伯努利大数定律
大数定律
百科名片大数定律概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一。
又称弱大数理论。
主要含义大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。
有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”数学家伯努利在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。
确切的说大数定律是以确切的数学形式表达了大量重复出现的随机现象的统计规律性，即频率的稳定性和平均结果的稳定性，并讨论了它们成立的条件。
[1]通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。
这种情况下，偶然中包含着必然。
必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。
简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”。
发展历史1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。
拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。
1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。
这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。
20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
举例说明例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。
bernoulli大数定律
bernoulli大数定律
bernoulli大数定律是伯努利大数律。
关于伯努利试验的弱大数律.设产，是n重伯努利试验中事件A出现的次数，而p(0<p<1)是每次试验中事件A出现的概率。
它的含义是指，在n重伯努利试验中，事件A出现的频率，依概率收敛于事件A在一次试验中出现的概率.这个定理用数学概念说明了n充分大时，频率具有稳定性，稳定于相应的概率.伯努利大数律是切比雪夫大数律最简单的特例.历史上，瑞士数学家雅各布第一·伯努利首先证明了这个定理，发表于1713年，是大数律中的第一个定理.。
数学中的概率分析之伯努利大数定律
三、伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》的最重要部分――包含了如今我们称之为伯努利大数定律的第4部分。
回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a 白球，b 黑球，p ＝aa b +。
有放回地从缶中抽球N 次，记录得抽到白球得次数为X ，以XN 去估计p 。
这个估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一。
此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a ＋b 个球的每一个有同等机会被抽出。
这一点在实践中并不见得容易。
例如，产生中奖号码时用了复杂的装置。
在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。
这时一本大书，各页按行、列排列着数字0，1，…,9,它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。
在使用时，“随机地”翻到其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。
伯努利企图证明的是：用XN 估计p 可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性。
其确切含义是：任意给定两个数0ε>和0η>，总可以取足够大的抽取次数N ，使事件X p N ε⎧⎫−>⎨⎬⎩⎭的概率不超过η。
这意思是很显然：Xp N ε−>表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N ）。
为忠实于伯努利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定为1()a b −+，虽然其证明对一般ε也有效。
他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和个，则p 不改变，rb 1()a b −+改为1ra rb +，只须r 取足够大，可使此数任意小。
其次，伯努利要证的是：对任给c>0，只须抽取次数N 足够大，可使X X P p cP p NN εε⎛⎞⎛−≤>−>⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠. (8) 这与前面所说是一回事。
因为由上式得1(1)X P p c N ε−⎛⎞−><+⎜⎟⎝⎠, (9)取c 充分大可使它小于η。
另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而似乎有损于其结果的普遍性，但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要。
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
伯努利大数定律
伯努利大数定律何为伯努利大数定律，年，伯努利也是以研究堵术为目的开始写作一部真正奠定“概率论”基础的历史性巨著《猜度术》，在这本著作当中，他创立了概率论中的第一极限定理：“伯努利大数定律”。
“大数定理“与“中心极限定理”一起，成为了现代概率论的基石。
这个神奇的“大数定理”用公式进行了严格地证明：在任何看似公平的堵场中，任何一个堵徒书银的机率看起来是一样的，但是只要长期堵下去，必然会书个精光。
在百家游戏当中，更是把这种定律充分发挥至了极致，如何战胜这种概率，变成了许多玩家须要化解的最小难题。
想化解这种貌似已经紧固的结果，首先我们必须返回最初，当年伯努利就是根据什么订下了此率为。
就是人，要说，正是利用了每个人类都存有的劣根性，无论是貪允，还是恐惧，还是狂妄在一场堵塞局当中都就是同意你成敗的关键因素。
想要胜利首先就要不把自己当成一个人，需要近乎变态的冷静和控制力，不以胜为喜，不以败而悲。
跟许多沉醉在此道的堵徒见过面天，辨认出他们书小銭都存有几个相同的特点，不分后任何时间的回去堵塞，把生活中的苦恼都带入了堵塞桌，往往越是心急赚銭书的越慢，而他们只要书了銭就确实不愿跑，不能想著再加个时间卷土重来而是直至书TNUMBERDC也缴不掏钱年才。
赚銭的时候更是恋恋不舍，从来都不晓得见好就收，收放自如这个词永远用没他们身上。
我们不能把运气当作自己唯一制胜的武器，毕竟每个人都不可能一直一帆风顺。
所以这个时候对于心态的把控就成了胜负关键，在百家游戏当中，最忌讳的一点往往就是嗦哈。
嗦哈就意味着你把所有的希望都放在了虚无缥缈的运气上，运气好固然可以，但是一旦运气稍差便会满盘皆书。
正确的做法是冷静下来，重新规划一下手中的稠马，定出一个合理的计划，并且保证实施。
像是笔者通常，在每次驳弈前，都会厘定一个严苛的计划，为了确保自己的情绪不能被输赢所所苦。
在这个计划中我会详尽的写下各种可能将发生的结果，和化解的办法。
把自己当做一部机器，严苛的按照预设的程序去看待一局游戏，能够努力做到这点，你就已经战胜了伯努利大数定律。
四种大数定律
四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。
本文将介绍四种常见的大数定律。
一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。
它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。
例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。
二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。
以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。
三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。
它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。
以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。
四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。
伯努利Bernoulli大数定律
或
lim P
n
1 n
n k 1
Xk
1
定理的意义
具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列 的算术平均值依概率收敛于数学期望.
