3.三次样条曲线
三次样条曲线推导过程
三次样条曲线推导过程三次样条曲线是一种常用的曲线插值方法，可以通过一系列已知控制点来生成平滑的曲线。
下面是推导三次样条曲线的基本过程：1.整理控制点：给定一组已知控制点P0, P1, P2, ..., Pn，其中每个点Pi的坐标为(xi, yi)。
我们的目标是找到一个曲线函数C(t)，其中t的范围在[0, 1]之间。
2.定义曲线段：将整个插值范围[0, 1]划分为一系列曲线段，每个曲线段由相邻的两个控制点构成。
我们有n个控制点，则会有n个曲线段。
3.插值求解：对于每个曲线段，我们希望找到一条插值曲线，使得该曲线通过两个相邻控制点，并且在相邻曲线段的连接处保持平滑。
4.建立方程：为了推导每个曲线段的曲线方程，我们需要定义一些参数。
引入参数t，其中t的范围为[0, 1]。
假设我们有一个曲线段的控制点Pi和Pi+1。
我们需要定义两个参数h和u，其中h = xi+1 - xi，u = (t - xi) / h。
5.插值方程：通过插值方法，我们可以得到曲线段的插值方程。
一个典型的三次样条曲线方程为： C(t) = (1 - u)^3 * P_i+ 3 * (1 - u)^2 * u * P_i+1 + 3 * (1 - u) * u^2 * P_i+2 + u^3 *P_i+3这个方程表示了在t范围内从Pi到Pi+3的曲线。
对每个相邻的控制点对应的曲线段都应用相同的方法，然后将它们拼接在一起，就可以得到整个三次样条曲线。
请注意，以上是三次样条曲线的简化推导过程，实际的推导可能会涉及更多的数学推导和符号表示。
样条函数(三次样条)
样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。
1. 三次样条曲线原理假设有以下节点1.1 定义样条曲线是一个分段定义的公式。
给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：a. 在每个分段区间（i = 0, 1, …, n-1，x递增），都是一个三次多项式。
b. 满足（i = 0, 1, …, n ）c. ，导数，二阶导数在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。
所以n个三次多项式分段可以写作：，i = 0, 1, …, n-1其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
1.2 求解已知:a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, nb. 每一分段都是三次多项式函数曲线c. 节点达到二阶连续d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。
插值和连续性：, 其中i = 0, 1, …, n-1微分连续性：, 其中i = 0, 1, …, n-2样条曲线的微分式：将步长带入样条曲线的条件：a. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出b. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出c. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出由此可得：d. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出设，则a. 可写为：，推出b. 将ci, di带入可得：c. 将bi, ci, di带入(i = 0, 1, …, n-2)可得：端点条件由i的取值范围可知，共有n-1个公式，但却有n+1个未知量m 。
要想求解该方程组，还需另外两个式子。
所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。
选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。
a. 自由边界(Natural)首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即。
具体表示为和则要求解的方程组可写为：b. 固定边界(Clamped)首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。
三次样条的s曲线加减速算法 verilog
《三次样条的s曲线加减速算法 verilog》1. 引言在近年来的工程实践中，对于加减速算法的需求越来越迫切。
特别是在Verilog领域，随着数字逻辑设计的复杂度不断提升，对于运动控制的要求也日益严格。
三次样条的s曲线加减速算法成为现代Verilog设计中的一个热门话题。
本文将从深度和广度两个方面进行全面评估，并据此撰写有价值的文章。
2. 三次样条的s曲线加减速算法2.1 三次样条曲线简介三次样条曲线是一种用于模拟和逼真地描述曲线轨迹的方法。
它通过一系列的插值点来构建平滑的曲线，具有良好的光滑性和连续性。
在Verilog设计中，三次样条曲线常常被用于描述运动轨迹，实现精确的加减速控制。
2.2 S曲线加减速算法S曲线是一种具有平滑加减速过程的曲线形状。
其特点是起始和结束的加减速过程较为平滑，可以有效减少机械系统的冲击和损耗。
在Verilog设计中，S曲线加减速算法常常被应用于运动控制系统，以实现高效、精准的运动控制。
3. 从简到繁，由浅入深地探讨三次样条的s曲线加减速算法3.1 算法基础在Verilog中，实现S曲线加减速算法的关键是理解三次样条曲线的原理和计算方法。
通过插值和数学建模，可以得到在Verilog中实现S曲线加减速的数学表达式和计算方法。
