2 p q 0 ,
而 2 p 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y x Qm (x)ex
23
Q ( 2 p )Q ( 2 p q )Q Pm ( x ) ( * ) 情形3 若λ是特征方程的重根,
r1,2 i ,
方程(1)有两个特解 y1 e( i ) x , y2 e( i )x , 由欧拉公式 ei cos i sin 知，
y1 y2
e( i ) x e( i ) x
=e =e
x (cos x (cos
x x
i i
sin sin
x) x)
由叠加原理,
y1 y2
10
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
y p y q y 0 (1)
方程特点：y, y, y 之间仅相差一个常数. 下面来寻找方程(1)的形如 y er x 的特解.
将 y er x 代入方程(1),得 (r 2 pr q)er x 0 ,
而er x 0 ,于是有
r 2 p r q 0 (2)
的通解.
6
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2) 定理3（非齐次方程通解定理）设 y* 是方程(2)的特解,
Y 是对应齐次方程(1)的通解,那么方程(2)的通解为
y Y y
证 由条件，y * P ( x ) y * Q ( x ) y * f ( x ) , Y P ( x )Y Q ( x )Y 0 ,
x0
x0
解 特征方程为 r2 3r 10 0
情形2 若λ 是特征方程的单根, 即 2 p q 0 ,
而 2 p 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y x Qm (x)ex
23
Q ( 2 p )Q ( 2 p q )Q Pm ( x ) ( * ) 情形3 若λ是特征方程的重根,
r1,2 i ,
方程(1)有两个特解 y1 e( i ) x , y2 e( i )x , 由欧拉公式 ei cos i sin 知，
y1 y2
e( i ) x e( i ) x
=e =e
x (cos x (cos
x x
i i
sin sin
x) x)
由叠加原理,
y1 y2
10
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
y p y q y 0 (1)
方程特点：y, y, y 之间仅相差一个常数. 下面来寻找方程(1)的形如 y er x 的特解.
将 y er x 代入方程(1),得 (r 2 pr q)er x 0 ,
而er x 0 ,于是有
r 2 p r q 0 (2)
的通解.
6
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2) 定理3（非齐次方程通解定理）设 y* 是方程(2)的特解,
Y 是对应齐次方程(1)的通解,那么方程(2)的通解为
y Y y
证 由条件，y * P ( x ) y * Q ( x ) y * f ( x ) , Y P ( x )Y Q ( x )Y 0 ,
x0
x0
解 特征方程为 r2 3r 10 0
全版微分方程.ppt
将 y 和 y 代入原方程得C( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
24
C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
.精品课件.
19
例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
.精品课件.
17
解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
24
C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
.精品课件.
19
例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
.精品课件.
17
解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx
高等数学微分方程总结ppt课件.pptx
y py qy 0,
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
一阶微分方程的求解ppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
y=2/t*x+t^2*exp(t ）
[T Y]=Trapezia_reckon (' euler_3_3_2',[1 2],0,10)
第19页
不同求解器特点
3.3
一阶微分方程的求解
求解器 ode45 ode23
求解问题
特点
非刚性
一步算法；4，5阶 Runge-Kutta算法
非刚性
一步算法；2，3阶 Runge-Kutta算法
y(tk1 ) h
y(tk )
y'(tk1 )
其近似值：
yk1 yk y'k1 h 欧拉隐式公式
第9页
一阶微分方程的求解
3.3 后向欧拉法几何意义：
yk1 yk hf (tk1 , yk1 )
在任一步长内，用一段直线
代替函数 y(曲t)线，此直
线段斜率等于该函数在该 步长终点斜率。
y(tn )
0 0.345919876 0.866642536 1.607215079 2.620359552 3.967666295 5.720961527 7.963873479
y(tn ) yn
0 -0.098362899 -0.240212999 -0.433745533 -0.688050221 -1.013245028 -1.420624329 -1.922824060
误差称为截断误差。尚有一个误差称为舍入误差，这种误差是由于
计算时数值舍入引起。
第3页
一阶微分方程的求解
前向欧拉法几何意义：
yk1 yk hf (tk , yk )
在任一步长内，用一段直 线代替函数 y(t曲) 线，此直 线段斜率等于该函数在该 步长起点斜率。
高数微分方程PPT
应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。
《微分方程 》课件
总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
第七章-微分方程1
* y 其中 为非齐次方程的特解，可设 0 非根 * k x y x e Qm ( x ) k 1 单根 2 重根
（ 复 习 ）
Y 为对应齐次方程的通解
华侨大学 厦门工学院 高等数学教学系 制作
上一张 下一张 返 回
高 等 数 学 （ 下 ）
例11 解
求 y '' 5 y' 6 y xe 2 x 通解
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高 等 数 学 （ 下 ）
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上面方程称为齐次的.
