第八章__槽道内层流流动与换热..
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微槽道及其在电子器件散热中的应用
微槽道及其在电子器件散热中的应用∗翁建华;刘腾辉;崔晓钰【摘要】Characteristics of fluid flow and heat transfer in microchannels,such as micro-scale,low Reynolds number, and high convective heat transfer coefficient,high pressure losses etc,are all introduced.Microchannels can be fabricated on metals with high thermal conductivity,or semiconductor materials such as silicon.Types of microchannel heat sink struc-ture,fabrication processes and fluids used in microchannel are also discussed.Meanwhile,heat dissipation solutions adopted for electronic devices such as microprocessors,large power electric and electronic devices,large power LEDs currently used are presented,and advantage using microchannel is paring with heat dissipation methods currently used,mi-crochannel heat sink can reduce the needed space for dissipating the heat,and meet the continuous miniaturization require-ments for electronic products.Moreover,with increasingly high heat flux,current methods for heat dissipation may not be able to meet the requirements.In this case,microchannel might be a possible solution for the heat dissipation.%介绍了微槽道内流体流动及换热的特点，以及微槽道热沉的结构型式、加工工艺和流体工质。
5-对流换热3.
dU c dx
1
dp dx
0
其中Uc为核心无粘区的流速。
7
入口段流动
同样，采用积分方程可以得到： 在入口段的核心区域，压力与速度的关系可以由伯努利方程得到， 即：
d
dx
0
(U c
u)udy
dUc dx
0
(U c
u)dy
(
u y
)yD
2
由质量守恒得到
ln ttww
tf tf
6
二. 槽道、管内层流流动与换热
与外掠平板不同的是，由于边界层的排挤，部分流体进入 核心区使之加速。这种加速使进口段边界层的增厚减缓， 但每个流动断面的质量流量ρUD是相同的。 在入口段的核心区域，压力与速度的关系可以由伯努利方程得到， 即：
Uc
tw tm
Nu
(t D
r )r r0
tw tm
18
充分发展段换热——温度分布
Nu hD D q
tw tm
Nu
(t D
r )r r0
tw tm
无疑 在x方向的变化与tw－tm的变化是相同的，因此 是x 和r的函数，即
t (r r0 ) tw(x) tm (x)
对恒热流条件，可取 (tw tf ) 作为 tm 。
对于恒壁温条件，截面上的局部温差是个变值，应利 用热平衡式：
5
hm Atm qmcp(tf tf )
式中，q m 为质量流量； tf、tf 分别为出口、进口截面上
的平均温度； tm 按对数平均温差计算：
tm
化工传递过程基础第八章 对流传热
仅考虑 x方向的流动，上式写成
d
dx
t
0
t0 tuxdyddyt
y0
d
dx 2020/2/15
0(u0ux)uxdy=
dux dy y0
边界层热流方程 边界层积分动量方程
二、平板壁面上层流传热的近似解
2.平板壁面上层流传热的近似解 y
u0
考察平板壁面上速度边界层与 温度边界层不同时发展的情形。 0 x0
2020/2/15
二、平板壁面上层流传热的近似解
q1q3q4q2
c p x(0 ttu x d y )d xc p x(0 tt0 u x d y )d x k d xd d y ty 0 0
即
x
t
0
t0 tuxdyddyt
y0
y
u 0 u f (y)
u0
t 0 t f(y)
t0
t
x
ts
平板壁面的温度边界层
2020/2/15
二、温度边界层（热边界层）
当流体以 u0、t0 流进管道，在进口 附近形成温度边界 层，其形成过程与 速度边界层类似。
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传热进口 段长度
进口 段 传热
充分发展 的传热
u0
取一微元控制体 dVtdx(1)
作热量衡算
1-2面：流入
质量流率：m1
t
0
uxdy(1)
热量流率：q1
t
0
uxcptdy(1)
2020/2/15
t0 3
2
δt
1
4
dx
二、平板壁面上层流传热的近似解
3-4面：流出
管内层流流动与换热
64 Re
3 圆管内充分发展段的换热 物理问题
圆管内充分发展，稳态、层流、不可压缩流体、 常物性、忽略体积力
数学描述
d
du p (r ) r dr dr x
c pu
t t 1 t 2t c p vr [ (r ) 2 ] x r r r r x
数学描述
u u p 1 u 2u u vr [ (r ) 2 ] x r x r r r x
d
r r0 r 0
du p (r ) C r dr dr x
u0 u 0 r
边界条件：
无滑移 轴对称
r r0
4um r0
r02 p um ( ) 8 x
cf
w
1 2 um 2
16 8 16 um r0 um D0 Re
管内沿程阻力系数
8um dp D0 d 2 64 r0 dx f 1 2 1 2 um D0 u m um 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
X 0 1 2 ( 1 R ) R 0 2 R R R R R 1
2
1 0 R 0
t t w const t 0 r
r2 u 2um (1 2 ) r0
x0 t t 1 t 2t c pu c p vr [ (r ) 2 ] r 0 x r r r r x r r0 r 1 x 无量纲参数： t tw R X rw t0 t w Re Pr rw
L
2 圆管内充分发展段的流动
物理问题
圆管内充分发展，稳态、层流、不可压缩流体、 常物性、忽略体积力 ——轴对称(二维，x,r)
管内层流流动