当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.
数学 期望
可被
算术 均值
近似代替
二、中心极限定理
定 林德伯格-列维中心极限定理 理 (Lindeberg-levi) 一 [ 独立同分布的中心极限定理 ]
1 6
k
5 6
6000k
0.959036
用Poisson分布近似计算
取 = 1000
P X 1 0.01
6000 6
P940 X 1060
1059 1000k e1000
k 941
k!
0.937934
例： 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90?
E(Yn
)
1
2
pq n
故
lim
n
P
n
n
p
0
伯努利(Bernoulli)大数定律的意义
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率
n n“稳定于”事件A在一次试验中发生
的概率是指：
频率 n
n
与
p
有较大偏差
大数定律的三个重要定律
大数定律的三个重要定律
大数定律的三个重要定律包括切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律。
切比雪夫大数定律是最一般的大数定律，它要求随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。
伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
这个定律在现实生活中很多场景都能体现，例如在大量的抛硬币实验中，正面向上的频率会接近于理论概率1/2。
辛钦大数定律则是随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。
这个定律为依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
这三个定律都是描述在大量重复实验中，某一事件发生的频率趋于稳定，并且可以用来估计其概率。
伯努利大数定律表达式
伯努利大数定律表达式
伯努利大数定律是概率论中的一个重要定律，它是由美国数学家贝尔法兹伯努利提出的，是指当一个随机实验重复N次，其结果出现某一特定结果的概率是收敛于某一常数的过程。
这条定律可以用来研究概率的变化趋势，也可以用来推导概率的预测结果。
伯努利大数定律的具体表达式为：在N次独立重复的实验中，实验结果为某一特定结果的概率收敛于某一常数P，其公式为：P=lim(n→∞)Pn，其中Pn代表n次实验中出现特定结果的概率。
伯努利大数定律也可以用来计算一系列试验中期望出现的次数，假设N次试验中期望出现特定结果的次数为Np，那么Np的概率就可以由伯努利大数定律来计算，公式为：Np=N×P。
伯努利大数定律在现代概率论中具有重要的意义，它既可以用来推导概率的变化趋势，也可以用来计算一系列试验中期望出现的次数，它是概率论中重要的理论基础。
伯努力大数定理
伯努力大数定理
伯努利大数定律是概率论中的一个重要定理，描述了在独立随机事件的长期重复中，随着实验次数的增加，事件发生的频率会越来越接近于它们各自的概率。
具体地说，设$X_1,X_2,\ldots,X_n$是$n$个相互独立的随机变量，每个随机变量的取值都是$0$或$1$，且$P(X_i=1)=p,P(X_i=0)=1-p$。
那么对于任意正数$\epsilon$，有：也就是说，当$n$很大时，样本均值$\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}$接近于概率$p$，并且误差不超过$\epsilon$的概率趋近于$0$。
伯努利大数定律在统计学、经济学、金融学等领域都有广泛应用，是许多概率论和统计学中的基础性定理之一。
概率论十大经典定理？
概率论十大经典定理？1、伯努利大数定律：伯努利大数定律，即在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势。
在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发生的频率,并记为fn(A).⒈当重复试验的次数n逐渐增大时,频率fn(A)呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数,这个常数就是事件A的概率.这种“频率稳定性”也就是通常所说的统计规律性.⒉频率不等同于概率.由伯努利大数定理,当n趋向于无穷大的时候,频率fn(A)在一定意义下接近于概率P(A).通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，样本数量越多，随机事件的频率越近似于它的概率，偶然中包含着某种必然。
2、中心极限定理：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
数学定义：设从均值为μ、方差为σ^2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为（σ^2）/n 的正态分布。
