《常微分方程》第二章 一阶微分方程的初等积分法
常微分方程小结
常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。
初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。
例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。
故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。
现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。
常微分方程第二章第一讲
2.1.2 可化为变量分离方程的类型
引言 有的微分方程从表面上看，不是可分 离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替 换，就可以很容易地化为“变量分离方程”， 在这里，介绍两类这样的方程。 1. 齐次方程
1)方程的类型
定义
dy y g ( ) (2.5) 的方程，称为齐次 dx x 微分方程，这里 g (u ) 是 u 的连续函数。 14
dy ( y) f ( x)dx C (2.2)
可以证明这就是方程(2.1)的通解.
2)如果存在 y0， ( y0 ) 0, 则方程（ .1 使 2 ）还有特解
y y0
(**)
微分方程(2.1)的所有解为：式(2.2)和(**).
注意：积分常数C 的相对任意性。
7
3.变量分离方程的解题步骤
即 1 , 2 1 ,
则 ON OM ,
PM 而 tan 2 , OP ON
_____ _____
则有 y'
y x x y
2 2
.
上述方程为齐次微分 方程，可用变量变换 法求解。
27
小结 1.变量分离方程的形状 dy f ( x) ( y )或M 1 ( x) N1 ( y ) dx M 2 ( x) N 2 ( y ) dy 0 dx 2.变量分离方程的求解：分离变量法 步骤：分离变量，两边积分，检查是否有遗漏的特解
2
(*)
23
分离变量，得 dX 1 u du 2 X 1 2u u 两边积分，得 ~ 2 2 ln X ln | u 2u 1 | C
即X (u 2u 1) C1 (C1 e ), 此外容易验证 u 2 2u 1 0 亦为方程（*）的解，因此方程(*)的通解为 X 2 (u 2 2u 1) C1， 其中C1为任意常数。
常微分第一二章
u2070C
例2.解析几何模型
求一曲 线线 上， 任 (x设 y,)一 处 在 点 的 曲 切线斜
该点横2倍 坐， 标并 的且该 (1曲 .,2)线经过点
解 (1)依据: 曲y线 y(x)导数的几 — — 何 d是 y意曲 义线
dx 在 (x,y)处的切线斜率
(2)数学模型
dy dx
2x .
4. 40学时的初步分配：
第一、二章：用6次课;（穿插课堂习题）
第 三 章：用4次课;
第 四 章：用6次课;
第 五 章：用4次课.
第二章 一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程
六种解法（工具箱）
显式
dy f (x, y), d(x导数已解出
)
（M对( x称, y形)d式x） N ( x, y)dy 0
3. 重视应用，重视计算，重视解题格式； 4. 适度减弱教材中某些理论证明，补充工程中常用 的，工程师喜用的解题方法.
学习要求
1. 准确、熟练地掌握基本概念、基本解法，了解 相关的基本理论. 2. 初步学会由实际问题建立数学模型、求解、再 回到（解释、解决）实际问题的方法.
3. 认真听好课，及时预习和复习;上好习题课，按 质、按量及时完成作业.
y | x 1 2
(3)求解
通解： yx2 c
曲线族
特解： yx2 1 过(1,2)满足题意的一条曲线
例3.单摆运动数学模型
一根长为l 的细杆，一端联结一个质量为m 的球M, 另
一端悬挂在O点，若不计细杆的质量，在重力的作用下细
杆在某一铅直平面上摆动，求摆球的运动规律.
解 (1)物理依据：牛顿第二定律——Fma
画出方程 dy x2 y2 的线素场，并近似地描出积分曲
2. 初等积分法
z = y1−n
得
dz dx
=
(1 − n)P (x)z
+
(1 − n)Q(x)
(2.18)
这是关于z与x的一阶线性方程。利用线性方程的通解公式求出通解后，再将z = y1−n代
回，便得Bernoulli方程的通解。
注2 如果n > 0，则y = 0也是Bernoulli方程的一个解。
【例12】
求方程
第二章 初等积分法
本章，介绍一阶微分方程的初等积分法。所谓初等积分法，是将微分方程的求解问 题转化为积分问题的方法。
2.1 分离变量法
分离变量法是一种直接求解的方法，是解微分方程的重要方法之一。
定义
2.1
如果一阶微分方程
dy dx
= f (x, y)中的函数f (x, y)可以写成f (x, y) = g(x)h(y)
1 − y2
求解方法：变量替换法 令
u
=
y x
(2.4)
则u是x的函数。为了消去y，将(2.4)变形为y = xu，再两边同时对x 求导，得
dy dx
=
d(xu) dx
=
u
+
x
·
du dx
结合方程(2.3)，有 即
u
+x
·
du dx
=
f (u)
du dx
=
f (u) − u x
(2.5)
这是关于u与x的变量分离方程。按2.1的方法求解，然后再将
dy dx
=
f
(
k(a2x + b2y) + c1 (a2x + b2y) + c2
)
常微分方程第二章
第二章 基本定理我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville ）证明了里卡蒂（Riccati ）方程)0)(()()()(2≠++=x p x r y x q y x p dydx 除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程22y x dxdy +=就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题. 本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.2.1 解的存在唯一性定理对于一般的常微分方程),(y x f dxdy = （2.1） 如果给出了初始条件00)(y x y =，我们就得到了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy （2.2） 这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.2.1.1 存在唯一性定理的叙述定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数),(y x f 在闭矩形区域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-00002,:上满足如下条件：（1）在2R 上连续；（2）在2R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数N ，使对于2R 上的任何一对点),(y x 和),(x 有不等式：y y N y x f y x f -≤-),(),(则初值问题（2.2）在区间],[0000h x h x +-上存在唯一解00)(),(y x x y ==ϕϕ 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==. 在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明：1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数N 难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数),(y x f 在闭矩形区域2R 关于y 的偏导数),(y x f y '存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为),(y x f y '有界，故设N y x f y ≤'),(，对2),(),,(R x y x ∈∀，由拉格朗日中值定理得：y y N y y x f y x f y x f y -≤-'=-),(),(),(ξ我们验证),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上连续.由闭区域上连续函数的性质知：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：),(y x f y '在2R 上连续⇒),(y x f y '在2R 上存在且有界⇒李普希兹条件2、在定理2.1的结论中，解)(x y ϕ=的存在区间为],[0000h x h x +-，其中 ),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.为什么解的存在区间不是],[00a x a x +-呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域2R ，方程的解)(x y ϕ=不能超出2R 的范围，又因为),(max ),(y x f M Ry x ∈=，所以M y x f M ≤≤-),( 即 M dxdy M ≤≤- 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)(y x y M dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==00)(y x y M dx dy 得：001)()(y x x M x y +--=，002)()(y x x M x y +-= 因此)()()(21x y x y x y ≤=≤ϕ，即)(x y ϕ=夹在)(1x y 与)(2x y 之间.又，)(1x y 与)(2x y 在2R 上的存在区间为],[0000h x h x +-，故)(x y ϕ=的存在区间也是],[0000h x h x +-.2.1.2 存在性的证明首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解)(x y ϕ=，等价于求解积分方程⎰+=xx d y f y y 0))(,(0ξξξ （2.3） 事实上，如果)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解，即有))(,()(x x f x ϕϕ='且00)(y x =ϕ从0x 到x 积分得：⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 即)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解.反过来，如果)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解，即有⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 则00)(y x =ϕ且))(,()(x x f x ϕϕ='即)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解.经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.下面用皮卡（Picard ）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：1、构造近似函数列{})(x n ϕ任取一个满足初值条件00)(y x y =的函数)(0x y ϕ=作为首项（初始项），并要求在2R 上的存在区间为：],[0000h x h x +-，简单起见，取00)(y x =ϕ，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用)(1x ϕ表示，并称为一次近似，即⎰+=xx d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ 再将)(1x ϕ代入方程（2.3）的右端就得到二次近似⎰+=xx d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ 序行此法，可以得到n 次近似⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有2))(,(R x x n ∈ϕ，即当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ 下面用数学归纳法证明b y x n ≤-0)(ϕ.显然，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y y y x ≤=-=-0)(0000ϕ假设，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y x n ≤--01)(ϕ，那么，对于)(x n ϕ有⎰-=-xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 从而有b Mb M Mh x x M d f y x xx n n =≤≤-≤≤-⎰-00100))(,()(ξξϕξϕ 由数学归纳法知，当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ这样，我们就可以得到一个近似函数列{})(x n ϕ.2、证明近似函数列{})(x n ϕ在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.由于无法得到{})(x n ϕ的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列{})(x n ϕ的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数+-++-+-)]()([)]()([)(1010x x x x x n n ϕϕϕϕϕ （2.4） 它的部分和是)()]()([)]()([)()(10101x x x x x x x S n n n n ϕϕϕϕϕϕ=-++-+=-+因此，证明{})(x n ϕ的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.首先研究级数（2.4）的通项)(x n μ⎰=-xx d f x x 0))(,()()(001ξξϕξϕϕ 即⎰=-xx d y f y x 0),()(001ξξϕ 所以00010),()(x x M d y f y x x x -≤≤-⎰ξξϕ 因为⎰+=x x d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ，⎰+=x x d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ，所以 ⎰-≤-x x d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ由李普希兹条件，得 !2)()()()(200011200x x MN d x MN d N x x x x x x -=-≤-≤-⎰⎰ξξξξϕξϕϕϕ 下面用数学归纳法证明!)