r = r0 边界条件： 边界条件： r = 0
t = t w = const ∂t =0 ∂r
r2 u = 2u m (1 − 2 ) r0
0 2 ∂t ∂t ∂t ∂t 1 ∂ ∂t r =0 =0 ρc p u + ρc p vr = λ[ (r ) + 2 ] ∂r ∂x ∂r r ∂r ∂r ∂x r = r0 t = t w r 1 x 无量纲参数： 无量纲参数： Θ = t − tw R= X= t0 − t w rw Re⋅ Pr rw
r = r0 边界条件： 边界条件： r = 0
u=0 ∂u =0 ∂r
无滑移 轴对称
求解
µ d
du ∂p (r ) = r dr dr ∂x
r = r0 r = 0
u=0 ∂u =0 ∂r
c1 = 0
du r ∂p d (r ) = dr dr µ ∂x 1 ∂p r du = dr µ ∂x 2
只是r的函数 只是 的函数
恒壁温条件： 恒壁温条件： t w = const
dt dt w dΘ dt m dt w = + (t m − t w ) + Θ − dx dx dx dx dx
t − t w dt m λ ∂ ∂t ρc p u = (r ) t m − t w dx r ∂r ∂r
高等传热学
对流换热
第九章 管槽内层流流动与换热
9-1 入口段与充分发展段
充分发展段：沿管长截面上的速度分布不变的管段。 充分发展段：沿管长截面上的速度分布不变的管段。
入口段：截面上的速度分布、无量纲的温度分布随管长而 入口段：截面上的速度分布、无量纲的温度分布随管长而 变化的。 变化的。 流动充ห้องสมุดไป่ตู้发展段：速度分布与流动方向上的坐标无关。 流动充分发展段：速度分布与流动方向上的坐标无关。 热充分发展段： 热充分发展段：无量纲的温度分布与流动方向上的坐标无 关。 在入口段，局部对流换热系数随流动方向而变化。 在入口段，局部对流换热系数随流动方向而变化。 t − tw Θ= 充分发展段特征： 充分发展段特征： tm − tw 沿流动方向： ① 沿流动方向： ② ③
第8章 单相流体对流换热及实验关联式-技工院
2) 管道弯曲的影响
管道弯曲，离心力的作用会在流 体内产生二次环流，增加了扰动，使 对流换热得到强化。弯管的曲率半径 越小，流速越大，二次环流的影响越 大。
上述影响因素在进行管内对 流换热计算时需要加以考虑。
11
传热学
3. 管内湍流换热计算
① 迪图斯-贝尔特（Dittus-Boelter）公式
Nuf 0.023Re
6
传热学
• 两种典型边界条件下，流体温度与壁面温度沿主流 方向的变化曲线 一般情况下，管壁温度和流体温度都沿流动方向 发生变化，变化规律与边界条件有关。 a. 常热流边界条件： qx＝常数，流体截面平均 温度 tf 沿流动方向线性变化。 qx hx t x 热进口段： hx , tx 热充分发展段： hx＝常数， tx ＝常数，壁面温度tw和tf 都 沿流动方向线性变化。
• 充分发展段
u 0 x
0 x
3
传热学
• 流动充分发展段流态的判断：对于工业和日常生活 中常用的光滑管道
Re
um d
2300 Re 10 Re 104
2300 层流（um 为平均流速）
4
层流到紊流的过渡阶段 旺盛紊流
热充分发展段的特征： tw t 0 x t w tf tw、tf 分别为管壁温度 与流体截面平均温度。
l d w
• 截面上温差的修正已由ηf /ηw 考虑 • 关联式适用于均匀壁温
21
传热学
8.2
• 流动特点
外掠圆管对流换热
一、外掠单管(flow over single cylinder) 前半周，加速流动
dp du 0, 0 dx dx dp du 0, 0 dx dx
化工传递过程— 第八章 对流传热
u x u y 0 x y
t t 2t ux u y 2 x y y
三个未知未知变量ux、uy、t,（自变量x、y、z）
三个方程。如何求解？→非线性偏微分方程。
y
普兰德边界层方程的精确解
• 步骤：
– ①由N-S方程和连续性方程求得速度分布函 数u（x,y),边界层厚度，曳力系数； – ②由速度分布u和能量方程求解温度分布函 数t(x,y)； – ③由温度分布函数t(x,y)求得对流传热系数h 和其它参数。
(Pr 1)可求得边界层厚度 t，膜系数hx和平均膜系数 m h
湍流下的热量传递
雷诺类似律
dux d ( u x ) d ( u x ) dy dy dy
d ( u x ) u x：动量； ：动量梯度。 dy u2 u1 mu2 mu1 F ma m
雷诺类似律
• 湍流：包括分子扩散和涡流扩散，其中 涡流扩散占主要部分 d ( u x ) d ( u x ) M 2 t ( ) dy dy
d ( c pt ) d ( c pt ) q ( )t ( H ) H A dy dy
1 M
质量为M的质点由1-1面跳到2-2面，另一质点由2-2面跳到1-1面（交换混合）， 结果会使热量、动量同时得到交换，二者由质量M联系起来。同理，如果浓度 不同，其质量会发生传递（由M联系）
k f h (12-74) 2 bu p c bu
0 c
质量传递 c0 热量传递 动量传递 (CDx ) k h f
数系力曳DC 数系擦摩宁范 : f ；
1 1 2 2 s fAu 0 . Fd CDx Au 0 . 2 2
化工过程传递答案第8章对流传热
第八章1. 试述层流边界层和湍流边界层流体与固体壁面之间的传热机理（不计自然对流的影响），并分析两种边界层流体与壁面之间传热机理的异同点。
答：层流边界层传热是分子传热，即导热；湍流边界层传热主要是涡流传热，即由微团旋涡运动引起的传热。
共同点：湍流边界层中也存在一层流内层，该层中的传热方式与层流相同；不同点：层流边界层不存在缓冲层和湍流核心，所以无涡流传热。
2. 不可压缩流体在平板层流边界层中进行二维稳态流动和二维稳态传热，试应用有关微分方程说明“精确解”方法求解对流传热系数h 的步骤。
解：对平板层流边界层中稳态二维流动、二维传热描述的微分方程有普兰德边界层方程 22x x xx y u u u u u x y y ν∂∂∂+=∂∂∂ （1） 连续性方程 0yx u u x y ∂∂+=∂∂ （2）边界层能量方程 22x y t t tu u x y yα∂∂∂+=∂∂∂ （3）求解h 的步骤：（1）用无量纲变量η和无量纲流函数()f η将普兰德边界层方程式（1）和（2）化为常微分方程，即0]20x y u u f u f f ff f ηη'''''''==-=+=，，（2）求解上述常微分方程，得到层流边界层内的速度分布； （3）引入*0sst t T t t -=-和η；化简并求解能量方程（3），得到边界层内的温度分布； （4）由00x y s k dt h t t dy==-解出x h 。
3. 常压和30℃的空气，以10m/s 的均匀流速流过一薄平板表面。
试用精确解求距平板前缘10cm 处的边界层厚度及0/0.516x u u =处的x u 、y u 、y u x ∂∂、壁面局部曳力系数Dx C 、平均曳力系数D C 的值。
设临界雷诺数5510cx Re =⨯。
