九年级英数学下册【学案】切线长
切线长定理_九年级数学教案_模板
切线长定理 _九年级数学教课方案 _模板1、教材分析（1）知识结构（ 2）要点、难点分析要点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次表现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等供给了理论依照，它属于工具知识，常常应用，所以它是本节的要点．难点：与切线长定理相关的证明和计算问题．如 120 页练习题中第 3 题，它不单应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生常常不可以很好的把知识连接起来．2、教法建议本节内容需要一个课时．（1）在教课中，组织学生自主察看、猜想、证明，并深刻分析切线长定理的基本图形；对重要的结论实时总结；（2）在教课中，以“察看——猜想——证明——分析——应用——概括”为主线，展开在教师组织下，以学生为主体，活动式教课．教课目的1．理解切线长的观点，掌握切线长定理；2．经过对例题的分析，培育学生分析总结问题的习惯，提升学生综合运用知识解题的能力，培育数形联合的思想．3．经过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调换学生的学习踊跃性，建立科学的学习态度．教课要点 :切线长定理是教课要点教课难点 :切线长定理的灵巧运用是教课难点教课过程设计:（一）察看、猜想、证明，形成定理1、切线长的观点．如图， P 是⊙ O 外一点， PA， PB 是⊙ O 的两条切线，我们把线段 PA， PB 叫做点 P 到⊙O 的切线长．指引学生理解：切线和切线长是两个不一样的观点，切线是直线，不可以胸怀；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，能够胸怀.2、察看利用电脑改动点P 的地点，察看图形的特点和各量之间的关系．3、猜想指引学生直观判断，猜想图中PA 能否等于PB．PA＝ PB．4、证明猜想，形成定理．猜想能否正确。
需要证明．组织学生分析证明方法．要点是作出协助线OA ， OB ，要证明PA＝ PB．想想：依据图形，你还能够获取什么结论？∠OPA＝∠ OPB( 如图 )等．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线均分两条切线的夹角．5、概括：把前面所学的切线的 5 条性质与切线长定理一同概括切线的性质6、切线长定理的基本图形研究如图， PA， PB 是⊙ O 的两条切线，A， B 为切点．直线OP 交⊙ O 于点 D， E，交 AP于 C(1)写出图中全部的垂直关系；(2)写出图中全部的全等三角形；(3)写出图中全部的相像三角形；(4)写出图中全部的等腰三角形．说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中要点，它是灵巧应用知识的基础．（二）应用、概括、反省例 1、已知：如图， P 为⊙ O 外一点， PA， PB 为⊙ O 的切线，A 和B 是切点， BC 是直径．求证： AC ∥ OP．分析：从条件想，由P 是⊙ O 外一点， PA、PB 为⊙ O 的切线， A ，B 是切点可得PA＝PB，∠APO ＝∠ BPO ，又由条件BC 是直径，可得 OB ＝ OC，由此联想到与直径相关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作协助线AB.从结论想，要证AC ∥ OP，假如连接AB 交 OP 于 O，转变为证CA ⊥ AB ， OP ⊥ AB ，或从OD 为△ABC 的中位线来考虑．也可考虑经过平行线的判断定理来证，可获取多种证法．证法一．如图．连接AB ．PA，PB 分别切⊙ O 于 A ， B∴ PA＝ PB∠ APO ＝∠ BPO∴ OP ⊥AB又∵BC 为⊙O 直径∴ AC⊥ AB∴ AC∥ OP (学生板书 )证法二．连接AB ，交 OP 于 DPA，PB 分别切⊙ O 于 A 、 B∴ PA＝ PB∠ APO ＝∠ BPO∴AD ＝BD又∵ BO=DO∴ OD 是△ABC 的中位线∴ AC∥ OP证法三．连接AB ，设 OP 与 AB 弧交于点 EPA，PB 分别切⊙ O 于 A 、 B∴ PA＝ PB∴ OP ⊥AB∴ =∴∠ C＝∠ POB∴ AC∥ OP反省：教师指引学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培育学生灵巧应用知识的能力．例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等．（分析和解题略）反省：（ 1）例 3 事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记着结论．四边形的性质：对角互补．P120 练习：（ 2）圆内接练习1填空如图 ,已知⊙ O 的半径为 3 厘米，PO＝ 6 厘米，PA，PB 分别切⊙ O 于 A，B，则 PA＝ _______，∠APB ＝ ________练习 2已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切圆分别和 BC ， AC ，AB 切于点 D ，E， F，求 AF ， AD 和 CE 的长．分析：设各切线长AF ， BD 和 CE 分别为 x 厘米， y 厘米， z 厘米．后列出对于x , y， z 的方程组，解方程组即可求出结果．（解略）反省：解这个题时，除了要用三角形内切圆的观点和切线长定理以外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题．经过对此题的研究培育学生的综合应用知识的能力．（三）小结1、提出问题学生概括（1）这节课学习的详细内容；（2）学惯用的数学思想方法；（3）应注意哪些观点之间的差别 ?2、概括基本图形的结论3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．