人教版九年级数学上21.2.1配方法(2)名师教案

21.2.1 配方法解一元二次方程（王鹏鹏）

第二课时

一、教学目标 （一）学习目标

3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程. （二）学习重点

用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程. （三）学习难点 配方法的综合应用. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务

用配方法解一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的一般步骤：

（1）化二次项系数为1：两边同除以 二次项的系数 ； （2）移项：将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； （3）配方：方程两边同时加上一次项系数 一半的平方 ； （4）将原方程变成()2

x m n +=的形式；

（5）判断右边代数式的符号，若0n ≥，可以直接开方求解；若0n <原方程无解.

2.预习自测

（1）()2

2

________8+=++x x x

【知识点】配方法

【思路点拨】常数项是一次项系数一半的平方.

1.进一步理解配方法和配方的目的.

2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

【答案】()2

28164x x x ++=+ （2）()2

2

________-=+-x x x

【知识点】配方法

【思路点拨】常数项是一次项系数的一半的平方.

(3)

()2

2

2___82____x x x ++=+

【知识点】配方法

【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方. 【解题过程】()()2

2228824422x x x x x ±+=±+=±

【答案】82±±，

(4)

()2233___3____4x x x -+=-

【知识点】配方法

【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方. 【解题过程】

【答案】1

32

±±，

(二)课堂设计 1.知识回顾

(1).根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx + n ）2=p （p≥0）的一元二次方程. (2).用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.

(3).在用方程解决实际问题时，方程的根不一定全是实际问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根. 2.问题探究

●活动① 以旧引新 (1)()

2

2

9________x

x x ++=+

能用上节课学过的二次项系数为1的二次三项式的配方法将问题（1）解决吗？

学生答：常数项等于一次项系数的一半的平方，是81

4，所以结果为：

2

2819942x x x ??

++=+ ???

老师问：根据二次项系数为1的二次三项式的配方法，小组讨论一下我们怎么将系数不为1的二次三项式配方？

学生答：先将二次项的系数提出来，将括号内的二次三项式的二次项系数化为1.再按照二次项系数为1的二次三项式的配方法进行配方. 那我们请一位同学给大家演示一下. (2)2

3612

x x --

解：

()

()()2222

36123243153115

x x x x x x --=--??=--??

=--

【设计意图】由二次项系数为1的二次三项式配方得出二次项系数不为1的二次三项式配方的方法.

●活动② 大胆猜想，探究新知 那我们试着解一下方程： （3）2

36120x x --=

有的学生采用的方法（一）： 有的学生采用方法（二）：

()()()()(

)

222

2

2

2

12361203240

3150311503115

15

111x x x x x x x x x x x --=--=??--=??

--=-=-=-=== ()(

)222

2

1236120240

150

15

111x x x x x x x x x --=--=--=-=-===

比较两种方法哪种更简单

【设计意图】问题（3）学生联想、尝试、对比在教师设置的问题情境引导下，解决了一个新问题，激发了学生的学习热情，也锻炼了学生的思维能力.通过对比、归纳、整理，体会降次的必要，获得降次的方法，理解数学化归思想重要意义. ●活动③ 集思广益，归纳方法

用配方法解一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的一般步骤：

（1）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；

（2）移项：将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； （4）将原方程变成()2

x m n +=的形式；

（5）判断右边代数式的符号，若0n ≥，可以直接开方求解；若0n <原方程无解. 【设计意图】体会数学思想方法在数学中的地位和作用

探究二 利用配方法解一元二次方程.

●活动① 配方法的练习

例1．已知()2

2212x x a b x c ++=+，

求,,a b c 的值.

【知识点】 配方法

【解题过程】 ()

()

22

2

212269232918,2,3

x x a

x x x a b c ++=++=+∴=?===

【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号内部分再按照常数项为一次项系数一半的平方. 【答案】 （1）18，2，3

【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质. 练习1.已知()2

24x x a b x c --+=+，

求,,a b c 的值.