解：查物性常数表得，常压和30℃空气的物性为351.165kg/m 1.8610Pa s ρμ-==⨯⋅，∵ 4050.110 1.165 6.26101.8610c x x xu Re Re ρμ-⨯⨯===⨯<⨯ ∴ 为层流边界层1/241/35.0 5.00.1(6.2610)2010mxx R e δ---==⨯⨯⨯=⨯当0.516xu u =时，查表4-1得 1.6()0.42032()0.29667f f ηηη''===，，030.5160.51610 5.16m /s'()()]1 1.60.5160.42032]28.110m /sx y u u u f f ηηη-==⨯==-=⨯-=⨯0001(')''107422.7s 0.1x u u f u u f f y yy xη-∂∂∂===∂∂∂=⨯=4. 常压和394 K 的空气由光滑平板壁面流过。
第九章 湍流流动与换热
1 ∆τ
∫τ
τ +∆τ
φ ′dτ = 0
1 1 u′u′ + v′v′ + w′w′ V 3 若 u′u′ = v′v′ = w′w′ ，则称为各向同性湍流。 J=
(
)
1 2
(9-1-5)
9-2 湍流微分方程
对于常物性的不可压缩流体，其连续性方程为
∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂u ∂ 2 ∂ ∂ 1 ∂p + ( u ) + ( uv ) + ( vw ) = − + v∇ 2u ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x
（9-2-2）
利用时均法则得到
∂ 2 ∂ ∂ 1 ∂p u + uv + ( vw ) = − + v∇ 2 u ∂x ∂y ∂z ρ ∂x
( )
( )
（9-2-3）
( )
( )
（9-2-5） 类似地可以得到y、z方向的时均形式的动量方程：
u ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ∂ ∂ ∂ +v +w = − + v∇ 2 v − u′v′ − v′2 − ( v′w′ ) ρ ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z （9-2-6）
( )
)
( )
u
∂w ∂w ∂w 1 ∂p ∂ ∂ ∂ +v +w =− + v∇ 2 w − w′u′ − ( w′v′ ) − w′2 （9-2-7） ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂x ∂y ∂z
（9-3-8）
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
不同的流动有不同的混合长度，不存在确定混合长度的通用准则， 它与物性和速度无关，只取决于流体微团脉动的距离，或者是与流 场某个特征尺寸有关。对于湍流边界层流动，普朗特假定它和距壁 面的法向距离成正比： l = ky （9-3-9） 式中k称为冯·卡门常数。 代入式(9-3-8)得到 (9-3-8) 2 2 ∂u
电子器件的散热技术及其计算方法
电子器件的散热技术及其计算方法翁建华;舒宏坤;崔晓钰【摘要】介绍了电子器件散热中常用的部件,包括热管、散热器、微型风扇等,以及为满足不断提高的热流密度而出现的新型散热部件,如振荡热管、微槽道散热器等.同时,结合电子器件散热特点,总结了散热计算的一些方法.这些计算方法是进行产品热设计和热分析的重要工具.【期刊名称】《机电产品开发与创新》【年(卷),期】2015(028)006【总页数】3页(P42-44)【关键词】电子器件;热设计;散热;计算方法【作者】翁建华;舒宏坤;崔晓钰【作者单位】上海电力学院能源与机械工程学院,上海200090;上海电力学院能源与机械工程学院,上海200090;上海理工大学能源与动力工程学院,上海200093【正文语种】中文【中图分类】TK124电子器件的散热方式有导热、对流和辐射，而对流又分为自然对流和强制对流。
按散热所使用的介质，又可分为气体散热和液体散热；按是否使用运动部件，散热又有被动和主动之分。
比如，室内照明用大功率LED主要通过空气自然对流、被动方式进行散热，而微型和小型计算机CPU则主要通过空气冷却、主动方式进行散热［1，2］。
随着电子技术的快速发展，电子元器件的集成度越来越高，热流密度越来越大，散热问题也越来越突出。
因此，电子器件的散热问题也越来越引起产品设计人员的重视。
本文介绍电子产品常用的散热部件及其发展、以及散热问题的一些计算方法，供设计人员参考。
电子器件散热常用部件主要有热管、散热器、微型风扇等，近年来又出现了一些新型散热部件和散热材料，如振荡热管、平板型热管、石墨材料、微槽道等，以满足高热流密度电子元器件散热的需要。
1.1 热管普通热管由管壳、吸液芯等组成，管内充有适量的工作介质。
热管内的工作介质在蒸发段吸收热量，由液态蒸发为汽态，在管的冷凝段释放热量，由汽态凝结为液态，再由吸液芯回流至蒸发段，热量就由热管的一侧传递至另一侧［3］。
热管是一种高效的传热元件，其传热热阻很低，如用于某型号笔记本电脑的热管其传热热阻仅为0.016K/W。
第八章__槽道内层流流动与换热
(8-l-20)
8-2 充分发展流的流动与换热
8-2-1 充分发展流的速度分布和摩擦系数
当流体的物性不随温度、压力变化时，速度场与温度场是非藕合
的。求解速度场时不需考虑温度分布，可以单独求解。 上一节已求出的平均速度U表示的圆管内充分发展流动的速度分 布(8-1-20 )，即 r 2 u 2U 1 ( ) r0 进一步可以得到壁面处的摩擦应力当量
(8-2-12)
由充分发展流的定义知，v＝0，u＝u(r)，则上式简化为
t 2t 1 t 2t u a( 2 2) (8-2-13) x r r r x 上式表明了能量的平衡，它包括轴向对流、径向导热和轴向导热， 由式(8-2-7)知 t q ( D c pU ) (8-2-14) x 相对应项的数量级为 q U q t 1 ( ) ( 对流项～导热项 径向～轴向 a D c pU D 2 x D c pU ) (8-2-15)
dU c d (U c u )udy 0 dx dx
0
u (U c u )dy ( ) y D 2 (8-l -3) y
D 2
(8-l-4)
由质量守恒得到
0
udy
D 2
U c dy U
8-l 进口段和充分发展流
8-2 充分发展流的流动与换热
t 考虑流体与壁面的传热是依靠壁面处的导热，因而轴向导热 D 2 不
能忽略。对流项可应用牛顿冷却公式，简化为 hD ，轴向导热 为 hD 2 a 2 。 ( ) ( ) UD UD PeD ? 1 对于 的情况，轴向导热可以忽略，得到 hD ~ 1 ， a 即Nu～1。注意，1是指 t D2 的数量级。
第八章 槽道内层流流动与换热
即
积分上式得
假设边界层内充分发展流速度分布为二次方多项式
u y y 2 ( )2 Uc
(8-l-5)
求解式(8-1-3)和式(8-1-4) 得到
D(1
3 2
U ) Uc
(8-l-6)
( x)
即
D2
3(1
U ) Uc
(8-1-7)
8-l 进口段和充分发展流
d dU c (U u )udy 0 c dx dx
0
