福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题
福建省厦门双十中学高三数学上学期期中试题 理
福建省厦门双十中学2015届高三数学上学期期中试题 理第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1． 命题“对任意的x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是（ ▲ ）A ．不存在x ∈R ，x 2＋1>0 B ．存在x ∈R ，x 2＋1>0 C ．存在x ∈R ，x 2＋1≤0D ．对任意的x ∈R ，x 2＋1≤02． 已知集合{}23,A a =，集合{}0,,1B b a =-，且{}1AB =，则A B =（ ▲ ）A ．{}0,1,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,4D ．{}0,1,2,3,43． “sin α≠sin β”是“α≠β”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4． 若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ．ac 2<bc 2B ．1a <1bC ．b a >a bD ．a 2>ab >b 25． 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图像如下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是（ ▲ ）6． 设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则23z x y =-的最小值是（ ▲ ）A ．3-B ．12C ．6-D ．12-7． 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A . 若△OAF (O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（ ▲ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝8xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±8x8． 下列函数存在极值的是（ ▲ ）A. 2cos y x x =+B. ln xy e x =-C. 32331y x x x =++-D. 1ln y x x=-9． 定义：sin a b a b θ⨯=⋅⋅，其中θ为向量a与b的夹角，若2,5,6a b a b ==⋅=-，则a b ⨯=（ ▲ ） A ．6B ．8C ．－8D ．8或－810．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当12,[0,2]x x ∈且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-. 给出下列命题：①函数()f x 一定是周期函数； ②函数()f x 在区间[6,4]--上为增函数；③直线4x =-是函数()f x 图像的一条对称轴； ④函数()f x 在区间[6,6]-上有且仅有4个零点.其中正确命题的个数是（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.11．已知函数2,01()2,12x x f x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩，则20()f x dx ⎰等于 ▲ .12．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：y 216－x 24＝1有相同的渐近线，则C 1的离心率＝ ▲ . 13．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7a b，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝ ▲ . 14．若定义在],[b a 上的函数13)(23+-=x x x f 的值域为]1,3[-，则a b -的最大值是 ▲ .15．已知*(1,2,3,,,3,)i A i n n n N =≥∈是△AOB 所在的平面内的n 个相异点，且OA i ⋅=⋅. 给出下列命题：①12n OA OA OA OA ====；的最小值不可能是OB ；③点12,,,,n A A A A 在一条直线上；④向量及i 在向量的方向上的投影必相等.其中正确命题的序号是 ▲ .（请填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 16．（本小题满分13分）已知全集U =R ，0m >，集合2{|120},{|3}A x x x B x x m =--<=-≤. (1)当2m =时，求()UAB ð；(2)命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.17．（本小题满分13分）已知向量a ＝()3sin x ，－cos x ，b ＝()cos x ，cos x ，记函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝12，若向量m ＝()1，sin A 与n ＝()2，sin B 共线，求a ，b 的值.18．（本小题满分13分）平面直角坐标系中，点M 的坐标是，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.(1)将曲线1C 和2C 化成普通方程，并求曲线1C 和2C 公共弦所在直线的极坐标方程； (2)若过点M ，倾斜角为3π的直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值. 19．（本小题满分13分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足231p x =-+(其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本102p +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为20(4)p+元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若F 是椭圆C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，T 为直线x ＝4上任意一点，且T 不在x 轴上，(ⅰ)求FM →·FN →的取值范围；(ⅱ)若OT 平分线段MN ，证明：TF ⊥MN （其中O 为坐标原点）.21．（本小题满分14分）已知函数ln ()xf x x a=+(a ∈R )，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-.(1)求实数a 的值，并求()f x 的单调区间； (2)试比较20152014与20142015的大小，并说明理由；(3)是否存在k ∈Z ，使得()2kx f x >+对任意0x >恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由.厦门双十中学2014-2015学年（上）期中检测 高三数学（理科）参考答案及评分标准（2014-11-13）17．（本小题满分13分） 【解析】 (1)依题意，21cos 2111()cos cos 22cos 2sin(2)2222262x f x x x x x x x x π+=-=-=--=--··········································· 3分 所以最小正周期22T ππ==， ····························· 4分 令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间是：[,],63k k k Z ππππ-+∈. ·················· 6分 (2)由11()sin(2)622f C C π=--=，得sin(2)16C π-=， ················· 7分因为0C π<<，所以112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，解得3C π=， ········ 8分因为向量m ＝()1，sin A 与n ＝()2，sin B 共线，所以sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，…① ····································· 9分在△ABC中，由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=，……………………② ·························· 11分 由①②，解得1,2a b ==. ······························· 13分18．（本小题满分13分）【解析】(1) 依题意，1C 的普通方程：22(1)1x y -+=，………………………………① ········· 2分对2C ，24sin ρρθ=，所以224x y y +=，即22(2)4x y +-=，……② ········· 4分 ①－②可得，20x y -=， ····························· 6分 所以曲线1C 和2C 公共弦所在直线的极坐标方程为c o s 2s i n 0ρθρθ-=，1tan ()2R θρ=∈. ································ 7分 （注：本次考试，直线的极坐标方程若只写“cos 2sin 0ρθρθ-=”，或者“1tan 2θ=”均给分！） (2)解法一：依题意，直线l的参数方程为13,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点A 、B 分别对应参数12,t t ， ···· 9分代入1C的方程：221(31))122t +-+=，整理得2560t t ++=，所以126t t =， ····12分 所以126MA MB t t ⋅==. ······························· 13分解法二（注：了解即可！）：设曲线1C 的圆心为(1,0)C ，半径1r =， 则由圆幂定理得2222()()(31)0)16MA MB MC r MC r MC r ⋅=+-=-=-+-=. ········· 13分19．（本小题满分13分） 【解析】(1)由题意知，)210()204(p x p py +--+=， ······················ 3分 将231p x =-+代入化简得：x x y -+-=1416（0x a ≤≤）. ··············· 6分 (2)13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y ， ················· 8分 当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号. ······················ 9分 当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； ··················· 10分当1a <时，)114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增， ················· 11分 所以x a =时，函数有最大值，即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大. ·········· 12分 综上，当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当1a <时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大. ················· 13分 20．（本小题满分14分） 【解析】(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则222221,2191,4,c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，所以椭圆22:143x y C +=. ··············· 4分 (2)(ⅰ)易得(1,0)F ， ··································· 5分①若直线l 斜率不存在，则1:=x l ，此时)23,1(M ，)23,1(-N ，⋅＝49-； ···· 6分②若直线l 斜率存在，设)1(:-=x k y l ，),(),,(2211y x N y x M ，则 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得：01248)34(2222=-+-+k x k x k ············· 7分 ∴3482221+=+k k x x ，341242221+-=⋅k k x x ······················· 8分∴⋅),1(),1(2211y x y x -⋅-=]1)()[1(21212++-+=x x x x k ＝21149k +-- ···· 9分∵02≥k ∴11102≤+<k ∴411432<+-≤k ∴493-<⋅≤-FM综上，FN FM ⋅的取值范围为]49,3[--． ······················ 10分(ⅱ)线段MN 的中点为Q ，则由(ⅰ)可得，2122243,(1)24343Q Q Q x x k kx y k x k k +-===-=++， ··········································· 11分所以直线OT 的斜率3'4QQ y k x k==-，所以直线OT 的方程为：34y x k =-， ·········· 12分 从而3(4,)T k -，此时TF 的斜率30141TF k k k--==--， ···················13分 所以11TF MN k k k k⋅=-⋅=-，所以TF ⊥MN . ························ 14分21．（本小题满分14分） 【解析】(1)依题意，2ln '()()x ax x f x x a +-=+， ··························· 1分 所以211'(1)(1)1a f a a+==++，又由切线方程可得'(1)1f =，即111a =+，解得0a =， 此时ln ()x f x x =，21ln '()xf x x -=， ·························· 3分令'()0f x >，所以1ln 0x ->，解得0x e <<；令'()0f x <，所以1ln 0x -<，解得x e >， 所以()f x 的增区间为：(0,)e ，减区间为：(,)e +∞. ···················· 5分 (2)解法一：由(1)知，函数()f x 在(,)e +∞上单调递减，所以(2014)(2015)f f >，即2015201420152014ln 2014ln 2015201420152015ln 20142014ln 2015ln 2014ln 201520142015>⇔>⇔>⇔> ··········································· 9分 解法二：201420142015201520151201420142014⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，因为 201420142233201420142014201420142015112014201411111()()()20142014201411122!3!2014!1112122320132014111112(1)()()223201320141320143C C C ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++<++++<++++⨯⨯⨯=+-+-++-=-< 所以2014201520153120142014<<，所以2014201520152014<. ··················· 9分 (3)若()2kx f x >+对任意0x >恒成立，则2ln 2x k x x >+，记2ln 2()x g x x x=+，只需ma x ()k g x >.又32312ln 2122ln '()xx xg xx x x---=-=， ························ 10分 记()122ln h x x x =--，则2'()20h x x=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减.又(1)10h =-<，311ln 21ln 2ln 02h ==>-+=>，所以存在唯一0x ∈，使得0()0h x =，即00122ln 0x x --=， ············11分 当0x >时，(),'(),()h x g x g x 的变化情况如下：12分所以00max 022ln ()()x x g x g x x+==，又因为00122ln 0x x --=，所以0022ln 1x x +=，所以200000220000(22ln )212111()()222x x x x gx x x x x +++===⋅+， 因为0(2x ∈，所以01x ∈，所以03()12g x << ··············13分 又max ()(1)2g x g ≥=，所以02()1g x ≤<因为max ()k g x >，即0()k g x >，且k ∈Z ，故k 的最小整数值为3.所以存在最小整数3k =，使得()2kx f x >+对任意0x >恒成立. ·············· 14分。
福建省厦门双十中学高三上学期期中考试数学(文)
厦门双十中学2015届高三数学（文）期中考试卷2014.11.13一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知集合{}12,A x x x Z =-≤≤∈，集合，则等于A ．B ．C ．D ．2．如图在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数的值是A ．B ．C ．D ． 3．若向量，则下列结论正确的是A ． B. C ． D ． 4. 在等差数列中，已知，则该数列前11项和A ．58B ．88C ．143D ．1765.已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝A ．2 B.62 C.52D ．1 6. 已知函数221,1,(), 1.xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若=4，则实数=（ ）A. B. C. 2 D. 9 7．设抛物线上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是A ．4 B.6 C.8 D.12 8．“”是“一元二次方程有一个正根和一个负根”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．当x>1时，不等式x+≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(－∞,2]B ．[2,+∞)C ．[3,+∞)D ．(－∞,3]10. 已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=x x f 22cos 32cosππ，则函数满足 A ．的最小正周期是； B ．若，则；C ．的图象关于直线对称；D ．当时，的值域为.43,43⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11．若x,y 满足y ax z y x y x y x 2,22,1,1+=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+且仅在点（1，0）处取得最小值，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D 。
12.已知函数，若中，角C 是钝角，那么 A ． B ． C ． D ．二.填空题（每题4分，共16分） 13． 函数的定义域为_________14. 已知为钝角，且,则= ；15.圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 。
福建省厦门市双十中学高三(上)期中数学试卷含答案
轴 距离
【解答】
解：设퐴(1,0)，퐵(−1,0)，푃(푥,푦)，
8 (푥 + 3) + 푦 = 则
(푥−1)2 + 푦2 (푥 + 1)2 + 푦2
高三（上）期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合퐴 = {푦|푦 = ln(푥−1)}，퐵 = {0,1，2，3}，则퐴 ∩ 퐵 = ( )
A. {0,1，2，3} B. {1,2，3}
C. {2,3}
D. {0,1}
2. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
1，푙1与圆
C：푥2
+
푦2
=
4
相切，푙 与
2
C
相交
于 A，B 两点，则|퐴퐵| = ( )
A. 2
B. 3
C. 2 2
D. 2 3
7. △ 퐴퐵퐶的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，푐.已知퐴 = 60°，푐 = 8， 푎 = 푏 + 2，那么 △ 퐴퐵퐶的周长等于( )
A. 12
B. 20
C. 26
D. 10 3
8. 在 △ 퐴퐵퐶中，若点 D 满足퐶퐷 = 2퐷퐵，点 M 为 AC 中点，则푀퐷 = ( )
A. 23퐴퐵−16퐴퐶
B. 13퐴퐵−16퐴퐶
C. 23퐴퐵−13퐴퐶
D. 2퐴퐵 + 1퐴퐶
3
6
9. 已知函数푓(푥) = sin휔푥(휔 > 0)，则“函数푓(푥)的图象经过点(휋4,1)”是“函数푓(푥) 的图象经过点(휋2,0)”的( )
厦门双十中学2015届高三毕业班热身考试
厦门双十中学2015届高三毕业班热身考试数 学 （ 理 科 ） 试 题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差 锥体体积公式s=222121()()()n x x x x x x n⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1． 若5cos 5θ=-，[0,π]θ∈，则tan θ= A ．2- B ．12-C ．12 D ．2 2． 已知2zi i=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于A B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3． 已知集合U R =，2{|30 }A x x x =->，2{|log (1), }B y y x x A ==+∈，则()U A C B I 为A ．(0,2)B ．(2,3)C ．[2,3)D ．∅4． 已知三个正态分布密度函数()()222e 2i i x i ix μσϕπσ--=（R ∈x ,1,2,3i =）的图象如图所示，则A ．321μμμ=<,321σσσ>=B ．321μμμ=<,321σσσ<=C ．321μμμ=>,321σσσ<=D ．321μμμ<=,321σσσ=< 5． 已知向量()()3,4,211,4a a b =-=r r r，若向量a r 与向量b r 的夹角为θ，则cos θ= A ．35B ．35-C ．45D ．45-6． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．61B ．21 C ．32 D ．65 7． 已知命题p ：设R b a ∈,，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的必要不充分条件；命题q ：“∃0x ∈R ，使得2000x x ->”的否定是：“∀x ∈R ，均有20x x -<”；在命题①p q ∧；②()()p q ⌝∨⌝；③()p q ∨⌝； ④()p q ⌝∨中，真命题的序号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8． 如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A （0，1），一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长¼AM x =，直线AM 与x 轴交于点N （t ，0），则函数()t f x =的图像大致为9． 设双曲线)0,0(12222>>=-b a b ya x的右焦点为(,0)F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为12,x x ，则点12(,)P x xA ．必在圆222x y +=外 B ．必在圆222x y +=内 C ．必在圆222x y +=上D ．以上三种情况都有可能10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人. 全班k 名同学，都有选举权和被选举权. 他们的编号分别为1,2,,k L . 规定同意按"1"，不同意（含弃权）按"0". 令()()1,1,2,,,1,2,,0,ij i j a i k j k i j ⎧⎪===⎨⎪⎩L L 第号同学同意第号同学当选且第号同学不同意第号同学当选 则同时同意第1,2号同学当选的人数为A ．1112121222k k a a a a a a +++++++L LB ．1121112222k k a a a a a a +++++++L LC ．1112212212k k a a a a a a +++LD ．1121122212k k a a a a a a +++L第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 请把答案填在答题卷的相应位置.11．已知实数y x ,满足不等式组103x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值为 ▲ .12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ▲ . 13．若()()1cos 3f x x f x dx =+⎰，则()1f x dx ⎰= ▲ .14．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则二项式4()x n m x+展开式中的常数项为 ▲ . 15．已知2012(21)nnn x a a x a x a x +=++++L 中，令0x =就可以求出常数，即01a =.请你研究其中蕴含的解题方法并解答下列问题： 若0xii i e a x+∞==∑，即23401234x nn e a a x a x a x a x a x =+++++++L L ，则123123nn a a a a ++++=L ▲ .（用含n 的式子表示） 三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 16．（本小题满分已知两直2:sin 6l y x πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边分别为,,4=a b c a c A α==，，且当时，两直线恰好相互垂直.（Ⅰ）求A 值；（Ⅱ）求b 和ABC ∆的面积.17．