3.2 Verilog实现通过Verilog HDL语言，可以将S曲线加减速算法实现为硬件逻辑。
利用FPGA或ASIC等数字逻辑芯片，可以将S曲线加减速算法应用于实际的运动控制系统中。
3.3 实际应用结合实际的机械系统和运动控制需求，可以将S曲线加减速算法应用于各种场景中，实现高效、精准的运动控制。
机械臂、CNC数控机床、自动化生产线等领域都可以受益于S曲线加减速算法的应用。
4. 主题文字的多次提及在上述内容中，我们多次提到了“三次样条的s曲线加减速算法”，这是我们在本文中关注的核心主题。
其在Verilog设计中的应用对于实现精准、高效的运动控制具有重要意义。
用Matlab实现了3次样条曲线插值的算法边界条件取为自然
用Matlab实现了3次样条曲线插值的算法。
边界条件取为自然边界条件，即：两个端点处的2阶导数等于0；共包含3各个函数文件，主函数所在文件（即使用的时候直接调用的函数）为spline3.m,另外两个函数文件是在splin3函数文件中被调用的自定义函数。
一个是GetParam.m,一个是GetM.m。
%GetParam.m文件的内容：%根据给定的离散点的横坐标所构成的向量，计算各个区间段的h值；function GetParam(Vx,Vy)global gh;global gf;global gu;global gr;global gd;global gff;global gM;%global gn;%n=length(Vx);%length()为向量Vx所含元素的个数；%n=legth(Vx);%gn=n;%n=gn;n=length(Vx);gh(1)=Vx(2)-Vx(1);gf(1)=(Vy(2)-Vy(1))/gh(1);for i=2:1:n-1%从区间0到区间n-1; gh(i)=Vx(i+1)-Vx(i);gf(i)=(Vy(i+1)-Vy(i))/gh(i);gu(i)=gh(i-1)/(gh(i-1)+gh(i));gr(i)=1-gu(i);gff(i)=(gf(i-1)-gf(i))/(Vx(i-1)-Vx(i+1)); gd(i)=6*gff(i);end%设置与边界条件有关的参数；gM(1)=0;%起点的2阶导数；gM(n)=0;%终点的2阶导数；end%GetM.m文件的内容：function GetM(Vx)global gh;global gf;global gu;global gr;global gd;global gff;global gM;%global gn;nn=length(Vx);%nn=gn;n=nn-2;b=zeros(n,1);A=zeros(n,n);A(1,1)=2;A(1,2)=gr(2);b(1)=gd(2)-gu(2)*gM(1);for i=2:1:n-1A(i,i)=2;A(i,i-1)=gu(i+1);A(i,i+1)=gr(i+1);b(i)=gd(i+1);endA(n,n-1)=gu(n);A(n,n)=2;b(n)=gd(nn-1)-gr(nn-1)*gM(nn); X=(inv(A))*b;for i=2:1:nn-1gM(i)=X(i-1);end%主函数文件spline3.m的内容：function result=spline3(x,Vx,Vy) global gh;global gf;global gu;global gr;global gd;global gff;global gM;%global gn;GetParam(Vx,Vy);GetM(Vx);%n=length(Vx);%n=gn;n=length(Vx);nn=length(x);y=zeros(1,nn);for j=1:1:nni=1;while(x(j)>Vx(i+1))endsn=i;t1=(Vx(sn+1)-x(j))^3/(6*gh(sn));t1=t1*gM(sn);t2=(x(j)-Vx(sn))^3/(6*gh(sn));t2=t2*gM(sn+1);t3=Vy(sn)-gM(i)*((gh(i))^2)/6;t3=t3*(Vx(sn+1)-x(j))/gh(sn);t4=Vy(sn+1)-gM(sn+1)*((gh(sn))^2)/6;t4=t4*(x(j)-Vx(sn))/gh(sn);y(j)=t1+t2+t3+t4;endresult=y;end函数调用的时候，result=spline3(x,Vx,Vy)，x为代求点的横坐标向量，(Vx,Vy)为已知的点的坐标。
三次周期B样条曲线的算法
（2）的矩阵的形式：p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
（3）的矩阵的形式：p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性
三次样条插值——三转角方程的算法设计
三次样条插值——三转角方程的算法设计
三次样条插值是一种插值方法，用于通过一组离散点的数据生成连续的曲线。
三次样条插值算法可以通过三转角方程来实现。
三转角方程是指在每个节点处，曲线的一阶导数和二阶导数与相邻插值段的一阶导数和二阶导数相等。
该方程可以用来计算插值段的系数，从而得到连续的曲线。
三次样条插值的算法设计包括以下步骤：
1. 确定插值节点，即给定一组数据点{x_i, y_i}。
2. 计算相邻插值段的一阶导数和二阶导数。
3. 根据三转角方程，计算每个节点的插值段系数。
4. 通过插值段系数，得到连续的三次样条曲线。
三次样条插值算法的优点是可以减少插值误差，同时保持曲线的平滑性。
该算法在数值分析、计算机图形学和工程设计等领域得到广泛应用。
在实现三次样条插值算法时，需要注意以下问题：
1. 插值节点的选择会影响插值曲线的精度和平滑性。
2. 计算导数时需要使用数值差分或解析方法。
3. 三转角方程的求解可能存在线性方程组求解的问题。