u (U c u )dy ( ) y D 2 (8-l -3) y
D 2
(8-l-4)
由质量守恒得到
0
udy
D2
U c dy U
8-l 进口段和充分发展流
(8-1-18)
速度分布是抛物线型。
8-l 进口段和充分发展流
一般式(8-1-16)可以表示为
dp 2u 常数 dx
(8-l-19)
2u 式中， 0 2 x
对于圆管内充分发展流动，壁面处速度u=0时，得到速度分布为
r 2 u 2U 1 ( ) r0 r0 2 dp U ( ) 8 dx
u u 1 p 2u 2u u v ( 2 2 ) x y x x y
(8-l-12)
v v 1 p 2v 2v u v ( 2 2 ) x y y x y
(8-l-13)
假定充分发展流区域距离进口足够远，在流道截面上只有沿流动
前已说明，边界层理论是讨论在有限细长区域内的粘性流动，因
积分上式得
假设边界层内充分发展流速度分布为二次方多项式
u y y 2 ( )2 Uc
(8-l-5)
求解式(8-1-3)和式(8-1-4) 得到
D(1
3 2
U ) Uc
(8-l-6)
( x)
即
D2
3(1
U ) Uc
(8-1-7)
8-l 进口段和充分发展流
d dU c (U u )udy 0 c dx dx
0
u (U c u )dy ( ) y D 2 (8-l -3) y
D 2
(8-l-4)
由质量守恒得到
0
udy
D2
U c dy U
8-l 进口段和充分发展流
(8-1-18)
速度分布是抛物线型。
8-l 进口段和充分发展流
一般式(8-1-16)可以表示为
dp 2u 常数 dx
(8-l-19)
2u 式中， 0 2 x
对于圆管内充分发展流动，壁面处速度u=0时，得到速度分布为
r 2 u 2U 1 ( ) r0 r0 2 dp U ( ) 8 dx
u u 1 p 2u 2u u v ( 2 2 ) x y x x y
(8-l-12)
v v 1 p 2v 2v u v ( 2 2 ) x y y x y
(8-l-13)
假定充分发展流区域距离进口足够远，在流道截面上只有沿流动
前已说明，边界层理论是讨论在有限细长区域内的粘性流动，因
ch8 层流流动与换热
qw r0 λ
该问题同样可分解成为以下两个分问题：其一是充分发展 区的对流换热问题，它的解用脚注 f 表示；另一个是分问题A (如图11-10) 。 θ θ A θf
θ Cn e
n 1
2 γn r
1 4 7 2 Rn r 4 x r r （8-32） 4 24
hde h 4b Nu 5.385 λ λ
图11-7中角注 i 和 o 分别表示平板的内、外侧
根据叠加原理，用内、外侧单独加热时的Nuii 和Nu∞ 、相 应的修正系数 θi 和 θ o 以及内外侧热流密度的比值来表示两侧 加热时的 Nui 和 Nuo ： Nuii Nui （8-23）
2
（8-18）
表11-1给出了某些非圆形管道内流体作层流流动时在定热 流密度和定壁温条件下，用数值得出的努塞尔数。
8.2 两侧热流密度不等的同心圆环形管道内充 分发展区的层流换热
8.2.1 一侧绝热、另一侧定热流密度的平行平板 这种情况的坐标系统示于图11-6，其基本能量方程式和边 界条件分别为 2t u t 2 （8-19）
（8-13）
（定热流密度）（8-14）
可见，管内充分发展区层流换热的h 和 Nu 数都是常数。 管内换热的斯坦顿数定义为
h hD λ Nu St （8-15） ρc p um ρum D η ηc p λ Re Pr
8.1.4
圆管内充分发展区的层流换热计算——定壁温
定壁温能量方程式为： 1 t u t t w t m r r r r a t m t w x 定壁温条件下对流换热的努塞尔数为
r r
r
管内层流流动
p
r
u
v
x
u
ur?
?
+
?
?
?
?
+
?
?
?=
?
?
+
?
?μ
ρρx
p
dr
du
r
dr
d
r?
?
=)(
μC
=数学描述
数学描述数学描述
数学描述])(
1
[2
2x
r
r
a
um
m?
?
?
?
=?只是
只是只是
只是r的函数
的函数的函数
的函数恒壁温条件
：：
：速度分布与流动方向上的坐标无关
速度分布与流动方向上的坐标无关速度分布与流动方向上的坐标无关
速度分布与流动方向上的坐标无关。
。。
。
热充分发展段
热充分发展段热充分发展段
热充分发展段：
：：
：无量纲的温度分布与流动方向上的坐标无
无量纲的温度分布与流动方向上的坐标无无量纲的温度分布与流动方向上的坐标无
?λ
ρx
p
dr
du
r
dr
d
r?
?
=)(μ)]
(
1
[
r
t
r
rrx
t
ucp?
?
?
?
=
?
?λ
ρ?
?
==0urr?
r
u
v
x
u
ur?
?
+
?
?
?
?
+
?
?
?=
?
?
+
?
?μ
ρρx
p
dr
du
r
dr
d
r?
?
=)(
μC
=数学描述
数学描述数学描述
数学描述])(
1
[2
2x
r
r
a
um
m?
?
?
?
=?只是
只是只是
只是r的函数
的函数的函数
的函数恒壁温条件
：：
：速度分布与流动方向上的坐标无关
速度分布与流动方向上的坐标无关速度分布与流动方向上的坐标无关
速度分布与流动方向上的坐标无关。
。。
。
热充分发展段
热充分发展段热充分发展段
热充分发展段：
：：
：无量纲的温度分布与流动方向上的坐标无
无量纲的温度分布与流动方向上的坐标无无量纲的温度分布与流动方向上的坐标无
?λ
ρx
p
dr
du
r
dr
d
r?
?
=)(μ)]
(
1
[
r
t
r
rrx
t
ucp?
?
?
?
=
?
?λ
ρ?
?
==0urr?
第六章 层流对流换热
此表达式对粘性流体在圆管内的紊流流动同样适用。
由于粘性流体在管壁上的流速等于零，管轴上的流速最大，故半径方向上的速度梯度
为负值。为保证切向应力的值为正值（因切向应力的方向在列平衡方程时已经考虑），取
τ = − μ du ，因此 dr
du = 1 d ( p + ρgh)rdr 2μ dL
（6－6）
对r
充 分 发 展 的 管 内 层 流 在 恒 壁 温 的 条 件 下 ， T w = 常数
， 则 dT w = 0 。 由 dx
∂T ∂x
=
dTw dx
− Tw Tw
−T − T~
dTw dx
+ Tw Tw
−T − T~
dT~ dx
可得，
∂T ∂x
=
Tw Tw
−T − T~
d T~ dx
。由于
∂T ∂x
积温度、流体温度）分布如图 6—3 所示。在温度的充分
充分发展区
发展区，存在着稳定的无量纲温度分布， ∂ Η = 0 ，即 0
x
∂x
∂ ∂x
(
T T~
− −
Tw Tw
)
=
0
，将其展开
图 6—3 恒热流密度下的温度分布
(T~
1 − Tw )2
⎢⎡(T~ ⎣
− Tw )
∂ (T − Tw ) ∂x
−
(T
积分，得 u
=
1 4μ
d (p+ dL
ρgh)r 2
+C
，当 r
=
r0 时，u = 0 ，C
=
−
r0 4μ
d dL
(p+
化工传递过程课件 第八章教学提纲
1.平壁上层流传热边界层的变化方程
普兰德边 界层方程
ux
ux x
uy
ux y
μ ρ
2ux y 2
ux uy 0 x y
能量方程化简：
ux