（本小题满分13分）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解，目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R （单位：公里）可分为三类车型，A ：80≤R ＜150，B ：150≤R ＜250，C ：R ≥250．甲从A ，B ，C 三类车型中挑选，乙从B ，C 两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C 类车型的概率为310. （Ⅰ）求甲、乙选择不同车型的概率；．． 18．（本小题满分13分）如图，已知直线l 与抛物线24x y =相切于点(2,1)P ，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2,0).（Ⅰ）若动点Q 满足20AB BQ AQ ⋅+=u u u r u u u r u u u r，求点Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆Γ的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线:(0,0)l y kx t k t =+≠≠与轨迹C 交于,M N 两点，且与椭圆Γ交于,H K 两点. 若线段MN 与线段HK 的中点重合，求椭圆Γ的离心率.19．（本小题满分13分）已知△ABC 中，∠ACB ＝45°，B 、C 为定点且BC ＝3，A 为动点，作AD ⊥BC 于D （异于点B ），如图1所示. 连接AB ，将△ABD 沿AD 折起，使平面ABD ⊥平面ADC ，如图2所示. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ；（Ⅱ）当三棱锥A －BCD 的体积取得最大值时，求线段AC的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别取BC ，AC 的中点E 、M ，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求此时EN 与平面BMN 所成角的大小.20．（本小题满分14分）已知函数2()ln (0,,)f x x ax bx x a R b R =++>∈∈， 2.718e =L ，为自然对数的底数. （Ⅰ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=，求()f x 的极值；（Ⅱ）若1b =，是否存在a R ∈，使()f x 的极值大于零？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求证：()1172nii ei e =<⋅∑，其中*n N ∈. 21．本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分. 如果多做，则按前两题计分.(1) (本小题满分7分) 选修4-2：矩阵与变换如图，矩形OABC 在变换T 的作用下变成了平行四边形'''OA B C ，变换T 所对应的矩阵为M ，矩阵N 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍的变换所对应的矩阵.（Ⅰ）求矩阵M ，N ；（Ⅱ）直线l 先在矩阵M ，再在矩阵N 所对应的线性变换作用下像的方程为10x y ++=. 求直线l 的方程.(2) (本小题满分7分) 选修4-4：极坐标与参数方程已知椭圆22:143x y C +=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取同样单位长度），直线l 的极坐标方程为9cos()32πρθ+=-. yx()BPOA（Ⅰ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）求椭圆C 上的点P 到直线l 的距离的最大值． (3) (本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲已知函数()15f x x x m =++--（0m >）的定义域为R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若,a b R ∈，且4a b m ++=，22216a b m ++=，求实数m 的值．厦门双十中学2015届高三毕业班热身考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 答案 A D C B BD C D A C1．【答案】A 【解析】5cos 05θ=-<Q ，,2πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，225sin 1cos 5θθ∴=-=，sin tan 2cos θθθ∴==-，故答案为A.【考点】同角三角函数的基本关系 2．【答案】D【解析】根据所给的关于复数的等式，整理出要求的z 的表示式，进行复数的乘法运算，得到复数的最简结果，根据横标和纵标的值写出对应的点的坐标，得到点的位置． 解：∵复数z 满足2zi i=-∴(2)12z i i i =-=+，∴12z i =-，对应的点的坐标是(1,2)- ∴复数在复平面上对应的点在第四象限，故选D 3．【答案】C【解析】{}30<<=x x A ,{}20<<=y y B ,{0≤=y y B C U 或}2≥y ,()U A C B I {}32<≤=x x .故选C. 【考点】集合的交并补运算 4．【答案】B【解析】正态曲线是关于μ=x 对称，且在μ=x 处取得峰值σπ21，由图易得321μμμ=<，=121σπ>221σπ321σπ，故321σσσ<=【考点】正态分布曲线的性质 5．【答案】B【解析】由于向量()()3,4,211,4a a b =-=r r r，设(,)b x y =r ， 则2(32，a b x -=-r r42)(11,4)y -=，3-211,424,4,0x y x y =-==-=， 则(4,0)b =-r ，所以3(4)403cos 545a b a bθ⋅⨯-+⨯===-⨯⋅r rr r ，故选B. 【考点】平面向量的坐标运算 6．【答案】D【解析】先由三视图画出几何体的直观图，再由图中所给数据及柱体、锥体体积计算公式计算此几何体体积即可．由三视图可知此几何体为组合体：正方体去掉一角，其直观图如图：∵正方体的边长为1，∴正方体的体积为1, ∴此组合体的体积为115132611⨯⨯⨯=-．故选D ． 【考点】三视图求体积 7．【答案】C【解析】当2,2>>b a 且时, 4>+b a ，但是反过来不成立,所以命题p 为真命题；“∃x 0∈R ，使得20x －x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有20x x -≤”，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，所以根据真值表可得②③为真命题,故选C ．【考点】本题考查充要条件、复合命题的真假等基础知识，意在考查逻辑推理和对基础知识的理解 8．【答案】D 9．【答案】A【解析】由已知可得，12x x ＋＝－b a , 12x x ＝－c a , 222, ,a b c c a ＋＝＞222121212()2x x x x x x ＋＝＋－＝2222222222b c b ac b a a a a a +++=>＝222a c a +212e ＝＋＞， 点P 必在圆222x y ＋＝外，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.圆的方程. 10．【答案】C【解析】由题知，111212122212k k k k kk a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭LLM M M L由加法原理和乘法原理得， 同时同意第1,2号同学当选的人数为()11211222211122122121k k k k a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭L L M ，故选C.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.14 15 128(1)!1n +-11． 【【解析】作出平面区域图，易知y x 2+在A 处取得最大值，由⎩⎨⎧=+=31y x x 得)2,1(A ， 故()522112m ax =⨯+⨯=+y x 【考点】线性规划 12．【答案】4【解析】根据流程图所示的顺序，程序的运行中各变量值变化为：第一圈 循环1,1S k ==；第二圈循环1123,2S k =+==；第三圈循环33211,3S k =+==；第四圈循环11112,4S k =+=，第五圈100?S <,否，所以停止循环，输出4k =．【考点】1．程序框图；2．指数运算．13．【答案】sin12-【解析】两边同时积分，得()()()1111cos 3f x dx xdx f x dx dx =+⎰⎰⎰⎰，因为()1f x dx ⎰为常数，所以()()111cos 3(10)f x dx xdx f x dx =+⨯-⨯⎰⎰⎰，即()()()11110sin |3sin13f x dx x f x dx f x dx =+=+⎰⎰⎰，解得()1sin12f x dx =-⎰. 14．【答案】1283【解析】由茎叶图可知乙的中位数是3323432=+，甲、乙两组数据中位数相同所以3=m ，所以甲的平均数为333273339=++，甲、乙两组数据平均数也相同，所以33420383432=++++n解得8=n ，所以二项式4()x n m x +可化为二项式48()3x x +，通项公式444214481()()()833r r rr r r r r x T C C x x ---+==⋅，令420r -=，得2r =，所以常数项为2222141128()833T C +==. 【考点】由茎叶图求中位数及平均数，二项展开式通项公式．15．【答案】(1)!1n +-【解析】对23401234x n n e a a x a x a x a x a x =++++++L L ， 两边求导： 2311234234x n n e a a x a x a x na x -=+++++L L ，令x =0得：11111a a =⇒=，再两边求导：22234213243(1)x n n e a a x a x n n a x -=⨯+⨯+⨯+⨯-+L L ，令x =0得：2211122!12a a =⇒=⨯=⨯，再两边求导：334321432(1)(2)x n n e a a x n n n a x -=⨯⨯+⨯⨯+--+L L ， 令x =0得：32111233!123a a =⇒=⨯⨯=⨯⨯，…猜想：11123!123n n a n n n a =⇒=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯L L ，所以![(1)1]!(1)!!nnn n n n n n a =⨯=+-=+-， 所以123123(2!1!)(3!2!)[(1)!!](1)!1nn n n n a a a a ++=-+-++-=+-L L 【考点】本题类比解题方法，同时考查推理中蕴含的知识.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分. 16．（本小题满分13分）【解析】（Ⅰ）当A α=时，直线 121:cos 10;:sin()26l x y l y x παα+-==+的斜率分别为122cos ,sin()6k A k A π=-=+，2分因为两直线相互垂直，所以12(2cos )sin()16k k A A π=-+=- ··········································································· 3分 即1cos sin()62A A π+=可得1cos (sin cos cos sin )662A A A ππ+= ······································································· 4分211cos cos 22A A A +=11cos 212()222A A ++=即1cos 22122A A ++= 即1sin(2)62A π+= ···································································································· 6分因为0A π<<，022A π<<，所以132666A πππ<+<所以只有5266A ππ+=，解得3A π= ············································································· 8分（Ⅱ）4,3a c A π===,所以2222cos3a b c bc π=+- ······················································································· 9分即212164b b =+- ·································································································· 10分 所以2(2)0b -=即2b = ·················································································································· 11分 所以ABC ∆的面积为11sin 42sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= ········································ 13分17．（本小题满分13分）【解析】（Ⅰ）因为33410115q p q =⎧⎪+=⎨+⎪⎪⎪⎩解得25p =，25q =． ······························································ 4分 设“甲、乙选择不同车型”为事件A ，则123213()554545P A +⨯⨯=+=． ···································································· 6分 答：所以甲、乙选择不同车型的概率是35． ························································· 7分（Ⅱ）X 可能取值为7，8，9，10． ··············································································· 8分111(7)5420P X ==⨯=， 13211(8)54544P X ==⨯+⨯=， 21232545(9)45P X ⨯⨯===+； 233(10)5410P X ==⨯=． ···························· 10分所以X················································································································· 11分 所以11231797891020451020EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ··············································· 12分 答：甲、乙两人购车所获得的财政补贴之和．的数学期望是17920． ···························· 13分 18．（本小题满分13分）【解析】（Ⅰ）由24x y =得214y x =，所以1'2y x =，所以直线l 的斜率为2'|1x y ==， ······················ 1分 故直线l 的方程为1y x =-，所以点A 的坐标为(1,0). ················································· 2分设(,)Q x y ，则(1,0),(2,),(1,)AB BQ x y AQ x y ==-=-u u u r u u u r u u u r， ······································· 3分由0AB BQ ⋅=u u u r u u u r u u r得(2)00x y -+⋅=，整理得2212x y +=. ∴轨迹C 的方程为：2212x y +=. ············································································ 6分（Ⅱ）解法一：联立椭圆C 和直线l 的方程，221,2x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4220k x ktx t +++-=， ········································································ 7分设,M N 的横坐标分别为12,x x ，则122412ktx x k +=-+. ················································ 8分设椭圆Γ的方程为22221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠， ················································· 9分联立方程组22221x y m n y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得22222222()2()0n m k x ktm x m t n +++-=,设,H K 的横坐标分别为34,x x ，则2342222ktm x x n m k +=-+. ·········································· 10分∵弦MN 的中点与弦HK 的中点重合， ··································································· 11分∴12x x +=34x x +，2412ktk-=+22222ktm n m k -+， ∵0,0k t ≠≠，∴化简得222m n =， ····································································· 12分求得椭圆Γ的离心率2e m ===. ····················································· 13分 解法二：设椭圆E 的方程为22221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠，并设11223344(,),(,),(,),(,)M x y N x y H x y K x y . ∵,M N 在椭圆C 上，∴221122x y +=且222222x y +=，两式相减并恒等变形得12122x x k y y +=-⨯+. ······················ 8分由,H K 在椭圆Γ上，仿前述方法可得234234x x m k n y y +=-⨯+. ·········································· 11分∵弦AB 的中点与弦HK 的中点重合，∴222m n =， ··································································································· 12分 求得椭圆Γ的离心率2e ===. ····················································· 13分19．（本小题满分13分）【解析】 （Ⅰ）证明：因为平面ABD ⊥平面ADC ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABD ，平面ABD ∩平面ADC =AD ······································································ 2分 所以CD ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥CD . ················································································· 3分（Ⅱ）在如图1所示的△ABC 中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-.由AD BC ⊥，45ACB ∠=o 知，△ADC 为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-. 由折起前AD ⊥BC 知，折起后（如图2），AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC =D ， 所以AD ⊥平面BCD . ·································································································· 4分 又由（Ⅰ）可知，90BDC ∠=o，所以11(3)22BCD S BD CD x x ∆=⋅=-， 于是321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+. ············································ 5分令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =.当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<. 所以当1x =时，()f x 取得最大值. ·················································································· 7分故当BD ＝x ＝1，即AC ＝时，三棱锥A －BCD 的体积最大. ··········································· 8分 （Ⅲ）以D 为原点，DB 、DC 、DA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz . 由（Ⅱ）知，当三棱锥A -BCD 体积最大时，BD =1，AD =CD =2，于是可得1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2D B C A M E ，则(1,1,1)BM =-u u u u r ······· 9分设(0,,0)N λ，则1(,1,0)2EN λ=--u u u r . 因为EN ⊥BM 等价于0EN BM ⋅=u u u r u u u u r ，即11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=，解得12λ=，即1(0,,0)2N ··································· 10分 所以当12DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，由,,BN BM n n ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u ru r u u u r r 及1(1,,0)2BN =-u u u r ，得20,x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩可取(1,2,1)n =-r . ············································································· 11分 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22EN =--u u u r ，(1,2,1)n =-r ，可得11cos,2EN nEN nEN n--⋅<>===-u u u r ru u u r ru u u r r； ························································· 12分因为02πθ<<，所以sin cos,EN nθ=<>=u u u r r，即60θ=o. ······································· 13分20．（本小题满分14分）【解析】（Ⅰ）依题意，1'()2f x ax bx=++，'(1)12f a b=++ ··················································· 1分又由切线方程可知，1(1)2f=-，斜率12k=，所以1'(1)12,21(1)2f a bf a b⎧=++=⎪⎪⎨⎪=+=-⎪⎩解得0,12ab=⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以()ln2xf x x=-······································· 3分所以112'()(0)22xf x xx x-=-=>，当0x>时，,'(),()x f x f x的变化如下：所以()(2)f x f=极大值，无极小值. ···································································· 5分（Ⅱ）依题意，2()lnf x x ax x=++，所以2121'()21(0)ax xf x ax xx x++=++=>①当0a≥时，'()0f x>在(0,)+∞上恒成立，故无极值；················································· 6分②当0a<时，令'()0f x=，得2210ax x++=，则180a∆=->，且两根之积1212x xa=<，不妨设120,0x x<>，则122()()'()a x x x xf xx--=，即求使2()0f x>的实数a的取值范围. ··· 7分由方程组2222222210,ln0ax xx ax x⎧++=⎪⎨++>⎪⎩消去参数a后，得221ln02xx-+>，···································· 8分构造函数1()ln2xg x x-=+，则11'()02g xx=+>，所以()g x在(0,)+∞上单调递增， ·········· 9分又(1)0g=，所以()0g x>解得1x>，即2114xa-=>，解得10a-<<.由①②可得，a的范围是10a-<<. ············································································· 10分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当10,2a b==-时，0,()ln21x f x∀>≤-，即ln ln212xx-≤-， ······························································11分两边取e为底的指数，得()2(0)xxxe≤∀>，。
厦门双十中学2015—2016学年高三上期中考
厦门双十中学2015—2016学年高三（上）期中考地理试题（本卷满分：150分； 考试时间：120分钟）说明：请把I 卷的答案用2B 铅笔填涂在答题卡的相应位置，把II 卷的答案用黑色签字笔直接写在答题卡的相应位置。
Ⅰ卷（选择题， 70分）本卷共35题，每小题2分，共70分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题意要求的。