关于正态分布的核心结论是：μ、σ为均值和标准差，那么μ±1σ、μ±2σ、μ±3σ的命中概率分别是68.3%、95.5%、99.73%！中心极限定理最早由法国数学家棣莫弗在1718年左右发现。
他为解决朋友提出的一个赌博问题而去认真研究二项分布（每次试验只有“是/非”两种可能的结果，且两种结果发生与否互相对立）。
他发现：当实验次数增大时，二项分布（成功概率p=0.5）趋近于一个看起来呈钟形的曲线。
后来，著名法国数学家拉普拉斯对此作了更详细的研究，并证明了p不等于0.5时二项分布的极限也是高斯分布。
之后，人们将此称为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。
是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
比如，全国人口寿命、成年男女的身高分布、人在一天中情绪高低点对应的时间分布、金融市场中涨跌的时间周期及趋势的寿命等等，无不遵循此定理。
【毕业论文】伯努利大数定律及其应用
【毕业论文】伯努利大数定律及其应用【标题】伯努利大数定律及其应用【作者】符诗艳【关键词】伯努利大数定律??伯努利实验??频率??概率【指导老师】林昌盛【专业】数学教育【正文】1(引言?概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来从概率的统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的.深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是伯努利大数定律要研究的问题.根据以上所述，本论文主要解决的问题是:(1)伯努利大数定律的理论依据及其应用;(2)伯努利大数定律的现实意义及其应用;(3)在生活中为什么要学习一点伯努利大数定律的.2(伯努利大数定律创立的背景在历史上，第一个企图对“当实验次数n越来越大时，频率m/n会越来越接近比率?.”这个论断给予严格的意义和数学证明的是早期概率论历史上最重要的学者雅各布?伯努利.他之所以研究这个问题，并非因为他对这个论断之真伪存在疑问.如他自己在著作中所说，甚至那些最愚蠢的人，出于其自然的天性而无需他人指点，也会相信这一点的.因为这个论断得到如此广泛的公认，它理应由其理论上的根据所在，他的目标就是致力于找出这个根据.伯努利以前，人们对概率的概念多半从主观方面解释，即解释为一种“期望”.并且这种期望是以古典概率型为依据的，即先验的等可能性假设.伯努利指出，这种方法有极大的局限性，也许只能在赌博中可用.在更大的场合，由于无法数清所有可能的情况就不行了.他提出要处理更大范围的问题，必须选择另一条道路.那就是“先验地去探知所无法先验地确定的东西，也就是从大量同类事例的观察结果中去探知它.”这就从主观的“期望”解释转到了客观的“频率”解释.伯努利所论述的大数定律是“是否随着观测次数的增大，记录下来的赞成与不赞成例数的比值接近真实比值的概率也随之不断增加，使得这个概率最终将超过任意确定度.”这就是世人称的“伯努利大数定律”即在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势.伯努利说“频率的不稳定性随观察次数的增加而减少”的现象，“即使一个没有受过教育，以前也没有受过训练的人，凭天生的直觉，也会理解的.但是，这个原理的科学证明却一点也不简单.”于是，伯努利用数学语言提出了该问题并给出证明.伯努利考察的是“缶子模型”:设缶中有白球r个，黑球s个可得“抽出之球为白球”的概率为p，则有?假设有放回地从缶中抽球,次，记?为抽到白球的次数，以?估计p.这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一.伯努利企图证明的是:用?估计p可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性.其确切含义是:任意给定两个数?和?，总可以取足够大的抽样次数,，使事件?的概率不超过?.这意思就很显然:?表明估计误差未达到指定的接近程度?，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小”(代价是加大,).其次，伯努利欲证明的是:对任给的?，只要抽取次数足够大，就可使?(1)这与前面所说是一回事.因为由上式得?(2)取?充分大，可使(2)式右边小于?.设一缶内有白球r个，黑球s个，可得“随机抽取一球为白球”的概率为?则对给定常数c，可以找到足够大的n，是自此缶内进行N=?次有放回的抽球时，满足?或等价于??(3)其中?表示N?次抽球中白球出现的次数.证明:令??…可以证得当N充分大时，有?…)同理，令???…有?????????????…)，得??…?…),即(3)式成立.伯努利大数定律现代课叙述为:某事件在N次试验中的频率?依概率收敛于其概率P,即对?,0，有????或3(伯努利大数定律的理论意义及其应用伯努利大数定律说明了当n很大时，n重伯努利试验中事件A发生的频率几乎等于事件A在每次试验中发生的概率，这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.伯努利大数定律阐述了频率稳定性的含义，为用频率估计概率提供了理论依据.