t x
uy
t y
α
2t x2
2t y2
一、平板壁面上层流传热的精确解
由于
边界层能 量方程
2t 2t x2 y2
ux
t x
uy
t y
α
2t y 2
B.C. (1) y 0 , t ts ; (2) y , t t0 ; (3) x 0 , t t0
第八章 对流传热
本章重点讨论对流传热的机理、对流传热 系数的定义式，平板壁面上以及管内对流传 热的求解,动量传递与热量传递的类似性。
第八章 对流传热
8.1 对流传热机理与对流传热系数
一、对流传热机理 二、温度边界层（热边界层） 三、对流传热系数
ห้องสมุดไป่ตู้
一、对流传热机理
本课程的对流传热指运动流体与固体壁面之间的热
二、温度边界层（热边界层）
热边界层厚度的定义
（1）平板边界层厚度：
δt y tts 99%
t0 ts
（2）管内边界层的厚度： y ux us 0.99
u0 us
进口段区： 与平板相同；
汇合后： δt ri
三、对流传热系数
1. 对流传热的定义
固体壁面与流体之间的对流传热通量可用牛顿冷
却定律描述：
νx
x
T* η
y
T * T * η 1 T *
η
x η x 2x η
T * u0 T * y vx η
层流边界层的流动与换热参考文档
u u v u 1 p (2u 2u ) x y x x2 y2
u
v xvBiblioteka v y1p x
2v ( x 2
2v y2 )
u T x
v T y
a(
2T x2
2T y2 )
7-1 对流换热中的根本问题
边界条件为： 壁面处 u = 0，非滑移界面 v = 0，无渗透表面 T = Tc，常壁温 远离壁面处 u＝U∞，均匀流 v = 0，均匀流 T = T∞，均匀温度 求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘 性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以 得到壁面处的热流密度。
(7-2-2)
u v 0 x y
U V
L
(7-2-3)
可知 V U
L
(7-2-4)
7-2 边界层分析
考虑边界层内x 方向的动量方程
u
v
v
v
1
p
(2v
2v )
x y x x2 y2
U
U L
,v
U
P ,vU ,vU
L L
在上式中，惯性力项均为U2 ，不能忽略任一项。但在边界层区
L
2u
2u
7-1 对流换热中的根本问题
图7-1 沿平板流动的边界层速度和温度分别
7-1 对流换热中的根本问题
可以通过实验的方法，也可以通过分析的方法得到以上问题的速 度分布和温度分布，进而获得流动阻力和热流密度。 以二维常物性不可压缩流体为例，控制微分方程组可由第六章中 的基本方程得到：
u v 0 x y
7-2 边界层分析
7-2-2 温度边界层
与速度边界层类似，当具有均匀温度的流体流过一壁面时，若壁 面温度与流体温度不同，流体温度将在靠近壁面的一个很薄的区 域内从壁面温度变化到主流温度，该层称为温度边界层，或热边 界层。热边界层厚度用δt表示，如图7-3 所示，通常规定其边界在 垂直于流动方向流体温差t∞－t 等于0.99(t∞－tw)处，t∞表示主流温 度，tw表示壁面温度。在温度边界层内，温度梯度很大，而其外 部温度梯度很小可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处 理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层 厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的关系通常取决于流体的 热物性。
u
v xvBiblioteka v y1p x
2v ( x 2
2v y2 )
u T x
v T y
a(
2T x2
2T y2 )
7-1 对流换热中的根本问题
边界条件为： 壁面处 u = 0，非滑移界面 v = 0，无渗透表面 T = Tc，常壁温 远离壁面处 u＝U∞，均匀流 v = 0，均匀流 T = T∞，均匀温度 求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘 性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以 得到壁面处的热流密度。
(7-2-2)
u v 0 x y
U V
L
(7-2-3)
可知 V U
L
(7-2-4)
7-2 边界层分析
考虑边界层内x 方向的动量方程
u
v
v
v
1
p
(2v
2v )
x y x x2 y2
U
U L
,v
U
P ,vU ,vU
L L
在上式中，惯性力项均为U2 ，不能忽略任一项。但在边界层区
L
2u
2u
7-1 对流换热中的根本问题
图7-1 沿平板流动的边界层速度和温度分别
7-1 对流换热中的根本问题
可以通过实验的方法，也可以通过分析的方法得到以上问题的速 度分布和温度分布，进而获得流动阻力和热流密度。 以二维常物性不可压缩流体为例，控制微分方程组可由第六章中 的基本方程得到：
u v 0 x y
7-2 边界层分析
7-2-2 温度边界层
与速度边界层类似，当具有均匀温度的流体流过一壁面时，若壁 面温度与流体温度不同，流体温度将在靠近壁面的一个很薄的区 域内从壁面温度变化到主流温度，该层称为温度边界层，或热边 界层。热边界层厚度用δt表示，如图7-3 所示，通常规定其边界在 垂直于流动方向流体温差t∞－t 等于0.99(t∞－tw)处，t∞表示主流温 度，tw表示壁面温度。在温度边界层内，温度梯度很大，而其外 部温度梯度很小可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处 理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层 厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的关系通常取决于流体的 热物性。
传热学微尺度ppt
01
02
ห้องสมุดไป่ตู้
考虑到上述原因，Adams等（1998）采用了直径为0.76mm和1.09mm的圆形槽道，对其中水的湍流单相受迫对流问题进行了实验研究，由此避开了槽道高宽比引起的附加效应。图7.4为测试段中内径中为0.76mm的管道详细图示。整个测试段在一个铜圆柱上加工而成。Adams等（1998）的得到了一个一般性的Nusselt数为
正是这些复杂因素增大了分析微对流传热问题的复杂性，如何正确评价各种因素对微传热的贡献具有特别重要的意义。本章将扼要介绍微对流传热方面的一些典型问题及其有关的物理机制。
7.2一些典型的微尺度对流传热现象