（四）作业教材 P131 习题 7． 4A 组 1． (1)， 2，3， 4． B 组 1 题．研究活动图中找错你能找出（图1）与（图在图 2 中， P1A 为⊙ O1 ⊙O3 的切线．2）的错误所在吗？和⊙ O3 的切线、 P1B 为⊙ O1 和⊙ O2 的切线、P2C 为⊙ O2 和提示：在图 1 中，连接 PC、PD，则 PC、PD 都是圆的直径，从圆上一点只好作一条直径，所以此图是一张错图，点O 应在圆上．在图 2 中，设 P1A=P1B=a ， P2B=P2C=b ， P3A ＝ P3C＝ c，则有a= P1A= P1P3+P3A= P1P3+ c①c= P3C= P2P3+P3A= P2P3+ b②a= P1B= P1P2+P2B= P1P2+ b③将②代人①式得a= P1P3+（P2P3+ b） = P1P3+P2P3+b，∴ a-b= P1P3+P2P3由③得 a-b= P1P2 得∴P1P2= P2P3+ P1P3∴P1、 P 2 、P3 应重合，故图 2 是错误的．不等式和它的基天性质（1）教课目的： 1．认识不等式的意义，掌握不等式的基天性质，并能正确运用它们将不等式变形；2．提升学生察看、比较、概括的能力，浸透类比的思想方法；重、难点：掌握不等式的基天性质并能正确运用它们将不等式变形。
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理及其应用。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的切线性质和几何图形的对称性。
在学习本节课时，学生需要掌握切线与圆的位置关系，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握切线长定理，并能够灵活运用它解决相关问题。
二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。
然而，对于部分学生来说，理解和运用切线长定理解决实际问题仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服学习中的困难。
三. 教学目标1.理解切线长定理的含义，掌握切线长定理的证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：切线长定理的证明过程，切线长定理的应用。
2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用几何画板等教学软件，直观展示切线与圆的位置关系，帮助学生理解切线长定理。
3.通过例题讲解和练习，巩固学生对切线长定理的理解和运用。
4.鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教学课件，包括切线与圆的位置关系示意图、切线长定理的证明过程等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生对切线长定理的应用。
3.准备几何画板等教学软件，用于直观展示切线与圆的位置关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个圆和一条切线，引导学生观察切线与圆的位置关系，提出问题：“切线与圆有什么特殊的性质？”让学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
九年级数学下册 2.2 切线长定理教案1 (新版)浙教版
1、探索问题1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？
探索步骤：
（1）根据条件画出图形；
（2）度量线段PA和PB的长度；
（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；
（4）寻找证明猜想的途径；
（5）在图3中还能得出哪些结论？并把它们归类。
（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由。
2.2切线长定理
教
学
目
标
知识与
能力
了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。
过程与
方法
经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。
情感态度与价值观
了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点
理解切线长定理
教学难点
应用切线长定理解决问题
教学方法
教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“问题情境——建立数学模型——解释、应用、拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要利用概念模式元、定理教学模式元、解题教学模式元的有机组合，完成本节课的教学。
二、合乎情理探索发现
（一）、切线长定义
1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长）
（2）定义中的“线段”具有什么特征？
① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。
九年级英数学下册【教案】切线长
切线长教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。
教学重点：理解切线长定理。
教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。
教学过程：一、复习引入：1．切线的判定定理和性质定理．2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？二、合作探究1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。
OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？从上面的操作及圆的对称性可得：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（2）几何证明．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．证明：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．三、巩固练习1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。
PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____（2）若PO=10，AO=6，则PB=____（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、 A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB 于C、D两点。
（1）若PA=12，则△PCD周长为____。
（2）若△PCD周长=10，则PA=____。
（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠AMB=____3、如图Rt△ABC的内切圆分别与AB、AC、BC、相切于点E 、D、F，且∠ACB=90°，AC=3、BC=4，求⊙O的半径。
九年级数学下册 3_7 切线长定理导学案(新版)北师大版
AOB P第三章圆第7节切线长定理【学习目标】1、了解切线长的概念．2、理解切线长定理【学习重难点】能熟练运用相关性质解决问题【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、直线和圆的位置关系有哪些？它们所对应的数量关系又是怎样的？判断直线与圆相切有哪些方法？2、您知道角平分线的性质和判定定理吗？二、自主学习看书94页—95页后，解答下列问题：1、切线长概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的条切线，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的夹角。
即：如上中，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，则PA= ，∠APO= 。
试证明：3、内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，它的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的三角形实践练习:如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．【我的疑惑】模块二合作探究探究1、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm,求AE、BD、CF的长。
探究2、如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．•A B P C E F •O B A C PO模块三、小结反思1.本课知识：（1）、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆；内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。
（2）、内心的性质：（3）、如何作△ABC 的内切圆？2.方法：模块四： 形成提升 1、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ， EF 切⊙O 于C 点，分别交PA 、PB 于点E 、F ，已知PA=7cm ，则△PEF 的周长等于________． 2、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=_________．【拓展延伸】1、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，连接PO 与⊙O 相交于C ，连接AC 、BC ，求证：AC=BC ．2.如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．组长评价：你认为该成员这一节课的表现：（A）很棒( B)一般(C) 没发挥出来(D)还需努力.家长签名：。
九年级数学下册《切线长定理》教案、教学设计
2.教学过程：
（1）导入：通过一个生活实例，如圆形跑道的修建问题，引出切线长定理，激发学生兴趣。
（2）探究：引导学生观察几何图形，提出猜想，尝试证明切线长定理。
（3）讲解：对切线长定理的证明过程进行详细讲解，强调几何逻辑推理的重要性。
九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的性质、三角形的基本概念有了一定的了解。在此基础上，学习切线长定理，他们能够更好地理解圆与三角形之间的关系，将所学知识进行拓展和深化。然而，学生对切线长定理的理解和应用可能还存在一定难度，特别是定理的证明过程和在实际问题中的应用。
考虑到学生的认知发展水平，他们对抽象几何关系的理解仍有待提高，因此，在教学过程中，应注重从直观到抽象的过渡，通过丰富的实例、生动的语言和形象的表达，帮助学生建立起切线长定理的直观形象。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏独立思考和创新能力，需要教师在教学过程中给予适当的引导和鼓励。
5.写作任务：结合切线长定理的学习，撰写一篇数学小论文，主题为“切线长定理在实际生活中的应用”。
要求：论文内容要具有实际意义，结构清晰，论据充分。通过写作，培养学生的数学表达能力和创新意识。
6.家长参与：鼓励学生与家长一起探讨切线长定理在实际生活中的应用，共同完成一道实践题。