总之，三次样条插值算法是一种重要的插值方法，可以用来生成平滑的曲线，具有广泛的应用前景。
python 三次样条曲线拟合
python 三次样条曲线拟合三次样条曲线拟合是一种利用三次多项式来逼近一组数据的方法。
它在数据不光滑或不连续的情况下能够产生一个平滑的曲线。
在Python中，有多种方法可以实现三次样条曲线拟合，例如利用SciPy库中的interpolate模块或使用numpy.polyfit函数。
下面将介绍这两种方法的基本原理和具体实现过程。
一、基本原理三次样条曲线拟合的基本原理是通过使用多个三次多项式来逼近一组数据，使得拟合的曲线在每个数据点处与原始数据相切且平滑。
这意味着在每个数据点的一阶导数值相等，从而保证了曲线的平滑特性。
为了实现这一点，我们可以将原始数据分成多个小段，每一段对应一个三次多项式。
这样，我们只需确定每一段的系数，即可拟合出整个曲线。
二、SciPy库的interpolate模块SciPy是一个强大的科学计算库，其中的interpolate模块提供了许多插值和拟合的函数。
在进行三次样条曲线拟合时，我们可以使用interp1d函数来实现。
具体步骤如下：1.导入必要的库```pythonimport numpy as npfrom scipy.interpolate import interp1dimport matplotlib.pyplot as plt```2.准备数据```pythonx = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5]) #自变量数据y = np.array([1, 2, 1, 0, 1, 2]) #因变量数据```3.使用interp1d函数进行拟合```pythonf = interp1d(x, y, kind='cubic') # cubic表示三次样条插值```4.生成插值点```pythonx_new = np.linspace(0, 5, num=100) #生成100个均匀分布的插值点y_new = f(x_new) #计算插值点的纵坐标值```5.绘制拟合曲线和原始数据```pythonplt.plot(x, y, 'o', label='原始数据') #绘制原始数据点plt.plot(x_new, y_new, '-', label='拟合曲线') #绘制拟合曲线plt.legend() #显示图例plt.show() #显示图像```通过上述步骤，我们就能够得到拟合曲线，并将其与原始数据绘制在一张图上。
三次参数样条曲线
目 录
• 参数样条曲线简介 • 三次参数样条曲线的数学模型 • 三次参数样条曲线的构建过程 • 三次参数样条曲线的应用实例 • 三次参数样条曲线的优缺点分析 • 三次参数样条曲线与其他插值方法的比较
01
CATALOGUE
参数样条曲线简介
定义与特性
定义
三次参数样条曲线是一种数学函 数，通过给定的数据点，使用参 数化方法拟合出一条光滑的曲线 。
与多项式插值的比较
1
多项式插值适用于已知数据点之间存在某种特定 关系的情况，而三次参数样条曲线则不需要事先 知道这种关系。
2
多项式插值在处理高阶数据时可能会遇到计算量 大和稳定性差的问题，而三次参数样条曲线则相 对较稳定。
3
多项式插值在处理非线性数据时可能会产生较大 的误差，而三次参数样条曲线能够更好地适应非 线性数据的处理。
算法实现
可以使用数值计算方法和编程语言来实现三次参数 样条曲线的计算，例如Python、MATLAB等。
优化方法
为了提高计算效率和精度，可以采用一些优 化方法，如共轭梯度法、牛顿法等。
03
CATALOGUE
三次参数样条曲线的构建过程
数据准备
数据收集
01
收集用于拟合曲线的离散数据点，确保数据具有代表性且分布
易于理解和实现
三次参数样条曲线具有直观的几 何意义，易于理解和实现，不需 要复杂的数学背景。
缺点分析
01
对异常值敏感
三次参数样条曲线对异常值比较 敏感，如果数据中存在异常值， 可能会导致拟合结果偏差。
02
对初始程可 能会陷入局部最优解，影响拟合 效果，需要合理设置初始值。
合理。
数据清洗
三次样条函数范文
三次样条函数范文三次样条函数是一种常用于数据拟合和插值的数学函数。
它由一系列的三次多项式组成，这些多项式在相邻的数据点之间形成平滑的曲线。
三次样条函数具有良好的局部逼近性和全局连续性，并且在拟合和插值问题中常常比其他方法表现更好。
在介绍三次样条函数之前，我们先了解一下样条函数的基本概念。
样条函数是由一系列的分段多项式组成，这些分段多项式通常在相邻的数据点上是连续的，并且可以通过插值或拟合得到。
在三次样条函数中，每个分段多项式都是三次的，也就是说它们是形如ax^3+bx^2+cx+d的函数。
1.插值条件：三次样条函数要通过给定的数据点。
也就是说，对于给定的数据点(x_i,y_i)，三次样条函数在每个数据点上的函数值与给定数据点上的函数值相等。
2.连续条件：三次样条函数在相邻的数据点上是连续的。
也就是说，对于相邻的数据点(x_i,y_i)和(x_{i+1},y_{i+1})，三次样条函数在这两个数据点的连接处是连续的。
3.平滑条件：三次样条函数在相邻的数据点上的一阶导数是连续的。
也就是说，对于相邻的数据点(x_i,y_i)和(x_{i+1},y_{i+1})，三次样条函数在这两个数据点的连接处的一阶导数相等。
通过满足这些条件，三次样条函数能够在拟合和插值问题中产生较好的结果。
在插值问题中，三次样条函数可以通过给定的数据点得到一条曲线，使得曲线经过所有的数据点；在拟合问题中，三次样条函数可以通过最小化数据点与曲线之间的误差来找到一个最佳拟合曲线。
通常，我们将数据点按照自变量的大小进行排序，然后使用三次样条插值B-spline或自由节点插值来构造三次样条函数。
在B-spline插值中，我们将样条函数表示为一组基函数的线性组合，通过调整基函数的权重来得到插值结果。