（ 复 习 ）
当Q( x ) 0, 上面方程称为非齐次的.
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*
1 b0 , b1 1 2
2x
（ 复 习 ）
y xe
原方程的通解为
1 ( x 1) 2
3x
y c1e
2x
c2 e
xe
2x
1 ( x 1) 2
上一张 下一张 返 回
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高 等 数 学 （ 下 ）
例12 解
求y '' 3 y' 2 y 3 xe x 通解
高 等 数 学 （ 下 ）
一、可分离变量的微分方程
g ( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 d y 2 x 2d x , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
（ 复 习 ）
Y 为对应齐次方程的通解
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高 等 数 学 （ 下 ）
例11 解
求 y '' 5 y' 6 y xe 2 x 通解
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高 等 数 学 （ 下 ）
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上面方程称为齐次的.
（ 复 习 ）
当Q( x ) 0, 上面方程称为非齐次的.
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*
1 b0 , b1 1 2
2x
（ 复 习 ）
y xe
原方程的通解为
1 ( x 1) 2
3x
y c1e
2x
c2 e
xe
2x
1 ( x 1) 2
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高 等 数 学 （ 下 ）
例12 解
求y '' 3 y' 2 y 3 xe x 通解
高 等 数 学 （ 下 ）
一、可分离变量的微分方程
g ( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 d y 2 x 2d x , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
微分方程ppt
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分 方 程
z z xy z2 x y
zx 5z4 0
常微分方程
偏微分方程
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分 方 程
z z xy z2 x y
zx 5z4 0
常微分方程
偏微分方程
一.平衡微分方程(共39张PPT)
由平衡方程式得出应力分量由极坐标向直角坐 标的变换(biànhuàn)公式:
x cos2 sin2 2 sin cos
y sin2 cos2 2 sin cos
xy ( )sin cos (cos2 sin2 ) 参看图(b)假设 x , y , x为y 已知,
正应力（正应变）分量仅是半径ρ的函数，与φ无关，并且切应力（切
应变）为零，称为轴对称应力（应变）。
1.应力函数 （半逆解法） 仅是径向坐标的函数:
（）
2. 相容方程(fāngchéng) 简化为:
2
d
d
2
1
d
d
0
d2
( d 2
1
d d2
d )( d 2
1
d )
d
0
展开
4
d4
d 4
2 3
d3
d 3
PA
d
线段PB，变形后为P'B'，B'点
ρ方向上的位移为零。
PB正应变为
(v
v
d)
v
PB PB PB
d
v
PB方向线1， PB方向线2. PB的
转角POP'：（向角外转为负）
v
第三页，共三十九页。
二.几何(jǐ 方程 hé)
u
总和上述两个方向(fāngxiàng)的应变，得
到：
u
1
v
物理 方 三.
jiǎo zuò biāo)的关系：
x
x cos , y sin
得到(dé dào) x cos , y sin ,
x
y
x
y
2
sin
,
x cos2 sin2 2 sin cos
y sin2 cos2 2 sin cos
xy ( )sin cos (cos2 sin2 ) 参看图(b)假设 x , y , x为y 已知,
正应力（正应变）分量仅是半径ρ的函数，与φ无关，并且切应力（切
应变）为零，称为轴对称应力（应变）。
1.应力函数 （半逆解法） 仅是径向坐标的函数:
（）
2. 相容方程(fāngchéng) 简化为:
2
d
d
2
1
d
d
0
d2
( d 2
1
d d2
d )( d 2
1
d )
d
0
展开
4
d4
d 4
2 3
d3
d 3
PA
d
线段PB，变形后为P'B'，B'点
ρ方向上的位移为零。
PB正应变为
(v
v
d)
v
PB PB PB
d
v
PB方向线1， PB方向线2. PB的
转角POP'：（向角外转为负）
v
第三页，共三十九页。
二.几何(jǐ 方程 hé)
u
总和上述两个方向(fāngxiàng)的应变，得
到：
u
1
v
物理 方 三.