()(011n x x MN x x nn n n -≤---ϕϕ 显然，2,1=n 的时候，不等式成立（上面已经给出）， 假设!)()(011n x x MN x x n n n n -≤---ϕϕ成立，那么对于1+n 的情形有 )!1(!)()())(,())(,()()(100111000+-=-≤-≤-≤-+--+⎰⎰⎰n x x MN d n x MN d N d f f x x n n x x n n xx n n x x n n n n ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ由数学归纳法知，对一切自然数n ，均有!)()(011n x x MNx x nn n n -≤---ϕϕ 又00h x x ≤-，所以级数（2.4）的通项满足： !)(011n h MN v x n n n n -+=≤μ （ ,2,1=n ） 利用比式判别法，可知以n v 为通项的级数收敛，从而以)(x n μ为通项的级数(2.4)绝对收敛且一致收敛.又，每一个)(x n μ是连续的，所以级数（2.4）的和函数也是连续的，记为)(x ϕ，其存在区间也是],[0000h x h x +-.因此函数列{})(x n ϕ就收敛于)(x ϕ.3、证明)(lim )(x x n n ϕϕ∞→=是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.在⎰-+=x x n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ两端取极限，得到 ⎰-∞→∞→+=xx n n n n d f y x 0))(,(lim )(lim 10ξξϕξϕ 即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 所以)(x ϕ是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.2.1.3 唯一性的证明下面我们证明解的唯一性.在证明唯一性之前，先介绍一个重要的不等式，即贝尔曼（Bellman ）不等式.贝尔曼引理 设)(x y 为区间],[b a 上的非负连续函数，b x a ≤≤0.若存在,0≥δ 0≥k ，使得)(x y 满足不等式],[,)()(0b a x d y k x y xx ∈+≤⎰ττδ （2.5） 则有],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ证明 仅证明0x x ≥的情形，0x x ≤的情形类似.令)(x y 的原函数为⎰=xx d y x R 0)()(ττ，代入（2.5）得 δ≤-')()(x kR x R两边同时乘以积分因子)(0x x k e --，得)()(00)]()([x x k x x k e x kR x R e ----≤-'δ从0x 到x 积分得)()(00)(x x k x x k e e x kR -----≤δδ即)(0)(x x k e x kR -≤+δδ 由（2.5）知，)()(x kR x y +≤δ，所以],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ下面证明积分问题（2.3）的解的唯一性.假设积分问题(2.3)有两个解)(1x y 和)(2x y ，我们只需要证明：)(1x y )(2x y ≡，],[0000h x h x x +-∈事实上，因为⎰+=x x d y f y x y 0))(,()(101ξξξ，⎰+=xx d y f y x y 0))(,()(202ξξξ 所以有⎰-≤-xx d y f y f x y x y 0))(,())(,()()(2121ξξξξξ由李普希兹条件知⎰-≤-xx d y y N x y x y 0)()()()(2121ξξξ 令N k x y x y x y ==-=,0,)()()(21δ，由贝尔曼引理可知，0)(=x y ，即)(1x y )(2x y ≡. 这样，我们就完成了解的存在性与唯一性的证明.2.1.4 三点说明为了更好的理解和掌握解的存在唯一性定理，我们对该定理再做三点说明.1、在存在性的证明过程中，我们利用逐次逼近法构造了近似函数列{})(x n ϕ，其中首项为：00)(y x =ϕ，递推关系式为：⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ.该方法实际上给出了我们一种求初值问题（2.2）的近似解的方法，当用n 次近似解逼近精确解时，需要给出它的误差估计.事实上，有∑∑∞+=∞=+-≤-≤-101!)()()()(n k k k nk k k n k x x N N M x x x x ϕϕϕϕ 0)!1()(!)!1()(!10001010Nh n k k k n n k k k e n Nh N M k h N n Nh N M k h N N M +=+<≤+∞=+∞+=∑∑ 2、如果方程（2.1）是线性方程，即)()(x q y x p dxdy +-= 其中)(x p 和)(x q 在区间],[b a 上连续，这时，初值问题（2.2）在带型区域+∞<<-∞≤≤y b x a R ,:2满足定理2.1的条件.事实上，)()(),(x q y x p y x f +-=在2R 上连续，而且)(),(x p y x f y -='在2R 上也连续，所以),(y x f 关于变量y 满足李普希兹条件.这时，初值问题（2.2）的解存在且唯一，存在区间为],[b a .3、定理2.1中的李普希兹条件是保证解唯一的充分条件，那么这个条件是不是必要条件呢？回答是否定的，即李普希兹条件是解唯一的充分非必要条件.下面我们给出一个例子来说明李普希兹条件是解唯一的非必要条件，也就是说，即使李普希兹条件不成立，初值问题（2.2）的解也可能是唯一的.例1 试证方程0,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 经过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 由00,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 可得：0=y 或x Ce e y ±=. 任给xOy 平面上的一个点),(00y x ，只会对应0=y 或xCe e y ±=中的一个解，也就是说，过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.但是，我们有0ln ln )0,(),(-==-y y y y x f y x f 因为+∞=→y y ln lim 0，所以找不到0>N ，使得 0)0,(),(-≤-y N x f y x f从而方程右端函数在0=y 的任何邻域上不满足李普希兹条件，但是初值问题（2.2）的解却是唯一的，这说明李普希兹条件是非必要条件.习 题 2.11.试判断方程y x dx dy tan =在区域 （1）π≤≤≤≤-y x R 0,11:1；（2）44,11:2ππ≤≤-≤≤-y x R上是否满足定理2.1的条件？2.讨论方程3123y dx dy =在怎样的区域中满足定理2.1的条件.并求通过)0,0(的一切解.3.试用逐次逼近法求方程2y x dxdy -=满足初值条件0)0(=y 的近似解： )(),(),(),(3210x x x x ϕϕϕϕ并在闭矩形区域11,11:2≤≤-≤≤-y x R 给出三次近似的误差估计.4.利用逐次逼近法求方程22x y dxdy -=适合初值条件1)0(=y 的近似解： )(),(),(210x x x ϕϕϕ并在闭矩形区域111,11:2≤-≤-≤≤-y x R 给出二次近似的误差估计.5.试证明定理2.1中的n 次近似解)(x n ϕ与精确解)(x ϕ有如下的误差估计式：10)!1()()(+-+≤-n n n x x n MN x x ϕϕ 6.在条形区域+∞<≤≤y b x a ,内，假设方程（2.1）的所有解都唯一，对其中任意两个解)(),(21x y x y ，如果有)()(0201x y x y <，则必有b x x x y x y ≤≤<021),()(.7.讨论方程323y dx dy = 解的唯一性.2.2 延展定理和比较定理由解的存在唯一性定理，我们知道，初值问题（2.2）的解在满足一定条件的情况下存在且唯一，但是解的存在区间不是],[00a x a x +-，而是],[0000h x h x +- 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.如果M 比较大的话，则解的存在区间就非常小，这对我们研究解的性质产生了很大的局限性，只能在很小的范围内有解，当x 超出这个范围时，解的情况就不清楚了.为了解决这个问题，我们有下面的延展定理.2.2.1 延展定理定理2.2（延展定理）如果方程（2.1）的右端函数在区域R R D ⨯⊂上连续，且关于变量y 满足局部的李普希兹条件，即对于D 内的任一闭矩形区域都满足李普希兹条件，则对任何一点D y x ∈),(00，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=可以向左右无限延展，直到))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界.在给出定理的证明之前，先对“))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界”进行说明.当区域D 有界时，积分曲线向左右延展可以任意接近；当区域D 无界时，积分曲线向左、右延展，或者任意接近区域D 的边界（边界存在的话），或者无限远离坐标原点.证明 首先证明区域D 有界的情形.设区域D 的边界为D D L -=（D 为D 的闭包）.对于任意给定的正数ε，记L 的ε邻域为εU ，记L 的2ε邻域为2εU ，记L 的4ε邻域为4εU .则集合22εεU D D -=为闭集，且D D ⊂2ε，所以2εD 有界. 只要证明积分曲线可以到达2εD 的边界2εL ，由ε的任意性知，积分曲线就可以任意接近区域D 的边界L .事实上，以2εD 中的任意一点为中心，以4ε为半径的闭圆区域均包含在区域D 的内部.且在闭区域44εεU D D -=之内.从而，以2εD 中的任意一点为中心，以4221ε=a 为边长的正方形也在闭区域4εD 之内.记 ),(max 4),(1y x f M D y x ε∈= 则过2εD 的任意一点),(**y x 的积分曲线，必至少可在区间],[**h x h x +-上存在，其中)82,82min(),min(1111M M a a h εε==. 于是，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=每向左或向右延展一次，其存在区间就伸长一个确定的正数h ，由于2εD 有界，)(x y ϕ=经过有限次延展后一定可以达到2εD的边界2εL .于是也就可以任意接近区域D 的边界L .其次考虑区域D 为无界的情形.这时，我们可以用闭圆区域,2,1},),{(222=≤+=n n y x y x S n与区域D 取交集，令n n S D D =，则 ∞==1n n D D .由于n D 为有界的区域，根据前面的证明，我们可知，过n D 内任一点的积分曲线能够任意接近n D 的边界.因此，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=可以无限接近区域D 的边界.延展定理的证明，关键是第一步证明，也就是区域D 有界的时候，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=向左向右延展的时候，一定要做等速延展，即延展步幅h 是不变的. 例1 试讨论方程2y dxdy=通过点)1,1(的解和通过点)1,3(-的解的存在区间. 解 该题目中研究问题的区域D 为整个坐标平面xOy .方程右端函数满足延展定理的条件.由2y dxdy=可以解得方程的通解为 xC y -=1代入1)1(=y 得：2=C .故通过点)1,1(的解为xy -=21 它可以向左无限延展，而当-→2x 时，+∞→y ，所以通过点)1,1(的解xy -=21的存在区间为)2,(-∞.代入1)3(-=y 得：2=C .故通过点)1,3(-的解为xy -=21它可以向右无限延展，而当+→2x 时，-∞→y ，所以通过点)1,3(-的解xy -=21的存在区间为),2(+∞.这个例子说明，尽管),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，解上的点))(,(x x ϕ也能无限接近区域D 的边界，但是延展的方向却不一定是无限向右和向左，可能是向上或向下，从而导致解的存在区间不是),(+∞-∞. 例2 试证明：对任意的0x 及满足条件100<<y 的0y ，方程221)1(y x y y dx dy ++-=的满足条件00)(y x y =的解)(x y y =在),(+∞-∞上存在.证明：令221)1(),(y x y y y x f ++-=，则222222)1(122),(y x x y y x y y x f y ++--++=' 显然),(),,(y x f y x f y '在xOy 平面上连续，满足解的存在唯一性条件及延展定理的条件，而1,0==y y 是),(y x f dxdy=的解， 因此，满足00)(y x y =，100<<y 的解存在，而且可以无限延展到xOy 平面的边界，且不能穿过1,0==y y ，故只能向左右无限延展，所以，)(x y y =在),(+∞-∞上存在.该例题说明，),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，当方程的解不能穿过1,0==y y 时，它就不能向上向下无限延展了，只能向左、向右延展，所以解的存在区间就是),(+∞-∞.在这里，1,0==y y 控制了解的延展方向，使它按照我们的要求进行延展，因此就有了下面的比较定理. 2.2.2 比较定理我们在使用延展定理的时候，通常会和比较定理配合使用，从而起到控制延展方向的作用.下面介绍一下比较定理.我们在考察方程（2.1）),(y x f dxdy=时，通常将右端函数),(y x f 进行放缩的处理，比如),(),(),(21y x F y x f y x F <<这时，我们可以同时考察),(1y x F dx dy =和),(2y x F dxdy = 我们有如下的比较定理：定理2.3 （第一比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F <<设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ<<Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ>>Φϕ证明 仅证当0x x >时，)()(2x x Φ<ϕ，其它的情形相类似. 由比较定理的条件（1），初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解在0x 的某一邻域内存在且唯一，分别记为)(x y ϕ=和)(2x y Φ=，它们满足0020)()(y x x =Φ=ϕ令)()()(2x x x h ϕ-Φ=，则0)()()(0020=-Φ=x x x h ϕ且0))(,())(,()()()(0002020020>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ所以函数)(x h 在0x 的某一右邻域内是严格单调增加的.