要求：家长参与学生的数学学习，增进家校合作，提高学生的学习兴趣和积极性。
（4）应用：设计不同难度的练习题，让学生运用切线长定理解决问题，巩固所学知识。
（5）拓展：引导学生探索切线长定理在解决实际问题中的应用，如设计最优路线等。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与度、合作交流、思考过程等，给予及时的反馈和鼓励。
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。
2.运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。
3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.圆规、直尺、彩色粉笔。
3.练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。
然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。
同时，解释切线长定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。
九年级数学下册 3.7 切线长定理教案1 北师大版(2021年整理)
九年级数学下册3.7 切线长定理教案1 （新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册3.7 切线长定理教案1 （新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学下册3.7 切线长定理教案1 （新版）北师大版的全部内容。
课题：3。
7切线长定理教学目标:1. 通过作图、观图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系。
2.经历探索切线长定理的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力。
3．应用切线长定理进行相关的计算和证明.教学重、难点：重点：切线长定理的推导过程及运用.难点:综合运用切线长定理进行有关的证明和计算。
课前准备:课件、实物投影仪、圆规、三角板、导学案.教学过程:一、创设情境，引入新课活动内容：上节课我们认识了圆的切线，知道过⊙O上任一点A都可以作一条切线,•并且只有一条.那么过圆外一点可以画几条切线？它们之间又有什么关系呢?想知道答案就一起进入今天的课堂学习.1.根据条件画出图形已知⊙O外一点P,过点P作⊙O的切线，可以画圆的条切线？你有几种方法?P处理方式：学生小组合作，尝试作图。
师巡视指导，参与到学生的活动中.待多数小组完成后,选个别小组展示交流作法.师再播放课件小结作图方法。
最后，引导学生发现过圆外一点只能画2条切线.设计意图:由学生作图，体验如何过圆外一点画圆的切线的方法和条数，为下面的学习做好经验和事实铺垫。
二、合作探究，感悟新知活动2：认识切线长如图1，是我们所画的图形,PA，PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，我们把线段PA,PB叫做点P到⊙O的切线长．图1问题1：切线长是如何定义的?问题2：观察图形，切线与切线长是一回事吗?它们有什么区别和联系？处理方式:问题1可以先让学生回答，如：圆外的点和切点的线段叫做切线长；过圆外一点做圆的切线，这个点和切点的线段叫做切线长等.此时，师生补充纠正共同得出的定义。
北师大版九年级数学下册教案：3.7-切线长定
*3.7 切线长定理1．理解切线长的定义；(重点)2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)一、情境导入如图①，P A为⊙O的一条切线，点A 为切点．如图②所示，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为点B，这里，OB是⊙O的一条半径，PB是⊙O的一条切线．图中P A与PB、∠APO与∠BPO有什么关系？二、合作探究探究点：切线长定理【类型一】利用切线长定理求线段的长如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线P A、PB，切点分别是点A和点B，如果∠APB＝60°，线段P A＝10，那么弦AB的长是()A．10B．12C．5 3D．10 3解析：∵P A、PB都是⊙O的切线，∴P A ＝PB.∵∠APB＝60°，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A＝10.故选A.方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据，经常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】利用切线长定理求角的度数如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OP A的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA ⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠P AO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易证△POA≌△POB，∴∠OP A＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】利用切线长定理求三角形的周长如图，P A、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．解析：连接OA，根据切线的性质定理，得OA⊥P A.根据勾股定理，得P A＝12，再根据切线长定理即可求得△PDE的周长．解：连接OA，则OA⊥P A.