多面体与球切、接的问题(讲)

纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一•高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺

利解答•从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目•分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以

至于遇到类似的题目便产生畏惧心理•下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深

入的探究，以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路，力争在这部分内容不失分•从

近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见

首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内

接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面

体，这个球是这个多面体的内切球•

1球与柱体的切接

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形

态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关

问题•

1.1 球与正方体

如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1，设正方体的棱长为a，E,F,H,G为棱的中点，0为

球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内

a

切圆，则0J = r ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆，

2

则Go| =R =乎a ；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACAG和其外接圆，则

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AO =R -a・通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面

2

图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方

体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题

(1)正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合; 数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r =a.

(2)正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心

与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r = -、3a.

(3)正方体的棱切球，如图3.位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球

心重合；数据关系：设正方体的棱长为a,球的半径为r,这时有2r —、2a.

_l c

例1 棱长为1的正方体ABCD-AB I G。!的8个顶点都在球0的表面上，E，F分别是棱

AA，DD!的中点，则直线EF被球0截得的线段长为（）

A . —2B. 1 C . 1 - D . ■ 2

2 2

思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面AA,DD1截面所得圆面的半径

AD172

R =― =——，得知直线EF被球0截得的线段就是球的截面圆的直径.

2 2

【解析】由题意可知，球为正方体的外接琰于面厂丄截面所得圆面的半径

应二啤二芈「EFu面_毘°必• M线盯被卩」矗得的线段为球的截面圆船直径■ ■

点评；本题琴查球与正育体傅'的问题，：I用球的戡面性质，转化成洵求球的截面鬲直径一

1.2球与长方体

例2自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求

MA2 MB2 MC2的值.

思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导

学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联.

【解析】収心⑷=J/C为从一个顶点出发的三条槎•將三棱辑M - ABC补咸一个长方体，则另外四个顶点莎在球面上，故长方体是球的內接长方如则长方体的对甬线长是球刖直径・

点评匕此题突出构造法的演用，姬渗透利吊今割补形的方法解决立体几何中体积计算…

例3 （全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个

球的表面积为（）•

A. 16二

B. 20 二

C. 24 二

D. 32…

思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及咼4可以求出长方体的底面边长为2,

可得长方体的长、宽、咼分别为2, 2, 4,长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径

【解析】正四棱柱也是长方体"由长方体的西只16^ 4可以•出长方体的底面边长为2,因此，长方体的长、宽、高分别为占右4,因为长方体內接于球，所以可勺体对角线正好为球的直径•长方体体对角线长为2厉，故球閑表面积为2% .故选C.

点评*本题考査球与长肓障“接粹的间题，于打快右体的性质.转化成为求其体对角线，

2球与锥体的切接

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

2.1正四面体与球的切接问题

（1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面

体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h ；球的半径为R，这时有4R = h （可以

利用体积桥证明）

（2）正四面体的外接球，如图5.位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四

面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h;球的半径为R，这时有4R =3h = ：：；6a ；（可用正四面体高h减去内切球的半径得到）

A

（3）正四面体的棱切球，如图 6.位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的

中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h ;球的半径为R，这时有

.6 a.

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