如果在0x x >时，0)(>x h 不是总成立，则至少存在一点01x x >，使得0)(1=x h ，且当10x x x <<时，0)(>x h ，因此在点1x 的左导数0)0(1≤-'x h ，这与0))(,())(,()()()(1112121121>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ矛盾.因此当0x x >时，0)(>x h 总成立，即)()(2x x Φ<ϕ.比较定理的应用，关键是),(1y x F 和),(2y x F 的选取，因为初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解)(x y ϕ=的存在区间的延展，受到)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的控制，即)(x y ϕ=夹在)(1x y Φ=和)(2x y Φ=之间.因此，我们必须能确定出)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的存在区间，这就是我们选取),(1y x F 和),(2y x F 的标准，即⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解)(1x y Φ=和)(2x y Φ=必须能够求得. 下面我们给出第二比较定理.定理2.4 （第二比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F ≤≤设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ≤≤Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ≥≥Φϕ习 题 2.21．设方程为),()(22y x f a y dxdy-= 假设),(y x f 及),(y x f y '在xOy 平面上连续，试证明：对于任意的0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.2.指出方程2)1(2xy e y dxdy -=的每一个解的最大存在区间，以及当x 趋于这个区间的右端点时解的极限.3.讨论方程xx dx dy 1cos 12-= 解的存在区间.4.设),(y x f 在整个平面上连续有界，对y 有连续偏导数，试证明方程),(y x f dxdy=的任一解)(x y ϕ=在区间+∞<<∞-x 上有定义. 5.讨论方程212-=y dx dy 的通过点)0,0(的解，以及通过点)3,2(ln -的解的存在区间.6.在方程)(y f dxdy=中，如果)(y f 在),(+∞-∞上连续可微，且 )0(0)(≠<y y yf ，求证方程满足00)(y x y =的解)(x y 在区间),[0+∞x 上存在，且有0)(lim =+∞→x y x .2.3 解对初值的连续依赖性定理和解对初值的可微性定理通过前两节的存在唯一性定理和延展定理，加上比较定理，我们知道了初值问题（2.2）在什么样的条件下，解是存在的，是唯一的，而且存在区间比较小的时候，通过延展定理和比较定理可以将解的存在区间变大，从而在实际问题中可以达到我们的要求.但是，在实际问题中，还有一个问题需要解决，那就是误差问题.我们的初始条件00)(y x y =如果产生了微小的偏差，这个偏差对我们的初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=会有什么影响呢？下面我们来解决这个问题. 我们在研究初值问题（2.2）的时候，习惯上把0x 和0y 当作常数来看待，这样初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=被看作x 的函数.实际上，如果0x ，0y 变化，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=也会发生变化.例如方程xydx dy = 经过点),(00y x 的解为x x y y 0=，可以看作00,,y x x 的函数.对于一般的情形，初值问题（2.2）的解也可以看作00,,y x x 的函数，记为),,(00y x x y ϕ=，代入00)(y x y = 得：0000),,(y y x x =ϕ.如果我们的初始条件00)(y x y =发生了微小的误差，变为了**0)(y x y =，初值问题（2.2）的解也变化不大的话，称解连续依赖于初值.下面我们给出连续依赖性的严格定义.定义2.1 设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==**0)(),(y x y y x f dxdy的解),,(*0*0y x x y ϕ=在区间],[b a 上存在，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ (δ的选取与,ε**0,y x 有关)，使得对于满足δδ<-<-*00*00,y y x x （2.2）的解),,(00y x x y ϕ=都在],[b a 上存在，且有],,[,),,(),,(*0*000b a x y x x y x x ∈<-εϕϕ则称初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在点),(*0*0y x 连续依赖于初值,0x 0y .定理2.4 （解对初值的连续依赖性定理）设),(y x f 在区域D 内连续，且关于变量y 满足李普希兹条件.如果D y x ∈),(*0*0，初值问题（2.2）有解),,(*0*0y x x y ϕ=,且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，则对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x证明 对于任意给定的正数ε，取εδ<<10，使得闭区域}),,(,),{(1*0*0δϕ≤-≤≤=y x x y b x a y x U整个含在区域D 内，这是可以做到的，因为区域D 是开区域，且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，所以，只要1δ的选取足够小，以曲线),,(*0*0y x x y ϕ=为中线，宽度为12δ的带形开区域U 就整个包含在区域D 内， 选取δ满足)(110a b N e M--+<<δδ其中N 为李普希兹常数，),(max ),(y x f M Uy x ∈=，同时还要求δ的选取，必须保证闭正方形δδ≤-≤-*0*02,:y y x x R含于带形开区域U 内.由存在唯一性定理知，对于任一200),(R y x ∈，初值问题（2.2）在0x 的某邻域上存在唯一解),,(00y x x y ϕ=，而且),,(00y x x y ϕ=在0x 的该邻域上可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(000000⎰+=而),,(*0*0y x x y ϕ=可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(*0*0*0*0*0*⎰+=对上述两式做差得：ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx x x )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*⎰⎰-+-=-ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx xx )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*0⎰⎰-+-≤-ττϕτττϕττϕτd y x f d y x f y x f y y x x xx |)),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000*0*0*00**0⎰⎰+-+-≤δττϕττϕτδM d y x f y x f xx +-+≤⎰|)),,(,()),,(,(|00*0*0*0ττϕτϕδd y x y x N M xx |),,(),,(|)1(00*0*0*0-++≤⎰由贝尔曼引理，得εδδδϕϕ<<+≤+≤---1)(*0*000)1()1(),,(),,(*a b N x x N e M e M y x x y x x因此，只要在),,(00y x x y ϕ=有定义的区间上，就有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .下面我们证明：),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.事实上，因为εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x即解),,(00y x x y ϕ=夹在εϕ+=),,(*0*0y x x y 和εϕ-=),,(*0*0y x x y 之间，而且，初值问题（2.2）满足延展定理的条件，所以，解),,(00y x x y ϕ=可以向左向右无限延展，直到无限接近区域D 的边界，于是，它在延展的时候，必须由直线a x =和直线b x =穿出区域U ，从而),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.解对初值的连续依赖性说明，初值),(00y x 无法准确得到，但是我们能得到测量数据),(*0*0y x ，只要误差比较小，即δδ<-<-*00*00,y y x x .我们就可以用),(*0*0y x 代替),(00y x 去计算，得到初值问题的解),,(*0*0y x x y ϕ=，这个解可以非常接近真实解),,(00y x x y ϕ=，即εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .同理，如果方程的右端函数),(y x f 不能准确得到，只能得到),(y x f 的近似函数),(~y x f ，即)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ我们就可以用),(~y x f 代替),(y x f 去计算，得到初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=，那么),,(00~y x x y ϕ=能否代替),,(00y x x y ϕ=呢？我们有下面的解的连续依赖性定理.定理2.5 （解对被积函数的连续依赖性定理）在区域D 上，),(y x f 和),(~y x f 都连续，而且关于变量y 满足李普希兹条件， 若初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 在b x a ≤≤上有解),,(00~y x x y ϕ=，则对任意给定的正数ε，存在0>δ，只要),(y x f 满足)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ则初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(00~00y x x y x x .证明 由解的存在唯一性定理知，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=存在，设其存在区间为],[b a ，且有⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00~~000~ξξϕξϕ而初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也存在，且可以表示为⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00000ξξϕξϕ则⎰⎰-=-xx xx d y x f d y x f y x x y x x 0))],,(,([))],,(,([),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξξϕξϕϕ从而有⎰-≤-xx d y x f y x f y x x y x x 0|)),,(,()),,(,(|),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξϕξϕϕ⎰-+-=xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,()),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ ⎰-+-≤xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ⎰+-≤xx d y x y x N 0)|),,(),,((|0000~ξδξϕξϕ ⎰-+-≤xx d y x y x N a b 0|),,(),,(|)(0000~ξξϕξϕδ由贝尔曼引理，得)(0000~)(),,(),,(a b N e a b y x x y x x --≤-δϕϕ取)(a b N e ab ---<εδ，则εϕϕ<-),,(),,(0000~y x x y x x .且解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在. 例1 考虑方程,ln ,0≠=⎩⎨⎧-=y y y y dx dy 解的情况.解 显然1,1,0-===y y y 是方程的解，当1,1,0-≠≠≠y y y 时，有y y dxdyln -= 这时解得上半平面的通解为x Ce e y -=，下半平面的通解为xCe e y --=.可以看到，对于Ox 轴上的初值)0,(0x ，在任意有限闭区间上解对初值连续依赖，但是，在),0[+∞上，无论),(00y x ，00≠y 如何接近)0,(0x ，只要x 充分大，过),(00y x 的积分曲线就不能与过)0,(0x 的积分曲线（即0=y ）任意接近了.这个例子说明，解在有限闭区间上对初值连续依赖，不能推广到无限区间，即，在无限区间上解对初值的连续依赖定理就不成立了.我们有时不仅要求解对初值连续依赖，而且还要知道解),,(00y x x y ϕ=对初值00,y x 的偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ是否存在.下面给出解对初值的可微性定理. 定理2.6 （解对初值的可微性定理）如果函数),(y x f 以及),(y x f y '在区域D 内连续，则初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=在它有定义的区间上有连续偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ.并且有 ⎰-=∂∂'x x y d y x f e y x f x y x x 000)),,(,(00000),(),,(ττϕτϕ 及⎰=∂∂'xx y d y x f e y y x x 000)),,(,(000),,(ττϕτϕ 习 题 2.31.