人教版九年级数学上21.2.1配方法(2)名师教案

21.2.1 配方法解一元二次方程（王鹏鹏）

第二课时

一、教学目标 （一）学习目标

3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程. （二）学习重点

用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程. （三）学习难点 配方法的综合应用. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务

用配方法解一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的一般步骤：

（1）化二次项系数为1：两边同除以 二次项的系数 ； （2）移项：将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； （3）配方：方程两边同时加上一次项系数 一半的平方 ； （4）将原方程变成()2

x m n +=的形式；

（5）判断右边代数式的符号，若0n ≥，可以直接开方求解；若0n <原方程无解.

2.预习自测

（1）()2

2

________8+=++x x x

【知识点】配方法

【思路点拨】常数项是一次项系数一半的平方.

1.进一步理解配方法和配方的目的.

2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

【答案】()2

28164x x x ++=+ （2）()2

2

________-=+-x x x

【知识点】配方法

【思路点拨】常数项是一次项系数的一半的平方.

(3)

()2

2

2___82____x x x ++=+

【知识点】配方法

【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方. 【解题过程】()()2

2228824422x x x x x ±+=±+=±

【答案】82±±，

(4)

()2233___3____4x x x -+=-

【知识点】配方法

【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方. 【解题过程】

【答案】1

32

±±，

(二)课堂设计 1.知识回顾

(1).根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx + n ）2=p （p≥0）的一元二次方程. (2).用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.

(3).在用方程解决实际问题时，方程的根不一定全是实际问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根. 2.问题探究

●活动① 以旧引新 (1)()

2

2

9________x

x x ++=+

能用上节课学过的二次项系数为1的二次三项式的配方法将问题（1）解决吗？

学生答：常数项等于一次项系数的一半的平方，是81

4，所以结果为：

2

2819942x x x ⎛⎫

++=+ ⎪⎝⎭

老师问：根据二次项系数为1的二次三项式的配方法，小组讨论一下我们怎么将系数不为1的二次三项式配方？

学生答：先将二次项的系数提出来，将括号内的二次三项式的二次项系数化为1.再按照二次项系数为1的二次三项式的配方法进行配方. 那我们请一位同学给大家演示一下. (2)2

3612

x x --

解：

()

()()2222

36123243153115

x x x x x x --=--⎡⎤=--⎣⎦

=--

【设计意图】由二次项系数为1的二次三项式配方得出二次项系数不为1的二次三项式配方的方法.

●活动② 大胆猜想，探究新知 那我们试着解一下方程： （3）2

36120x x --=

有的学生采用的方法（一）： 有的学生采用方法（二）：

()()()()(

)

222

2

2

2

12361203240

3150311503115

15

111x x x x x x x x x x x --=--=⎡⎤--=⎣⎦

--=-=-=-=== ()(

)222

2

1236120240

150

15

111x x x x x x x x x --=--=--=-=-===

比较两种方法哪种更简单

【设计意图】问题（3）学生联想、尝试、对比在教师设置的问题情境引导下，解决了一个新问题，激发了学生的学习热情，也锻炼了学生的思维能力.通过对比、归纳、整理，体会降次的必要，获得降次的方法，理解数学化归思想重要意义. ●活动③ 集思广益，归纳方法

用配方法解一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的一般步骤：

（1）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；

（2）移项：将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； （4）将原方程变成()2

x m n +=的形式；

（5）判断右边代数式的符号，若0n ≥，可以直接开方求解；若0n <原方程无解. 【设计意图】体会数学思想方法在数学中的地位和作用

探究二 利用配方法解一元二次方程.

●活动① 配方法的练习

例1．已知()2

2212x x a b x c ++=+，

求,,a b c 的值.

【知识点】 配方法

【解题过程】 ()

()

22

2

212269232918,2,3

x x a

x x x a b c ++=++=+∴=⨯===

【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号内部分再按照常数项为一次项系数一半的平方. 【答案】 （1）18，2，3

【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质. 练习1.已知()2

24x x a b x c --+=+，

求,,a b c 的值.

【知识点】 配方法

【解题过程】

()

()()

2

222

44424,1,2

x x a b x c x x x a b c --+=+=-++=-+∴=-=-=

【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号内部分再按照常数项为一次项系数一半的平方. 【答案】 （1）-4，-1，2

【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质. 例2. 二次三项式2243x x ++的值（ ）

A.小于1

B.大于1

C.大于等于1

D.不大于1 【知识点】 配方法

【解题过程】()()()222

2

243

221213

211

2101

x x x x x x ++=++-⨯+=+++≥∴≥Q 原式

【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值. 【答案】 C

练习2. 已知代数式2916x kx ++是完全平方式，则k 等于（ ） A.12 B.12± C.24 D.24± 【知识点】 完全平方式