但是用频率估计出来的概率通常是不精确的,会有误差.这就是所说的?“试验概率稳定于理论概率而又不等于理论概率”?.这里我们给出以频率估计概率的误差估计公式，即德莫佛一拉普拉斯极限定理?(4)这里指出n 要充分大，其中P表示事件A发生的概率，?表示A在n次试验中出现的频率，?是标准正态分布的分布函数.问题1?已知某电器厂有一大批某电器,其中合格品占98?%?,某商场要从中任选购 1000?台?,问在选购的这1000台电器中?,合格品的比例比98?%的差异小于0.01的概率是多少??解:此例中 n?= 1000?,p?=0.98?,ε=0>.(1)式?,所求为??,即??=?=?=2×0.9981-1=0.98问题2?重复掷一枚有偏的硬币,设在每次试验中出现正面的概率 p?未知.试问要掷多少次才能使出现正面的频率与 p?相差不超过?的概率达95?%??解:根据题意，欲求n使得?由?=?,即查正态分布表得?即?因为P(1-P)??，所以.???这表明要掷硬币9604?次以上就能保证出现正面的频率与概率之差不超过??.4.伯努利大数定律的现实意义及其应用伯努利大数定律阐明大量随机现象平均结果的稳定性的理论，是概率论中的核心之一，其在概率统计学中有非常重大的意义.然伯努利大数定律在现实中的意义也非常重大.伯努利大数定律的重大意义，在于它揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性，或简单地讲，在纷乱中找到了一种秩序.如果你每天在盒中抽一个球记下其结果(再放回去)，当抽到白球时记以1而抽到黑球时记以0(则你得到的是一串杂乱的数字，例如:?? 11000l001XXXXXXXXXX0101l0…外表上看不出有何特征或规律性.如果有另一个人把你刚才所做的重做一遍，他也得出这样一串由0和1构成的数字，同样的杂乱无章但与你那一串并不相同.伯努利大数定律表明这表面的纷乱之下其实存在着种规律性，即在这数串中，1所占的比率愈来愈稳定到一个值上面，此值即盒中白球的比率.这个稳定性要到数串的长度足够大时才显示出来:在开始的一段中比率的变化可以是很大的，这正是伯努利大数定律这个名称的由来.?跳出这个盒子模型，对伯努利大数定律的意义作一种更宽广的解释，可以不夸张的说，它反映了的世界的一个基本规律:在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，着眼在一个个的个体上看，是杂乱无章，毫无规律，难于预测的.但由于伯努利大数定律的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形志.例如一个封闭容器中的气体，它包含大量的分子，它们各自在每时每刻的位置、速度和方向，都以种偶然的方式在变化着，但容器中的气体仍能保有一个稳定的压力和温度.电流是由电子运动形成的，每个电子的行为杂乩而不可预测，但整体看呈现一个稳定的电流强度.在社会、经济领域中，群体中个体的状况千差万别，且变化不定，但一些反映群体状况的平均指标，在一定时期内能保持稳定，或呈现规律性的变化.究其根源，都是伯努利由于大数定律的作用.?从概率的统计定义中可以看出:?一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关，且不再是随机的(例如压力、电流等的稳定性，是一种从经验上观察到的事实.另一方面又曾指出:伯努利用数学的方法严格论证了大数定律，这二者的关系该如何去理解,这个问题牵涉到数学理论与现实世界的关系，值得花一点篇幅来谈谈.先看看伯努利的数学证明:盒中一共有N=w+b个球，白球w个，黑球b个.伯努利要求每次抽取一球时，N个球中每一个有同等可能被抽到，至于在现实中能否和如何做到这一点，数学证明完全不管它，只把这规定为一个必须做到的前提.把这N个球按1到N编号，则n次抽取的结果是如下形式的一个序列:?，?，?，…???，?，?可以是1到N中任何一个数，其他?，?，?，?…也一样，因此，如一上形式的序列共有:??…?个.n次抽取的结果可以是这?个序列中的任何一个，伯努利要求这?个结果有等可能性.这一点早在卡尔诺16世纪的著作中已提到了.而且，在每次抽取时能保证等可能性的基础上，这一点看来也是不言而喻的.但仍得把它看成是一个引伸的假定，因为“等可能性”既然不是一个数学概念，用数学的形式推导去证明这一点是不可能的.最后，伯努利将上述?个结果的等可能性，数学化解释为:其中任何一个序列在n次抽取中出现的概率都是1/?.这一个解释把“等可能性”这种模糊的概念转化为一个明确的数学命题.在这个基础上，伯努利不难完成他的证明.?然而从现实世界的角度看，伯努利大数定律是无法严格证明的.因为试验和观察，不论你进行得多长，只能是有限次.你把一个均匀方正的骰子掷了万亿次，记录出么点出现的频率，极其接近1,6.但你怎么去证明:当你再继续掷万亿次时，仍能保持及缩小这个差距呢,你就是做了，那么还可以再提出投掷百万亿次，总是解决不了.因此，说到底，从现实世界的角度看，伯努利大数定律是人类观察到的一个经验规律.伯努利大数定律(及其他形形色色的大数定律)的意义，在于对这样一个经验规律给了一个理论上的解释.因为在现实世界中，尽管很难以至不可能达到伯努利数学证明中那种理想化的条件，但可以与之非常接近，因而伯努利证明的数学结论基本.数定律这个经验规律，一般人都.