城市热岛效应是指城市中的气温明显高于外围郊区的现象，热岛强度是用城市和郊区两个代表性观测点的气温差值来表示，图1示意近年来珠江三角洲城市群热岛强度的时间分布。
读图完成1～2题。
1． 导致该城市群大部分时间热岛强度夜大于昼的主要因素是A. 昼夜长短B. 大气逆辐射C. 建筑密度D. 人口密度2． 下列措施可降低热岛强度的是A. 加快工业化步伐，促进城市化进程B. 建筑外墙深色化，以增强吸热能力C. 夏季鼓励使用空调，为城市降温D. 增加市区绿地面积，适度设置水景图2表示一年中大气上界单位面积水平面上每日接收到的太阳辐射随纬度的变化，单位为MJ/m 2，图中阴影部分表示没有太阳辐射。
读图完成3～4题。
3. 图中M 日最接近 A. 春分日 B. 夏至日 C. 秋分日 D. 冬至日图1图24. a 、b 两点太阳辐射差异的影响因素主要为A. 太阳高度B. 白昼长短C. 海陆位置D. 天气状况图3表示某河流水文测站春夏秋冬四季气温、降水量和径流分配状况。
读图完成5～7题。
5． 该河流可能分布在A ．恒河流域B ．尼罗河流域C ．长江流域D ．亚马孙河流域6． 该地河流的主要补给形式是A ．积雪融水补给为主B ．雨水补给C ．地下水补给D ．湖泊水补给7． 该地河流的径流量最低的月份出现在A ．1月B ．2月C ．11月D ．12月 图4示意我国某区域冬小麦和冬油菜适宜种植区的北界的变化。
读图完成8～10题。
8． 冬小麦、冬油菜适宜种植区北界推移的最可能的原因是A ．气候变暖B ．种植习惯变化C ．机械化程度提高D ．化肥、农药使用量增加9． 据图推测该区域农业生产可能发生的变化是A ．棉花、玉米的种植面积缩小B ．春小麦的种植面积扩大C ．复种指数有所增加D ．作物适宜种植高度有所下降10．根据图中冬小麦和冬油菜种植界线的变化，可推测A ．沿海地区的低地可能被淹没B ．北温带耕作区向低纬方向扩展C ．高纬度地区降水减少D ．中纬度地区粮食产量增加浙江古代盛产青瓷，其中越窑生产的青瓷(越瓷)远销东亚、东南亚、南亚、西亚和非洲东部地区等。
福建省厦门双十中学高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0D．对任意的x∈R，x2+1≤02．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3} B．{1，2，4} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4}3．（5分）sinα≠sinβ是α≠β的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．＜C．＞D．a2＞ab＞b25．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣37．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x8．（5分）下列函数存在极值的是（）A．y=2x+cosx B．y=e x﹣lnxC．y=x3+3x2+3x﹣1 D．y=lnx﹣9．（5分）定义：|×|=||•||•sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．610．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f （2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0．给出下列命题：①函数f（x）一定是周期函数；②函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为增函数；③直线x=﹣4是函数f（x）图象的一条对称轴；④函数f（x）在区间[﹣6，6]上有且仅有4个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11．（4分）设，则=．12．（4分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，则C1的离心率=．13．（4分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=．14．（4分）若定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b﹣a的最大值是．15．（4分）已知A i（i=1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）是△AOB所在的平面内的n个相异点，且•=．给出下列命题：①||=||=…=||=；②||的最小值不可能是||；③点A，A1，A2，…，A n在一条直线上；④向量及在向量的方向上的投影必相等．其中正确命题的序号是．（请填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.16．（13分）已知全集U=R，m＞0，集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，B={x||x﹣3|≤m}．（1）当m=2时，求A∩（∁U B）；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．17．（13分）已知向量=（sinx，﹣cosx），=（cosx，cosx），记函数f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c=，f（C）=，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值．18．（13分）平面直角坐标系中，点M的坐标是（3，），曲线C1的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）将曲线C1和C2化成普通方程，并求曲线C1和C2公共弦所在直线的极坐标方程；（2）若过点M，倾斜角为的直线l与曲线C1交于A，B两点，求||•||的值．19．（13分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20．（14分）已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上，（ⅰ）求•的取值范围；（ⅱ）若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）．21．（14分）已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0D．对任意的x∈R，x2+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是：存在x∈R，x2+1≤0．故选：C．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3} B．{1，2，4} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由A与B交集的元素为1，得到1属于A且属于B，得到a2=1，求出a的值，进而求出b的值，确定出A与B，找出既属于A又属于B的元素，即可确定出两集合的并集．解答：解：∵A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，∴a2=1，解得：a=1或a=﹣1，当a=1时，1﹣a=1﹣1=0，不合题意，舍去；当a=﹣1时，1﹣a=1﹣（﹣1）=2，此时b=1，∴A={3，1}，集合B={0，1，2}，则A∪B={0，1，2，3}．故选C点评：此题考查了交、并集及其运算，是一道基本题型，熟练掌握交、并集的定义是解本题的关键．3．（5分）sinα≠sinβ是α≠β的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由sinα≠sinβ，得α≠β，但由α≠β不能得到sinα≠sinβ．由此能求出结果．解答：解：∵sinα≠sinβ，∴α≠β，但由α≠β不能得到sinα≠sinβ．故sinα≠sinβ是α≠β的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．＜C．＞D．a2＞ab＞b2考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论．解答：解：选项A，∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，=，∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴＞0，即，故选项B不成立；选项C，∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则，，∴此时，故选项C不成立；选项D，∵a＜b＜0，∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab．∴ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，∴ab＞b2．故选项D正确，故选D．点评：本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先由函数f（x）的图象判断a，b的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案．解答：解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C点评：本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3考点：简单线性规划．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答：解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C时，直线y=截距最大，此时z最小，由，解得，即C（3，4）．代入目标函数z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．7．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x考点：抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得．解答：解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选C．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等．考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用．8．（5分）下列函数存在极值的是（）A．y=2x+cosx B．y=e x﹣lnxC．y=x3+3x2+3x﹣1 D．y=lnx﹣考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由极值的定义确定是否存在极值，注意导数有正有负且有0．解答：解：选项A：y′=2﹣sinx＞0，故不存在极值；选项B：y′=e x﹣有正有负且有零点，故存在极值；选项C：y′=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，故不存在极值；选项D：y′=+＞0，故不存在极值．故选B．点评：本题考查了函数存在极值的条件，属于基础题．9．（5分）定义：|×|=||•||•s inθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算和新定义即可得出．解答：解：由数量积可得=10cosθ，解得，∵0≤θ≤π，∴．∴|×|===8．故选A．点评：正确理解向量数量积运算和新定义是解题的关键．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f （2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0．给出下列命题：①函数f（x）一定是周期函数；②函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为增函数；③直线x=﹣4是函数f（x）图象的一条对称轴；④函数f（x）在区间[﹣6，6]上有且仅有4个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，令x=﹣2，易求f（﹣2）=0，利用f（x）为偶函数可知f（2）=0，于是可得f （x+4）=f（x），可判断①；②，依题意易知函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为减函数，可判断②；③，利用偶函数f（x）是周期为4的函数的性质可判断③；④，利用函数的单调性质及周期性可判断④．解答：解：对于①，∵对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，∴令x=﹣2，则f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=0，又函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的函数，故①正确；对于②，∵x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0，∴偶函数y=f（x）在区间[0，2]上是增函数，在[﹣2，0]上是减函数，又其周期为4，∴函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为减函数，故②错误；对于③，∵y=f（x）为偶函数，∴直线x=0（即y轴）是函数f（x）图象的一条对称轴，又函数f（x）是周期为4的函数，∴直线x=﹣4是函数f（x）图象的一条对称轴，故③正确；对于④，∵f（﹣2）=f（2）=0，函数f（x）是周期为4的函数，∴f（﹣6）=f（﹣2）=0，f（6）=f（2）=0，又y=f（x）在区间[﹣6，﹣4]，[﹣2，0]，[2，4]上均为减函数；在区间[﹣4，﹣2]，[0，2]，[4，6]上是增函数，∴函数f（x）在区间[﹣6，6]上有且仅有4个零点，故④正确．综上所述，正确命题的个数是3个，故选：C．点评：本题考查抽象函数的应用，突出考查函数的单调性、周期性、对称性与函数的零点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11．（4分）设，则=．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．解答：解：===x3|01+（2x﹣x2）|12=（﹣0）﹣（2﹣）=故答案为：点评：本题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．12．（4分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，则C1的离心率=．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，可得==2，利用，即可求出C1的离心率．解答：解：∵双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，∴==2，∴=，故答案为：．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题13．（4分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=55．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果．解答：解：观察下列等式=2，=3，=4，…，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=55，故答案为：55点评：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系．14．（4分）若定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b﹣a的最大值是4．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：本题先通过导函数研究函数的极值，再利用方程得到相应的边界点，然后解不等式得到x的取值范围，从而得到最大的区间[a，b]，求出b﹣a的最大值，得到本题结论．解答：解：∵函数f（x）=x3﹣3x2+1，∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），∴当x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，2）上单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．∴当x=0时，f（x）有极大值，f（0）=1，当x=2时，f（x）有极小值，f（2）=23﹣3×22+1=﹣3，∵当f（x）=1时，x=0或x=3，当f（x）=﹣3时，x=2或x=﹣1，∴若﹣3≤f（x）≤1，则﹣1≤x≤3．∴定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b﹣a的最大值是1﹣（﹣3）=4．故答案为：4．点评：本题考查了导函数与函数的最值，还考查了数形结合思想，本题难度适中，计算量略大，属于中档题．15．（4分）已知A i（i=1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）是△AOB所在的平面内的n个相异点，且•=．给出下列命题：①||=||=…=||=；②||的最小值不可能是||；③点A，A1，A2，…，A n在一条直线上；④向量及在向量的方向上的投影必相等．其中正确命题的序号是③④．（请填上所有正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由条件利用两个向量的数量积的定义，可得和在上的投影相等，从而得出结论．解答：解：如图，由•=，可得||•||cos∠A i OB=||•||cos∠AOB，故有||cos∠A i OB=||cos∠AOB，即和在上的投影相等，即点A、A i在同一条垂直于直线OB的直线l上，如图所示，故③④正确，①不正确．由图可知，当A i位于所在直线上时||有最小值，故②不正确．∴正确的命题是③④．故答案为：③④．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义及向量在向量上的投影，关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.16．（13分）已知全集U=R，m＞0，集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，B={x||x﹣3|≤m}．（1）当m=2时，求A∩（∁U B）；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（1）当m=2时，求出集合A，B，即可求A∩（∁U B）；（2）若p是q的充分条件，建立集合关系即可求实数m的取值范围解答：解：（1）由x2﹣x﹣12＜0，解得﹣3＜x＜4，即A=（﹣3，4），当m=2时，B={x||x﹣3|≤2}={x|1≤x≤5}，则∁U B={x|x＞5或x＜1}，则A∩（∁U B）={x|﹣3＜x＜1}，（2）若p是q的充分条件，则A⊆B，由m＞0知B={x||x﹣3|≤m}={x|3﹣m≤x≤3+m}，则，即，即m≥6，故实数m的取值范围是[6，+∞）．点评：本题主要考查函数的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，根据条件求出函数的定义域和值域是解决本题的关键．17．（13分）已知向量=（sinx，﹣cosx），=（cosx，cosx），记函数f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c=，f（C）=，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）函数化简为：f（x）=sin（2x﹣）﹣，即可求得f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）由f（C）=可求C的值，根据向量m与n共线可求得b=2a，再根据a2+b2﹣ab=3，进而解得a，b的值．解答：解：（1）依题意，f（x）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣=sin2x﹣cos2x ﹣=sin（2x﹣）﹣（3分）所以最小正周期T==π，（4分）令2kπ≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是：[k，k]，k∈Z．（6分）（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣=，得sin（2C﹣）=1，（7分）因为0＜C＜π，所以﹣＜2C﹣＜，所以2C﹣=，解得C=，（8分）因为向量m=（1，sinA）与n=（2，sinB）共线，所以sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，…①（9分）在△ABC中，由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=3，…②（11分）由①②，解得a=1，b=2．（13分）点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算，余弦定理、两角和与差的正弦函数公式的综合应用，属于中档题．18．（13分）平面直角坐标系中，点M的坐标是（3，），曲线C1的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）将曲线C1和C2化成普通方程，并求曲线C1和C2公共弦所在直线的极坐标方程；（2）若过点M，倾斜角为的直线l与曲线C1交于A，B两点，求||•||的值．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C1和C2消去参数方程中的参数，得到普通方程，再利用参数求出公共弦所在直线的极坐标方程，得到本题结论；（2）利用直线l的参数方程，求出对应参数t1•t2的值，得到||•||的值，得到本题结论．解答：解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴C1的普通方程：（x﹣1）2+y2=1，…①∵C2：ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，即x2+（y﹣2）2=4，…②①﹣②可得，x﹣2y=0，∴曲线C1和C2公共弦所在直线的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ=0，tanθ=，（ρ∈R）．（2）依题意，直线l的参数方程为（T为参数），点A、B分别对应参数t1，t2，代入C1的方程：（3+）2+（+）2=1，∴整理得t2+5t+6=0，∴t1t2=6，∴MA|•|MB|=6．点评：本题考查了参数方程转化为普通方程，以及参数方程的应用，本题难度不大，属于基础题．19．（13分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．20．（14分）已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上，（ⅰ）求•的取值范围；（ⅱ）若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）椭圆C的方程为=1a＞0，b＞0，运用方程组求解，（2）（ⅰ）分类①若直线l斜率不存在，②若直线l斜率存在，利用韦达定理求解，（ⅱ）求出直线OT的斜率k′==，TF的斜率k TF==﹣，根据斜率判断．解答：解：（1）设椭圆C的方程为=1a＞0，b＞0，则解得a2=4，b2=3，所以椭圆C：=1，（2）（ⅰ）易得F（1，0）①若直线l斜率不存在，则l：x=1，此时M（1，），n（1，﹣），=，②若直线l斜率存在，设l：y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），则由消去y得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（1+k2）[x1x2﹣（x1+x2）+1]=，∵k2≥0∴0≤1∴3＜4∴﹣3≤综上，的取值范围为[﹣3，），（ⅱ）线段MN的中点为Q，则由（ⅰ）可得，x Q==，y Q=k（x Q﹣1）=，所以直线OT的斜率k′==，所以直线OT的方程为：y=﹣x，从而T（4，﹣），此时TF的斜率k TF==﹣，所以k TF k MN=﹣•k=﹣1，所以TF⊥MN．点评：本题综合考查了椭圆的方程，性质，结合韦达定理求解，运算量较大，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得f′（1）=1，列出方程求出a的值，代入函数解析式和导数，分别求出f′（x）＞0、f′（x）＜0对应的x的范围，即求出函数f（x）的单调区间；（2）解法一：根据函数f（x）的单调性得：＞，由对数的运算律、单调性化简即可，解法二：将化为：，由二项式定理化简=，再由放缩法和裂项相消法进行化简；（3）先将kx＞f（x）+2分离出k：，构造函数g（x）=，再求出此函数的导数g′（x）并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出g（x）的单调性，从而求出g（x）的最大值，再由自变量的范围确定出g（x）的最大值的范围，从而求出满足条件的k的最小值．解答：解：（1）依题意，（x＞0），（1分）所以=，由切线方程得f′（1）=1，即=1，解得a=0，此时（x＞0），，（3分）令f′（x）＞0得，1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e；令f′（x）＜0得，1﹣lnx＜0，解得x＞e，所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．（5分）（2）解法一：由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f＞f，即＞，则2015ln2014＞2014ln2015，所以ln20142015＞ln20152014，即20142015＞20152014（9分）解法二：=，因为==1+1+++…+＜2+＜2+＜2+（1﹣）+（）+…+（﹣）=3﹣＜3，所以，所以20142015＞20152014．（9分）（3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则，记g（x）=，只需k＞g（x）max．又=，（10分）记h（x）=1﹣2x﹣2lnx（x＞0），则，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．又h（1）=﹣1＜0，=1﹣+ln2＞1﹣+ln2=ln＞0，所以存在唯一，使得h（x0）=0，即1﹣2x0﹣2lnx0=0，（11分）当x＞0时，h（x）、g′（x）、g（x）的变化情况如下：x （0，x0）x0（x0，+∞）h（x）+ 0 ﹣g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘（12分）所以g（x）max=g（x0）=，又因为1﹣2x0﹣2lnx0=0，所以2x0+2lnx0=1，所以g（x0）===，因为，所以，所以，（13分）又g（x）max≥g（1）=2，所以，因为k＞g（x）max，即k＞g（x0），且k∈Z，故k的最小整数值为3．所以存在最小整数k=3，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立．（14分）点评：本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值之间的关系，恒成立问题转化为求函数的最值，以及构造法、二次求导判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，化简计算能力．。