在Rt△APO 中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得AP＝12cm.∵P A、PB、DE是⊙O的切线，∴P A＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE 的周长PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE ＝PD＋DA＋EB＋PE＝P A＋PB＝2P A＝24cm.方法总结：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型四】利用切线长定理解决圆外切四边形的问题如图，四边形ABCD的边与圆O 分别相切于点E、F、G、H，判断AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系，并说明理由．解析：直接利用切线长定理解答即可．解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC ＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.方法总结：由切线长定理可以得到一些相等的线段，一定要明确这些相等线段．记住“圆外切四边形的对边之和相等”，对我们以后解决问题有很大帮助．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型五】切线长定理与三角形内切圆的综合如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA 分别相切于点D、E、F.(1)求证：BE＝CE；(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O 的半径．解析：(1)利用切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，进而得出BD＝CF，即可得出答案；(2)首先连接OD、OE、OF，进而利用切线的性质得出∠ODA＝∠OF A＝∠A＝90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．(1)证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE ＝CE；(2)解：连接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA＝∠OF A＝∠A＝90°.又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形．设OD＝AD＝AF＝r，则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝AB2＋AC2＝2 2.又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝22，得r＝2－2，∴⊙O的半径是2－2 .方法总结：本题综合考查了正方形的判定以及切线长定理和勾股定理等知识，解决问题的关键是得出四边形ODAF是正方形．【类型六】利用切线长定理解决存在性问题如图①，已知正方形ABCD的边长为23，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点(P不与M，D重合)，以AB 为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC 于点F，切点为E.(1)除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线)?(2)求四边形CDPF的周长；(3)延长CD，FP相交于点G，如图②所示．是否存在点P，使BF·FG＝CF·OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．解析：(1)根据切线长定理得到FB＝FE，PE＝P A；(2)根据切线长定理，发现该四边形的周长等于正方形的三边之和；(3)若要满足结论，则∠BFO＝∠GFC，根据切线长定理得∠BFO＝∠EFO，从而得到这三个角应是60°，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30°的直角三角形的知识进行计算．解：(1)FB＝FE，PE＝P A；(2)四边形CDPF的周长为FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋P A＋BF＝BF＋FC＋CD＋DP＋P A＝BC＋CD＋DA＝23×3＝63；(3)假设存在点P，使BF·FG＝CF·OF.∴BFOF＝CFFG.∵cos∠OFB＝BFOF，cos ∠GFC＝CFFG，∴∠OFB＝∠GFC.∵∠OFB ＝∠OFE，∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°，∴在Rt△OFB中，BF＝OBtan∠OFB＝OBtan60°＝1.在Rt△GFC中，∵CG＝CF·tan ∠GFC＝CF·tan60°＝(23－1)×3＝6－3，∴DG＝CG－CD＝6－33，∴DP＝DG·tan∠PGD＝DG·tan30°＝23－3，∴AP＝AD－DP＝23－(23－3)＝3.方法总结：由于存在性问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算．一般思路是：假设存在——推理论证——得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出“不存在”的判断．三、板书设计切线长定理1．切线长的概念2．切线长定理3．切线长定理的应用在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.割圆术数学意义：“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。
数学九年级下册《切线长定理》教案