利大数定律中写“彩票”伯努利大数定理在实际生活中应用十分广泛，现在以生活中最平常的但都很感兴趣的事情――彩票为例来详细阐述一下伯努利大数定理在彩票学中的应用.概率论是研究现实世界随机现象的科学,是近代数学的重要组成部分.它在自然科学以及经济工作中都有着广泛的应用，同时也是数理统计的基础.彩票投注的中奖概率分布完全符合它的原理.彩票的投注方法是一个玩数字游戏.彩票号码的摇出是随机事件,也可以说是一随机现象,属概率论的一个基本概念.这里首先应该先弄清楚什么是随机现象?这里所说的随机现象的特点是:事先不能预言其结果,具有偶然性;另一方面,在相同条件进行大量的重复试验，会呈现出某种规律性(特别是随机开奖次数的不断增多)(问题3?在相同条件下,多次抛掷质量均匀的同一枚硬币，则出现正面向上的次数约占总抛次数的一半,而且随着抛掷次数的增加,正面向上次数是总抛次数的?这就是概率论的统计结果.(?请看下面5次抛币的试验结果)有人曾经做过抛掷硬币的试验,试验结果记录如下:投掷次数N,正面向上次数M??N?=2048????? M?=1061??????? N,M?=0.5181N?=4040?????M?=2048??????? N,M?=0.5069N=12000????? M?=6019??????? N,M?=0.5061N=24000????? M?=17>2012?????? N,M?=0.5005N=30000?????M?=14984?????? N,M?=0.4996N=72088????? M?=36124?????? N,M?=0.5011由上述情况可以看出投掷次数很大时,其频率稳定于0.5左右(彩票每期摇出的中奖号码(?基本号码和特别号码)是一个随机事件,既然是随机事件,必有其分布规律(??1?.2001010期至2001023期“上海风采”电脑福利彩票开奖计l4期共摇出14*8=112个球?2?.每个球平均出现3.6次?3?.奇数出现59次;偶数出现53次?4?.小于或大于15的数47次;大于或等于16的数出现65次?由此,我们引入彩票的一对常用语“冷门号码”及“热门号码”?(??有了“冷门号码”及“热门号码”，人们只要扑捉到这种机会,将会提高中奖规律(??概率分布的四条法则:??1?.奇数.偶数出现的次数应占总数的??(由于不确定因素除外)?2?.大数.小数出现的次数应占总数的?(由于不确定因素除外)??3?.1?―。
伯努利大数定律
伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》中最重要的部分——包含了如今被称之为“伯努利大数定律”的第4部分。
回到前面的缶中抽球模型：缶中有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个，“抽出之球为白球”的概率为p ，则有)/(b a a p +=。
假设有放回地从缶中抽球N 次，记N X 为抽到白球的次数，以N X N /估计p 。
这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一。
此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中b a +个球的每一个有同等机会被抽出，但这一点在实践中并不见得容易保证。
例如，产生中奖号码时可能要用复杂的装置。
在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。
这是一本很厚的书，各页按行、列排列着数字9,,2,1,0 ，它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。
在使用时，“随机地”翻到一页并随机地点到一个位置，以此处的数字确定抽出的对象。
伯努利企图证明的是：用N X N /估计p 可以达到事实上的确定性——他称为道德确定性。
其确切含义是：任意给定两个数0>ε和0>η，总可以取足够大的抽样次数N ，使事件{}ε>-|)/(|p N X N 的概率不超过η。
这意思就很显然：ε>-|)/(|p N X N 表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小”(代价是加大N )。
为忠实于伯努利的表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定于1)(-+b a ，虽然其证明对一般ε也有效。
但他做这一模型限定与所用缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和rb 个，则p 不变，1)(-+b a 改为1)(-+rb ra ，只须取r 足够大，便可使1)(-+rb ra 任意小。
其次，伯努利欲证明的是：对任给的0>c ，只要抽取次数足够大，就可使⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-εεp N X cP p N X P N N . （5）这与前面所说是一回事。
伯努利大数定律
关于伯努利定理的说明:
nA 伯努利定理表明事件发 生的频率 依概率收 n 敛于事件的概率 p, 它以严格的数学形式表 达了频 率的稳定性 .