若函数),(y x f ，),(y x R 在区域D 内连续且满足李普希兹条件，设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=*0*0)(),(),(y x y y x R y x f dx dy 的解为),,(*0*0~y x x y ϕ=，存在区间为],[b a .对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满足)),((,),(D y x y x R ∈<δ的),(y x R ，以及满足δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*0~00y x x y x x 2.已知方程)sin(xy dxdy = 试求0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x x y x x y 和0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x y y x x y 3.设),,(00y x x ϕ是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解，试证明0),(),,(),,(00000000=∂∂+∂∂y x f y y x x x y x x ϕϕ 2.4 欧拉折线法在第一章，我们介绍了方程的初等解法，即用微积分的知识求得常微分方程的函数解.但是绝大多数的方程不能用初等方法求解，在第二章的前三节中，我们给出了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在什么样的条件下，解存在且唯一；在什么条件下，解的存在区间可以延展；在什么条件下连续依赖于初值；在什么条件下，解对初值是可微的.有了这些准备，我们就可以研究柯西初值问题的近似解.下面我们介绍求近似解的方法，欧拉折线法.假定函数),(y x f 在区域：+∞<<-∞≤≤y b x a ,上连续，且关于变量y 满足李普希兹条件，求柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在区间],[0b x 上的近似解，我们采用的方法是：（1）等分区间],[0b x ，分点为n k kh x x k ,,1,0,0 =+=；小区间长度nx b h 0-=， （2）第一个小区间上用切线段逼近曲线：))(,(0000x x y x f y y -+=，（3）求出1x 所对应的纵坐标))(,(010001x x y x f y y -+=，（4）依次重复（2），（3）得到每个小区间上的线段，从而得到欧拉折线. 这样，我们就用欧拉折线作为柯西初值问题在区间],[0b x 近似解.欧拉折线法的前提是：柯西初值问题的解存在且唯一，而且解的存在区间是],[0b x .例1试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)1(22y y x dx dy 的解在4.1=x 时的近似值.解 令22),(y x y x f +=，2)1,1(=f ，这时12-=x y ，代入1.11=x 得：2.11=y ，65.2)2.1,1.1(=f ，这时2.1)1.1(65.2+-=x y ， 代入2.12=x 得：465.12=y ，586225.3)465.1,2.1(=f ，这时465.1)2.1(586225.3+-=x y ， 代入3.13=x 得：8236225.13=y ，0155990225.5)8236225.1,3.1(=f ，这时8236225.1)3.1(0155990225.5+-=x y ，代入4.14=x 得：53251824022.24=y 习 题 2.41. 试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(22y y x dx dy 的解在5.1=x 时的近似值.2．试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=2)1(22y y x dx dy 在区间]4.1,1[上的近似解.。
常微分方程2.1 线性方程
的通解之和是非齐次方程的通解。
11
y e p( x)dx[ g( x)e p( x)dxdx C]
求方程 y 1 y sin x 的通解. p( x) ? g( x) ?
x
x
解
y
e
1 dx x
[
sin x x
e
1 dx
x dx
C
]
cos x
x
C x
考虑：dy dx , yx
对应齐通解：y C , x
设非齐通解：y u( x) , x
u( x) sin x ,
x
x
u( x) cos x C.
12
解初值问题:
( x2 1) y 2xy cos x 0
1
本章的主要内容
2.1 线性方程 2.2 变量可分离方程 2.3 全微分方程 2.4 变量替换法
2.5 一阶隐式方程 2.6 近似解法 2.7 一阶微分方程1 线性方程
一阶线性微分方程 y ' p(x) y g(x)
一、 线性齐次方程
若 y ' p(x) y g(x) 中 g(x) 0 时，
先解：dx dy , x y ln y
ln x ln ln y lnC,
设 : x u( y) , u( y) 1 , u( y) 1 ln2 y C,
ln y ln y y
2
x 1 ln y C .
2
ln y
此外, y = 1 也是原方程的解.
16
解微分方程 dy sin y x cos y x 0 dx
常微分方程第二章 一阶微分方程的初等解法
du dx 1u2 x
两边积分得: ln u 1 u2 ln x ln c
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
du dx 1u2 x
最后由初始条件 y(1) 0,可定出c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
可2、化d为y 变a量1x 分b1 y离 方c1 法
由对数的定义有
y e p( x)dxc1
y e p( x)dxc1
即
y ec1e p(x)dx ce p(x)dx.
此外y 0也是方程的解,若在上式中充许c 0, 即知y 0也包括在上式中,
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
例：
y y sin x 0
并求满足条件的 y( ) 2 特解。
2
线性微分方程
例：
1、cos x dy y sin x cos2 x dx
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n
y
ce p(x)dx
ce
n dx x 1
c(x
1)n
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c(x)( x 1)n为原方程的通解 , 代入得
dc(x) (x 1)n nc(x)(x 1)n1 nc(x)(x 1)n1 ex (x 1)n dx
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
《常微分方程》课程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。
通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。
1．学好基础知识。
理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。
2．掌握基本技能。
能够根据法则、公式正确地进行运算。
能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。
3．培养思维能力。
能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。
能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。
能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。
4．提高解决实际问题的能力。
对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。
能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。
三、教学学时分配《常微分方程》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求第一章绪论（4学时）（一）教学要求1．了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型；2. 掌握由简单的物理、几何等问题建立简单微分方程；3. 理解微分方程的基本概念；4. 掌握如何由通解求特解。
（二）教学重点与难点教学重点：微分方程的基本概念；教学难点：建立微分方程模型的思想、方法和例子。
（三）教学内容 第一节 常微分方程模型第二节 基本概念和常微分方程的发展历史1．常微分方程基本概念本章习题要点：微分方程基本概念题；建立微分方程的题。
第二章 一阶微分方程的初等解法（14学时）（一）教学要求1. 掌握变量可分离方程、一阶线性方程以及恰当微分方程的求解方法； 2．掌握齐次方程、Bernoulli 方程的求解； 3. 掌握用变量代换的方法求解微分方程；4. 掌握从积分因子满足的充分必要条件导出某些特殊形式积分因子存在的条件及计算公式,并用于解相应的微分方程；5. 掌握已解出y 或x 的微分方程)',(),',(y y f x y x f y ==的计算方法；6. 了解微分方程0)',(,0)',(==y y F y x F 的求解；7. 掌握一阶微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型进行简单分析。
常微分方程考研讲义第二章一阶微分方程的初等解法
常微分⽅程考研讲义第⼆章⼀阶微分⽅程的初等解法第⼆章、⼀阶微分⽅程的初等解法[教学⽬标]1. 理解变量分离⽅程以及可化为变量分离⽅程的类型（齐次⽅程），熟练掌握变量分离⽅程的解法。
2. 理解⼀阶线性微分⽅程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努⼒⽅程的求解。
3. 理解恰当⽅程的类型，掌握恰当⽅程的解法及简单积分因⼦的求法。
4. 理解⼀阶隐式⽅程的可积类型，掌握隐式⽅程的参数解法。
[教学重难点] 重点是⼀阶微分⽅程的各类初等解法，难点是积分因⼦的求法以及隐式⽅程的解法。
[教学⽅法] 讲授，实践。
[教学时间] 14学时[教学内容] 变量分离⽅程，齐次⽅程以及可化为变量分离⽅程类型，⼀阶线性微分⽅程及其常数变易法，伯努利⽅程，恰当⽅程及其积分因⼦法，隐式⽅程。
[考核⽬标]1.⼀阶微分⽅程的初等解法：变量分离法、⼀阶线性微分⽅程的常数变易法、恰当⽅程与积分因⼦法、⼀阶隐⽅程的参数解法。
2.会建⽴⼀阶微分⽅程并能求解。
§1 变量分离⽅程与变量变换1、变量分离⽅程1) 变量分离⽅程形如()()dyf xg y dx= (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1）的⽅程，称为变量分离⽅程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数. 2) 求解⽅法如果()0g y ≠，⽅程(2.1)可化为，()()dyf x dxg y = 这样变量就分离开了,两边积分,得到()()dyf x dx cg y =+??（2.2）把,()()dy f x dx g y ??分别理解为1,()()f x y ?的某⼀个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ?=满⾜⽅程（2.1）.因⽽（2.2）是如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在⽅程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解⽅程dy x dx y=- 解将变量分离，得到ydy xdx =- 两边积分，即得22222y x c=-+ 因⽽，通解为22x y c += 这⾥的c 是任意的正常数. 或解出显式形式y =例2 解⽅程2cos dyy x dx= 并求满⾜初始条件：当0x =时.1y =的特解.解将变量分离，得到 2cos dyxdx y= 两边积分，即得1sin x c y-=+因⽽，通解为1sin y x c=-+这⾥的c 是任意的常数.此外，⽅程还有解0y =.为确定所求的特解，以0x =.1y =代⼊通解中确定常数c ，得到 1c =- 因⽽，所求的特解为11sin y x=-例3 求⽅程 ()dyP x y dx的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解将变量分离，得到 ()dyP x dx y= 两边积分，即得ln ()y P x dx c =+?这⾥的c 是任意常数.由对数的定义，即有 ()P x dx cy e +?=即()P x dxc y e e ?=±令ce c ±=，得到()P x dxy ce ?=（2.4）此外，0y =也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c =，则0y =也就包括在（2.4）中，因⽽，（2.3）的通解为（2.4），其中c 是任意常数. 注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.⽅程的通解不⼀定是⽅程的全部解,有些通解包含了⽅程的所有解，有些通解不能包含⽅程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分⽅程的通解表⽰的是⼀族曲线，⽽特解表⽰的是满⾜特定条件00()y x y =的⼀个解，表⽰的是⼀条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离⽅程的类型1）.形如 dy y g dx x ??=（2.5）的⽅程，称为齐次⽅程，这⾥的()g u 是u 的连续函数. 另外,ⅰ)对于⽅程(,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有(,)(,)m M tx ty t M x y ≡ (,)(,)m N tx ty t N x y ≡事实上，取1t x=，则⽅程可改写成形如(2.5)的⽅程. (1,)(1,)(1,)(1,)m m y y== ⅱ)对⽅程(,)dyf x y dx= 其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有(,)(,)f tx ty f x y =则⽅程也可改写成形如(2.5)的⽅程(1,)dy y f dx x= 对齐次⽅程（2.5）利⽤变量替换可化为变量分离⽅程再求解. 令yu x= （2.6）即y ux =，于是dy du x u dx dx=+ （2.7）将（2.6）、（2.7）代⼊（2.5），则原⽅程变为 ()dux u g u dx+= 整理后，得到()du g u udx x-=（2.8）⽅程（2.8）是⼀个可分离变量⽅程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原⽅程（2.5）的解.