现在已经得到普遍认同的是，对于微结构内的流动和热交换，经典有效的模型不一定适用。比如，Wu和Little（1984）测量了流过四个微槽道测试元件（槽高在89m到97 m ，槽宽在312 m 到572 m 范围）中氮气的换热系数，试验给出的层流区、过渡区及湍流区由1000到3000的Reynolds数分开，层流Nusselt数随Reynolds变化，而过渡区换热数据很难关联，Reynolds比拟对于粗管中的湍流不再成立。Chio等（1991）测定了微管内氮气在层流和湍流区的摩擦和对流换热系数，试验结果表明与传统尺寸管道中得到的热流体关系严重偏离。对于直径小于10m或Reynolds数低于400的微管情况，其摩擦关联式C=fRe得到的常数是C=53而非传统的64，所测得的层流换热Nusselt数强烈地表现为Reynolds数的函数，而对于微管中的湍流换热，则7倍于由Colburn比拟j=f/8得到的值。
气或流体引起的摩擦力、静电力及黏性力的重要性不断增大，而此类规律尚未得到充分认识，所以隐含在各种微加工技术中的关键问题是建立小器件的科学与工程基础。 借助于先进的微加工技术，目前制造由多个水利直径在10μm到1000μm的微小流道组成的微型热交换器已不成问题。微尺度对流换热的例子可以在不同结构如微凹槽表面（Xu及Carey，1990）、微热管（Swanson及Peterson，1995；Peterson等，1998）、微效应器、微控制器甚至一些生物反应器中找到，冲击流最近也被证实能较大的增强微槽道（Zhang等，1997）及电子芯片表面（Lin等，1997）的传热性能。研究者们也对小尺度方形槽道内流体的非牛顿行为和层流强化换热问题进行了实验研究（Lin等，1996）。在许多应用中，微槽道内极强的过冷单项相受迫对流是一个有效的冷却机制，而宽度和深度加工为20m到1000 m范围的微槽道还被用于需要高热流的场合。由于在如此众多的领域，如微电子学、生物反应器及微热交换器等中的重要应用，微结构中的流动和传热已经成为近期研究的主要目标之一。
02
ห้องสมุดไป่ตู้
考虑到上述原因，Adams等（1998）采用了直径为0.76mm和1.09mm的圆形槽道，对其中水的湍流单相受迫对流问题进行了实验研究，由此避开了槽道高宽比引起的附加效应。图7.4为测试段中内径中为0.76mm的管道详细图示。整个测试段在一个铜圆柱上加工而成。Adams等（1998）的得到了一个一般性的Nusselt数为
正是这些复杂因素增大了分析微对流传热问题的复杂性，如何正确评价各种因素对微传热的贡献具有特别重要的意义。本章将扼要介绍微对流传热方面的一些典型问题及其有关的物理机制。
7.2一些典型的微尺度对流传热现象
现在已经得到普遍认同的是，对于微结构内的流动和热交换，经典有效的模型不一定适用。比如，Wu和Little（1984）测量了流过四个微槽道测试元件（槽高在89m到97 m ，槽宽在312 m 到572 m 范围）中氮气的换热系数，试验给出的层流区、过渡区及湍流区由1000到3000的Reynolds数分开，层流Nusselt数随Reynolds变化，而过渡区换热数据很难关联，Reynolds比拟对于粗管中的湍流不再成立。Chio等（1991）测定了微管内氮气在层流和湍流区的摩擦和对流换热系数，试验结果表明与传统尺寸管道中得到的热流体关系严重偏离。对于直径小于10m或Reynolds数低于400的微管情况，其摩擦关联式C=fRe得到的常数是C=53而非传统的64，所测得的层流换热Nusselt数强烈地表现为Reynolds数的函数，而对于微管中的湍流换热，则7倍于由Colburn比拟j=f/8得到的值。
气或流体引起的摩擦力、静电力及黏性力的重要性不断增大，而此类规律尚未得到充分认识，所以隐含在各种微加工技术中的关键问题是建立小器件的科学与工程基础。 借助于先进的微加工技术，目前制造由多个水利直径在10μm到1000μm的微小流道组成的微型热交换器已不成问题。微尺度对流换热的例子可以在不同结构如微凹槽表面（Xu及Carey，1990）、微热管（Swanson及Peterson，1995；Peterson等，1998）、微效应器、微控制器甚至一些生物反应器中找到，冲击流最近也被证实能较大的增强微槽道（Zhang等，1997）及电子芯片表面（Lin等，1997）的传热性能。研究者们也对小尺度方形槽道内流体的非牛顿行为和层流强化换热问题进行了实验研究（Lin等，1996）。在许多应用中，微槽道内极强的过冷单项相受迫对流是一个有效的冷却机制，而宽度和深度加工为20m到1000 m范围的微槽道还被用于需要高热流的场合。由于在如此众多的领域，如微电子学、生物反应器及微热交换器等中的重要应用，微结构中的流动和传热已经成为近期研究的主要目标之一。
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高等传热学内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算
常物性时
tm c pUA d uc p tdA
A
(8-2-9)
(8-2-10) 本节开始已述，管流的基本问题是流体与壁面间温差与传热速率
1 tm 2 r0 U
0
2
r0
0
utrdrd
的关系，牛顿冷却公式中采用t＝tw－tm，感兴趣的是得到对流换 热表面传热系数 (t r )r r0 q (8-2-11)
由壁面摩擦系数定义
w
du 4U dr r r0 r0
(8-2-l)
Cf
w
1 U 2 2
8-2 充分发展流的流动与换热
得到
Cf
通常，在讨论槽道流时经常使用阻力系数，并定义为
4 U r0 8 16 1 U 2 Ur0 Re 2
(8-2-2)
u u 1 p 2 u 2u u v ( 2 2 ) x y x x y
(8-l-12)
v v 1 p 2v 2v u v ( 2 2 ) x y y x y
(8-l-13)
假定充分发展流区域距离进口足够远，在流道截面上只有沿流动
8-l 进口段和充分发展流
8-1-1 进口段
将积分方法应用于槽道内。如图8-1 所示，两个平行平板形成一
个二维槽道，流体进口速度为U。讨论的重点是壁面摩擦力及槽 道内的速度分布。Sparrow给出了该问题较详细的积分求解过程。 而可以预测，速度边界层在距离槽道入口不远处形成。在入口处 与外部流动完全相似，边界层厚度的增长只能达到D/2。之后，上、 下边界层将相遇，这样槽道内的流动可以分为两个明显不同的区 域。第一个区域称为入口段或发展段，在壁面附近存在边界层， 两个边界层之间为无粘流动，与外部流动问题十分接近；边界层 闭合之后的区域为第二个区域，槽道内不存在无粘区，粘性区域 充满整个通道，已不再是边界层流动。由布劳修斯解可以估算入 口段长度：
第十三章 复合换热
第八章 槽道内层流流动与换热
本章将讨论由壁面形成的槽道内的流动摩擦和流体与
槽道壁面间的传热问题，即槽道内的流动阻力或压降 如何？垂直于流动方向的传热系数或热阻的确定。
本章值得特别指出的一个重要问题是充分发展流动与
换热。传统的充分发展流概念，总是与自维持相关， 用于处理N-S方程，然而这并不能明确地说明这一概念。 本质上，充分发展流是外部流动问题的边界层理论的 发展或延续。其目的是相同的，均将流动的研究限于 局部区域(分为两个区域)，使问题的分析简化。
UD PeD ? 1 时能量方程简化为 不难推出， a
u t 2t 1 t 2 a x r r r
(8-2-16)
8-2 充分发展流的流动与换热
2t 2 2 对于充分发展流，U=U(r)与x无关。 r 的数量级为 t D ，即 热扩散的影响到达中心，这一点不适用于热进口段。因为，此 2t 2 ~ t t 时 r 2 ，而t<<D。对于热充分发展区域，有Nu=常数=0(1)。 通常认为，充分发展的温度分布定义为