jiǎo zuò biāo)的关系：
x
x cos , y sin
得到(dé dào) x cos , y sin ,
x
y
x
y
2
sin
,
《高数全微分方程》课件
参数方程法
总结词
参数方程法是通过引入参数，将全微分 方程转化为参数微分方程，然后求解参 数的微分，最后得到原全微分方程的解 。
VS
详细描述
参数方程法的步骤包括引入参数、将全微 分方程转化为参数微分方程、求解参数的 微分、将参数的解代回原方程，最后得到 原全微分方程的解。这种方法适用于具有 参数形式的全微分方程，能够简化求解过 程。
变量分离法
总结词
变量分离法是将全微分方程转化为可分离变量的微分方程，然后分别求解每个变量的微分，最后得到 原全微分方程的解。
详细描述
变量分离法的步骤包括将全微分方程转化为可分离变量的微分方程、分别求解每个变量的微分、将各 个变量的解代回原方程，最后得到原全微分方程的解。这种方法适用于具有可分离变量形式的全微分 方程，能够简化求解过程。
总结词
全微分方程描述了曲线的斜率在各个方向上的变化情 况。
详细描述
全微分方程可以表示曲线上任意一点的切线斜率的变 化情况，即该点处曲线在各个方向上的弯曲程度。通 过求解全微分方程，可以了解曲线的弯曲程度，从而 更好地理解曲线的几何特性。
曲线的弯曲程度与全微分方程
总结词
全微分方程描述了曲线的弯曲程度在各个方向上的变 化情况。
二阶全微分方程实例
总结词
二阶全微分方程是描述物理现象和工程问题的重要工具，具有丰富的数学性质和实际应 用价值。
详细描述
二阶全微分方程的一般形式为 d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中 f(x, y, z) 是关于 x、y 和 z 的函数。通过求解二阶全微分方程，可以找到满足特定边界条件的解，从而解决实际
高数全微分方程目录来自• 全微分方程简介 • 全微分方程的求解方法 • 全微分方程的实例分析 • 全微分方程的几何意义 • 全微分方程的扩展知识
微分方程解法ppt课件
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
4
d 2s
dt2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t 0
10
(6)
对（5）式两端积分一次，得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次，得S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件v t0 10代入（7）式中，将条件S t0 0代入（8）式，
原方程，经整理得 C(x) ex
y C(x) 代入 x
解得
C(x) ex C
于是原方程的通解为 y 1 (ex C) x
方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得
23
y
e
1 x
dx
(
e
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
eln x ( e x eln xdx C) x
1 x
( exdx
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
b 1 eabt
C
这就是种群的生长规律 。
15
8.3 一阶线性微分方程
形如
y P(x)y Q(x)
(1)
的方程叫做一阶线性微分方程（linear differential equation of first
Order),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数
curve).如 y x2 c 是方程（1）的积分曲线族,而 y x2 1只是其中过（1，2）点的一条积分曲线。
10
8.2 可分离变量的一阶微分方程
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则
dMMdMdt
dt
M
lM n t C 1 _ M _ e t C 1 e C 1 e t
第二节 一阶微分方程
例4：
MCet __初 _ 始 _M0C MM0et
一容器内有100升葡萄糖水，其中含葡萄糖10千克，今 以2升/分的速度将净水注入，并以同样速度使葡萄糖水 流出。有一搅拌器不停的工作，可以认为溶液的浓度 是均匀的。求（1）t时刻的葡萄糖含量（2）50分钟后 的葡萄糖的含量。
当X=2时,y=4，得 C=10
特解： x2 y2 20
y2 x2 C 22
第二节 一阶微分方程
例3：
由物理学知道，放射性元素铀在某时刻的衰变速度 与该时刻铀的质量 M成正比。已知 t=0时，铀的质 量为 M，求在衰变过程中铀的质量随时间变化的 规律。
解：设在时刻 t的质量是 M=M(t)，衰变速度是d M/dt
x
例： 考察方程 p119
uxd du xf(u) f(u d)uud x x
两边积分，用u=y/x代入。 例：例6-7、6-8、6-9