【知识点】 配方法

【解题过程】

()

()()

2

222

44424,1,2

x x a b x c x x x a b c --+=+=-++=-+∴=-=-=

【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号内部分再按照常数项为一次项系数一半的平方. 【答案】 （1）-4，-1，2

【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质. 例2. 二次三项式2243x x ++的值（ ）

A.小于1

B.大于1

C.大于等于1

D.不大于1 【知识点】 配方法

【解题过程】()()()222

2

243

221213

211

2101

x x x x x x ++=++-?+=+++≥∴≥Q 原式

【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值. 【答案】 C

练习2. 已知代数式2916x kx ++是完全平方式，则k 等于（ ） A.12 B.12± C.24 D.24± 【知识点】 完全平方式

【解题过程】

()

()2

29163423424

x kx x k ++=±∴=??±=±

【思路点拨】根据()2

222a b a ab b +=++，一次项的系数等于2倍,a b 系数乘积. 【答案】 D

【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质. ●活动② 利用配方法解一元二次方程 例3 . 用配方法解方程：2213m m += 【知识点】 配方法解一元二次方程 【解题过程】解：

22

2

2

2

12231

331324243141631443144

1

1,2

-=-??

??-+=-+ ? ?

??

????-= ?

??-=±

=±

==

m m m m m m m m m

【思路点拨】将二次项系数不为1的一元二次方程两边同除以二次项系数，化成二次项系数为1的一元二次方程，再将方程化成()2

x m n -=的形式，直接开方法求解. 【答案】1211,2

m m ==

【设计意图】感受配方法解系数不为1的一元二次方程的本质. 练习3.用配方法解方程：22740x x +-= 【知识点】 配方法解一元二次方程 【解题过程】

22

2

2

2

12274

7772244781416794479441

, 4.

2

+=????++=+ ? ?

????

?

?+=

???+=±=-±

==-x x x x x x x x x

【思路点拨】将二次项系数不为1的一元二次方程两边同除以二次项系数，化成二次项系数为1的一元二次方程，再将方程化成()2

x m n -=的形式，直接开方法求解. 【答案】121,42

x x ==-

【设计意图】感受配方法解一元二次方程的本质.

例4.在方程的两边同时加上4，用配方法可求得实数解的方程是（ ）

A.246x x +=-

B.2245x x -=

C.2

45x x -= D.222x x +=-

【知识点】 配方法解一元二次方程

【解题过程】()2

22.46,442,22A x x x x x +=-∴++=-∴+=-，无实数解；

()2

222557.245,2,211,1222B x x x x x x x -=∴-=∴-+=+∴-=，有实数解，但方程两边同时加

上的数不是4；

()2

22.45,4454,29C x x x x x -=∴-+=+∴-=有实数，且方程两边同时加上的数是4；

()2

22.22,2121,11

D x x x x x +=-∴++=-+∴+=-，无实数解.

【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2

x m n -=的形式.若0n ≥，则有实数解.同时注意所加的数是否是4. 【答案】C

练习4.下列配方有错误的是（ ）

()()()2

2

2222

2

2

.41025.68031797.2760.3420322

416--=-=++=+=?

?--=-=

-+=+= ??

?化为化为化为化为A x x x B x x x C x x x D x x x

【知识点】 配方法解一元二次方程

【解题过程】

()()()2

222222

2

2

2222222

.410,4414,25.680,6989,31

7777797.2760,3,3,2244416.3420,91260,912464322

A x x x x x

B x x x x x

C x x x x x x x

D x x x x x x x --=∴-+=+∴-=++=++=-+∴+=??????--=-=∴-+=+∴-= ? ? ??????

?-+=∴-+=∴-+=-+∴-=- 【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2

x m n -=的形式. 【答案】D

【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，让学生用类比的方法解决问题. ●活动③ 综合应用

例5. 若代数式2

2

22208580x y y x ++-+=，则x y +的值是 . 【知识点】 二次项系数不为1的配方法 【解题过程】

()()

22222

222208*********

250

20,502,53

x y y x x y y x x y x y x y x y ++-+=++-+=-++=-=+===-+=-

【思路点拨】将方程化成()()22

x m y n a +++=的形式. 【答案】-3

【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题. 练习5. 已知实数,x y 满足2

2

24848x y xy y ++=-，求,x y 的值. 【知识点】 配方法解一元二次方程 【解题过程】

()()()()

22222

222

2

2484824242440

20

222

x y xy y x y xy y

x

xy y y y x y y x y y x y ++=-++=--++++=-++==?∴?

=-?=-?∴?

=-?