例4 求解⽅程dy y y tg dx x x=+ 解这是齐次⽅程，以,y dy duu x u x dx dx==+代⼊，则原⽅程变为 dux u u tgu dx+=+ 即du tgudx x=（2.9）分离变量，即有dx= 两边积分，得到ln sin ln u x c =+ 这⾥的c 是任意的常数，整理后，得到sin u cx = （2.10）此外，⽅程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，⽅程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原⽅程的通解为sinycx x =例5 求解⽅程(0).dyxy x dx+=<解将⽅程改写为(0)dy y x dx x=<这是齐次⽅程，以,y dy du u x u x dx dx==+代⼊，则原⽅程变为dux dx=（2.11）分离变量，得到dxx = 两边积分，得到（2.11）的通解ln()x c =-+ 即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+>(2.12)这⾥的c 是任意常数.此外，（2.11）还有解0u = 注意，此解不包括在通解（2.12）中.原⽅程的通解还可表为2[ln()],ln()0,0,x x c x c y ?-+-+>=?它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次⽅程dy y g dx x ??=的求解⽅法关键的⼀步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy duu x dx dx=+，再将其代⼊齐次⽅程使⽅程变为关于,u x 的可分离⽅程.2.齐次⽅程也可以通过变换xv y=⽽化为变量分离⽅程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代⼊齐次⽅程dxx f dy y ??=使⽅程变为,v y 的可分离⽅程⼩结：这⼀讲我们主要讲解了⼀阶微分⽅程的可分离变量法和齐次⽅程的dy y g dx x ??=形状的解法.⽽这⼀齐次⽅程通过变量替换任然可化为可分离⽅程，因⽽，⼀定要熟练掌握可分离⽅程的解法. 2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13）的⽅程经变量变换化为变量分离⽅程，这⾥的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论（1）120c c ==情形. 这时⽅程（2.13）属齐次⽅程，有1122a x b y dy y g dx a x b y x +??== ?+??此时，令yu x=，即可化为变量可分离⽅程. （2）0a b a b =，即1122a b a b =的情形. 设1122a b k a b ==，则⽅程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则⽅程化为22()dua b f u dx=+ 这是⼀变量分离⽅程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形. 这时⽅程（2.13）右端的分⼦、分母都是,x y 的⼀次式，因此 1112220a xb yc a x b y c ++=??++=?（2.14）代表xy 平⾯上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进⾏坐标平移，将坐标原点(0,0)移⾄(,)αβ就⾏了，若令X x Y y αβ=-??=-?（2.15）则（2.14）化为11220a X bY a X b y +=??+=?从⽽（2.13）变为 1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +??== ?+??（2.16）因此，得到这种情形求解的⼀般步骤如下：(1)解联⽴代数⽅程（2.14），设其解为,x y αβ==； (2)作变换（2.15）将⽅程化为齐次⽅程（2.16）； (3)再经变换Y将（2.16）化为变量分离⽅程； (4)求解上述变量分离⽅程，最后代回原变量可得原⽅程（2.13）的解. 上述解题的⽅法和步骤也适⽤于⽐⽅程（2.13）更⼀般的⽅程类型111222a x b y c dyf dx a x b y c ??+== ?++??()dyf ax by c dx++ ()()0y xy dx xg xy dy += 2()dyx f xy dx= 2dy y xf dx x= ?以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等⼀些⽅程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离⽅程.例6 求解⽅程13dy x y dx x y -+=+- （2.17）解解⽅程组 1030x y x y -+=??+-=? 得1, 2.x y ==令12x X y Y =+??=+?代⼊⽅程（2.17），则有 dY X YdX X Y-=+ （2.18）再令Yu X= 即 Y uX = 则（2.18）化为2112dX u22ln ln 21X u u c=-+-+22(21)c X u u e +-=± 记1,c e c ±=并代回原变量，就得2212Y XY X c +-= 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证2210u u +-= 即2220Y XY X +-= 也就是（2.18）的解.因此⽅程（2.17）的通解为22262y xy x y x c +---= 其中c 为任意的常数.3、应⽤举例例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所⽰的R C -电路，开始时电容C 上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K 合上“1”后，电池E 就对电容C 充电，电容C 两端的电压C u 逐渐升⾼，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K 合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C 两端的电压C u 随时间t 的变化规律.解对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第⼆定理，c u RI E += （2.19）对于电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根据C Q Cu =，得到 ()C C du dQ dI Cu C dt dt dt=== （2.20）将（2.20）代⼊（2.19），得到c u 满⾜的微分⽅程 cc du RC u E dt+= （2.21）这⾥R 、C 、E 都是常数.⽅程（2.21）属于变量分离⽅程.将（2.21）分离变量，得到C C du dtu E RC=-- 两边积分，得到11ln C u E t c RC-=-+ 即1112t t c RCRCC u E e e c e---=±=这⾥12c c e =±为任意常数.将初始条件：0t =时，0C u =代⼊，得到2c E =-. 所以 1(1)t RC C u E e -=-这就是R C -电路充电过程中电容C 两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压C u 从零开始逐渐增⼤，且当t →+∞时，C u E →，在电⼯学中，通常称RC τ=为时间常数，当3t τ=时，0.95C u E =，就是说，经过3τ的时间后，电容C 上的电压已达到外加电压的95%.实⽤上，通常认为这时电容C 的充电过程已基本结束.易见充电结果C u E =.对于放电过程的讨论，可以类似地进⾏.例8 探照灯反射镜⾯的形状在制造探照灯的反射镜⾯时，总是要求将点光源射出的光线平⾏地射出去，以保证照灯有良好的⽅向性，试求反射镜⾯的⼏何形状.解取光源所在处为坐标原点，⽽x 轴平⾏于光的反射⽅向，设所求曲⾯由曲线()y f x z =??=?（2.23）绕x 轴旋转⽽成，则求反射镜⾯的问题归结为求xy 平⾯上的曲线()y f x =的问题,仅考虑0y >的部分,过曲线()y f x =上任⼀点(,)M x y 作切线NT ，则由光的反射定律：⼊射⾓等于反射⾓，容易推知12αα= 从⽽OM ON = 注意到2dy MP tg dx NPα==及,,OP x MP y OM ===就得到函数()y f x =所应满⾜的微分⽅程式dy dx =（2.24）这是齐次⽅程.由2.12知引⼊新变量xu y=可将它化为变量分离⽅程.再经直接积分即可求得⽅程的解.对于⽅齐次⽅程（2.24）也可以通过变换xv y=⽽化为变量分离⽅程也可由x yv =得dx dvv y dy dy=+代⼊（2.24）得到sgn dvv y v y dysgn dy y y =（2.25）积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得2(2)y c c x =+（2.26）其中c 为任意常数.（2.26）就是所求的平⾯曲线，它是抛物线，因此，反射镜⾯的形状为旋转抛物⾯22(2)y z c c x +=+ （2.27）⼩结: 本节我们主要讨论了⼀阶可分离微分⽅程和齐次微分⽅程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.§2 线性⽅程与常数变易法1、⼀阶线性微分⽅程()()()0dya xb x yc x dx++= 在()0a x ≠的区间上可以写成()()dyP x y Q x dx=+ （2.28）对于()a x 有零点的情形分别在()0a x ≠的相应区间上讨论.这⾥假设(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0Q x ≡，（2.28）变为 ()dyP x y dx= （2.3）称为⼀阶齐线性⽅程.若()0Q x ≠，（2.28）称为⼀阶⾮齐线性⽅程.2、常数变易法（2.3）是变量分离⽅程，已在例3中求得它的通解为 ()P x dxy ce ?=（2.4）这⾥c 是任意的常数.下⾯讨论⼀阶⾮齐线性⽅程（2.28）的求解⽅法.⽅程(2.3)与⽅程(2.28)两者既有联系⼜有区别,设想它们的解也有⼀定的联系,在(2.4)中c 恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c 不再是常数,将是x 的待定函数()c x ,为此令 ()()P x dx（2.29）两边微分，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx=+ （2.30）将（2.29）、（2.30）代⼊（2.28），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx+=+ 即()()()P x dx dc x Q x e dx-?= 积分后得到()()()P x dxc x Q x e dx c -?=+?（2.31）这⾥c 是任意的常数..将（2.31）代⼊（2.29），得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--=+ +（2.32）这就是⽅程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的⽅法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是⼀种变量变换的⽅法.通过变换（2.29）可将⽅程（2.28）化为变量分离⽅程.注: ⾮齐线性⽅程的通解是它对应的齐线性⽅程的通解与它的某个特解之和. 例1 求⽅程1(1)(1)x n dy x ny e x dx++-=+的通解，这⾥的n 为常数. 解将⽅程改写为 (1)1x n dy n y e x dx x -=++ （2.33）先求对应的齐次⽅程01dy n y dx x -=+ 的通解，得令 ()(1)n y c x x =+ （2.34）微分之，得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （2.35）以（2.34）、（2.35）代⼊（2.33），再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代⼊公式（2.34），即得原⽅程的通解 (1)()n x y x e c =++ 这⾥c 是任意的常数. 例2 求⽅程22dy ydx x y=-的通解. 解原⽅程改写为2dx x y dy y=- （2.36）把x 看作未知函数，y 看作⾃变量，这样，对于x 及dxdy来说，⽅程（2.36）就是⼀个线性⽅程了.先求齐线性⽅程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （2.37）令2()x c y y =,于是 2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代⼊（2.36），得到()ln c y y c =-+ 从⽽，原⽅程的通解为2(ln )x y c y =-这⾥c 是任意的常数,另外0y =也是⽅程的解. 特别的，初值问题00()()()dyP x y Q x dxy x y ?=+=? 的解为00()()()=()xxsx x x P d P d P d xx y ceeQ s eds ττττττ-+?例3 试证（1）⼀阶⾮齐线性⽅程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性⽅程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的⾮零解，⽽()y y x =是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）⽅程（2.3）任⼀解的常数倍或两解之和（或差）仍是⽅程（2.3）的解. 证（1）设12,y y 是⾮齐线性⽅程的两个不同的解，则应满⾜⽅程使1122()(1)()(2)dy py Q x dxdy py Q x dx=+=+（1）—（2）有1212()()d y y p y y dx-=-说明⾮齐线性⽅程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性⽅程的解.（2）因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论成⽴.（3）因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论成⽴.3、Bernoulli ⽅程。
一阶常微分方程初等解法
dy 例6 求方程 x 1 ny e x 1 的通解， dx 这里n为常数. dy n y e x 1 . 解 将方程改写为 dx x 1 dy n y 0 的通解， 首先，求其次线性微分方程 dx x 1 为 y c x 1 .