(8-1-18)
速度分布是抛物线型。
8-l 进口段和充分发展流
一般式(8-1-16)可以表示为
2 式中， u 0 x 2
dp 2u 常数 dx
(8-l-19)
对于圆管内充分发展流动，壁面处速度u=0时，得到速度分布为
r 2 u 2U 1 ( ) r0 r0 2 dp U ( ) 8 dx
(8-l-20)
8-2 充分发展流的流动与换热
8-2-1 充分发展流的速度分布和摩擦系数
当流体的物性不随温度、压力变化时，速度场与温度场是非藕合
的。求解速度场时不需考虑温度分布，可以单独求解。 上一节已求出的平均速度U表示的圆管内充分发展流动的速度分 布(8-1-20 )，即 r 2 u 2U 1 ( ) r0 进一步可以得到壁面处的摩擦应力当量
热速率。为不失一般性，考虑如图8-2所示的管内流动，其平均速 度为U, 半径为r0。 根据热力学第一定律,稳态时壁面对流体的加热率等于流体焓的增 加，即 q 2 r0dx qm (hxdx hx ) (8-2-6) 假定流体为理想气体，dh c p dtm ，或为不可压缩流体，dh ≈ cdtm，上式转化为
方向的速度。在断面上变化，法向速度v可以忽略。由方程(8-1-11) 得到
v 0, u 0 x
(8-1-14)
8-l 进口段和充分发展流
通常，上式被认为是充分发展流的定义和起始点，但更主要的是
式(8-l-14)的量级基础。充分发展流区域中，y方向的数量级是槽 道宽度D。由连续性方程可知。v～DU/L，而L>>D，可以忽略。 而对于流动入口段，y的数量级是δ (随x变化)，因而v和u/x均不 能忽略。 将式(8-1-l4)代入式(8-l-13)，得到 p 0 y (8-l-15) 表明压力p只是流动方向x的函数，这一点与外掠平板的边界层分 析是类似的，即在流道断面上压力是均匀一致的。进一步，由式 (8-1-14)得到 dp 2u 2 常数 dx y y D 2 (8-l -16) 上式左、右侧分别是x和y的函数，因而只能等于一个常数。
dtm 2 q dx r0 c pU
(8-2-7)
8-2 充分发展流的流动与换热
图8-2 管内流动换热
8-2 充分发展流的流动与换热
式中，控制体的温度tm是流体的截面平均温度，但流动断面上的
流体温度并非均匀一致。某一断面上任一点的温度t(x, r)一定与截 面平均温度tm(x)存在一定关系，但tm不是任何其它形式的平均，而 是热力学定义的主体流动的平均温度。考虑某一断面的热力学第 一定律 q 2 r0 dx d uc p tdA (8-2-8) A 将式(8-2-7)代入式(8-2-8)，得
f
考虑平均速度定义式(8-1-20)，即
(dp dx) D 1 U 2 2
(8-2-3)
得到
因而
64 f Re
Cf f 4
r02 dp U 8 dx
(8-2-4) (8-2-5)
8-2 充分发展流的流动与换热
8-2-2 充分发展管内层流的换热
1. 平均温度 管流换热的基本问题是流体与壁面间的温差和流体与壁面间的传
(8-2-12)
由充分发展流的定义知，v＝0，u＝u(r)，则上式简化为
t 2t 1 t 2t u a( 2 2) (8-2-13) x r r r x 上式表明了能量的平衡，它包括轴向对流、径向导热和轴向导热， 由式(8-2-7)知 t q ( D c pU ) (8-2-14) x 相对应项的数量级为 q U q t 1 ( ) ( 对流项～导热项 径向～轴向 a D c pU D 2 x D c pU ) (8-2-15)
即
积分上式得
8-2 充分发展流的流动与换热
t 考虑流体与壁面的传热是依靠壁面处的导热，因而轴向导热 D 2 不
能忽略。对流项可应用牛顿冷却公式，简化为 hD ，轴向导热 为 hD 2 a 2 。 ( ) ( ) UD UD PeD ? 1 对于 的情况，轴向导热可以忽略，得到 hD ~ 1 ， a 即Nu～1。注意，1是指 t D2 的数量级。
h
t w tm
t w tm
8-2 充分发展流的流动与换热
2. 充分发展的温度分布 从上式可以看出，欲得到传热速率，首先要确定流体的温度场。
通常的方法是求解能量方程。二维管流的能量方程为
t t 2t 1 t 2t u v a( 2 2) x r r r r x
令
( x) D 2
3 U c ( x) U 2
x D 0.026 Re D
得到
(8-l-8)
和
与式(8-1-1)比较不难看出，无论积分方程，还是相似解，得到的
流动入口段长度属同一数量级，它与DReD之比均在10-2数量级。
8-l 进口段和充分发展流
流动入口段与充分发展段的根本区别，可以进一步用壁面摩擦切
其中t，tw，tm均是x的函数,上式定义来源于Nu～1，而
tw t r ( ) t w tm r0
(8-2-17)
tw t r ( ) t w tm r0
(8-2-18)
8-2 充分发展流的流动与换热
因此
t w tm (8-2-19) 无疑在x方向的变化与tw－tm的变化是相同的，因此是x和r的函数，
前已说明，边界层理论是讨论在有限细长区域内的粘性流动，因
x D 0.01 Re D
(8 -l-l)
8-l 进口段和充分发展流
图8-1 两平行平板间层流流动边界层的形成与发展
8-l 进口段和充分发展流
与外掠平板不同的是，由于边界层的排挤，部分流体进入核心区
使之加速。这种加速使进口段边界层的增厚减缓，但每个流动断 面的质量流量ρUD是相同的。 在入口段的核心区域，压力与速度的关系可以由伯努利方程得到， 即 dU c 1 dp Uc 0 (8-1-2) dx dx 其中Uc为核心无粘区的流速。值得注意的是，Uc＝Uc (x)，与外掠 平板状况有所不同。 同样，采用积分方程可以得到
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算
常物性时
tm c pUA d uc p tdA
A
(8-2-9)
(8-2-10) 本节开始已述，管流的基本问题是流体与壁面间温差与传热速率
1 tm 2 r0 U
0
2
r0
0
utrdrd
的关系，牛顿冷却公式中采用t＝tw－tm，感兴趣的是得到对流换 热表面传热系数 (t r )r r0 q (8-2-11)
由壁面摩擦系数定义
w
du 4U dr r r0 r0
(8-2-l)
Cf
w
1 U 2 2
8-2 充分发展流的流动与换热
得到
Cf
通常，在讨论槽道流时经常使用阻力系数，并定义为
4 U r0 8 16 1 U 2 Ur0 Re 2
(8-2-2)
u u 1 p 2 u 2u u v ( 2 2 ) x y x x y
(8-l-12)
v v 1 p 2v 2v u v ( 2 2 ) x y y x y
(8-l-13)
假定充分发展流区域距离进口足够远，在流道截面上只有沿流动
8-l 进口段和充分发展流
8-1-1 进口段
将积分方法应用于槽道内。如图8-1 所示，两个平行平板形成一