在自由节点插值中，我们将样条函数的节点选择为数据点，并通过求解线性方程组来确定系数。
总结起来，三次样条函数是一种常用于数据拟合和插值的数学函数。
三次B样条曲线
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例 四次
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 五次 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
1 n−i G i ,n (t ) = ( − 1 ) j C nj+ 1 ( t + n − i − j ) n ∑ n! j = 0 t ∈ [ 0 ,1 ], i = 0 ,1 ,..., n
如左图所示，六个 控制顶点控制的三 次B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中，每一条 曲线段由四个顶点 控制。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
2.几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和 Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。
3. 连续性
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk , n (1 − t ) = =
∑
n
n
i=0
Pi + k G i , n (1 − t ) Pi + k G n − i , n ( t ) ( t ∈ [ 0 ,1 ])
样条曲线 分类
样条曲线是指通过一系列点的拟合而形成的平滑曲线。
它在计算机图形学、计算机辅助设计和动画等领域中有广泛的应用。
根据不同的分类标准，样条曲线可以分为多种类型，以下是一些常见的分类方式：1. 按照节点类型分类：-均匀样条曲线（Uniform Spline Curve）：节点间距相等的样条曲线。
-非均匀样条曲线（Non-Uniform Spline Curve）：节点间距不相等的样条曲线。
2. 按照次数分类：-一次样条曲线（Linear Spline Curve）：通过两点的直线。
-二次样条曲线（Quadratic Spline Curve）：通过三个点的二阶多项式曲线。
-三次样条曲线（Cubic Spline Curve）：通过四个点的三阶多项式曲线。
-高次样条曲线（Higher-Order Spline Curve）：通过多个点的高阶多项式曲线。
3. 按照约束条件分类：-插值样条曲线（Interpolation Spline Curve）：通过给定的一组点来插值生成的样条曲线，要求曲线通过所有给定的点。
-逼近样条曲线（Approximation Spline Curve）：通过给定的一组点来逼近生成的样条曲线，不要求曲线通过所有给定的点，但要求曲线尽可能接近这些点。
4. 按照参数化方式分类：-开放式样条曲线（Open Spline Curve）：只有一个起点和一个终点的样条曲线。
-封闭式样条曲线（Closed Spline Curve）：起点和终点相接的样条曲线，形成一个封闭的环。
5. 按照光滑性分类：-光滑样条曲线（Smooth Spline Curve）：在连接节点处具有连续的一阶导数和二阶导数的样条曲线。
-非光滑样条曲线（Non-Smooth Spline Curve）：在连接节点处不具有连续的一阶导数或二阶导数的样条曲线。
[机械仪表]第3章31三次样条曲线与参数样条曲线
![[机械仪表]第3章31三次样条曲线与参数样条曲线](https://img.taocdn.com/s3/m/ca17121402d8ce2f0066f5335a8102d276a261e5.png)
上课内容3/61一、背景知识1.放样与设计设计放样6/61几种典型的设计方法7/619/61打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上描线：用“压子”使“样条”通过型值点三次样条函数及其力学背景三次样条函数及其力学背景模线绘制的一般过程分段：两个“压子”之间可以认为是一段。
数学本质是每两个“压子”之间曲线的表达式不同模线的形状特征具体地：给出一张函数表选择一个函数φ(x)使得φ(x i)=yi i=0,1…n作为f(x)的近似，这样函数逼近为满足上述关系式的函数φ(x)为f(x)的插值函数12/61对于寻求一个n次的代数多项式插值，必须给出n+1互异的插值基点P n (x)=a+a1x+a2x2+…+anx nPn(xi )=yii=0,1…n压铁(型值点)由于在各小段上M(x)是线性函数，因此可知，在各小段上函数y(x)18/61由样条函数构成的曲线称为样条曲线。
当要求在每个数据点处三阶或更高阶的导数也连续时，就要用高次样条，例如，五次样条有四阶导数连续。
条件:两个端点处的值与一阶导数值,a,a21/61解：设三次插值函数，对y(u)求一阶导数，即，根据端点条件，u=0,y 0,y 0’u=1, y 1,y 1’代入端点条件即二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线）例题：曲线段方程y(u)=y 0F 0(u)+ y 1F 1(u) + y ’0G 0(u) + y ’1G 1(u)，式中F 0(u)、F 1(u) 、G 0(u)、G 1(u)称为埃尔米特基函数或三次混合函数。
试描述一下上述四个混合函数对曲线形状的影响。