容易验证，原方程的通解就是
u x, y c,
（ c 是任意常数）.
2 2 3
例7
3x 6 xy dx 6 x y 4 y dy 0 的通解.
2
解 这里 M 3x 6 xy , N 6 x y 4 y , 这时 M N 12 xy, 12 xy, 因此方程是恰当微分方程. y x 现在求 u, 是它同时满足如下两个方程： u u 3x 6 xy , 6 x y 4 y . x y 前一个式子，对 x 积分，得到 u x 3x y y ,
在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点， 下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：
dx x 例 求解方程 dy y .
解 可以变化为：ydy xdx ， y x c 两边积分，即得 2 2 2 ，
2 2
因而，通解为 x y c .
2 2
1.1变量分离方程
形如
2 2 2 3
2
2
2
3
3
2
2
将得到的方程对 y 求导，并使它满足上一个方程，即得 u d y 6x y 6x y 4 y , 于是 y dy d y 4 y , 积分后可得 y y , dy
2 2 3
4
3
u x 3x y y .
3 2 2 4
因此，方程的通解为
精选习题第二章一阶微分方程的初等解法
【精选习题】第二章一阶微分方程的初等解法(总29页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章 一阶微分方程的初等解法2-1 已知⎰≠=xx dt t f x f 0,0 ,1)()(试求函数)(x f 的一般表达式。
解 对方程⎰=xdt t f x f 01)()(，两边关于x 求导得⎰=+'xx f dt t f x f 020)()()(，即0)()(1)(2=+'x f x f x f ， 分离变量，可求得)(21)(C x x f +±=，代入原方程可得0=C ，从而)(x f 的一般表达式为x x f 21)(=。
评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到，而是需将通解代回原方程来确定。
2-2 求具有性质)()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=+的函数)(t x ，已知)0(x '存在。
解 由导数的定义可得 s s x t x s x t x s x s t x s t x t x s s )]()(1[)()()(lim )()(lim)(200-+=-+='→→ ss x s x t x t x s )()()(1)(1lim 20⋅-+=→， 显然可得0)0(=x ，故)](1[)0()0()(lim )](1[)(202t x x sx s x t x t x s +⋅'=-⋅+='→ 分离变量，再积分可得])0(tan[)(C t x t x +'=，再由0)0(=x ，知0=C ，从而 ])0(tan[)(t x t x '=。
评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。
2-3 若0),(),(≠+y y x N x y x M ，证明齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有积分因子),(),(1y x yN y x xM +。
一阶微分方程的初等解法
定义 2 形如
dy dx
+P(x)y=Q(x)
（2.2）
的方程称为一阶线性微分方程，其中 P(x)和 Q(x)是已知连续函数。
1、一阶齐次线性微分方程
当 dy +P(x)y=Q(x)中 Q(x)=0 时，称为一阶齐次线性微分方程。 dx
该类型方程的求解显而易见，采用变量分离即可完成，通解为
乙- P(x)dx
ψ(t)
（4.4） （4.4.1）
乙 于是 x= φ'(y) dt+C ψ(t)
所以，方程（4.4）的参数形式通解为
( 乙 x=
φ'(y) ψ(t)
dt+C
（C
为任意常数）
y=φ(t)
同时可以验证，若 F(y,0)=0 有实根 y=k，则 y=k 也是方程的解。
例：求解方程 y2(1- y')=(2- y')2。
方程。 解法：
（1）分离变量，将方程的两端化为分别含有一个变量的函数及其微 分的形式，
1 g(y)
dy=f(x)dx
（2）两边同时积分，
乙 乙 1 dy= f(x)dx g(y)
（3）求出积分，得通解
G(y)=F(x)+C，其中
G(y)和
F(x)分别是
1 g(y)
和
f(x)
的一个原函数。
（二）可化为分离变量方程二中情形的求解
1、情形一
形如 dy dx
=g(
y x
)
（1.1）
的方程，称为齐次方程，g(u)是 u 的连续函数。对该类型微分方程的
解法是：
（1）令
u=
y x
（1.2）
（2）由（1.2）得
常微分方程
例１例２例３例４常微分方程第一章绪论在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。
在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。
例如，1） (设是自变量，则是未知函数)；2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。
这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。
利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。
本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。
例如:1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。
）2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。
这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。
其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。
下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。
第一节微分方程：某些物理过程的数学模型在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。
例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。
掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。
例1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。
我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。
这里我们假定空气的温度保持为。
解为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。
例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。
《常微分方程》课程教学标准
《常微分方程》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《常微分方程》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。
本课程的口的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析儿何和普通物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习其它数学理论，如数理方程、微分儿何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣, 做好准备。
教学时间应安排在第四学期或第三学期。
这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析和普通物理中的力学部分，这是学习《常微分方程》课程必要的基础知识。
同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决微分方程问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用山中山大学王高雄周之铭朱思铭王寿松等人编写的、高等教育出版社1993年岀版的《常微分方程》笫二版一书,作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下儿本重要的参考书：1、常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，19632、常微分方程讲义（第二版），叶彦谦，人民教育出版社，19823、常微分方程讲义，周钦德、李勇，吉林大学出版社，1995第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章绪论主要介绍如何根据科学定律和原理，并利用微积分的思想，解决实际问题所导岀的若干常微分方程实例，如物体冷却过程、R-L-C电路、单摆等问题微分方程模型的建立。
同时介绍常微分方程的若干最基本的概念。
通过这一章的学习,学习者要理解常微分方程的若干基本概念，特别要对“积分曲线”、“等斜线”、“方向场”等与儿何意义有关的概念的理解，为进一步学习后续内容打好基础；初步掌握建立常微分方程模型的一般方法。
一阶微分方程的通解
一阶微分方程的通解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢§2一阶微分方程的初等解法第二章一阶微分方程的初等解法§变量分离方程与变量替换§线性微分方程与常数变易法§恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。