厦门双十中学2015—2016学年高三上期中考参考答案
厦门双十中学2015—2016学年高三（上）期中考地理参考答案选择题部分1～5 BDBAC 6～10 BAACA 11～15 CBBBD 16～20 BCDBC21～25 BAADB 26～30 DABBC 31～35 ADCAD综合题部分36．（22分）（1）地势低平，排水不畅；气温低，蒸发量小；下部土层冻结，阻滞水分下渗；凌汛等导致河水泛滥。
（8分）（2）叶尼塞河支流多流经中西伯利亚高原，（河床比降大）流速快，（2分）侵蚀强（或搬运能力强），（2分）增加了河流含沙量。
鄂毕河主要流经平原，流速慢，（2分）泥沙沉积，（2分）含沙量小。
（8分）（3）鄂毕河河口区纬度高，水温低，鱼类生长慢；结冰期长，鱼类存活率偏低；鄂毕河流经沼泽，营养物质被植物吸收，河水中营养物质严重缺乏，不利于浮游生物生长；北冰洋营养物质和饵料较为贫乏。
（任选3点，共6分）37．（18分）（1）水位年内变化较大；(2分)高水位在冬季(汛期在冬季)，低水位在夏季(枯水期在夏季)。
(2分)（2）地处大陆西岸，距海近；位于西风带，西风从海洋带来大量水汽；地处迎风坡，多地形雨；沿岸受寒流影响，水汽易凝结成雾。
(每点2分，共8分)（3）有利条件：夏季降水较多。
(2分)不利条件：夏季气温较高；(2分)冬季气温较低。
(2分) 38．（20分）（1）高温少雨；（2分）地处低纬；（2分）热带大陆气团影响。
（2分）（2）雨水的冲刷，河流的侵蚀，导致恒河上游含沙量大；（2分）河流将大量泥沙搬运至河口地区堆积，形成恒河三角洲。
（4分）（3）水网密、水量丰，（2分）利于运输；（2分）利于干季时对黄麻灌溉；（2分）便于浸沤黄麻。
（2分）39．（20分）（1）甲地位于乙地西北侧；（2分）甲地以绿洲分布为主，乙地以沙漠分布为主（2分），由于沙漠的热容量较绿洲小，夏季增温较绿洲快（2分），在乙地附近形成热低压，即甲地（海平面）气压高于乙地，风从甲地吹向乙地，即西北风。
福建省厦门双十中学2015届高三高考前热身考试卷数学【理】试题及答案
厦门双十中学5月热身卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]1．设全集R U =，集合{11}M x x x =><-或，{}|02N x x =<<，则()U N M = ð ( ) A ．{}|21x x -≤< B ．{}|01x x <≤ C ．{}|11x x -≤≤ D ．{}|1x x <2. 已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有（ ）A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个 3.下列结论错误．．的是( ) A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件C.已知命题p “若0m >，则方程20x x m +-=有实根”,则命题p 的否定p ⌝为真命题D.命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或” 4．已知等比数列{an }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[3,)+∞D ．(,1][3,)-∞-+∞ 5. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )A.1B.2C.3D.46.则y 对x A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12x D ．y ＝1767．把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是( )8. 已知方程|x –（*n N ∈）在区间[2n –1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1021k n <≤+ B ．0<k．121n +≤kD．0k <<10.已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f ：M→N，且点A （0，f （0）），B （i ，f （i ）），C （i+1，f （i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC 的内切圆圆心为P ，且满足()PA PC PB R λλ+=∈，则满足条件的ABC ∆有（ ）A ． 10个B ． 12个C ． 18个D ． 24个二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
福建省厦门二中2015届高三第一学期期中考试数学(理)试卷
福建省厦门二中2015届高三第一学期期中考试数学（理）试卷第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域作答．1．已知全集U R =，集合{|||3}A x x =<，{|20}B x x =-≥，则()U AC B 等于---------------------（ ★ ）A ．(-∞，3]B ．(-∞，3)C ．[2，3)D ．(3-，2] 2．命题“1x ∀>，21x >”的否定是（ ★ ）A ．1x ∀>，21x ≤B ．1x ∀<，21x ≤C ．01x ∃>，201x ≤D ．01x ∃<，201x ≤3．计算：232(1)x dx -+=⎰--------------------------------------------------------------------------------------------------（ ★ ）A ．2B ．4C ．8D ．124．已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f ＝----------------------------------------------------------------（ ★ ）A ．124B ．112C ． 14D ．125．若方程ln 50x x +-=在区间(a ，)b (,a b Z ∈，且1)b a -=上有一实根，则a 的值为-------------（ ★ ）A ．5B ．4C ．3D ．26．函数),2||.0,0()sin(R x A B x A y ∈<>>++=πϕωϕω的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ★ ）A ．1)63sin(2+-=ππx yB ．1)36sin(2+-=ππx yC ．1)63sin(2++=ππx y D ．1)66sin(2++=ππx y7．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”)(*∈N n 时，从“k n =到1+=k n ”时，左边应添乘的式子是（ ★ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．28．若正数x ，y 满足1x y +=，且14ax y+≥对任意x ，(0,1)y ∈恒成立，则a 的取值范围是--------（ ★ ）A ．(0，4]B ．[4，)+∞C ．(0，1]D ．[1，)+∞9．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意R x ∈，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且 (1)()0x f x '-<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则c b a ,,三者的大小关系是------------------------------------------------（ ★ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 10．对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00|()()|1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出4组函数：①2()f x x =，()23g x x =-；②()f x =，()2g x x =+；③()xf x e -=，1()g x x =-； ④()ln f x x =，1()2g x x =-；其中在区间(0，)+∞上存在“友好点”的有-------------------------------------------------------------------（ ★ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11．函数5123223+--=x x x y 在[]3,0上的最小值分别是 ．12．若实数x ，y 满足220,4,5.x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z x y =+的最大值为 ．13．在等差数列}{n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S = ． 14．已知函数2()x f x e x =-的导函数为/()f x ，()y f x =与/()yf x =在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程/()()0f x f a -=在(,]x a ∈-∞上有两解，则实数a 的取值范围是 ．（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案．．．．．．．．．．．．．．，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分．15．（1）（选修4-2：矩阵与变换）设矩阵A ＝1031⎛⎫ ⎪-⎝⎭，B ＝1201-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1()AB -＝ ．（2）（选修4-4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）．若直线与曲线C 交于B A ,（3）（选修4-5：不等式选讲）函数x x y -+-=51的最大值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)xg x a x =-≤的值域为集合B （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若()R BC A =∅，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，则462sin =C ； （Ⅰ）求C sin ；（Ⅱ）若2=c ，A B sin 2sin =，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且1b ，3b ，9b 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若*2())(1)n nc n N n b =∈+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）已知向量33(cos,sin ),(cos(),sin())444343x x x x a b ππ==+-+；令2()(),f x a b =+ （Ⅰ）求()f x 解析式及单调递增区间； （Ⅱ）若5[,]66x ππ∈-，求函数()f x 的最大值和最小值；（Ⅲ） 若()f x =52，求sin()6x π-的值．20．（本小题满分12分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ， 其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路（宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数22(0y x x =-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为24()33t t ≤≤．（Ⅰ）当23t =时，求直路所在的直线方程；（Ⅱ）当为何值时，地块OABC 在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？21．（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x a x ax x =+--． （Ⅰ）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）讨论()f x 在定义域上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意正整数n ，222134232)1ln(nn n +++++<+ ．参考答案：一、选择题：（共１０小题，每小题５分，满分５０分） BCBAC ABDCD 二、填空题：（共５小题，每小题４分，满分24分）11．15-； 12． 9； 13． 88； 14．. 2a ≥ 15．（1）7231-⎛⎫⎪-⎝⎭（2（314．（解法一）设/2()()()2()x a g x f x f a e x e a =-=---令/()2x gx e =->0，则ln 2x >，所以()g x 在(,ln 2)-∞单调递增，在(ln 2,)+∞单调递减要使满足题意，则2220(1)()0(ln 2)022ln 20(2)ln 2ln 2(3)a a a e a e a g a g e a a a ⎧--+≥---≥⎧⎪⎪<⇒--+<--⎨⎨⎪⎪<<---------⎩⎩由（1），（3）可知2a ≥ 设2()22ln 2ah a ea =--+，/()20a h a e a =-+<在2a ≥恒成立所以2()22ln 2ah a e a =--+在[2,)+∞上单调递减，所以2()(2)62ln 20h a h e ≤=--<所以（2）对任意的a R ∈都成立综上所述2a ≥. （解法二）/()()0f x f a -=在(,]x a ∈-∞上有两解⇔函数/12()()y f x y f a ==与有两交点/1(),(,]y f x x a =∈-∞---表示右端点位置变化的函数2()y f a =--------表示与x 轴平行的一组直线，它的高低与()f a 的值有关所以a 一定在/1(),(,]y f x x a =∈-∞的极值点右侧，同时2()()y f a g a =≥三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）解：（１）集合A ：2230x x -->， 解得：{|1A x x =<-或3}x >集合Ｂ：()g x 图象单调递增，()4a g x a -<≤-，则{|4}B y a y a =-<≤- ..….8分 （２）{|13}R C A x x =-≤≤，由()R BC A =∅，结合数轴，41a -<-或3a -≥，解得3a ≤-或5a >． ..….13分17. （本题满分12分）解：由已知：（１）462sin=C ，41)46(212sin 21cos 22=⨯-=-=∴C C又π<<C 0 ，415)41(1cos 1sin 22=-=-=∴C C ． ..….5分 （２）A B sin 2sin = ，∴由正弦定理得a b 2=，由余弦定理，得C ab b a c cos 2222-+=，得1=a ，从而2=b ．4154152121sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC ..….13分 18．（本题满分１３分）解：（１）当2n ≥，时11222n n n n n n a S S +-=-=-=又21112222a S ==-==，也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =112b a ==，设公差为d ，则由1b ，2b ，9b 成等比数列，得 2(22)2(28)d d +=⨯+ 解得0d =（舍去）或2d =所以数列{}n b 的通项公式为2n b n = ..….7分 （２）解：21(1)(1)n n c n b n n ==++ 数列{}n c 的前n 项和1111122334(1)n T n n =++++⨯⨯⨯⨯+11111111223111nn n n n =-+-++-=-=+++ ..….13分 19.解：22233()()212[cos cos()sin sin()]144344322cos()3x x x x f x a b a a b b x πππ=+=+⋅+=++-++=++ …2分当223k x k ππππ-≤+≤，2k ∈，即：422,33k k k Z πππππ-≤≤-∈时， ()f x 单调递增，()f x ∴增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,342ππππk k ，k Z ∈ …5分 （Ⅱ）由5[,],66x ππ∈-得7[,]366x πππ+∈，1cos()3x π-≤+≤当6x π=-时()max 2f x =+当23x π=时，()min 0f x = …9分（3）51()22cos()cos()3234f x x x ππ=++=∴+=，所以1sin()sin()cos()6634x x x πππ-=--=-+=-。
福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中——数学(文)
福建省厦门双十中学 2015届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知集合{}12,A x x x Z =-≤≤∈，集合{}420，，=B ，则B A ⋃ 等于 A ．{}4,2,1,0,1- B ．{}4,2,0,1- C ．{}420，， D ．{}4210，，， 2．如图在复平面内，复数21,z z 对应的向量分别是OB OA ,，则复数21z z -的值是A ．i 21+-B ．i 22--C ．i 21+D ．i 21- 3．若向量()()2,0,1,1a b ==，则下列结论正确的是A ．1=⋅b a B.||||b a = C ．b b a ⊥-)( D ．// 4. 在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=SA ．58B ．88C ．143D ．1765.已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝A ．2 B.62 C.52D ．1 6. 已知函数221,1,(), 1.xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))f f =4a ，则实数a =（ ）A.12 B.45C. 2D. 9 7．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是A ．4 B.6 C.8 D.128．“1-<a ”是“一元二次方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．当x>1时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2]B ．[2,+∞)C ．[3,+∞)D ．(－∞,3]10. 已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=x x f 22cos 32cosππ，则函数()f x 满足A ．)(x f 的最小正周期是π2；B ．若()()12f x f x =，则12x x =；C ．)(x f 的图象关于直线43π=x 对称； D ．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，)(x f 的值域为.43,43⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 11．若x,y 满足y ax z y x y x y x 2,22,1,1+=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+且仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是A ．(]0,4-∈aB ． [)2,0∈aC ．(4,2)a ∈-D 。
福建省厦门双十中学高三数学上学期期中试卷 文(含解析)
福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，集合B={0，2，4}，则A∪B 等于（）A．{﹣1，0，1，2，4} B．{﹣1，0，2，4} C．{0，2，4} D． {0，1，2，4}2．（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1﹣z2的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．（5分）若向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1765．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=（）A．2 B．C．D．16．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．97．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．128．（5分）“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）当x＞1时，不等式x+恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]10．（5分）已知函数f（x）=cos，则函数f（x）满足（）A．f（x）的最小正周期是2πB．若f（x1）=f（x2），则x1=x2C．f（x）的图象关于直线x=对称；D．当x∈[﹣，]时，f（x）的值域为[﹣，]11．（5分）若x，y满足且z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．a∈（﹣4，0] B．a∈[0，2）C．a∈（﹣4，2）D．a∈（﹣4，0）∪（0，2）12．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x，若△ABC中，角C是钝角，那么（）A．f（sinA）＞f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB） C． f（sinA）＞f （sinB）D．f（sinA）＞f（sinB）二.填空题（每题4分，共16分）13．（4分）函数的定义域为．14．（4分）已知α为钝角，且，则sin2α=．15．（4分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．16．（4分）给出下列四个命题中：①命题：∃x∈R，sinx+cosx=；②∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x③∀x∈R，e x≥x+1④对∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，则x2+y2≥4．其中所有真命题的序号是．三.解答题17．（12分）已知△ABC中，A（2，﹣1），B（4，3），C（3，﹣2），求：（1）BC边上的高所在直线方程的一般式；（2）求△ABC的面积．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S5=55．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若数列{}的前n项和T n，试求T n并证明不等式≤T n＜1成立．20．（12分）已知椭圆E的方程：=1（a＞b＞0），它的两个焦点为，P为椭圆的一点（点P在第三象限上），且△PF1F2的周长为20+10，C（﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求出椭圆的左顶点M的坐标，MP交圆P与另一点N的坐标，若点A在椭圆E上，使得=﹣32，求点A的坐标．21．（12分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22．（14分）已知函数f（x）=xlnx+1，g（x）=ax﹣1﹣lnx（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在常数K，使≤ex﹣f'（x）恒成立，若存在，求出K的最大值，若不存在，说明理由．福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，集合B={0，2，4}，则A∪B 等于（）A．{﹣1，0，1，2，4} B．{﹣1，0，2，4} C．{0，2，4} D． {0，1，2，4}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，再由并集的运算法则求A∪B．解答：解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，∴A∪B={﹣1，0，1，2，4}．故选A．点评：本题考查集合的并集的运算，解题时要认真审题，熟练掌握并集的概念和运算法则．2．（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1﹣z2的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据两个复数的加减法的几何意义，复数z1﹣z2的值就是=﹣对应的复数．解答：解：根据两个复数的加减法的几何意义可得，复数z1﹣z2的值就是=﹣对应的复数．即（﹣2﹣i）﹣（i）=﹣2﹣2i，故选B．点评：本题主要考查两个复数的加减法的几何意义，属于基础题．3．（5分）若向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由给出的两个向量的坐标，求出的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解．解答：解：由，则．所以．则．故选C．点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了利用数量积判断两个向量的垂直关系，解答的关键是熟记数量积的坐标运算公式，是基础题．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=（）A．2 B．C．D．1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的离心率e=，得到关于a的等式，从而求出a的值．解答：解：双曲线的离心率e==2，解答a=1．故选D．点评：本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题型．6．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9考点：函数的值．专题：计算题．分析：先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．解答：解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．7．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．12考点：抛物线的定义．专题：计算题．分析：先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．解答：解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B点评：本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性．