初中数学旋转难题

初中数学旋转难题 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

1.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是

B D 中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或

测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN

（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 1）

2.（10中，AB =BA

按如图为

F ，一条直角边与AC

边恰

好经过点B ．

（1

）在图15-1中请你通过观察、测量BF 与CG

的

长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，

然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC 方向平移到图15-2所示的位

置

时，

一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条

直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于 点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足 的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平

移到图15-3所示的位置（点F 在线段AC 上，

图13－2

图13－3图13－1

A (

B ( E )

图15-3

图15-1

且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否 仍然成立？（不用说明理由）

3.(2010 梅州)用两个全等的正方形ABCD 和CDFE 拼成一个矩形ABEF ，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF 的中点D 重合，且将直角三角尺绕点

D 按逆时针方向旋转．

（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF 的两边BE EF ，相交于点G H ，时，如图甲，通过观察或测量BG 与EH 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论． （2）当直角三角尺的两直角边分别与BE 的延长线，EF 的延长线相交于点G H ，时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．

4.（09烟台市）如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ；

（2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.

5.如图①，四边形AEFG 和ABCD 都是正方形，它们的边长分别为a b ，（2b a ≥），且点F 在AD 上（以下问题的结果均可用a b ，的代数式表示）． （1）求DBF S △；

（2）把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的DBF S △； （3）把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，DBF S △是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

A B

G C E

H F D 图甲

A B

G

C E

H

F D 图乙

C

C

6.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点Q ．

（1）试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ； 积是正

（2）当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面方形ABCD 面积的

6

1； （3）若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，

△ADQ 恰为等腰三角形．

1.解：（1）BM=FN。

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF，

又∵∠BOM=∠FON，

∴△OBM≌△OFN，

∴BM=FN；

（2）BM=FN仍然成立。

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，

∴∠MBO=∠NFO=135°，

又∵∠MOB=∠NOF，

∴△OBM≌△OFN，

∴BM=FN。

2.

3.解：（1）BG=EH．

∵四边形ABCD和CDFE都是正方形，

∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，

∵∠CDG+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，

∴∠CDG=∠FDH，

∴△CDG≌△FDH，

∴CG=FH，

∵BC=EF，

∴BG=EH．

（2）结论BG=EH仍然成立．同理可证△CDG≌△FDH，

∴CG=FH，

∵BC=EF，

∴BC+CG=EF+FH，

∴BG=EH．

4.

5.

6.