棱柱和棱锥PPT教学课件

棱柱的侧面积和体积
把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展开在
一个平面上，展开后的图形称为棱柱的侧面 展开图；展开图的面积称为棱柱的侧面积
棱柱的侧面积等于棱柱的各个侧面面积
之和
A' B'
D'
C'
D'
C'
B'
A'
D'
A
B
D
C
D
C
B
A
D
公式1、 如果直棱柱的底面周 长是C，高为h，则侧面积为：
S侧 C h
公式2、 若柱体的底面积为 S，柱体高为h，则体积为：
＋
S1 h1
h S
平行于平面α的任一平面去截
＋
Sh11
截面面积始终相等
h
＝
两个锥体体积相等
S
α
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
S1h1
h
h
S
S
α
证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。把这两个
放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同
面内，用平行于平面α的任一平面去截截它面们分，别与底面相似，
A' B'
A B
D' C'
D C
已知 : 长方体AC'中, AC'是一条对角线.
求证 : AC'2 AB2 AD2 AA'2
A'
B'
证明：
AC' AB AD AA',
A B
D' C'
D C
2
AC' ( AB AD AA' ) • ( AB AD AA' ).
又AB AD, AB AA', AA' AD,
B’
高
1 11 1
A AA A
C
C C CC
CC
C
三棱B锥1、B2的B底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’
3
C’
1
A
2 B’
C
三棱锥2、3的底 △BCB’、△C’B’C 的面积相等。
C. a2 b2 c2 Ｄ. a2 b2 c2
2
3
3、斜棱柱ABC-A′B′C′中，A′在底面
ABC的射影O是底面三角形ABC的中心，求证：
BCC′B′是矩形．
C'
A'
B'
C O
注：有一个侧面是矩形的棱柱，不一定是直棱柱
4、有一矩形纸片ABCD，AB=5,BC=2, E,F分别是AB，CD上的点，且 BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角. (1)求B、D两点的距离
2
AC ' AB • AB AD • AD AA' • AA'
AB 2 AD 2 AA' 2 , 即AC'2 AB2 AD2 AA'2 .
例1．已知：正四棱柱ABCD ABCD 的底面
边长为2，侧棱长为 2 ，
（1）求二面角B AC B 的大小；
（2）求点B到平面 ABC 的距离。
A’ A’ A’ A’ A’A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’ B’ B’ B’ B’ B’ B’
A A A A AA
C C C C CC C C C C C
B B B B BB
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的
几分之几？
A
问问题题棱12、、长你解如为法能果a的？有改正几为四种求面
体A-BCD的体积。
B
你能有几种解法？
解一二三、补利将形用四，体面将积体三公分棱式割为 D 锥锥三VD补棱四-A面成锥B体一CE＝-个A13BS正E△和方BC三体D·h棱。
E C
小结：
求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
1 13
问题2、解答过程中的 A
3×
2
BC ·AEcosθ·AD其中 1 AEcosθ·AD可表示意思？
2
分析：
B θ
E C
∵AEcosθ＝ED
1
D ∴S△AED＝ 2 ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE 分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。
特
殊
长方体：底面是矩形的直平
的 四
行六面体
棱
柱
正方体：棱长都相等的长方体
常见的四棱柱
四棱柱
底面是平行四边形
---------------------
平行六面体
侧棱垂直于底面
------------------
直平行六面体 -底---面--是---矩--形----长方体 -棱---长--都---相--等----正方体
2
2
A
B
设P、M、N分别是 BD、 CA、 DB 的中点，
同样可证 AP 1 (AB AD AA) 2
AM 1 (AB AD AA) 2
AN 1 (AB AD AA) 2
由此可知O、P、M、N四点重合，定理得证。
定理2：长方体的一条对角线长的平方 等于一个顶点上三条棱长的平方和
已知: 长方体AC'中, AC'是一条对角线. 求证: AC'2 AB2 AD2 AA'2.
3
证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E，
A 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。
根据三垂线定理，AE ⊥ BC。
∴ ∠AED＝θ。
V三棱锥＝
1 3
S△B CD ·AD
B θ
E
D
＝13
1
×2
BC
·ED
·AD
＝
1 3
×1
2
BC
·AEcosθ·AD
C
＝ 1 S△AB C ·ADcosθ
定理1：平行六面体的对角线相交于 一点，并且在交点处互相平分
已知：平行六面体 ABCD—A`B`C`D`（如图） D' 求 证 ： 对 角 线 AC` 、 BD` 、CA`、DB`相交于一点 A' O，且在点O处互相平分.