8．（5分）“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：令f（x）=x2+x+a，f（0）＜0，再根据充分必要条件的定义可判断．解答：解：令f（x）=x2+x+a，∵一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根，∴f（0）＜0，∴a＜0，根据充分必要条件的定义可判断：“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的充分而不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件的定义，函数的性质，属于简单题目．9．（5分）当x＞1时，不等式x+恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．解答：解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故选D．点评：本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=cos，则函数f（x）满足（）A．f（x）的最小正周期是2πB．若f（x1）=f（x2），则x1=x2C．f（x）的图象关于直线x=对称；D．当x∈[﹣，]时，f（x）的值域为[﹣，]考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角恒等变换可得f（x）=sin2x，再利用正弦函数的图象与性质对A，B，C，D四个选项逐一分析判断即可．解答：解：对于A，∵f（x）=cos=﹣•（﹣sin2x）=sin2x，∴其周期T=π，排除A；对于B，若f（x1）=f（x2），则x1=kπ+x2，或x1=﹣x2，故B错误；对于C，∵f（）=sin=﹣为最小值，故f（x）的图象关于直线x=对称，C正确；对于D，当x∈[﹣，]时，2x∈[﹣，]，sin2x∈[﹣，1]，f（x）的值域为[﹣，]，故D错误；故选：C．点评：本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的图象与性质，属于中档题．11．（5分）若x，y满足且z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．a∈（﹣4，0] B．a∈[0，2）C．a∈（﹣4，2）D．a∈（﹣4，0）∪（0，2）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的意义，确定目标函数的斜率关系即可得到结论．解答：解：画出区域图，可知当a=0时，z=2y，即，符合题意；当a＞0时，，斜率，即0＜a＜2时符合题意；当a＜0时，，斜率，即﹣4＜a＜0时符合题意；综上，a∈（﹣4，2），故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要注意对a进行分类讨论．12．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x，若△ABC中，角C是钝角，那么（）A．f（sinA）＞f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB） C． f（sinA）＞f （sinB）D．f（sinA）＞f（sinB）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由∠C为钝角，可得A+B＜90°，从而可得sinA＜cosB，且sinA与cosB都是（0，1）上的数，根据函数y=f（x）在（0，1）上是减函数，即可得到结论．解答：解：∵∠C为钝角，∴A+B＜90°，∴A＜90°﹣B，且A 与90°﹣B都是锐角，∴sinA＜sin（90°﹣B），∴sinA＜cosB，且sinA与cosB都是（0，1）上的数，∵f（x）=x3﹣3x，∴函数y=f（x）在（0，1）上是减函数，∴f（sinA）＞f（cosB）．故选A．点评：本题考查函数的单调性，考查诱导公式的运用，属于基础题．二.填空题（每题4分，共16分）13．（4分）函数的定义域为．．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：求解该函数的定义域，只要让分子的根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0，取交集即可．解答：解：要使原函数有意义，则，解得：，且x≠0．所以原函数的定义域为．故答案为．点评：本题考查了函数定义域及其求法，属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是2015届高考常会考的题型．14．（4分）已知α为钝角，且，则sin2α=﹣．考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简已知等式的左边，求出sinα的值，再由α为钝角，得到cosα的值小于0，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，将所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，把sinα与cosα的值代入即可求出值．解答：解：∵cos（+α）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，又α为钝角，∴cosα=﹣=﹣，则sin2α=2sinαcosα=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．15．（4分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解答：解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．16．（4分）给出下列四个命题中：①命题：∃x∈R，sinx+cosx=；②∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x③∀x∈R，e x≥x+1④对∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，则x2+y2≥4．其中所有真命题的序号是③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据正弦型函数的图象和性质，及存在性命题真假判断的方法可判断①；根据指数函数的图象和性质，及不等式的基本性质，可判断②；构造函数f（x）=e x﹣（x+1），利用导数法判断函数的最值，可判断③；根据点到直线的距离，两点之间的距离，可判断④解答：解：对于①，∵，，故①错；对于②，当x∈（﹣∞，0），＞1，故2x＞3x，故②错；对于③，设f（x）=e x﹣（x+1），f'（x）=e x﹣1，可知f（x）在（﹣∞，0）减，在（0，+∞）递增，f（x）min=f（0）=0；故③正确；对于④，x2+y2为原点到4x+3y﹣10=0上动点的距离的平方，由原点到直线4x+3y﹣10=0的距离为2，故x2+y2≥4，故④正确．故答案为：③④点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正弦型函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，不等式的基本性质，导数法判断函数的最值，点到直线的距离，两点之间的距离，难度中档．三.解答题17．（12分）已知△ABC中，A（2，﹣1），B（4，3），C（3，﹣2），求：（1）BC边上的高所在直线方程的一般式；（2）求△ABC的面积．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；三角形的面积公式．专题：直线与圆．分析：（1）由斜率公式可得k BC=5，由垂直关系可得AD所在直线斜率，可得直线的方程；（2）由（1）易得BC的方程为y﹣3=5（x﹣4），可得点A到直线BC距离和|BC|，由三角形的面积公式可得．解答：解：（1）∵A（2，﹣1），B（4，3），C（3，﹣2），∴直线BC的斜率k BC==5，∴由垂直关系可得BC边上的高AD所在直线斜率k=，∴AD所在直线方程y+1=（x﹣2），化为一般式可得x+5y+3=0；（2）由（1）BC的斜率为5，∴BC的方程为y﹣3=5（x﹣4），化为一般式可得5x﹣y﹣17=0，∴点A到直线BC距离为=，由两点间的距离公式可得|BC|==，∴S△ABC=××=3．点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及三角形的面积公式，属基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，即b2=32+12﹣2×3×cosB，可得b=．（Ⅱ）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，所以===．点评：本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S5=55．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若数列{}的前n项和T n，试求T n并证明不等式≤T n＜1成立．考点：数列与不等式的综合；等差数列的前n项和；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，利用a2=5，S5=55求出首项与公差，即可求解a n及S n；（Ⅱ）化简，利用裂项法求出前n项和T n，通过判断前n项和T n的单调性，求出最小值即可证明结果．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵a2=5，S9=99，∴，得a5=11∴3d=a5﹣a2=6，∴d=2，a1=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴a n=2n+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又因为，所以所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查数列求和，等差数列的应用，数列的函数的特征，数列与不等式的关系，是中档题．20．（12分）已知椭圆E的方程：=1（a＞b＞0），它的两个焦点为，P为椭圆的一点（点P在第三象限上），且△PF1F2的周长为20+10，C（﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求出椭圆的左顶点M的坐标，MP交圆P与另一点N的坐标，若点A在椭圆E上，使得=﹣32，求点A的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）直接利用已知条件列出方程组，求出椭圆的几何量，即可求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以点P为圆心的圆过椭圆的左顶点M与点C（﹣2，0），MP交圆P与另一点N，设A（x，y），通过=﹣32，求解求点A的坐标．解答：解：（Ⅰ）依题意得：，…（1分）则有…﹣﹣﹣﹣…（2分）∴a=10，b=5，…（4分）椭圆E的方程：…（5分）（Ⅱ）由（ 1 ）得M（﹣10，0），C（﹣2，0）…（6分）设点P（m，n），则有，又：，∴n=﹣4，即P（﹣6，﹣4），…（8分）∵P为MN的中点，可得N（﹣2，﹣8）…（9分）设A（x，y），∴，∴…（10分）∴，…（11分）得x=﹣6，y=﹣4时，∴A（﹣6，﹣4）…﹣﹣﹣…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．22．（14分）已知函数f（x）=xlnx+1，g（x）=ax﹣1﹣lnx（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在常数K，使≤ex﹣f'（x）恒成立，若存在，求出K的最大值，若不存在，说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域以及导数，通过令f'（x）＞0，令f'（x）＜0解得函数的单调区间，然后求解f（x）的最小值．（Ⅱ）求出g（x）的定义域，，通过当a≤0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减函数，当a＞0时，令g'（x）=0，通过列表可以推出：当a＞0 时，g（x）在区间上是单调增函数，在上（0，）是单调递减函数．（Ⅲ）转化，恒成立，为K≤（ex﹣1﹣lnx）•f（x）恒成立，利用（Ⅱ）g（x）=ex﹣1﹣lnx在区间上是减函数，在区间上是增函数，当时，g（x）=ex﹣1﹣lnx的最小值，由（Ⅰ）可知，当时，f（x）取得最小值，从而函数y=（ex﹣1﹣lnx）•f（x）在时，取得最小值，求出K的最大值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）f（x）的导数f'（x）=1+lnx．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．从而f（x）在单调递减，在单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，当时，f（x）取得最小值1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）∵g（x）=ax﹣1﹣lnx，∴f（x）的定义域为（0，+∞），当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）是单调递减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）当a＞0时，令f'（x）=0，∴的变化情况如下表：x （0，）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗从上表可以看出：当a＞0 时，f（x）在区间上是单调增函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）在上（0，）是单调递减函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）∵ex﹣f'（x）=ex﹣1﹣lnx所以，恒成立即K≤（ex﹣1﹣lnx）•f（x）恒成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由（Ⅱ）可知，当a=e，g（x）=ex﹣1﹣lnx在区间上是减函数，在区间上是增函数故当时，g（x）=ex﹣1﹣lnx的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又由（Ⅰ）可知，当时，f（x）取得最小值=1＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12 分故函数y=（ex﹣1﹣lnx）•f（x）当时，取得最小值∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）即K的最大值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，利用函数的导数求解最值，难度大是压轴题．。
福建省厦门市厦门双十中学2015届高三数学上学期期末考试试题 文
某某省某某市某某双十中学2015届高三数学上学期期末考试试题 文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知全集U R =，集合{}20x x x M =-=，{}21,x x n n N ==+∈Z ，则集合MN 为（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．∅2、设R x ∈，则“1x <”是“20x x -<”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、双曲线2214x y k -=的离心率()1,2e ∈，则实数k 的取值X 围是（ ）A ．()0,4B ．()12,0-C ．()0,23D ．()0,124、如图是今年元宵花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．5、以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程ˆ0.212y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位； ④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67、已知l ，m 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到//αβ的是（ ）A ．//l α，//l βB ．αγ⊥，βγ⊥C ．m α⊂，l α⊂，//m β，//l βD ．l α⊥，m β⊥，//l m()21y k x =--222240x y x +--=A ．30x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．250x y --=9、平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，b a λ=D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=10、给出下列四个命题：①()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为328k x ππ=+，k ∈Z ； ②若函数2cos 3y ax π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是π，则2a =； ③函数()sin cos 1f x x x =-的最小值为32-；④函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11、已知2a b >≥，现有下列不等式：①23b b a >-；②41112ab a b ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭；③ab a b >+；④log 3log 3a b >．其中正确的是（ ）A ．②④B ．①②C ．③④D ．①③12、设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果1k +∉A 且1k -∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元素”．现给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元素”的集合共有（ ）个A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13、复数21ii =-．14、已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是．15、已知实数x ，y 满足条件0260x y xx y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为．16、设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，例如[]3.23=，[]2.33-=-，则在坐标平面x y O 上，满足[][]22149x y +=的点(),x y P 所形成的图形的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）在锐角C ∆AB 中，5cos 5A =，310sin 10B =．()I 求角C ； ()II 设2AB =，求C ∆AB 的面积．18、（本小题满分12分）某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：()I 分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件个数的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；()II 质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．19、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n 项和22n S pn n =+（n *∈N ）．()I 求p 的值及n a ；()II 若()221n nb n a =-，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使910n T >成立的最小正整数n 的值．20、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 中，D P ⊥平面CD AB ，底面CD AB 为正方形，C D 2B =P =，E 为C P 的中点，1CG C 3=B．()I 求证：C C P ⊥B ；()II 求三棱锥C D G -E 的体积；()III D A 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面G ME ？若存在，求AM 的长；否则，说明理由．21、（本小题满分12分）已知函数()()()ln 1f x x e x =--（e 为自然对数的底数）．()I 求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；()II 若m 是()f x 的一个极值点，且点()()11,x f x A ，()()22,x f x B 满足条件：()()121ln 1ln 1x x --=-， ()i 求m 的值；()ii 若点A ，B ，()(),m f m P 是三个不同的点，判断A ，B ，P 三点是否可以构成直角三角形？请说明理由．22、（本小题满分14分）已知抛物线G 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，点(),4m P 到其准线的距离等于5．()I 求抛物线G 的方程；()II 如图，过抛物线G 的焦点的直线依次与抛物线G及圆()2211x y +-=交于A 、C 、D 、B 四点，试证明C DA ⋅B 为定值；()III 过A 、B 分别作抛物线G 的切线1l 、2l ，且1l 、2l 交于点M ，试求C ∆A M 与D ∆B M 面积之和的最小值．。
【真题】15年福建省厦门二中高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2014-2015学年福建省厦门二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域作答．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x||x|＜3}，B={x|x﹣2≥0}，则A∪∁U B等于（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，3）C．[2，3） D．（﹣3，2]2．（5分）命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是（）A．∀x＞1，x2≤1 B．∀x＜1，x2≤1 C．∃x0＞1，x02≤1 D．∃x0＜1，x02≤1 3．（5分）计算：=（）A．2 B．4 C．8 D．124．（5分）已知，则f（log23）=（）A．B．C．D．5．（5分）若方程lnx+x﹣5=0在区间（a，b）（a，b∈Z，且b﹣a=1）上有一实根，则a的值为（）A．5 B．4 C．3 D．26．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数的表达式为（）A．B．C．D．7．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1 B．2k+3 C．2（2k+1）D．2（2k+3）8．（5分）若正数x，y满足x+y=1，且≥4对任意x，y∈（0，1）恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，4]B．[4，+∞）C．（0，1]D．[1，+∞）9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x）成立，且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0（其中f′（x）为f（x）的导数）．设，则a、b、c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a10．（5分）对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g （x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）=x2，g（x）=2x﹣3②f（x）=，g（x）=x+2③f（x）=e﹣x，g（x）=﹣④f（x）=lnx，g（x）=x﹣其中在区间（0，+∞）上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11．（4分）函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是．12．（4分）（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为．13．（4分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=．14．（4分）已知函数f（x）=e x﹣x2的导函数为f′（x），y=f（x）与y=f′（x）在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程f′（x）﹣f（a）=0在x∈（﹣∞，a]上有两解，则实数a的取值范围是．（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案，如果多做，则按所做的前两题计分，满分5分．【选修4-2：矩阵与变换】15．（5分）设矩阵A=，B=（），则（AB）﹣1=．【选修4-4：极坐标与参数方程】16．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|=．【选修4-5：不等式选讲】17．函数y=的最大值等于．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a （x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足B∩∁U A=∅，求实数a的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2，数列{b n}是首项为a1，公差为d （d≠0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．21．（12分）已知向量；令，（1）求f（x）解析式及单调递增区间；（2）若，求函数f（x）的最大值和最小值；（3）若f（x）=，求的值．22．（12分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？23．（14分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．2014-2015学年福建省厦门二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域作答．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x||x|＜3}，B={x|x﹣2≥0}，则A∪∁U B等于（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，3）C．