故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率有较 大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数 很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概 率.
证明 引入随机变量
0, 若在第k 次试验中 A 不发生, Xk 1, 若在第k 次试验中 A 发生, k 1, 2,.
显然
nA X 1 X 2 X n ,
因为 X 1 , X 2 ,, X n ,是相互独立的， 且X k 服从以 p 为参数的 (0 1) 分布,
所以 E ( X k ) p, D( X k ) p(1 p), k 1, 2,.
根据定理一有
1 lim P ( X 1 X 2 X n ) p 1, n n 即 nA lim P p 1. n n
伯努利大数定A 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次 数 , p 是事件 A 在每次试验中发生的概 率, 则对于任 意正数 0 , 有 nA nA lim P p 1 或 lim P p 0. n n n n
伯努利定律内容
伯努利定律内容
伯努利定律是流体力学中的一个基本定律，它描述了在不同截面积上的流速不同的流体，其压力和动能之间的关系。
伯努利定律是流体力学的基础，对于理解流体运动和流体机械的设计有着重要的意义。
伯努利定律的内容可以简单地概括为：在流体运动过程中，当流体通过不同截面积时，流速的变化会引起压力和动能的变化，压力和动能之间的变化是相互关联的，即当流体速度增加时，压力就会降低，反之亦然。
伯努利定律的数学表达式为：P1 + 1/2ρv1^2 + ρgh1 = P2 + 1/2ρv2^2 + ρgh2，其中P1和P2分别表示流体通过不同截面积的压力，ρ为流体密度，v1和v2分别表示流体通过不同截面积的速度，h1和h2分别表示流体通过不同截面积的高度。
伯努利定律的实际应用非常广泛，例如在流体机械中，伯努利定律可以用于设计流量计、涡轮机、喷气发动机等；在气象学中，伯努利定律可以用于解释风的形成和变化；在生物学中，伯努利定律可以用于研究血流动力学等。
伯努利定律的应用还可以帮助我们理解一些日常生活中的现象。
例如，当我们在喝吸管饮料时，吸管内的压力会降低，而外部的大气压力会将液体推向吸管内，这就是伯努利定律的应用；当我们在开车行驶时，车前方的空气会流经车身，形成气流，而车身的形状和速度会影响气流的流速和压力分布，这也是伯努利定律的应
用。
总之，伯努利定律是流体力学中的一个基本定律，它描述了流体在不同截面积上的压力和动能之间的关系，具有广泛的应用价值。
对于工程技术、气象学、生物学等领域的研究和应用，伯努利定律都有着重要的作用。
伯努利大数定理
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关于伯努利定理的说明:ຫໍສະໝຸດ nA 伯努利定理表明事件发 生的频率 依概率收 n 敛于事件的概率 p, 它以严格的数学形式表 达了频 率的稳定性 .
故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率有较 大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数 很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概 率.
所以 E ( X k ) p, D( X k ) p(1 p), k 1, 2,.
根据定理一有
1 lim P ( X 1 X 2 X n ) p 1, n n 即 nA lim P p 1. n n
证明 引入随机变量
0, 若在第k 次试验中 A 不发生, Xk 1, 若在第k 次试验中 A 发生, k 1, 2,.
显然
nA X 1 X 2 X n ,
因为 X 1 , X 2 ,, X n ,是相互独立的， 且X k 服从以 p 为参数的 (0 1) 分布,
伯努利大数定律
定理（伯努利大数定理）
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次 数 , p 是事件 A 在每次试验中发生的概 率, 则对于任 意正数 0 , 有 nA nA lim P p 1 或 lim P p 0. n n n n