C'
B'
O
D
C
A
B
D' C'
A'
证明：设O是AC 的中点，则
B'
O
D
C
AO 1 AC 1 ( AB AD AA)
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’ A’ A’ A’A’AA’’ A’ A’ A’ A’ A’
C’ C’ C’ C’ C’ C’
3
１
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’ 就是三棱锥1 和另两个三棱
C C C C C CC C C C C C 锥2、3。
B B B B B BB
C
B’ C
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’ A’ A’ A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’ A’ A’ A’
A’
高
3
C’
2
2B’
B’
2
2 B’2B’
B’
2
2B’
2B’2 B’B’
1
A
C
C C C C C C C CC
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’BB’C的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
3
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ 1 Sh
推论：如果圆锥的底面半3径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥＝ 1 πr2h
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
V柱体 S h
(三)应用
1、下列说法正确的是（ B ） A、直四棱柱是直平行六面体
B、底面是平行四边形的棱柱是平行六面体
C、底面是矩形的平行六面体是长方体
D、各侧面都是矩形的棱柱是长方体
2、长方体同一顶点的三个面对角线长分别为 a.b.c,则它的体对角线长为 （ C ）
A. a2 b2 c2 B. a2 b2 c2 4
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
问题1、ADcosθ有什么几何意义？ A
结论：
V三棱锥＝
1 3
S△AB
C
·d
F
B
D
θ
E C
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ
1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形 象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。
2、三棱锥体积的证明分两步进行： ⑴、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等： （一个锥体的体积计算可以间接求得） ⑵、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一： （它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重 新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计 算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）
(2)求证AC，BD交于一点且被这点平分.
〖课堂小结〗
本课主要学习了平行六面体 的相关概念及性质，重点是要切 实明确几种特殊的四棱柱的关系， 掌握长方体的对角线与棱的关系.
棱锥、圆锥的体积
复习： 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
3、柱体体积公式的推导：
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’
A’
A’
3
C’
2 B’
B’
1
A
C 三棱锥1、2的底
C
C
△ABA’、△B’A’B
的面积相等。
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 Sh
3
A’ A’ A’ A’ A’
A’ A’
A’
3
C’
2 2B’ B’ 2 B2’ B’
柱体体积公式的推导：
等底面积等高的几个柱体 被平行于平面α的平面所截 截面面积始终相等
体 积 相 等
∵V长方体＝abc
∴V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
α
问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
取任意两个锥体，它们 的底面积为S，高都是h
D'
C'
A' D
A
B'
H
C
O B
例2：已知长方体ABCD-
A1 B1 C1 D1中，
出 求（发证1）的: c设o三s对2条角棱c线o分s2D别1成Bc与os2D、1、1A1
D1 D
C1
B1 C
（2）设对角线D1 B与D1 A
B
出发的三个面分别
成、、 ，求证: cos2 cos2 cos2 2
3
A’
C’ 把三棱锥1以
△ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
2
棱锥。 就是三棱锥1
１
和另两个三棱
A
C 锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’
3
C’
2 B’
B’
1
A
C
C
C
B
B
V1＝V2＝V3＝
1 3
V三棱锥
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
定理证明：
V三棱锥＝
1 3
Sh
已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h. 求证证明::把V三三棱棱锥＝锥113S以h△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱
棱 柱 和 棱 锥( 2)
C' A'
D' B'
C D
A
B
复习
1．棱柱的定义中，强调了棱柱的二个 特点，它们分别指什么？
2．棱柱分为斜棱柱、直棱柱、正棱柱
的依据是什么？
C'
D'
3．棱柱的三条性质 A'
B'
C
D
A
B
(一)几个概念
平行六面体：底面是平行四边形 的四棱柱
直平行六面体：侧棱与底面 垂直的平行六面体
设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2，
那么 ∵ S1
h2 1
源自文库
，S
2
h2 1
S1 S2，S1 S2
S h2 S h2 S S
根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三
棱锥1和另两个三棱锥2、3。
A’
3 C’ 三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，
１
A
2
B’ 高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底
△BCB1、△C1B1C 的面积相等，高也相等
C（顶∵点V三都棱是柱＝A1）13
∵V1＝V2＝V3＝ Sh。
1 3
结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
练习1：
将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）
C’ A’
D’
问问题题12、、你如能果有这几是种一
个解平法行？六面
B’
体呢？或者
四棱柱呢？
C
D
A
B
练习2:
从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到
V三棱锥。
B
∴V三棱锥＝
1 3
Sh。
任意锥体的体积公式：
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
V锥体＝
1 3
Sh
推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
小结： 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
其关系为：
底面是 正方形
正四棱柱
侧面是 正方形
正方体 长方体 直平行六面体 平行六面体
(二)性质
问题1：在平面几何中平行四边形、 长方形各有什么性质?
如：平行四边形对角线互相平分； 长方形的长为a，宽为b，则对角线长为 l2=a2+b2
问题2：在立体几何中平行六面体、 长方体是否也有类似的性质呢?