0001231'10'123123a y a a a a y a y a a a y =+++==++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'1'01032103210001011110001y y y y a a a a 0011'20'311000001033212211a y a y a y a y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]00112323'20'31010101'0'110000010()1133212211()()()()a y a y y u uu u u u u a y a y y y F u F u G u G u y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦22/61function hermit()%画出Hermit基函数close all;u=linspace(0,1,20);F0=2*u.^3-3*u.^2+1;F1=-2*u.^3+3*u.^2;G0=u.*(u-1).^2;G1=u.^2.*(u-1);F0c=6*u.^2-6*u; %F0的一阶导数F1c=-6*u.^2+6*u; %F1的一阶导数G0c=3*u.^2-4*u+1; %G0的一阶导数G1c=3*u.^2-2*u; %G1的一阶导数subplot(121);plot(u,F0,'-r','LineWidth',2);title('埃尔米特基函数');hold all;plot(u,F1,'--r','LineWidth',2);plot(u,G0,'-b','LineWidth',2);plot(u,G1,'--b','LineWidth',2);subplot(122);plot(u,F0c,'-r','LineWidth',2);title('埃尔米特基函数的导数');hold all;plot(u,F1c,'--r','LineWidth',2);plot(u,G0c,'-b','LineWidth',2);plot(u,G1c,'--b','LineWidth',2);23/61 Ferguson曲线Bézier曲线B样条曲线25/61 4. Step3:进行拼接26/61二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线）5. 结论：m-关系式注意端点条件27/6129/61一个问题z给定一批型值点，如何构造处二阶连续的曲线？三次样条函数的理论基础三次样条函数的理论基础xy x i-1x iaby iy i-1(1)按照m 关系式构造出方程组，称该方程组为三切矢方程（组），计算出各型值点处的切矢量；（2）各型值点之间的曲线段表示为：]u G m h u G m [h u F y u F y x y 1i i 01-i i 1i 01-i )()()()()(+++=30/61i1i ii1-i iC mμ2m m λ=+++三切矢方程的普通表达形式121101C m μ2m m λ=++……1-n 1-n 1-n 21-n C m μ2m m λ=++−n n如何求解：（n -1）个线性方程，内节点的m 1、m 2、…、m n -1未知三次样条函数的理论基础三次样条函数的理论基础31/61用型值点处的二阶导数表示的三次样条曲线这样处理，保证了在Pi-1Pi两点间严格为直线，且在直线和曲线的衔接处不会产生波动等现象，同时包括直线段在内的整条曲线有一个统一的表达式。
3.三次样条曲线
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
几种常用插值方法
分段线性插值：
收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑
三次样条插值:(*)
曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难
B样条插值：
曲线光滑随B样条的次数增加而增加，收敛性有保证 实际中应用广泛 理论知识比较复杂，编程实现比较繁琐
如何求解：（n-1）个线性方程，内节点的m1、m2、 …、mn-1未知
三切矢方程的边界条件
① 已知m0和mn
② 已知两端点处 的二阶导数。
③ 未知①、 ② 相邻三个节点拟合抛物 线，并数值微分求端点 的一阶导数。
三切矢方程的求解
追赶法求解
m0
λ1
2 λ2
μ1 2
λn-1
μn-2 2
y
yi-1 yi
a
xi-1 xi
bx
2. 三次样条的理论基础
2.1 Hermite 基 函 数 2.2 三切矢方程 2.3 三次样条插值的局限性
• Charles Hermite（1822－1901）
• 法国洛林（Lorraine ）
• 巴黎综合工科技术学院
• 曾任法兰西学院、巴黎高等师 范学校、巴黎大学教授。法兰 西科学院院士。
μn-1
m1
m2
mmnn-1
c1
c2
cn-1
两个边界条件
二阶连续的条件
y
yi-1 yi yi+1
a
xi-1 xi xi+1
bx
yi1(xi ) yi(xi )
2.3 三次样条插值的局限性
三次样条插值和曲线拟合–LonelyNights
三次样条插值和曲线拟合–LonelyNights很多东西不在手上用着就容易忘，尤其是书本知识。
就弄这么个类别，叫作“书到用时方恨少”，来记录这些知识。
曲线拟合是一个“数值计算“中的一个基本内容。
在实际的项目中，使用拟合的目的就是从有限个点得到一条平滑曲线。
曲线本身也是由点构成的，所以如何从有限个点得到曲线上的其它点，就是插值所关注的内容。
插值的方法有很多，把这些个点逐个用直线段连起来也是一种插值。
样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。
Google 三次样条插值可以看得到不少材料，这里就不罗列公式了，直接看看在代码里，我们怎么做。
