高一数学第8-13节课教案

高一数学第8节课教案

授课老师： 班级：高一（8,9）班 时间：2011年3 月 7 日

§1.2 应用举例（四）

教学目标：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题

教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题

教学用具：直角板，测角仪器。 教学方法：启动法，练习法。 测试题：

填空题，（1）在∆ABC 中,已知BC=8，AC=5,C=60︒ AB_____, 选择题，（2）在△ABC 中，已知a ²=b ²+bc+c ²，则角A 为（ ） A.60º B.30 º C.120 º D.60 º或120 º （3）第15页练习第三题

教学过程:题导入

[创设情境]

提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。 Ⅱ.讲授新课

例1、在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）

（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5︒（2）已知B=62.7︒,C=65.8︒,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

解：（1）应用S=21

acsinB ，得 S=2

1

⨯14.8⨯23.5⨯sin148.5︒≈90.9(cm 2) (2)根据正弦定理，

B

b s i n = C c

sin c = B

C b sin sin

S =

21bcsinA = 21

b 2B

A C sin sin sin A = 180︒-(

B + C)= 180︒-(62.7︒+ 65.8︒)=51.5︒

S = 2

1⨯3.162⨯︒

︒︒7.62sin 5.51sin 8.65sin ≈4.0(cm 2

) (3)根据余弦定理的推论，得

cosB =ca b a c 2222-+ =4

.417.3823.274.417.382

22⨯⨯-+≈0.7697

sinB = B 2cos 1-≈27697.01-≈0.6384 应用S=2

1acsinB ，得S ≈

2

1

⨯41.4⨯38.7⨯0.6384≈511.4(cm 2) 例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）？ 师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，

cosB=ca b a c 2222-+ =68127288681272

22⨯⨯-+≈0.7532 sinB=≈-27532.010.6578

应用S=21acsinB S ≈2

1

⨯68⨯127⨯0.6578≈2840.38(m 2)

答：这个区域的面积是2840.38m 2。

例3、在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222C

B

A c b a +=+ （2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcosC ）

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用

正弦定理来证明

证明：（1）根据正弦定理，可设

A a sin =

B b sin = C

c

sin = k

显然 k ≠0，所以

左边=C k B k A k c b a 222222222sin sin sin +=+ =C

B

A 222sin sin sin +=右边 （2）根据余弦定理的推论，

右边=2(bc bc a c b 2222-++ca ca b a c 22

22-++ab ab

c b a 2222-+)

=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)

=a 2+b 2+c 2=左边

作业：

课后反思：

§1.3 实习作业

教学目标：

变式练习1：

已知在∆ABC 中，∠B=30︒,b=6,c=63,求a 及∆ABC 的面积S

提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 答案：a=6,S=93;a=12,S=183

变式练习2：

判断满足下列条件的三角形形状，（1）acosA = bcosB （2）sinC =

B

A B

A cos cos sin sin ++

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” （1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。

生1：（余弦定理）得a ⨯bc a c b 2222-+=b ⨯ca

b a

c 22

22-+

∴c 44222)(b a b a -=-=))((2222b a b a -+ ∴22222b a c b a +==或 ∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,

∴sin2A=sin2B,

∴2A=2B, ∴A=B

∴根据边的关系易得是等腰三角形

师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？

生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A 与2B 两个角互补，即2A+2B=180︒，A+B=90︒