1-最速降线问题(精)
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从而整个下降时间是 dt ds 的积分，故需取极小值 v 的积分是 2 x 1 y t y x dx 0 2 gy 这是泛函的极值问题.
1
令 f y , y
2 1 y
2 gy
由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足 的欧拉方程为：
f y f c1 y
最速降线问题
确定连接两定点 A，B 的曲线，使质点 在这曲线上用最短的时间由 A 滑至 B 点 （忽略摩擦力和阻力）。
A
B
约翰.伯努利（John Bernoulli 1667-1748） 原来错选了职业，他起先学医，并在 1694 年获得巴塞尔 大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题的。但他也爱
这就是最速降线的微分方程数学模型。 3. 模型求解： 我们要求解上面微分方程，将上式变形为
1 2
y dx c y dy
y 令 c y tan t 从而，y c sin2 t , dy 2c sin t costdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos2t dt 积分后得到 c x 2t sin 2t c1 2 这曲线过原点，故由上面第一式得， t 0 时， x y0 于是，c1 0 。这样 而
即
y
y2 2 1 y
1 y y
2
c1
化简为
y[1 ( y)2 ] c
和伯努利解法的结果相同。
上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、微分方程和力
学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在 他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰向全欧洲数学
家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有任意两点，一
个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿 着什么曲线下滑，时间最短？”
c x 2t sin 2t 2 c 2 y c sin t 1 cos 2t 2
1 2
c c 2 y c sin t 1 cos 2t x 2t sin 2t 2 2 c 若令 a , 2t ，则联立上两式得 2
x a sin y a 1 cos
并从1687年开始到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了 无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在 tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。 雅可布在《学艺》上发表了一系列重要的论文，微分方程中的 “伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极 坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提 出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问 题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。 雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结 果还是对数螺线。
丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）
起初也像他叔叔约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马 上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理 和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中 的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次 之多。 ２５岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系 列的科学论著。１７３３年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物 学、解剖学与物理学教授。以８２岁高龄离开人世，许多人认为他是 第一位真正的数学物理学家。
1 2 mv mgy 2
或 v 2gy
从这里的几何关系得
1 1 sin cos 2 sec 1 y
1 1 sin cos 2 sec 1 y
这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得
2 y[1 y ] c y 0 0
5. 模型评价：
约翰· 伯努利对速降线问题的解法，非常奇妙，表现出
惊人的想象能力。速降线问题除内在的价值外，还有
巨大的意义。它是变分法的历史根源，变分法是近代
分析的极有用的分支，它深刻揭示出物理世界核心里
隐藏的简单性。
6. 模型的进一步思考： 用变分法同样可以得到速降线的数学模型。 以 s 表示曲线从A点算起到 Px, y 的弧长，有 ds v 2 gy dt 2 ds 1 y dx 又由弧长微分 2 1 y dx ds ds dt 得 v 2 gy 2 gy
2
A2
这就是光学中的Snell折射定律
2. 建立数学模型
若用与x 轴平行的直线将 分析：如图建坐标系， AB 分割成小段, 考虑在第k c x A 层与k+1层质点在曲线上的下 k 滑，依能量守恒律，可近似 认为质点在每层内的速度不 变，于是依辅助结论知
sin k sin k 1 vk vk 1
1.模型分析： 也许有人认为速降线应是连接A和B的直线段，其 实不然。牛顿做过实验：在铅锤平面内，取同样的 两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线 从A滑到B，结果发现沿圆弧的球先到B。伽利略也 研究过该问题，他认为速降线是圆弧线。
A o
x
y
B
一个辅助结论
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？ 显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点 何时越过l ？ 如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1 别为O,D, A1,A2 到l的距离分别 为a, b, OD =c, 质点经过l于C OC=x 那么质点由A1到A2需时间:
这是摆线的标准参数方程，这种曲线是半径为 a 的圆 周上一点沿 x 轴滚动产生的。见图。
y
o
x , y
2a
x
4. 结论： 需指出，使上图中摆线第一拱通过B点的 a 值只有一 个，因若让 a 从0增到 ，这一拱弧就逐渐膨大，扫过 整个第一象限，因而若适当选取 a，就能使它通过B。
Ref：尤明庆，最速降线求解和摩擦力影响的研究，河南理工大学学报，2005，24（1）
k 1
B
y
由于上式对任何k成立， 故导出
sin k C vk
(常数)
令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线 上任何一点
sin C (常数) v
其中α为该点切线与铅垂线的夹角。
A c
x
y
B
据能量守恒原理，质点在一高度处的速度，完全由 其到达该高度处所损失的势能确定，而与所经路线 无关，设质点质量为m，重力加速度为 g ，质点从 A下滑至 Px , y 点时速度为 v ，则
t (c x ) 2 b 2 x2 a2 v1 v2
O
1
D l C
2
A2
dt x c x 2 2 dx v1 x a v2 (c x)2 b2
源自文库
惟一驻点满足
x v1 x a
2 2
c x v2 (c x) b
2 2
A1
1
D l C
也即
O
sin 1 sin 2 v1 v2
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
莱布尼茨和牛顿都得到了解答。
雅可布伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）著名数学家。