§变量分离方程与变量替换人口模型dt 求解即当是一个解. dy (2)当两边积分得ln y故一、变量分离方程dy 1.变量分离方程的形式f ( x)是x的连续函数是y的连续函数.dy 2. 变量分离方程的解法先分离变量当再两边积分( x )dxdyG( y)F(P31例1) 例1 求解方程2 yy 解: 先分离变量dy再两边积分,2说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或例2 求解方程解: 先分离变量再两边积分,2dydx2解得故通解为其中c为任意正常数.例3 求解方程例2)解得3即即333解: (1)当是一个解. (a当先分离变量, y xdx 再两边积分解得即( k为任意正常数) 综上, 通解为y a e为任意常数)故通解为其中c为任意常数. ( 此式含分离变量时丢失的解y = 0 )(P33例4) 例4 求解方程( x ) y, 其中P ( x )是x 的连续函数. 解: (1)当是一个解. dy (2)当先分离变量再两边积分,解得ln ydy(P42习题1(2)) 练习解方程y2dx并求满足初值条件的特解. 解当0 : 是一个解.再两边积分解得即为任意常数) 1 综上, 通解为为任意常数), 另有解当先分离变量,P ( x )dx 即为任意非零常数综上, 通解为ce ( c为任意常数): 是P44页节中的一阶齐次线性微分方程.解(2): 将代入上述通解, 可确定1 故特解为1(P34例5) 二、可化为变量分离方程的类型y 1. 齐次微分方程y例5求解方程y dy u 解: 令则故uu du 是变量分离方程. 原方程化为即udyyy解法: 通过变量替换(令化为变量分离方程.:方程中不含未知函数及其导数的项称为自由项.当即是一个解.当先分离变量,u自由项＝0时：齐次自由项≠0时：非齐次再两边积分,解得即为非零任意常数)y 综上, 通解为为任意常数)(P35例6) 例6 求解方程解: 令则故u 原方程化为是变量分离方程.dy2. 形如的方程a b2dyc22常数) 原方程即当即是一个解.当先分离变量, 1 du令此时原方程化为是变量分离方程.只需令不全为与代表两条相交直线, 交点为通过坐标平移可将交点移到原点方程化为y2ab再两边积分,2解得即当(P38例例7 求解方程解: 解方程组x可得dY , 则令化为则式u 当因X , 则2是变量分离方程.原方程化为 d X X两边取微分, 得即故0为(*)式的解. 2 故0为原方程的解当先分离变量即再两边积分,2X再令则是变量分离方程.解得ln c 即X 2 (为非零任意常数) 代回可得为非零任意常数)即则式化为2思考与练习作业习题P42 1.(2)(4)(7)变量分离方程1.(5)2.(1)(3) 可化为变量分离方程§线性微分方程与常数变易法一、一阶线性微分方程 1. 一般形式y与y 之间是线性关系.自由项(与y,y 无关的项)3.一阶非齐次线性微分方程(1)形式解法第一步: 先求对应齐次微分方程的通解为任意常数) 第二步: 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.令P ( x ) dxdy2. 一阶齐次线性微分方程(1)形式为原方程的解,(2)解法分离变量法.见P33例4.通解为P ( x )dxP ( x )dx dy dc( x ) P ( x )dx 则dx代入原方程可得积分得(c为任意常数)(P45例1) dy 例1 求方程的通解. 解: 第一步: 先求对应齐次微分方程的通解.求解方程当且0, 先分离变量再两边积分得对应齐次方程的通解为n得对应齐次方程的通解为dy第二步: 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.dy令为原方程( x的解, dy dc( x ) 则dc( x ) 于是有dy积分得故所求通解为为任意常数: 也可直接套公式,P ( x )dxn也可直接套公式3练习解方程习题1(1))当先分离变量再两边积分dydy练习2t x 解方程习题1(2))解: 第一步: 求解方程dx解: 第一步: 求解方程x : dtx 当先分离变量x 再两边积分得对应齐次方程的通解为得对应齐次方程的通解为第二步: 令为原方程的解,dy dc( x ) dc(x ) 则于是有积分得c( x )dy第二步: 令为原方程的解,dt则3c( t )edc( t )于是有dc( t )5t 积分得故所求通解为为任意常数 2故所求通解为ce , c为任意常数(P46例2) dy 例2 求方程y 的通解注：方程变形为二、伯努利微分方程 1.形式常数当为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程. 当为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程.dy关于x为非齐次线性微分方程自变量为. yx 2x 解: 第一步: 求解方程 d dyx 2 当先分离变量dyx 2 再两边积分2.解法dy (1)方程两边除以y n , 化为方程Q( x )考虑是如何得到的: 令则 d x dx . dy dy得对应齐次方程的通解为x 2x 第二步: 令为原方程的解,2 dc( y ) x 1 则y 于是有积分得) 方程可化为一阶线性微分方程 d xdc( y )(3)利用常数变易法求得通解之后再变量还原.做变量替换即可化为一阶线性微分方程求解.故所求通解为c为任意常数例如求的通解dx 2 x 2 y此为伯努利方程第一步(P48例3) dy y 例3 求方程的通解. 解: 当是一个解.dy做变量替换则d x dxdyy2当第一步: 做变量替换z则得dx即于是有 d x x第二步一阶线性微分方程常数变易法, 可得第三步第二步: 解一阶线性微分方程 d x x常数变易法, 可得8代回原变量, 得通解x3 2c x 第三步: 变量代回, 得通解 1即通解为824思考与练习作业习题P48 1.(2)(3)(4)常数变易法1.(11)(15) 伯努利方程§恰当微分方程与积分因子一、恰当微分方程 1. 预备知识(1)设u( x , y )是连续可微的函数, 则u( x , y )的全微分为2.恰当微分方程(1)定义若有函数u( x , y ), 使得du( x, y )则称M为恰当微分方程. 通解为(2)若则c .通解为(2)需要考虑的问题如何判别M ( x ,是恰当微分方程? 若是恰当微分方程, 如何求u( x , y )?若不是恰当微分方程, 能否转化?3.方程为恰当微分方程的充要条件设M ( x , y ), N ( x, y )在某矩形域内是x, y的连续函数, 且具有连续的一阶偏导数, 则方程M ( x为恰当微分方程的充要条件为已知0为恰当微分方程, 则存在二元函数u( x, y ), 使于是有y已知于是有需要构造二元函数u( x , y ), 使u于是有u这里是y的任意可微函数下面选择使解于是有于是有与x无关故于是有4. 恰当微分方程的解法(1)不定积分法第一步: 判断方程是否为恰当方程.(若是则下一步)故为恰当微分方程.第二步: 求求第三步:由(2)方法 1 : 不定积分法u( x, y )因即故第四步: 通解为于是有故通解为y练习验证方程为恰当方程, 并求其通解. 解故为恰当微分方程.(2)分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.: 应熟记一些简单二元函数的全微分.(书P54)x2故因即于是有2cos y 故通解为c .(P54例2) 例2 求方程的通解. 解: 方法2 : 分组凑微法方程即d( x 3 ) 3 y 2d( x 2 ) 3 x 2d( y 2 )d( y 4 ) d(3 x 2 y 2 )(P55例3) x 1 例3 求方程的通解.1 x 解故为恰当微分方程.(2)方法1:不定积分法方程即于是有故通解为3 2 2 4故y ) 因即y x 于是有故通解为6(P55例3) 1 x 例3 求方程的通解.1 x 解(P60习题1(1)) 练习验证方程( x2为恰当方程, 并求其通解. 解故为恰当微分方程.故为恰当微分方程.(2)方法2:分组凑微法x 1 方程即xdy 即d x y y2 方程即于是有故通解为(2)方法1:不定积分法因即3 2 于是有故通解为故(P60习题1(1)) 练习验证方程( x2为恰当方程, 并求其通解. 解(3)线积分法《数学分析》中曲线积分与路径无关:P 在单连通域G上连续, 若函数P ( x , y ), Q( x, y )以及则下列命题等价对G内任意一点( x ,y ), 有曲线积分与路线无关,C ( A, B )故为恰当微分方程.(2)方法2:分组凑微法方程即方程即于是有故通解为只与位于G中的始点A与终点B有关在G内存在一个函数u( x , y ), 使: 判别恰当微分方程的充要条件, 其充分性也可使用线积分证明:已知(P53例1) 例4 求方程的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.由于M ( x, y), N ( x, y)以及在全平面上连续,则存在函数u( x, y ), 使故N ( x , y)dy 为恰当方程. y 这时, 取则( x , y) ( x, y) u( x , y)y )dy,x0 y0x x0( x0 , y0 ) xy故取则Oy y0x( x, y)故恰当微分方程的通解为线积分法步骤: 第一步: 判断方程是否为恰当方程.(若是则下一步)第二步: 取如原点(0, 0), ( x, y) 求第三步: 通解为N ( x, y)dy, 0(0,0) xy 0y( x, y)3 2 2 43 x2Ox故通解为7(P55例3) 1 x 例5 求方程的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.由于M ( x, y), N ( x, y)以及在除去的平面上连续,二、积分因子1. 需要考虑的问题如何判别M是恰当微分方程?已经解决, 利用充要条件故取则( x, y)若是恰当微分方程, 如何求u( x , y )? 已经解决, 三种方法(不定积分法, 分组凑微法, 线积分法). 若不是恰当微分方程, 能否转化?对一些非恰当方程, 乘上一个因子后, 可变为恰当方程.(0,1) xM ( x, y )dxy 1y 1O( x, y )故通解为x2.积分因子的定义如果存在连续可微函数使得( x , y ) 为恰当方程, 则称为方程的一个积分因子.1 , 1 均为方程的积分因子. 例6 验证12 , 12 , xy x y x2书例) y 证明(1)方程两边乘以验证12 , 得已化为恰当方程证明(2)方程两边乘以验证12 , 得 1已化为恰当方程.得证明(3)方程两边乘以验证0,已化为恰当方程方程两边同乘 1 , 得已化为恰当方程.P ( x ) dx 方程两边同乘e 得( x ) dx ,已化为恰当方程3.积分因子的确定是方程的积分因子的充要条件是:由求导的乘法法则, 得是方程的积分因子的充要条件是:若存在仅与x有关的积分因子上式即可变形为仅与x有关仅与x有关是方程的积分因子的充要条件是:(3)方程0有仅与x 有关的积分因子的充要条件是:仅与x有关, 即其积分因子为.8(4)方程0有仅与y 有关的积分因子的充要条件是:仅与y有关, 即例6 求方程的通解. 22解: 首先该方程不是恰当微分方程.y2其积分因子为.然后寻找积分因子.因为Nx故积分因子为y2 原方程两边乘e , 可得( 2 e xy2 利用恰当方程求解方法可得为任意常数.(P58例5) dy x 2 例7 求解方程dxdy 2 2 x 1 解: 因为故方程即(P55例6) 例8 求解方程解法1: 首先该方程不是恰当微分方程.但是注意到即其实是恰当方程的分组凑微法所以说即上式 d( x1 为积分因子12 y 1 , 可得原方程两边乘y 2 y y2 y2故积分因子为即故通解为为任意常数利用分组凑微法可得x d( y ) d(ln | y |)故通解为为任意常数. 另有解(P55例6) 例8 求解方程解法2: 方程可以变形为xdy y(P55例6) 例8 求解方程dy y 关于x 为一阶继续变形为线性非齐次方程y x x 第一步: 求解方程 d dy 先分离变量当y再两边积分y dy 继续变形为当dy解法3: 方程可以变形为y即dyy令则故原方程化为即1 dx 是变量分离方程.y当即是一个解.当两边积分uu2x得对应齐次方程的通解为即x x 第二步: 令为原方程的解, x 1 则d dy于是有积分得c(解得变量还原,即为任意常数)故所求通解为为任意常数另有解另有解9思考与练习作业习题P60 1.(1)用两种方法求解：不定积分法和分组凑微法2.(3)(4)(5)先判别是否恰当方程,然后选取相应做法思考与练习作业习题P69 1.(1)(3)10二阶及高阶微分方程的求解与应用二阶及高阶微分方程的求解与应用学姓班学号名级院2016xxxxxxxxxxxxx摘要：本人认为第三章略微复杂，在课上时感觉自己听懂了，但是课后发现又会出现好多问题。
第二章：基本定理
第二章 基本定理
二、欧拉-柯西近似法
一阶微分方程的初值问题 y f ( x , y ), y x x0 y0 , 的解不能或不易用初等积分法求出时,怎么办？
问题:
方法：近似积分法——欧拉—柯西近似法． 一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的 充分条件如下定理：
10
第二章 基本定理
线素场的线素相切。 ** 上述定理说明Cauchy问题的积分曲线在其上每一点都与
线素场的线素相切，也即是积分曲线总是“顺着”线素场的 方向进行的曲线。 4
第二章 基本定理
例1 画出方程 y
x 2 y 2 所确定的方向
场示意图.