3.7切线长定理【教学内容】切线长定理 【教学目标】知识与技能 理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题；过程与方法 学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理的对比，培养学生分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学中相关定义的区别与联系。
从而发现事物之间的相互联系。
【教学重难点】重点：切线长定理及其应用。
难点：切线长定理及其应用 【导学过程】【知识回顾】1.什么是切线？切线的判定和性质是什么？2.什么是三角形的内切圆？什么是内心？它是什么的交点？ 【情景导入】过圆上一点作圆的切线如何做？如果我们过圆外一点画圆的切线，能画几条？试试看？ 【新知探究】 探究一、经过圆外一点可作圆的 ，这点和切点之间的 ，叫做这点到圆的 . 如图1，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，点A ，B 为切点，把线段 PA ，PB 的长叫做点P 到⊙O 的（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）找出图形中相等的线段，并说明理由。
注意：切线和切线长的区别：切线是 线，不可度量，而切线长是线段， 度量.探究二：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分_______________． 几何语言：PA PB 、是⊙O 的两条切线_____________,________________ .（2）如何证明切线长定理呢？已知：如图2，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB． 证明：（3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形.（图2）AB OA BO探究二、四边形的四边都与⊙O 相切，则它相对的两边有何关系？与同伴进行交流。
九年级数学下册 2.2 切线长定理学案(新版)浙教版
九年级数学下册 2.2 切线长定理学案（新版）浙教版2、2切线长定理学习目标：1、、通过操作经历切线长定理的探索过程。
2、会用切线长定理进行简单的推理论证和有关计算。
即看见从圆外一点引了圆的两条切线能得到有关的直接结论与间接结论。
3、能掌握本节课的常见重点图形。
4、通过完成自主探究的5明白探索结论型的题目的思路是观察，猜想，证明。
5、通过完成自主探究的6明白几何题目可以用代数法（方程思想）解决。
学习过程：一自主探究，明确疑难。
1，操作。
在一张纸上画一个⊙O，在⊙O上任取一点A，过点A作⊙O的切线PA，再沿直线PO将⊙O对折，设⊙O上与点A重合的点为 B，然后将纸展开铺平，连接PB，OA，OB。
2提出问题。
由1可知道（1） OB是⊙O的一条半径吗？（2） PB是⊙O的一条切线吗？（3）经过点P的切线有几条？那么是不是过圆外一点可以引圆的两条切线？（4）你发现PA,PB的长有什么关系？（5）∠APO 与∠BPO相等吗？（6）上述结论的理由是什么？3、掌握概念：点到圆的切线长。
如图1直线PA是过圆外一点P的圆的切线，点A是切点，则线段PA的叫做点P到圆的切线长。
图1 图2 图34 如图2，P是圆外一点，PA,PB是圆的两条切线，，由1,2可以得到PA= ，∠APO= 由此可以得到切线长定理：几何语言是∵ ∴5、小组合作交流：如图3，P是圆外一点，PA,PB是圆的两条切线，A,B是切点，我们知道AP=BP，∠APO=∠BPO，你还可以推出哪些结论？（白板展示小组合作的要求）6 小组合作交流：如图△ABC 的内切圆⊙O与BC， CA， AB 分别相切与点 D，E， F ，且BC=a AC=b AB=c 则BD= 图4二交流展示，形成规律。
1、交流学习成果小组展示（语言及掌声鼓励与小组分数奖励）2、补充完善，揭示规律。
教师点拨（重点强调应用）1、切线长定理（直接结论2个与多个间接结论，有关的辅助线3条）2、自主探究的5明白探索结论型的题目的思路是观察，猜想，证明3、自主探究的6明白几何题目可以用代数法（方程思想）解决三运用规律巩固新知1、初步应用（1）如图5，P是圆外一点，PA,PB是圆的两条切线，A,B是切点，∠APO=350，，则∠APB= PA=10 则PB= 。
3.1《切线长定理》教案
2.发展学生的逻辑推理能力：在证明和应用切线长定理的过程中，训练学生运用严密的逻辑推理，学会用几何语言表达几何关系，提高几何证明能力。
3.增强学生的数学建模意识：引导学生将切线长定理应用于解决实际问题，培养数学建模意识，提高解决实际问题的能力。
实践活动环节，分组讨论和实验操作进行得相当顺利。学生们在讨论中积极思考，互相交流，展示环节也能看出他们对于切线长定理的理解和应用。但我也注意到，有些小组在解决问题时，思路不够开阔，容易陷入定式思维。因此，我需要在今后的教学中，多设计一些开放性问题，引导学生从多角度思考问题。
学生小组讨论环节，大家围绕切线长定理在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。在这个过程中，我发现有些学生能够提出很有见地的观点，但也有一些同学发言不够积极。为了提高全体同学的参与度，我考虑在下次课中采用一些激励措施，如表扬积极发言的学生，以提高他们的积极性。
-与相似三角形知识的综合应用：如何将切线长定理与相似三角形的性质相结合，解决更复杂的几何问题，是学生学习的难点。
举例解释：
-在讲解切线长定理的证明时，引导学生从圆的半径、弦、切线等基本概念出发，运用几何图形和逻辑推理进行证明。
-在解决实际问题时，教师应引导学生分析问题，找出关键信息，并运用切线长定理进行求解。
3.1《切线长定理》教案
一、教学内容
本节课选自教材九年级下册第3章第1节《切线长定理》。教学内容主要包括以下几部分：
1.探索并理解切线长定理：通过直观演示和实际操作，引导学生发现并理解切线长定理，即从圆外一点引两条切线，切线长相等。