[2，3） D．（﹣3，2]【解答】解：由A中不等式解得：﹣3＜x＜3，即A=（﹣3，3），由B中不等式解得：x≥2，即B=[2，+∞），∵全集U=R，∴∁U B=（﹣∞，2），则A∪（∁U B）=（﹣∞，3），故选：B．2．（5分）命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是（）A．∀x＞1，x2≤1 B．∀x＜1，x2≤1 C．∃x0＞1，x02≤1 D．∃x0＜1，x02≤1【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是：∃x0＞1，x02≤1．故选：C．3．（5分）计算：=（）A．2 B．4 C．8 D．12【解答】解：===4．4．（5分）已知，则f（log23）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意的，∵2=log24＞log23＞log22=1，∴f（log23）=f（1+log23）=f（2+log23）=f（3+log23）=（）3+log23=故选：B．5．（5分）若方程lnx+x﹣5=0在区间（a，b）（a，b∈Z，且b﹣a=1）上有一实根，则a的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：令f（x）=lnx+x﹣5，则函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．再由f（a）f（a+1）＜0可得f（a）=lna+a﹣5＜0，且f（a+1）=ln（a+1）+a+1﹣5＞0．经检验，a=3满足条件，故选：C．6．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数的表达式为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知A=2，B=1，T==6，ω==，因为函数经过（2，3）所以3=2sin（×2+φ）+1，|φ|＜，φ=﹣，所以函数的表达式为；故选：A．7．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1 B．2k+3 C．2（2k+1）D．2（2k+3）【解答】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C．8．（5分）若正数x，y满足x+y=1，且≥4对任意x，y∈（0，1）恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，4]B．[4，+∞）C．（0，1]D．[1，+∞）【解答】解：∵正数x，y满足x+y=1，当a＞0时．∴=（x+y）=1+a+≥1+a+2=1+a+，当且仅当y=x 时取等号．∵≥4对任意x，y∈（0，1）恒成立，∴1+a+2≥4，解得a≥1．∴a的取值范围是[1，+∞）．故选：D．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x）成立，且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0（其中f′（x）为f（x）的导数）．设，则a、b、c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：由题意得：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x）成立，所以函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（﹣1）．因为当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．因为﹣1＜0＜，所以f（﹣1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），所以c＜a＜b．故选：B．10．（5分）对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g （x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）=x2，g（x）=2x﹣3②f（x）=，g（x）=x+2③f（x）=e﹣x，g（x）=﹣④f（x）=lnx，g（x）=x﹣其中在区间（0，+∞）上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2≥2，∴要使|f（x0）﹣g （x0）|≤1，不可能，不满足条件，∴在区间（0，+∞）上的不存在唯一“友好点”，∴①不正确．②g（x）﹣f（x）=x﹣+2=（﹣）2+≥＞1，∴不存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，∴函数不存在“友好点”，∴②错误．③设h（x）=f（x）﹣g（x）=e﹣x+，则函数h（x）在（0，+∞）上单调减，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0不唯一，∴③满足条件，∴③正确．④h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣lnx，（x＞0），h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=1﹣0=1，∴g（x）﹣f（x）≥1，∴当x0=1时，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0唯一，∴④满足条件．故选：C．二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11．（4分）函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，﹣15．【解答】解：由题设知y'=6x2﹣6x﹣12，令y'＞0，解得x＞2，或x＜﹣1，故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，2]上减，在[2，3]上增，当x=0，y=5；当x=3，y=﹣4；当x=2，y=﹣15．由此得函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，﹣15；故应填5，﹣1512．（4分）（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为9．【解答】解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值．故答案为：9．13．（4分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=88．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a4+a8=16，∴S11=（a1+a11）===88．故答案为：88．14．（4分）已知函数f（x）=e x﹣x2的导函数为f′（x），y=f（x）与y=f′（x）在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程f′（x）﹣f（a）=0在x∈（﹣∞，a]上有两解，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：设g（x）=f′（x）﹣f（a）=e x﹣2x﹣（e a﹣a2），令g′（x）=e x﹣2＞0，则x＞ln2，所以g（x）在（﹣∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增，要使满足题意，则由（1），（3）可知a≥2设h（a）=2﹣2ln2﹣e a+a2，h′（a）=﹣e a+2a＜0在a≥2恒成立，所以h（a）=2﹣2ln2﹣e a+a2在[2，+∞）上单调递减，所以h（a）≤h（2）=6﹣2ln2﹣e2＜0所以（2）对任意的a∈R都成立．综上所述a≥2．故答案为：[2，+∞）．（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案，如果多做，则按所做的前两题计分，满分5分．【选修4-2：矩阵与变换】15．（5分）设矩阵A=，B=（），则（AB）﹣1=．【解答】解：∵矩阵A=，B=，∴AB==，∵det（AB）=1×（﹣7）﹣3×（﹣2）=﹣1，∴（AB）﹣1==．故答案为：．【选修4-4：极坐标与参数方程】16．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|=．【解答】解：∵直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），∴直线l的普通方程为：y=x．∵曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+y2=4．∵直线l与曲线C交于A，B两点，∴圆心（1，0）到直线l：x﹣y=0的距离为：，∴|AB|=2=2=．故答案为：．【选修4-5：不等式选讲】17．函数y=的最大值等于2．【解答】解：由于y≥0，则y2=x﹣1+5﹣x+2=4+2=4+2当x=3时，y2取最大值4+2×2=8，即有y的最大值为2．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a （x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足B∩∁U A=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|（x﹣3）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1或x ＞3}，B={y|﹣a＜y≤22﹣a}．（Ⅱ）∵满足B∩∁U A=∅，∴B⊆A，∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，解得a≤﹣3或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2，数列{b n}是首项为a1，公差为d （d≠0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为S n=2n+1﹣2，所以，当n=1时，a1=S1=21+1﹣2=2=21，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2n=2n，（2分）又a1=S1=21+1﹣2=2=21，也满足上式，所以数列{a n}的通项公式为．（3分）b1=a1=2，设公差为d，则由b1，b3，b9成等比数列，得（2+2d）2=2×（2+8d），（4分）解得d=0（舍去）或d=2，（5分）所以数列{b n}的通项公式为b n=2n．（6分）（Ⅱ）c n=（8分）数列{c n}的前n项和：T n=（10分）=1﹣=1﹣=．（12分）21．（12分）已知向量；令，（1）求f（x）解析式及单调递增区间；（2）若，求函数f（x）的最大值和最小值；（3）若f（x）=，求的值．【解答】解：（1）∵向量，∴==++2[]=2+2cos（x+），增区间是：﹣π+2kπ，k∈Z，∴，k∈Z，∴f（x）解析式为f（x）=2+2cos（x+），单调递增区间是[﹣，﹣]，k∈Z．（2）∵f（x）=2+2cos（x+），，∴，∴当时，f（x）=2+2cos（x+）有最大值2+；当时，f（x）=2+2cos（x+）有最小值2﹣．（3）∵f（x）=，∴，所以．22．（12分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？【解答】解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米．23．（14分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．【解答】解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f （x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x ）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln （x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
厦门双十中学2015届高三毕业班热身考试数学(理科)试卷参考答案及评分标准
厦门双十中学2015届高三毕业班热身考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．【解析】cos 05θ=-<，,2πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin 5θ∴==，sin tan 2cos θθθ∴==-，故答案为A.【考点】同角三角函数的基本关系 2．【答案】D【解析】根据所给的关于复数的等式，整理出要求的z 的表示式，进行复数的乘法运算，得到复数的最解：∵复数z (2)12z i i i =-=+，∴12z i =-，对应的点的坐标是(1,2)- D 3．或}2≥y ()U A C B =故选C.【考点】集合的交并补运算 4．【答案】B【解析】正态曲线是关于μ=x 对称，且在μ=x ，由图易得321μμμ=<，，故321σσσ<=5．【解析】由于向量()()3,4,211,4a a b =-=，设(,)b x y =则2(32a b -=-(11,4)=，3-24,y =-= 则(4,0)b =-3(a b a b⋅⨯=⋅，故选B.【考点】平面向量的坐标运算6．【答案】D【解析】先由三视图画出几何体的直观图，再由图中所给数据及柱体、锥体体积计算公式计算此几何体体积即可．由三视图可知此几何体为组合体：正方体去掉一角，其直观图如图：∵正方体的边长为11,D ． 7．【答案】C【解析】当2,2>>b a 且时, 4>+b a ，但是反过来不成立,所以命题p 为真命题；“∃x 0∈R ，使得20x －x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有20x x -≤”，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，所以根据真值表可得②③为真命题,故选C ．910．【答案】C【解析】由题知，111212122212k k k k kk a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ 由加法原理和乘法原理得， 同时同意第1,2号同学当选的人数为()11211222211122122121k k k k a a a aa a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭，故选C.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11． 【解析】作出平面区域图，易知y x 2+在A 处取得最大值，由⎩⎨⎧=+=31y x x 得)2,1(A ， 故()522112max =⨯+⨯=+y x 【考点】线性规划 12．【答案】4【解析】根据流程图所示的顺序，程序的运行中各变量值变化为：第一圈 循环1,1S k ==；第二圈循环1123,2S k =+==；第三圈循环33211,3S k =+==；第四圈循环11112,4S k =+=，第五圈100?S <,否，所以停止循环，输出4k =．【考点】1．程序框图；2．指数运算． 13．【答案】sin12-【解析】两边同时积分，得()()()1111cos 3f x dx xdx f x dx dx =+⎰⎰⎰⎰，因为()1f x dx ⎰为常数，所以()()111cos 3(10)f x dx xdx f x dx =+⨯-⨯⎰⎰⎰，即()()()11110sin |3sin13f x dx x f x dx f x dx =+=+⎰⎰⎰，解得()1sin12f x dx =-⎰. 14．【答案】1283【解析】，甲、乙两组数据中位数相同所以3=m ，所以甲的平均数解得8=n ，所以二项式4()m x +可化为二项式48()3x x +，通项公式4442144()()()833r r rr r r r r T C C x x ---+==⋅，令420r -=，得2r =，所以常数项为2222141128()833T C +==.【考点】由茎叶图求中位数及平均数，二项展开式通项公式．15．【答案】(1)!1n +-【解析】对23401234x n n e a a x a x a x a x a x =++++++，两边求导： 2311234234x n n e a a x a x a x na x -=+++++，令x =0得：11111a a =⇒=，再两边求导：22234213243(1)x n n e a a x a x n n a x -=⨯+⨯+⨯+⨯-+，令x =0得：2211122!12a a =⇒=⨯=⨯， 再两边求导：334321432(1)(2)x n n e a a x n n n a x -=⨯⨯+⨯⨯+--+，令x =0得：32111233!123a a =⇒=⨯⨯=⨯⨯， …猜想：11123!123n n a n n n a =⇒=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯， 所以![(1)1]!(1)!!nnn n n n n n a =⨯=+-=+-， 所以123123(2!1!)(3!2!)[(1)!!](1)!1nnn n n a a a a ++=-+-++-=+-【考点】本题类比解题方法，同时考查推理中蕴含的知识.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分. 16．（本小题满分13分）直线2分·································· 3分·································· 4分 ·································· 6分···················································· 8分···················································· 9分·················································· 10分 ··················································· 11分 ·················································· 13分17．（本小题满分13分）【解析】（Ⅰ）因为33410115q p q =⎧⎪+=⎨+⎪⎪⎪⎩解得25p =，25q =． ·············································································· 4分 设“甲、乙选择不同车型”为事件A ，则123213()554545P A +⨯⨯=+=． ······················································································ 6分 答：所以甲、乙选择不同车型的概率是35． ······································································· 7分（Ⅱ）X 可能取值为7，8，9，10． ··································································································· 8分111(7)5420P X ==⨯=， 13211(8)54544P X ==⨯+⨯=， 21232545(9)45P X ⨯⨯===+； 233(10)5410P X ==⨯=． ···································· 10分 所以································· 11分 所以11231797891020451020EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ···························································· 12分 答：甲、乙两人购车所获得的财政补贴之和．的数学期望是17920． ··································· 13分18．（本小题满分13分）【解析】（Ⅰ）由24x y =得214y x =，所以1'2y x =，所以直线l 的斜率为2'|1x y ==， ··························· 1分 故直线l 的方程为1y x =-，所以点A 的坐标为(1,0). ····························································· 2分设(,)Q x y ，则(1,0),(2,),(1,)AB BQ x y AQ x y ==-=-，·················································· 3分由20AB BQ AQ ⋅+=得(2)00x y -+⋅+=，整理得2212x y +=. 2x（Ⅱ）解法一：联立椭圆C 和直线l 的方程，221,2x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4220k x ktx t +++-=， ··························································································· 7分设,M N 的横坐标分别为12,x x ，则122412ktx x k+=-+. ···························································· 8分 设椭圆Γ的方程为22221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠， ····························································· 9分联立方程组22221x y m n y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得22222222()2()0n m k x ktm x m t n +++-=,设,H K 的横坐标分别为34,x x ，则2342222ktm x x n m k +=-+. ····················································· 10分∵弦MN 的中点与弦HK 的中点重合， ····················································································· 11分∴12x x +=34x x +，2412kt k -=+22222ktm n m k-+， ∵0,0k t ≠≠，∴化简得222m n =， ······················································································· 12分求得椭圆Γ的离心率e ===··································································· 13分 解法二：设椭圆E 的方程为22221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠，并设11223344(,),(,),(,),(,)M x y N x y H x y K x y . ∵,M N 在椭圆C 上，∴221122x y +=且222222x y +=，两式相减并恒等变形得12122x x k y y +=-⨯+. ···························· 8分 由,H K 在椭圆Γ上，仿前述方法可得234234x x m k n y y +=-⨯+.······················································ 11分∵弦AB 的中点与弦HK 的中点重合，∴222m n =， ····························································································································· 12分求得椭圆Γ的离心率e ===··································································· 13分19．（本小题满分13分）【解析】 （Ⅰ）证明：因为平面ABD ⊥平面ADC ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABD ，平面ABD ∩平面ADC =AD ························································································ 2分 所以CD ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥CD .······································································································· 3分（Ⅱ）在如图1所示的△ABC 中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-.由AD BC ⊥，45ACB ∠=知，△ADC 为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-. 由折起前AD ⊥BC 知，折起后（如图2），AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC =D ，又由（Ⅰ）可知，90BDC ∠=，所以11(3)22BCD S BD CD x x ∆=⋅=-， 于是321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+. ······················································· 5分令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =.当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<. 所以当1x =时，()f x 取得最大值. ······································································································· 7分故当BD ＝x ＝1，即AC ＝A －BCD 的体积最大. ······················································ 8分 （Ⅲ）以D 为原点，DB 、DC 、DA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz . 由（Ⅱ）知，当三棱锥A -BCD 体积最大时，BD =1，AD =CD =2，于是可得1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2D B C A ME ，则(1,1,1)BM =- ········· 9分设(0,,0)N λ，则1(,1,0)2EN λ=--. 