【思路点拨】将方程化成()()22

0x m y n +++=的形式.

【答案】2

2x y =-??=-?

【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题.

3. 课堂总结 知识梳理

用配方法解一元二次方程的步骤：

1.把原方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式；

2.把常数项移到方程右边；

3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；

4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；

5.原方程变形为（x +m ）2=n 的形式；

6.若n 为0，原方程有两个相等的实数根；若n 为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n 为负数，则原方程无实数根.

重难点归纳

1.用配方法解一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的一般步骤:

1）一化：化二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；x 2+

a b x +a

c =0 2）二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；x 2+

a b x =–a

c

3）三配：①配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x 2+a

b x +(a

b 2)2 =–a

c

+(

a

b 2)2

的形式； ②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；2

22424b b ac x a a -?

?+=

??

? 4）四解：①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数，否则原方程无

解；x +a

2b

= 2a

±

②分别解这两个一元一次方程，求出两根；x =

2.配方法的理论依据是完全平方公式：a 2+2ab +b 2=(a +b )2

3.配方法解方程的步骤可以灵活运用，有时可不必将二次项系数化为1，而是将方程配成（mx +n ）

2

=n 的形式，再直接开平方降次求解.

4.一元二次方程的配方是两边同时除以a ，而二次三项式的配方是提取a ，要注意区别.

（三）课后作业 基础型 自主突破

1．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．

A ．x 2+1=0

B ．（2x +1）2=0

C ．（2x +1）2+3=0

D ．2

12x a a ??-= ???

【知识点】直接开方法判断有无实数解. 【解题过程】

()()22

22.10.210.2130

1..2A x B x C x D a a =-<+=+=-

-= ???无法判断正负

【思路点拨】原方程变形为（x +m ）2=n 的形式；若n 为0，原方程有两个相等的实数根；若n 为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n 为负数，则原方程无实数根. 【答案】B

2．将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）

A、（x-2）2+3

B、（x+2）2-4

C、（x+2）2-5

D、（x+2）2+4

【知识点】配方法的应用

【解题过程】解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=(x+2)2-5

【思路点拨】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．

【答案】C

3. 用配方法解一元二次方程﹣3x2+4x+1=0的第一步是把方程的两边同时除以．【知识点】解一元二次方程-配方法

【解题过程】解：﹣3x2+4x+1=0，

方程两边同时除以﹣3得：x2﹣4

3x﹣1

3

=0，

则此方程用配方法解时的第一步是把方程的两边同时除以﹣3．

【思路点拨】配方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后在方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．

【答案】-3

4. 用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则h=，k=．

【知识点】解一元二次方程-配方法．

【解题过程】解：原方程可以化为：

231

0 22

x x

++=，移项，得

x2+3

2x=﹣1

2

，

等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得

x2+3

2x+

2

3

4

??

?

??

=﹣1

2

+

2

3

4

??

?

??

，

配方，得

2

31

416 x

??

+=

?

??

比较对应系数，有：

3

4

1

16

h

k

?

=

??

?

?=

??

；

【思路点拨】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

【答案】故答案是：3

4、1

16

5. 用配方法解一元二次方程4x2﹣1=12x 【知识点】配方法解一元二次方程

【解题过程】解：4x2﹣1=12x，

4x2﹣12x=1，

x2﹣3x=，

x2﹣3x+9

4=1

4

+9

4

，

（x﹣3

2）2=5

2

，

x﹣3

2

=±

2

，

x1

=

33

222

+

+=x2

=

33

222

-=；

【思路点拨】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

【答案】x1

，x2

；

6.用配方法解下列关于x的一元二次方程：9x2﹣12x=1．【知识点】解一元二次方程-配方法

【解题过程】解：方程变形得：x2﹣4

3x=1

9

，

配方得：x 2﹣43

x +459

9

=，即（x ﹣23

）2=59

，

开方得：x

﹣

233

=±， 解得：x 1

=23，x 2

=23

．

【思路点拨】方程变形后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解． 【答案】x 1

=23，x 2

=23

．

能力型 师生共研

7.用配方法解方程：2

(21)(32)7x x x -=+- 【知识点】配方法解一元二次方程

【解题过程】()

222222

12(21)(32)744132768691

31

314,2

x x x x x x x x x x x x x x x -=+--+=+--=--+=-=-=±==

【思路点拨】先将方程化成一般形式，然后再用配方法解一元二次方程. 【答案】124,2x x ==

8.求2272x x -+ 的最小值 . 【知识点】配方法

【解题过程】2222

272

722

274949

2()22

21616

733332488x x x x x x x -+?