个二维槽道，流体进口速度为U。讨论的重点是壁面摩擦力及槽 道内的速度分布。Sparrow给出了该问题较详细的积分求解过程。 而可以预测，速度边界层在距离槽道入口不远处形成。在入口处 与外部流动完全相似，边界层厚度的增长只能达到D/2。之后，上、 下边界层将相遇，这样槽道内的流动可以分为两个明显不同的区 域。第一个区域称为入口段或发展段，在壁面附近存在边界层， 两个边界层之间为无粘流动，与外部流动问题十分接近；边界层 闭合之后的区域为第二个区域，槽道内不存在无粘区，粘性区域 充满整个通道，已不再是边界层流动。由布劳修斯解可以估算入 口段长度：
第十三章 复合换热
第八章 槽道内层流流动与换热
本章将讨论由壁面形成的槽道内的流动摩擦和流体与
槽道壁面间的传热问题，即槽道内的流动阻力或压降 如何？垂直于流动方向的传热系数或热阻的确定。
本章值得特别指出的一个重要问题是充分发展流动与
换热。传统的充分发展流概念，总是与自维持相关， 用于处理N-S方程，然而这并不能明确地说明这一概念。 本质上，充分发展流是外部流动问题的边界层理论的 发展或延续。其目的是相同的，均将流动的研究限于 局部区域(分为两个区域)，使问题的分析简化。
UD PeD ? 1 时能量方程简化为 不难推出， a
u t 2t 1 t 2 a x r r r
(8-2-16)
8-2 充分发展流的流动与换热
2t 2 2 对于充分发展流，U=U(r)与x无关。 r 的数量级为 t D ，即 热扩散的影响到达中心，这一点不适用于热进口段。因为，此 2t 2 ~ t t 时 r 2 ，而t<<D。对于热充分发展区域，有Nu=常数=0(1)。 通常认为，充分发展的温度分布定义为
(8-1-18)
速度分布是抛物线型。
8-l 进口段和充分发展流
一般式(8-1-16)可以表示为
2 式中， u 0 x 2
dp 2u 常数 dx
(8-l-19)
对于圆管内充分发展流动，壁面处速度u=0时，得到速度分布为
r 2 u 2U 1 ( ) r0 r0 2 dp U ( ) 8 dx
(8-l-20)
8-2 充分发展流的流动与换热
8-2-1 充分发展流的速度分布和摩擦系数
当流体的物性不随温度、压力变化时，速度场与温度场是非藕合
的。求解速度场时不需考虑温度分布，可以单独求解。 上一节已求出的平均速度U表示的圆管内充分发展流动的速度分 布(8-1-20 )，即 r 2 u 2U 1 ( ) r0 进一步可以得到壁面处的摩擦应力当量
热速率。为不失一般性，考虑如图8-2所示的管内流动，其平均速 度为U, 半径为r0。 根据热力学第一定律,稳态时壁面对流体的加热率等于流体焓的增 加，即 q 2 r0dx qm (hxdx hx ) (8-2-6) 假定流体为理想气体，dh c p dtm ，或为不可压缩流体，dh ≈ cdtm，上式转化为
方向的速度。在断面上变化，法向速度v可以忽略。由方程(8-1-11) 得到
v 0, u 0 x
(8-1-14)
8-l 进口段和充分发展流
通常，上式被认为是充分发展流的定义和起始点，但更主要的是
式(8-l-14)的量级基础。充分发展流区域中，y方向的数量级是槽 道宽度D。由连续性方程可知。v～DU/L，而L>>D，可以忽略。 而对于流动入口段，y的数量级是δ (随x变化)，因而v和u/x均不 能忽略。 将式(8-1-l4)代入式(8-l-13)，得到 p 0 y (8-l-15) 表明压力p只是流动方向x的函数，这一点与外掠平板的边界层分 析是类似的，即在流道断面上压力是均匀一致的。进一步，由式 (8-1-14)得到 dp 2u 2 常数 dx y y D 2 (8-l -16) 上式左、右侧分别是x和y的函数，因而只能等于一个常数。
dtm 2 q dx r0 c pU
(8-2-7)
8-2 充分发展流的流动与换热
图8-2 管内流动换热
8-2 充分发展流的流动与换热
式中，控制体的温度tm是流体的截面平均温度，但流动断面上的
流体温度并非均匀一致。某一断面上任一点的温度t(x, r)一定与截 面平均温度tm(x)存在一定关系，但tm不是任何其它形式的平均，而 是热力学定义的主体流动的平均温度。考虑某一断面的热力学第 一定律 q 2 r0 dx d uc p tdA (8-2-8) A 将式(8-2-7)代入式(8-2-8)，得
f
考虑平均速度定义式(8-1-20)，即
(dp dx) D 1 U 2 2
(8-2-3)
得到
因而
64 f Re
Cf f 4
r02 dp U 8 dx
(8-2-4) (8-2-5)
8-2 充分发展流的流动与换热
8-2-2 充分发展管内层流的换热
1. 平均温度 管流换热的基本问题是流体与壁面间的温差和流体与壁面间的传
(8-2-12)
由充分发展流的定义知，v＝0，u＝u(r)，则上式简化为
t 2t 1 t 2t u a( 2 2) (8-2-13) x r r r x 上式表明了能量的平衡，它包括轴向对流、径向导热和轴向导热， 由式(8-2-7)知 t q ( D c pU ) (8-2-14) x 相对应项的数量级为 q U q t 1 ( ) ( 对流项～导热项 径向～轴向 a D c pU D 2 x D c pU ) (8-2-15)
即
积分上式得
8-2 充分发展流的流动与换热
t 考虑流体与壁面的传热是依靠壁面处的导热，因而轴向导热 D 2 不
能忽略。对流项可应用牛顿冷却公式，简化为 hD ，轴向导热 为 hD 2 a 2 。 ( ) ( ) UD UD PeD ? 1 对于 的情况，轴向导热可以忽略，得到 hD ~ 1 ， a 即Nu～1。注意，1是指 t D2 的数量级。
h
t w tm
t w tm
8-2 充分发展流的流动与换热
2. 充分发展的温度分布 从上式可以看出，欲得到传热速率，首先要确定流体的温度场。
通常的方法是求解能量方程。二维管流的能量方程为
t t 2t 1 t 2t u v a( 2 2) x r r r r x
令
( x) D 2
3 U c ( x) U 2
x D 0.026 Re D
得到
(8-l-8)
和
与式(8-1-1)比较不难看出，无论积分方程，还是相似解，得到的
流动入口段长度属同一数量级，它与DReD之比均在10-2数量级。
8-l 进口段和充分发展流
流动入口段与充分发展段的根本区别，可以进一步用壁面摩擦切
其中t，tw，tm均是x的函数,上式定义来源于Nu～1，而
tw t r ( ) t w tm r0
(8-2-17)
tw t r ( ) t w tm r0
(8-2-18)
8-2 充分发展流的流动与换热
因此
t w tm (8-2-19) 无疑在x方向的变化与tw－tm的变化是相同的，因此是x和r的函数，
前已说明，边界层理论是讨论在有限细长区域内的粘性流动，因
x D 0.01 Re D
(8 -l-l)
8-l 进口段和充分发展流
图8-1 两平行平板间层流流动边界层的形成与发展
8-l 进口段和充分发展流
与外掠平板不同的是，由于边界层的排挤，部分流体进入核心区
使之加速。这种加速使进口段边界层的增厚减缓，但每个流动断 面的质量流量ρUD是相同的。 在入口段的核心区域，压力与速度的关系可以由伯努利方程得到， 即 dU c 1 dp Uc 0 (8-1-2) dx dx 其中Uc为核心无粘区的流速。值得注意的是，Uc＝Uc (x)，与外掠 平板状况有所不同。 同样，采用积分方程可以得到