因为EN ⊥BM 等价于0EN BM ⋅=，即 11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=，解得12λ=，即1(0,,0)2N ············································ 10分 所以当12DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为(,,)n x y z =，由,,BN BM n n ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩及1(1,,0)2BN =-，得20,0x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩可取(1,2,1)n =-. ································································································· 11分 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22EN =--，(1,2,1)n =-，可得112cos ,2EN n EN n EN n--⋅<>===-········································································ 12分 因为02πθ<<，所以sin cos ,EN n θ=<>=，即60θ=. ·················································· 13分20．（本小题满分14分）【解析】（Ⅰ）依题意，1'()2f x ax b x=++，'(1)12f a b =++ ································································ 1分 又由切线方程可知，1(1)2f =- ，斜率12k =，所以1'(1)12,21(1)2f a b f a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=+=-⎪⎩解得0,12a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以()ln 2x f x x =- ················································· 3分 所以112'()(0)22xf x x x x-=-=>， 当0x >时，,'(),()x f x f x 的变化如下：所以()(2)ln 21f x f ==-极大值，无极小值. ······················································································ 5分（Ⅱ）依题意，2()ln f x x ax x =++，所以2121'()21(0)ax x f x ax x x x++=++=> ①当0a ≥时，'()0f x >在(0,)+∞上恒成立，故无极值； ····························································· 6分②当0a <时，令'()0f x =，得2210ax x ++=，则180a ∆=->，且两根之积12102x x a=<， 不妨设120,0x x <>，则122()()'()a x x x x f x x--=，即求使2()0f x >的实数a 的取值范围. ···· 7分由方程组2222222210,ln 0ax x x ax x ⎧++=⎪⎨++>⎪⎩消去参数a 后，得221ln 02x x -+>， ············································· 8分 构造函数1()ln 2x g x x -=+，则11'()02g x x =+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， ············· 9分又(1)0g =，所以()0g x >解得1x >，即21x =>，解得10a -<<.由①②可得，a 的范围是10a -<<. ································································································· 10分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当10,2a b ==-时，0,()ln 21x f x ∀>≤-，即ln ln 212xx -≤-， ·············································································· 11分两边取e 为底的指数，得()2(0)xx x e ≤∀>，所以*2n n N e ∀∈≤，即()2112nn en ≤⋅， ············································································· 12分 于是①当1n =72e =<，不等式成立； 1(e )n ++21)n ++ 21)11n ++-·················································· 13分 11111152n -+-+-++--1)]1n + 综上，*n N ∀∈，()1172ii e i =<⋅∑. ································································································ 14分21．（本小题满分14分）【解析】(1) (本小题满分7分) 选修4-2：矩阵与变换【说明】用矩阵工具研究平面的几何变换是本选修重要方法，几乎年年必考.由几何关系建立线性变换找出对应矩阵不仅考查计算，对能力有更高要求，应引起重视. （Ⅰ）设变换T x ax byy cx dy '=+⎧⎨'=+⎩,()()()()2,00,2,2,11,3A A B B ''→→- 20222123a c a b c d =⎧⎪=⎪∴⎨+=-⎪⎪+=⎩解得0111a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，即0111M -⎛⎫= ⎪⎝⎭,2003N ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ······························································· 4分 （Ⅱ）200102031133NM --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设直线l 上任一点(),x y 依次在矩阵M ，N 即矩阵NM 所对应的线性变换作用下对应点(),x y '',则233x yy x y '=-⎧⎨'=+⎩代入10x y ''++=得310x y ++=，∴直线l 的方程是310x y ++=. ·············· 7分(2) (本小题满分7分) 选修4-4：极坐标与参数方程【说明】本题考查直线的极坐标、椭圆的参数方程与普通方程互化，椭圆的参数方程的应最值问题上的应用.（Ⅰ）2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数） ···································································································· 2分919cos()(cos )3222πρθρθθ+=-⇒=-，即1922x y =-，整理得，90x += ············································································································· 4分（Ⅱ）设(2cos )P ϕϕ,P 到直线l的距离2cos 3sin 92cos 3sin 92d ϕϕϕϕ-+-+===2tan 3α=所以当sin()1ϕα-=-时，max92d =············································································· 7分(3) (本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲【说明】绝对值不等式，柯西不等式是高考考试热点（Ⅰ）依题意得15x x m ++-≥的解集为R ，所以min (1)5x x m ++-≥由绝对值不等式得11x x m m ++-≥+，即min (1)1x x m m ++-=+ ························· 2分 所以15m +≥，解得4m ≥ ····································································································· 4分 （Ⅱ）依题意得2224,16a b m a b m +=-+=-由柯西不等式得222()(11)()a b a b +≤++，即22(4)(11)(16)m m -≤+- 解得443m -≤≤，所以4m =. ································································································ 7分。
福建省厦门市双十中学届高三数学上学期期中试卷理(含解析)【含答案】
2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜05．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ= ．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于时取到最大值．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2+1≥1，即M=[1，+∞），由N中y=ln（x+1）+1，即N=（﹣∞，+∞），则M∩N=[1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】原命题和其逆否命题同真假，故只需找出命题“若¬p，则q”的逆否命题即可．【解答】解：四种命题中原命题和其逆否命题同真假，而“若￢p，则q”的逆否命题为“若￢q，则p”即￢q⇒p，p是￢q的必要条件，故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系及复合命题真假判断，难度不大．3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】向量法；平面向量及应用．【分析】由向量模的公式可得||，再由向量投影的概念可得在上的投影等于||cos120°．【解答】解： =（﹣2，﹣4），可得||=2，由题意可得在上的投影为||cos120°=2×（﹣）=﹣．故选B．【点评】本题考查向量的数量积的模的公式，以及向量的投影的计算，考查运算能力，属于基础题．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜0【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q成立的m的范围，取交集即可．【解答】解：关于p：存在x∈R，mx2+1≤0，∴m＜0，关于q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，则△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，若p且q为真命题，则p，q均为真命题，则实数m的取值范围是：﹣2＜m＜0，故选：D．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；换元法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】以O为原点，OA方向为x轴正方向建立坐标系，分别求出A，B的坐标，进而根据则=（cosα，sinα），根据正弦函数的性质，即可得到的取值范围．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可设A（1，0），B（0，1），设∠AOC=α（0≤α≤），则=（cosα，sinα）．由=（x，2y）=（cosα，sinα），则=（cosα+sinα）=sin（α+）（0≤α≤），由≤α+≤，可得sin（α+）∈[，1]，即有∈[，]．故选：B．【点评】本题考查的知识点是平面向量的综合应用，三角函数的性质，其中建立坐标系，分别求出A，B，C点的坐标，将一个几何问题代数化，是解答本题的关键．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数是奇函数，求出φ．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）=2sin（x+φ﹣），（0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，f（x）=2sinx，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的解析式为：y=2sin2x；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式：g（x）=2sin2（x﹣）=2sin （2x﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，计算能力，属于中档题．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤【考点】函数的图象．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对选项一一利用排除法分析可得答案．【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对于①，当x＞0时，y=f（|x|）=y=f（x），其图象在y轴右侧与图一的相同，不合题意，故排除①．对于②，当x＞0时，对应的函数是y=f（x）﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除②．对于③，当x＞0时，对应的函数是y=﹣f（x），是把（1）中图象位于y轴右侧的部分关于x轴对称得到的，显然不正确，故排除③．对于④，当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），是把（1）中图象位于y轴左侧的部分关于y轴对称得到的，满足条件．对于⑤，当x＞0时，对应的函数是y=|f（x）|﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除⑤，故选：A．【点评】本题考查函数的图象、函数的图象与图象变化，考查学生读图能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】构造函数g（x）=xf（x），判断g（x）的单调性与奇偶性即可得出结论．【解答】解：令g（x）=xf（x），则g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）∴g（x）是偶函数．g′（x）=f（x）+xf′（x）∵∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．∵＜ln2＜1＜∴g（）＜g（ln2）＜g（）∵g（x）是偶函数．∴g（﹣）=g（），g（ln）=g（ln2）∴g（﹣）＜g（ln）＜g（）故选：B．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据已知中函数f（x）（x∈R）关于对称，且，分析出函数的周期性，对称性和奇偶性，可得答案．【解答】解：∵，∴f（x+3）===f（x），故f（x）的最小正周期是3，故（1）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，∴f（x）=﹣==f（﹣x），即f（x）是偶函数，故（2）正确；又∵f（3﹣x）=f（﹣x）=f（x），故f（x）关于对称，故（3）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，f（x）的最小正周期是3，故f（x）关于对称，故（4）正确；故正确的命题有4个，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性和函数的周期性，其中熟练掌握函数对称性的法则“对称变换二倍减”，是解答的关键．11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反，故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ= ．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用两角和的正切函数，求出正切函数值，然后求解即可．【解答】解：tan（θ+）=，=，可得tanθ=﹣．sin2θ===．故答案为：；【点评】本题考查两角和的正切函数以及三角函数的化简求值，考查计算能力．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于7 时取到最大值．【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和题意可得通项公式，可得前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得a3+a8+a13=3a8=C，a4+a14=2a9=2C，∴a8=，a9=C，∴公差d=，∴a1=﹣7×=﹣，∴a n=﹣+（n﹣1）=C（2n﹣15），令a n=C（2n﹣15）≤0可得2n﹣15≥0，解得n≥∴递减的等差数列{a n}前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当n=7时，S n取最大值．故答案为：7【点评】本题考查等差数列的前n项和，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是b≤．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；集合．【分析】作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象，从而可得A=[2，4]；再化简g（x）=﹣（sinx﹣）2+1+，从而可得g（a）=1+，再求g（a）的最小值即可．【解答】解：作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象如下，，∵f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]，∴2≤a≤4，故A=[2，4]；g（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣（sinx﹣）2+1+，∵≤≤1，∴g（a）=1+，∵A=[2，4]，∴g min（a）=1+=，∵g（a）≥b对任意实数a∈A恒成立，∴b≤，故答案为：b≤．【点评】本题考查了二次函数的性质与应用，三角函数的最值的求法，同时考查了恒成立问题．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为 6 ．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．【专题】综合题；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】由题意得f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=﹣x4﹣x3+x2+4x．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，∴f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，即b=0且（1﹣4）[（﹣4）2+a•（﹣4）+b]=0，解之得a=4，b=0，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+4x）=﹣x4﹣x3+x2+4x，求导数，得f′（x）=﹣x3﹣3x2+2x+4=﹣（x+1）（x+1+）（x+1﹣）当x∈（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1，﹣1+）时，f'（x）＞0，当x∈（﹣1﹣，﹣1）∪（﹣1+，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣）单调递增，在（﹣1﹣，﹣1）单调递减，在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，故当x=﹣1﹣和x=﹣1+时取极大值，f（﹣1﹣）=f（﹣1+）=6．故答案为：6．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣1对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）先求出圆的直角坐标方程和直线l：，由此能求出直线l和圆C交点的极坐标．（2）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，先求出直线直角坐标方程，由此能求出直线l的极坐标方程．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（θ为参数），∴圆的直角坐标方程是x2+y2=16，…．（1分），∵直线l的参数方程为（t为参数），∴当a=0时，直线l：，…（2分）代入x2+y2=16得x=±2，P，Q…．（3分）则直线l和圆C交点的极坐标分别是，…．（5分）（2）由于P、Q间的劣弧长是，则圆心角，…．（6分）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，…．（7分），，直线直角坐标方程是：或，…．（8分）直线l的极坐标方程：或…．（10分）即或（写成或给满分）【点评】本题考查直线和圆交点的极坐标及直线的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】（1）由绝对值的含义，将|2x﹣1|+|x+2|写成分段函数式，分别求出各段的范围，可得最小值，进而得到m2+m+2≤，解不等式可得m的范围；（2）运用两边夹法则，可得++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++），展开后运用基本不等式，即可得证．【解答】解：（1）|2x﹣1|+|x+2|=，当x≤﹣2时，﹣1﹣3x递减，取值范围是[5，+∞）；当﹣2＜x≤时，3﹣x的范围是[，5）；当x＞时，3x+1的范围是（，+∞）．从而|2x﹣1|+|x+2|≥，解不等式m2+m+2≤，得m∈[﹣1，]．（2）证明：由（1）知（|2x﹣1|+|x+2|）≥1，则++≤1，又1≤++，则++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=9．当且仅当a=2b=3c=时，等号成立．因此a+2b+3c≥9．【点评】本题考查绝对值函数的最值的求法，不等式恒成立问题的解法和不等式的证明，注意运用函数的单调性求最值，以及基本不等式的运用，属于中档题．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（Ⅱ）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=．【点评】此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：，c n=（n∈N+），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：2a n=a n+1﹣a n﹣2n，化为：，∵c n=（n∈N+），∴，∴{c n}是等比数列，公比为，首项为．∴c n+1=，∴c n=﹣1，∴=﹣1，可得a n=3n﹣2n．（2）b n=n（a n+2n）=n•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+2×32+3×23+…+n•3n，∴3T n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2T n =3+32+…+3n ﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=，∴T n =．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知⊥，|AB 1|=3，|AB 2|=4，=+． （1）若B 1，P ，B 2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q 是AB 1B 2的内心，若||≤2，求•的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；配方法；换元法；平面向量及应用．【分析】（1）利用B 1，P ，B 2三点共线，=+，可求得+=1；再结合⊥，|AB 1|=3，|AB 2|=4，可得||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，于是可求得||的最小值及取得最小值时λ、μ的值，从而可用，表示；（2）以A 为原点，AB 1、AB 2所在的直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则B 1（3，0），B 2（0，4），Q （1，1），P （λ，μ），于是利用||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，再令λ﹣1=rcos θ，μ﹣1=sin θ（0＜r≤2）可得•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r 2﹣rcos θ﹣2rsin θ﹣5，利用辅助角公式及配方法即可求得•∈[﹣，2﹣1]．【解答】解：（1）∵B 1，P ，B 2三点共线， =+，∴+=1．又⊥，|AB 1|=3，|AB 2|=4， ∴||2=||2+||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，当时，||min =，此时，=+；（2）以A 为原点，AB 1、AB 2所在的直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则B 1（3，0），B 2（0，4），Q （1，1），P （λ，μ），||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，令λ﹣1=rcos θ，μ﹣1=sin θ，0＜r≤2．=（λ﹣3，μ），=（λ，μ﹣4），•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5=r2﹣rsin（θ+φ）﹣5，其中tanφ=．又r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≤r2+r﹣5≤2﹣1，r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≥r2﹣r﹣5=（r﹣）2﹣≥﹣，∴•∈[﹣，2﹣1]．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，突出考查共线向量基本定理、向量垂直性质的应用，也考查了三角换元思想及辅助角公式的综合应用，考查运算能力，属于难题．