2.掌握切线长定理的应用：学会运用切线长定理解决相关问题，如求线段长度、证明线段相等等。
(九年级数学教案)切线长定理的教案
切线长定理的教案
九年级数学教案
课题:切线长定理
20.2.2直线与圆的位置关系(第3课时)教学设计
教学任务分析
教学目标
知识技能
(1)掌握切线长定理及其应用;
(2)了解三角形内切圆、内心的概念,会作三角形内切圆。
数学思考
(1)经历探索切线长定理的过程;
(2)体会应用内切圆相关知识解决问题,从而渗透转化思想和方程思想。
解决问题通过经历探索切线长定理的过程,发展探究意识和体会并实践“实验几何--论证几何” 的探究方法。
应用内切圆知识发展解决实际问题能力情感态度通过情境景设置引发学生求知欲。
通过应用内切圆相关知识解题体会把复杂问题转化为简单问题后易于解决,从而树立解决问题的信心。
九年级数学切线长定理教案
直线和圆的位置关系姓名切线长定理和弦切角定理学习目标：1．了解切线长概念，探索过圆外一点向圆引的两条切线的切线长之间的关系；2．了解弦切角概念，理解并掌握弦切角定理；本节重点切线长定理的应用和弦切角定理的应用．难点探索圆的切线长定理和弦切角定理。
知识储藏1．切线定义和圆公共点的直线是圆的切线；过的直线是圆的切线。
2.切线的性质：圆的切线过的半径。
3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于；4.圆周角定理的推论：推论1、或所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的相等；推论2、或所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是。
教材学习1.切线长：过圆上一点可以做条切线，过圆外一点可以做条切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
如图，线段PA、PB的长。
2．切线长定理：如下图，易证Rt△PAO≌Rt△PBO，故有PA=PB，∠APO=∠BPO。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角。
3.弦切角是指顶点在圆上，一边与圆相交、另一边和圆相切的角；4.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．5.弦切角定理推论：如果两个弦切角所夹弧相等，那么这两个弦切角也相等．典型例题例1．如图，P为⊙0外一点，PA切⊙0于A，PB切⊙0于B，BC为直径，求证：AC//0P. 变式．如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D,CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED.(1〕探索OC 与ED的位里关系，并加以证明；(2〕假设OD=4，CD=6，求tan∠ADE的值．例2．如图，PA、PB切⊙0于A、B，PA=PB=4，∠APB=40º，C 是弧AB 上任意一点，过C作⊙0的切线分别交PA、PB于D、E, 求：(1〕△PED的周长；(2〕∠DOE的度数。
例3．：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C,BD⊥PD,垂足为D，与圆相交于E，连接BC。
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理及其应用。
切线长定理是数学中的一个重要定理，它揭示了圆的切线与圆内接四边形的关系。
通过学习本节课，学生能够理解和掌握切线长定理，并能够运用它解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，他们已经学习了直线、圆等基本几何图形，并对这些图形的性质有一定的了解。
但是，对于切线长定理这样的抽象定理，学生可能难以理解和运用。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考等活动，逐步理解和掌握切线长定理。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决一些与圆有关的问题。
2.培养学生的观察能力、操作能力和思维能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：理解和掌握切线长定理。
2.难点：运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、操作、思考等活动，发现切线长定理的规律。
2.情境教学法：创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣和积极性。
3.合作学习法：鼓励学生之间相互讨论、交流，培养学生的合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料和道具，如圆、直尺、量角器等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设一个与圆有关的生活情境，如圆桌、圆形操场等，引导学生思考与圆有关的问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过展示一些与圆有关的实际问题，如圆的切线与圆内接四边形的关系，引导学生观察和思考。
3.操练（10分钟）教师引导学生通过实际操作，如用直尺和量角器测量圆的切线长度，让学生亲身体验和理解切线长定理。
4.巩固（10分钟）教师提出一些与切线长定理相关的问题，让学生进行解答，巩固对切线长定理的理解和运用。
【核心素养】北师大版九年级数学下册3.7 切线长定理 教案(表格式)