首先我们需要各个点的坐标，以x,y表示。
const int len =[_points count];float x[len];float y[len];for(int i =0; i < len; i++){CGPoint p =[[_points objectAtIndex:i] CGPointValue];x[i]= p.x;y[i]= p.y;}取变量x,y从算法中可以得知，我们的目标是样条插值函数，这是一个分段函数，x最高次数为三次，在各个点二次连续可导以保证最终函数曲线的光滑性。
我们每两个点求一个三次函数，我们有n个点，那么这里就需要4(n-1)个方程。
目前我们有n个点的坐标，有n-2个连接点，有n个函数两次连续可导，这里有n+n-2+2*(n-2)共4n-6个方程，还差两个条件。
这里一般有三种处理方法，最方便的，也是我们这里使用的是自然三次样条，也就是在首尾两个点上二次导为0。
具体计算不在此列举了，根据算法构建一个方程组求一组中间值sx，左边是一个三对角矩阵。
float h[len];float u[len];float lam[len];for(int i =0; i < len-1; i++){h[i]= x[i+1]- x[i];}u[0]=0;lam[0]=1;for(int i =1; i <(len -1); i++){u[i]= h[i-1]/(h[i]+ h[i-1]);lam[i]= h[i]/(h[i]+ h[i-1]);}float a[len];float b[len];float c[len];float m[len][len];for(int i =0; i < len; i++){for(int j =0; j < len; j++){m[i][j]=0;}if(i ==0){m[i][0]=2;m[i][1]=1;b[0]=2;c[0]=1;}else if(i ==(len -1)) {m[i][len -2]=1;m[i][len -1]=2;a[len-1]=1;b[len-1]=2;}else{m[i][i-1]= lam[i];m[i][i]=2;m[i][i+1]= u[i];a[i]= lam[i];b[i]=2;c[i]= u[i];}}求三对角矩阵，自下而上对角线上的参数是a,b,c当然需要得到方程组右边的值float g[len];g[0]=3*(y[1]- y[0])/h[0];g[len-1]=3*(y[len -1]- y[len -2])/h[len -2];for(int i =1; i < len -1; i++){g[i]=3*((lam[i]*(y[i]-y[i-1])/h[i-1])+u[i]*(y[i+1]-y[i])/h[i]);}下面就是求解这个方程组了，对于三对角矩阵，使用追赶法//< Solve the Equationsfloat p[len];float q[len];p[0]= b[0];for(int i =0; i < len -1; i++){q[i]= c[i]/p[i];}for(int i =1; i < len; i++){p[i]= b[i]- a[i]*q[i-1];}float su[len];float sq[len];float sx[len];su[0]= c[0]/b[0];sq[0]= g[0]/b[0];for(int i =1; i < len -1; i++){su[i]= c[i]/(b[i]- su[i-1]*a[i]);}for(int i =1; i < len; i++){sq[i]=(g[i]- sq[i-1]*a[i])/(b[i]- su[i-1]*a[i]);}sx[len-1]= sq[len-1];for(int i = len -2; i >=0; i--){sx[i]= sq[i]- su[i]*sx[i+1];}求得了参数，现在就得到分段插值函数了。
三次样条曲线表达式
三次样条曲线表达式三次样条曲线是一种常用的插值方法，用于在给定的数据点之间进行平滑插值。
三次样条曲线由一组三次多项式组成，在每个相邻数据点之间使用不同的三次多项式来实现平滑曲线的连接。
这些三次多项式在相邻数据点处具有连续的一阶和二阶导数，以确保曲线的平滑性和连续性。
要表示三次样条曲线的表达式，首先需要确定数据点的坐标和插值方法。
假设我们有n个数据点 (x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)，我们可以使用三次样条插值方法来计算出每个相邻数据点之间的三次多项式表达式。
具体而言，三次样条曲线由n-1个三次多项式组成，每个三次多项式在相邻数据点之间定义。
假设第i个三次多项式在区间[x_{i-1}, x_i] 上的表达式为 S_i(x)，其中 i = 1, 2, ..., n-1。
在每个区间 [x_{i-1}, x_i] 上，三次样条曲线的表达式为：S_i(x) = a_i(x x_i)^3 + b_i(x x_i)^2 + c_i(x x_i) + d_i.其中 a_i, b_i, c_i, d_i 是待定系数。
为了确定这些系数，我们需要满足一些插值条件，例如在每个数据点处函数值相等，以及相邻区间的三次多项式在相邻数据点处的一阶和二阶导数相等。
通过解这些条件，可以得到每个区间上的三次多项式的系数，从而得到整个三次样条曲线的表达式。
最终的三次样条曲线表达式将是所有区间上三次多项式的组合。
总之，三次样条曲线的表达式包括了每个相邻数据点之间的三次多项式表达式，通过满足插值条件来确定每个区间上的系数，从而得到整个曲线的表达式。
这样的表达式能够实现对给定数据点之间的平滑插值，从而得到连续且平滑的曲线。
三次B样条曲线
所以，根据式：
P(t )
PB
i 0 i
n
i ,n
(t )