?=-+ ???=-+-?+?

?=--≥-

??

? 【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值. 【答案】33

8

-

探究型 多维突破

9. 求代数式22811x x -+-的最大值. 【知识点】配方法求最值 【解题过程】

解：原式=()()()()2222

2411244411

223

220,-3

x x x x x x ---=--+--=-----≤∴Q 原式的最大值是

【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值. 【答案】3-

10.用配方法解关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0． 【知识点】解一元二次方程-配方法.

【解题过程】解：∵关于x 的方程ax 2+bx +c =0是一元二次方程， ∴a ≠0． ∴由原方程，得 x 2+

b a x =﹣

c a

， 等式的两边都加上2

2b a ?? ???，得

x 2+b a x +2

2b a ?? ?

??

=﹣c a +2

2b a ??

???， 配方，得

（x +2b a

）2=﹣2

244ac b a -，

当b 2﹣4ac ＞0时，

开方，得：x +2b

a

=±

， 解得x 1

x 2

，

当b 2﹣4ac =0时，解得：x 1=x 2=﹣

2b

a

；

当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无实数根．

【思路点拨】用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）形如x 2+px +q =0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．

（2）形如ax 2+bx +c =0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px +q =0，然后配方.

【答案】当b 2

﹣4ac ＞0时，x 1

x 2

，

当b 2﹣4ac =0时，x 1=x 2=﹣2b a

；

当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无实数根． 自助餐

1.已知关于x 的方程2220x kx -+=的一个解为1

2

x =，求方程的另一个解. 【知识点】方程的根、配方法解一元二次方程 【解题过程】把1

2

x =

代入一元二次方程中可求出5k =，原方程为 2222

1225205

10252525121616594165344

1

2,2

x x x x x x x x x x -+=-+=-+=-+

??-= ?

??-=±==

【思路点拨】将方程的解代入原方程，求出待定系数。然后再用配方法解一元二次方程. 【答案】另一个根是2

2.已知x 2+y 2+z 2-2x +4y -6z +14=0，则x +y +z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 【知识点】配方法解方程 【解题过程】

()()()

222223

246140

1230

1,2,32

x y z x y z x y z x y z x y z ++-+-+=-+++-=∴==-=∴++=

【思路点拨】将方程化成()()22

0x m y n +++=的形式. 【答案】2

3试说明：不论x 、y 取何值，代数式4x 2+y 2-4x +6y +11的值总是正数.你能求出当x 、y 取何值时，这个代数式的值最小吗？ 【知识点】配方法

【解题过程】将原式配方，得（2x -1）2+（y +3）2+1，它的值总不小于1； 当x =

1

2

，y =-3时，代数式的值最小，最小值是1 【思路点拨】将原式配方. 【答案】1

4.,,a b c ABC ?是的三条边，当bc c ab a 2222

+=+时，试判断ABC ?的形状.

【知识点】配方法 【解题过程】

()

()

222222

2

2

22220,0,0a ab c bc a ab b c bc b a b c b a b c a b c b a c

+=+++=+++=+>>>∴+=+∴=

【思路点拨】先补项，将方程左右两边都配成完全平方式. 【答案】等腰三角形

5.已知a b c ，，是△ABC 的三条边长，证明02222

<-+-ac c b a

【知识点】配方法，平方差公式 【解题过程】

()()()2222

2

2222,,0,020

a b c ac a c b a c b a c b a b c a c b a c b a b c ac -+-=--=-+--∴-+>--<-+-

6.2

2

2

2

2

280;22820;280n x x x x x nx n +-=+?-?=+-=L 有个方程：；用配方法解第n 个方程

()22280x nx n n +-=用含的式子表示方程的根.

【知识点】配方法解方程 【解题过程】

()

22222

2

2

12280299332,4x nx n x nx n n x n n x n n x n n

x n x n

+-=++=+=+=±=-±==-

【思路点拨】含有待定系数的一元二次方程配方. 【答案】2,4n n -