约翰.伯努利的哥哥，他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，
1
令 f y , y
2 1 y
2 gy
由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足 的欧拉方程为：
f y f c1 y
最速降线问题
确定连接两定点 A，B 的曲线，使质点 在这曲线上用最短的时间由 A 滑至 B 点 （忽略摩擦力和阻力）。
A
B
约翰.伯努利（John Bernoulli 1667-1748） 原来错选了职业，他起先学医，并在 1694 年获得巴塞尔 大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题的。但他也爱
这就是最速降线的微分方程数学模型。 3. 模型求解： 我们要求解上面微分方程，将上式变形为
1 2
y dx c y dy
y 令 c y tan t 从而，y c sin2 t , dy 2c sin t costdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos2t dt 积分后得到 c x 2t sin 2t c1 2 这曲线过原点，故由上面第一式得， t 0 时， x y0 于是，c1 0 。这样 而
即
y
y2 2 1 y
1 y y
2
c1
化简为
y[1 ( y)2 ] c
和伯努利解法的结果相同。
上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、微分方程和力
学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在 他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰向全欧洲数学
家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有任意两点，一
个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿 着什么曲线下滑，时间最短？”
c x 2t sin 2t 2 c 2 y c sin t 1 cos 2t 2
1 2
c c 2 y c sin t 1 cos 2t x 2t sin 2t 2 2 c 若令 a , 2t ，则联立上两式得 2
x a sin y a 1 cos
并从1687年开始到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了 无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在 tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。 雅可布在《学艺》上发表了一系列重要的论文，微分方程中的 “伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极 坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提 出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问 题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。 雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结 果还是对数螺线。
丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）
起初也像他叔叔约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马 上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理 和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中 的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次 之多。 ２５岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系 列的科学论著。１７３３年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物 学、解剖学与物理学教授。以８２岁高龄离开人世，许多人认为他是 第一位真正的数学物理学家。
1 2 mv mgy 2
或 v 2gy
从这里的几何关系得
1 1 sin cos 2 sec 1 y
1 1 sin cos 2 sec 1 y
这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得
2 y[1 y ] c y 0 0
5. 模型评价：
约翰· 伯努利对速降线问题的解法，非常奇妙，表现出
惊人的想象能力。速降线问题除内在的价值外，还有
巨大的意义。它是变分法的历史根源，变分法是近代
分析的极有用的分支，它深刻揭示出物理世界核心里
隐藏的简单性。
6. 模型的进一步思考： 用变分法同样可以得到速降线的数学模型。 以 s 表示曲线从A点算起到 Px, y 的弧长，有 ds v 2 gy dt 2 ds 1 y dx 又由弧长微分 2 1 y dx ds ds dt 得 v 2 gy 2 gy
2
A2
这就是光学中的Snell折射定律
2. 建立数学模型
若用与x 轴平行的直线将 分析：如图建坐标系， AB 分割成小段, 考虑在第k c x A 层与k+1层质点在曲线上的下 k 滑，依能量守恒律，可近似 认为质点在每层内的速度不 变，于是依辅助结论知
sin k sin k 1 vk vk 1
1.模型分析： 也许有人认为速降线应是连接A和B的直线段，其 实不然。牛顿做过实验：在铅锤平面内，取同样的 两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线 从A滑到B，结果发现沿圆弧的球先到B。伽利略也 研究过该问题，他认为速降线是圆弧线。
A o
x
y
B
一个辅助结论
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？ 显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点 何时越过l ？ 如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1 别为O,D, A1,A2 到l的距离分别 为a, b, OD =c, 质点经过l于C OC=x 那么质点由A1到A2需时间:
这是摆线的标准参数方程，这种曲线是半径为 a 的圆 周上一点沿 x 轴滚动产生的。见图。
y
o
x , y
2a
x
4. 结论： 需指出，使上图中摆线第一拱通过B点的 a 值只有一 个，因若让 a 从0增到 ，这一拱弧就逐渐膨大，扫过 整个第一象限，因而若适当选取 a，就能使它通过B。
Ref：尤明庆，最速降线求解和摩擦力影响的研究，河南理工大学学报，2005，24（1）
k 1
B
y
由于上式对任何k成立， 故导出
sin k C vk
(常数)
令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线 上任何一点
sin C (常数) v
其中α为该点切线与铅垂线的夹角。
A c
x
y
B
据能量守恒原理，质点在一高度处的速度，完全由 其到达该高度处所损失的势能确定，而与所经路线 无关，设质点质量为m，重力加速度为 g ，质点从 A下滑至 Px , y 点时速度为 v ，则
t (c x ) 2 b 2 x2 a2 v1 v2
O
1
D l C
2
A2
dt x c x 2 2 dx v1 x a v2 (c x)2 b2
源自文库
惟一驻点满足
x v1 x a
2 2
c x v2 (c x) b
2 2
A1
1
D l C
也即
O
sin 1 sin 2 v1 v2
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
莱布尼茨和牛顿都得到了解答。
雅可布伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）著名数学家。
约翰.伯努利的哥哥，他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，