二次 Bezier 曲线的表达形式为：
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2 （０≤t ≤ 1)
根据 Bezier 曲线的总体性质，可讨 论二次 Bezier 曲线的性质： P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2 P2 P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2 P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)] P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0
' '
同理可得，当 t=1 时
P (1) n( Pn明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。
２.二次和三次Bezier曲线 (1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
B (t ) n[Bi 1,n1 (t ) Bi,n1 (t )]
' i ,n
得：
P ' (t ) n P i [ Bi 1, n 1 (t ) Bi , n 1 (t )]
i 0 n 1
讨论：
(n 1)! Bi 1, n 1 (t ) t i 1 (1 t ) n 1i (i 1)! ( n i )! (n 1)! Bi , n 1 (t ) t i (1 t ) n 1i i!( n 1 i )!
法国的 Bezier 为此提出了一种新的 参数曲线表示方法，因此称为Bezier 曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线。 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用。
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• 逼近
构造一条曲线使之在某种意义下最为接近给定的数据点，称为对这些 数据点进行逼近（approximation），所构造的曲线称为逼近曲线。
• 拟合
插值和逼近统称为拟合（fitting）。
–线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1 和x2的值，用一个线性函数：y=ax+b，近似代 替，称为f(x)的线性插值函数。 –抛物线插值:已知在三个互异点 x1 , x2 , x3 的函 数值为 y1 , y 2 , y3 ，要求构造一个函数
矩阵表达式
yi (x) 1 u u
2
0 0 0 yi -1 1 0 y 0 1 0 i 3 u 3 3 2 1 hi mi -1 1 hi mi 2 2 1
三切矢方程
λ i mi-1 2mi μi mi1 Ci
y(u) = a0 + a1u + a2 u + a3 u
2
3
2 y (u ) 1 u u
1 0 0 0 y0 0 0 1 0 y 1 3 u 3 3 2 1 y ' 0 2 2 1 1 y '1
收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑
三次样条插值:(*)
曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难
B样条插值：
曲线光滑随B样条的次数增加而增加，收敛性有保证 实际中应用广泛 理论知识比较复杂，编程实现比较繁琐
两种插值方式的图例
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -6 n=10
•
Charles Hermite（1822－1901） 法国洛林（Lorraine ） 巴黎综合工科技术学院 曾任法兰西学院、巴黎高等师 范学校、巴黎大学教授。法兰 西科学院院士。 在函数论、高等代数、微分方 程等方面都有重要发现。1858 年利用椭圆函数首先得出五次 方程的解。1873年证明了自然 对数的底e的超越性。在现代数 学各分支中以他姓氏命名的概 念（表示某种对称性）很多， 如“Hermite二次型”、 “Hermte算子”等。
记 yx
x - xi-1 x - xi-1 dx = yx hi u= = , \ yu = yx xi - xi-1 hi du
x=xi-1
= mi-1 , yx
x=xi
= mi
\ y(x) = yi-1 F0 (u) + yi F1 (u) + hi [mi-1G0 (u) + mi G1 (u)]
放样现场
模线的形状特征
分段：两个“压子”之间可以认为是一段。数学本 质是每两个“压子”之间曲线的表达式不同 光滑：不象每两点之间连线那样有明显的棱角。数 学本质是整条曲线具有连续的导函数
模线的力学实质
1 M(x) 欧拉公式 ρ(x) EJ 1 y 平面曲线的曲率 2 3 ρ(x) ( 1 y ) 2 y M(x) 3 EJ ( 1 y2 ) 2 M(x) y 1, y EJ
2.1 Hermite 基 函 数
问题：自变量为u,区间[0,1]上两端点的 y0 , y1 , y0 ' y1 '， 构造三次曲线满足条件：
y(u) = a0 + a1u + a2 u 2 + a3 u 3
y0 '
y1 '
y1
y
0
y(u)中系数ai的确定
y(u) = a0 + a1u + a2 u + a3 u
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数
y f ( x), 通过全部节点, 即
f ( x j ) y j ( j 0,1, n)
再用
f ( x)
计算插值，即
y f ( x ).