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）①由题知M（5，80）代入y=，则a=400，进而求出y=，得出坐标N（100，4），利用导数求出斜率，得出直线的方程，进而求出与坐标轴的交点A（0，），B（2t，0），利用勾股定理可得（t∈[5，100]）；②运用基本不等式可得最小值，注意求出等号成立的条件；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为，得出山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，进而得出绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400．【解答】解：（1）①由题意M（5，80）代入y=，则a=400，∴y=，N（100，4），∴定义域为[5，100]．∴P（t，），∵，则公路l的方程：，令x=0，可得y=；令y=0，可得x=2t．∴（t∈[5，100]）；②A（0，），B（2t，0），=，当且仅当t=20∈[5，100]时等号成立，所以当t为20时，公路l的长度最短长度是3200千米；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为dx=400lnx|=400（ln100﹣ln5）=400ln20，山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，L与y，x轴交点分别是A（0，40），B（40，0），公路与L1、L2围成的面积是800，所以绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400（平方公里）．答：当t为20时，公路L的长度最短，最短长度是3200千米；在公路长度最短时，需在公路L与山体之间修建绿化带的面积是400ln20﹣400平方公里．【点评】本题考查了利用导数求直线方程和积分的应用，考查运算求解能力，难点是对题意的理解．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）求出f（x）的导数，设g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，讨论m的范围，结合单调性，即可得到m的范围；（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）m=2时，f（x）=e2x﹣2x2，f′（x）=2e2x﹣4x；∴f′（0）=2，又f（0）=1；则切线L1方程为：y=2x+1；（2）f′（x）=me mx﹣2mx，设g（x）=f′（x），g′（x）=m2e mx﹣2m=m（me mx﹣2），令g′（x）=0，由m＞0，；①当m≥2时，因为x≥0，则e mx≥1，所以me mx﹣2≥m﹣2≥0，g'（x）≥0，∴f′（x）在[0，+∞）单调递增；∴f′（x）≥f′（0）=m＞0；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；所以当m≥2时满足条件；②当时，1≥，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以=；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；∴当时满足条件；③当时，，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递增，f′（x）=0在（0，x0）至多只有一个零点x1；又因为=，f′（0）=1＞0，所以f′（x）=0在（0，x0）有且只有一个零点x1；则当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，x1）单调递增，在（x1，x0）单调递减，所以存在x使得f（x）＜f（0）=1，不满足条件．终上所述：当时，f（x）≥1对一切x≥0的实数恒成立．（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），则，当i=1时，，当i=2时，，当i=3时，，…，当i=n时，，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题和不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和裂项相消求和及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。
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福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题【感谢高三数学（理科）备课组所有老师半学期的辛勤付出，你们辛苦了！当然，老师也在平时与同学们的交流中看到大家的不懈努力与对理想的执着与追求，在这阶段检测的时刻，让我们怀着感恩的心证明自己吧！】第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1． 命题“对任意的x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是（ ▲ ）A ．不存在x ∈R ，x 2＋1>0B ．存在x ∈R ，x 2＋1>0C ．存在x ∈R ，x 2＋1≤0D ．对任意的x ∈R ，x 2＋1≤02． 已知集合{}23,A a =，集合{}0,,1B b a =-，且{}1AB =，则A B =（ ▲ ）A ．{}0,1,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,4D ．{}0,1,2,3,43． “sin α≠sin β”是“α≠β”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4． 若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ．ac 2<bc 2B ．1a <1bC．b a>a bD ．a 2>ab >b 25． 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图像如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是（ ▲ ）6． 设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则23z x y =-的最小值是（ ▲ ）A ．3-B ．12C ．6-D ．12-7． 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A . 若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（ ▲ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±8x8． 下列函数存在极值的是（ ▲ ）A. 2cos y x x =+B. ln xy e x =- C. 32331y x x x =++-D. 1ln y x x=-9． 定义：sin a b a b θ⨯=⋅⋅，其中θ为向量a与b的夹角，若2,5,6a b a b ==⋅=-，则a b ⨯=（ ▲ ） A ．6B ．8C ．－8D ．8或－810．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当12,[0,2]x x ∈且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-. 给出下列命题：①函数()f x 一定是周期函数； ②函数()f x 在区间[6,4]--上为增函数；③直线4x =-是函数()f x 图像的一条对称轴； ④函数()f x 在区间[6,6]-上有且仅有4个零点.其中正确命题的个数是（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.11．已知函数2,01()2,12x x f x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩，则20()f x dx ⎰等于 ▲ .12．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：y 216－x 24＝1有相同的渐近线，则C 1的离心率＝ ▲ . 13．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7a b ，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝ ▲ . 14．若定义在],[b a 上的函数13)(23+-=x x x f 的值域为]1,3[-，则a b -的最大值是 ▲ .15．已知*(1,2,3,,,3,)i A i n n n N =≥∈是△AOB 所在的平面内的n 个相异点，且OA i ⋅=⋅. 给出下列命题：①12n OA OA OA OA ====；的最小值不可能是OB ； ③点12,,,,n A A A A 在一条直线上；④向量及i 在向量的方向上的投影必相等.其中正确命题的序号是 ▲ .（请填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 16．（本小题满分13分）已知全集U =R ，0m >，集合2{|120},{|3}A x x x B x x m =--<=-≤. (1)当2m =时，求()UAB ð；(2)命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.17．（本小题满分13分）已知向量a ＝()3sin x ，－cos x ，b ＝()cos x ，cos x ，记函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝12，若向量m ＝()1，sin A 与n ＝()2，sin B 共线，求a ，b 的值.18．（本小题满分13分）平面直角坐标系中，点M 的坐标是，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.(1)将曲线1C 和2C 化成普通方程，并求曲线1C 和2C 公共弦所在直线的极坐标方程； (2)若过点M ，倾斜角为3π的直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值. 19．（本小题满分13分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足231p x =-+(其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本102p +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为20(4)p+元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若F 是椭圆C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，T 为直线x ＝4上任意一点，且T 不在x 轴上，(ⅰ)求FM →·FN →的取值范围；(ⅱ)若OT 平分线段MN ，证明：TF ⊥MN （其中O 为坐标原点）.21．（本小题满分14分）已知函数ln ()xf x x a=+(a ∈R )，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (1)求实数a 的值，并求()f x 的单调区间； (2)试比较20152014与20142015的大小，并说明理由；(3)是否存在k ∈Z ，使得()2kx f x >+对任意0x >恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由.厦门双十中学2014-2015学年（上）期中检测 高三数学（理科）参考答案及评分标准（2014-11-13）17．（本小题满分13分） 【解析】 (1)依题意，21cos 2111()cos cos 22cos 2sin(2)2222262x f x x x x x x x x π+=-=-=--=--··············································································································································································· 3分 所以最小正周期22T ππ==， ························································································································· 4分 令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间是：[,],63k k k Z ππππ-+∈. ············································································· 6分 (2)由11()sin(2)622f C C π=--=，得sin(2)16C π-=， ··········································································· 7分因为0C π<<，所以112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，解得3C π=， ···································· 8分因为向量m ＝()1，sin A 与n ＝()2，sin B 共线，所以sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，…① ··········································································································································································· 9分 在△ABC 中，由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=，……………………②············································································································································································· 11分 由①②，解得1,2a b ==. ································································································································ 13分 18．（本小题满分13分）【解析】(1) 依题意，1C 的普通方程：22(1)1x y -+=，………………………………① ······································· 2分对2C ，24sin ρρθ=，所以224x y y +=，即22(2)4x y +-=，……② ······································ 4分 ①－②可得，20x y -=， ························································································································ 6分 所以曲线1C 和2C 公共弦所在直线的极坐标方程为c o s 2s i n 0ρθρθ-=，1tan ()2R θρ=∈. ······································································································································ 7分 （注：本次考试，直线的极坐标方程若只写“cos 2sin 0ρθρθ-=”，或者“1tan 2θ=”均给分！） (2)解法一：依题意，直线l的参数方程为13,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点A 、B 分别对应参数12,t t ， ···················· 9分代入1C的方程：221(31))12t +-+=，整理得2560t t ++=，所以126t t =， ·················· 12分 所以126MA MB t t ⋅==. ······························································································································· 13分解法二（注：了解即可！）：设曲线1C 的圆心为(1,0)C ，半径1r =， 则由圆幂定理得2222()()(31)0)16MA MB MC r MC r MC r ⋅=+-=-=-+-=. ······································· 13分19．（本小题满分13分） 【解析】(1)由题意知，)210()204(p x p py +--+=， ····························································································· 3分 将231p x =-+代入化简得：x x y -+-=1416（0x a ≤≤）. ································································· 6分(2)13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y ， ·········································································· 8分 当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号. ····························································································· 9分 当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； ············································································ 10分当1a <时，)114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增， ······································································· 11分 所以x a =时，函数有最大值，即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大. ··········································· 12分 综上，当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当1a <时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大. ······································································· 13分 20．（本小题满分14分） 【解析】(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则222221,2191,4,c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，所以椭圆22:143x y C +=. ································································· 4分 (2)(ⅰ)易得(1,0)F ， ················································································································································ 5分①若直线l 斜率不存在，则1:=x l ，此时)23,1(M ，)23,1(-N ，⋅＝49-； ····················· 6分②若直线l 斜率存在，设)1(:-=x k y l ，),(),,(2211y x N y x M ，则 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得：01248)34(2222=-+-+k x k x k ························································ 7分 ∴3482221+=+k k x x ，341242221+-=⋅k k x x ······························································································ 8分∴⋅),1(),1(2211y x y x -⋅-=]1)()[1(21212++-+=x x x x k ＝21149k +-- ····················· 9分∵02≥k ∴11102≤+<k ∴411432<+-≤k∴493-<⋅≤-FN FM 综上，⋅的取值范围为]49,3[--． ·························································································· 10分(ⅱ)线段MN 的中点为Q ，则由(ⅰ)可得，2122243,(1)24343Q Q Q x x k kx y k x k k +-===-=++， ············································································································································································· 11分所以直线OT 的斜率3'4QQ y k x k==-，所以直线OT 的方程为：34y x k =-，········································· 12分 从而3(4,)T k -，此时TF 的斜率30141TF k k k--==--， ··············································································· 13分 所以11TF MN k k k k⋅=-⋅=-，所以TF ⊥MN . ································································································· 14分21．（本小题满分14分） 【解析】(1)依题意，2ln '()()x ax x f x x a +-=+， ·················································································································· 1分 所以211'(1)(1)1a f a a+==++，又由切线方程可得'(1)1f =，即111a =+，解得0a =， 此时ln ()x f x x =，21ln '()xf x x -=， ············································································································· 3分令'()0f x >，所以1ln 0x ->，解得0x e <<；令'()0f x <，所以1ln 0x -<，解得x e >， 所以()f x 的增区间为：(0,)e ，减区间为：(,)e +∞. ···················································································· 5分 (2)解法一：由(1)知，函数()f x 在(,)e +∞上单调递减，所以(2014)(2015)f f >，即2015201420152014ln 2014ln 2015201420152015ln 20142014ln 2015ln 2014ln 201520142015>⇔>⇔>⇔> ··············································································································································································· 9分 解法二：201420142015201520151201420142014⎛⎫=⨯⎪⎝⎭，因为 201420142233201420142014201420142015112014201411111()()()20142014201411122!3!2014!1112122320132014111112(1)()()223201320141320143C C C ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++<++++<++++⨯⨯⨯=+-+-++-=-< 所以2014201520153120142014<<，所以2014201520152014<. ·················································································· 9分 (3)若()2kx f x >+对任意0x >恒成立，则2ln 2x k x x >+，记2ln 2()x g x x x=+，只需m a x ()k g x >.又32312ln 2122ln '()x x xg x x x x ---=-=， ································································································· 10分 记()122ln h x x x =--，则2'()20h x x=--<，所以()h x在(0,)+∞上单调递减.又(1)10h =-<，311ln 21ln 2ln 02h ==>-+=>，所以存在唯一0(2x ∈，使得0()0h x =，即00122ln 0x x --=， ·················································· 11分 当0x >时，(),'(),()h x g x g x 的变化情况如下：。