解 方程的等斜线为 x 2 y 2 C ,
取 C 0, 0.5, 1, 1.5, 2,
y
画出五条等斜线, 再在
每条等斜线上适当选取 若干个点画出对应的向
0 量 ,如图方向场.
5
o
x
第二章 基本定理
三. Cauchy问题解的存在性定理： Peano定理：如果f（x，y）在区间G上连续，则
Cauchy问题存在定义在点x0某一领域中的解。
** 上述定理说明微分方程右端函数f（x，y）的连续性保
y
M1
M0
求出函数值 ，过点 M 1 f ( x1 , y1 ) y1 为斜率的直线段 作以 y1 M 1 M 2，交直线 x x2
M2
o x0 x1 x 2
xn1H
x
y0 h( y0 y1 )； 于点 M 2 ( x2 , y2 )，则 y2 y1 hy1
1841年法国数学家 Liouville指出：绝大多数常微分 方程不能用初等积分求解。
常微分方程教案(王高雄)第二章
第二章目录内容提要及其它 (1)第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2)第一节变量分离方程与变量变换 (2)一、变量分离方程 (2)二、可化为变量分离方程的类型 (6)1、齐次方程 (6)2、可化为变量分离方程 (7)三、应用例题选讲 (10)第二节线性方程与常数变易法 (11)第三节恰当方程与积分因子 (15)一、恰当方程 (15)二、积分因子 (20)第四节一阶隐含方程与参数表示 (23)一、可以解出y（或x）的方程 (24)二、不显含y（或x）的方程 (25)本章小结及其它 (27)内容提要及其它授课题目（章、节）第二章：一阶微分方程的初等解法教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74主要参考书：[1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005，p1-70[2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20[3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004，p1-12[4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169[5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999，p15-158[6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124目的与要求：掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法．能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．教学内容与时间安排、教学方法、教学手段：教学内容：第1节变量分离方程与变量变换；第2节线性方程与常数变易法；第3节恰当方程与积分因子；第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或y x）的方程、不显含（或y x）的方程．时间安排：8学时教学方法：讲解方法教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。
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注意/Note/：通解的形式及其中任意常数的意义。
•课堂练习/Exercise/
1 dy p(x) y dx
dy
1
3
dx (x y)2
2 dy e xy dx
dy 2x3 3xy2 x 4
dx 3x2 y 2y3 y
•思考以下方程的求解方法 1 dy f (ax by c) dx
故 （2.4）的通解为 sinu= cx（c 为任意常数）
代回原来的变量，原方程的通解为: sin y cx x
(2)可化为齐次方程的类型 /Classifications of Homogenous/
•
dy
形式：
a1 x b1 y c1
……………(2.5)
dx a2 x b2 y c2
第二章 一阶微分方程的初等积分法
Integrated Method of First Order ODE
Ch.2 Integrated Method of First Order ODE
方程类型/Classifications/：
y f (x, y) F(x, y, y) 0
初等积分法/Integrated Method/：通过积分求解常 微分方程的一种方法，其特点是微分方程的解可 用初等函数以及初等函数的积分形式来表示。
记 ec~ c1 并代回原变量，得: X 2 (u2 2u 1) c1
并代回原变量，得:
Y 2 2 XY X 2 c1
( y 2)2 2(x 1)( y 2) (x 1)2 c1
此外，容易验证: u 2 2u 1 0
即
Y 2 2XY X 2 0
也是方程(2.18)的解。
因此原方程(2.17)的通解为:
y 2 2xy x2 6 y 2x c 其中 c 为任意常数。
本节小结/Conclusion/
变量分离方程 ••
特点 解法
变量分离方程 与变量变换
• 举例
可化为变量分离的类型可齐化次为方齐程次方程的类型
•注意： 正确判断方程的类型
本章目录/Main Contents/
➢§2.1 变量分离方程与变量变换 ➢§2.2 线性方程与常数变易法 ➢§2.3 恰当方程与积分因子 ➢§2.4 一阶隐式方程与参数表示
§2.1 变量分离方程与变量变换
Separable First-Order ODE & Transform
分离变量方程（2.1）的解为
G( y) F(x) C y yi , i 1,2, , k
例1 求解方程 dy x
dx y
解
(y) 1 0
y
1 分离变量 ydy xdx
2 两边积分 3 求通解
ydy xdx
y2
x2 c
2
22
x 2 y 2 c 或者 y c x2
则
a1x a2 x
b1y c1 0 ……………..(2.6) b2 y c2 0
有唯一的解:(, )
令
X x Y y
或
x
y
X Y
则方程 (2.5) 化为：
dY dy a1 ( X ) b1 (Y ) c1 dX dx a2 ( X ) b2 (Y ) c2
ai , bi , ci , i 1,2 均为常数，且c1, c2 不同时为零.
a1 1.若 a2
b1 0 b2
即 a1 b1 a2 b2
设 a1 b1 k a2 b2
a1 ka2 , b1 kb2
则原方程可化为:
dy dx
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2 x b2 y)
dy dx
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2 x b2 y)
令 u a2 x b2 y
du dx
a2
b2
dy dx
du dx
a2
b2
f
(u)
（变量分离方程，即可求解）
2.若 a1 a2 0 b1 b2
解代数方程组
a1x b1 y c1 0 a2 x b2 y c2 0
…………….(2.6)
其解为: x , y
(2) 作变换 x X , y Y
将方程(2.5)化为齐次方程
dY a1X b1Y dX a2 X b2Y
(3) 再作变换U Y 将其化为变量分离方程 X
得 x = 1, y = 2
令
x X 1
y
Y
2
dY X Y ……….(2.18) dX X Y
dY X Y dX X Y 再令 u Y 即
X
……………………….(2.18)
Y uX
dY X du u dX dX
X du u 1 u
(4) 求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原 方程的解。
• 类似的方法，可求解更广泛的方程 P.26
dy f ( a1x b1 y c1 )
dx
a2 x b2 y c2
例4 求解方程 dy x y 1 dx x y 3
…..(2.17)
解
解方程组
x y 1 0 x y 3 0
（3）将上式代入原方程，得 整理 du 1 (g(u) u) dx x
x du u g(u) dx
……….(2.3) 变量可分离方程
（4）求解方程(2.3),若其解为: u (x, c) 或 (u, x, c) 0
(5) 原方程的通解为: y x(x, c)或( y , x, c) 0
1 x
dx
ln sin u ln x c~ (c~为任意常数)
ln sin u ln x c~ (c~ 为任意常数)
sin u ec~ x
sin u ec~ x
令 c ec~ 得:
Sinu = cx （c 为非零任意数）
du tan u dx x
另当 tanu = 0 时，u = 0 即 u = 0 也是方程(2.4)的解
(1) 齐次方程/Homogeneous Equation/
(2) 可化为齐次方程的方程类型
/Classifications of Homogenous/
(1) 齐次方程/Homogeneous Equation/
• 形式：dy g( y ) g (u)为 u 的连续函数 dx x
• 特点：一般方程的右端函数 f (x,y) 是x，y 的零次齐次式。
1 变量分离方程/Variables Separated ODE/
dy f (x)( y)
dx
其中 f (x),( y) 分别是 x 与 y 的已知连续函数。
(2.1)
特点
一般的一阶方程 dy dx
f (x, y)
中的 f ( x, y )可表示成
f (x, y) f (x) φ( y)
例
dy x
dx y
R kR
解法步骤 /Solving Steps/
如果 ( y) 0 (1) 分离变量 dy f (x)dx
( y)
(2) 两边积分
dy
( y)
f
(x)dx
用G(y)，F(x)分别表示 1 及f (x) ( y)
的某一个原函数
(3) 方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C …………(2.2)
注意 y = 0 时，也是方程的解，而其并不包含在
通解中，因而方程还有解 y = 0
所以，原方程的解为
y
sin
1 x
c
y 0
求特解
将初始条件 y (0)=1代入通解中，得c = -1
则满足所给条件的特解为: y 1 sin x 1
2 可化为变量分离方程的类型
/Classifications of Variable Separated Equation/
特点 解法
重点与难点
思考
本节要求/Requirements/
➢ 熟练掌握线性方程和伯努利方程的求解方法。
➢ 了解黎卡提方程的简单性质及其求解方法。
§ 2Байду номын сангаас2 Linear ODE and variation of constants Method
因为将 y 视为 x 的函数，对G(y)=F(x)+C 两端关于x求导，
1 dy f (x) dy f (x)( y)
( y) dx
dx
所以，（2.2）为方程(2.1)的通解。
如果存在 yi ，使得 ( yi ) 0, i 1,2, , k
直接验证得: y yi 为方程(2.1)的常数解。
内容提要/Constant Abstract/
齐次线性方程 : 特点解法 举例
线性方程
非齐次线性方程
常数变易法(积分因子方法） 求解步骤 举例随堂练习
线性方程与常数变易法
可化为线性方程的方程
伯努利方程 黎卡提方程 其他可化为线性方程的方程
a1X b1Y (a1 b1 c1) a2 X b2Y (a2 b2 c2 )