* *
y1 y0
y
*
x0 x1 x *
xn
几种常用插值方法
分段线性插值：
（3）s(xi)=yi(i=0,1,…,n), s'(x0)=y'0, s′(xn)=y'n。
我们就称s(x)为三次样条函数。
y
yi-1
yi
a
xi-1
xi
b
x
2. 三次样条的理论基础
2.1 Hermite 基 函 数 2.2 三切矢方程 2.3 三次样条插值的局限性
• • • •
CAD/CAM技术基础
闫崇京 机电学院航空宇航制造工程系
三次样条曲线
主要内容
1. 插值问题和样条函数 2. 三次样条的理论基础
1. 插值问题和样条函数
1.1 插值问题 1.2 样条函数的工程背景 1.3 三次样条函数的数学定义
1.1 插值问题
• 插值
给定一组有序的数据点(xi,yi,zi),i=0,1, …,n，要求构造一条曲线顺序 通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值（interpolation），所 构造的曲线称为插值曲线。
( x) ax 2 bx c
使抛物线 ( x)在结点 xi (i 1,2,3) xi 处的值相等
处与 f ( x) 在
y
y
y f ( x)
y f ( x)
y ( x)
y ( x)
y1
y2
x2
x
y1
y2
y3 x3
x
o
x1
(a)
o
x1
x2
(b)
图3.1.4 线性插值和抛物插值 线性插值与抛物线插值
y(u) = a0 + a1u + a2 u + a3 u
2
3
G0(u) y1 G1(u) y(u) y0 F0(u) y1 F1(u) y0
Hermite基函数的性质
F0(u),F1(u),G0(u), G1(u)
称为
埃尔米特基函数或 三次混合函数，其 中
F0(u) F1(u) 1
曲线中夹有直线段时拟合效果不好
λ1 2 λ2 μ1 2 m0 m 1 c1 m c 2 2 μn -1 mn-1 cn -1 mn
其中,
(i 1,2,, n 1)
h i1 yi yi1 yi1 yi λi , μ i 1 λ i , Ci 3(λ i μi ) h i h i1 hi h i1
三切矢方程的普通表达形式
λ1m0 2m1 μ1m2 C1
i i-1 i
2
3
系数
y (0) y0 a0 a1 0 a2 0 a3 0 a0
2 3
y (1) y0 a0 a1 1 a2 1 a3 1 a0 a1 a2 a3
2 3
y ' (0) y0 ' a1 2a2 0 3a3 0
两个边界条件
二阶连续的条件
y
yi-1
yi
yi+1
a
xi-1
xi
xi+1
i
b
x
yi 1 ( x ) yi ( x )
i
2.3 三次样条插值的局限性
• 不能解决大挠度问题。 ——参数样条解决 • 不具有局部可修改性。 ——B样条 • 曲线中夹有直线段时拟合效果不好。 • 拟合二阶导数不连续曲线产生较大波动
y(u)中系数ai的确定
a0 1 a 1 1 a2 0 a3 0 0 0 0 y0 y 1 1 1 1 1 0 0 y '0 1 2 3 y '1
1
0 0 0 y0 a0 1 a 0 0 1 0 y1 1 a2 －3 3 －2 －1 y '0 1 y '1 a3 2 －2 1
1.1 插值问题
xj 互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b), * 求任一插值点 x ( x j )处的插值 y * .
已知 n+1个节点 ( x j , y j ) ( j 0,1, n,其中
y1 y0
y
*
x0 x1 x *
xn
节点可视为由 y g ( x)产生, g 表达式复杂, 或无封闭形式, 或未知。
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
-4
-2
0
2
4
6
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
分段线性插值
三次样条插值
1.2 样 条 函 数 的 工程背景
飞机、船体、汽车外形的放样（设计）
模线绘制的一般过程
打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上
描线：用“压子”使“样条”通过型 值点
由于M(x)是线性函数，所以y(x)是三次多项式。
1.3 三次样条函数的数学定义
定义 给定［a,b］的分划：a=x0<x1<…<xn=b, 如果函数s(x)在区
间［a,b］上满足以下条件：