*3.7 切线长定理教学内容*3.7 切线长定理课时1核心素养目标1.了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；2.在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题，培养学生的直观想象、逻辑推理方面.知识目标1．理解切线长的定义；2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．教学重点理解切线长的定义.教学难点掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知三、当堂练习，巩固所学一、创设情境，导入新知1. 直线和圆有哪些位置关系？相离、相交、相切.2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法)(1) 数量关系法(证明d = r)；(2) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.师生活动：学生在老师带领下，不仅对上节课的知识点进行复习，同时对学习过的方法、过程进行自我总结和升华.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：切线长的定义探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点P，你能过点P画出⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？学生迅速抢答：过圆外一点可以作一条、两条，还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求学生动手操作，教师巡视发现问题.过圆外一点能画出两条圆的切线.知识要点1. 切线长的定义：经过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系，同时设计意图：现温故旧知并且提高的目的，同时为“知新”打下基础.设计意图：通过切线长概念的探究过程，使学生了解切线长的定义，并能在具体的图形中把它们识别出来。
设计意图：对话式的定理教学的方式有利于激发学生的自主探索，加深对定义的理解。
设计意图：学生通过猜想、验证，经历了一个自主探究的过程，从而激发学生的学习兴趣，发现切线长定理.证明定理是为了培养学生的数学思维能力，“知其然并知其所以然”.培养学生合情推理能力、语言表达能力.设计意图：通过探究，使学生对切线长定理有了更深刻的理解，同时利用切线长定理的拓展也提高了学生分析问题、解决问题的综合能力.设计意图：本节课的例题设计紧扣这堂课的知识点，通过对例题的解答，dlrO由这个结论教师适时引出探索问题： 2. 切线长与切线的区别在哪里？ ⊙ 切线是直线，不能度量.⊙ 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 知识点二： 切线长定理 合作探究如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点. (1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？学生分析：是轴对称图形，对称轴是直线 OP . (2) 在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.猜想：PA = PB.学生猜想两条切线长PA 与PB 的数量关系，并分组讨论： 证明猜想：已知：如图， PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点.求证：PA = PB.证明：连接 OA 、OB. ⊙PA ，PB 是⊙O 的切线， ⊙⊙PAO = ⊙PBO = 90°.在 Rt⊙POA 和 Rt⊙POB 中， ⊙ OA = OB ，OP = OP ， ⊙ Rt⊙POA⊙Rt⊙POB. ⊙ PA = PB. 合作探究思考 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？猜想：⊙APO = ⊙BPO试题问：如何验证我们的猜想是否正确？ 测量，翻折，类比上述方法求证. 师生活动：学生在老师的引导下学生对上述过程总结，得出切线长定理，口述得到的结论，口述证明过程.师生共同总结：切线长定理 过圆外一点可以引圆的两既巩固了本节课的重点，又培养了学生灵活应用切线长定理的能力.设计意图：通过两道练习题，加强对切线长定理的理解和运用.设计意图：通过练习，强化学生主动参与、合作交流的意 识，从中获取知识，并会举一反三。
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切线长
一、教学目标：
1.能准确应用切线长定理去解决有关计算题、证明题。
二、新课讲授：
（一）切线长定理：
1.复习：直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？
2.从上面的问题我们可以看出，过⊙O上任一点A都可以作条切线，•并且条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．问题：请你拿出一张纸，在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？我们把，，叫做这点到圆的切线长。
如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，
∠OPA=∠OPB．
由此我们得到：。
例1.已知PA、PB分别切⊙O于A、B两点，C是AB上任一点，
过C作⊙O•的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为
12，则PA长为多少？
练习：
1. 如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB//CD，若OB ＝6cm，OC＝8cm，则∠BOC＝__________， BE+CG= ，⊙O的半径是_________。
2. 如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P
是圆上异于B、C的一动点，•则∠BPC的度数为。