三、一阶线性微分方程
定义：一阶微分方程中的未知函数y以及 它的导数y都是一次幂，称为一阶线性微分 方程。(linear first-order differential equation) 一般形式：
ln x 0.02t ln C
x Ce0.02t
第二节 一阶微分方程
初始条件：t=0, x=10 得 C=0
则： x10e0.02t
当 t=50时，得 x10e13.67（ 9 千克
第二节 一阶微分方程
二、一阶齐次方程
定义 如果一阶微分方程，可化为 y ' f ( y )
称这微分方程为齐次微分方程。
yeu(x)ep(x)dxyeu(x)ep(x)dx记 作 yc(x)ep(x)dx
设想方程的解有形式： yc(x)ep(x)dx
y C p e (x )d xe p (x )dx Q (x )e p (x )dd x x
三、一阶线性微分方程
非齐次方程的通解由两部分组成： 第一部分是对应齐次方程的通解；第二 部分是原来非齐次方程的一个特解。
偏微分方程：未知函数为多元函数，出现 偏导数的方程。
本章只讨论常微分方程 一般形式：
F(x,y,y' yn)0
第一节 基本概念
微分方程中未知函数的导数 （或微分） 的最高阶数，叫微分方程的阶。
(order)
三、常微分方程的解 定义2：满足微分方程的函数，叫作微分
方程的解。(solution)
第一节 基本概念
(1) 通解：含有独立的任意常数、且 个数与微分方程的阶数相同的解。
(general solution)
(2) 特解：在通解中，利用已知条件 （或初始条件 initial condition）确 定任意常数后， 所得的解。
（particular solution）
第一节 基本概念
一般一阶微分方程初始条件： xx0 时 yy0或 yxx0 y0
y' P(x)yQ (x)
三、一阶线性微分方程
线性齐次(homogeneous)方程 :
y' P(x)y0 Q(x)=0
线性非齐次(inhomogeneous)方程：
y' P(x)yQ(x)
齐次方程的解：分离变量得
三、一阶线性微分方程
dyp(x)dxlny y
p(x)dxC1
yC1ep(x)dx yCep(x)dx___CC1
三、一阶线性微分方程
y Cep(x)dx
非齐次方程的解：常数变易法 (method of variation of constants), 将齐次通解中的 C=C(x).方程变为
dyQ(x)p(x)dx___两边积分 yy
ln y Q(yx)dxp(x)dx记 作u(x)p(x)dx
三、一阶线性微分方程
例：p118 例6-4—例6-6
例1： 求微分方程的通解 dyx(1y2)
dx
解：分离变 —1量 dyy2得 xdx
两边积分：arctgy1x2 C
2
通解为：
ytg(1x2 C) 2
第二节 一阶微分方程
例2： 求微分方程满足初始x=2,y=4条件的特解
分离变量：ydy=-xdx 两边积分得：
dx dy 0 yx
C2
t
0,
s
0,
ds dt
0
C1
0, C2
0
s 1 gt2 2
第一节 基本概念
二、常微分方程 定义1：含有自变量、未知函数和未
知函数的导数（或微分）的方程称 为微分方程。(Ordinary differential
equation)
第一节 基本概念
常微分方程：未知函数为一元函数的微分 方程。（只有全导数，没有偏导数）
二阶初始条件：
xx0, yy0, y' y1 或y xx0 y0, y' xx0 y1
第二节 一阶微分方程
一般形式
dy F(x, y) dx
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
如果方程形式为：
dyf(x)g(y)dyf(x)dx
dx
g(y)
两边积分 ：
dy g(y)
f
(x)dx
第二节 一阶微分方程
高等数学
高等数学
第六章 微分方程
第一节 基本概念
一、实例 例6-1、6-2
例1：一曲线通过点（1，2），曲线上任意 点的切线斜率为2x，求曲线方程。
解：设所求曲线为 y= f(x), 则
d d y x2x d y2xd x d y2xdx
第一节 基本概念
y x 2 C ，， x 1 ,y 满 2 D 足 1 y x 2 1
第二节 一阶微分方程
解：设t 时刻溶液中的葡萄糖含量为x，则
在t,t+dt内溶液中葡萄糖含量的变化为 葡萄糖含量的增量=流进的葡萄糖量-流 出的葡萄糖量 葡萄糖的增量为dx，流 进的葡萄糖量为零。t 时刻的浓度x/100 为dt 内的浓度，则流出的葡萄糖量为 x/100·2dt, 微分方程为
dx 0.02 xdt
例2：在理想环境中，某细菌的增殖速率与它的 即时存在量成正比。试建立细菌在时刻的存在 量满足的微分方程。
dN(t) kN(t) dt
第一节 基本概念
例3பைடு நூலகம்自由落体问题
m
d2s dt 2
mg
d2s dt 2
g
d ( ds ) dt
gdt
ds dt
gt
C1
ds
(gt
C1)dt
s
1 2
gt 2
C1t
例：p122 例6-10、6-11
三、一阶线性微分方程