高中数学人教A版选修2-1导学案：3.1.5--空间向量运算的坐标表示(学生版)

安阳县实验中学“四步教学法”导学案

Anyangxian shi

yan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean

课题：3.1.5 空间向量运算的坐标表示 制单人： 审核人：高二数学组

班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__

一. 自主学习 1学习目标

1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；

2. 会用这些公式解决有关问题.

2学习指导

一：空间向量坐标表示夹角和距离公式

问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：

1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝

2. 两个向量的夹角公式：

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ， 由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞， 又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝ 试试：

① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 . 反思：

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则

⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ；

⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ；

3. 两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：

222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-.

4. 线段中点的坐标公式：

在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，

则线段AB 的中点坐标为: .

二. 合作交流

1如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．

2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.

.三.

拓展延伸

如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.

()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为)

04x << D. 4x >1,1y = B. x 1